ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL F R <.. INTEGRALA DEFINITA (RIEMANN Dfţ.. S umşt dvzu trvlulu [] ş s otzâ cu o mulţm ftă d umr rl... stfl îcât < <... <. Dfţ.. F ş două dvzu l trvlulu []. S su că dvzu st m uţ fă dcât dvzu ş s otză dcă orc lmt l dvzu st lmt l lu F o fucţ f :[ ] R s o dvzu ( < <... < trvlulu [ ] ş u sstm d uct trmdr [ ] Dfţ.. Numărul rl ott σ ( f ζ f ( ζ ( ξ tru orc. s umşt sum Rm soctă fucţ f dvzu ş sstmulu d uct trmdr ξ. Dfţ.. fucţ f :[ ] R s umşt tgrlă Rm dc stă I R cu următor rortt: δ > stfl îcăt tru orc dvzu orcr r f > stă ( cu orm < δ ( [ ] ( < <... < ş tru orc lgr uu sstm d uct trmdr ξ vm σ ( f ξ I <.Vom ot f ( d I Torm.. F f :[ ] R o fucţ. Următorl frmţ sut chvlt: f st tgrlă Rm stă I R cu rortt că tru orc şr d dwzu ( l trvlulu [ ] cu > ş tru orc şr d sstm d uct tr- mdr ( ξ k rzultă că şrul sumlor Rm ( σ ( f ξ covrgt l I. Notăm lm σ ( f ζ I. st
Dmostrţ. >. Prsuum că f st tgrlă ş f I f ( d. Atuc tru orc > stă δ ( > stfl îcât σ ( f ξ I < orcr r f dvzu cu < δ ( > stă ( N stfl îcât < δ ( ξ. Dorc ( ş sstmul d uct trmdr. D c tru orc ( vm σ ( f ξ I < ( f I lmσ ξ dc >. Prsuum r surd că f u st tgrlă Rm. Acst îsmă că stă >.. orcr r f η > stă o dvzu cu < η ş u sstm d uct trmdr ( Acum luăm σ f ξ I > ξ stfl îcât ( η ş oţm u şr d dvzu ( d sstm d uct trmdr soct ( ζ stfl îcât cu < ş u şr σ ( f ζ I >. Acst st o cotrdcţ îtrucât lm lmσ ( f ζ I. Î cocluz f st tgrlă Rm ş f ( d I. Osrvt. F f : [] > R o fucţ tgrlă Rm. Atuc k lm f f d k (. Cosdrăm o fucţ mărgtă f : [ ] > R. F ( < <... < dvzu trvlulu []. Notăm m f f ( M su f (. Sum s ( f m ( [ ] [ ] o umm sum Drou froră soctă fucţ f ş dvzu. Î mod log rs S f M ( st umtă sum Drou suroră soctă fucţ f ş dvzu. ( ş
Proozţ.. F f : [ ] > R o fucţ mărgtă. Atuc: tru orc dvzu trvlulu [ ] ş tru orc sstm d uct trmdr ( ξ vm ( f σ ( f ξ S ( f s dcă ' st m fă dcăt ' tuc s ( f s' ( f S ' ( f S ( f c tru orc dvzu l trvlulu [] vm s f S ( ( f Cocluzom: r trcr d l o dvzu l lt m fă suml Drou fror crsc r suml Drou suror dscrsc. D sm orc sumă Drou froră st m mcă dcăt orc sumă Drou suroră. Dfţ.5. Numărul rl ott cu I( f su s ( f s umşt tgrl Drou froră fucţ f r umărul rl I( f f S ( f s umşt tgrl Drou suroră fucţ f. Aşdr tru orc dvzu trvlulu [ ] vm gltăţl s ( f I( f I( f S ( f Dfţ.6. F f : [ ] > R o fucţ mărgtă. Fucţ f s umşt tgrlă Drou dcă tru orc > stă η ( > stfl îcât S (f - s (f < orcr r f dvzu trvlulu [] cu < η(. Torm.. F f : [] > R o fucţ mărgtă. Atuc f st tgrlă Drou dcă ş um dcă f st tgrlă Rm. Artm cotur c fuctl cotu s cl mooto u trvl rl chs s mrgt sut fuct tgrl. Torm.. Orc fucţ mootoă f : [] R st tgrlă. Dmostrţ. Dcă f st costtă f( c [ ] tuc S ( f s ( f dc f st tgrlă. Prsuum cum că f st crscător dc f( < f(. F >. Notăm η ( f ( f ( F o dvzu trvlulu [ ] cu < η(. Dorc f st crscător vm m f f ( f ( [ ] M su f ( f ( [ ] Atuc ( M m ( S ( f s ( f
