ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αυτόµα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αυτόµατα και µοναδιακή λογική δεύτερης τάξης µε βάρη σε πεπερασµένες λέξεις ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Χριστίνα Στ. Τσότσου Επιβλέπων: Γεώργιος Ραχώνης Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, εκέµβριος 2013

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αυτόµατα και µοναδιακή λογική δεύτερης τάξης µε βάρη σε πεπερασµένες λέξεις ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Χριστίνα Στ. Τσότσου Επιβλέπων: Γεώργιος Ραχώνης Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή Α. Πάπιστας. Πουλάκης Γ. Ραχώνης Καθηγητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ.

.. Χριστίνα Στ. Τσότσου Πτυχιούχος Μαθηµατικός Α.Π.Θ. Copyright Χριστίνα Στ. Τσότσου, 2013. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συµπεράσµατα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσηµες θέσεις του Α.Π.Θ. ii

Ευχαριστίες Με την περάτωση της παρούσας διπλωµατικής εργασίας, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντα καθηγητή αυτής της εργασίας, κο Γεώργιο Ραχώνη, για την πολύτιµη βοήθεια και καθοδήγησή του, καθ όλη αυτή την χρονική περίοδο. Επίσης, ένα µεγάλο ευχαριστώ ανήκει στην οικογένειά µου για την αγάπη και τη στήριξή τους και όλα όσα µου παρέχουν στη διάρκεια της ζωής µου. i

Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή... 1 1.1 Αντικείµενο και σκοπός της διπλωµατικής... 1 1.2 ιάρθρωση της διπλωµατικής εργασίας...3 2 MSO-λογική και αυτόµατα µε βάρη...6 2.1 Εισαγωγή στην MSO-λογική...6 2.2 οµή του ηµιδακτύλιου...8 2.3 Τυπικές δυναµοσειρές...8 2.4 Πεπερασµένα αυτόµατα µε βάρη...9 2.4.1 Ιδιότητες των δυναµοσειρών, µέσω των αυτοµάτων µε βάρη...10 3 Λογική µε βάρη...13 3.1 Ορισµός της MSO-λογικής µε βάρη...13 3.1.1 Ιδιότητες της λογικής που ορίσαµε...16 3.2 Χρήσιµα παραδείγµατα...17 3.3 Περιορισµένοι τύποι φ MSO(Κ, Α)...18 4 Από την ορισιµότητα στην αναγνωρισιµότητα...20 4.1 Αναγνωρίσιµες σειρές...20 4.1.1 ιατήρηση της αναγνωρισιµότητας...21 4.2 Προβλήµατα αποφασισιµότητας...25 5 Από την αναγνωρισιµότητα στην ορισιµότητα...28 5.1 Σαφείς MSO(Κ, Α)-τύποι και προτάσεις...28 5.1.1 Ορισµός των σαφών τύπων...28 5.1.2 Ισοδυναµία των κλασικών και των σαφών MSO-τύπων...30 5.1.3 Ισοδυναµία των κλασικών και των σαφών MSO-προτάσεων...31 5.2 Οι αναγνωρίσιµες σειρές είναι και ορίσιµες...32 6 Τοπικά πεπερασµένοι ηµιδακτύλιοι...35 6.1 Ορισµός των τοπικά πεπερασµένων ηµιδακτυλίων...35 ii

6.1.1 Παραδείγµατα τοπικά πεπερασµένων ηµιδακτυλίων...35 6.2 Ιδιότητες των τοπικά πεπερασµένων ηµιδακτυλίων...36 6.2.1 Ταύτιση των αναγνωσίσιµων και των ορίσιµων σειρών...38 6.2.2 Ζητήµατα αποφασισιµότητας για τους τοπικά πεπερασµένους ηµιδακτύλιους...38 7 Λογική πρώτης τάξης µε βάρη...40 7.1 Πρώτης-τάξης τύποι φ µε βάρη...40 7.2 Η έννοια της απεριοδικότητας...40 7.2.1 Ιδιότητες των απεριοδικών σειρών...41 7.3 Σχέση απεριοδικών και FO-ορίσιµων σειρών...43 7.4 ι-απεριοδικοί ηµιδακτύλιοι...46 7.5 Ταύτιση των απεριδικών σειρών µε αυτές που ορίζονται από περιορισµένους πρώτης-τάξης και πρώτης-τάξης τύπους φ...47 8 Επίλογος...49 iii

Abstract The present thesis deals with a very important issue related to finite weigthed automata. We generalize Büchi s and Elgot s fundamental results in the weigthed setup for finite words over semirings. We introduce a weigthed version of MSO-logic, which is an extension of the classical MSO-logic. The semantics of its formulas are represented as formal power series. The main results show that, for commutative semmirings, the behaviours of weigthed automata are precisley the formal power series definable with particular sentences of monadic second-order weigted logic, over finite words. iv

Περίληψη Η παρούσα διπλωµατική εργασία πραγµατεύεται ένα πολύ σηµαντικό ζήτηµα που αφορά στα πεπερασµένα αυτόµατα µε βάρη. Γίνεται χρήση των θεωρηµάτων του Büchi, του Elgot και του Schützenberger και παρουσιάζονται τα αποτελέσµατά τους. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι τα πεπερασµένα αυτόµατα µε βάρη παρουσιάζουν συµπεριφορές οι οποίες ορίζονται από ρητές τυπικές δυναµοσειρές. Το συµπέρασµα αυτό εξάγεται έπειτα από τη µελέτη των ιδιοτήτων των τυπικών δυναµοσειρών, οι οποίες αποδεικνύονται µέσω της χρήσης των αυτοµάτων µε βάρη. Παράλληλα, δίνεται η σύνταξη της MSO-λογικής µε βάρη, η οποία αποτελεί επέκταση της κλασικής MSO-λογικής. Η σηµασιολογία των τύπων φ αυτής της επεκτεταµένης λογικής θα εκφραστεί από τυπικές δυναµοσειρές που ορίζονται πάνω σε κάποιο ηµιδακτύλιο. Τα δύο αυτά γεγονότα θα µας οδηγήσουν στην απόλυτη ταύτιση των συµπεριφορών των πεπερασµένων αυτοµάτων µε βάρη και της µοναδιακής λογικής δεύτερης τάξης µε βάρη, πάνω σε πεπερασµένες λέξεις. v

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Αντικείµενο και σκοπός της διπλωµατικής Τα αυτόµατα µε βάρη, µε τα οποία θα ασχοληθούµε στην παρούσα διπλωµατική εργασία, προκύπτουν από τα κλασικά πεπερασµένα αυτόµατα αν οι µεταβάσεις τους εφοδιαστούν µε βάρη, που λαµβάνονται συνήθως από ένα ηµιδακτύλιο. Αυτά τα βάρη παριστάνουν ποσοτικές ιδιότητες, όπως για παράδειγµα το κόστος (σε υπολογιστική ισχύ ή χρόνο) που απαιτείται για την εκτέλεση µιας µετάβασης από µία κατάσταση σε µία άλλη, ή την πιθανότητα, ή την αξιοπιστία της επιτυχούς εκτέλεσης της. Χρησιµοποιώντας αυτόµατα µε βάρη, µπορούµε επίσης να µετρήσουµε τον αριθµό των επιτυχών µονοπατιών που χαρακτηρίζονται από µια δοσµένη λέξη, καθώς και να επιλέξουµε το ευνοϊκότερο αυτών, δηλαδή εκείνο µε το µικρότερο κόστος. Τα κλασικά αυτόµατα, όπως γνωρίζουµε µέχρι σήµερα, παρέχουν µηχανισµούς αναγνώρισης για τις λέξεις. Το ίδιο ακριβώς συµβαίνει και µε τα αυτόµατα µε βάρη, στα οποία όµως σηµείο εκκίνησης είναι να καθοριστεί ο αριθµός των τρόπων που µια λέξη µπορεί να γίνει αποδεκτή ή το ποσό των πόρων που απαιτείται για την πραγµατοποίηση του γεγονότος αυτού. Συνεπώς, η συµπεριφορά των αυτοµάτων µε βάρη καταδεικνύει µια ποσότητα, δηλαδή το βάρος, η οποία αντιστοιχεί σε κάθε λέξη. Ένα τέτοιο, µη προσδιοριστό πεπερασµένο αυτόµατο µε βάρη, παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα. 1

Εικόνα 1. Πεπερασµένο αυτόµατο µε βάρη. Αντίστοιχα, η λογική µε βάρη είναι µια ποσοτική επέκταση της κλασικής λογικής. Η κλασική λογική για τα αυτόµατα περιγράφει αν µια ορισµένη ιδιότητα ισχύει για µια δοσµένη λέξη ή όχι. Είναι ενδιαφέρον όµως, σε πολλές εφαρµογές, να ελέγξουµε πόσο συχνά αυτή η ιδιότητα διατηρείται. Το σκοπό αυτό εξυπηρετεί η ύπαρξη της λογικής µε βάρη. Ο ορισµός της περιλαµβάνει βάρη που λαµβάνονται σαν στοιχεία από ένα δοσµένο τυχαίο ηµιδακτύλιο Κ, όπως γίνεται και στα αυτόµατα µε βάρη, ώστε να να υπάρχει η δυνατότητα πολλών εφαρµογών, καθώς η δοµή του ηµιδακτυλίου είναι η πιο ευρέως χρησιµοποιούµενη στην Πληροφορική. Στη θεωρία αυτοµάτων, oι Büchi και Elgot θεµελίωσαν την ταύτιση των αναγνωρίσιµων και ορίσιµων γλωσσών από προτάσεις της µοναδιακής λογικής δεύτερης τάξης. Παράλληλα, ο Schützenberger εισήγαγε τα πεπερασµένα αυτόµατα µε βάρη (από σώµατα), µελέτησε τις ιδιότητες και τις συµπεριφορές τους και οδηγήθηκε στο συµπέρασµα ότι οι τελευταίες µπορούν να χρακτηριστούν ως ρητές τυπικές δυναµοσειρές. Τα δύο αυτά γεγονότα αποτέλεσαν κίνητρο για την επέκταση και περεταίρω έρευνα για µελέτες των αυτοµάτων µε βάρη και της συσχέτισής τους µε τη λογική µε βάρη, και είχαν ως απόρροια τη συµβολή τους σε πρόσφατες 2