[ f ( f ( ]( [ f ( f ( ] f ( f ( ( f ( f ( < ( f ( f ( dc f st tgrlă. Torm.. Orc fucţ cotuă f:[] R st tgrlă. Dmostrţ. Fucţ f st uform cotuă fd cotuă comct. F >. Atuc stă η ( > stfl îcât f ( f ( y < y [ ] cu y η. F o dvzu trvlulu [] cu cotuă stă u v stfl îcât Avm < ( < η( [ ] f ( u f f ( f ( v su f ( [ ] [ ]. Cum f st u v < η( dc f ( u f ( v < Acum ( f ( v f ( u ( < S ( f s ( f ( ( < Pr urmr f st tgrlă. Proozţ.. Orc fucţ tgrlă f : [ ] R st mărgmtă. Dfţ.7. F fucţ f : I R R ( I trvl. Sum că f dmt rmtv I dcă stă o fucţ F : I R stfl îcât F st drvlă I s F '( f ( ( I. Fucţ F s umşt rmtvă fucţ f. S rt cu usurt c orcr dou rmtv l u fuct f f : I R costt dc stă C R stfl îcât F ( F ( C. Rmtm d sm c o fucţ cotuă I dmt rmtv I. dfr rtr-o
Dfţ.8.Dcă dmt rmtv tuc mulţm rmtvlor lu f s umşt tgrl dftă fucţ f ş s otză r f ( d F( C. f : I R. d C N R ; ;. d C R { } (. d l C I R. d C > R ; l 5. d C R ; ; Tl d rmtv > ; 6. d l C I R { } 7. d rctg C R ; 8. d l C R 9. d l C I ( ( >. d rcs C (. s d cos C R ;. cos d s C R ;. d tg C R ( k cos π k Z. d ctg C R { k / k Z} s π ; π tg k Z ; ctg d l s C R kπ k Z ; 5. d l cos C R ( k 6. { } ; U f ( d. Scrm Rmtm m jos mtod d tgrr r ărţ s rm mtodă d schmr d vrlă. Torm.5. (mtod d tgrr r ărţ. Dcă f g : I R sut fucţ drvl cu drvt cotu tuc f '( g( d f ( g( f ( g' ( d
Torm.6. (rm mtodă d schmr d vrlă.f ϕ : I J f : J R fucţ cu rortăţl : ϕ drvlă I ; f dmt rmtv J ( f F o rmtvă s. Atuc ( f o ϕ ϕ ' dmt rmtv I ş f ( ϕ ( ϕ '( d F( ϕ ( C. Eml. d ( tg ' d tg tg d tg l cos C cos 8 d I J R trvl ş. d dt t C 8 t. Pum t d dt rcs C rcs Dtr tgrll rductl l tgrl rtol rztm susttutl lu Eulr s susttutl lu Csv. Sustţuţl lu Eulr Itgrll d tul R c d s rduc l tgrl rtol r susttutl: Dc > tuc c t Dc c > tuc c t c Dc c > tuc c t ( ud st o rădăcă cuţ c. Emlu. I d. Sutm rmul cz dc f t t d t d d t t t l t ( t t ( t Susttutl lu Csv (tgrl om Itgrll d tul m ( d C ud dt. Ilocud vom ot: l C ; R s m Q s rduc l tgrl m m rtol urmtorl tr czur: Z Z su Z. s Dc Z s fc susttut t ud s st cl m mc multlu comu l umtorlor lu m s. m I czul cr s Z s utlzz schmr z ud s st umtorul lu. m s I sfrst dc Z tuc s fc susttut z ud s st umtorul lu.
Emlu. S s clculz rmtv F d m Avm m dc Z s dc sutm czul. Fcm susttut t.atuc t d t dt d ud otm 5 7 9 t t ( t dt 5 7 t F t t dt t dt t 9 S locust fl t.. EXTINDEREA INTEGRALELOR. INTEGRALE IMPROPRII I dft tgrl Rm m rsuus c lmtl d tgrr sut ft r fuct st mrgt. S rsuum cum c cl ut u d cst codt u st mlt. Astfl d tgrl sut cuoscut su uml d tgrl grlzt su tgrl mror. Dft.. F ( f [ : R. Itgrl cu lmt ft f tgrl orc trvl [] cu <. Dc: lm f d st s st ft sum c f d st covrgt s vom ot: ( d f ( f lm d. O tgrl cr u st covrgt sum c st dvrgt su c u r ss. Dc urmtorl lmt st s sut ft f d s lm f d tuc f ( ( tgrll d s f d s umsc covrgt s r dft: f ( d lm f ( d s ( d lm f ( ( f d. Dc tgrll u sut covrgt l sut dvrgt. lm ( (
Eml. S s studz tur tgrl: d > >. Rzolvr. Fuct f ( st tgrl orc trvl [] cu <. Dc tuc: d rzult c: dc < d lm dc > Ptru d lm lm( l lm l. d Dc d Fuct ( st covrgt tru orc > s st dvrgt tru <. f st tgrl orc trvl [-]<(- s d rctg rctg rctg(. Atuc otm: d π π lm lm ( rctg rctg( π d Rzult c st covrgt. Crtrul comrt. F f g :[ R cu <. Dc: tgrl orc orc trvl [] f g s g d st covrgt tuc s f d st covrgt. f g s f d st dvrgt tuc s g d st dvrgt.
Crtru d covrgt. F f :[ R o fucţ locl tgrlă stfl îcât stă ş st ftă ş ulă lmt l lmt f ( t. Atuc tgrl t f ( t dt st covrgtă dcă > s dvrgtă dcă. Crtru d covrgt.f fg :[ R două fucţ cu următorl rortăţ: f st dscrscător ş lm f ( t. t g st cotuă ş r o rmtvă mărgtă. Atuc tgrl f ( t g( t dt st covrgtă. Torm.. (Cuchy McLur. F fucţ f :[ R dscrscător. Atuc următorl frmţ sut chvlt: tgrl f ( t dt st covrgtă. sr umrcă f ( st covrgtă. k Erct. Să s studz covrgţ următorlor tgrl mror: d d rctg l c (l d d d f d g d h ( d d s d.. Itgrl l fuctlor mrgt Dft.. F f o fuct rl tgrl orc trvl [-] cu > < lm ( ( mrgt s f(<. Dc f d st s st ft tuc f d s su c st covrgt s r dft f d lm f d. ( ( I cz cotrr tgrl str dvrgt su fr ss. Emlu. S s studz covrgt tgrllor: d d. lm lm l( lm l dc tgrl st dvrgt. d d. lm lm( dc tgrl st covrgt.