πρακτικές εφαρµογές, όπως στα πιθανοτικά συστήµατα, στον έλεγχο µοντέλων, στη συµπίεση ψηφιακής εικόνας και στην επεξεργασία από λόγο σε κείµενο. Στη διπλωµατική αυτή ασχολούµαστε µε τη µοναδιακή λογική δεύτερης τάξης (MSO λογική) µε βάρη που µελετήθηκε από τους Droste και Gastin το 2005. Τα βάρη αυτά θα ανήκουν σε ένα τυχαίο αντιµεταθετικό ηµιδακτύλιο. Αρχικά θα περιγράψουµε τη σύνταξη της λογικής µε βάρη, κίνητρο για την οποία αποτελεί, αφενός το γεγονός ότι τα αυτόµατα µε βάρη και η συµπεριφορά τους µπορεί να θεωρηθεί ως ποσοτική επέκταση των κλασικών αυτοµάτων, και αφεταίρου η αναγκαιότητα της επέκτασης της σύνταξης της κλασικής MSO λογικής. Είναι εποµένως φανερό, ότι βάση για αυτήν αποτελεί η σύνταξη της κλασικής MSO λογικής, η οποία µε τροποποιήσεις και κατάλληλες προσθήκες µας δίνει το επιθυµητό αποτέλεσµα. 1.2 ιάρθρωση της διπλωµατικής εργασίας Πρωτίστως, ορίζουµε τη σηµασιολογία ενός τύπου φ της λογικής µε βάρη, η οποία θα πρέπει να είναι µια τυπική δυναµοσειρά πάνω σε ένα επεκτεταµένο αλφάβητο µε τιµές στον ηµιδακτύλιο Κ. Μπορούµε λοιπόν να αντιστοιχίσουµε µια φυσική σηµασιολογία σε ατοµικούς τύπους, και επαγωγικά σε τύπους που περιέχουν διάζευξη, σύζευξη, καθώς και υπαρξιακούς και καθολικούς ποσοδείκτες. εν µπορούµε όµως να ορίσουµε µε φυσικό τρόπο τη σηµασιολογία της άρνησης. Θα ήταν αναµενόµενο να ορίσουµε τη σηµασιολογία του στοιχείου φ, αλλά αν ο Κ δεν είναι ο ηµιδακτύλιος του Boole τότε γενικά δεν µπορούµε να ορίσουµε την πράξη του συµπληρώµατος και κατα συνέπεια την έννοια της άρνησης. Για το λόγο αυτό περιοριζόµαστε στην άρνηση των ατοµικών τύπων, οι οποίοι λαµβάνουν τιµές µόνο το 0 και το 1 στον Κ. Έτσι η άρνηση των ατοµικών τύπων έχει επίσης µια φυσική σηµασιολογία. Σε σύγκριση µε την κλασική MSO λογική, αυτό δεν αποτελεί ουσιαστικό περιορισµό, δεδοµένου ότι η άρνηση ενός κλασικού MSO-τύπου είναι ισοδύναµη µε εκείνη που εµφανίζεται µόνο σε ατοµικούς τύπους. Μας υποχερώνει όµως να συµπεριλάβουµε στο συντακτικό της λογικής µας και καθολικούς ποσοδείκτες. Με 3

αυτή την έννοια, η MSO-λογική µε βάρη που ορίζουµε, περιέχει την κλασική MSOλογική την οποία παίρνουµε θέτοντας Κ=Β, τον ηµιδακτύλιο του Boole. Ορίζουµε τη σηµασιολογία των προτάσεων φ της MSO-λογικής µε βάρη µε επαγωγή στη δοµή τους. Έτσι, ορίζουµε πρώτα τη σηµασιολογία ενός τύπου φ µε ελεύθερες µεταβλητές, να είναι µια τυπική δυναµοσειρά πάνω σε επεκτεταµένο αλφάβητο. Στη συνέχεια δείχνουµε ότι αυτές οι σειρές είναι αναγνωρίσιµες. Στην περίπτωση αυτή όµως, ακόµα και για τον ηµιδακτύλιο των φυσικών αριθµών ή τον τροπικό ηµιδακτύλιο, αποδεικνύεται ότι ούτε οι καθολικοί πρώτης τάξης, ούτε οι καθολικοί δεύτερης τάξης ποσοδείκτες των τύπων διατηρούν την αναγνωρισιµότητα. Αυτό µας οδηγεί στο να ορίσουµε ένα τµήµα της MSO-λογικής µε βάρη, που καλείται περιορισµένη, αποκλείοντας καθολικούς ποσοδείκτες δεύτερης τάξης και επιτρέπουµε καθολικούς ποσοδείκτες πρώτης τάξης, µόνο για τύπους των οποίων η σηµασιολογία παίρνει πεπερασµένου πλήθους τιµές στον Κ. Επιπλέον, αν επιτρέψουµε την ύπαρξη υπαρξιακών ποσοδεικτών µόνο στην αρχή ενός τύπου, τότε καταλήγουµε στην περιορισµένη υπαρξιακή MSO-λογική. Στη συνέχεια, παρουσιάζουµε µια περίληψη των αποτελεσµάτων της διπλωµατικής εργασίας. Πρώτα δείχνουµε ότι για κάθε αντιµεταθετικό ηµιδακτύλιο Κ οι συµπεριφορές των αυτοµάτων µε βάρη, µε τιµές στον Κ, είναι ακριβώς οι σειρές εκείνες που ορίζονται από προτάσεις της περιορισµένης MSO-λογικής, ή ισοδύναµα, της περιορισµένης υπαρξιακής MSO-λογικής. Έπειτα, ότι αν ο ηµιδακτύλιος Κ είναι τοπικά πεπερασµένος, τότε η κλάση των σειρών που ορίζονται από όλες τις προτάσεις της πλήρους MSO-λογικής συµπίπτει µε την κλάση των σειρών των αυτοµάτων µε βάρη. Για το λόγο αυτό, µελετούµε τους τοπικά πεπερασµένους ηµιδακτύλιους, οι οποίοι αποτελούν µια µεγάλη κατηγορία ηµιδακτυλίων, που περιλαµβάνει όλους τους πεπερασµένους ηµιδακτύλιους, τον max-min ηµιδακτύλιο, ο οποίος χρησιµοποιείται για τα προβλήµατα χωρητικότητας των δικτύων, και όλες τις άλγεβρες Boole. Έτσι τα κλασικά θεωρήµατα των Büchi και Elgot προκύπτουν άµεσα ως πορίσµατα θέτοντας Κ=Β. Επιπλέον, έχοντας ως δεδοµένο ότι ο ηµιδακτύλιος Κ είναι τοπικά πεπερασµένος αλλά και ότι τα στοιχεία αυτού υπολογίζονται µε κάποιο αποτελεσµατικό τρόπο, τότε οι κατασκευές στις αποδείξεις, µας δίνουν 4

αποτελεσµατικές µετατροπές των προτάσεων της λογικής µε βάρη σε αυτόµατα µε βάρη, και αντιστρόφως. Τέλος, ασχολούµαστε µε την πρώτης-τάξης λογική µε βάρη. Όπως είναι γνωστό, οι πρώτης τάξης ορίσιµες γλώσσες είναι ακριβώς οι star-free γλώσσες, οι οποίες µε τη σειρά τους συµπίπτουν µε τις αντίστοιχες απεριοδικές. Πολλά παραδείγµατα δείχνουν ότι ακόµα και αν ο ηµιδακτύλιος Κ είναι πεπερασµένος, κάθε ορίσιµη σειρά στην πρώτης-τάξης λογική µε βάρη δεν είναι απαραίτητα απεριοδική. Ωστόσο, αποδεικνύουµε ότι οι απεριοδικές σειρές συµπίπτουν µε τις αντίστοιχες ορίσιµες πρώτης-τάξης, αν ο ηµιδακτύλιος είναι αντιµεταθετικός, και επίσης, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασµός ικανοποιούν µια συγκεκριµένη ιδιότητα απεριοδικότητας. Τέτοιοι ηµιδακτύλιοι είναι ο ηµιδακτύλιος Boole, αλλά και κάποιοι αρκετά διαφορετικοί όπως, ο max-plus ηµιδακτύλιος ή ο ηµιδακτύλιος που εµφανίζεται στην M--άλγεβρα, η οποία σηνήθως ορίζει την Lukasiewicz multi-valued λογική. Για τον τελευταίο αυτό ηµιδακτύλιο, ένας περιορισµός της Lukasiewicz λογικής συµπίπτει µε την MSO-λογική µας µε βάρη. Ξεκινώντας, λοιπόν, το κύριο µέρος της εργασίας αυτής, στο αµέσως επόµενο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η MSO-λογική και η συσχέτιση αυτής µε τα αυτόµατα µε βάρη. Προχωρώντας στα κεφάλαια, µελετάται αναλυτικά η λογική µε βάρη και ο τρόπος µε τον οποίο η σηµασιολογία των τύπων της µεταφράζεται σε τυπικές δυναµοσειρές. Τελειώνοντας, καταλήγουµε σε Θεωρήµατα, τα οποία αποδεικνύουν την απόλυτη ταύτιση των αυτοµάτων και της µοναδιακής λογικης µε βάρη. 5

Κεφαλαιο 2 MSO-λογική και αυτόµατα µε βάρη 2.1 Εισαγωγή στην MSO-λογική Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εισάγουµε τους συµβολισµούς που χρησιµοποιούµε για την κλασική MSO-λογική και θα αναφερθούµε στα αυτόµατα µε βάρη. Θα θεωρήσουµε γνωστά τα βασικά στοιχεία της µοναδικής δεύτερης-τάξης λογικής και το θεώρηµα Büchi για γλώσσες πεπερασµένων λέξεων. Με Α θα συµβολίζουµε ένα αλφάβητο, δηλαδή ένα πεπερασµένο σύνολο. Το συντακτικό των τύπων της MSO-λογικής στο Α δίνεται από τη γραµµατική: φ::=ρα(x) x y x ϵ X φ ψ φ x.φ X.φ όπου το α είναι γράµµα από το Α, x, y είναι µεταβλητές πρώτης τάξης και Χ είναι µεταβλητή δεύτερης τάξης. Συµβολίζουµε µε Free(φ) το σύνολο όλων των ελεύθερων µεταβλητών της φ. Το σύνολο Free(φ) ορίζεται επαγωγικά ως εξής: Έστω φ ένας MSO-τύπος και x µια µεταβλητή που εµφανίζεται στον φ. Η µεταβλητή αυτή είναι ελεύθερη, δηλαδή ανήκει στο Free(φ), αν φ είναι ατοµικός, ή φ=φ ψ και είναι ελεύθερη στον φ ή στον ψ ϕ = ψ και x είναι ελεύθερη στον ψ, ή ϕ = xψ, x είναι ελεύθερη στον ψ και x xi. i Έστω w=w(1)w(2) w(n) ϵ Α µε w(i) ϵ A. Το µήκος της w είναι w =n. Η λέξη w παρουσιάζεται συνήθως από τη δοµή ({1,..., w },, (Rα)α ϵα), όπου Rα={i / w(i)=α}, (α ϵ Α). Έστω, ακόµη, είναι ένα πεπερασµένο σύνολο από µεταβλητές πρώτης και δεύτερης τάξης. Μια (,w)-ανάθεση σ είναι µια απεικόνιση των µεταβλητών 6

πρώτης-τάξης από το σε στοιχεία από το {1,..., w } και των µεταβλητών δεύτερης-τάξης από το σε υποσύνολα από το {1,..., w }. Αν x είναι µια πρώτηςτάξης µεταβλητή και i ϵ {1,..., w } τότε, σ[x i] είναι η ( {x},w)-ανάθεση που αντιστοιχίζει το x στο i και ταυτίζεται µε τη σ σε όλες τις άλλες µεταβλητές. Οµοίως, σ[x Ι] ορίζεται για I {1,..., w }. Το γεγονός ότι η (w,σ) ικανοποιεί την φ, συµβολίζεται µε (w,σ) φ και προκύπτει, υποθέτοντας ότι το σύνολο περιέχει το Free(φ). Σηµειώνουµε, επίσης, ότι η (w,σ) φ εξαρτάται µόνο από τον περιορισµό σ Free( ϕ ) του σ στο Free(φ). Είναι σύνηθες, ένα ζεύγος (w,σ), όπου σ είναι µια (,w)-ανάθεση να κωδικοποιείται χρησιµοποιώντας ένα εκτεταµένο αλφάβητο A =A {0,1} v. Πιο συγκεκριµένα, θα γράφουµε µια λέξη πάνω στο A σαν ένα ζεύγος (w,σ), όπου w είναι η προβολή πάνω στο Α και σ είναι η προβολή πάνω στο {0,1} v. Αναλυτικότερα, το σ αντιπροσωπεύει µια έγκυρη ανάθεση πάνω στο, αν για κάθε µεταβλητή πρώτης-τάξης x ϵ, η x-σειρά του σ περιέχει ακριβώς ένα 1. Στην περίπτωση αυτή, προσδιορίζουµε το σ µε µια (,w)-ανάθεση τέτοια ώστε για κάθε πρώτης-τάξης µεταβλητή x ϵ, το σ(x) να είναι η θέση του 1 στη x-σειρά και για κάθε δεύτερης-τάξης µεταβλητή Χ ϵ, το σ(x) να είναι το σύνολο των θέσεων που έχουν το 1 στη Χ-σειρά. Τότε, προφανώς, η γλώσσα N ={ (w,σ) ϵ A / σ είναι µια έγκυρη (,w)-ανάθεση} είναι αναγνωρίσιµη. Θα γράφουµε απλούστερα A ϕ = A και N = Free( ϕ ) ϕ N. Από Free( ϕ ) το θεώρηµα του Büchi προκύπτει ότι, αν Free(φ), τότε η γλώσσα L ( ϕ ) ={ (w,σ) ϵ N / (w,σ) φ}, που ορίζεται από τη φ πάνω στο A, είναι αναγνωρίσιµη. Επιπλέον, γράφουµε απλά L( ϕ ) αντί για L ( ) ( ϕ ) ϕ. Αντίστοιχα, κάθε αναγνωρίσιµη L στο Free από µια MSO-πρόταση φ, ώστε L= L( ϕ ). A ορίζεται Στη συνέχεια, αναφερόµαστε σε βασικές έννοιες και ιδιότητες ηµιδακτυλίων, τυπικές δυναµοσειρές και αυτόµατα µε βάρη. 7

2.2 οµή του ηµιδακτύλιου Ένας ηµιδακτύλιος είναι µια δοµή (Κ, +,, 0, 1), όπου (Κ, +, 0) είναι ένα αντιµεταθετικό µονοειδές, (Κ,, 1) είναι ένα µονοειδές, ο πολλαπλασιασµός επιµερίζεται ως προς την πρόσθεση και 0 x = x 0 = 0, x ϵ Κ. Αν επιπλέον ο παλλαπλασιασµός είναι αντιµεταθετικός, τότε λέµε ότι ο Κ είναι αντιµεταθετικός. Επίσης, αν η πρόσθεση είναι ταυτοδύναµη, τότε ο ηµιδακτύλιος ονοµάζεται ταυτοδύναµος. Σηµαντικά παραδείγµατα ηµιδακτυλίων αποτελούν: Οι φυσικοί αριθµοί (N,+,, 0, 1) µε τη συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασµό. Ο ηµιδακτύλιος Boole Β=({0,1},,, 0, 1). Ο τροπικός ηµιδακτύλιος Trop=( N { }, min, +,, 0), ο οποίος είναι επίσης γνωστός σαν min-plus ηµιδακτύλιος, µε min και + να επεκτείνονται στο N { } µε το φυσικό τρόπο. Ο αρκτικός ηµιδακτύλιος Arc=( N { }, max, +,, 0). Ο ηµιδακτύλιος ([0, 1], max,, 0, 1) που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό πιθανοτήτων. Ο ηµιδακτύλιος των γλωσσών ( P( A ),,,, A ). Ο ασαφής ηµιδακτύλιος (fuzzy semiring) ([0, 1], max, min, 0, 1) που βρίσκει πολλές πρακτικές εφαρµογές. Αν Κ είναι ένας ηµιδακτύλιος και n ϵ N, τότε µε n n Κ συµβολίζουµε όλους τους (n n)-πίνακες πάνω στον Κ. Με το συνήθη πολλαπλασιασµό πινάκων η δοµή n n ( Κ, ) είναι ένα µονοειδές. 2.3 Τυπικές δυναµοσειρές Μια τυπική δυναµοσειρά είναι µια απεικόνιση S: (S, w) για S(w). Το σύνολο Supp(S):={w ϵ και Im(S)={ (S, w) / w ϵ 8 A Κ. Συνήθως, γράφουµε A / (S, w) 0} ονοµάζεται support της S, A } είναι η εικόνα της S. Το σύνολο όλων των τυπικών δυναµοσειρών πάνω στον Κ και το A συµβολίζεται µε Κ A. Έστω S, T ϵ

Κ A. Το άθροισµα S + T και το Hadamard product S T ορίζονται αντίστοιχα ως εξής: για κάθε w ϵ (S + T, w):= (S, w) + (Τ, w) και (S T, w):= (S, w) (Τ, w), A. Τότε ο (Κ A, +,, 0, 1), όπου 0 και 1 συµβολίζουν τις σταθερές σειρές µε τιµές 0 και 1 αντίστοιχα, είναι πάλι ηµιδακτύλιος. Για L A, ορίζουµε τη χαρακτηριστική σειρά 1 L : A Κ, να είναι (1 L, w)=1, αν w ϵ L και (1 L, w)=0, διαφορετικά. Αν Κ=Β, η αντιστοιχία L 1 L δίνει ένα χρήσιµο και φυσικό ισοµορφισµό µεταξύ των ηµιδακτυλίων ( P( A ),,,, A ) και ( B A, +,, 0, 1). 2.4 Πεπερασµένα αυτόµατα µε βάρη Στη συνέχεια αναφερόµαστε στα αυτόµατα µε βάρη. Θεωρούµε έναν ηµιδακτύλιο Κ και ένα αλφάβητο Α. Ένα πεπερασµένο αυτόµατο µε βάρη πάνω στον Κ και το Α είναι µια τετράδα A =( Q, λ, µ,γ), όπου Q είναι το πεπερασµένο σύνολο των καταστάσεων, µ: Α Κ Q Q είναι η συνάρτηση µετάβασης βαρών και λ,γ: Q Κ είναι συναρτήσεις βαρών από την είσοδο και την έξοδο σε µια κατάσταση, αντίστοιχα. Εδώ µ(α) είναι ένας Q Q πίνακας του οποίου η (p, q)-είσοδος µ ( α ) p, q ϵ Κ δείχνει το βάρος (κόστος) της µετάβασης p a q. Τότε το µ επεκτείνεται µε µοναδικό τρόπο σε ένα µορφισµό µονοειδών από το Το βάρος του µονοπατιού Q Q A στο ( Κ, ). P: 0 a1 στο A είναι το γινόµενο q q 1 q 1 q n weight(p) := λ( q 0 ) µ ( a 1) q 0, q... µ ( a ) n q q 1 n 1, n a n n γ( q n ). Αυτό το µονοπάτι έχει label a... 1 a n. Το βάρος µιας λέξης w= a 1... a n ϵ A, συµβολίζεται ( A,w) και είναι το άθροισµα των weight(p) για όλα τα µονοπάτια P 9

µε label w. Ισχύει ( A,w) = λ ( ι ) µ ( w) i, γ ( ) = λ µ ( w) γ µε το συνήθη i, πολλαπλασιασµό πινάκων, θεωρώντας το λ σαν διάνυσµα γραµµή και το γ σαν διάνυσµα στήλη. Αν w=ε, έχουµε ( A,ε)= λ γ. Η τυπική δυναµοσειρά A : A Κ ονοµάζεται συµπεριφορά του A. Μια τυπική δυναµοσειρά S ϵ Κ A ονοµάζεται αναγνωρίσιµη, αν υπάρχει ένα πεπερασµένο αυτόµατο µε βάρη A τέτοιο ώστε S= A. Τότε επίσης λέµε ότι το A ή το (λ, µ, γ) είναι µια αναπαράσταση του S. Θα συµβολίζουµε µε rec K δυναµοσειρών πάνω στο Κ και το Α. A το σύνολο όλων των αναγνωρίσιµων τυπικών 2.4.1 Ιδιότητες των δυναµοσειρών, µέσω των αυτοµάτων µε βάρη Λήµµα 1 α) Έστω οι S, T ϵ Κ A είναι αναγνωρίσιµες. Τότε η S + T είναι αναγνωρίσιµη. Αν ο Κ είναι αντιµεταθετικός, τότε η S T είναι επίσης αναγνωρίσιµη. β) Για κάθε αναγνωρίσιµη γλώσσα L A, η σειρά 1 L είναι αναγνωρίσιµη. Τώρα, έστω h: A B είναι ένας οµοµορφισµός. Αν Τ ϵ Κ B, τότε h 1 ( Τ ) : =Τ h ϵ Κ A 1 που ορίζεται από τη σχέση ( h (Τ), w) = (Τ, h(w)), w ϵ A. Ακόµη, λέµε ότι ο h είναι non-erasing, αν h(α) ε, α ϵ Α, ή ισοδύναµα, w h(w), w ϵ A. Στην περίπτωση αυτή, για S ϵ Κ A ορίζουµε h(s): B K από το (h(s), v):= ( S, w), όπου v ϵ w h 1 ( v) B, σηµειώνοντας ότι το άθροισµα είναι πεπερασµένο, καθώς ο h είναι non-erasing. Λήµµα 2 Έστω h: A B είναι ένας οµοµορφισµός. α) ο 1 h : Κ B Κ A διατηρεί την αναγνωρισιµότητα. 10

β) Αν ο h είναι non-erasing, τότε ο h: Κ A Κ B διατηρεί την αναγνωρισιµότητα. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: α) Έστω A= ( Q, λ, µ, γ ) είναι ένα αυτόµατο µε βάρη πάνω στο Β και τον Κ το οποίο αναγνωρίζει την S rec Κ Β. Θεωρούµε το αυτόµατο µε βάρη A = ( Q, λ, µ, γ ) πάνω στο Α και τον Κ, όπου µ (( q, a, q )) = weight( P ). Τότε, αυτό το νέο Ph ( a ), q, q h( a), q, q αυτόµατο αναγνωρίζει την h 1 ( S). β) Έστω A= ( Q, λ, µ, γ ) είναι ένα αυτόµατο µε βάρη πάνω στο Α και τον Κ, το οποίο αναγνωρίζει την r rec Κ Α. Τότε για κάθε, q q Q, α Α, τέτοια ώστε µ (( q, a, q )) 0 και h( a) = b1... b n, bi Β, 1 i n, θεωρούµε τις νέες καταστάσεις p1,..., pn 1. Έστω P είναι το σύνολο όλων των νέων καταστάσεων που δηµιουργούνται από την προηγούµενη διαδικασία. Στη συνέχεια θεωρούµε το αυτόµατο µε βάρη A = ( Q P, λ, µ, γ ) πάνω στο Β και τον Κ, το οποίο ορίζεται ως εξής: και λ ( t) = { t t Q P. λ ( ) αν t Q 0 διαφορετικά γ ( t) = { t, γ ( ) αν t Q 0 διαφορετικά Συνεχίζοντας τον προηγούµενο συλογισµό, για κάθε q, q Q, α Αµε µ (( q, a, q )) 0, θέτουµε και µ (( q, b, p )) = µ (( q, a, q )) 1 1 µ (( p1, b2, p2)) =... = µ (( pn 1, bn, q )) = 1. Παρατηρούµε ότι για κάθε w Α και µονοπάτι P w του A πάνω στην w, υπάρχει ένα µοναδικό µονοπάτι P h( w) P w και επιπροσθέτως weight( Pw ) = weight( Ph ( w) P w ). Οπότε, ( A, u) = weight( P ) = weight( P ) = ( weight( P )) u w w Pu, h( w) = u h( w) = u Pw, για κάθε = ( A, u) = ( r, w) = ( h( r), u) h( w) = u h( w) = u 11 u Β.

Στη συνέχεια, ορίζουµε S: A Κ να είναι µια αναγνωρίσιµη βηµατική n συνάρτηση, αν S= ki 1L i για n N, ki Κ και τις αναγνωρίσιµες γλώσσες (i=1,..., n). i= 1 Li A Όπως είναι γνωστό, η αναγνωρίσιµη βηµατική συνάρτηση είναι µια αναγνωρίσιµη δυναµοσειρά. 12

Κεφάλαιο 3 Λογική µε βάρη Στο κεφάλαιο αυτό, θα εισάγουµε την MSO-λογική µε βάρη και θα µελετήσουµε τις ιδιότητες της. Θεωρούµε έναν ηµιδακτύλιο Κ και ένα αλφάβητο Α. 3.1 Ορισµός της MSO-λογικής µε βάρη Ορισµός 3. Η σύνταξη των τύπων της MSO-λογικής µε βάρη δίνεται από τη γραµµατική φ:=k P ( x) P ( x) x y ( x y) x X ( x X ) ϕ ψ a a ϕ ψ x. ϕ X. ϕ x. ϕ X. ϕ όπου k ϵ Κ και α ϵ Α. Συµβολίζουµε µε MSO(Κ, Α) το σύνολο όλων αυτών των MSO-τύπων φ µε βάρη. Όπως ήδη αναφέρθηκε, καθώς ο τυχαίος ηµιδακτύλιος Κ γενικά δεν έχει φυσικό συµπλήρωµα, δεν είναι δυνατό να ορίσουµε την άρνηση οποιουδήποτε τύπου. Για το λόγο αυτό περιορίζουµε την άρνηση σε ατοµικούς τύπους, των οποίων η σηµασιολογία παίρνει τιµές µόνο 0 και 1 στον Κ. Έτσι η άρνηση των ατοµικών τύπων έχει επίσης φυσική σηµασιολογία. Σε σύγκριση µε την κλασική, χωρίς βάρη, MSO-λογική, αυτό δεν αποτελεί έναν ουσιαστικό περιορισµό, δεδοµένου ότι η άρνηση ενός κλασικού MSO-τύπου είναι ισοδύναµη, µε την έννοια του ορισµού της ίδιας γλώσσας, µε κάποιον στον οποίο η άρνηση εφαρµόζεται µόνο σε ατοµικούς τύπους. Συνεπώς, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι η MSO-λογική µε βάρη περιέχει την κλασική MSO-λογική, την οποία παίρνουµε θέτοντας Κ=Β. Σηµειώνουµε ότι 13

στην περίπτωση αυτή, η σταθερά k στη λογική είναι είτε 0 και δηλώνει το «ψευδές», είτε 1 και δηλώνει το «αληθές». Ένα ζεύγος (w, σ), όπου w ϵ A και σ είναι µια (,w)-ανάθεση, αναπαριστάται από µια λέξη πάνω σε ένα επεκτεταµένο αλφάβητο A, όπως περιγράψαµε στο Κεφάλαιο 2. Ορισµός 4. Έστω φϵmso(κ, Α) και είναι ένα πεπερασµένο σύνολο µεταβλητών που περιέχει το Free(φ). Η -σηµασιολογία του φ είναι µια τυπική δυναµοσειρά ϕ ϵκ A. Έστω (w, σ)ϵ A. Αν σ δεν είναι µια έγκυρη ανάθεση, τότε θέτουµε ϕ (w, σ)=0. ιαφορετικά, ορίζουµε το ϕ (w, σ)ϵκ επαγωγικά, ως εξής: k wσ = k (, ) Pa ( x) ( w, σ ) = { 0 1 αν ( σ ( )) x< y ( w, σ ) = { 0 w x = a διαϕορετικά 1 αν σ ( x) σ ( y) x X ( w, σ ) = { 0 διαϕορετικά 1 αν σ ( x) σ ( X ) διαϕορετικά 1 (, ) 0 ( w αν ϕ wσ =, ) {, αν =P 0 (, ) 1 a ( x ), x y, x X αν ϕ wσ = ϕ σ = ϕ ϕ ψ ( w, σ ) ϕ ( w, σ ) ψ ( w, σ ) = + ϕ ψ ( w, σ ) ϕ ( w, σ ) ψ ( w, σ ) = { x } x. ϕ ( w, σ ) = ϕ ( w, σ[ x i]) 1 i w { X } X. ϕ ( w, σ ) = ϕ ( w, σ[ X I ]) I {1,..., w } { x } x. ϕ ( w, σ ) = ϕ ( w, σ[ x i]) 1 i w X. ϕ ( w, σ ) = ϕ ( w, σ[ X I]), { X } I {1,..., w } όπου ορίσαµε κάποια διάταξη στο δυναµοσύνολο {1,..., w }, ώστε το τελευταίο γινόµενο να ορίζεται ακόµα και αν ο Κ δεν είναι αντιµεταθετικός. Θα γράφουµε απλούστερα ϕ αντί για ( ) ϕ. Free ϕ 14

Αν φ είναι πρόταση, δηλαδή δεν περιέχει ελεύθερες µεταβλητές, τότε ϕ ϵκ A. Παρακάτω δίνουµε αρκετά παραδείγµατα πιθανών ερµηνειών τύπων µε βάρη: Έστω Κ=(N,+,, 0, 1) και υποθέτουµε ότι ο φ δεν περιέχει σταθερές k N. Μπορούµε να ερµηνεύσουµε το ϕ ( w, σ ) σαν τον αριθµό των αποδείξεων, του ότι η (w, σ) ικανοποιεί τον τύπο φ. Πράγµατι, για ατοµικούς τύπους ο αριθµός των αποδείξεων είναι σαφώς 0 ή 1, ανάλογα µε το αν ο φ ισχύει για (w, σ) ή όχι. Τώρα, αν για παράδειγµα ϕ ( w, σ ) =m και ψ ( w, σ ) =n, ο αριθµός των αποδείξεων ότι (w, σ) ικανοποιεί τον ϕ ψ πρέπει να είναι m+n, και για τονϕ ψ πρέπει να είναι m n. Οµοίως, µπορεί να ερµηνευτεί η σηµασιολογία των ποσοδεικτών ύπαρξης και καθολικότητας. Ο τύπος x. P ( x) µετρά πόσο συχνά εµφανίζεται το α µέσα a στη λέξη. Όπου το πόσο συχνά εξαρτάται από τον ηµιδακτύλιο που έχουµε, π.χ. τον ηµιδακτύλιο του Boole, των φυσικών αριθµών, κ.τ.λ. Θεωρούµε τώρα την περίπτωση να έχουµε τον ηµιδακτύλιο Κ= ([0, 1], max,, 0, 1) και το αλφάβητο Α={ a 1,..., a n }. Υποθέτουµε ότι κάθε γράµµα ai έχει µια αξιοπιστία k i. Τότε, η σειρά που αναθέτει σε κάθε λέξη την αξιοπιστία της µπορεί να δοθεί από τον πρώτης-τάξης τύπο x. 1 ( P ( x) k ). 15 i n ai i Αν Κ είναι η άλγεβρα Boole ( B,,,,0,1), τότε µπορούµε να ορίσουµε τη σηµασιολογία του φ, για κάθε τύπο φ, από το ϕ ( w, σ ) : = ϕ ( w, σ ), το συµπλήρωµα του ϕ ( w, σ ) στο Β. Τότε, προφανώς, ϕ ψ = ( ϕ ψ ), x. ϕ = ( x. ϕ) και X. ϕ ( X. ϕ) =. Αυτό µπορεί να ερµηνευτεί σαν µια λογική πολλαπλών τιµών. Ειδικότερα, αν Κ=Β, το 2 ο στοιχείο της άλγεβρας Boole, η σηµασιολογία αυτή συµπίπτει µε τη συνήθη σηµασιολογία των MSO-τύπων χωρίς βάρη, προσδιορίζοντας χαρακτηριστικές σειρές µε τα support τους. Παρατηρούµε ότι αν φϵmso(κ, Α), έχουµε καθορίσει τη σηµασιολογία του ϕ για κάθε πεπερασµένο σύνολο µεταβλητών που περιέχει τις Free(φ). Στη συνέχεια, αποδεικνύουµε ότι η σηµασιολογία ενός τύπου εξαρτάται µόνο από τις

τιµές που δίνει µια ανάθεση στις ελεύθερες µεταβλητές του. Συγκεκριµένα αποδεικνύουµε την εξής πρόταση. 3.1.1 Ιδιότητες της λογικής που ορίσαµε ΠΡΟΤΑΣΗ 5 Έστω φϵmso(κ, Α) και είναι ένα πεπερασµένο σύνολο µεταβλητών που ( w, ) ( w ϕ σ = ϕ, σ Free ) ϕ, (w, σ) ϵ A, τέτοιο ώστε περιέχει το Free(φ). Τότε ( ) το σ να είναι µια έγκυρη (,w)-ανάθεση. Ειδικότερα, η ϕ είναι αναγνωρίσιµη ανν η ϕ είναι αναγνωρίσιµη. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: είχνουµε τον πρώτο ισχυρισµό µε επαγωγή στον φ. Είναι προφανές αν ο φ είναι ατοµικός τύπος, προκύπτει άµεσα µε επαγωγή για διάζευξη και σύζευξη. Οι δυσκολότερες περιπτώσεις είναι όταν υπάρχουν ποσοδείκτες. ίνουµε, λοιπόν, την απόδειξη για φ= xψ.. Οι άλλες περιπτώσεις είναι παρόµοιες. Καθώς σ είναι µια έγκυρη (,w)-ανάθεση, σ[x i] είναι µια έγκυρη ( { x}, w) -ανάθεση, i {1,..., w }. Εφόσον Free(ψ) { x}, παίρνουµε από επαγωγή ψ σ ψ σ ( ) ( w, [ x i ]) = ( w, [ x i ] ) { x} Free ψ. Επίσης, i {1,..., w }, σ [ ] Free( ϕ ) x i είναι µια έγκυρη (Free(φ) {x}, w)-ανάθεση. Επειδή όµως ισχύει Free(ψ) Free(φ) {x}, θα προκύψει επαγωγικά ότι ψ σ Free( ϕ ) ψ σ Free ( ψ ) ( w, [ x i ]) = ( w, [ x i ] ). Free( ϕ ) { x} Ως εκ τούτου, ψ σ = ψ σ ( ) παίρνουµε ( ) φ= xψ.. A ( w, [ x i ]) ( w, [ x i ]) και { x} Free( ϕ ) { x} 16 Free ϕ ϕ ( w, σ ) = ϕ ( w, σ Free ) ϕ από τον ορισµό της σηµασιολογίας του Για τον τελευταίο ισχυρισµό, θεωρούµε την προβολή π : Α Α ϕ. Για (w, σ), έχουµε π(w,σ)=(w, σ ( ) ϕ Free ϕ ). Αν η ϕ είναι αναγνωρίσιµη, τότε και η = π 1 ( ϕ ) 1N είναι αναγνωρίσιµη από το Λήµµα 1 και το Λήµµα 2. Εδώ δεν

χρειάζεται να υποθέσουµε ότι ο Κ είναι αντιµεταθετικός, αφού 1 είναι η N χαρακτηριστική σειρά µιας αναγνωρίσιµης γλώσσας και οι τιµές 0 και 1 που λαµβάνονται από χαρακτηριστικές σειρές αντιµετατίθονται µε όλα τα στοιχεία του Κ. Αντίστροφα, έστω η L περιλαµβάνει την κενή λέξη και κάθε (w, σ), έτσι ώστε το σ να αντιστοιχίζει σε κάθε µεταβλητή x (αντίστοιχα X) από το \ Freeϕ ( ) τη θέση 1, δηλαδή σ(x)=1 (αντίστοιχα σ(x)={1}). Τότε η L είναι αναγνωρίσιµη και ( w, σ ) υπάρχει ένα µοναδικό στοιχείο (w, σ) L, τέτοιο ώστε π(w,σ)= (, ) A ϕ wσ. Οπότε, ϕ = π ( ϕ 1 L). Εποµένως, αν η ϕ αναγνωρίσιµη, τότε είναι και η ϕ, από τα Λήµµατα 1 και 2. A + είναι Ας είναι Ζ MSO(Κ, Α). Μια σειρά S: Α Κ ονοµάζεται Ζ-ορίσιµη, αν υπάρχει µια πρόταση φ Ζ τέτοια ώστε S= ϕ. Μα ενδιαφέρει τώρα να βρούµε ένα κατάλληλο τµήµα Ζ, έτσι ώστε οι κλάση των Ζ-ορίσιµων σειρών να ταυτίζεται µε αυτή των αναγνωρίσιµων σειρών. Προς την κατεύθυνση αυτή, αρχικά θα δείξουµε ότι η κλάση ποσοδείκτες. rec Κ Α είναι γενικά µη κλειστή ως προς τους καθολικούς 3.2 Χρήσιµα παραδείγµατα Παράδειγµα 6 x.2 ( w) = 2 w και Έστω Κ=(N, +,, 0, 1). Τότε 2 w w w y x.2 ( w) = (2 ) = 2. Προφανώς, η σειρά x.2 είναι αναγνωρίσιµη από το αυτόµατο µε βάρη (Q, λ, µ, γ) µε Q={1}, λ1 = γ1= 1 και µ ( α ) = 2 α Α. 1,1 Αντίθετα, η σειρά y x.2 δεν είναι αναγνωρίσιµη. Υποθέτουµε ότι υπάρχει ένα αυτόµατο A ( Q, λ, µ, γ ) = µε συµπεριφορά y x.2. Έστω Μ=max{ λ, γ, µ ( a), / p, q Q, α Α }. Τότε w Α και για κάθε p p p q µονοπάτι P που έχει label w έχουµε weight(p) w+ 2 Μ και καθώς υπάρχουν 1 Q w+ 17

µονοπάτια µε label w συµπεραίνουµε ότι 1 2 ( A, w) Q w+ Μ w+, το οποίο αποτελεί αντίφαση µε το 2 w =. ( A, ) 2 w Ένας όµοιος ισχυρισµός υπάρχει επίσης, για τον τροπικό και τον αρκτικό ηµιδακτύλιο. Παρατηρούµε ότι σε όλες τις περιπτώσεις, η σειρά x.2 έχει άπειρη εικόνα. Παράδειγµα 7 X.2 ( w) = 2 w Έστω Κ=(N, +,, 0, 1). Τότε η σειρά 2 w A, δεν είναι αναγνωρίσιµη, όπως και παραπάνω. Επίσης, το παράδειγµα αυτό βρίσκει εφαµογή και στον τροπικό και στον αρκτικό ηµιδακτύλιο. Τα παραδείγµατα που δόθηκαν παραπάνω δείχνουν ότι οι καθολικοί ποσοδείκτες, χωρίς περιορισµούς, είναι πολύ ισχυροί για την διατήρηση της αναγνωρισιµότητας. Έτσι οδηγούµαστε στον ακόλουθο ορισµό. 3.3 Περιορισµένοι τύποι φ MSO(Κ, Α) Ορισµός 8. Ένας τύπος φ MSO(Κ, Α) ονοµάζεται περιορισµένος αν δεν υπάρχει κανένα σύνολο καθολικών ποσοδεικτών της µορφής Xψ., και όταν ο φ περιέχει ένα καθολικό πρώτης-τάξης ποσοδείκτη xψ., τότε η ψ είναι µια αναγνωρίσιµη βηµατική συνάρτηση. Σηµειώνουµε ότι αυτός δεν είναι ένας καθαρά συντακτικός ορισµός, καθώς υπάρχει ένας περιορισµός στη σηµασιολογία ψ των τύπων. Θα δείξουµε παρακάτω ότι αυτός ο περιορισµός είναι αποφασίσιµος υπό κατάλληλες προϋποθέσεις για τον ηµιδακτύλιο. Θεωρούµε την κλάση RMSO(K, A) να περιέχει όλους τους περιορισµένους τύπους του MSO(K, A). Επιπλέον, REMSO(K, A) περιέχει όλους τους περιορισµένους υπαρξιακούς MSO-τύπους φ. ηλαδή, ο φ είναι της µορφής X,...,. 1 X ψ RMSO(K, A), που δεν περιέχει κανένα σύνολο ποσοδεικτών. n 18

Θεωρούµε ακόµη rmso K A (αντίστοιχα remso K A ) να περιέχει όλες τις σειρές S K A, οι οποίες ορίζονται από κάποια πρόταση στο RMSO(K, A) (αντίστοιχα στο REMSO(K, A)). ΘΕΩΡΗΜΑ 9 Έστω Κ είναι ένας αντιµεταθετικός ηµιδακτύλιος και Α ένα αλφάβητο. Τότε, rec rmso remso K A = K A = K A. 19

Κεφάλαιο 4 Από την ορισιµότητα στην αναγνωρισιµότητα Σε όλο αυτό το κεφάλαιο, θεωρούµε έναν ηµιδακτύλιο Κ και ένα αλφάβητο Α. Θέλουµε να δείξουµε ότι αν ο Κ είναι αντιµεταθετικός, τότε όλες οι RMSO-ορίσιµες σειρές ϕ πάνω στον Κ και το Α είναι αναγνωρίσιµες. Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγή στη δοµή των RMSO-τύπων. 4.1 Αναγνωρίσιµες σειρές Λήµµα 10 Έστω φ MSO(Κ, Α) είναι ατοµικός. Τότε η ϕ είναι αναγνωρίσιµη. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις. Περίπτωση 1: φ=k όπου k Κ. Το αυτόµατο (Q, λ, µ,γ) µε Q={1}, λ 1= 1, µ ( α ) = 1, 1,1 α Α και γ 1= k, αναγνωρίζει την ϕ = k 1. Περίπτωση 2: φ είναι της µορφής Pa ( x ) ή ( x y) ή ( x X ), ή φ είναι η άρνηση ενός εξ αυτών των τύπων. Θεωρώντας τον φ σαν τύπο της κλασικής MSO-λογικής, είναι εύκολο να βρούµε ένα προσδιοριστό αυτόµατο A πάνω στο επεκτεταµένο αλφάβητο Α Α ϕ, που αναγνωρίζει τα ζεύγη (w, σ) ικανοποιώντας τον φ. Τώρα µετατρέπουµε το A σε ένα αντίστοιχο αυτόµατο µε βάρη A, στο οποίο οι µεταβάσεις του A παίρνουν βάρος 1, οι τριάδες που δεν είναι µεταβάσεις του A παίρνουν βάρος 0, η αρχική κατάσταση 20

του A παίρνει αρχικό βάρος 1 και οι άλλες καταστάσεις παίρνουν αρχικό βάρος 0, και οµοίως για τις τελικές καταστάσεις. Τότε το A αναγνωρίζει την ϕ. σύζευξη. Συνεχίζουµε την απόδειξη των επαγωγικών βηµάτων µε τη διάζευξη και τη 4.1.1 ιατήρηση της αναγνωρισιµότητας Λήµµα 11 Έστω φ,ψ MSO(K, A) έτσι ώστε οι ϕ και ψ είναι αναγνωρίσιµες σειρές. Τότε η ϕ ψ είναι αναγνωρίσιµη. Αν ο Κ είναι αντιµεταθετικός, τότε η ϕ ψ είναι επίσης αναγνωρίσιµη. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: =. Από τον ορισµό έχουµε ϕ ψ = ϕ + ψ Έστω Free( ϕ) Free( ψ ) και ϕ ψ = ϕ ψ από το Λήµµα 1 και την Πρόταση 5.. Εποµένως, τα αποτελέσµατα που θέλουµε προκύπτουν Λήµµα 12 Έστω φ MSO(K, A) έτσι ώστε η ϕ να είναι αναγνωρίσιµη. Τότε η xϕ. και η.ϕ Χ είναι επίσης αναγνωρίσιµες σειρές. π ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω = Free( Xϕ. ). Τότε Χ. Θεωρούµε την προβολή : Α { X } Α που διαγράφει την Χ-γραµµή. Έστω, ακόµη, (w,σ) Α. Τότε το σ είναι µια έγκυρη (,w)-ανάθεση ανν σ[χ Ι] είναι µια έγκυρη ( { X},w)- ανάθεση I {1,..., w }. Συνεπώς, έχουµε = =, { X } { X } Ι {1,..., w } X. ϕ ( w, σ ) ϕ ( w, σ[ X I]) π ( ϕ )( w, σ ) 21

ακόµα και αν το σ δεν είναι µια έγκυρη (,w)-ανάθεση. Η τελευταία ισότητα ισχύει καθώς π(w, σ )=π(w, σ) ανν σ = σ[χ Ι] για κάποιο I {1,..., w }. Οπότε, και η { } Free(φ) { X} ϕ είναι αναγνωρίσιµη από την Πρόταση 5. X Συµπεραίνουµε, λοιπόν, από το Λήµµα 2 ότι η Χ.ϕ είναι αναγνωρίσιµη. Στη συνέχεια εξετάζουµε την περίπτωση της xϕ. θέτουµε = Free( xϕ. ) και x. Θεωρούµε την προβολή διαγράφει την x-γραµµή. Έστω, ακόµη, (w,σ) π. Όπως παραπάνω, : Α { x} Α, που Α. Τότε το σ είναι µια έγκυρη (,w)-ανάθεση ανν σ[x i] είναι µια έγκυρη ( { x}, w) -ανάθεση i {1,..., w }. Εποµένως, έχουµε = = x. ϕ ( w, σ ) ϕ ( w, σ[ x i]) π ( ϕ )( w, σ ), { x} { x} i {1,..., w } ακόµα και αν το σ δεν είναι µια έγκυρη (,w)-ανάθεση. Εδώ, η τελευταία ισότητα ισχύει καθώς το σ είναι µια έγκυρη ( { x}, w) -ανάθεση και π(w, σ )=π(w, σ) ανν [ x i] σ = σ για κάποιο i {1,..., w }. Οπότε, όπως ακριβώς και παραπάνω, συµπεραίνουµε ότι η xϕ. ποσοδείκτες. είναι αναγνωρίσιµη. Η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση, όµως, προκύπτει από τους καθολικούς Λήµµα 13 Έστω ότι ο ηµιδακτύλιος Κ είναι αντιµεταθετικός και φ MSO(Κ, Α), έτσι ώστε η ϕ να είναι µια αναγνωρίσιµη βηµατική συνάρτηση. Τότε η σειρά xϕ. είναι αναγνωρίσιµη. ϕ = 1,..., ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω W = Free( ϕ) και = Free( x. ϕ) = W \{ x}. Μπορούµε να γράψουµε k 1 n L µε n Ν, k = Kκαι αναγνωρίσιµες γλώσσες L Α W (=1,...,n). Περαιτέρω, καθώς η κλάση των αναγνωρισίµων γλωσσών είναι κλειστή µε ένωση, τοµή και συµπλήρωµα, µπορούµε, χωρίς περιορισµό της γενικότητας, να θεωρήσουµε ότι οι γλώσσες L (=1,...,n) αποτελούν µια διαµέριση του Α W. 22

Πρώτα, υποθέτουµε ότι x W. Έστω Α=Α {1,..., n}. Μια λέξη στο ( ) Α θα γράφεται µε τη µορφή (w, v, σ), όπου (w, σ) Α και v {1,..., n } w, και ερµηνεύεται ως απεικόνιση από το {1,..., w } στο {1,...,n}. Έστω, ακόµα, L το σύνολο των (w, v, σ) ( Α ), έτσι ώστε i {1,..., w } και {1,..., n} το v(i)= συνεπάγεται ότι { w, σ[ x i]) L. Παρατηρούµε ότι (w, σ) Α, υπάρχει ένα µοναδικό v τέτοιο ώστε (w, v, σ) L, καθώς το L αποτελεί µια διαµέριση του Α W. Ισχυριζόµαστε ότι η L είναι αναγνωρίσιµη. Πράγµατι, για {1,...,n}, έστω ότι L είναι το σύνολο όλων των (w, v, σ) ( Α ), έτσι ώστε i {1,..., w } να έχουµε v(i)= συνεπάγεται ότι{ w, σ[ x i]) L. Σηµειώνουµε ότι L = 1. Συνεπώς, αρκεί να δείξουµε ότι κάθε γλώσσα L n L είναι αναγνωρίσιµη. Ας είναι {1,...,n}. Έστω A = ( Q, q0, δ, F) είναι ένα προσδιοριστό αυτόµατο, µε συνάρτηση µεταβάσεων δ: Q ΑW Q, που αναγνωρίζει την L. Θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα προσδιοριστό αυτόµατο A = ( Q, q 0, δ, F ) που θα αναγνωρίζει την L. ιαισθητικά, το Ã λειτουργεί ως εξής. Όταν διαβάζεται µια λέξη (w, v, σ) ( Α ) και ανιχνεύεται ότι το v(i)=, το αυτόµατο Ã πρέπει να ελέγχει αν { w, σ[ x i]) L. Για το λόγο αυτό, το Ã χρησιµοποιεί ένα αντίγραφο του αυτόµατου A. Όµως, η x-γραµµή στη λέξη { w, σ[ x i]) περιέχει µόνο ένα 1, ακριβώς στην είσοδο i. Οπότε θέτουµε το Ã να περιέχει ένα κύριο αντίγραφο του A, το οποίο λειτουργεί µόνο σε λέξεις του τύπου { w, σ[ x ]), για να ξεκινήσει ένα νέο αντίγραφο του A στην κατάλληλη κατάσταση, όταν θα διαβάσει το v(i)=. Ο αριθµός των αντίγραφων που χρειάζονται, ορίζεται σαφώς από το µέγεθος του Q. Ακριβέστερα, έστω Q = Q P( Q), όπου P( Q ) συµβολίζει το δυναµοσύνολο του Q, και F = Q P( F). Ορίζουµε την συνάρτηση µεταβάσεων δ : Q Α Q, από το δ (( p, P),( a, k, s)) = ( δ ( p,( a, s[ x 0])), p ), 23

όπου (p, P) Q, (α, k, s) Α, s[x 0] είναι η απεικόνιση s {0,1} επεκτεταµένη στο { x} από x 0, και. P = δ (,(, [ 0]))/ } { q a s x q P αν k { δ ( q,( a, s[ x 0]))/ q P} δ ( p,( a, s[ x 1]))} αν k= Αποµένει να δείξουµε ότι το Ã αναγνωρίζει την L. Με επαγωγή στο µήκος της λέξης (w, v, σ) ( Α ), αποδεικνύεται ότι δ ( q,( w, v, σ )) = ( δ ( q,( w, σ [ x ])), P ), 0 0 όπου P = { δ ( q0,( w, σ[ x i])) /1 i w, v( i) = }. Επίσης, 1 i w, έχουµε (w,σ[x i]) L ανν δ ( q0,( w, σ[ x i])) F. Προκύπτει, έτσι, ότι (w, v, σ) L ανν όποτε v(i)=, τότε δ ( q0,( w, σ[ x i])) F, και αυτό ισχύει ανν P F, δηλαδή (w, v, σ) είναι αναγνωρίσισµη από το Ã. Ως εκ τούτου, το Ã αναγνωρίζει την L, το οποίο συνεπάγεται τον ισχυρισµό µας. Εποµένως, υπάρχει ένα προσδιοριστό αυτόµατο Ã, πάνω στο αλφάβητοα, που αναγνωρίζει την L. Τώρα παίρνουµε ένα αυτόµατο µε βάρη A, µε το ίδιο σύνολο καταστάσεων προσθέτοντας βάρη στις µεταβάσεις του Ã ως εξής: αν (p, (α,, s), q) είναι µια µετάβαση στο Ã µε (α,, s) Α, θέτουµε αυτή η µετάβαση στο A να έχει βάρος k, δηλαδή µ ( a,, s), = k. Όλες οι τριάδες που δεν είναι A p q µεταβάσεις στο Ã παίρνουν βάρος 0. Επίσης, η αρχική κατάσταση του Ã παίρνει αρχικό βάρος 1 στο A, όλες οι µη αρχικές καταστάσεις του Ã παίρνουν αρχικό βάρος 0, και οµοίως ορίζουµε τα τελικά βάρη για τις τελικές καταστάσεις. Προφανώς, αφού Ã είναι προσδιοριστό και αναγνωρίζει την L, το βάρος της (w, v, σ) L στο A είναι k 1 v ( ) 1 n και το βάρος της (w, v, σ) Α \ L στο A είναι 0. Τώρα, έστω h: ( ) Α Α, είναι η προβολή που απεικονίζει το (w, v, σ) στο (w, σ). Τότε (w, σ) Α και το µοναδικό v, έτσι ώστε (w, v, σ) L, έχουµε 1 v ( ). p 1 n h( A )( w, σ ) = A ( w, p, σ ) = A ( w, v, σ ) = k Ακόµη, ισχύει 1 v ( ), όπου η x. ϕ ( w, σ ) = ϕ ( w, σ[ x i]) = k 1 i w 1 n τελευταία ισότητα ισχύει λόγω του τύπου της φ. Συνεπώς, xϕ. = h( A ), που είναι αναγνωρίσιµη από το Λήµµα 2. 24

Τέλος, υποθέτουµε ότι x W, έτσι ώστε = W. Έστω, ϕ = ϕ ( x x). Οπότε η ϕ είναι αναγνωρίσιµη, από το Λήµµα 11, και προφανώς, ϕ ϕ Εποµένως, x. ϕ x. ϕ παραπάνω. =. { x} { x} =, η οποία είναι αναγνωρίσιµη, από όσα δείξαµε Το επόµενο θεώρηµα, που αφορά στην αναγνωρισιµότητα των σειρών, είναι άµεση συνέπεια των Ληµµάτων 10-13. ΘΕΩΡΗΜΑ 14 Έστω Κ αντιµεταθετικός ηµιδακτύλιος, Α αλφάβητο και φ RMSO(K, A). rec Τότε η σηµασιολογία ϕ Κ Α ϕ του φ είναι αναγνωρίσιµη σειρά. Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε προβλήµατα αποφασισιµότητας. 4.2 Προβλήµατα αποφασισιµότητας ΠΡΟΤΑΣΗ 15 Έστω φ MSO(Q, A), όπου Q είναι το σύνολο των ρητών αριθµών. Είναι αποφασίσιµο αν ο φ είναι περιορισµένος και στην περίπτωση αυτή µπορεί κάποιος αποτελεσµατικά να κατασκευάσει ένα αυτόµατο µε βάρη A ϕ για την ϕ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Μπορούµε να υποθέσουµε ότι ο φ δεν περιέχει καθολικούς ποσοδείκτες. Προχωρούµε µε επαγωγή στην δοµή του φ. Σηµειώνουµε ότι η Πρόταση 5 και τα Λήµµατα 1, 2 και 10-12 είναι αποτελεσµατικά, εννοώντας ότι αν τα αυτόµατα µε βάρη δίνονται «αποτελεσµατικά», τότε µπορούν και να υπολογιστούν «αποτελεσµατικά». Έτσι, η µόνη δύσκολη περίπτωση στην επαγωγή είναι ο τύπος xϕ.. Πρέπει, λοιπόν, να δείξουµε ότι αν Κ=Q, τότε το Λήµµα 13 είναι επίσης αποτελεσµατικό. 25

Έστω = Free( ϕ). Ξεκινάµε µε ένα αυτόµατο µε βάρη για τον φ. Οπότε, πρέπει πρώτα να αποφασίσουµε αν η ϕ είναι µια αναγνωρίσιµη βηµατική συνάρτηση. Μπορούµε να υπολογίσουµε µια µειωµένη αναπαράσταση (Q, λ, µ,γ) για ϕ. Από προηγούµενο επιχείρηµα, η το ([2]) ( ) Im( ϕ ) είναι πεπερασµένη ανν το µ Α είναι πεπερασµένο και από ένα αποτέλεσµα του Jacob, η τελευταία ιδιότητα είναι αποφασίσιµη. Στην πραγµατικότητα, η ϕ είναι µια αναγνωρίσιµη βηµατική συνάρτηση, αν και µόνο αν η Im( ϕ ) είναι πεπερασµένη. Η συνθήκη είναι προφανώς αναγκαία. Αντίστροφα, έστω υπολογίζουµε τα Im( ϕ ), η γλώσσα ϕ Im( ϕ ), και ως εκ τούτου, µ ( Α ) και µ Α είναι πεπερασµένο. Τότε ( ) Im( ϕ ) ={λ Γ γ / Γ µ ( Α ) }. Έτσι, για κάθε k 1 ϕ ( k) : = { w Α / (, w) = k} είναι κορεσµένη από τον µ, αφού αν u ϕ 1 ( k), v Α και µ(u)=µ(v), τότε ( ϕ, v) = λ µ ( v) γ = λ µ ( u) γ = ( ϕ, u) = k, έτσι v ϕ 1 ( k). Συνεπώς, ϕ και κάθε γλώσσα ϕ 1 ( k) = k 1 ϕ ϕ 1 k Im( ) ( k ) είναι αναγνωρίσιµη από το µορφισµό µ. Εποµένως, η ϕ είναι µια αναγνωρίσιµη βηµατική συνάρτηση. Τέλος, πρέπει να δείξουµε ότι ένα αυτόµατο µε βάρη για την xϕ. µπορεί να υπολογιστεί αποτελεσµατικά. Σηµειώνουµε ότι από τον µ, µπορεί κανείς να κατασκευάσει, αποτελεσµατικά, προσδιοριστά αυτόµατα για τις γλώσσες ϕ 1 ( k) και τότε και ένα προσδιοριστό αυτόµατο Ã για τη γλώσσα L που εισάγαµε στην απόδειξη του Λήµµατος 13. Οπότε, ακολουθώντας την απόδειξη του Λήµµατος 13, µπορούµε να υπολογίσουµε αποτελεσµατικά ένα αυτόµατο µε βάρη για την xϕ.. 26

ΠΟΡΙΣΜΑ 16 Έστω φ,ψ RMSO(Q, A). Τότε είναι αποφασίσιµο αν ϕ = ψ. Είναι, επίσης, αποφασίσιµο αν η ϕ και η ψ διαφέρουν µόνο για πεπερασµένου πλήθους λέξεις. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Από την Πρόταση 15, οι σειρές ϕ και ψ, καθώς και η ϕ - ψ = = ϕ +(-1) ψ είναι αποτελεσµατικά αναγνωρίσιµες. Από [2, Πρ. I1.1, I1.2] είναι αποφασίσιµο πότε τέτοιες σειρές είναι ίσες µε 0, ή πότε το support τους είναι πεπερασµένο. Θα πρέπει να σηµειώσουµε, ότι στα δύο προηγούµενα αποτελέσµατα µπορούµε να αντικαταστήσουµε το Q µε οποιοδήποτε υπολογίσιµο σύνολο. 27

Κεφάλαιο 5 Από την αναγνωρισιµότητα στην ορισιµότητα Σε αυτό το κεφάλαιο, όπως και στα προηγούµενα, ο Κ θα είναι ένας ηµιδακτύλιος και το Α ένα αλφάβητο. Θέλουµε να δείξουµε ότι αν ο Κ είναι αντιµεταθετικός, τότε όλες οι αναγνωρίσιµες σειρές είναι REMSO-ορίσιµες. Για το σκοπό αυτό, η έννοια του σαφούς MSO-τύπου θα είναι χρήσιµη. Για τους τύπους αυτούς, η σηµασιολογία της άλγεβρας Boole συµπίπτει µε τη σηµασιολογία της λογικής µε βάρη. 5.1 Σαφείς MSO(Κ, Α)-τύποι και προτάσεις 5.1.1 Ορισµός των σαφών τύπων Ορισµός 17. Η κλάση των σαφών τύπων στην MSO(K, A) ορίζεται επαγωγικά ως εξής: Όλοι οι ατοµικοί τύποι της µορφής Pa ( x ), x τους είναι σαφείς. y, ή x X, και οι αρνήσεις Αν οι φ, ψ είναι σαφείς, τότε και οι ϕ ψ, xϕ., Xϕ., είναι επίσης σαφείς. Αν οι φ, ψ είναι σαφείς και το Supp ϕ Supp ψ είναι σαφής. ( ) ( ) =, τότε ο ϕ ψ Έστω ο φ σαφής και = Free( ϕ). Αν για κάθε (w, σ) Α υπάρχει το πολύ ένα στοιχείο i {1,..., w } xϕ. είναι σαφής. τέτοιο ώστε { } (, [ ]) 0 ϕ wσ x i, τότε ο x 28

Έστω ο φ σαφής και = Free( ϕ). Αν για κάθε (w, σ) Α υπάρχει το πολύ ένα υποσύνολο {1,..., w } Xϕ. είναι σαφής. Ι τέτοιο ώστε { } (, [ ]) 0 ϕ wσ X I, τότε ο X Είναι καλό να επισηµάνουµε, ότι όπως και για τις σαφείς ρητές εκφράσεις, αυτός δεν είναι ένας καθαρά συντακτικός ορισµός, καθώς υπάρχουν κάποιοι περιορισµοί για τη σηµασιολογία των τύπων. Αυτό, όµως, δεν είναι τόσο σηµαντικό, καθώς θα δείξουµε ότι κάθε MSO-τύπος µπορεί να µετατραπεί αποτελεσµατικά σε έναν σαφή, ο οποίος είναι ισοδύναµός του ως προς τη σηµασιολογία για την άλγεβρα Boole. ΠΡΟΤΑΣΗ 18 Έστω ο φ MSO(K, A) είναι σαφής. Μπορούµε επίσης να θεωρούµε τον φ σαν έναν κλασικό MSO-τύπο, ορίζοντας τη γλώσσα είναι µια αναγνωρίσιµη βηµατική συνάρτηση. ϕ Α ϕ. Τότε, η ϕ = 1 L ( ϕ ) L( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω (w,σ) Α ϕ. Αν (w, σ) N ϕ, τότε ϕ ( w, σ ) = 0 και (w,σ) L( ϕ ). Υποθέτουµε ότι (w,σ) N ϕ. είχνουµε µε επαγωγή στη δοµή του φ ότι ϕ ( w, σ ) είναι 1 αν (w,σ) φ και 0 διαφορετικά. Αυτό είναι προφανές για τους ατοµικούς τύπους και τις αρνήσεις τους. Είναι επίσης φανερό ότι ισχύει, από επαγωγή για τη σύζευξη και τους τύπους µε καθολικούς ποσοδείκτες. Χρησιµοποιώντας τη σαφήνεια των τύπων, παίρνουµε επίσης τα αποτελέσµατα για τη διάζευξη και τους τύπους µε υπαρξιακούς ποσοδείκτες. Για το λόγο αυτό, ϕ = 1 L ( ϕ ) και καθώς η L( ϕ ) είναι µια αναγνωρίσιµη γλώσσα στο βηµατική συνάρτηση. Α ϕ, συµπεραίνουµε ότι η ϕ είναι µια αναγνωρίσιµη Στη συνέχεια, παραθέτοντας το παρακάτω λήµµα, δείχνουµε αντίστοιχα ότι οι κλασικοί MSO-τύποι µπορούν να µετατραπούν σε ισοδύναµους σαφείς τύπους. 29

5.1.2 Ισοδυναµία των κλασικών και των σαφών MSO-τύπων Λήµµα 19 Για κάθε κλασικό MSO-τύπο φ που δεν περιέχει ποσοδείκτες σε µεταβλητές δεύετερης τάξης, αλλά πιθανώς περιλαµβάνει ατοµικούς τύπους της µορφής (x X), µπορούµε αποτελεσµατικά να κατασκευάσουµε δύο σαφείς MSO(K,A)-τύπους ϕ + και ϕ τέτοιους ώστε έχουµε + ϕ ( w, σ ) = 1 (w, σ) φ ϕ ( w, σ ) = 1 (w, σ) /φ. ϕ + =1 L ( ϕ και ) ϕ = 1 L ( ϕ, δηλαδή για κάθε (w, σ) N ) ϕ ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Μπορούµε να υποθέσουµε ότι οι αρνήσεις στο φ εφαρµόζονται µόνο σε ατοµικούς τύπους, χρησιµοποιώντας σύζευξη και καθολικούς ποσοδείκτες στη σύνταξή µας. Τώρα, προχωράµε µε επαγωγή και δίνουµε µόνο τους αντίστοιχους τύπους ϕ + και ϕ. Αν ο φ είναι ατοµικός ή άρνηση ενός ατοµικού τύπου, θέτουµε ϕ + =ϕ και ϕ = ϕ, µε τη σύµβαση ότι ψ = ψ. + + + ( ϕ ψ ) = ϕ ( ϕ ψ ) και ( ϕ ψ ) + ( ϕ ψ ) = ϕ ( ϕ ψ ) και ( ϕ ψ ) = ϕ ψ = ϕ ψ + + + + + ( x. ϕ) = x.( ϕ ( x) y(( x y) ( ( x y) ϕ ( y))) και ( x. ϕ) = x. ϕ + ( x. ϕ) = x.( ϕ ( x) y.(( x y) ( ( x y) ϕ ( y))) και + + ( x. ϕ) = x. ϕ. MSO-λογικής. Το ίδιο ακριβώς συµπέρασµα µπορούµε να εξάγουµε και τις προτάσεις φ της 30

5.1.3 Ισοδυναµία των κλασικών και των σαφών MSO-προτάσεων ΠΡΟΤΑΣΗ 20 Για κάθε κλασική MSO-πρόταση φ, µπορούµε να κατασκευάσουµε αποτελεσµατικά µια σαφή MSO(Κ, Α)-πρόταση ψ, ορίζοντας την ίδια γλώσσα. ηλαδή, ψ = 1 L ( ϕ ). ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Το συµπλήρωµα L( ϕ ) της L( ϕ ) µπορεί να οριστεί στην υπαρξιακή MSOλογική και ως εκ τούτου, η L( ϕ ) ορίζεται στην καθολική MSO-λογική. ηλαδή, L( ϕ ) = L( p) για κάποιους MSO-τύπους p της µορφής p= X,...,. 1 X ζ, τέτοιους ώστε ο ζ να µην περιέχει ποσοδείκτες σε µεταβλητές δεύτερης τάξης. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα 19 θέτουµε ψ= X,...,. 1 X ζ. Θα δείξουµε στη συνέχεια το ζητούµενο του κεφαλαίου αυτού, δηλαδή ότι οι αναγνωρίσιµες σειρές είναι ορίσιµες. Πρώτα, για k Κ, ορίζουµε (( x X ) k) : = ( x X ) (( x X ) k). Εποµένως, για κάθε λέξη w και κάθε έγκυρη ανάθεση σ, έχουµε [(( x X ) k)] ( wσ, ) k αν σ ={ ( x ) s ( X ) 1 διαϕορετικά Έτσι, η [(( x X ) k)] είναι µια αναγνωρίσιµη βηµατική συνάρτηση και παίρνουµε [.(( ) )] (, σ ) ( x) x x X k w = k σ. Θέτουµε Στο σηµείο αυτό, είναι χρήσιµο να αναφέρουµε µερικές συντοµογραφίες. min( y) : = x. y x, max( z) : = x. x z και ( y= x+ 1) : = ( x y) ( y x) z.( z x y z). Αν X,..., 1 X n είναι σύνολο µεταβλητών, θέτουµε. partition ( X1,..., X m) : = x. (( x X i ( x X ) i= 1,..., m i n n 31

5.2 Οι αναγνωρίσιµες σειρές είναι και ορίσιµες ΘΕΩΡΗΜΑ 21 Έστω ο Κ είναι ένας αντιµεταθετικός ηµιδακτύλιος. Τότε rec K A remso K A. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω A= ( Q, λ, µ, γ ) είναι ένα αυτόµατο µε βάρη πάνω στο Α. Για κάθε τριάδα, ( p, α, q) Q Α Q επιλέγουµε µια µεταβλητή δεύτερης τάξης X p, α, q και θέτουµε = { X p, α, q / p, q Q, α Α }. Έστω Χ= ( Χ1,..., Χ m) είναι µια απαρίθµηση 2 του όπου m= Q Α. Ορίζουµε τον σαφή τύπο ψ ( Χ ) : = partition( Χ) x.(( x X ) P ( x)) + + p, α, q α p, α, q + p, α, q q, b, r. p, q, r Q, α, b Α x y.(( y= x+ 1) ( x X ) ( y X )) Ας είναι... + w= α1 αn Α. Θα δείξουµε ότι υπάρχει µια συσχέτιση µεταξύ του συνόλου των µονοπατιών στο A, πάνω στην w, και του συνόλου των (,w)- αναθέσεων σ, που ικανοποιούν τον ψ. ηλαδή, ψ ( w, σ ) = 1. Θεωρούµε µονοπάτι a1 a n P q0 q1 q n = (... ) του A, πάνω στην w. Ορίζουµε την (,w)-ανάθεση σ p, από ( X ) = { i / ( q, a, q ) = ( p, a, q)}. Προφανώς, τότε θα έχουµε ψ ( w, σ ) = 1. το σ p p, a, q i 1 i i Αντίστροφα, έστω σ είναι µια (,w)-ανάθεση τέτοια ώστε ψ ( w, σ ) = 1. Λόγω της διαµέρισης Χ, x {1,..., n} υπάρχουν µοναδικά ορισµένα p, q Q και α Α τέτοια ώστε x σ ( X p, a, q ) και αν y= x+ 1 n, τότε y σ ( X q, b, r ), για κάποια µοναδικά ορισµένα b A και r Q. Συνεπώς, θα έχουµε ένα µοναδικό µονοπάτι a1 a n P q0 q1 q n = (... ) για την w τέτοιο ώστε σ p = σ. Θεωρούµε, τώρα, τον τύπο p 32

ϕ( Χ ) : = ψ ( x) x.(( x Χ ) µ ( a) ) p, a, q p, a, q p, a, q p, q y.(min( y) ( y Χ ) λ ) p, a, q p, a, q p. p, a, q z.(max( z) ( z Χ ) γ ) p Έστω a1 a n P q0 q1 q n = (... ) είναι ένα µονοπάτι στο A, πάνω στην w, και έστω σ p είναι η σχετική (,w)-ανάθεση. Έχουµε, p,, w a σ Χ, ( p a q ) p = p q q 0 q n = λ q µ α 0 1 q0, q µ α 1 n q 1, q γ q p, a, q ϕ (, σ ) ( µ ( ) ) λ γ ( )... ( ) n n n, που είναι το βάρος του P στο A. Έστω ξ = Χ1... Χm. ϕ( Χ1... Χ m). Χρησιµοποιώντας την + παραπάνω συσχέτιση, παίρνουµε για w Α, σ (, w) ανάθεση ξ ( w) = ϕ ( w, σ ) =. = ϕ ( w, σ ) = weight( p) = ( A, w) p Pµονοπάτιστο Aγια w Pµονοπάτιστο Aγια w Σηµειώνουµε ότι ξ ( ε ) = 0, λόγω του υποτύπου που ξεκινάει µε y στο φ. Οπότε, αποµένει να ασχοληθούµε µε την περίπτωση w=ε. Έχουµε ( A, ε ) = λ γ. Έστω ζ = ( λ γ ) x. ( x x). Για w + Α έχουµε ζ ( w) = x. ( x x) ( w) = 0. Επίσης, x. ( x x) ( ε ) = 1, καθώς ένα κενό γινόµενο είναι ίσο µε 1, από σύµβαση. Εποµένως, προκύπτει ζ ( ε ) λ γ remso = και τέλος A = ζ ξ K Α. Στη συνέχεια, µπορούµε να δούµε ότι το Θεώρηµα 9 είναι άµεση απόρροια των Θεωρηµάτων 14 και 21. Παρατηρούµε ότι µέσω της απόδειξης του Θεωρήµατος 21, έχοντας ένα αυτόµατο µε βάρη A, λαµβάνουµε αποταλεσµατικά µια REMSO(Κ, Α)-πρόταση φ µε ϕ = A. Χρησιµοποιώντας αυτό, από τη θεωρία των τυπικών δυναµοσειρών [28,20,2] παίρνουµε άµεσα, µη αποφασίσιµα αποτελέσµατα για τη σηµασιολογία των MSO-προτάσεων µε βάρη. Για παράδειγµα, είναι µη αποφασίσιµο αν µια δοσµένη REMSO-πρόταση φ πάνω στο Q, το σύνολο των ρητών αριθµών, και ένα αλφάβητο Α ικανοποιούν το Supp( ϕ ) =Α. Επίσης, από ένα αποτέλασµα του Krob [19], προκύπτει ότι η ισότητα δοσµένων αναγνωρίσιµων σειρών πάνω στον τροπικό 33