dt. Itgrll t ( ş ( t dt sut covrgt dcă ş um dcă <. Ptru ( dt vm. ( ( t t ( ( dt Ao lm ( t ( > Ptru dou tgrlă dt Atuc lm ( ( < dcă ş um dcă <. dt ( ( t t ( ( dcă ş um dcă <. d.. Fuct d su tgrl r lmt ft cd. Atuc: d d d lm. lm ( 9. Dm cotur fr dmostrt u crtru d covrgt cuoscut su uml d Crtrul comrt. F f g : [ R tgrl orc [ ] [. Dc: f g s g d st covrgt tuc s f d st covrgt. f g s f d st dvrgt tuc s g d st dvrgt. Erct. Să s studz covrgţ următorlor tgrl mror: d s l d c ( l ( d d d β ( π / d tgd j / f d (l d cos cos g d / (l d k ( d h ( d l. l
.. Itgrll lu Eulr Dft.. S umst tgrl gm su fuct gm tgrl grlzt d form: ( d ud > Torm.. Itgrl gm st covrgt tru orc >. Dmostrt. Itr-dvr s ot dscomu tr-o sum d dou tgrl: s f s. d I d I d d d Dc << tuc I st tgrl grlzt dorc -< s. lm Dr ( ( ] s cum d d lm lm rzult z crtrulu comrt c I st covrgt. Ptru I tm sm c: K K!!! d ud! dc (!. D c dducm c (! s ( N. S cum utm lg stfl ct > rzult dc tm sm c d st covrgt tru > c:! d st covrgt s z crtrulu comrt s I st covrgt. I cocluz I I v f covrgt. Prortt l fuct (.. (. ( ( >. ( ( N! Dmostrt.. ( ( ( lm lm lm o d d. ( ( ( d d d lm lm (. d d lm
. S dmostrz r duct rlt l. Ptru (! vrfc. Prsuud c ( (! s dovdm c (!. Avm: ( ( (!! Rzult c ( (! ( N. Eml. S s clculz: 5. d ( 6 5!. 7 d Fcm susttut: t d ud d dt s t t Avm t I t dt (! Alt ctv rortt l fuct gm:. π 5. ( > ( > π 6. ( ( ( ( s π s rlt s Dft.. S umst tgrl t su fuct ttgrl grlzt d form: β ud > s > ( ( d S ot dmostr c s cst tgrl st covrgt tru orc > s >. Prortt l fuct β(. β β. ( (. β ( β ( dc >. β ( β ( dc >. ( ( ( β β ( ( dc > s > ( ( 5. β π 6. ( ( ( β ( Dmostrt.
. Cu schmr d vrl t s ot: β ( ( t t dt t ( t dt β ( β d. Itgrd r rt s ot ( ( ( β d. d ud ( ( Dorc ( ( ( ( ( d rzult c β ( ( d ( dc β ( β ( β ( d ud β ( β (.. Alog cu (.. Rzult d rorttl s stfl: ( ( ( ( β β β ( 5. β π ( G Eml. S s clculz: du ( ( 5 7 7. ( d u( u β ( 8 ud u d du u d Cu schmr d vrl. I l ( l I t β ( t dt ( 5 l u t tgrl dv: ( ( 5 ( 9!!! 8 ( ( 8 7! ( 9! 6. Să s clculz următorl tgrl mror rductl l tgrl ulr: d m d d c d d l d ( f d d g τ h 5 d (
5 d ( j d k d l d. Itgrl I d roltăţlor. Vom dmostr c.. Itgrl Eulr -Posso s umst tgrl Eulr-Posso s st ds utlzt î tor π d. Cosdrm gltt cuoscută R cu gltt um tru. Îlocud cu rsctv cu oţm < < d ud r rdcr l utr rzultă ( < < (. Itgrâd vm ( ( d d < d < d <. Cu schmr d vrlă vom ot rzultă ( d ( t d I. Vom fc o schmr d vrl cos t d ud π / d π / s (!! tdt (!! s ( tdt (!! [(!!] [(!! ] < I (. Î sfârşt uâd ctgt oţm (!! π d ud dducm glttl: < π Coform formul lu Wlls lm că I dc π π d. [(!! ] ( [(!! ] [(!!] [(!! ] ( π. rzultă r trcr l lmtă Osrvt. Itgrl Eulr-Posso d s ot clcul rducd-o l o tgrl gm cu schmr d vrl t π t d t dt. Astfl s ot: