CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

Transcript

1 Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I, ude I este u itervl Fucţi F : I se umeşte primitivă fucţiei f pe itervlul I, dcă F este derivilă pe I şi F = f, I Oservţi că F este o primitivă lui f pe I, tuci oricre r fi costt relă C, fucţi G : I defiită pri G = F + C, I, este de semee o primitivă lui f pe I Mi mult, orice ltă primitivă lui f pe I este de cestă formă Îtr-devăr, dcă G = F + C, tuci G = F = f, deci G este o primitivă lui f pe I Reciproc, fie G o ltă primitivă lui f pe I şi fie H = G F Petru orice I vem H = G F = f f = Fie cum I u puct iterior fit i Teorem lui Lgrge rezultă că petru orice I, eistă ξ î itervlul deschis de cpete şi stfel îcât: H H = H ξ = că otăm cu C = H(), tuci G() F() = C, I, deci G = F + C pe I efiiţi Fie f : I şi F : I o primitivă s Mulţime tuturor primitivelor fucţiei f pe I se oteză cu f d su f d şi se umeşte itegrl edefiită fucţiei f i Oservţi rezultă că f ( )d = F ( ) + C, I, ude cu C m ott mulţime tuturor fucţiilor costte pe I Oservţi Î cpitolul următor se v răt că orice fucţie cotiuă pe u itervl dmite primitive pe cest itervl Î cotiure remitim tloul primitivelor fucţiilor elemetre uzule

2 6 α+ α d= + C,, α α + d = l + C, (, ), d l ( ) = + C, (,) d=,, >,, e d= e + l C, si d= cos + C, cos d= si + C, d= tg+ C, cos \ ( k + ) π ; k d= ctg+ C, si \{ kπ; k } d= rctg+ C, + d= rcsi+ C, (,) sh d= ch + C, { } ch d= sh + C, d = l ( + + ) +C, + ( + + ) +C ( ) +C l,, d = l,,, > Propoziţi Fie f, g : I şi fie α, β orecre că f şi g u primitive pe I, tuci αf + βg dmite primitive pe I şi ( α f + β g)()d = α f()d + β g()d emostrţie Afirmţi rezultă di propriette de lieritte operţiei de derivre: αf+ βg = αf + βg Propoziţi Fie F : J o primitivă fucţiei f : J şi fie u : I J o fucţie derivilă pe I Atuci

3 Cp PRIMITIVE 7 [ ()] ()d [ ()] f u u = F u + C, I emostrţi rezultă imedit di regul de derivre fucţiilor compuse: F u () = F u () u () = f u () u (), I ( [ ]) [ ] [ ] Oservţi i Propoziţi rezultă că petru clculul primitivei f o uu se pote proced stfel: fucţiei Fcem schimre de vriilă t = u(), I Fucţi u este difereţiilă pe I şi vem dt = d() u = u ()d Î cotiure rezultă: f u() u ()d = f()d t t = F() t + = F u() + [ ] C [ ] C, I Precizăm că eglitte f [ u ()] u ()d = ft ()d t este o eglitte formlă Îtr-devăr, fucţi di memrul stâg este defiită pe J ir fucţi di memrul drept pe I, deci cele două fucţii u sut egle î sesul eglităţii fucţiilor Eemplul Să se clculeze d + că otăm t =, tuci d = dt şi vom ve: d d dt = rctg rctg = t = = + C, + t + + Î mod log se rtă că d = rcsi + C, (, ), > Propoziţi Fie u : I J o fucţie ijectivă de clsă C cu u'(), I şi f : J o fucţie cotiuă că G : J este o primitivă fucţiei f ( u ) : J tuci f [ u ()d ] = G [ u () ] + C, I emostrţie eorece [ ] = ( u ) [ ] u u(), I, rezultă u() u () =, I Aşdr vem: f [ u ()d ] = f[ u ()] ( u ) [ u ()] u ()d = f ( u ) [ u ()] u ()d

4 8 Cum G este o primitivă fucţiei f [ ] [ ] u u () u ()d = Gu () +C f u, di Propoziţi rezultă că Oservţi 4 i Propoziţi rezultă că petru clculul primitivei f u ()d, fcem schimre de vriilă t = u() şi cceptăm următorul clcul [ ] forml: [ ] =, u () t = Gu () +C C = [ ] d u ( t)dt, f u()d = f() t u ()d t t = G() t + = părţi Eemplul Să se clculeze Notăm t = tg, = rctg t, d = d t + t tg 4 d, (, ) 4 4 t t π π C tg d= dt = t + dt = t+ rctgt+ + t + t tg = tg + + C Următorul rezultt este cuoscut su umele de metod de itegrre pri = Propoziţi că f şi g sut de clsă C pe I, tuci f () g ()d = f()() g f ()()d g emostrţie Coform regulii de derivre produsului două fucţii, vem: fg = f g + fg Ţiâd sem de Propoziţi rezultă f () g ()d = f()() g d f ()()d g = f()() g f()()d g d d = d = rcsi d Eemplul Să se clculeze că otăm cu f ( ) = şi g =, tuci

5 Cp PRIMITIVE 9 f =, g = şi d d Aşdr d= rcsi + d= + rcsi + C, deci d= + rcsi + C Î mod semăător se rtă că + d= + + l ( + + ) + C, = + d, de rezultă că PRIMITIVELE FUNCŢIILOR RAŢIONALE Pri fucţie rţiolă se îţelege u rport de două poliome (fucţii P poliomile), dică o fucţie de form: R =, I ude P şi Q sut Q poliome şi Q, I că grdul lui P este mi mre su egl cu grdul lui Q, efectuăm împărţire şi oţiem: P P ( = C+ ), ude C este u poliom şi grd P < grdq Q Q P e l cursul de lgeră se ştie că rportul dmite următore descom- Q puere (uică) î frcţii simple: l A P Aj Aj jk j = + + K + + Q k j j= j ( j) ( j) B + C B + C B + C c + + c + + c j j j j jmj jmj K m j j= j j ( j j) ( j j) ude Aj i, j, Bji, Cji, j, c j sut umere rele, 4c <, j=, şi Q() = k = k m l l + + c + + c K K (escompuere î fctori ireductiili poliomului Q) Aşdr, petru clcul primitiv uei fucţii rţiole este suficiet să ştim să clculăm primitive de form j m j

6 vem ( ) k d, respectiv B + C d, k ( + + c) 4c<, k Clculul primului tip de primitivă este imedit Îtr-devăr, petru k ( ) ( ) k+ d k k C, ir = d= + k + d l = + C Petru l doile tip de primitivă procedăm stfel: B + C d B + = C d ( k ) 4 k + + c c c Folosid otţiile t = + şi = oţiem: 4 B + C B t B dt d= dt+ C k k + + c t + t + k Evidet vem: t dt = k ( k)( t + ) ( t + ) k, petru k l t +, petru k = Petru celltă primitivă stilim, î czul k >, o relţie de recureţă: dt + t t t Ik = = d k d k t = I k t k ( t + ) ( t + ) ( t + ) t că otăm cu f () t = t şi g () t =, tuci f () t = t şi k t + t gt () = d = t şi k k t + k ( t + ) t t dt = + Ik k k ( t + ) ( k )( t + ) ( k ) Î cotiure vem: t I = I + I k ( k )( t + ) ( k ) k k k su

7 Cp PRIMITIVE t k Ik = + k k I ( k )( t ) ( k () + ) dt t Î czul k = vem I = = rctg + C t + Eemplul Să se clculeze primitiv fucţiei: f = Este uşor de oservt că poliomul de l umitor re rădăci dulă = şi dmite descompuere 4 ( ) = + i teorem împărţirii rezultă: f = +, deci f d= + d ( ) ( + ) Fucţi de su semul itegrlă o descompuem î frcţii simple stfel: A B C+ E+ F = ( ) ( + ) că mplificăm mii memri i cestei eglităţi cu ( ) şi poi dăm lui vlore, rezultă B = Î cotiure, trecem î memrul stâg termeul, ducem l celşi umitor şi simplificăm cu Rezultă: = A C+ E+ F + + ( )( + + ) ( + ) Amplificâd ultim eglitte cu şi dâd poi lui vlore oţiem A = Trecem î memrul stâg termeul, ducem l celşi umitor şi simplificăm cu Rezultă: + + C + E + F = su ( + ) + + = C + + C+ E + +F

8 Se oţie stfel sistemul: C =, =, C + E =, + F =, cre dmite soluţi: C =, =, E =, F = Aşdr, vem: d d + d = + d + d + = + + d = l + + rctg + d+ = + + = l + + rctg + I + i () rezultă: d d I = = + rctg = Î fil vem: fd= + l rctg + C + ( ) R cos si d PRIMITIVE E FORMA: (, ) Puv (, ) Fie R( u, v) = o fucţie rţiolă de două vriile, ude (, ) Quv (, ) m ij i j i= j= m l i P uv = = u v şi Quv, uv sut două poliome de două vriile = ij k= j= j Presupuem că I ( π, π) este u itervl şi Q( si, cos ), I Petru clculul primitivei de form R( si, cos ) d fcem schimre de vriilă: t = tg, I Iversâd fucţi, oţiem = rctg t şi d = d t + t Pe de ltă prte vem: tg tg cos = şi si = + tg + tg

9 Cp PRIMITIVE Î urm cestei schimări de vriilă rezultă: t t R( cos, si ) d = R, dt = + t + t + t R ()d t t, ude R este o fucţie rţiolă î t Oservţi Itervlul I se pote îlocui cu orice lt itervl J pe cre fucţi tg este strict mootoă şi Q( si, cos ), J Eemplul Să se clculeze d, ( π, π ) + si Fcem schimre de vriilă t = tg şi oţiem: d = + si dt dt d t = t + + t = t + t+ = 8 + t t t + tg + = rctg = rctg +C Î cotiure, prezetăm trei czuri prticulre, î cre se pot fce lte schimări de vriile, ce coduc l clculul uor primitive de fucţii rţiole mi simple decât cele oţiute î urm schimării de vriilă tg = t R( cos, si ) R( cos, si ) = su R tg, ude R (respectiv R ) sut fucţii rţiole π π Presupuem î plus că I, şi Q ( cos, si ), I Î cest cz, se fce schimre de vriilă t = tg Iversâd fucţi, oţiem = rctg t şi d = d t + t e l trigoometrie se ştie că: tg cos = şi si = + tg + tg Aşdr, î urm cestei schimări de vriile oţiem:

10 4 t R cos, si d = R, d + t + t + t t, respectiv R ( tg ) d = R( t) dt + t Î mele czuri prolem s- redus l clculul uor primitive de fucţii rţiole î t π π Eemplul Să se clculeze d,, + sicos Petru îceput oservăm că: tg + d = d= d + sicos + tgcos tg + tg+ π π că fcem schimre de vriilă: = tg,,, oţiem: t + dt dt dt d = = = = + sicos t + t+ + t t + t+ 5 t t tg + = rctg = rctg +C ) R( ) R ( ) cos, si = cos, si cos, I, ude R este de semee, o fucţie rţiolă de două vriile Î cest cz fcem schimre de vriilă si = t Rezultă dt = cos d şi R ( cos, si ) cos d = R ( t, t ) d t = R ( t )dt cos Eemplul Să se clculeze d 4, kπ că fcem schimre si de vriilă: t = si, tuci dt = cos d şi oţiem: ( t ) dt cos cos cos d d = = = dt = si si t t t = + = + +C t t si si ) R( ) R ( ) cos,si = cos,si si

11 Cp PRIMITIVE 5 Î cest cz se recomdă schimre de vriilă cos = t Eemplul 4 Să se clculeze de vriilă cos = t oţiem: cos si d că fcem schimre 4 cos si d = cos si si d = t t d t = t t d t = 5 5 t t cos cos = = +C PRIMITIVE E FORMA + + d R c Petru îceput oservăm că pritr-o schimre de vriilă de form t = α + β se oţie o primitivă de form: (, ) + d, ( ) su (, ) t dt Îtr-devăr, dcă > şi = 4c <, tuci vem: R t, t dt c = + + = că fcem schimre de vriilă t = +, tuci = t,d= dt R, + + c d = R t, t dt + = 4 şi R t, t d t = ( + ) Celellte două forme se oţi î czurile >, >, respectiv <, > Petru primitivele de form ( + ) următorele schimări de vriile: t + = tu+ ; t R t, t d t se pote fce u di + = tu ; t + = u± t d Eemplul 4 Să se clculeze că fcem schimre de vriilă + = t, rezultă

12 6 d d = = dt ( ) t t + + Fcem cum o ouă schimre de vriilă: t + = u t Ridicâd l pătrt şi efectuâd clculele oţiem: u u + u + t =, dt = du şi t + = u u u Aşdr, vem: ( u + ) dt du = = t + t + u u + u u ( u ) + u u du du = l d + = u + u u = u u u u u u + du = = l u l u + +C ude u = t+ t + = u R t, t d t se pote fce u di Petru primitive de form următorele schimări de vriile: t = u( t ) ; t u( t ) t = t u, ir petru primitive de form (, ) R t t d t t = u + t ; t = tu± = + ;, t u( t) = ; +, m,,q Q 5 PRIMITIVE E FORMA: d m Acest tip de primitive este cuoscut su umele de itegrle iome Mtemticiul rus PL Ceâşev rătt că ceste primitive se pot clcul umi î următorele czuri: Czul : p că otăm cu r umitorul comu l umerelor m şi şi fcem schimre de vriilă = t r oţiem: p p ( + ) d = ( + ) m mr r r t t rt dt eorece mr şi r rezultă că fucţi de su semul itegrlă este rţiolă p

13 Cp PRIMITIVE 7 Eemplul 5 Să se clculeze d 4 ( + ) 4 d = + Aşdr vem: m = ; d, (, ) + 4 = şi p = 4 Cum r = 4 fcem schimre de vriilă = d 4 + t 4 şi oţiem: 4t dt t dt dt 4 d 4 4 t 9 = = = = t t t t t ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 4 4 = + = + + C Czul : ( t+ ) 9 ( t+ ) ( + ) ( + ) m +, p că otăm u =, >, tuci u =, d = u du şi m m+ p m p p d ( + ) d = ( + ) d = ( + ) u u u u u u u Î cotiure fcem schimre de vriilă umitorul lui p Rezultă u ( t r ) = şi m+ m+ p r rp r r d r u + = t, ude r este u u+ u = t t t dt = R t dt m + Cum şi rp, rezultă că fucţi de su semul itegrlei este rţiolă î t Eemplul 5 Să se clculeze d, (,) m Avem m =, =, deci + = Cum p =, vom fce schimre t de vriilă = t Rezultă = t, d = dt şi t

14 8 ( t ) t t d = dt = ( t ) dt = t = t ( ) ( t ) = + C m Czul : + m + + p ; ; p Se pote răt, ş cum s- procedt şi î czul, că dcă fcem schimre + r de vriilă t =,, ude r este umitorul lui p, prolem se reduce l clculul primitivei uei fucţii rţiole Eemplul 5 Să se clculeze d, > ( + ) m Avem m = ; = şi p = Evidet + + p = Fcem schimre de vriilă + = t, > şi oţiem =, t d = t ( t ) dt, d = t ( + ) t ( t ) t t dt= t + = dt = t = + C t t + Î îcheiere cestui cpitol, prezetăm o listă de primitive cre u se pot eprim pri fucţii elemetre e si cos sh Ei = d; Si = d ; Ci = d ; Sh i = d ; ch Ch i = d ; S = sid; ; C = cos d φ() = e d; d Li = l

15 Cp INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL INTEGRALA RIEMANN SUME ARBOUX CRITERIUL E INTEGRABILITATE ARBOUX efiiţi Se umeşte diviziue itervlului [, ] orice sumulţime,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } i = < < K< < < K< = Numărul i i m i i i = se umeşte orm diviziuii Spuem că diviziue ' este mi fiă decât diviziue şi otăm p dcă ' coţie pe lâgă puctele diviziuii şi lte pucte Î cotiure, petru orice fucţie f : [, ], mărgiită, otăm cu: m = if{ f ; [, ] }, M = sup{ f ; [, ] }, = if { ; [, ]}, M sup { f; [, ]} mi f i i i = i i Evidet u loc ieglităţile: m mi Mi M, i =, () Sum rou iferioră (superioră) se defieşte stfel: i= i( i i ) ( ) i= s = m, respectiv S = Mi i i i puct de vedere geometric, ceste sume reprezită riile evideţite î figură y y f s f S m i M i O = i i = O = i i = i () rezultă că petru orice diviziue vem:

16 m s S M () Lem că p, tuci s s ' S ' S emostrţie Fie : = < < K< < < K< = Presupuem că diviziue ' i i coţie pe lâgă puctele diviziuii, u sigur puct î plus şi ume, puctul c, situt ître i şi i m if f ;, c m = if f ; c, Fie i = { [ i ]} şi i { [ i] } eorece m m i i şi m m i, rezultă i ( ) s s = m c + m c m Aşdr, m rătt că ' i i i i i i i m c + c m = i i i i i i s s ' Evidet, dcă presupuem că diviziue ' coţie pe lâgă puctele diviziuii mi multe pucte (disticte) c, K, cp, rţiometul este semăător emostrţi ieglităţii S ' S este logă şi rămâe î sem cititorului s Lem Petru orice două diviziui ' şi " le itervlului [, ], vem S ' " emostrţie Fie = U diviziue cre costă di reuiue puctelor diviziuilor ' şi " Evidet vem p şi p i Lem rezultă: s s S S i ieglităţile () rezultă că mulţime de umere rele { s } de umărul M( ), ir mulţime de umere rele { S } umărul m( ) ir I * Notăm cu I* = sup s şi cu se umeşte itegrl iferioră Lem I I * I este mjortă este miortă de = if I se umeşte itegrl superioră S

17 Cp INTEGRALA RIEMANN emostrţie i Lem rezultă că: s ' S ", oricre r fi diviziuile ' şi " Fiâd petru momet diviziue " oţiem: I* = sup s S Cum " fost ritrră, î cotiure vem I* if S = I efiiţi Fie f : [, ] o fucţie mărgiită Spuem că f este ()- itegrilă (itegrilă î sesul lui rou) pe [, ] dcă I* = I = I Vlore comuă I o otăm cu f ( )d Lem 4 Petru orice ε >, eistă δ > stfel îcât oricre diviziue itervlului [, ] cu < δ ε vem: * ε I ε < s S < I + ε (4) emostrţie Vom demostr ieglitte I* ε < s, lăsâd î sem cititorului demostrţi celeillte ieglităţi eorece I * = sup s rezultă că ε > eistă o ε diviziue itervlului [, ] stfel îcât: I* < s Să presupuem că : = c < c < K< ck < K < cp = mi ( k ck k p Fie µ = c ) şi fie : = < < K< i < i < K < = o diviziue itervlului [, ] cu < µ că otăm cu = itervlul [ ], i i se flă cel mult u puct c di diviziue k U, tuci î i ck i Fie mi if { f ; [ i, k ]} m c i = if { f ; [ ck, i] } suitervlului [, i i] î difereţ s s v fi m i( ck i ) + m i( i ck) mi( i i ) şi este evidet mjortă de pucte iteriore = şi Cotriuţi c k M m i i Cum î diviziue eistă (p ) rezultă că vem următore mjorre: s s p M m (5)

18 ε Fie cum δ ε = mi µ ;, fie o diviziue itervlului ( p )( M m ) [, ] cu < δ ε şi fie = U Cum δ ε µ rezultă că < µ şi coform (5) vem: s s ( p )( M m) p M ε m p M m = ε < Aşdr vem ε ε I < s s s +, deci I* ε s * Cu cest lem este demostrtă Teorem (Criteriul de itegrilitte l lui rou) Fie f : [, ] mărgiită Codiţi ecesră şi suficietă c f să fie itegrilă pe [, ] este c petru orice ε >, să eiste δ >, stfel îcât oricre r fi diviziue itervlului [, ], cu < δ ε, să vem S ε s <ε emostrţie Necesitte Presupuem că I* = I = I i Lem 4 rezultă că ε >, ε ε δ ε > stfel îcât I < s S < I +, petru cu < δ ε Evidet, ε ε S s < I + I = ε Aşdr S s < ε petru orice cu < δ ε Suficieţ Presupuem că ε >, δ > stfel îcât, oricre r fi cu < δ ε vem S s <ε eorece s I* I S, rezultă că I I* S s <ε Cum ε > este ritrr, cest implică I I* =, deci f este itegrilă pe [, ] ε CLASE E FUNCŢII INTEGRABILE Teorem că f : [, ] [, ] este cotiuă, tuci f este itegrilă pe emostrţie Fie : = < < K< i < i < K < = o diviziue orecre itervlului [, ] eorece, o fucţie cotiuă pe u itervl compct

19 Cp INTEGRALA RIEMANN este mărgiită şi îşi tige mrgiile rezultă că ξ [, i i i] şi η [, i i i] stfel îcât m = f ( ξ ) şi M f ( η ) Aşdr, vem i i i = i S s = f η f ξ i i i i i= Pe de ltă prte, f este uiform cotiuă pe [, ], deci ε >, δ > ε stfel îcât oricre r fi, [, ] cu < δ ε, vem f( ) f( ) < că presupuem cum că < δ ε rezultă ηi ξi i i < δ ε deci S s < ε ( i i ) ( ) = ε i= = ε Aşdr, ε >, δ > (cel de l cotiuitte uiformă) stfel îcât ε cu < δ ε vem S s < ε i Teorem rezultă că f este itegrilă pe [, ] ε Teorem că f : [, ] pe [, ] este mootoă, tuci f este itegrilă emostrţie Vom fce demostrţi petru czul câd f este crescătore şi u se reduce l o costtă Czul câd f este descrescătore se trteză semăător că f se reduce l o costtă, dică f = c, [, ] s = S = c, deci I = I = c Fie deci f crescătore, stfel îcât f < f şi fie, tuci : = < < K< i < i < K< = o diviziue orecre itervlului mi = f i şi Mi = f ( i), deci [, ] eorece f este crescătore, vem Fie ε > şi fie δ = ( ( i) ( i ) )( i i ) S s = f f i= ε ε f f ve ε ( i) ( i ) i= că presupuem că < δ ε, tuci vom S s ( f f ε < δ ) < [ ] f f f f = ε Aşdr, ε >, δ ε > stfel îcât cu < δ ε vem S i Teorem rezultă că f este itegrilă pe [, ] s <ε

20 4 SUME RIEMANN CRITERIUL E INTEGRABILITATE RIEMANN Fie f : [, ], : = < < K< i < i < K < = o diviziue itervlului [, ] şi ξ [, u puct orecre că otăm cu i i i] ξ = ξ, ξ, K, ξ, tuci sum Riem socită fucţiei f, diviziuii şi puctelor itermedire i ξ, se oteză cu σ ( f ; ) ( f ; ) = f ( i)( i i ) σ ξ ξ i= ξ şi este pri defiiţie efiiţi Fie f : [, ] Spuem că f este (R)-itegrilă (itegrilă î sesul lui Riem) pe [, ] dcă eistă u umăr fiit I, stfel îcât ε >, δ > cu propriette că oricre r fi diviziue, cu < δ ε şi ε oricre r fi puctele itermedire ξ = ( ξ K ξ ), vem ( f; ),, σ ξ I < ε Teorem că f este (R)-itegrilă pe [, ], tuci f este mărgiită pe [, ] emostrţie Pri ipoteză, eistă I, stfel îcât petru ε =, eistă δ > cu pro- priette că oricre r fi cu < δ şi oricre r fi puctele itermedire ξ i vem: Fie ( f ) I < σ ; ξ <I + () = < < K< < < K< = cu : i i < δ şi fie [ ] ξ,, i i i i=, Presupuem pri surd că f u este mărgiită pe [, ] Atuci, eistă u suitervl, j j stfel îcât f u este mărgiită pe, j j Petru fce o legere, să presupuem că sup { f; j, j } =+ Cum f u este mărgiită superior pe itervlul, j j, rezultă că eistă ξ, j j j stfel îcât I s+ f ( ξ j ) >, ude m ott cu s = f ( ξi)( i i ) j j ( ξi dc i j Fie ξi = ( ξi dc i= j i= i j şi = (,, K ) ξ ξ ξ Rezultă

21 Cp INTEGRALA RIEMANN 5 I s + σ ( f ; ξ ) = s+ f ( ξ j)( j j ) > s+ ( j j ) = I + Aşdr ( f ) σ ; ξ > I + cee ce cotrzice () Pri urmre, ipotez că f u e mărgiită pe [, ] e coduce l o cotrdicţie Următore teoremă e rtă că cele două defiiţii le itegrilităţii sut echivlete Teorem Fie f : [, ] mărgiită Atuci f este ()-itegrilă pe [, ] dcă şi umi dcă f este (R)-itegrilă pe [, ] emostrţie că f este ()-itegrilă pe [, ], tuci I * = I = I Pe de ltă prte, di Teorem rezultă că ε >, δ > stfel îcât oricre r fi diviziue cu < δ ε vem S s <ε Cum s I S ε şi s σ ( f, ξ) S, ξ, rezultă că ( f, ) j j σ ξ I < ε petru orice cu < δ ε şi orice pucte itermedire ξ i, deci f este (R)- itegrilă Reciproc, să presupuem că f este (R)-itegrilă Atuci eistă I cu propriette că, petru ε >, δ ε > stfel îcât cu < δ ε şi ξ vem: ε ε I < σ ( f; ξ) < I + () 4 4 Fie = < < K< < < K< = cu < δ ε eorece : i i = sup { ; [, ]}, rezultă că eistă α [, i i i] M f i i i M i < f ( α ) 4( ) i Amplificâd ieglitte () cu ( ) ε i i stfel îcât şi sumâd rezultă: ε S < f ( αi)( i i ) = σ ( f ; α), ude α = ( 4 α, K, α ) i= Ţiâd sem cum şi de () oţiem: S < ε I + (4) Î mod semăător se rtă că s > ε I (5) i (4) şi (5) rezultă că S s < ε, petru orice cu < δ ε, deci f este ()-itegrilă, coform Teoriei ()

22 6 Teorem (Criteriul de itegrilitte l lui Riem) Codiţi ecesră şi suficietă c f : [, ] să fie itegrilă pe [, ], este să eiste u umăr fiit I, stfel îcât petru orice şir de diviziui { } le itervlului [, ] cu propriette că itermedire lim = şi orice legere puctelor ξ să vem lim σ ( f ; ξ ) = I emostrţie Necesitte Pri ipoteză eistă I stfel îcât ε >, δ ε > cu propriette că cu < ε îcât Fie { } u şir de diviziui cu δ şi ξ vem ( f; ) σ ξ I < ε < δε petru orice Coform ipotezei vem Atuci u rg stfel ( f, ) petru orice şi orice set de pucte itermedire ziuii Rezultă că lim σ ( f ; ξ ) = I Suficieţă Presupuem că eistă I diviziui { } cu lim σ ; ( f ξ ) = I σ ξ I < ε ξ corespuzător divi- cu propriette că petru orice şir de şi orice set de pucte itermedire ξ vem Presupuem pri surd că f u este itegrilă, deci că oricre r fi umărul fiit I, eistă ε > stfel îcât δ >, δ cu δ < δ şi eistă u set de pucte itermedire σ δ δ ξ stfel îcât σ ( f, ξ ) I ε Î prticulr, petru δ = rezultă că cu ( f, ξ ) I ε Acest îsemă că σ ( f, ξ ) ipotez făcută δ < şi ξ stfel îcât I, cee ce cotrzice efiiţi Spuem că o mulţime A ϒ este eglijilă (de măsură cu urmă- I Leesque ulă), dcă ε >, u şir de itervle deschise torele proprietăţi : ) A U I = ) l( I ) < ε, ude cu ( ) = l I m ott lugime itervlului I

23 Cp INTEGRALA RIEMANN 7 Precizăm că uele di itervlele I pot să fie mulţime vid Propoziţi Orice mulţime cre se reduce l u puct este eglijilă Evidet emostrţie ε ε Fie A = { } Putem lege I =, + A U I şi l( I ) < ε = = Următore firmţie este evidetă: şi I = petru Propoziţi că A B şi B este eglijilă, rezultă că A este eglijilă Propoziţi O reuiue umărilă de mulţimi eglijile este de semee eglijilă emostrţie Fie A eglijilă, itervle deschise cu proprietăţile: A I şi I m m Î cotiure vem: deci, mulţime U = A Rezultă că petru ε >, u şir de ε U m l( Im) < m= m= U A U U I şi ε l I = = m m < = ε, m= = m= = este eglijilă Corolrul Orice mulţime fiită su umărilă di ϒ este eglijilă Afirmţi rezultă di Propoziţiile şi Î cotiure prezetăm fără demostrţie următore teoremă Teorem 4 (Criteriul de itegrilitte l lui Leesque) Fie f : [, ] Codiţi ecesră şi suficietă c f să fie itegrilă pe [, ] este c f să fie mărgiită pe [, ] şi mulţime puctelor sle de discotiuitte să fie eglijilă

24 8 4 PROPRIETĂŢILE INTEGRALEI RIEMANN 4 d = Afirmţi rezultă imedit di oservţi că orice sumă Riem σ ( ; ξ) = 4 Propriette de lieritte că f, g : [, ] sut itegrile, tuci fucţi α f + β g este itegrilă pe [, ] şi ( α f + β g)d = α fd + β gd emostrţie u şir de diviziui cu propriette că lim = şi fie Fie { } de pucte itermedire orecre petru diviziue Avem: ( ; ) ( ; f + g = f ) + ( g; ) σ α β ξ ασ ξ βσ ξ ξ u set eorece memrul drept re limită fiită câd şi ume α f ( )d + + β g ( )d, rezultă că şi memrul stâg re limită fiită, deci α f + β g este itegrilă şi î plus ( α f + β g)d = α fd + β gd 4 Propriette de mootoie că f şi g sut itegrile pe [, ] şi f g, [, ], tuci f d gd Afirmţi rezultă imedit di oservţi că [ ] propriette de lieritte itegrlei Riem g f d şi di 44 că f este itegrilă pe [, ], tuci f este itegrilă pe [, ] şi f d f d Fie A mulţime puctelor de discotiuitte le fucţiei f di itervlul [, ] şi B mulţime puctelor de discotiuitte le lui f di itervlul [, ] Se ştie că dcă f este cotiuă îtr-u puct, tuci f este cotiuă î cel puct Aşdr, vem A B Coform Teoremei 4, B este eglijilă Rezultă tuci că şi A este eglijilă, deci că f este itegrilă

25 Cp INTEGRALA RIEMANN 9 Pe de ltă prte vem: f f f, [, ] i Propriette ) de mootoie itegrlei, rezultă că deci f d f d f d fd f d 45 că f şi g sut itegrile pe [, ], tuci fg este itegrilă pe [, ] Îtr-devăr, fie A/B/C mulţime puctelor de discotiuitte le lui f /g/ fg Se ştie că dcă f şi g sut cotiue îtr-u puct, tuci fg este cotiuă î cest puct Rezultă că C A Υ B Cum A şi B sut eglijile, rezultă că A U B este eglijilă, deci C este eglijilă Coform Teoremei 4 rezultă că fg este cotiuă pe [, ] 46 Teorem de medie Fie f şi g două fucţii itegrile pe [, ] Presupuem că g păstreză sem if f ;, costt pe [, ] că otăm cu m = { [ ]} M sup { f; [, ] } şi cu =, tuci eistă m µ M stfel îcât emostrţie Presupuem că f ( g ) d = µ g d () g, [, ] eorece m f M, [, ] rezultă mg f g Mg, [, ] i Proprietăţile ) şi ) vem m g d f( g ) d M g d că g d=, tuci şi d f g = şi eglitte () re loc petru orice µ Să presupuem că g d Cum g rezultă d g > Împărţid ieglitte () cu g ( )d oţiem: m că otăm cu µ = f ( g ) d = µ g d f ( g ) d, rezultă că m µ M, deci g d f gd M g d ()

26 Corolrul 4 Fie f : [, ] cotiuă şi g : [, ] itegrilă că g păstreză sem costt pe [, ], tuci eistă ξ [, ] stfel îcât f gd = f ( ξ ) gd emostrţie eorece f este cotiuă pe [, ], rezultă că eistă α, β [, ] stfel îcât m= f( α) şi M = f( β ) i Teorem de medie, ştim că eistă m µ M stfel îcât f ( g ) d = µ g d Pe de ltă prte, f re propriette rou pe [, ], deci eistă ξ ître α şi β, deci î [, ], stfel îcât µ = f ( ξ ) Aşdr vem f ( g ) d = f( ξ ) g d Corolrul 4 că f : [, ] este itegrilă, tuci eistă m µ M stfel îcât f ( )d = µ ( ) Afirmţi rezultă imedit di Teorem de medie petru czul prticulr câd g = Corolrul 4 că f : [, ] este cotiuă, tuci eistă ξ [, ] stfel îcât d = ( ξ )( ) f f Afirmţi rezultă imedit di Corolrul 4, petru czul prticulr câd g = 47 că f este itegrilă pe [, ] şi < c <, tuci f este itegrilă pe c [, c] şi [c, ] şi f d = fd + fd c emostrţie Fptul că f este itegrilă pe [, ] şi [c, ] rezultă imedit di Teorem 4 Fie { } u şir de diviziui le itervlului [, c] cu şi fie { } u şir de diviziui le itervlului [c, ] cu că otăm cu = U, tuci este o diviziue itervlului [, ] şi ( Fie de semee ) α ( β ) u set de pucte itermedire petru diviziue (respectiv ) că otăm cu ξ =α U β, tuci ξ este u set de pucte itermedire petru Trecâd l limită după î eglitte

27 Cp INTEGRALA RIEMANN ( ; ) ( ; f f ) ( f; ) σ ξ =σ α +σ β c, rezultă că f d = fd fd + c Următore teoremă e sigură că orice fucţie cotiuă pe u itervl dmite primitive pe cel itervl Teorem 48 Fie f : [, ] cotiuă şi fie F = f( t)dt, [, ] Atuci f este derivilă pe (, ) şi F = f, (, ) emostrţie Fie (, ) orecre Să oservăm petru îceput că ()d = f ()d t t f t t f()d t t Îtr-devăr, dcă < tuci firmţi rezultă di egli- tte = + că <, tuci = + Aşdr, vem ( ) F F f ()d t t = deci = = Coform Corolrului 4 rezultă că ξ î itervlul îchis de cpete şi stfel îcât ()d ( ξ )( vem: F F lim f t t = f ) Cum f este cotiuă î, î cotiure ( ξ ), deci F ( ) f ( ) = lim f = f = Teorem 49 (Leiiz-Newto) Fie f : [, ] itegrilă că F este o primitivă lui f pe [, ], tuci f ( )d = F ( ) F ( ) emostrţie Fie = < < K < < = : i [, ] Oservăm că F F = F i F i îcât: i= o diviziue orecre itervlului Pe de ltă prte, di Teorem Lgrge rezultă că eistă ξ ( ) ( ξ ) ( ξ ) F F = F = f i i i i i i i i stfel, i i i

28 că otăm cu ξ = ( ξ, K, ξ oţiem: ) ( ξi)( i i ) σ ( ξ) i= F F = f = f; Fie { } u şir de diviziui de ormă tizâd l zero şi fie ξ setul de pucte itermedire petru f ( )d = lim σ f ; F F ξ =, cre rezultă di Teorem Lgrge Rezultă:

29 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU CAPITOLUL INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU INTEGRALE GENERALIZATE Teori itegrlei defiite s- făcut petru fucţii mărgiite, defiite pe itervle mărgiite Î cele ce urmeză vom d u ses uor itegrle de form f ( )d su d f, ude este fiit şi f este emărgiită pe [, ] Vom trt mele czuri uitr efiiţi Fie f : [, ) ϒ, fiit su u Presupuem că f este itegrilă pe itervlul compct [, u], oricre < u < că eistă u lim f d şi e fiită, spuem că d f este covergetă şi otăm cu u ( v) fd= lim fd spuem că u u f ( )d este divergetă Î cz cotrr, dcă limit u eistă su e ifiită, d Eemplul Să se studieze coverget itegrlei α Avem l u dcă α = u d α = α u Oservăm că dcă α >, tuci dcă α α d d () v α =, deci α α este covergetă şi dcă α, tuci d lim u d d u α =, deci α este divergetă Î prticulr, este d d covergetă şi (v) =, î timp ce este divergetă

30 4 Eemplul Să se studieze covergeţ itegrlei: d ude ( ) este fiit u ( l dc α = u d ( ) α = ( u) α ( ) α ( dc α α Oservăm că dcă α < tuci ir dcă α, lim u (v) u d = α ( ) ( ) ( ) ( ) α u d lim =, u α α d = Aşdr, α ( ) α d este covergetă petru α α < şi divergetă petru α d Î prticulr, este covergetă şi divergetă d este ( ) Oservţi Fie f : (, ] ϒ, fiit su u Presupuem că f este itegrilă pe itervlul [u, ], oricre r fi < u < Notăm cu () v f()d = = lim f d, dcă cestă limită eistă şi e fiită, şi spuem că f ( )d u u este covergetă Î cz cotrr, f ( )d este divergetă Procedâd c î eemplul rezultă că d ( ) α α < şi divergetă petru α e eemplu divergetă, ude este fiit, este covergetă petru d este covergetă şi d este Teorem Fie f : [, ) ϒ, fiit su u că f este itegrilă pe [, u] oricre r fi < u <, tuci f ( )d este covergetă dcă şi umi dcă ε >, < δ ε < stfel îcât fd < ε u petru orice u, u ( δ ε, ) u

31 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 5 emostrţie u Petru orice < u < otăm cu F(u) = f ( )d Coform efiiţiei, f ( )d este covergetă dcă şi umi dcă eistă L = lim F( u) şi e fiită Pe de ltă prte, di Teorem Cuchy-Blzo rezultă că eisteţ cestei limite fiite este echivletă cu fptul că ε >, o veciătte V ε lui stfel îcât Fu ( ) Fu ( ) < ε petru orice u, u Vε I [, ) că este fiit, putem presupue că V ε este de form ( η, η ) ε + ε ude < ηε u < şi legem δε = ηε că = + putem presupue că V ε este de form ( δε, ude < < Î mele situţii, dcă u, u (, ) rezultă că u, u V I [, ), δε deci că Fu ( ) Fu ( ) < ε Pe de ltă prte, se oservă imedit că Fu ( ) Fu ( ) = f ( )d f ( )d = f ( )d δ ε u u u u Aşdr, f ( )d este covergetă, dcă şi umi dcă petru ε >, < < stfel îcât petru orice u, u δε u δ ε, vem fd < ε efiiţi Spuem că f ( )d este solut covergetă dcă f ( ) d este covergetă Corolrul că f ( )d este solut covergetă, tuci f ( )d este covergtă u ε ) u emostrţie Afirmţi rezultă di Teorem şi di Oservţi că f d f d u u u Teorem Fie f,g : [, ) ϒ +, fiit su u Presupuem că f şi g sut itegrile pe itervlul [, u], oricre r fi < u < şi că f g, [, ) Atuci ) că g ( )d coverge, rezultă că şi d f coverge

32 6 ) că f ( )d diverge, rezultă că şi d g diverge emostrţie u Fie F( u ) = f ( )d u şi Gu =, ude < u < i propriette g d de mootoie itegrlei rezultă că F( u) G( u), < u < F şi G sut mooto crescătore, deorece f şi g iu vlori î ϒ + u că presupuem că g ( )d este covergetă rezultă că () v ()d g = = lim Gu eistă şi e fiită şi Gu ( v ) g d u Cum F G rezultă că F( u) ( v) gd, < u < Fptul că F este mooto crescătore şi mărgiită superior pe [, ) implică că eistă () v g()d, deci d f coverge lim Fu u că presupuem că f ( )d este divergetă, rezultă că lim Fu =+ şi cu tât mi mult lim Gu =+, deci g ( )d diverge u cos Eemplul Să se studieze covergeţ itegrlei d eorece cos d, [, ) şi este covergetă, di Teorem cos rezultă că d este covergetă cos Rezultă că d este solut covergetă, deci covergetă î virtute Corolrului Oservţi Fie f : [, ) ϒ itegrilă pe fiecre itervl compct îchis î [, ) şi fie < c < Atuci, f ( )d este covergetă dcă şi umi dcă f ( )d este covergetă Îtr-devăr, este suficiet să oservăm că petru c u c u, ir d orice c < u <, vem f d = fd + fd c umăr fiit, f fiid itegrilă pe [, c] u c f este u

33 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 7 Teorem Fie f : [, ) ϒ +, itegrilă pe itervlul [, u] petru orice < u < Atuci ) că α > stfel îcât lim f eistă şi e fiită rezultă că f ( )d este covergetă α α ) că α stfel îcât lim f eistă şi este strict pozitivă, rezultă că f ( )d este divergetă emostrţie Fie α > şi fie l = lim f < i defiiţi limitei uei fucţii rezultă α că, petru orice ε >, δ ε > stfel îcât l ε < f < l+ ε petru orice l + ε > δε Aşdr, f < α, petru orice > δε l + ε Cum d este covergetă î cest cz (Vezi Eemplul ), di δ α ε Teorem rezultă că f d este covergetă Ţiâd sem şi de Oservţi rezultă că f ( )d este covergetă δ ε Presupuem cum că α, stfel îcât lim f = l şi e fiită α eorece l >, putem presupue că < ε < l Petru u stfel de ε, eistă δ ε > α stfel îcât l ε < f < l+ ε petru orice > δε l Î prticulr vem ε < f, α > δ ε l ε eorece d este divergetă (Vezi eemplul ), di Teorem δ α ε rezultă că f d este divergetă Î sfârşit, di Oservţi rezultă δ ε că f ( )d este divergetă că α stfel îcât lim f α îcât f α α = +, tuci ε >, δ ε > stfel ε > ε petru orice ( δε, ) Aşdr, f > α, > δε Cum

34 8 ε d este divergetă î cest cz, rezultă că δ α f d este divergetă, deci ε δ ε f ( )d este divergetă Eemplul 4 Să se studieze covergeţ itegrlei Q sut poliome, gr P grq şi Q(), > eorece P lim Q este fiită, di Teorem rezultă că este solut covergetă, deci covergetă coform Corolrului P d, ude P şi Q P d Q Teorem 4 Fie f : [, ) ϒ +, itegrilă pe itervlul [, u] petru orice < u < < Atuci ) că α < stfel îcât lim f eistă şi e fiită, rezultă că f ( )d este covergetă ) că α stfel îcât eistă lim f >, tuci f d diverge emostrţi este semăătore cu demostrţi Teoremei, ţiâdu-se d sem de fptul că α α (Eemplul ) Eemplul 5 ( ) ( ) α d este covergetă deorece lim ( ) = <, î timp ce lim = > deorece ( + )( ) Are loc de semee, următore teoremă: α d este divergetă, ( + )( ) Teorem 5 Fie f : (, ] ϒ +, itegrilă pe [v, ] petru orice < < v < Atuci:

35 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 9 ) că α < stfel îcât f ( )d este covergetă ) că α stfel îcât divergetă Eemplul 6 ( + ) lim = < 5 lim = > 5 ( + ) lim f eistă şi e fiită, rezultă că α α lim f ( ) >, tuci d f este d este covergetă, deorece + ir d este divergetă, deorece 5 + Următore teoremă este cuoscută su umele de Criteriul itegrl l lui Cuchy Teorem 6 Fie f : [, ) ϒ + o fucţie mooto descrescătore Atuci f ( )d şi seri f u ceeşi tură = emostrţie f f f eorece ( ) petru orice [, ] f ( ) f ( )d f, şi mi deprte că stfel îcât m f = că presupuem că seri m = rezultă că m m f ( )d f, petru orice m () k= = f este covergetă, rezultă că M > f < M, m Ţiâd sem de () rezultă că petru orice m Fie u > orecre şi fie m, m > u eorece m f ( )d < M f, rezultă că

36 4 u f d fd< M Aşdr, m covergetă că presupuem cum că m lim f = şi deci că m m f ( )d este divergetă u lim f d M, deci f d este u m f este divergetă, rezultă că m= lim fd= + e ude deducem că m Eemplul 7 d re ceeşi tură cu sum covergetă dcă α > şi este divergetă dcă α α = α, deci este Teorem 7 (Criteriul irichlet) Fie f,g : [, ), ude este fiit su u Presupuem că f este cotiuă şi că eistă M > stfel îcât Fu M, < u <, ude m ott cu u F(u) = f ( )d espre fucţi g presupuem că este mooto descrescătore, de clsă C şi eegtivă pe [, ) Î plus lim g= Atuci f ( g ) d este covergetă emostrţie emostrţi se zeză pe Teorem Petru orice u u, (, ) u u vem f ( g ) d = F ( g ) d u = F ( g u ) d u u Fg u Pe de ltă prte, g fiid descrescătore rezultă că g, [, ] şi, coform teoremei de medie eistă ξ î itervlul de cpete u' şi u" stfel îcât u u F g d = F( ξ) g d = F( ξ)[ g( u ) g( u )] u u u Aşdr, vem: f ( g ) d = Fu ( ) gu ( ) Fu ( ) gu ( ) F( ξ )[ gu ( ) gu ( )] u Ţiâd sem că Fu M, u (, ) rezultă: u [ ] f ( g ) d M gu + gu u Pri ipoteză lim g=, deci petru ε >, α < δ ε < stfel îcât g < ε 4M petru orice ( δ, ) ε Aşdr, dcă u' şi u" ( δ ε,), rezultă că: u

37 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 4 u ε ε f gd M ε u + =, deci d 4 M 4 M f g este covergetă coform Teoriei si Eemplul 8 d este covergetă Îtr-devăr, fie f = si şi g =, [, ) Costtăm imedit că si fucţiile f şi g stisfc codiţiile Teoremei 5, deci d este covergetă Oservţi Fie f : [, ), itegrilă pe [, u], < u < < că eistă lim f ( ) şi e fiită, tuci d f este covergetă Îtr-devăr, lim f ( ) =, deci f ( )d este covergetă î virtute Teoremei 4 Aşdr, f ( )d este solut covergetă, deci covergetă coform Corolrului si Eemplul 9 Itegrl lui irichlet d este covergetă si si si si Îtr-devăr, d = d d + eorece lim =, si rezultă că d este covergetă Pe de ltă prte, î Eemplul 8 m si rătt că d este covergetă efiiţi Fie f :, itegrilă pe fiecre itervl compct u [v, u] Spuem că f d este covergetă dcă eistă lim d f şi u v v este fiită Se umeşte vlore priciplă (î sesul lui Cuchy) următore limită u (vp) f d = lim d f u u Se pote îtâmpl c o itegrlă f d să fie divergetă, dr vlore s priciplă să fie fiită

38 4 d Eemplul + u d + u eorece lim = lim l u eistă, rezultă că u v u + + v v v este divergetă Pe de ltă prte (vp) d = + u d lim + u = u + d Î mod semăător, dcă f : [, c) U (c, ], spuem că f ( )d este covergetă dcă eistă lim c ε f ( )d f ( )d + c+ η ε + η + şi e fiită e semee otăm cu (vp) f ( )d c ε = lim f ( )d f ( )d + ε c+ ε + priciplă î sesul lui Cuchy şi o umim vlore d Eemplul este divergetă deorece ε d d ε lim + ε η = lim l u eistă + ε + η η + η Pe de ltă prte d ε d d (vp) = lim lim ( lε lε) + ε ε = + ε + = Următore teoremă este cuoscută su umele de teorem schimării de vriilă petru itegrle geerlizte Teorem 8 Fie f : [, ) cotiuă şi fie ϕ : [α, β ) [, ) o fucţie de clsă C, strict crescătore stfel îcât ϕ( α ) = şi lim ϕ ( t) = Atuci, dcă, respectiv [ ] u di itegrlele: f ( )d f ϕ() t ϕ ()d t t este covergetă, α tuci şi celltă este covergetă şi re loc eglitte f ( )d β = f [ ϕ() t ] ϕ ()d t t α β t β

39 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 4 emostrţie Fie < u < eorece ϕ este strict crescătore şi cotiuă, rezultă că ϕ : [α, β ) [, ) este ijectivă, deci α < τ < β stfel îcât ϕ(τ) = u i Teorem schimării de vriilă pe u itervl compct vem: u τ ()d = [ ϕ() ] ϕ ()d α f f t t t Să presupuem, de eemplu, că f ( )d este covergetă Atuci rezultă τ lim f ϕ( t) ϕ ( t)dt = lim f d= () v f()d < Aşdr, că [ ] β τ β α u f [ ϕ() t ] ϕ ()d t t este covergetă şi d = [ ϕ] ϕ d α u β α f f t t t INTEGRALE CU PARAMETRU Fie = [, ] [c, d] şi f : că petru orice t [c, d], fucţi f (, t) : [, ] este itegrilă pe [, ], tuci f ( t, )d v depide de t Se pote defii stfel o fucţie F : [c, d] stfel: F() t = f(,)d t, t [c, d] Se pote cosider o situţie mi geerlă, î cre prmetrul t itervie şi î limitele itegrlei Mi precis vem: efiiţi Fie f : şi fie α, β : [c, d] [, ] că petru orice t [c, d], fucţi f (, t) : [, ] este itegrilă, tuci fucţi F : [c, d] defiită pri: β () t F() t = f(,)d t, t [c, d] () α () t se umeşte itegrlă cu prmetru Î cotiure, vom liz î ce codiţii fucţi F este cotiuă, derivilă, itegrilă etc Teorem că f : cotiue, tuci F : [c, d], defiită pri este cotiuă pe [c, d] emostrţie Fie t [c, d] u puct orecre fit este cotiuă şi α, β : [c, d] [, ] sut β () t F() t = f(,)d t, t [c, d] α () t

40 44 Ft () β () t β( t ) α() t α( t ) β() t α( t) β( t) β() t Ţiâd sem de descompuere = α() t + α() t + α( t) vem: β( t) β( t ) β() t () t f, t f, t d f, t d f (, t) d () ( t) ( t) ( t) eorece f este cotiuă pe mulţime compctă, rezultă că f este mărgiită, t Să evluăm difereţ F () t F ( t ) = f (,)d t f (, t ) d F( t ) = ( ) + α β α α pe, deci eistă M > stfel îcât f ( t, ) M Î cotiure vem: β ( t ) Ft () F( t ) f ( t, ) f( t, ) d+ α( t ) <, M β() t β( t) M α() t α( t) + Cum f este cotiuă pe mulţime compctă, rezultă că f este uiform cotiuă pe, deci ε >, δ ε > stfel îcât (, t ), (, t ) cu propriette < δ ε, t t < δ vem ε f (, t ) f (, t ) < () Pe de ltă prte, di cotiuitte fucţiilor α şi β rezultă că δ ε > stfel îcât t [c, d] cu t t < δ ε vem: ε ε α() t α( t ) < şi β() t β( t ) < (4) M M Fie δ ε = mi ( δ ε ; δ ε ) şi fie t [c, d] cu t t < δε Ţiâd sem de () şi (4), rezultă: ε ε ε Ft () F( t) β ( t) α( t) + M + M M M t t δε ( ) Aşdr, petru ε >, < vem Ft () F( t) ε ε ε + + = ε ( ) ritrr î [c, d], rezultă că F este cotiuă pe [c, d] δ ε > stfel îcât petru orice t [c, d] cu < ε, deci F este cotiuă î t Cum t fost Oservţi Cocluzi Teoremei se pote formul şi stfel: β() t β( t ) lim f ( t, )d = f( t, ) d α() t α( t ) t t Eemplul Să se clculeze lim cos α d α

41 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 45 Folosid Teorem rezultă imedit că lim cos α d = α Teorem Fie f : 8 lim cos d = d = = α α cotiuă Presupuem î plus că eistă e cotiuă pe, ir fucţiile α, β : [c, d] [, ] sut derivile pe [c, d] Atuci rezultă că fucţi F : [c, d], defiită pri β () t α () t f t F() t = f(,)d t, t [c, d] este derivilă pe [c, d] şi () β () t f F t = (,)d t + β () t f [ β (), t t] α () t f [ α (), t t] (5) α () t t (Formul (5) este cuoscută su umele de formul lui Leiiz de derivre itegrlei cu prmetru) emostrţie Fie t [c, d] fit şi t [c, d], t t Ţiâd sem de descompuere () rezultă: Ft () F( t) β( t ) f( t, ) f( t, ) β() t = d + f (, t) d t t α( t) t t t t β( t) α () t f (, t) d t t α ( t ) t Coform teoremei de medie eistă ξ ître α () t stfel îcât să vem: β ( t ) β şi () t t β şi η ître Ft () F t f t, f t, β() t β t = d + f ( ξ, t) t t α ( t ) t t t t f ( η t) ( t ) α() t α, t t şi α şi Pe de ltă prte, di Teorem Lgrge rezultă că eistă θ î itervlul f deschis de cpete t şi t stfel îcât f ( t, ) f( t, ) = (, θ )( t t) Aşdr, t vem: F() t F( t) β ( t ) f β() t β( t) α() t α( t) = (, θ) d + f ( ξ, t) f ( η, t) t t (6) α( t ) t t t t t

42 46 f Î cotiure, ţiâd sem de Teorem şi de fptul că f şi sut t cotiue pe, ir α şi β sut derivile pe [c, d], rezultă că memrul drept l eglităţii (6) re limită, deci Ft () F( t ) β ( t ) f lim = ( t, ) d + β ( t) f β ( t), t t t t t α( t ) t α, α t f t t Aşdr, F este derivilă î puctul t şi F ( t β ( t ) f ) = (, ) d,, ( t ) t + β t t f β t t α t f α t t α Cum t fost ritrr, rezultă că F este derivilă pe [c, d] şi re loc formul (5) Eemplul Fie itegrlele eliptice: π π dϕ Ek = k si ϕ dϕ şi Kk =, < k < k si ϕ Să se rte că d E E K dk E K = şi = Verificăm prim eglidk k dk k k tte Îtr-devăr, di Teorem rezultă că ( k ) π π d Ek ksi ϕ k si ϕ = d d k ϕ = ϕ k si ϕ k = k si ϕ π π dϕ E( k) K( k) = k si d k ϕ ϕ k =, < k < k si ϕ k Eemplul Să se rte că fucţi y = cos( α siα) dα, ϒ verifică ecuţ lui Bessel: Îtr-devăr, di Teorem vem: π y + y + y= (7) π y = siα si α siα dα şi π α ( α α) α y = si cos si d Îlocuid î ecuţi (7) oţiem: π ( si α ) cos( α siα) siα si( α siα) + + dα =

43 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 47 π ( ) ( ) ( ) = cos α cos α siα siα si α siα + dα = π π = ( + cosα) si ( α siα) dα = ( + cosα) si ( α siα) = Eemplul 4 Să se clculeze α = π ( α ) Fucţi f (, α) = l( α si ), [, π ] (, ) F l si d, α > stisfce codiţiile Teoremei pe orice mulţime compctă [, π ] [ c, d] [, π ] (, ) = Rezultă că vem: π α F ( α) = d α si, α > că fcem schimre de vriilă tg = t rezultă: π α d α dt α dt F ( α) = = = α si t = α α ( + t ) α t + + t α α α rctg t α α π = = α Aşdr, vem: F( α) π l( α α ) = + + C, α > Pe de ltă prte, vem π C = lim l ( α si ) d π l ( α + α ) α = π si = lim lα d πl ( α + α ) = α α π si = lim lα + l d πl α + α α = α α π si = lim πl + lim l d l α π α = α α α + π l si d l α + α = π, α > Î fil vem: ( α )

44 48 Teorem că f : [, ] [c, d] ϒ este cotiuă, tuci fucţi F : [c, d] ϒ, F t f ( t) () =, d, t [c, d], este cotiuă pe [c, d] şi F()d t t = f (, t) dt d f t, d d t= f t, dt d d d, c c d d relţie echivletă cu emostrţie Petru orice u [, ] otăm cu c c u = şi g ut, f t, d d d Gu = g ut, dt h = f t, dt şi Hu = h d c g i Teorem, fucţiile g ( ut, ) şi = f fiid cotiue, rezultă u d g d d G ( u) = ( ut, ) d t= f( ut, ) dt c u şi H ( u) = h( u) Aşdr, c = f ( u, t) dt c G ( u) = H ( u), u [, ] Rezultă că cele două fucţii diferă pritr-o costtă, deci eistă c ϒ stfel îcât Gu = Hu + c, u [, ] eorece G = H =, rezultă că c =, deci Gu = Hu, u [, ] Î prticulr, petru u = vem: G = H dică c u f ( t, ) d d t= f( t, ) dt d d d c c INTEGRALE GENERALIZATE CU PARAMETRU efiiţi Fie f : [, ) [c, d] ϒ, fiit su u că petru orice t [c, d], f ( t, ) d este covergetă, spuem că (, ) d f t este puctul (simplu) covergetă pe itervlul [c, d] Ţiâd sem de Teorem rezultă: Oservţi Fie f : [, ) [c, d] ϒ, fiit su u Atuci f t, d este puctul covergetă pe [c, d] dcă şi umi dcă t [c, d] şi ε >, < t, ε δ < stfel îcât u, u ( δt, ε ) u f, t d < ε, vem u

45 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 49 Eistă şi u lt tip de covergetă, cu proprietăţi mi ue decât covergeţ puctulă, î cre δ depide umi de ε şi u depide de t Acest tip de covergeţă se umeşte covergeţă uiformă Mi precis vem: efiiţi Fie f : [, ) [c, d] ϒ, fiit su u Spuem că f t, d este uiform covergetă pe [c, d], dcă ε >, < δ ε < stfel îcât, u, u (, ) şi t [c, d] vem δ ε u f, t d < ε i efiiţi şi Oservţi rezultă imedit că: Oservţi Covergeţ uiformă implică covergeţ puctulă Teorem Fie f : [, ) [c, d] ϒ, fiit su u că ϕ : [, ) ϒ + cu proprietăţile: f t, ϕ, (, t) [, ) [c, d] ) ) ϕd u este covergetă, tuci covergetă pe [c, d] f t, d este uiform emostrţie eorece ϕd este covergetă, rezultă că ε >, < δ ε < stfel u îcât ϕd < ε u, u, u ( δ ε, ) u u u f, t d f, t d ϕd < ε, petru orice Cum u u u, (, ) şi t [c, d], rezultă că u u [c, d] δ ε Îtr-devăr, f t, d este uiform covergetă pe Eemplul e si td, t ϒ este uiform covergetă pe ϒ e sit e u = u, [, ) şi t ϒ Cum e d lim e d=, este covergetă, rezultă că e sitd este

46 5 uiform covergetă pe ϒ Î cotiure, prezetăm fără demostrţie, u lt criteriu de covergeţă uiformă Teorem (Ael-irichlet) Fie f, g : [, ) [c, d] ϒ Cosiderăm următorele codiţii: (α ) M > stfel îcât u f t, d < M, < u <, t [c, d] (β ) Petru orice t [c, d], fucţi g(, t): [, ) ϒ este mootoă şi lim g (, t ) =, uiform î rport cu t (dică, ε >, < δε < stfel îcât g(, t) (α ) < ε, (, ) şi t [c, d)) δ ε f t, d este uiform covergetă pe [c, d] (β ) Petru orice t [c, d], fucţi g(, t): [, ) ϒ este mootoă şi g t, < M, [, ) şi t [c, d] M > stfel îcât Atuci, dcă sut îdepliite codiţiile α ) şi β ), respectiv α ) şi β ), rezultă f t, g t, d este uiform covergetă pe [c, d] că tsi Eemplul e d este uiform covergetă pe [, ) Fie si, f (, t) = şi g ( t, ) = e t, [, ), t [, ) eorece, = si d este covergetă (Vezi Eemplul 9) şi u depide de t, rezultă că si d este uiform covergetă pe [, ) Pe de ltă prte, (, ) t g t = e, [, ), t [, ) deci g stisfce codiţi β ) i Teorem rezultă că covergetă pe [, ) Lem Fie f : [, ) [c, d] ϒ, fie { } propriette că lim tsi e d este uiform cu = şi fie F () t = f (, t) d, t [c, d] că < < u şir cu

47 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 5 (, ) d este uiform covergetă pe [c, d], tuci şirul de fucţii { F } f t coverge uiform pe [c, d] l fucţi F, ude F() t = ( v) f, t d= lim f, t d u u, t [c, d] emostrţie eorece f ( t, ) d este uiform covergetă pe [c, d] rezultă că ε >, < < stfel îcât petru orice u, u δε Cum u, şi t [c, d] vem δ ε f, t d < ε () u, ε stfel îcât (,) presupuem cum că ε şi m ε, di () rezultă că: m δ ε petru orice ε dcă F () t F () t = f, t d < ε () m Aşdr, şirul { F } este uiform fudmetl, deci uiform coverget pe [c, d] Pe de ltă prte, este evidet că petru orice t [c, d] vem lim F lim m m t = f (, t ) d = F( t ) m m Trecâd l limită î () după m oţiem F () t F() t ε, t [c, d], deci F u F pe [c, d] Teorem că f : [, ) [c, d] ϒ este cotiuă, şi dcă f t, d este uiform covergetă pe [c, d], tuci fucţi F : [c, d] ϒ, defiită pri F t v f ( t) emostrţie () =, d, t [c, d], este cotiuă pe [c, d] Fie < <, şi fie F t f ( t) () =, d, t [c, d] i Teorem rezultă că F este cotiuă pe [c, d], Pe de ltă prte, Lem u implică fptul că F F pe [c, d] i Teorem referitore l cotiuitte limitei uui şir de fucţii (vezi [9] Teorem ) rezultă că F este cotiuă pe [c, d] Teorem 4 Fie = [, ) [c, d] şi f : ϒ, cu proprietăţile:

48 5 (i) f şi f t (ii) sut cotiue pe f t, d este puctul covergetă pe [c, d] f, d este uiform covergetă pe [c, d] t f t, d, (iii) ( t) Atuci, fucţi F : [c, d] ϒ, defiită pri F(t) = (v) f () =, d, t [c, d] t t [c, d], este derivilă pe [c, d] şi F t v ( t) emostrţie Fie < <, şi fie F t f ( t) () =, d, t [c, d] Este evidet că şirul { F } coverge puctul pe [c, d] l fucţi F Pe de ltă prte, di f Teorem rezultă că F este derivilă pe [c, d] şi F () t = (, t) d t f Oservăm de semee, că dcă otăm cu Gt () = ( v) ( t, ) d, t [c, d], t u tuci di Lem rezultă că F G pe [c, d] Coform teoremei de derivilitte limitei uui şir de fucţii ([9] teorem 4) rezultă că F este derivilă şi F () t = G() t, t [c, d] şi cu cest, teorem este demostrtă si Eemplul Să se clculeze itegrl lui irichlet: d tsi Fie F() t = e d, t [, ) tsi Aş cum m văzut î Eemplul e d este uiform covergetă pe [, ) Cum fucţi de su itegrlă este cotiuă, di Teorem si rezultă că F este cotiuă pe [, ), deci d = F () = lim F ( t) t tsi t Pe de ltă prte, vem: e d= e si d t Fie > orecre eorece t e si e, [, ) şi e d este covergetă, rezultă că e si d este uiform covergetă pe [, ], > t i Teorem 4 rezultă că petru orice t > vem

49 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 5 t t e si t t t F () t = e sid= e cosd = t cose t t = e si d = + e si d t t t t t Mi deprte vem F ( t) + =, deci F () t =, t > Aşdr, t t + t F() t = rctgt+ C, t > () Pe de ltă prte, t Ft () e d=, t >, deci t lim Ft = (4) t π i () şi (4) deducem = lim F( t) = + C, deci t ou () oţiem F() = C si si π Cum d = F() deducem că d = C = π Folosid di f t, d este Teorem 5 Fie f : [, ) [c, d] ϒ, cotiuă că uiform covergetă pe [c, d], tuci fucţi F : [c, d] ϒ, defiită pri F() t ( v) = f t, d, t [c, d] este cotiuă (deci itegrilă) pe [c, d] şi d d F()d t t f (, t) dt = d c, c relţie echivletă cu d d (, ) d d (, ) d d c f t t v f t t = c emostrţie Fie < <, şi fie F t f ( t) rezultă că, rezultă că () =, d, t [c, d] i Teorem F ()d t t = f, t dt d Pe de ltă prte, di Lem d d F c c d = F ()d t t Aşdr, vem: c u F pe [c, d], de ude deducem că lim F ( t)dt = c d

50 54 d F ()d t t d = lim d c F c t t = lim d f (, t) dt d c u lim d d f t, dt d = f( t)dt u c c Rezultă că u< (fiită), deci d f (, t ) d t d este covergetă şi c d d d ( v) f (, t) dt d F d (, ) d t t d = = f t t c c c 4 INTEGRALELE LUI EULER efiiţi 4 Se umeşte fucţi et su itegrl lui Euler de prim speţă, următore itegrlă geerliztă cu prmetri : B, = ( ) d, >, > () Se oservă că dcă <, fucţi de su itegrlă u este defiită î şi u este mărgiită pe (, ], ir dcă <, tuci cestă fucţie u e defiită î şi u e mărgiită pe [, ) Petru îceput, vom răt că itegrl () este covergetă petru > şi > Petru cest vom descompue itegrl î sum două itegrle = + că, tuci ( ) d este o itegrlă oişuită deorece fucţi de su itegrlă este cotiuă pe covergeţei,, deci u se pue prolem că < <, tuci < şi deorece di Teorem 5 rezultă că ( ) tuci ( ) lim =, d este covergetă că, d este o itegrlă oişuită, deci u se pue prolem covergeţei că < <, tuci < şi deorece lim ( ) ( ) =, di Teorem 4, rezultă că ( ) fucţi B este covergetă petru orice > şi orice > d este covergetă Aşdr,

51 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 55 Teorem 4 Fucţi et re următorele proprietăţi: B, = B,, >, > (i) ( ) (ii) că >, tuci re loc următore relţie de recureţă: B(, ) = B(, ) () + Î prticulr, petru m, *, m vem ( m! ) (! ) B( m, ) = () m+! (iii) B(, ) = t dt (4) + ( + t) emostrţie Afirmţi (i) rezultă imedit, dcă fcem schimre de vriilă = t Itegrâd pri părţi, petru > şi > vem: B(, ) = ( ) + ( ) d = ( ) ( ) = d B(, ) B(, ) = Mi deprte vem: + B(, ) = B(, ) su B(, ) = B(, ) + Î mod semăător se rtă că dcă >, tuci B(, ) = B(, ) + eorece B(,) =, petru orice rezultă: ( ) ( )! B(, ) = K B(,) = ; K + Î prticulr, petru m, ( m! ) (! ), m > vem: B( m, ) = ( m+! ) t (iii) Cosiderăm schimre de vriilă = şi oţiem + t t dt t B(, ) = = dt + + t + t +t + t

52 56 efiiţi 4 Se umeşte fucţi gm, su fucţi lui Euler de speţ dou, următore itegrlă geerliztă cu prmetru : e d, > (5) Γ = Petru răt că itegrl (5) este covergetă, petru orice >, descompuem itegrl î sum două itegrle: = + că, e d este o itegrlă oişuită, deorece fucţi de su itegrlă este cotiuă pe [, ], deci u se pue prolem covergeţei că < <, tuci < şi deorece ( e ) Teorem 5, rezultă că e d este covergetă Pe de ltă prte, oservăm că ( e ) lim =, di lim = i Teorem 4, rezultă că e d este covergetă Aşdr, e d este covergetă, petru orice > Teorem 4 Fucţi Γ re următorele proprietăţi: (i) Γ() = (ii) Γ( + ) = Γ(), > Î prticulr Γ( + ) =!, * Γ Γ (iii) B(, ) =, >, > Γ + emostrţie (i) e e Γ () = d = = (ii) Γ + = e d = e + e d = Γ Î prticulr, petru * vem: Γ + = Γ = Γ = K= K Γ( ) Γ () =, rezultă Γ ( + ) =! Cum Aşdr, oservăm că fucţi Γ geerlizeză fucţi fctoril, fucţie cre re ses umi petru umere turle (iii) Petru îceput oservăm că dcă fcem schimre de vriilă = ty, t > oţiem: ty Γ = t y e dy (6) Îlocuid î (6) pe cu + şi pe t cu t + oţiem:

53 Cp INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 57 ( + t) Γ + t + + ( + t) y = t y e d y Ţiâd sem cum de formul (4), deducem Γ ( + ) t + ( + t) y Γ ( + ) B(, ) = dt t y e y = t + = + t d d = ( t) y y ty t + + y e dt dy + y e t e dy dt = Ţiâd sem di ou de (6) rezultă: + y y Γ ( + ) B(, ) = y e Γ dy = y e dy=γ Γ y Aşdr, B(, ) Γ Γ = Γ + ( )

54 58 CAPITOLUL 4 INTEGRALE CURBILINII 4 RUMURI PARAMETRIZATE efiiţi 4 Pri drum prmetrizt î se îţelege orice fucţie vectorilă cotiuă defiită pe u itervl I di cu vlori î că otăm cu, y şi z compoetele sclre le lui r, tuci rt () = t (), yt (), zt (), t I Ecuţiile = t (), y = y() t, z = z() t, t I se umesc ecuţiile prmetrice le drumului r, su o reprezetre drumului, ir t se umeşte prmetru Imgie directă r(i) itervlului I pri fucţi vectorilă r, dică mulţime (), t y(), t z(); t t I se umeşte suportul (urm, hodogrful, triectori) { } drumului r că I este u itervl compct [, ], tuci suportul său este o mulţime compctă şi coeă di ( ) Î cest cz, puctele r() şi r() se umesc cpetele (etremităţile) drumului că r() = r() drumul se umeşte îchis Eemplul 4 Fie drumul r : [, π] defiit pri: rt () = Rcos, trsit), t [, π] Ecuţiile prmetrice sut: ( = Rcos t y = Rsi t, t [, π ] O y Fig t M ( y, ) ( R,) Oservăm că petru orice t [,π ] puctul ( (), t y() t ) verifică ecuţi, + y = R Rezultă că suportul cestui drum este cercul cu cetrul î origie şi de rză R Prmetrul t re î cest cz o iterpretre geometrică evidetă şi ume, este ughiul ditre rz corespuzătore puctului M(, y) şi direcţi pozitivă ei O deorece r() = r( π ) = ( R,), drumul este îchis

55 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII z y Eemplul 4 Fie drumul r : [, π] defiit stfel: rt () = Rcos, t Rsi, t ht, t [, π] 59 Ecuţiile prmetrice sut: = Rcos t y = Rsi t z = ht, t [,π ] Suportul cestui drum este elice circulră de ps h efiiţi 4 că fucţi vectorilă r este ijectivă, spuem că Fig drumul este simplu (fără pucte multiple) Î czul uui drum îchis, cest este simplu dcă eglitte r( t) = r( t) implică su t = t su cel puţi uul di umerele t şi t este egl cu şi celăllt cu, ude cu şi m ott cpetele itervlului I rumurile prezette î Eemplul 4 şi 4 sut simple U eemplu de drum cre re pucte multiple este fliul lui escrtes: Eemplul 4 Cosiderăm ecuţiile prmetrice: t = + t t y =, t + t Suportul cestui drum este reprezett î Fig Se oservă că origie O este puct multiplu O y efiiţi 4 U drum (,, ): r = y z I se umeşte eted dcă, y, z, sut de clsă C pe I şi () t + y () t + z () t >, t I Fig U stfel de drum re propriette că î orice puct l suportului său dmite tgetă U drum cre u este eted, se spue că re pucte sigulre U puct t I se umeşte sigulr dcă ( t) = y ( t) = z ( t) = că t I este u

56 6 puct sigulr, tuci î puctul M t, y( t ), z( t ) de pe suport, tget u este defiită U drum se cosideră oriett î sesul creşterii prmetrului efiiţi 44 ouă drumuri r : I şi r : I se umesc echivlete şi se oteză cest lucru cu ijectivă, strict mootoă, de clsă C cu ( t ) r ( t ) = r λ ( t ) t I r r, dcă eistă o fucţie λ : I I λ, t I, stfel îcât, O stfel de fucţie λ se umeşte şi schimre de prmetru i defiiţie λ t >, t I su rezultă că dcă λ este o schimre de prmetru, tuci ( t ) t I λ <, că λ > pe I, deci λ este strict crescătore, tuci spuem că drumurile şi sut echivlete cu ceeşi orietre Î cz cotrr, spuem că şi r r r r sut echivlete cu orietre schimtă Este evidet că două drumuri echivlete u celşi suport Eemplul 44 Fie drumurile r : I π r( t) = ( Rsi t, Rcos t), t I =,, respectiv (, ) =, t I ( R) r t t R t =, i i, i =,, defiite stfel: Aceste drumuri u celşi suport şi ume rcul AB î origie şi de rză R (Fig 4) Oservăm că fucţi λ : I I y defiită pri λ ( t) = Rsi t, t I este ijectivă, de clsă C A(, R) şi π λ ( t) = Rcos t>, t, Mi mult, oservăm că r ( λ ( t )) = λ( t ), R λ ( t ) = ( si, cos ) R t R t = = r t, t I Rezultă că λ este o schimre de prmetru şi deci că cele două drumuri sut echivlete cu ceeşi orietre O l cercului cu cetrul Fig 4 B( R,)

57 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 6 Cosiderăm cum drumul :, π t I =, Oservăm, c mi sus, că fucţi : I I π t, I, rezultă că µ este strict descrescătore t r I r( t) ( Rcos t, Rsi t) =, µ defiit pri este o schimre de prmetru Cum µ t = R si t <, µ t = R cos t, rumurile şi (respectiv şi r ) sut echivlete cu orietări diferite r r r r Orietre drumurilor şi, orietre dtă de sesul creşterii prmetrului, este r de l A către B, î timp ce orietre drumului r este de l B către A y y A A O B O B Fig 5 efiiţi 45 Se umeşte cură prmetriztă orice clsă de drumuri prmetrizte echivlete Aşdr, γ este cură prmetriztă dcă eistă u drum prmetrizt r: I stfel îcât: γ { ρ : J drum prmetrizt ρ r} = Cum r ~ r rezultă că r γ O cură prmetriztă este simplă (îchisă, etedă) dcă drumul cre o determiă este simplu (îchis su eted) O cură simplă se cosideră că este oriettă pozitiv, dcă drumul cre o defieşte este oriett î sesul creşterii prmetrului şi egtiv î cz cotrr Fie γ o cură prmetriztă simplă şi etedă, şi fie r: I ( ) drumul prmetrizt cre o defieşte, oriett î sesul creşterii prmetrului Vom ot cu γ + mulţime tuturor drumurilor prmetrizte echivlete cu r şi cre u ceeşi

58 6 orietre cu r Evidet, r γ + Vom ot cu γ mulţime tuturor drumurilor prmetrizte echivlete cu r cre u orietre opusă lui r Suportul uei cure prmetrizte γ este suportul drumului cre o defieşte şi evidet, cest coicide cu suportul oricărui reprezett l curei γ Fie γ cur prmetriztă defiită de drumul r Suportul său este rcul di Fig 4 Suportul curei γ + este rcul AB (oriett de l A către B), î timp ce suportul curei γ este rcul BA Evidet r γ + şi r γ Î cotiure, vom ot cu {γ} suportul curei γ e semee, ori de câte ori u sut prilejuri de cofuzie, vom idetific o cură cu uul di reprezetţii săi efiiţi 46 Fie r :[, ] şi r :[, c] două drumuri prmetrizte cu propriette că rilor r şi r şi se oteză cu r U r următorul drum: ( r( t) dc t [, ] ( ru r) () t = ( r( t) dc t [, c] că γ i este cur defiită de i, i =,, tuci AB r = r Se umeşte justpuere drumu- r γ γ U este cur defiită de drumul U r O cură se umeşte etedă pe porţiui dcă este justpuere r uui umăr fiit de cure etede 4 CURBE RECTIFICABILE Noţiue de cură (drum) itrodusă î 4 este destul de geerlă şi de cee, î umite czuri (î specil î czul curelor cre dmit pucte multiple), suportul uei cure pote să difere eseţil fţă de imgie ituitivă pe cre o vem despre o cură Giuseppe Peo rătt că se pot defii două fucţii cotiue = (t), y = y(t) pe itervlul [, ], deci u drum, stfel îcât, tuci câd prmetrul t prcurge itervlul [, ], puctul corespuzător ((t), y(t)) poreşte di puctul (, ) cre corespude vlorii t =, trece pri tote puctele pătrtului [, ] [, ] şi juge î vârful (, ) cre corespude vlorii t = Cu lte cuvite, suportul cestui drum umple u pătrt Este clr că oţiue de lugime petru u semee drum u re ses Î cele ce urmeză vom itroduce oţiue de drum rectificil (cre re lugime) şi vom răt cum se clculeză lugime uui drum rectificil cu jutorul itegrlei defiite Fie r : [, ] u drum şi fie = (t), y = y(t), z = z(t), t [, ] ecuţiile sle prmetrice Cosiderăm o diviziue orecre itervlului [, ],

59 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 6 : = t < t< K< ti < ti < K< t = şi otăm cu M i puctul de coordote ( ( i), ( i), ( i) ) t y t z t, i=, Fie L () r = M M lugime liiei poligole M M Fig 6 Mi M i i= i i oţiută pri uire suucesivă, pri segmete de dreptă, puctelor M i Este evidet că dcă p, tuci L () r L () r Mulţime { L () r }, câd prcurge tote diviziuile posiile le itervlului [, ] este o mulţime de umere pozitive, cre pote fi mărgiită superior su u efiiţi 4 Spuem că drumul r este rectificil dcă mulţime () r este mjortă Petru u drum rectificil se umeşte lugime s { L } următorul umăr: Lr () sup { L () r} = < Lem 4 Petru orice 4 umere rele,,,, re loc ieglitte: () emostrţie Amplificâd cu cojugt şi ţiâd sem de ieglitte triughiului oţiem = Pe de ltă prte vem: Ţiâd sem de ceste ieglităţi î () rezultă () şi log

60 64 Oservţi 4 Ieglitte () rămâe vlilă petru orice umere rele,, i=, e eemplu petru = vem i i () emostrţi este prctic ceeşi cu demostrţi lemei Teorem 4 Fie r:[, ] u drum prmetrizt defiit stfel: rt () = t (), yt (), zt (), t [, ] că r este eted, tuci r este rectificil şi lugime s este Lr = () t + y () t + z ()d t t emostrţie Fie : = t < t< K< ti < ti < K< t = o diviziue orecre itervlului [, ], şi fie L () r lugime liiei poligole îscrise î suportul drumului r Avem: ( t t ) i, i ( i i ) ( ( i) ( i ) ) ( ( i) ( i ) ) L () r = ( t ) ( t ) + y t y t + z t z t i= i teorem Lgrge rezultă că eistă α, β, γ î itervlul deschis, stfel îcât Fucţi g : [, ] i i i i i i ( ti ti ) i= L () r = ( α ) + y ( β ) + z ( γ ) (4) defiită pri: g() t = () t + y () t + z () t, t [, ], este o fucţie cotiuă, deorece fucţiile, y, z sut cotiue pri ipoteză Cosiderăm sum Riem ( g, ) = ( i) + y ( i) + z ( α i) ( ti ti ) σ α α α i= (5) eorece g este itegrilă pe [, ], rezultă că ε >, δ ε > stfel îcât cu < δ ε şi oricre r fi puctele itermedire α = ( α ) vem σ ( α) g, g( t)dt < ε (6) Pe de ltă prte, di ieglitte () şi ieglitte geerliztă triughiului, rezultă: ( ( i) ( i) ( i) ( i) )( i i ) (7) L () r σ g, ε y β y α + z γ z α t t i= i

61 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 65 Cum y' şi z' sut uiform cotiue pe [, ], rezultă că eistă δ ε > cu propriette că t', t" î [, ] cu distţ t t < δ ε vem ε ε y ( t ) y ( t ) < şi z ( t ) z ( t ) < (8) că legem cum diviziue stfel îcât < δ ε, tuci β i γ i ti ti < δ ε şi log γ i αi < δ ε şi coform (8) vem ε ε y ( βi) y ( αi) <, z ( γi) z ( αi) < (9) Ţiâd sem de (9) î (7) rezultă: L () r ( g ε σ, α) < ( t i t i ) = ε Aşdr, m demostrt că cu i= < δ ε vem L () r σ ( g, α) ε Cum g este mărgiită pe [, ], rezultă că σ ( g, α ) orice şi orice α şi, ţiâd sem de () că mulţime { L () r } < () este mărgiită petru este mărgiită Pri urmre m demostrt că drumul r este rectificil Fie Lr () = sup L () r i defiiţi mrgiii superiore rezultă că petru orice * eistă o diviziue itervlului [, ] stfel îcât Lr () < L () r Lr () () Mi mult, putem presupue că <, petru că î cz cotrr, rfiăm cestă diviziue pâă oţiem o diviziue f cu cestă propriette Cum L () r L () r rezultă că L () r stisfce () Cosiderăm cum o diviziue itervlului [, ] cu propriette mi ; σ ε ; σ < ε şi petru cre sut devărte ieglităţile () i (6), () şi () rezultă ( α) Lr () gt ()d t Lr () L () (), r + L r σ g + () + σ ( g, α) g( t)dt < + ε Cum ieglitte () re loc petru orice * şi orice ε > rezultă că Lr () = gt ()d t = () t + y () t + z ()d t t

62 66 şi cu cest teorem este demostrtă Oservţi 4 Fie r u drum prmetrizt î defiit pri r(t) = ( (), t y() t, t [, ] că r este eted, tuci r re lugime şi cest este ) Lr = () t + y ()d t t Oservţi 4 Fie f : [, ] grficului cestei fucţii este eglă cu o fucţie de clsă C Lugime Lr () = + f ()d t f t, Îtr-devăr, fucţi f defieşte u drum eted şi ume r(t) = (, ) t [, ] Grficul lui f coicide cu suportul cestui drum Afirmţi rezultă cum di Oservţi 4 Oservţi 44 că r este u drum rectificil, tuci orice lt drum echivlet cu r este rectificil şi re ceeşi lugime c r Îtr-devăr, fie ri :[ i, i], i =, două drumuri echivlete şi fie λ :[, ] [, ], ijectivă, strict mootoă de clsă C cu propriette r[ λ () t ] = r() t, t [, ] că = { ti} este o diviziue orecre itervlului [, ], tuci = λ( ) = { λ( ti )} este o diviziue itervlului [, ] diviziue itervlului [, ] este de cest tip Cum L ( r ) = L r rezultă că L( r ) = sup L ( r ) = sup L ( r ) şi reciproc, orice efiiţi 4 O cură este rectificilă dcă este o clsă de echivleţă uui drum rectificil Lugime uei cure rectificile este lugime oricărui drum di cestă clsă de echivleţă Eemplul 4 Lugime cercului O reprezetre prmetrică cercului este = R cos t, y = R si t, t [, π] Coform Teoremei 4 vem: π π L= () t + y ()d t t = Rdt = π R Eemplul 4 Lugime uei rmuri de cicloidă Cicloid este cur prmetriztă defiită de drumul

63 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 67 y = ( si ), y ( cost) t t t [, π] Oservăm că =, () t + y () t = cost = t 4 si = Rezultă că O Fig 7 Eemplul 4 Lugime lăţişorului Lăţişorul este grficul fucţiei f = ch, [, ] i Oservţi 4 deducem L= + sh d= = ch d = sh = sh t L= t = π si d π t = 4cos = 8 O y h Eemplul 44 Lugime elipsei O reprezetre prmetrică elipsei Fig 8 y de ecuţie + = este : = si t, y = cos t, t, π] y Este suficiet să clculăm u sfert di lugime elipsei Avem: L π = cos t si tdt 4 + = c c F O F Fig 9 π = ( ) si td t că otăm cu c distţ foclă şi cu ε ecetricitte, tuci c = c şi ε = < Î cotiure rezultă

64 68 L π = ε si tdt, ude 4 < ε < Sutem coduşi stfel l clculul itegrlei: π ε si tdt, < ε < i păcte, primitiv cestei fucţii u este o fucţie elemetră şi deci clculul cestei itegrle u se pote fce cu formul Leiiz-Newto Îcercre de clcul lugime elipsei e- codus l o itegrlă ce u pote fi clcultă ect O semee itegrlă se umeşte itegrlă eliptică Se cuosc următorele tipuri de itegrle eliptice: ) Itegrl eliptică de primul tip: π dϕ K( κ ) =, κ (,) κ si ϕ O ) Itegrl eliptică de tipul doi: π E( κ ) = κ si ϕ dϕ, κ (,) c) Itegrl eliptică de tipul trei: y α ρθ θ B A β Fig M(, y ) β ρ θ ρ θ θ α Lr () = () + ()d F ( κ, h) = π ( h ϕ ) dϕ + si κ si ϕ, κ (,) Clculul cestor itegrle se fce cu metode proimtive şi s-u îtocmit tele cu vlorile lor (proimtive) petru diferite vlori le prmetrilor κ, respectiv κ şi h Oservţi 45 Fie ρ = ρθ, θ [ αβ, ] o fucţie de clsă C şi fie drumul r : [α, β] defiit de: r( θ ) = ρθ cos θ, ρθ siθ, θ [ αβ, ] rumul r este rectificil şi lugime s este: Îtr-devăr, o reprezetre metrică drumului r este: = ρ( θ)cosθ, y = ρ( θ)siθ, θ [ αβ, ] Suportul cestui drum este rcul AB, reprezett î Fig Coform Teoremei 4 vem: pr-

65 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 69 β ( cos ) β = ρ θ ρ θ + ρ θ ρ θ θ = ( + ) Lr () si si cos d α O y θ Fig Aşdr, lugime crdioidei e ste L = 8 α ρ ( θ) ρ ( θ) d θ Eemplul 45 Lugime crdioidei Fie ρ( θ) = + cosθ, θ [, π ] Suportul drumului determit de cestă fucţie este reprezett î Fig i motive de simetrie, este suficiet să clculăm jumătte di lugime cestui drum Avem L π = cosθ si θ dθ + + = π = ( θ ) + cos dθ = = π cos θ dθ = 4 Oservţi 46 i Teorem 4 rezultă că dcă r :[, ] şi r :[, c ] sut două drumuri prmetrizte etede şi dcă r = r U r este drumul oţiut pri justpuere lor, tuci r este rectificil şi L() r = L r + L r Mi mult, orice cură etedă pe porţiui este rectificilă şi lugime s este sum lugimilor porţiuilor sle etede ( ) 4 REPREZENTAREA NORMALĂ A UNEI CURBE RECTIFICABILE Fie r : [, ] u drum prmetrizt eted, defiit pri z rt () = ( t (), yt (), zt ()) Coform Teore- B O A M y mei 4 cest drum este rectificil şi lugime s este: L= L( r) = () t + y () t + z ()d t t Petru orice t [, ] otăm cu t s = λ ( t) = ( u) + y ( u) + z ( u)du Fig

66 7 că M este pu ctul de coordote ( (), t y(), t z() t ) lugime rcului AM, tuci s = λ(t) reprezită eorece λ () t = () t + y () t + z () t >, t [, ], λ() = şi λ() = L, rezultă că λ : [, ] [, L] este o fucţie de clsă C, strict crescătore şi ijectivă Ivers s λ :[, L] [, ] este de semee de clsă C Cosider ăm fucţi vectorilă ρ :[, L] ϒ defiită pri ρ() s = r λ () s, s [, L ] Este clr că drumurile r şi ρ sut echivlete şi că fucţi λ este o schimre de prmetru că otăm cu % () s = λ () s, ys () = y λ () s % şi zs %() = z λ () s, s [, L], tuci = s %(), y= y% () s, z = z% () s, s [, L] costituie o repre- zetre prmetrică drumului ρ şi deci lui r (deorece ρ r) efi iţi 4 reprezetre prmetrică = s %(), y= y% () s, z = z% () s, s [, L ] portă umele de reprezetre prmetrică ormlă drumului r Î reprezetre prmetrică ormlă, prmetrul s reprezită lugime rcului AM A(), y(), z() şi M s %(), ys %(), zs %() ude ( % % % ) [ ] O propriette importtă reprezetării ormle este următore fucţiilor compuse şi iverse, şi de fptul că d ρ = ds Îtr-devăr, ρ = r λ () s, s [, L] Ţiâd sem de regulile de derivre λ () t = () t + y () t + z () t, rezultă: d ρ dr λ () s d( λ () s ) dr( t) = = = d s d λ () s ds dt λ ( t) = ( (), t y (), t z () t ), ude t = λ () s () t + y () t + z () t Aşdr, vem dρ = () t + y () t + z () t = ds () t + y () t + z () t

67 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 7 i puct de vedere geometric d ρ reprezită versorul tgetei l cură, ds oriettă î sesul creşterii prmetrului s, dică de l A către B π Eemplul 4 Fie drumul r :, rt () Rsi, trcost t, π Avem: =, [ ] defiit pri π t, t [, π ] L= L() s = r cos t+ R si tdt = R π şi s = λ() t = R cos u+ R si udu = R t Fucţi iversă este: s t λ Rπ = () s =, s, R Reprezetre ormlă este: Rπ s %() = Rsis, ys %( ) = Rcos s, s, R R Rπ rumul ρ = ρ() s = ( s %(), ys %()), s, este echivlet cu drumul r şi re ceeşi orietre cu cest că otăm cu cur determită de drumul r oriett î sesul creşterii γ + prmetrului t, tuci ρ γ + Eemplul 4 Fie r :[,π ] drumul prmetrizt defiit pri rt () = Rcos, trsi, tht, t [, π ] Avem π si cos t+ h dt = π R + h ; t () si cos u d L= R t+ R s = λ t = R u+ R + h u = t R + h, t [, π ] s Fucţi iversă este t λ = () s =, s,π R + h şi R + h s s reprezetre ormlă este s %() = Rcos, ys %() = Rsi, R + h R + h hs zs %() =, s,π R + h R + h

68 7 44 INTEGRALE CURBILINII E PRIMA SPEŢĂ Fie γ o cură etedă şi fie = t (), y = y() t, z= z() t, t [, ] o reprezetre prmetrică s O stfel de cur ă este rectificilă şi lugime s este () () () d Fie de semee, s () L= t + y t + z t t = %, y = y% () s, z = z% () s, s [, L] reprezetre ormlă curei γ şi fie f o fucţie relă defiită pe suportul curei γ su pe o mulţime di suport cre coţie cest efiiţi 44 Se umeşte itegrl curiliie de prim speţă fucţiei f pe L cur γ, următore itegrlă defiită: [ %(), s y % (), s z %()d s ] s, dcă cest eistă Petru itegrl curili ţi: f ( yz) Aşdr vem: γ ie de prim speţă se foloseşte ot,, ds f yz,, ds def = [ (), y (), s z ] Remiti m că m ott cu s elemetul de rc, ume L % s % %()d s s () t () s = λ () t = () u + y () u + z () u du Eemplul 44 Să se clculeze ( + y+ z)d s, ude γ este elice circulră γ = Rcost, y= Rsit, z= ht, t [, π] Aş cum m rătt î Eemplul 4 reprezetre ormlă elicei circulre s s hs este: s %() = Rcos, ys %() = Rsi, zs %() =, R + h R + h R + h s, π R + h Rezultă γ f yz,, ds= R h s s hs π + R cos + Rsi + ds = R + h R + h R + h γ π R + h s s h s = R R + h si R R + h cos + = R + h R + h R + h =hπ R + h că m cuoşte reprezetre ormlă oricărei cure, tuci formul () r fi suficietă petru clculul itegrlei curiliii de prim speţă e regulă, o

69 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 7 cură se dă pritr-o reprezetre prmetrică î cre prmetrul t este orecre, ir reprezetre s ormlă u se cuoşte Teorem următore permite clculul itegrlei curiliii de prim speţă î czul câd reprezetre prmetrică este orecre Teorem 44 Fie γ o cură etedă şi fie = t (), y = y() t, z= z() t, t [, ] o reprezetre prmetrică s că A este o mulţ ime cre coţie suportul curei γ şi f : A Ρ este cotiuă, tuci eistă itegrl curiliie de prim speţă fucţiei f pe cur γ şi f ( yz,, ) ds= [ ] γ emostrţie f t (), yt (), zt () () t + y () t + z () t dt () eorece f este cotiuă şi fucţiile, y, z sut de cls ă C pe [, ], rezultă că itegrl di memrul drept eistă Pe de ltă prte, fucţiile % = o λ, y% yo λ =, z% = zo λ sut de semee de lul,l, deci şi clsă C pe iterv [ ] itegrl di memrul stâg eistă Coform efiiţiei 44 vem: f ( yz L,, ) ds= f [ s %(), ys % (), zs %()d ] s γ că fcem schimre de vriilă s λ() t y% o λ = y, z% o λ = z, =, t [, ] ds = λ ()d t t = () t + y () t + z ()d t t şi mi, rezultă % o λ =, deprte: f ( yz,, ) d L λ L s= f [ s %(), ys % (), zs %()d ] s= f [ t yt zt] γ [ ] + (), (), () λ ( t) dt λ = = f t (), yt (), zt () () t + y () t z () t dt Reluâd eemplul 44 şi ţiâd sem de Teorem 44 oţiem: π ( y z)d s= + + R cost+ Rsi t+ ht R si t+ R cos t+ h dt = γ π t = R + h Rsi t Rcost+ h = π h R + h Oservţi 44 Î czul uei cure ple formul () devie f ( y, ) d s= f[ t ], yt ( t) + y ( t)dt γ

70 74 Eem plul 44 Să se clcu leze yd s, ude γ este porţiue di primul y cdr elipsei + = O reprezetre prmetrică curei γ este: π = cost, y= sit, t, Coform Teoremei 44 vem y d s γ π = sit cost si t + cos t dt γ că fcem schimre de vriilă π u = si t+ cos t, t, ( ) tuci rezultă du = sit cost dt şi mi deprte, ( ) y ds = d = + + u u u = ( + ) γ Oservţi 44 că γ este o cură etedă pe porţiui (este o justpuere de cure etede) tuci vem: γ P f yz,, d s f yz,, ds i= γi =, ude γ = γ Uγ UKU γ Oservţi 44 Itegrl curiliie de prim speţă u depide de orietre curei Îtr-devăr, fucţiile = % ( L s), y = y% ( L s), z = z% ( L s), s [, L ] formeză o reprezetre prmetrică curei γ că otăm cu u = L s rezultă: L [ ] % % %,, d,, d f y z s= f L s y L s z L s s= γ = L [ zu %()d ] u= f[ u %(), yu %(),()d zu % ] u= L f u %(), yu %(), f, yz, ds Î cotiure prezetăm iterpretre fizică itegrlei curiliii de prim speţă Îtr-devăr, să presupuem că u fir mteril de grosime eglijilă re ă = s %(), y= ys %(), z= zs %(), s, L, reprezetre form curei γ eted Fie [ ] ormlă curei γ Notăm cu AB suportul curei γ şi cu ρ :AB Ρ + fucţi (cotiuă) cre eprimă desitte firului mteril Fie : = s < si < K< si < si < K< s = L o diviziue orecre itervi fie % ( s), y% ( s), z% ( s) lului [, L] ş M AB puctul de coordote i i i i p γ +

71 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 75 Fig Precizăm că s i reprezită lugime rcului AM i că diviziue este suficiet de fiă, putem presupue că pe porţiue Mi, Mi desitte firului este costtă şi ume este eglă, de eemplu, cu vlore fucţiei ρ îtr-uul di cpete Aşdr, presupuem că ρ ρ M = M i, M M M Rezultă i că ms porţiuii Mi, Mi firului mteril este proimtiv eglă cu produsul ρ ( Mi)( si si ), ir ms îtregului fir AB, se proimeză cu sum ρ ( M )( s s ) i= i i i i Vlore lim,, d Mi si si y z s i =, γ ectă msei firului mteril v fi µ = ρ( ) = ρ sesul ect fiid următorul: ε >, δ > stfel îcât, oricre r fi diviziue itervlului [, L], cu δε Î cocluzie, ρ ( yz) ε i i i i= < vem ( M )( s s ) µ ρ < ε,, ds reprezită ms uui fir mteril de grosime γ eglijilă, cre re form curei γ de suport AB şi de desitte ρ ρ(, yz, ) (, yz, ) AB =, că otăm cu G, y G şi z G coordotele cetrului de greutte le firului mteril, tuci, procedâd c mi îite, se rtă că: ρ yz,, ds yρ, y, z ds zρ, y, z ds G = γ γ ρ,,, ds ( yz) y G = γ γ ρ Î czul uui fir omoge ( ρ ( M ) G = γ ds γ, ds y G = γ yds γ ds, z G =,,, ds ( yz) z G = γ γ ρ,, ds ( yz) = κ, M AB ), rezultă: γ zds γ ds

72 76 45 INTEGRALA CURBILINIE E SPEŢA A OUA Fie γ o cură etedă de suport AB şi fie = s %(), y = y% () s, z = z% () s, r r s [, L], reprezetre s ormlă Vom ot cu τ = τ ( M ) versorul tgetei l cur γ îtr-u puct curet M s %(), ys %(), zs %() AB, oriett î sesul [ ] creşterii prmetrului s Se ştie că r d% dy% dz% τ =,, ds ds ds Cosiderăm de semee r o fucţie vectorilă F = ( P, Q, R defiită pe o mulţime Ω ce coţie suportul AB l curei γ, cu vlori î Î otţi vectorilă, î cre idetificăm orice puct di cu vectorul său de poziţie, vem: r d% r dy% r dz% r τ = i + j+ k = cosαi r + cos β r j+ cosγ k r, ude α, β şi γ sut ughiurile ds ds ds pe cre le fce r τ cu O, Oy şi Oz r r r r F yz,, = P yzi,, + Q yz,, j+ R yzk,,, ( yz Ω,, ) efiiţi 45 Se umeşte itegrl curiliie de speţ dou fucţiei r F = ( P, Q, R) pe cur γ +, următore itegrlă defiită: L r r F τ ds= L ( [% % % ] % [% % % ] % [% % % ] % ) = Ps (), ys (), zs () s () + Qs (), ys (), zs () ys () + Rs (), ys (), zs () zs ()ds γ Petru itegrl curiliie de speţ dou se foloseşte otţi P, y, z d + Q, y, z d y+ R, y, z dz Aşdr vem: γ def L r r P, y, z d + Q, y, z d y+ R, y, z dz = F τ ds= L ( [% % % ]% [% % % ]% [% % % ] % ) = Ps (), ys (), zs () s () + Qs (), ys (), zs () ys () + Rs (), ys (), zs () zs ()ds Următore teoremă permite clculul itegrlei curiliii de speţ dou câd reprezetre prmetrică curei este orecre ) ()

73 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 77 Teorem 45 Fie γ o cură etedă şi fie = t (), y = y() t, z= z() t, t [, ] o reprezetre prmetrică s Notăm cu γ + cur γ oriettă î sesul creşterii prmetrului t că AB l curei γ şi (,, ): F = P Q R A eistă itegrl curiliie de speţ dou pe cur γ + şi P, y, z d + Q, y, z d y+ R, y, z dz = γ + Ω este o mulţime ce coţie suportul este o fucţie vectorilă cotiuă, tuci ( [ ] [ ] [ ] ) = Pt (), yt (), zt () t () + Qt (), yt (), zt () yt () + Rt (), yt (), zt () zt () dt emostrţie eorece γ este etedă, rezultă că %, y% şi z% sut de clsă C pe [, L], deci r τ : AB este o fucţie vectorilă cotiuă Cum şi F r este cotiuă, deducem L r r că F τ d s eistă, deci itegrl di memrul stâg re ses Este evidet că şi itegrl di memrul drept eistă, deorece, y şi z sut de clsă C () pe [, ] şi P, Q, R sut cotiue pe AB Coform defiiţiei 45 P (, y, z ) d + Q (, y, z ) d y + R (, y, z ) d z este γ + eglă cu itegrl di memrul drept l eglităţii () Vom fce î cestă itegrlă schimre de vriilă s λ() t t, şi oţiem [ ()] =, [ ] λ ( λ() t ) = () t şi log y% [ λ () t ] = y() t, [ λ ] = % λ t = z% () t z() t e semee, ţiâd sem de regulile de derivre fucţiilor compuse şi iverse, vem d ()d s s ( λ () s ) d () () % = ds= λ s d λ s ds d s = d λ () s ds = () t λ ()d t t ()d λ () t = t t Î mod semăător vem y% ()d s s = y ()d t t, z% ()d s s = z ()d t t Î urm cestei schimări de vriilă rezultă: L ( Ps [%(), ys % (), zs %()] s % () + Qs [%(), ys %(), zs %()] ys % () + Rs [%(), ys %(), zs %()] zs % ()d ) s = = ( Pt [ (), yt (), zt ()] t () + Qt [ (), yt (), zt ()] yt () + Rt [ (), yt (), zt ()] zt ()) dt Cu cest, teorem este demostrtă

74 78 Oservţi 45 Itegrl curiliie de speţ dou depide de orietre curei Îtr-devăr, versorul tgetă l cur γ îtr-u puct curet M AB este egl cu r τ, de ude rezultă că: L r r L r r Pd+ Qdy+ Rdz = F ( τ ds= F τ ds= Pd+ Qdy+ Rdz ) γ γ+ Eemplul 45 Să se clculeze γ + yd+ zdy+ dz, ude R R R : ( cos t), y ( cos t), z sit Coform Teoremei 45 vem: γ + = + = =, t [, π ] γ + yd+ zdy+ dz = π R ( cos ) R R R R R = t si t si t si t ( cos t) cos t d t = π R = Oservăm că di puct de vedere geometric, suportul curei γ este cercul + y + z = R + y = R Acest cerc se flă î plul + y = R cre este prlel cu Oz şi trece pri puctele AR (,,) şi B(, R,) ; segmetul [AB] este u dimetru l său Cercul re cetrul î R R R puctul,, şi rz că otăm R R R cu P,, R R R şi cu Q,, lte două pucte le cercului, costtăm că puctul A corespude vlorii t =, prπ metrului, P corespude vlorii t =, B corespude vlorii t = π şi Q corespude π vlorii t = Aşdr, cur γ + este cercul di plul + y = R, de cetru R R,, şi rz R, oriett î sesul APBQA

75 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 79 Oservţi 45 că cur γ este dtă pritr-o reprezetre prmetrică, γ + reprezită cur γ oriettă î sesul creşterii prmetrului că îsă cur γ este o cură îchisă şi este dtă c o itersecţie de două suprfeţe, tuci orietre curei u este evidetă şi treuie idictă pri euţ e eemplu, î czul cercului de mi sus, se pote specific fptul că cest este prcurs î sesul celor uui cesoric dcă privim di puctul O, origie sistemului de e Fptul că este vor de o cură îchisă, se pote mrc pritr-u cerc pe semul itegrlei Eemplul 45 se pote reformul stfel: Să se clculeze yd+ zdy+ dz ude + + = y z R γ + este cercul + y = R privim di cetrul sferei γ + prcurs î sesul celor uui cesoric dcă Oservţi 45 că γ este etedă pe porţiui (este o justpuere de cure etede γ = γ Uγ UKU γ, tuci : p p Pd+ Qdy+ Rdz = Pd+ Qdy+ Rdz γ i= ( γ ) + i + Oservţi 454 Î czul uei cure ple, formul () devie: P(, y) d + Q(, y) d y = P( (), t y() t ) () t + Q( (), t y() t ) y () t dt γ + E emplul 45 Să se clculeze ( + y ) d+ ( y ) dy, ude γ + este γ + grficul curei y =, [, ] Eplicitâd modulul oţiem: 454 deducem: ( OA + y ) [ ] [ ] dcă, y = dcă, Cum γ + = OA U AB rezultă γ + = + eorece = t, y = t, t [,] este o reprezetre prmetrică segmetului OA, di Oservţi d+ y dy= t dt = Pe de ltă prte, o reprezetre prmetrică segmetului AB este = t, y = t, t [,] Rezultă: OA AB

76 8 ( ) AB + y d+ y dy = t + t () + ( t t )( ) dt = = ( t) d t = 4 Aşdr, d + y + y dy = γ + Petru iterpretre fizică itegrlei curiliii de speţ dou, cosiderăm o cură etedă γ, de suport AB Fie = s %(), y = y% () s şi z z() s reprer zetre ormlă curei γ +, f ie F = P, Q, R : AB o fucţie vectorilă = %, s [, L] cotiuă şi fie := s < s< K< si < si < K< s = L o diviziue orecre iterv lului [, L] Notăm cu M i puctul de coordote ( ( si), y( si), z( si) ) % % % Lugime rcului Mi M i este eglă cu si si ξi si, si u puct ritrr, fie Pi % ( ξ ), y% i ( ξi), z% ( ξi) puctul corespuzător de pe rcul γ + M Fie [ ] M i i şi fie i r τ versorul tgetei î P i l cur că diviziue este suficiet de fiă, putem presupue că fucţi r vectorilă F = P, Q, R pe cre o iterpretăm c o forţă, este costtă pe rcul M M i i şi ume este eglă cu vlore s î puctul i P Î ceste codiţii, lucrul mecic efectut petru deplsre uui puct mteril pe rcul Mi Mi su cţiue forţei F r r r r r se pote proim cu F( Pi) τi( si si ), ude cu F( Pi) τi m ott produsul sclr l celor doi vectori Lucrul mecic efectut petru deplsre uui puct mteril pe rcul AB su cţiue forţei vriile F r se proimeză cu sum F r r ( Pi) τi( si si ) Vlore ectă lucrului mecic v fi egl cu: lim i= i= r r F P s s τ ( ) i i i i = P yz,, d + Q yz,, d y+ R yz,, dz γ +

77 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 8 Î coseciţă Pd+ Qdy+ Rdz γ + reprezită lucrul mecic efectut petru deplsre uui puct mteril pe cur γ + su cţiue forţei vriile F r = Pi r + Qj r + Rk r 46 INEPENENŢA E RUM A INTEGRALEI CURBILINII E SPEŢA A OUA Î cest prgrf vom liz czul câd itegrl curiliie de speţ dou depide umi de etremităţile curei şi u depide de cur îsăşi Acest cz este iterest tât di puct de vedere mtemtic, deorece clculul uei stfel de itegrle este mi simplu, cât şi di puct de vedere prctic, deorece re plicţii î termodimică efiiţi 46 Fie A o mulţime deschisă şi fie P, Q, R : A Ρ, trei fucţii orecre Se umeşte formă difereţilă de grdul îtâi pe mulţime A, de coeficieţi P, Q şi R, următore epresie: ω = P yz,, d + Qyz,, dy+ + R( yz,, ) dz, (, yz, ) A că, î plus P, Q şi R sut de clsă C pe A, tuci ω se umeşte formă difereţilă de grdul îtâi, de clsă C Eemplul 46 că f : A este difereţiilă pe A, tuci f f f difereţil s de ordiul îtâi: df = d + dy + dz este o formă difereţilă y z f f f de grdul îtâi pe A, de coeficieţi, şi y z Formele difereţile de tipul celui di Eemplul 46 se umesc ecte Mi precis: efiiţi 46 Form difereţilă de grdul îtâi P( yz) + Q(, y, z) dy + R( yz,, ) dz, (, yz, ) A P P ω =,, d+ se umeşte ectă, dcă eistă o fucţie f C ( A) stfel îcât ω = df, cee ce revie l următorele eglităţi pe f f f A: P=, Q=, R= y z r v(, y, z ) = r Oservţi 46 că cosiderăm câmpul vectoril v: A, r r r P, y, z i + Q, y, z j+ R, y, z k A, tuci form, (, yz, ) difereţilă ω, de coeficieţi P, Q şi R, este ectă pe A, dcă v r este u câmp de

78 8 poteţil, dică dcă f C ( A) stfel îcât v r = grd f (Vezi [], efiiţi 444) Teorem 46 Fie u domeiu şi fie P, Q, şi R trei fucţii rele, cotiue pe Următorele firmţii sut echivlete: (i) Form difereţilă ω = Pd + Qdy + Rdz este ectă pe ; (ii) γ Pd + Qdy + Rdz =, petru orice cură îschisă γ, etedă pe porţiui, l cărui suport este iclus î ; (iii) Pd + Qdy + Rdz u depid de drum î domeiul, î sesul următor: γ oricre r fi două pucte A, B şi oricre r fi două cure etede pe porţiui, γ şi γ cre u suporturile icluse î şi u celeşi cpete A şi B vem: Pd + Qdy + Rdz = Pd + Qdy + Rdz [ Fig ] γ γ emostrţie (i) (iii) Pri ipoteză, eistă f C ( ) stfel îcât: f f f P =, Q =, R = () y z Fie A şi B două pucte orecre di şi fie γ o cură etedă pe porţiui, l cărui suport AB este iclus î că = t (), y= y() t, z= z(), t t,, este o reprezetre prmetrică curei γ, tuci A re coordotele ( (), y(),() z ) ir B re coordotele ( (), y(),() z ) Fie F: [, ] Ρ, fucţi compusă defiită stfel: Ft () = f t (), yt (), zt (), t [, ] [ ] Ţiâd sem de formulele de derivre le fucţiilor compuse şi de eglităţile () rezultă: f f f F () t = [ (), t y(), t z() t ] () t + [ (), t y(), t z() t ] y () t + [ (), t y(), t z() t ] z () t = y z () = Pt (), yt (), zt () t () + Qt (), yt (), zt () yt () + Rt (), yt (), zt () zt () [ ] [ ] [ ] Eglitte () este vlilă petru orice puct t [, ] cu ecepţi uui umăr fiit de pucte şi ume, cele pucte t [, ] cre corespud puctelor de justpuere curelor ce compu γ Cum eglitte () este devărtă pe [, ] cu ecepţi uei mulţimi eglijile rezultă:

79 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 8 Pd + Qdy + Rdz = γ + ( [ ] [ ] [ ] ) = Pt (), yt (), zt () t () + Qt (), yt (), zt () yt () + Rt (), yt (), zt () zt () dt= = F () t dt = F F = f( B) f( A) Aşdr, vlore itegrlei u depide de form curei γ şi depide umi de cpetele sle M, y, z u puct M ( yz,, ) Fig (iii) (i) Fie fit, fie M ( yz,, ) u puct orecre şi fie γ o cură etedă pe porţiui, l cărui suport MM este iclus î eorece pri ipoteză, itegrl u depide de drum î domeiul, rezultă că putem defii o fucţie f : Ρ, stfel: f ( yz,, ) = Pd+ Qdy+ Rdz, MM Fie N( + h, y, z) şi fie = t, y = y, z = z, t [, h] prmetrică segmetului de drepte MN Avem: (,, ) f + h y z = Pd+ Qdy+ Rdz = MMUMN = Pd + Qdy + Rdz + Pd + Qdy + Rdz MM Ţiâd sem de Corolrul 4 de l Teorem de medie rezultă: MN (,, ) + o reprezetre Pd + Qdy + Rdz = P t y z dt f ( + h, y, z) f (, y, z) P( ξ, y, z) h = MN =, h h h h ude ξ este u puct cupris ître şi + h Folosid di ou fptul că P este f ( + h, y, z) f (, y, z) cotiuă, rezultă că eistă lim = P(, y, z) h h f Aşdr, = P Î mod semăător, îlocuid segmetul MN cu u segmet prlel cu f f Oy (respectiv Oz) se rtă că = Q şi = R, deci ω este ectă y z + h

80 84 (ii) (iii) Fie, γ = γu γ Evidet γ este o cură îchisă, etedă pe porţiui, l cărui suport este iclus î i (iii) rezultă că Pd + Qdy + Rdz = r = + = = γ γ γ ( γ ) γ γ Aşdr = γ γ γ γ curele di Figur şi fie, dică (ii) (iii) (ii) Fie γ o cură îchisă, etedă pe porţiui, l cărui suport este iclus î, fie rt () = ( t (), yt (), zt ()), t [, ] reprezetre prmetrică s şi fie < c< orecre Notăm cu γ cur cărei reprezetre prmetrică este r = r() t, t [, c] şi cu γ cur r = r() t, t [c, ] Evidet γ = γu γ Pri ipoteză rezultă = + = γ ( γ ) ( γ ) + de ude =, ( γ ) ( γ ) + efiiţi 46 O formă difereţilă de ordiul îtâi ω = Pd + Qdy + Rdz se umeşte îchisă pe domeiul, dcă P, Q, R sut de clsă C pe şi P Q dcă = y Q R = z z R P = z Oservţi 46 că cosiderăm câmpul vectoril r r r r v, y, z = P, y, z i + Q, y, z j+ R, y, z k r v:, (, yz, ) tuci ω este îchisă dcă şi umi dcă câmpul v r este irotţiol, dică dcă r R Q P R Q P rot v = i r + r j+ = y z z y kr r Teorem 46 că ω = Pd + Qdy + Rdz este ectă şi este de clsă pe, tuci ω este îchisă pe f f emostrţie Pri ipoteză eistă f C ( ) stfel îcât P =, Q =, y f R = eorece, î cest cz, derivtele de ordiul doi le lui f sut cotiue, z rezultă că derivtele mite sut egle Avem:, C

81 Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 85 P f f Q = = = y y y, Q f f R = = = z z y y z y, R f f P = = = z z z efiiţi 464 O mulţime S se umeşte steltă dcă eistă u puct A S cu propriette că M S, segmetul de dreptă de cpete A şi M, pe cre-l otăm [ AM, este iclus î S Remitim că ] [ AM, ] ( t) A tbt [, ] { } = + Oservţi 46 Orice mulţime coveă este steltă, î timp ce firmţi reciprocă u este î geerl devărtă e eemplu mulţime \{(, ); > } este steltă (î rport cu O (,)) dr u ete coveă Teorem 46 că esteo mulţime steltă şi deschisă, tuci orice formă difereţilă îchisă pe este ectă pe emostrţie Pri ipoteză, eistă A stfel îcât [ AM, ], M Să presupuem că A re coordotele (,, c) ir M re coordotele (, y, z) Fie t [,] orecre şi fie T = ( t) A+ tb= ( t) + t, ( t) + ty, ( t) c+ tz, puctul corespuzător de pe segmetul [ AM, ] efiim o fucţie f : Ρ, stfel: = ( ) + ( ) + ( ) f yz,, PT QT y RT z c dt Ţiâd sem de teorem de derivre itegrlei cu prmetru (Teorem ) rezultă: f P T Q T R T = T + P T + T y + T z c dt = P Q R ( T) t( ) P( T) ( T) t( y ) ( T) t( z c) = d t Q P R P Pe de ltă prte, pri ipoteză vem = şi = y z, deci f P P P = T t + T t y + T t z c + P T dt y z = d = ( tp ( T )) d t = tp ( T ) = P M P A = P M = P, y, z dt

82 86 Aşdr, f = P şi log f = Q, y f = R, deci ω este ectă z P( yz,, ) Eemplul 46 Să se clculeze ( 6,, ) = yz, Q(, y, z) = z şi R( yz,, ) (,,) yzd + zdy + ydz că otăm cu = y, tuci form difereţilă P Q Q R ω = Pd + Qdy + Rdz este îchisă pe deorece = = z ; = = ; y z y R P = = y i Teorem 46 rezultă că ω este ectă, ir di Teorem 46 z că itegrl u depide de drum Aşdr, prolem re ses eorece itegrl u depide de drum, clculul său se pote fce legâd u drum vtjos şi ume A,,, B ( 6), C 6,,, legem lii frâtă determită de puctele ( 6,, ) f (, y, z) ( 6,, ) 6 yzd + zdy + ydz = 6 6 (,,) + + = dt + dt dt + = AB BC C = 8 = O soluţie mi simplă se pote d, dcă oservăm că ω = df, ude ( 6) ( 6,, ) = yz Atuci yzd + zdy + ydz = yz (,,) (,,) = 6 6= dcă Oservţi 464 Î pl, o formă difereţilă ω = Pd + Qdy este îchisă, P Q PQ, C şi = y este cercul Eemplul 46 Să se clculeze ( 4 + ) + 4 ( ) + y y = γ y y d y dy, ude γ că orăm cu P(, y) = y 4y+ şi cu Q(, y) 4( y ) =, tuci P Q = = 4( y ) Rezultă că ω = Pd + Qdy este îchisă î, deci este ectă y î Cum γ este o cură îchisă, di Teorem 46 rezultă că vlore itegrlei este, deci u e ecesr ici u clcul

83 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 87 CAPITOLUL 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 ARIA UNEI MULŢIMI PLANE Î cele ce urmeză, pri mulţime plă poligolă, vom îţelege orice mulţime di pl mărgiită de u poligo Î prticulr, pri mulţime plă dreptughiulră (triughiulră) îţelegem o mulţime plă cărei frotieră este u dreptughi (triughi) Cititorul este fmilirizt cu oţiue de rie uei mulţimi ple poligole de l cursul de geometrie elemetră Î cest prgrf vom d u ses oţiuii de mulţime cre re rie, petru o clsă de mulţimi mi geerlă decât cls mulţimilor poligole efiiţi 5 Pri mulţime elemetră (î pl) îţelegem orice reuiue fiită de mulţimi ple dreptughiulre cu lturile prlele cu ele de coordote, fără pucte iteriore comue Fcem precizre că orice reuiue fiită de mulţimi dreptughiulre cu lturile prlele cu ele de coordote se pote reprezet c o mulţime elemetră o i o j Fig Aşdr, o mulţime E este elemetră, dcă eistă u umăr fiit de =, c, d i, dreptughiuri (plie) [ ] [ i =, p stfel îcât i i i i ] p E = U şi I = petru i j Se ştie că ri uui dreptughi este eglă cu produsul lugimilor lturilor, deci ( )( d c ) elemetre E este A ri i i i i i i= = Pri defiiţie, ri mulţimii ri E p = ri () i= Î cotiure, vom ot cu E fmili mulţimilor elemetre di pl că este o mulţime mărgiită, tuci vom ot cu: S ( A) = sup{ ri E; E A, E E} şi S ( A) = if { ri F; F = A, E E } i i

84 88 Î czul câd mulţime A u coţie ici o mulţime elemetră, vom defii S ( A) = Cu cestă precizre, este evidet că cele două mrgii eistă şi că S A S A efiiţi 5 Spuem că o mulţime mărgiită A (re rie) î sesul lui Jord, dcă S( A) se umeşte ri mulţimii A S A = S A = S A este măsurilă Vlore comuă Oservţi 5 Orice mulţime elemetră re rie î sesul efiiţiei 5 şi cest coicide cu ri defiită î (), dică cu sum riilor dreptughiulre cre o compu Oservţi 5 Orice mulţime poligolă re rie î sesul efiiţiei 5 şi cest coicide cu ri cuoscută di geometri elemetră Îtr-devăr, deorece orice mulţime poligolă este o reuiue fiită de mulţimi triughiulre şi orice triughi este reuiue su difereţ două triughiuri dreptughice, este suficiet să rătăm că orice mulţime plă cărei frotieră este u triughi dreptughic re rie Fie u triughi dreptughic ABC, Â = 9, AB =, AC = Împărţim ctet AB î părţi egle şi cosiderăm dreptughiuri de tipul MNPQ ude MN = şi MP este prlelă cu AB Să presupuem că BM = i i semăre triughiurilor Fig BMP şi BAC rezultă BM = MP, deci MP= i Aşdr, ri dreptughiului MPQM este i că otăm cu E reuiue cestor dreptughiuri, tuci E E, E este iclusă î mulţime triu ( ) ghiului ABC şi ri E = ( + + K + ( ) ) = Î mod log, dcă otăm cu F reuiue dreptughiurilor de tipul MRSN, tuci F este o mulţime elemetră cre iclude triughiul ABC şi ri F ( ( + ) = + + K+ ) = Î cotiure vem

85 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 89 + = sup S ( ABC) S ( ABC) if =, deci S ( ABC) = S ( ABC) = Aşdr, mulţime triughiulră ABC re rie î sesul efiiţiei 5 şi cest coicide cu ri triughiului dreptughic cuoscută di geometri elemetră efiiţi 5 Pri mulţime elemetră poligolă îţelegem orice reuiue fiită de mulţimi poligole cre u u pucte iteriore comue Fig Propoziţi 5 Orice mulţime elemetră poligolă este iclusă îtr-o mulţime elemetră de rie cel mult de 8 ori ri mulţimii elemetre poligole iiţilă emostrţie emostrţi se zeză pe următorele oservţii: ) Orice mulţime poligolă este o reuiue fiită de mulţimi triughiulre; ) Orice triughi (pli) este reuiue su difereţ două triughiuri (plie) dreptughice; ) Orice triughi dreptughic este iclus îtr-u dreptughi de rie de două ori mi mre c ri s; 4) Orice dreptughi este o reuiue fiită de pătrte şi u dreptughi cu rportul lturilor cupris ître şi Îtr-devăr, fie u dreptughi de lturi şi cu > m Fie r = u umăr rţiol cu propriette m < < () şi fie dreptughiul de lturi şi m, ir dreptughiul de lturi şi m

86 9 Evidet = U Oservăm că dreptughiul este reuiue m pătrte de ltură Pe de ltă prte, di () rezultă m < < şi mi m deprte < < Aşdr, m vem < <, deci rportul lturilor dreptughiului este cupris ître şi 5) Orice dreptughi cu rportul lturilor cupris ître şi este Fig 4 iclus îtr-u pătrt de rie cel mult dulul riei dreptughiului iiţil 6) Orice pătrt este iclus îtr-u pătrt cu lturile prlele cu ele de coordote şi de rie dulă Ţiâd sem şi de 5) rezultă că orice dreptughi cu rportul lturilor cupris ître şi este iclus îtr-u pătrt cu lturile prlele cu ele de coordote şi de rie cel mult de 4 ori ri dreptughiului iiţil i cele de mi sus rezultă că orice mulţime poligolă pote fi iclusă îtr-o reuiue fiită de mulţimi dreptughiulre cu lturile prlele cu ele de coordote de rie cel mult de 8 ori ri mulţimii poligole iiţile Î sfârşit, să oservăm că orice reuiue fiită de mulţimi dreptughiulre cu lturile prlele cu ele de coordote se pote reprezet c o mulţime elemetră vâd ceeşi rie Oservţie 5 Eistă mulţimi ple cre u u rie dcă Îtr-devăr, fie fucţi lui irichlet () = dcă \ {(, ), } A = y y Se oservă imedit, î cest cz, că S ( A) = şi S ( A) şi fie =, deci mulţime A u este măsurilă (u re rie) Următore propoziţie e furizeză eemple de mulţimi cre u rie Fie f :, + şi fie Γ f sugrficul său, dică mulţime [ ] {( y, ), y f } Γ f = Propoziţi 5 că f este itegrilă pe [, ], tuci sugrficul său re rie şi ri Γ f = f d Γ f

87 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 emostrţie Fie : = < < K< i < i < K< = o diviziue orecre itervlului [, ] şi fie mi (respectiv M i ) mrgie iferioră (superioră) fucţiei f pe itervlul [ i, i] că otăm cu s Fig 5 S ( Γ f ) S ( f ) Γ S E = [ i, i] [, m i] U, tuci E E, i= E Γ f şi ri ( E ) = mi( i i ) = s ude cu i= s m ott sum rou iferioră s S Γ Rezultă că ( f ) Î mod log, dcă otăm cu F = [ i, i] [, M i] U, tuci F E, i= F Γ f şi ri ( F ) S S ( f ) Aşdr vem: () = Γ Fptul că f este itegrilă pe [, ] implică: I = sups = if S = I = f d S Γ = S Γ = f d şi cu cest teorem Î sfârşit, di () rezultă () este demostrtă f f Fie f, g: [, ] Ρ două fucţii cu propriette f g, [, ] şi fie {( y, ), f ( ) y g } Γ fg = Fig 6 Corolrul 5 că f şi g sut itegrile pe [, ], tuci mulţime Γ re rie şi ri ( Γ fg) = [ () ()] g f d f g Eemplul 5 Să se clculeze ri elipsei y Ecuţi elipsei este + = i motive de simetrie este suficiet să clculăm u sfert di ri elipsei, de eemplu ri mulţimii hşurte î figur 6

88 9 Fig 7 semie şi este eglă cu π Arcul BA este grficul fucţiei f () =, [, ] Coform Propoziţiei 5 vem: ri ( elipsei ) = f () = d= 4 = + rcsi = π π = = Aşdr ri elipsei de 4 Teorem 5 Fie A o mulţime mărgiită Codiţi ecesră şi suficietă c mulţime A să iă rie este c petru orice ε > să eiste două mulţimi elemetre Eε şi F ε cu proprietăţile: E ε A F ε şi ri ( Fε ) ri ( E ε ) < ε emostrţie Necesitte: că S A = S A = S A superiore (iferiore) rezultă că eistă < ri E ε şi eistă Fε E, F A vem ri ( F ) ri ( E ) ε ε < ε E E, tuci di defiiţi mrgiii ε S A < ε < S A + Aşdr, ε, E ε A stfel îcât ε stfel îcât ri ( F ) Suficieţ că petru orice ε >, eistă E ε, F ε E cu proprietăţile: E ε A F ε şi ri ( Fε) ri ( Eε ) <ε, tuci vem: S ( A) S ( A) ε > fost ritrr, rezultă că S ( A) = S ( A), deci A re rie ε < ε Cum efiiţi 54 Spuem că mulţime Γ este de rie zero dcă pote fi iclusă îtr-o mulţime elemetră de rie oricât de mică Cu lte cuvite, dcă ε > eistă o mulţime elemetră F Γ cu ri(f) < ε Î prticulr vem şi cum S Γ S Γ rezultă că Γ re rie şi că ri(γ) = Cu S ( Γ ) = cestă defiiţie Teorem 5 se pote reformul stfel: Teorem 5' Fie A o mulţime mărgiită Codiţi ecesră şi suficietă c mulţime A să iă rie este c frotier s Γ să fie de rie zero

89 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 emostrţie că A re rie, tuci ε >, Eε, Fε E cu proprietăţile E ε A F ε şi ε ε ε ε <ε Cum Γ= fr A Fε \ Eε şi Fε \ este de semee o mulţime elemetră, rezultă că Γ este de rie zero Afirmţi reciprocă rezultă di Oservţi că orice mulţime elemetră cre coţie frotier Γ mulţimii A se pote scrie c difereţ două mulţimi elemetre F \ E cu E A F ri ( F \ E ) = ri ( F ) ri ( E ) Corolrul 5 Grficul oricărei fucţii cotiue f : [, ] Ρ este o mulţime de rie zero Îtr-devăr, fucţi f fiid cotiuă, este itegrilă şi coform Propoziţiei 5 sugrficul său re rie Afirmţi rezultă cum di Teorem 5' Corolrul 5 Orice mulţime plă cărei frotieră este o reuiue fiită de grfice de fucţii cotiue, re rie (Afirmţi rezultă di Corolrul 5, di oservţi că o reuiue fiită de mulţimi de rie zero este de semee de rie zero şi di Teorem 5') Teorem 5" O mulţime mărgiită A re rie dcă şi umi dcă petru orice ε > eistă două mulţimi elemetre poligole P ε şi Q ε cu proprietăţile: P ε A Q ε şi ri Q ε ri P ε < ε Afirmţi rezultă di Propoziţi 5 şi di Teorem 5 Oservţi 54 Orice disc (mulţime plă cărei frotieră este u cerc) re rie Îtr-devăr, dcă otăm cu P (respectiv Q ) mulţime poligolă cărei frotieră este poligoul regult cu lturi îscris (respectiv circumscris) î cerc, tuci riq rip este oricât de mică petru suficiet de mre Î cotiure otăm cu (θ, ρ) coordotele polre î pl Propoziţi 5 Fie ρ = ρθ, θ [, ] o o Eε αβ o fucţie cotiuă şi fie {( θ, ρ) α θ β, ρ ρ( θ )} Atuci A re rie şi ria A = = d β ρ θ θ α emostrţie Fie : α = θ < θ< K< θi < θi < K< θ = β o diviziue echidisttă α, β itervlului [ ]

90 94 Fie mi (respectiv M i ) mrgie iferioră (superioră) fucţiei ρ = ρθ, θ [ θi, θ i] Ari sectorului de cerc {( θ, ρ) θ θ θ, ρ ρ( θ )} OR P = i i i i ρ θ, [ ] fucţi Fig 8 este eglă cu m ( ) θ θ, ir i i i ri sectorului de cerc OQiRi este eglă cu M i ( θi θ i ) că otăm cu P (respectiv Q ) reuiue celor sectore de cerc ORiPi (respectiv OQ R ) tuci P A şi i Q i ri P = mi ( θi θ i ) ir i= Q M i θi θ i= i ri = ( ) Oservăm că cele două sume sut sumele rou socite fucţiei θ, Ţiâd sem că β α = şi ρ este itegrilă pe [ α ] β, rezultă că eistă lim ri P Pe de ltă prte, deorece mulţime elemetră ( respectiv ) ri P ri E < ε şi ri F ri Q presupue că ri Q me A re rie şi ri = lim ri Q = β ρ θ dθ (4) α P respectiv Q re rie petru ε > eistă o E F, E P A Q F stfel îcât < ε Î plus, ţiâd sem de (4) putem ri P < ε Aşdr, vem ri F ri E A = d β ρ θ θ α < ε, deci mulţi- Teorem 5 Suportul uei cure rectificile este o mulţime de rie zero

91 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 95 emostrţie Fie r : [, ] drumul prmetrizt rectificil cre determiă cur γ, defiit pri rt () = ( t (), yt ()) Fie L lugime cestui drum şi fie = s %(), y = y% () s, s [, L] reprezetre s turlă (Vezi Cp 4, 4) := s < s < K< s < s < K< s = L o diviziue echidisttă Fie i i itervlului [, L] şi fie M i puctul de coordote ( ( si), y( si) ) % % de pe suportul curei γ Lugime rcului M i M i este L Cosiderăm u pătrt i cu cetrul î M i şi lturile prlele cu ele de coordote, de ltură L Este evidet că suportul curei γ (imgie fucţiei vectorile r) este iclus î Fig 9 U i şi i= 4L ri U i ri ( i) = ( + ) Cum i= i= 4L lim ( + ) =, petru suficiet de mre, ri mulţimii U i este oricât de mică, deci suportul i= curei γ este o mulţime de rie zero i Teoremele 5' şi 5 rezultă: Corolrul 54 Orice mulţime plă mărgiită cărei frotieră este o reuiue fiită de cure rectificilă re rie Corolrul 55 Orice mulţime mărgiită cărei frotieră este etedă pe porţiui re rie Afirmţi rezultă di Teorem 4 şi Corolrul 54 Propoziţi 5 că A şi A sut două mulţimi cre u rie şi u u pucte iteriore comue, tuci reuiue lor A = A Υ A re rie şi A = ri A + ri A ri emostrţie eorece frotier lui A este iclusă î reuiue frotierelor lui A şi A şi ceste sut de rie zero, rezultă că şi fra este de rie zero, deci A re rie

92 96 Petru orice ε > eistă mulţimile elemetre E i, F i, i =, cu proprietăţile: E A F, E A F, ri ( F) ri ( E) <ε, ri ( F) ri ( E) <ε Avem ri E ri E ri A ri F U F Fig ri A ri A ri A + ri F+ ri F şi ri E+ ri E ri A+ ri A ri F+ ri F Aceste ieglităţi implică + ri F ri E + ri F ri E < ε Cum ε > fost ritrr, rezultă că ri A = ri A+ ri A 5 INTEGRALA UBLĂ EFINIŢIE PROPRIETĂŢI Fie A o mulţime mărgiită Atuci eistă u cerc cre coţie mulţime A Rezultă că distţ ditre orice două pucte le mulţimii A este mi mică decât dimetrul cestui cerc Aşdr, mulţime dist M, N, M A, N A { } este o mulţime de umere rele pozitive mjortă, deci re mrgie superioră efiiţi 5 Fie A mulţimii A următorul umăr: d A Fig o mulţime mărgiită Se umeşte dimetrul = dim( A) = sup{ dist ( M, N) ; M A, N A} efiiţi 5 Fie A şi B două mulţimi di pl Se umeşte distţ ditre ceste mulţimi următorul umăr d A, B = if dist M, N ; M A, N B { } (, ) Este clr că dcă A I B tuci d A B = Afir- mţi reciprocă u este î geerl devărtă Îtr-devăr, distţ ditre grficul fucţiei f() =, şi O este zero, deşi cele două mulţimi sut disjucte

93 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 97 Fig Teorem 5 Fie A şi B două mulţimi ple îchise, mărgiite şi disjucte Atuci d A, B > d( A, B) = Atuci, petru Q emostrţie Presupuem pri surd că ε =, eistă P A şi B stfel îcât dist ( P, Q) < () P este mărgiit eorece mulţime A este mărgiită, rezultă că şi şirul { } i Lem Cesàro deducem că eistă u suşir { } k P coverget Fie P= lim P k Cum A este îchisă rezultă că P A Pe de ltă prte, di () rezultă că suşirul { Q k } este de semee coverget şi limit s este tot P Evidet, P B, petru că B este îchisă Am jus stfel l o cotrdicţie şi ume P A I B, dică A şi B u sut disjucte Î cele ce urmeză vom ot cu u domeiu compct di, dică o mulţime coeă, îchisă şi mărgiită Presupuem î plus că re rie Acest se îtâmplă, de eemplu, dcă frotier lui este o reuiue fiită de cure rectificile Î prticulr dcă este etedă pe porţiui efiiţi 5 Se umeşte prtiţie lui orice fmilie fiită de sudomeii i, i =, p, cre u rie, u u pucte iteriore comue şi i= = U ρ i k că otăm cu ρ prtiţi,, K, p lui tuci orm cestei prtiţii se defieşte stfel: ρ = m dim ; i p { ( i ) } i Propoziţi 5 rezultă că p ri = ri efiiţi 54 Spuem că prtiţi ρ domeiului este mi Fig fiă c prtiţi ρ cestui domeiu şi otăm cest cu ρ f ρ, dcă fiecre sudomeiu l prtiţiei ρ este o reuiue fiită de sudomeii le prtiţiei i= ρ Aşdr, dcă ρ este prtiţi i, tuci i i p

94 98 ρ este de form { ij } i p şi i = U, i =, p j i i j= i j Este evidet că dcă ρ p ρ tuci ρ ρ Fie ρ :,, K, p o prtiţie domeiului şi fie f : Ρ o fucţie mărgiită Notăm cu: = if { (, ) (, ) }, = sup (, ) (, ) m if f (, y) (, y) m f y y Fig 4 { } { i} { i} M f y y i =, M = sup f, y, y i Sumele rou corespuzătore fucţiei f şi prtiţiei ρ se defiesc stfel: p sρ = miri i şi Sρ = Miri i i= p i= eorece m mi Mi M, i şi, p ri = ri, rezultă: i= ( ri ) ( ri ) m sρ Sρ M () Lem 5 că ρ p ρ tuci s s S S emostrţie ρ ρ ρ ρ Presupuem că prtiţi ρ se compue di domeiile ( i ) i p i şi prtiţi ρ di domeiile { ij } i p Cum ρ p ρ rezultă că petru orice i =, p j i i i j= ij { ij } vem = U că otăm cu m = if f( y, ) ( y, ), tuci m m, ij i =, p, j =, i Î cotiure vem p p i p i sρ = miri i = mi ri ij mij ri ij s = ρ i= i= j= i= j= Aşdr, m rătt că sρ s ρ Î mod semăător se rtă că S S ij ρ ρ Lem 5 Petru orice două prtiţii ρ şi ρ le domeiului vem: sρ Sρ emostrţie i

95 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 99 prtiţi Să presupuem că prtiţi ρ di sudomeiile ( j ) ρ se compue di sudomeiile ( ) ir j q i i p că otăm cu ρ prtiţi formtă di domeiile ( I p, tuci ρ este mi fiă şi c ρ şi c ρ i Lem 5 i j) i j q rezultă: s s S S că I ρ ρ ρ ρ Î cotiure vom ot cu = sup{ prtiţie lui } şi I = if { S ρ ρ prtiţie lui } I s ρ ρ Eisteţ cestor mrgii rezultă di ieglităţile () i Lem 5 rezultă I efiiţi 55 Spuem că fucţi f este itegrilă pe domeiul dcă I = I = I Vlore comuă I se oteză cu I = f (, y) d dy şi se umeşte itegrl dulă fucţiei f pe domeiul Lem 5 Petru orice ε > eistă δ ε > stfel îcât petru orice prtiţie ρ domeiului cu ρ < δ vem: I ε < sρ Sρ < I + ε ε emostrţie i defiiţi mrgiii superiore rezultă că ε > eistă o prtiţie ρ domeiului stfel îcât ε I < s ρ () Vom ot cu elemetele prtiţiei ρ, cu Γ κ frotier mulţimii şi cu G κ κ = r U Γ= Γ κ ( G κ ) r κ eorece Gκ re rie, rezultă că Γ κ este de rie zero Cum Γ este o reuiue fiită de mulţimi mărgiite îchise, de rie zero, rezultă că Γ este o mulţime îchisă, mărgiită de rie zero Petru orice ε > eistă o mulţime elemetră E cu proprietăţile Γ E şi ε ri E <, ude M şi m sut mrgiile fucţiei f pe că otăm cu C M m frotier mulţimii elemetre E, tuci C este o mulţime îchisă mărgiită şi putem dist C, Γ = δ > Fie presupue că Γ I C = i Teorem 5 rezultă că ρ : ( i ) o prtiţie domeiului cu ρ δ i p ε < Să oservăm că elemetele prtiţiei ρ sut de două feluri şi ume: că i I Γ tuci i E ; dcă i I Γ= tuci eistă o sigură mulţime G κ stfel îcât i G κ că ε

96 I = {,, K, p }, tuci otăm cu I = { i I i Γ } dcă i I vem i I şi cu I = I \ I Aşdr, E şi dcă i I eistă u κ (uic) stfel îcât i ρ% prtiţi formtă di mulţimile ( i ) i, şi { j} j I I G κ κ G κ Fie i cele de mi sus rezultă că elemetele lui ρ% sut de form ( I G κ ) i I κ Î cotiure vem ρ ρ = κ ri ( κ) ri ( r i i i i i I κ = i I i =, r s % s m % I G m ε ε < = M ri i mri i ( M m) ri E ( M m) Aşdr ( M m) i I i I ε s% ρ < s ρ + (4) Pe de ltă prte, di Lem 5 rezultă că sρ s % ρ, deorece ρ p ρ% Ţiâd sem cum de () şi (4) oţiem: ε ε I < sρ s% ρ < sρ +, deci I ε < s ρ Celltă ieglitte di euţ se demostreză semăător Teorem 5 (rou) Fie u domeiu compct cre re rie şi f : Ρ o fucţie mărgiită Codiţi ecesră şi suficietă c f să fie itegrilă pe este c petru orice ε > să eiste δ ε > cu propriette că petru orice prtiţie ρ lui cu ρ < δ să vem S s < emostrţie Necesitte Pri ipoteză I ε I ρ ρ ε = = I i Lem 5 rezultă că ε >, eistă δ ε > stfel îcât ρ prtiţie lui cu ρ < δε vem ε ε I < sρ Sρ < I +, deci Sρ sρ < ε Suficieţă Pri ipoteză ε > δ ε > stfel îcât Sρ sρ < ε petru orice prtiţie ρ cu ρ < δ i ieglităţile s I I S deducem ε I I < ε Cum ε > este ritrr rezultă I I =, deci f este itegrilă pe Teorem 5 Orice fucţie cotiuă pe este itegrilă pe ρ ρ )

97 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE emostrţie Fie f : Ρ cotiuă şi fie ρ :, K, p o prtiţie orecre lui Atuci vem: p ( i i) S s = M m ri ρ ρ i= i cotiuitte lui f rezultă pe de o prte că f este mărgiită şi îşi tige mrgiile pe fiecre domeiu compct, ir pe de ltă prte că f este uiform cotiuă pe Fie ( ξi, ηi ) i stfel îcât mi = f ( ξi, ηi ) şi fie ( ξ, η ) îcât = ( ξ η ) Mi f i, i i cotiuitte uiformă rezultă că ε >, ε, y cu < δε, y y < δε vem (, y ), ε f (, y ) f (, y ) < ri că presupuem cum că p ε i ρ < δ v rezult i stfel i i i ε Sρ sρ = f f < = ri δ > stfel îcât ( ( ξi, ηi ) ( ξi, ηi )) ri i ri ( i) ε i= i= i Teorem 5 rezultă că f este itegrilă pe Teorem 54 că f este mărgiită pe şi cotiuă pe cu ecepţi evetul uei mulţimi de rie zero, tuci f este itegrilă pe emostrţie Fie M > stfel îcât f (, y) < M, (, y) şi fie ε > orecre Pri ipoteză eistă o mulţime elemetră E cre coţie î iteriorul său ε puctele de discotiuitte le lui f şi ri E < 4M o că otăm cu % = \ E, tuci % este o mulţime îchisă şi evidet mărgiită Cum f este cotiuă pe % rezultă că f este uiform cotiuă pe %, deci ε >, δ ε > stfel îcât oricre r fi (, y ) %, (, y ) % cu < δε, ε y y < δε vem f (, y ) f (, y ) < Fie cum ρ o prtiţie lui ri l cărui prim elemet este = EI ir celellte elemete, K, j u dime- trele mi mici c δ ε că clculăm difereţ S ρ s oţiem: ( ) ri S s M m E+ M m ri < ρ ρ i= ρ i i i

98 ε ε ε ε < M + rii ε 4M ri < + = Cum I I S s < şi ε > este ritrr rezultă că I = I, deci f ρ ρ ε este itegrilă pe Î cotiure vom itroduce oţiue de sumă Riem Fie ρ :, K, p o prtiţie domeiului şi fie (, ) ( ξη, ) ( ξi, ηi) p i i i i= ξ η u puct ritrr, i =, p Notăm cu = Sum Riem tştă fucţiei f, diviziuii ρ şi puctelor itermedire ( ξ, η ) se defieşte stfel: σ ( ξ η) ( ξ η ) ( ξ, η ) m f Mi,, i i i i i ρ p f,, f, ri = Cum i= i i i i = p, rezultă sρ σρ( f, ξ, η) Sρ ( ξ, η), efiiţi 56 Fie u domeiu compct şi fie f : Ρ o fucţie mărgiită Spuem că f este itegrilă pe (î sesul lui Riem, pe scurt (R)- itegrilă) dcă eistă u umăr fiit I cu propriette că ε >, δ ε > stfel îcât oricre r fi ρ prtiţie lui cu ρ < δ şi oricre r fi legere puctelor itermedire (, ) ξ η vem i i i ( f,, ) σ ξη I < ε ρ Numărul I se umeşte itegrl dulă fucţiei f pe domeiul şi se I = f, y d dy foloseşte otţi Oservţi 5 Petru orice ε >, eistă ( αi, βi) şi (, ) stfel îcât S σ ( f, αβ, ) < ε şi σ ( f, γδ, ) s < ε ρ ρ ρ ε ρ γ δ i i Îtr-devăr, di defiiţi mrgiii superiore rezultă că ε >, eistă ε Mi f αi, βi < ri Î cotiure vem: p ε Sρ σ ρ( f, αβ, ) = ( Mi f ( αi, βi) ) ri i < ri = ε ri ( α, β ) stfel îcât i i i i= Celltă ieglitte se demostreză î mod log Folosid cestă oservţie şi procedâd c î demostrţi Teoremei se rtă că cele două defiiţii le itegrlei dule cu sume Riem şi sume rou coicid e semee, se pote demostr, c şi î czul itegrlei simple, că re loc următorul criteriu de itegrilitte

99 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE Teorem 55 (Riem) Fie f : Ρ mărgiită Codiţi ecesră şi suficietă c f să fie itegrilă pe, este să eiste u umăr rel fiit I cu ρ de prtiţie le lui, cre stisfce codiţi propriette că petru orice şir { } lim ρ = şi orice şir (, ) ( f ) = I lim σ, ξ, η ρ ξ η de pucte itermedire să vem Oservţi 5 i Teorem 55 şi Oservţi 5 rezultă că dcă f ρ de prtiţii le lui, cre este itegrilă pe, tuci petru orice şir { } stisfce codiţi lim ρ =, vem: Fie { } = = lim s lim S f, y d dy ρ ρ ρ u şir de prtiţii le domeiului cu propriette lim ρ = Sudomeiile prtiţiei ρ cre u u pucte comue cu frotier lui, le umim celule iteriore Reuiue lor o otăm cu P Celellte sudomeii le prtiţiei ρ le umim celule frotieră şi reuiue lor o otăm cu Q Evidet = PU Q şi ri = ri P + ri Q Oservţi 5 ri = lim ri P Îtr-devăr, deorece ri = sup { ri E; E, E E } ε >, o mulţime elemetră Eε stfel îcât, rezultă că ri < ri E ε + ε (5) Mulţime E ε este formtă ditr-u umăr fiit de dreptughiuri îchise, cu lturile prlele cu ele de coordote Fără restrâge geerlitte, putem presupue că mulţime E ε este disjuctă de frotier domeiului, deorece, î cz cotrr, putem micşor (comprim) cestă mulţime pe direcţi elor de coordote, stfel îcât mulţime oţiută să fie disjuctă de frotier lui şi să stisfcă î cotiure (5) Fie R u dreptughi orecre l mulţimii E ε Coform Teoremei 5 distţ de l R l frotier lui este strict pozitivă Notăm cu δ ce mi mică distţă de l frotier lui l dreptughiurile mulţimii E ε şi cosiderăm o prtiţie ρ cu ρ < δ Oservăm că Eε P, ude P este reuiue tuturor celulelor iteriore le prtiţiei ρ Îtr-devăr, dcă M E ε, tuci eistă u dreptughi R E ε stfel îcât M R eorece distţ de l M l frotier lui este mi mre c δ,

100 4 puctul M u pote prţie ici uei celule frotieră di prtiţi ρ, deci prţie uei celule iteriore prtiţiei ρ, dică mulţimii P ri < ri P + ε, deci { } Rezultă că ri = sup ri P ; = lim ri P Î cotiure vom evideţi o coseciţă importtă Oservţiei 5 ρ u şir de prtiţii le domeiului de petru teori itegrlei dule Fie { } ormă tizâd l Celulele iteriore le prtiţiei celulele frotieră le lui =U i j i j P şi Q = U ρ le otăm cu ρ le otăm cu j Avem P Q i, ir = U ude i Oservţi 5 deducem că lim ri Q = (6) Oservţi 54 Fie M i (respectiv vem: îcât f ( M) f : M j ) u puct ritrr di domeiul o fucţie mărgiită, itegrilă pe şi fie f ( Mi ) ( i ) = f ( y) ddy lim ri, i i (respectiv j) Atuci Îtr-devăr, deorece f este mărgiită pe, rezultă că eistă K > stfel < K, M Î cotiure vem: f ( Mj ) ri ( j ) f ( Mj ) ri ( j ) Kri ( Q) j j Ţiâd sem de Teorem 55 şi de (6) deducem f, y ddy= lim f M ri + f M i j ri ( i) ( i) ( j) ( j) ( i ) ( i ) = lim f M ri i 5 PROPRIETĂŢILE INTEGRALEI UBLE Proprietăţile itegrlei dule sut loge cu proprietăţile itegrlei simple Lăsăm demostrţiile î sem cititorului 5 d dy = ri =

101 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 5 că f şi g sut itegrile pe, tuci α, β Ρ, fucţi α f + β g este itegrilă pe şi tuci α f ( y, ) + βg( y, ) ddy= α f( yddy, ) + β g( yddy, ) 5 că f şi g sut itegrile pe şi f ( y, ) g( y, ), (, ) f (, y) d dy g (, y) d dy y, 54 că f este itegrilă pe, tuci f este itegrilă pe şi f ( yddy, ) f( y, ) ddy 55 că f este itegrilă pe şi otăm cu m (respectiv M) mrgie iferioră (respectiv superioră) fucţiei f pe, tuci eistă m µ M stfel îcât f yddy, = µ ri că presupuem î plus că f este cotiuă pe, tuci eistă u puct ξη, stfel îcât f ( yddy, ) = f( ξη, ) ri 56 că domeiul este reuiue două domeii compcte şi cre u rie, fără pucte iteriore comue şi f este itegrilă pe şi, tuci f este itegrilă pe şi f yddy, = f yddy, + f yddy, 54 MOUL E CALCUL AL INTEGRALEI UBLE efiiţi 54 U domeiu compct se umeşte simplu î rport cu ϕψ, :, Ρ stfel îcât ϕ() < ψ () Oy, dcă eistă două fucţii cotiue [ ] petru orice < < şi {(, ) ; ϕ () ψ () } = y y U stfel de domeiu este reprezett î figur Î mod log, u domeiu se umeşte simplu î rport cu O dcă uv, : cd, Ρ stfel îcât u () < v () petru c< y< d eistă două fucţii cotiue [ ] stfel îcât

102 6 {(, ) ; () () } = y c y d u v Fig Fig U stfel de domeiu este reprezett î figur Eistă domeii compcte cre sut simple î rport cu mele e, de eemplu dreptughiurile, cercurile etc Lem 54 Fie u domeiu simplu î rport cu Oy şi fie f : Ρ o fucţie cotiuă pe că otăm cu m (respectiv M) mrgiile fucţiei f pe domeiul tuci ψ ϕ ( ri ) (, ) ri m f y dy d M emostrţie Petru îceput, să oservăm că di teorem de cotiuitte itegrlei cu ψ ( ) prmetru (Teorem ) rezultă că fucţi F = f (, y) dy, [, ] este cotiuă pe [ su, ], deci itegrilă pe [, ] m f (, y) M, (, y) ϕ Pri ipoteză vem: i propriette de mootoie itegrlei rezultă: ( ) ( ) ( ψ mdy ψ f, y dy ψ ) M dy, [, ], ϕ ϕ ϕ ψ ( ) m [ ψ( ) ϕ( )] f (, y ) dy M [ ψ( ) ϕ( )], [, ] ϕ Folosid di ou propriette de mootoie itegrlei oţiem: ψ [ ] ϕ [ ψ ϕ] (, ) ψ ϕ m d f y dy d M d Rămâe să oservăm că ( ψ ϕ ) cest lem este demostrtă d= ri (Corolrul 5) şi cu,

103 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 7 Teorem 54 Fie u domeiu simplu î rport cu Oy şi f : Ρ o fucţie cotiuă Atuci ψ ( ϕ ) f ( yddy, ) = f( ydyd, ) emostrţie Fie : = < < K< i < i < K< =, o diviziue echidisttă itervlului [, ] mile ( ij ) i j, ude Fig Aşdr, i i =, i=, şi = Cosiderăm fucţiile [ ] ϕ :,, j =, defiite j stfel: j ϕj = ϕ() + [ ψ() ϕ() ], Evidet ϕ [, ] ϕ = ψ = ϕ şi Notăm cu ρ prtiţi domeiului formtă di mulţi- {(, y), ϕ y ϕ } = ij i i j j ψ ϕ Oservăm că dim ( ij ) +, [ i, i] ρ câd Fie mij pe domeiul (respectiv, de ude deducem că M ij ) mrgie iferioră (respectiv superioră) fucţiei f ij i Lem 54 rezultă m i j ij ri ϕ ij f (, y ) dy ij ri ij, d M i ϕ j i, j =, Sumâd succesiv după i şi j oţiem: m ri i ϕ j f (, y ) dy d M ri i ϕ j i= j= i= j= i= j= ij ij ij ij

104 8 rezultă: ϕ ψ j eorece f ( ydy, ) = f( ydy, ) şi ϕ j ϕ j= ϕ ψ ( ϕ ) i j f (, y) dy d = (, ) i= i ϕ j ρ f y dy d ψ ( (, ) ϕ ) ρ () s f y dy d S Cum f este itegrilă pe, di Oservţi 5 rezultă că lim s = lim S = f, y d dy ρ ρ Trecâd l limită după î ieglităţile () oţiem ψ ( ϕ ) f ( yddy, ) = f( ydyd, ) Oservţi 54 că domeiul este simplu î rport cu O, vem următore formulă de clcul d v( y) ( u( y) ) f ( yddy, ) = f( yddy, ) Eemplul 54 Să se clculeze c yd dy ude este domeiul mărgiit de curele y =, y = Oservăm că domeiul este simplu î rport cu Oy: {,, } = y y Coform Teoremei 5 vem: yd dy ( ) = ydy d= = d = d y 6 = 7 4 Fig 4 = = = 7 7 Pe de ltă prte, este uşor de oservt că domeiul d este simplu şi î rport cu O Îtr-devăr {,, } = y y y y Aşdr vem

105 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 y y yddy = yd dy y dy y = = y 7 y y ydy 4 = = = 7 55 SCHIMBAREA VARIABILELOR ÎN INTEGRALA UBLĂ F : Fie Ω u domeiu mărgiit cre re rie, fie fucţi vectorilă Ω, defiită pri F ( u, v ) ( u, v ), y ( uv, ) uv, Ω şi fie =, imgie directă domeiului Ω pri fucţi vectorilă F Presupuem că fucţi F re următorele proprietăţi: (i) F este de clsă C pe Ω (ii) F : Ω este ijectivă (iii) Trsformre F este o trsformre regultă pe Ω, dică icoiul său (, y) det JF ( u, v) = u, v, ( uv, ) Ω uv, Î ceste codiţii rezultă că F = Ω este l râdul său u domeiu compct şi că icoiul trsformării F păstreză sem costt pe Ω O stfel de fucţie vectorilă se mi umeşte şi schimre de coordote su schimre de vriile Oservţi 55 O schimre de vriile trsformă o cură etedă pe porţiui di domeiul Ω, îtr-o cură etedă pe porţiui di domeiul Fie ρ () t = u(), t v() t, t, o reprezetre prmetrică γ Ω o cură etedă şi fie [ ] s că otăm cu C = F( γ ), tuci rt () ( ut ( (), vt ()), y( ut (), vt ())) =, este o reprezetre prmetrică curei C Ţiâd sem de formulele de clcul petru derivtele prţile le fucţiilor compuse oţiem: d = [ ut (), vt ()] u () t + [ ut (), vt ()] v () t dt u v dy y y = [ ut (), vt ()] u () t + [ ut (), vt ()] v () t dt u v că presupuem, pri surd că C u este etedă, rezultă că eistă d t (, ) stfel îcât ut, vt dt = dy şi ut, vt dt =, deci t [, ]

106 ut vt u t + ut vt v t u v y y ut vt u t + ut vt v t u v,,,, Cum pri ipoteză ( u ( t )) ( v ( t )) = = () + >, rezultă că sistemul () dmite soluţie elă Aşdr, vem: ut (, y) ut, vt uv (, ) =, vt ut, vt u v y y ut, vt ut, vt u v cee ce cotrzice fptul că F este o trsformre regultă =, Oservţi 55 Pritr-o schimre de vriile, orice puct de pe frotier domeiului, corespude uui puct de pe frotier domeiului Ω şi F fr Ω = fr reciproc Cu lte cuvite Îtr-devăr, să presupuem că (, y) fr şi că eistă ( u, v) îcât = u (, v), y = y( u, v) u v ), di teorem de iversiue loclă rezultă că (, ) (, Ω stfel Cum trsformre F este regultă î puctul y este u puct iterior domeiului, cee ce este surd Î cele ce urmeză prezetăm oţiue de modul de cotiuitte l uei fucţii şi priciplele sle proprietăţi, cre vor itervei î demostrţi teoremei schimării de vriile efiiţi 55 Fie δ > orecre Vom ot cu f : A, ude A este o mulţime orecre şi fie { δ } < δ < δ tuci ωδ (, f ) < ωδ (, f ) (, f ) sup f ( M ) f ( M ) ; M, M A, dist ( M, M ) ω δ = < Se oservă imedit că dcă Oservţi 55 O fucţie umi dcă lim ωδ, f = δ δ > f : A este uiform cotiuă pe A, dcă şi Îtr-devăr, pri ipoteză, petru ε >, η ε > cu propriette că petru cu dist ( M, M ) < ηε vem ( ) ( ) < δ < η, tuci ω ( δ, f ) < ε, deci ωδ ( f ) orice M, M A dcă ε firmţiei reciproce este semăătore f M f M < ε Rezultă că lim, = emostrţi > δ δ

107 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE Oservţi 554 că A este coveă, tuci petru orice δ >, δ > vem ωδ ( δ, f ) ωδ (, f ) ωδ (, ) + + f Î prticulr, rezultă ( m, f ) ω δ, m Îtr-devăr, fie M, M A cu dist ( M, M ) < δ+ δ şi fie δ δ M = M + M Evidet M prţie segmetului de dreptă de cpete δ+ δ δ+ δ M şi M, deci M A, deorece A este coveă Î cotiure vem: δ M M = ( M M ) şi δ+ δ δ = δ δ, deci + dist ( MM, ) = δ δ M M = M M ( δ δ) δ δ δ < + = + δ+ δ dist ( MM, ) = δ δ M M = M M ( δ δ) δ δ δ < + = + δ+ δ dist MM, δ dist MM, < δ Aşdr, M A stfel îcât ( ) <, Petru orice M, M A cu dist ( M, M ) < δ+ δ vem f M f M f M f M + f M f M <, f + ωδ, f ), ( ) ( ) ( ) ( ) ωδ ( deci ωδ ( + δ, f ) ωδ (, f ) + ωδ (, f ) Fie F : Ω, F ( uv, ) ( uv (, ), y( uv, )), ( uv, ) Ω = o schimre de vri- ile Notăm cu y y ω h = m ω h, ; ω h, ; ω h, ; ω h,, u v u v ude, de eemplu, ω h, este modulul de cotiuitte l fucţiei pe mulţi- u u me Ω, clcult î puctul h, deci ω h, = sup ( M ) ( M ) ; M, M Ω, dist ( M, M ) <h u u u eorece y, C Ω, rezultă că lim ω ( h) = h Lem 55 Fie F :, (,,, ) re de vriile, fie = (, + h) (, + h) Ω şi fie Ω, F ( uv) = uv y( uv), uv, Ω o schim- P= F imgie directă pătrtului pri trsformre F Atuci (, y) ri P=, ri + ϕ h ude ϕ h Kh ω( h), uv,

108 K fiid o costtă idepedetă de h şi de puctul A(, ) emostrţie Fig Fig Fie c= (, ) şi d y(, ) pucte ( ξ, η ), ( ξ, η ) pe segmetul de dreptă deschis de cpete (, ) şi ( uv, ) = i Teorem Lgrge rezultă că eistă două stfel îcât: uv (, ) = c+ ( ξη, )( u ) + ( ξη, )( v ) u v y y yuv (, ) = d+ ( ξ, η )( u ) + ( ξ, η )( v ) u v că otăm cu (, ) (, ) α = ξ η u + ( ξ, η) (, ) ( v ) şi u u v v y y y y β ( ξ, η ) (, ) ( u ) ( ξ, η ) = + (, ) ( v ), tuci u u v v uv (, ) = c+ (, )( u ) + (, )( v ) + α u v y y y( uv, ) = d+ (, )( u ) + (, )( v ) + β u v Î cotiure cosiderăm trsformre fiă ˆ uv, c, u, v u v y y yuv ˆ, d, u, v u v = + ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) () () (4)

109 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE Fie F ˆ : Ω fucţi vectorilă Fˆ ( u, v) = ˆ( u, v), yˆ( uv, ), ( uv, ) Ω şi fie Pˆ = Fˆ( ) imgie directă pătrtului pri trsformre fiă ˆF Ţiâd sem de coordotele vârfurilor A, B, H, L le pătrtului rezultă coordotele vârfurilor ptrulterului ˆP = QRST, ume Q= Fˆ A = c, d ˆ y R = F B = c+ (, ) h, d+ (, ) h u u ˆ y y T= FL= c+ ( h, ) + ( h, ), d+ ( h, ) + ( h, ) u v u v ˆ y S = F H = c+ (, ) h, d+ (, ) h v v Se oservă că dreptele QR şi ST sut prlele şi că uuur uuur y QR = ST = h (, ) + (, ) Pri urmre, ptrulterul QRST este u u u prlelogrm Ari s este eglă cu mărime produsului vectoril r r r i j k uuur uuur y QR QS = (, ) h (, ) h u u = y (, ) h (, ) h v v y y = h (, ) (, ) (, ) (, ) u v v u kr Aşdr, vem: ˆ (, y) ri P = uv,, h (5) Mi reţiem că uuur QS = uuur RT y = h (, ) + (, ) v v Să estimăm cum distţ de l u puct orecre M ( y, ) (6) P l puctul corespuzător Mˆ ( ˆ, yˆ) Pˆ i () şi (4) rezultă că dist ( ˆ ) M, M α β = + Pe de ltă prte, ţiâd sem de proprietăţile modulului de cotiuitte, petru uv, oţiem α ( uv, ) ω h, h h, h ( hh ) ( hh ) 4 ( hh ) u ω + v ω ω ω

110 4 Asolut log se rtă că β ω uv, 4 dist h h Aşdr, vem: M, Mˆ ω h h 6ω h h= r (7) Notăm cu Γ reuiue tuturor discurilor de rză r cre u cetrul î puctul ˆM, câd ˆM prcurge frotier prlelogrmului ˆP Ari mulţimii Γ este mi mică decât sum riilor celor ptru cercuri de rză r cu cetrele î vârfurile prlelogrmului ˆP, plus ri celor ptru dreptughiuri de lăţime r costruite pe lturile prlelogrmului ˆP Rezultă că uuur uuur Γ 4π r + 4r QR + QS ri eorece y, C Ω, rezultă că deriv- Fig tele lor prţile de ordiul I sut mărgiite pe Ω, uuur uuur deci QR < Kh, QR < Kh, ude K > este o costtă Pri urmre vem: ri ( Γ) 4π6ω ( hh ) + 48ω( hhk ) Kω( hh ) (8) ude K este o costtă pozitivă idepedetă de h şi de (, ) Oservăm că P\ P Γ ˆ Fig 4 Mˆ MM ˆ fr P ˆ Fie A P\ Pˆ Îtr-devăr, fie M şi fie ( u, v) stfel îcât M F( u v ) ˆ ˆ (, ), = că otăm cu M= F u v, tuci M ˆ ˆ P M ˆ, M < r Cum M ˆ P, rezultă că segmetul de dreptă ˆM M îtâleşte frotier lui ˆP I Avem dist ( ˆ ) dist ( ˆ ) şi dist M M < M M < r, deci M Γ Î cotiure vem: P = Pˆ U P\ P ˆ de ude rezultă că: ri P= ri P ˆ + ri ( P\ P ˆ) Cum ri ( P\ Pˆ ) ri Γ, deducem că eistă θ (,) stfel îcât ri ( P ) = = ri ( Pˆ ) + θ ri ( Γ ) i (5) şi (8) oţiem ri ( P ) (, y) =, h + θ Kω h h uv, Î sfârşit, dcă otăm ϕ( h) = θ Kω( h) h tuci ϕ( h) K ω( h) h şi ri P = (, ), h ϕ ( h), y uv +

111 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 Cu cest lem este demostrtă Teorem 55 Fie F : Ω, F ( uv, ) = ( uv (, ), y( uv, )), (, ) schimre de vriile şi fie f : o fucţie cotiuă Atuci (, ) (, ) y f ( yddy, ) = f uv (, ), yuv (, ) uv, dudv uv Ω uv Ω o emostrţie Fie m u umăr turl orecre, fie h = m şi fie fmiliile de drepte = kh, y= lh, k, l Notăm cu Sm reţeu de pătrte determită de ceste drepte şi cu ρ m prtiţi domeiului Ω determită de cestă reţe Fie mi u pătrt iterior orecre l reţelei şi Fig5 Fig 6 (, ) ψ (, fie P mi mi S m = F imgie directă pătrtului mi pri trsformre F i Lem 55 rezultă că y ri ( Pmi ) = Mmi ri mi + h ri mi ) ude ψ ( h) Kω( h), uv ir M mi este u puct di pătrtul mi Qmi = F Mmi Pmi şi ţiem sem că fucţiile f, şi y sut cotiue şi mărgiite rezultă (, y) f ( Qmi ) ri ( Pmi ) f ( Mmi ), y( Mmi ) ( Mmi ) ri, ( mi ) i i uv K ω( h) ri ( mi ) = K ω( h) ri ( Ω ) i că otăm cu Cum fucţiile f şi f o F sut cotiue, deci itegrile şi lim ω ( h) =, di Oservţi 54 deducem că f yddy=, lim f ( Qmi ) ri ( Pmi ) m i = = lim f Mmi, y Mmi ri mi = m i (, ) (, ) h y = f uv (, ), yuv (, ) uv, dudv= uv Ω Cel mi utilizt tip de schimre de vriile este trecere l coordote polre:

112 6 = ρ cosθ y = ρ siθ ρ >, < θ < π (9) { } că otăm cu A ( θρ, ) θ π, ρ B= \ {(, ), } şi cu F ( θ, ρ) ( ρcos θ, ρsiθ) (, y) trsformre regultă (icoiul său JF ( ρθ) ( ρθ, ) Fie < α < β < π şi fie :[, ] Ω= {( θ, ρ) α < θ < β; < ρ < ϕ( θ) } şi cu F = < < < <, cu =, tuci F : A B este o, = = ρ> ) ϕ α β o fucţie cotiuă Notăm cu = Ω, tuci F : Ω este o schimre de vriile că f : este o fucţie cotiuă, tuci di Teorem 55 rezultă: (, ) ( cos, si ) f y ddy = f ρ θ ρ θ ρdρdθ = Ω () β ϕ( θ) = f ( ρ cos θρ, siθ) ρdρ dθ α eorece mulţime \ (respectiv Ω \ Ω ) este de rie zero, rezultă că este vlilă şi eglitte f yddy, = f ρ cos θρ, siθρdρdθ () Ω Eemplul 55 Să se clculeze ( + ) y d dy, ude = (, y) + y <, < y<, > Fig 7 Fig 8 cosθ Ω= ( θ, ρ) ρ <, < siθ < cosθ = Î cest cz Ω= F ( ) este drept- π π ughiul, (, ) 6 Îtr-devăr, îlocuid î ieglităţile cre defiesc domeiul pe şi y cu ρ cosθ şi ρ siθ rezultă:

113 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 7 π π ( θ, ρ) ρ ; tgθ, (, ) = < < < < = 6 Aşdr, vem ( + ) = ( cos + si ) y d dy ρ θ ρ θ ρ dρ dθ = Ω ( d ) π π = ρ ρ dθ π 6 = 4 Eemplul 55 Să se clculeze 4 + y ddy, ude {(, ), } = y + y < y > Oservăm că ecuţi + y = este ecuţi cercului cu cetrul î puctul (, ) şi de rză r = Îlocuid şi y cu ρ cosθ şi ρ siθ Fig 9 Fig î ieglităţile ce defiesc oţiem π Ω= {( θρ, ) ρ < ρcos θ, ρsiθ > } = {( θρ, ) < ρ< cos θ, < θ< } π cosθ π + = = cos y ddy ρ dρ dθ θdθ = π ( si ) cos θ θdθ 9 = = Eemplul 55 Să se clculeze ( + ) y d dy, ude y y = (, y) + < Ecuţi + = este ecuţi uei elipse de semie şi Î cest cz se folosesc coordote polre geerlizte şi ume = ρ cosθ y = ρ siθ < ρ < şi < θ < π Icoiul trsformării este Fig Fig ρ

114 8 π ( si cos ) y + d dy = ρ θ ρ θ + ρ dρ dθ = π ρ π ρ π ρ π = siθ dθ cosθ dθ + dθ = 56 APLICAŢII ALE INTEGRALEI UBLE ÎN GEOMETRIE ŞI MECANICĂ O primă plicţie itegrlei dule î geometrie fost evideţită î proprietăţile itegrlei dule şi ume: ri = d dy, ude, este u domeiu mărgiit cre re rie Fie f : o fucţie itegrilă, fie ρ :,, K, o prtiţie ξ, η u puct ritrr Remitim că: domeiului şi fie i i i I = f (, y) ddy = lim f ( ξ, η ) r i i i i, ρ i = sesul ect fiid următorul: Petru orice ε >, eistă δ ε > stfel îcât, oricre r fi prtiţi ρ domeiului, cu ρ δ ξ, η, vem: f ( ξi, ηi) rii I < ε i= < şi oricre r fi puctele itermedire ε i i i 56 Ms uei plăci ple Pri plcă plă îţelegem o plcă vâd form uui domeiu mărgiit, cre re rie Plc este cosidertă î geerl eomogeă, desitte s fiid dtă de fucţi cotiuă f : + Fie ρ :,, K, o prtiţie orecre ξ, η ritrr Fig domeiului şi fie i i i Ms plăcii i se proimeză cu produsul f ξ, η ri Aproimre este cu tât i i i mi uă cu cât orm prtiţiei ρ este mi mică Pri urmre vem: ( ) f ( ξ η ) ms, ri şi mi deprte: i= i i i

115 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 i i i ρ i = = ( ξ η ) = ms lim f, ri f, y d dy 56 Coordotele cetrului de greutte l uei plăci ple Fie o plcă eomogeă de desităţile f : + şi fie ( G, y G) coordotele cetrului său de greutte G Cosiderăm c mi îite o prtiţie ρ: ρ :,, K, şi işte pucte ritrre ( ξi, ηi) i Ms plăcii i se proimeză cu produsul f ( ξi, ηi) rii că vom cosider ms plăcii i cocetrtă îtr-u sigur puct şi ume î puctul ( ξi, η i), tuci coordotele cetrului de greutte vor fi: G ( ξ η ) ξ f, ri i, f, ri i i i i= i= ( ξ η ) i i i y G ( ξ η ) η f, ri i f, ri i i i i= i= ( ξ η ) i i i Presupuâd că f este cotiuă pe, l limită oţiem: y G G i= ( ξ η ) ξi f i, i rii i= = lim = ρ f, ri i= ( ξ η ) i i i ( ξ η ) ηi f i, i rii i= = lim = ρ f, ri ( ξ η ) i i i (, ) f y ddy (, ) f y d dy (, ) y f y d dy (, ) f y d dy Î czul prticulr l uei plăci omogee ( f (, y) = κ, (, y) G = y = d dy d dy yddy d dy ) rezultă: Eemplul 56 Să se fle coordotele cetrului de greutte l uei plăci ple omogee cre re form domeiului

116 Fig { }, π ; co s = y y Avem π cos ddy = dy d = π π = cos d = = cos d = ( ) π cos ddy = dy d π π π π π = si si d= + cos = cos ( cos ) π cos π π = yddy = ydy d= d = + d 4 Aşdr, vem π G = π yg = 8 π 8 56 Mometul de ierţie l uei plăci ple Se ştie că mometul de ierţie l uui puct mteril î rport cu o umită ă este egl cu produsul ditre ms puctului şi pătrtul distţei de l puct l ă Î czul uui sistem de pucte mterile, mometul de ierţie î rport cu o ă este sum mometelor de ierţie le puctelor mterile cre formeză sistemul Fie o plcă plă de desitte cotiuă f : +, fie ρ :,, K, o prtiţie orecre s şi fie ( ξi, ηi) i orecre Aproimăm c şi mi îite ms plăcii i cu produsul f ( ξi, ηi) ri( i) şi cosiderăm cestă msă cocetrtă î puctul ( ξ, η ) Mometul de ierţie l cestui sistem de pucte i i mterile î rport cu Oy v fi egl cu sum: ξ ( ξ, η ) ri( f ) i i i i i=

117 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE că rm prtiţiei ρ este mică, cestă sumă pote fi cosidertă c o vlore proimtivă mometului de ierţie l plăcii ple î rport cu Oy L limită vem: ξ ( ξ η ) ddy I = lim f, ri = f, y y i i i ρ i i = Î mod log mometul de ierţie î rport cu O este I (, ) = y f y d dy că plc plă este omogeă de desitte f (, y) =, (, ) I y = ddy, I = y d dy I y y tuci e semee, se pote clcul mometul de ierţie l plăcii î rport cu origie O(,) Oţiem formulele respectiv I = ( + y ) d dy I = + y f y d dy, Eemplul 56 Să se fle mometul de ierţie î rport cu Oy (respectiv î rport cu origie) plăcii ple omogee de desitte, ude: {(, ) ;, } = y + y r y Avem r ( cos ) 4 π r π I = ddy= ρ θ ρdρ dθ = cos θ dθ = y r π π r = ( cos ) d 8 + θ θ = 6 r 4 4 π π r π r I = + y ddy = ρ ρdρ = dθ = FORMULA LUI GREEN Formul lui Gree fce legătur ître itegrl dulă şi itegrl curiliie de speţ dou Fie u domeiu mărgiit cărui frotieră C este o cură etedă pe porţiui şi costă ditr-o reuiue fiită de cure simple îchise Fie P, Q: P Q două fucţii cotiue cu propriette că eistă şi şi sut cotiue pe y Cu ceste precizări formul lui Gree este următore:

118 Q P d dy = P d + Qdy y () C Î cestă formulă orietre curei C (sesul de prcurgere l curei C) este lesă stfel îcât domeiul să rămâă l stâg Fig Fig Î figur m eemplifict orietre curei C = fr petru domeiul cărui frotieră costă ditr-o sigură cură îchisă, ir î figur petru u domeiu cărui frotieră costă îtr-o reuiue fiită de mi multe cure îchise efiiţi 57 Pri domeiu elemetr de tip Gree (G domeiu elemetr) vom îţelege oricre di cele cici domeii reprezette î figur Fig Lem 57 Formul lui Gree este verifictă petru orice G-domeiu elemetr emostrţie

119 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE Avem: Q d dy = d c Fig 4 Q d dy = Petru îceput cosiderăm u domeiu cărui frotieră este u dreptughi cu lturile prlele cu ele de coordote: = y,, < <, c< y < d { } Putem cosider următorele reprezetări prmetrice petru lturile dreptughiului: [ ] [ ] [ ] [ ] AB: = t, y = c, t, BC: =, y = t, t c, d C: = t, y = d, t, A: =, y = t, t c, d d d d Q (, y ) d = Q, y dy Q y dy, () c c c Ţiâd sem de modul de clcul l itegrlei curiliii de speţ dou rezultă: Q(, y) dy = Q(, y) dy = AB C d d () Q(, y) dy = Q(, t) dt şi Q(, y) dy = Q(, t) dt c c BC i () şi () deducem Q d dy = Q dy + Q dy + Q dy + Q dy = Q dy BC A (4) C A AB Î mod log vem P d d dy = y P dy d = c y d (, c ) P y d= BC AB Pd= Pd= (, ) Fr = P d d+ P, c d (5) A d = = c C (, ) (, ) ; (, ) (, ) Pyd Ptcdt Pyd Ptddt i (5) şi (6) deducem: (6)

120 4 P d = P d + P d + P d + P d = P d y (7) AB BC C A Aduâd formulele (4) şi (7) oţiem formul lui Gree Să cosiderăm cum u domeiu G-elemetr c cel di figur 5 Mi precis, u stfel de domeiu se defieşte stfel: Fie f : [, ] [c, d] o fucţie cotiuă, strict crescătore şi surjectivă = y, ; < < ; c< y< f { } Fr Avem P f P d dy = dy d = P(, f ) d + P(, c) d y c y (8) Cosiderâd următorele reprezetări prmetrice le rcului AE şi le segmetelor AB şi BE : Fig 5 i (8) şi (9) rezultă: P d dy = y AB Pe de ltă prte vem: Q d d dy = BC deducem AE AB BC EA AE : = t, y= f( t), t [, ] AB : = t, y = c, t [, ] BE : =, y = t, t [ c, d] (, ) = (, ) P y d P t f t dt; P(, y) dt = P( t, c) dt P(, y) d= Pd + Pd + Pd = Pd () Fr = (, ) c f y d Q d dy d ( f ( y ) ) = Q, y dy Q f ( y), y dy c d c = c Q y dy () e dt cest, cosiderâd petru rcul AE reprezetre prmetrică: AE : = f (), t y = t, t [ c, d], deducem AE (, ) d Q y dy = Q f (), t t dt c () (9)

121 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 Petru segmetele AB şi BE vem: Q(, y) dy= şi Q(, y) dy = AB BE i (), () şi () rezultă: Q d dy = AB Qdy+ d Q, t dt () BE Qdy+ EA c Qdy= Qdy (4) Aduâd formulele () şi (4) oţiem formul lui Gree petru domeiul cosidert î figur 5 Este evidet că demostrţiile formulei lui Gree petru celellte domeii G-elemetre di figur sut solut loge Teorem 57 Fie u domeiu mărgiit cărui frotieră este etedă pe porţiui şi costă ditr-o reuiue fiită de cure simple îchise Presupuem î plus că domeiul este o reuiue fiită de G-domeii elemetre P Q cre u u pucte iteriore comue că PQ,,, sut cotiue pe, y tuci re loc formul lui Gree: emostrţie Q P d dy = y Să presupuem că m k= k =, m (Vezi Fig 6) Ţiâd sem de Lem 57 rezultă Q P d dy = y k Fr Fr Pd+ Qdy = U ude k este u G-domeiu elemetr, m m Q P d dy = P d + Q dy k= y k k= Fr k (5)

122 6 Frotier domeiului se compue di curele C şi C Reuiue frotierelor domeiilor,, m se compue di curele C şi C şi u umăr fiit de segmete de dreptă icluse î prlele cu ele de coordote Fiecre semee segmet de dreptă fce prte di frotierele două G-domeii elemetre vecie e eemplu AB fce prte di frotierele domeiilor şi Să Fig 6 oservăm că itegrlele curiliii di memrul drept l eglităţii (5) clcultă pe segmetele iteriore dispr, deorece orice stfel de segmet este prcurs de două ori î sesuri opuse e eemplu: Fr = + + şi AB BG GA Fr Cotriuţi segmetului AB î sum Aşdr rezultă m k= Fr k Pd+ Qdy= i (5) şi (6) deducem: Q P d dy = y = CUC= Fr FB BA AE EF Fr Pd+ Qdy Pd+ Qdy Fr + este + = Fr Teorem 57 Formul lui Gree este vlilă petru orice domeiu poligol emostrţie eorece orice domeiu poligol este o reuiue fiită de domeii triughiulre este suficiet să demostrăm teorem petru domeii triughiulre Fie u domeiu triughiulr orecre de frotieră ABC ucem di AB BA (6)

123 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 7 A o prlelă l Oy, di C o prlelă l O şi otăm cu G itersecţi lor e semee, ducem pri B o prlelă l O şi otăm cu E itersecţi s cu drept AF omeiul este reuiue domeiilor, şi, ude re frotier ABE, re frotier BEF ir re frotier AFC Oservăm că şi sut G-domeii elemetre, î timp ce u re cestă propriette Este clr îsă, că se pote reprezet c difereţ Fig 7 două G-domeii elemetre Îtr-devăr, dcă otăm cu 4 domeiul de frotieră AGC şi cu 5 domeiul de frotieră FGC, tuci 4 şi 5 sut G-domeii elemetre şi = 4 \ 5 Ţiâd sem de Lem 57 rezultă: Q P d dy = y = = + + = 4 5 CF = Pd+ Qdy Fr AG GC CA AG GC AF FC CA Aşdr, formul lui Gree este vriilă şi pe, deci este vriilă pe Oservţi 57 Se pote răt că formul lui Gree este vriilă petru orice domeiu cărui frotieră este o cură simplă, îchisă, etedă pe porţiui Îtr-devăr, se pote răt că eistă u şir de liii poligole C, îscrise î C = fr, stfel îcât lim Pd+ Qdy= Pd+ Qdy C C că otăm cu domeiul mărgiit cre re frotier C, tuci Q P Q P lim d dy d dy = y y i Teorem 57 rezultă că formul lui Gree este vlilă pe, petru orice Pri trecere l limită, v rezult că formul lui Gree este vlilă şi petru domeiul

124 8 y y d y dy ude Eemplul 57 Să se clculeze ( ) + ( + ) y : + Fig 8 Fr că otăm cu P(, y) = y y şi cu Q(, y) = y+, tuci, di formul lui Gree rezultă că Fr y y d+ y+ dy= ( y ) = + d dy Fiid vor de u domeiu elipsoidl vom folosi coordote polre geerlizte şi ume = ρcosθ θ [, π], ρ [,] y = ρsiθ Î cotiure vem π ( ) ( si cos ) + y d dy = + ρ θ ρ θ ρ dθ dρ = Oservţi 57 că π = ρdρ dθ = π este u domeiu cre re rie şi petru cre e vlilă formul lui Gree, tuci ri() = dy y d Fr Îtr-devăr, dcă otăm cu P(, y ) = şi cu (, ) y Q y =, tuci Q P = + = Pe de ltă prte ştim că ri = d dy y Aplicâd cum formul lui Gree rezultă: ri = P d + Q dy = dy y d Fr Fr Eemplul 57 să se clculeze ri domeiului elipsoidl y : +

125 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 Coform Oservţiei 57, vem: ri() = dy y d Fie Fr = cost, y = sit, t [,π] o reprezetre prmetrică elipsei y + = Î cotiure vem: dy y d = ( cost cost+ sit cost) dt= π, Fr de ude rezultă că ri π = π Oservţi 57 Se pote răt că teorem 57 rămâe vlilă şi îtr-o ipoteză mi slă referitore l fucţiile P şi Q şi ume P şi Q sut cotiue pe P Q ir şi sut cotiue şi mărgiite pe y 58 INTEGRALE UBLE GENERALIZATE Î cest prgrf itroducem oţiue de itegrlă dulă geerliztă, cre coperă tât czul câd domeiul este emărgiit, cât şi czul câd fucţi este emărgiită Fie u domeiu mărgiit su u şi fie f : Ρ, mărgiită su u Vom presupue că f este itegrilă pe orice sumulţime lui cre re rie efiiţi 58 Spuem că f (, ) orice şir de domeii mărgiite, cre u rie, { } (i) K K (ii) +, (iii) U = = eistă lim (, ) divergetă yddy este covergetă, dcă petru cu proprietăţile: f yddy e fiită şi u depide de legere şirului { } Î czul câd limit u eistă, su e ifiită, spuem că f (, ) yddyeste

126 Teorem 58 că f (, y), (, y), tuci f ( yddy, ) este covergetă dcă şi umi dcă eistă cel puţi u şir { } cre u rie, cu proprietăţile (i)-(iii), petru cre şirul { }, ude = f (, y) d dy, este mărgiit de domeii mărgiite, emostrţie Necesitte este evidetă u şir de domeii mărgiite cre u rie cu proprie- Suficieţ Fie { } tăţile (i)-(iii) şi fie = (, ) f y d dy i (i) şi di fptul că f pe, rezultă că { } este mooto crescător Cum pri ipoteză { } { } este coverget Fie I lim este mărgiit, rezultă că = Rămâe să rătăm că I = lim este idepedetă de legere şirului { } Fie { } u lt şir de domeii mărgiite cre u rie, cu proprietăţile (i)-(iii) =, şi fie (, ) f y d dy Să oservăm că eistă m stfel îcât () m Îtr-devăr, î cz cotrr, eistă u puct M k stfel îcât M k k, k Oţiem stfel u şir de elemete { M k } di Cum este mărgiită şi îchisă, rezultă că cest şir coţie u suşir { M k m } coverget că otăm cu M = lim M k, tuci M m = U Fie stfel îcât m M Cum este deschisă, deducem că eistă o veciătte V puctului M stfel îcât V Pe de ltă prte, deorece M k M, rezultă că eistă u rg k stfel îcât M k V, k k Î prticulr, rezultă că Mk V k, cee ce cotrzice modul de legere puctelor M k Aşdr, m demostrt icluziue () i () rezultă că I () Cum { } m este crescător, deducem că { } Iversâd rolul şirurilor { } şi { } = este coverget şi I lim = I rezultă că I I, deci I = I

127 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE e Eemplul 58 Să se studieze covergeţ itegrlei geerlizte y ddy, ude = domeiul este emărgiit eorece Oservăm că este o itegrlă geerliztă î cre y f, y = e, y,, rezultă că este suficiet să găsim u şir de domeii mărgiite, cre u rie {, petru cre şirul cu termeul geerl (, ) Alegem = f y d dy este mărgiit {, ; } = y + y <, Este evidet că { } re proprietăţile (i)-(iii) Pe de ltă prte, y ( e d ) ( e ) y = e d dy = Rezultă că itegrl este covergetă şi π ρ ρ ρ = π π e ddy = π { } Pe de ltă prte fie = ( y, ) ; <, y< Şirul { } de pătrte plie, cre îdeplieşte codiţiile (i)-(iii), rezultă că y y ( e d) dy = y = ( e d)( e dy) = ( e d) = ( e d) π = e ddy = lim lim lim (S- folosit fptul că e d este covergetă) Am clcult stfel itegrl lui Poisso şi ume e d= π Eemplul 58 Să se studieze covergeţ itegrlei geerlizte d dy + y α, α >, ude { = y, ; + y < } } este u şir Oservăm că fucţi f (, y) = ( + y ) α u este defiită î O(,) şi u este mărgiită pe Fie = \ B ; = (, y) ; + y Este clr că { } este u şir de domeii mărgiite, cre re rie şi cre îdeplieşte codiţiile (i)-(iii), ir f este cotiuă pe, deci itegrilă pe Î cotiure vem:

128 d dy dρ [ α α α ] ( + ) y α = π ρ π = α ρ Oservăm că dcă α <, tuci eistă lim Aşdr, dcă α < itegrl este covergetă şi că α >, tuci lim d dy + y α = ( + ) d dy Petru α =, vem + y = Rezultă că d dy + y este divergetă d dy ( + ) d dy y α = π α π α α = α α + y π d ρ dθ = π l l ρ Eemplul 58 Să se studieze covergeţ itegrlei {(, );, } d dy ( + ) y α = y + y > > Evidet, domeiul este emărgiit { } că otăm cu = ( y, ); < + y <, rezultă că { }, ude stisfce codiţiile (i)-(iii) Pe de ltă prte, procedâd c î eerciţiul precedet deducem că d dy π y α = [ ] + α α α, dcă α şi d dy + y = π [ l l ] Rezultă că itegrl este covergetă dcă α > şi divergetă dcă α Teorem 58 Fie f, g: Ρ +, cu propriette f ( y) ( (, y) că g ( yddy, ) f,, g y, ), este covergetă, tuci şi este covergetă Afirmţi rezultă imedit di Teorem 58 şi di ieglitte = f, y d dy = g, y d dy =, yddy

129 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE efiiţi 58 Fie cetrul î origie şi de rză R că eistă lim f :, itegrilă pe orice ilă îchisă B r, cu (, ) B r f yddyşi e fiită, tuci, cestă limită se umeşte vlore priciplă î sesul lui Cuchy itegrlei f yddy, geerlizte Se foloseşte otţi: f, y d dy = lim cotiuă pe Vp f y d dy r (, ) + y r Eemplul 584 Vp ( + ) lim r Îtr-devăr, + y r h y ddy =, oricre r fi h o fucţie h + y ddy = lim r π r cosθdθ ρ l ρ dρ = 59 INTEGRALE TRIPLE upă cum m văzut î cest cpitol, trecere de l itegrl simplă l itegrl dulă, pe lâgă multe logii, presupue şi uele modificări de sustţă, tât î plul coceptelor, cât şi î cel l rţiometelor Aceste modificări îşi u origie î pricipl, î teori mulţimilor ple măsurile (cre u rie) Î cotrst cu cestă situţie, trecere de l itegrl dulă l itegrl triplă u presupue ici u fel de complicţie Petru îceput se impue itroducere oţiuii de volum i geometri elemetră se ştie că volumul uui prlelipiped dreptughic este egl cu produsul lugimilor muchiilor sle Î prticulr, dcă T este u prlelipiped cu lturile prlele cu ele de coordote, dică T = [, ] [, ] [ c, c], tuci Vol ( T) ( )( )( c c ) = efiiţi 59 Pri mulţime elemetră î spţiu îţelegem orice reuiue fiită de prlelipipede dreptughice cu muchiile prlele cu ele de coordote, fără pucte iteriore comue Volumul uei stfel de mulţime este pri defiiţie sum volumelor prlelipipedelor cre o compu Mi precis, T este o mulţime elemetră dcă eistă [, ] [, ] [, ] Ti = i i i i ci ci, i =, p stfel îcât T = U T şi TiI T j = petru i j p i= i o o

130 4 Vol ( T ) def p p i = Vol( T ) = ( )( )( c c ) i i i i i i i= i= Î cotiure otăm cu T fmili tuturor mulţimilor elemetre di spţiu efiiţi 59 Fie T u domeiu mărgiit di Se umeşte volumul iterior l lui T următorul umăr: V = sup{ Vol ( T ); T T, T T } (Î czul câd u eistă T T stfel îcât T T, vom defii V = ) Î mod log, defiim volumul eterior stfel: V = if Vol ( T ); T T, T T { } Este evidet că V V Spuem că domeiul T este măsuril (re volum) dcă V = V = V că T re volum, tuci pri defiiţie Vol ( T ) = V = V = V Oservţi 59 Orice mulţime elemetră î spţiu re volum î sesul defiiţiei 59 şi cest coicide cu cel di efiiţi 59 Teorem 59 Fie u domeiu mărgiit cre re rie şi fie f : + o fucţie cotiuă că otăm cu T = {(, y, z) ;(, y), z f (, y) } tuci T re volum şi Vol ( T ) = f (, y) d dy emostrţie i puct de vedere geometric domeiul T este u corp cilidric mărgiit iferior de domeiul, lterl de suprfţ cilidrică, cre re geertorele prlele cu Oz şi cur directore fr(), ir superior de grficul fucţiei z f, y, y =,

131 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 Fig fucţiei f pe domeiul h şi fie Cosiderăm î plul Oy o reţe de ps h =, formtă de dreptele = ph, y = lh, pl, Fie fmili Sk k tuturor pătrtelor (plie) h le reţelei S k icluse î şi fie P k reuiue cestor pătrte Coform Oservţiei 5 vem ri = sup ri P = lim ri P () k k k Fie mh (respectiv M h ) mrgie iferioră (respectiv superioră) sk = mhri h Ţiâd sem de () şi de h Ik fptul că f este itegrilă pe rezultă că lim (, ) lim S f, y d dy k k = Fig k s f y ddy k = Fie J k fmili tuturor pătrtelor h cre coţi cel puţi u puct di şi fie Q k reuiue cestor pătrte Evidet Pk Q k Mi mult, se pote răt că ri = if ri Q = lim riq () k că otăm cu k I k k k k Sk = Mhri h h Jk precizre că dcă J \ I h k k { h }, (cu, tuci M = sup f, y ;, y I, tuci Fie T h prlelipipedul dreptughic cu muchiile prlele cu ele de coordote de ză h şi îălţime m k şi fie Tk = U{ Th; h I k } Este evidet că T k este o mulţime elemetră î spţiu, Tk T şi Vol( Tk ) = sk Pe de ltă prte, dcă otăm cu T h prlelipipedul dreptughic de ză h şi îălţime M h şi cu Tk = U{ Th ; h J k }, tuci T k este o mulţime elemetră î spţiu, T T şi Vol ( Tk ) = S k Î cotiure vem: k V V Vol Tk Vol Tk = Sk sk Cum lim S s =, rezultă că V k k = V = f ( yddy, ) k h

132 6 Oservţi 59 i Teorem 59 rezultă iterpretre geometrică itegrlei dule că f : + este cotiuă, tuci f ( yddy, ) este volumul corpului cilidric mărgiit iferior de, lterl de suprfţ cilidrică cu geertorele prlele cu Oz şi cur directore C =fr şi superior de suprfţ z f, y,, y (Vezi fig ) = emostrţi următorei teoreme este complet logă cu czul domeiilor ple Teorem 59 U domeiu T re volum dcă şi umi dcă petru ε > eistă două mulţimi elemetre î spţiu P ε şi Q ε stfel îcât P T Q ε şi Vol( Q ) Vol( P ) ε ε ε < ε efiiţi 59 O mulţime A este de volum zero dcă ε >, eistă o mulţime elemetră î spţiu P ε cu proprietăţile: A P ε şi Vol( P ε ) < ε Ţiâd sem de cestă defiiţie, Teorem 59 se pote reformul stfel: Teorem 59 U domeiu mărgiit T dcă frotier s este de rie zero re volum dcă şi umi Fie cum T u domeiu mărgiit şi fie ρ : T, T, K, T o fmilie de sudomeii cu proprietăţile: ) T = U Ti o i= ) T IT = dcă i j i o j ) Ti re volum, i=, O stfel de fmilie de sudomeii se umeşte prtiţie lui T Se umeşte orm prtiţiei ρ cel mi mre dimetru ditre dimetrele domeiilor Ti, i=, Aşdr { ( Ti ) i }, ude ( T ) { ( M M ) M M T } ρ = m dim, dim i = sup dist, ;, i efiiţi 59 Fie T u domeiu mărgiit cre re volum, fie f : T Ρ şi fie ρ : T, T, K, T o prtiţie orecre lui T Notăm cu P i u puct orecre di sudomeiul şi cu σ ρ T i ( f, P) f ( P) Vol( i = T i= i i )

133 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 7 Spuem că f este itegrilă pe domeiul T dcă eistă u umăr fiit I cu propriette că ε >, δ ε > stfel îcât oricre r fi prtiţi ρ lui T cu ρ < δ ε şi oricre r fi puctele Pi T i vem: σ ρ ( f P), i I < ε Numărul I se umeşte itegrl triplă fucţiei f pe domeiul T şi se I = f, y, z ddydz e semee, vom scrie foloseşte otţi: T f yzddydz,, = lim f Pi Vol T i, T ρ i = sesul ect fiid cel di efiiţi 59 Proprietăţile itegrlei triple sut complet loge cu proprietăţile itegrlei dule Î prticulr se pote răt că orice fucţie cotiuă este itegrilă efiiţi 594 U domeiu dcă eistă u domeiu, : T se umeşte simplu î rport cu Oz cre re rie şi două fucţii cotiue ϕ, y ψ,, y stfel îcât ϕψ cu propriette < ( y ), T {(, y, z) ; ϕ(, y) z ψ (, y), (, y) } = < < i Teorem 59 rezultă că u stfel de domeiu re volum şi Vol T = ψ, y ddy ϕ, y ddy Teorem 594 Fie T u domeiu simplu î rport cu Oz şi fie f : T Ρ o fucţie cotiuă Atuci: ( y, ) f ( yzddydz,, ψ ) f( yzdz,, = ) ddy ϕ( y, ) T Eemplul 59 Să se clculeze volumul tetredrului T mărgiit de plele: =, y =, z = şi + y + z 6 = Proiecţi tetredrului T î plul Oy este =, y ; 6; y ir T este următorul domeiu triughiul (pli) { } simplu î rport cu Oz: T {(, y, z) ; z 6 y, (, y) } =

134 8 Fig Fig 4 Evidet 6 y 6 Vol T = ddydz = dz ddy= ( 6 y) dy d T = = = + = + = 4 6 ( 6 6 ) y y y d 9 d Eemplul 59 Să se clculeze mărgiit de suprfeţele z =, z =, z = Fig 5 + y ddy ude T este domeiul T + y i puct de vedere geometric z = + y reprezită u co cu vârful î origie Oservăm că dcă otăm cu discul + y <, tuci Avem {(,, );, (, ) } T = y z + y < z< y + y ddydz = y ( dz ) T + y ( y ( y )) ddy= = = π ( π = dθ ρ ρ ) ρdρ = 6 Î cotiure prezetăm teorem schimării de vriile î itegrl triplă

135 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 Teorem 595 Fie Ω şi T două domeii di şi fie F : Ω T o fucţie F uvw,, = uvw,,, y uvw,,, z uvw,,, vectorilă surjectivă, defiită pri ( ) ( uvw Ω,, ) Presupuem că F C (,, ) pe Ω că : (,, ) f ( yzddydz=,, ) y z uvw T Ω, F : Ω T este ijectivă şi că icoiul f T este o fucţie cotiuă, tuci (,, ) (,, ) y z = f uvw (,, ), yuvw (,, ), z( uvw,, ) uvw,, dudvdw uvw Ω Fig 6 Ce mi utiliztă schimre de vriile î spţiu este trecere l coordote polre = ρsiθcosϕ < ρ < y = ρ siθsiϕ < θ < π z = ρ cosθ < ϕ < π Semificţi otţiilor este prezettă î figur 6 Icoiul trsformării este (, y, z) ρθϕ,, = siθcosϕ siθsiϕ cosθ = ρ cosθcosϕ ρcosθsiϕ ρsiθ = ρsiθsiϕ ρsiθcosϕ = ρ siθ Fig 7 T Eemplul 59 Să se clculeze yz d dy dz, ude T este domeiul mărgiit de suprfeţele =, y =, z = şi + y + z = i puct de vedere geometric, domeiul T este primul octt di sfer + y + z Trecem l coordote polre şi otăm cu π π Ω= {( ρθϕ,, );< ρ<, < θ<,< ϕ< }

136 4 Oservăm că ître domeiile Ω şi T eistă o corespodeţă ijectivă i Teorem 595 rezultă: yz d dy dz = T = ρ si θcosθsiϕcosϕρ siθdρdθdϕ = Ω π π 5 si cos d si cos d = θ θ θ ϕ ϕ ϕ ρ dρ = = 48 Î îcheiere cestui prgrf prezetăm câtev plicţii le itegrlei triple î mecică Fie T u domeiu mărgiit şi fie ρ :T + o fucţie cotiuă că cosiderăm u corp eomoge cre re form domeiului T, de desitte vriilă ρ ρ, yz, M = ρ yzddydz,, =, tuci ms cestui corp este Petru u corp omoge, cre re form domeiului T, coordotele cetrului său de greutte G se clculeză cu formulele: G = T T d dy dz d dy dz, y T G = T yddydz d dy dz T, z T G = T zddydz d dy dz Petru u corp omoge de desitte ρ =, mometele de ierţie î rport cu origie O, î rport cu Oz, respectiv î rport cu plul Oy se clculeză cu formulele: O I = + y + z ddy dz Oz T I = + y d dy dz I Oy T T = z ddy dz

137 4 CAPITOLUL 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 6 SUPRAFEŢE PARAMETRIZATE NETEE efiiţi 6 Fie u domeiu (mulţime deschisă şi coeă) Se umeşte pâză prmetriztă de clsă C, orice fucţie vectorilă r: de clsă C că otăm cu, y şi z compoetele sclre le lui r, tuci ruv= (, ) = ( ( uv, ), y( uv, ), z( uv, )), ( uv, ) Ecuţiile = uv (, ), y= y( uv, ), z= z( u, v), ( uv, ) se umesc ecuţiile prmetrice le pâzei r, su o reprezetre prmetrică pâzei, ir u şi v se umesc prmetrii pâzei Imgie directă domeiului pri fucţi vectorilă r, dică mulţime S= uv,, y uv,, z uv, ; uv, se umeşte suportul (su urm) pâzei r { } Î cotiure vom folosi câtev otţii specifice geometriei difereţile Petru fucţi r: folosim otţi vectorilă: r r ( u, v) = ( u, v) i + yuv (, ) r j+ zuvk (, ), ( uv, ) y e semee, otăm cu u =, v =, y u u = etc, cu v u ( y, z) yu zu ( z, ) z A = Auv (, ) = =, B = Buv (, ) = = uv (, ) y z uv (, ) u u z (, ) (, ) v y z C = C( u, v) = = u y u uv v yv r r r r r r r r r r u = = ui + yuj+ z u uk, v = = vi + yvj+ zvk v r r r E = u = u + yu + z u, F = u v = uv+ yy u v+ zz u v r G = = + y + z v Oservăm că: r r u v = v v v Ai r + Bj r + Ck r şi u v r r = A + B + C că otăm cu ϕ ughiul ditre vectorii r u şi r v, tuci r r r r r r EG F = = cos ϕ = v u v u v u v şi v v,

138 CAP 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ ( si ϕ) r r r r = = = A + B + C u v u v Aşdr vem: A + B + C = EG F () efiiţi 6 O pâză prmetriztă de clsă A B C + + >, ( uv, ) C 4 se umeşte etedă dcă Petru o pâză prmetriztă etedă rezultă că r u v uv,, deci r u şi r v sut ecoliiri Fie ( uv, ) şi fie M uv (, ), yuv (, ), zuv (, ) S, puctul corespuzător de pe suportul pâzei r Plul determit de vectorii r şi r v r r, şi cre trece pri M se umeşte plul tget î M l S şi re ecuţi: (, ) ( (, )) ( (, )) A X u v + B Y y u v + C Z z u v = () Norml î puctul M l S (dică perpediculr pe plul tget î puctul M l suportului S l pâzei) este prlelă cu vectorul r u r v Rezultă că prmetrii directori i ormlei î M l S sut A, B şi C efiiţi 6 O pâză prmetriztă fucţi r este ijectivă, dică dcă ruv, ( ) ( ) ( u, v ), ( u, v ), ( u, v ) ( u, v ) r: se umeşte simplă, dcă ru, v, oricre r fi puctele Eemplul 6 Fie pâz prmetriztă de clsă C, defiită pri: π π ruv (, ) = ( Rsi ucos vr, siusi vr, cosu), ( uv, ) =,, Ecuţiile prmetrice sut: = Rsiucosv y = Rsi usi v π π z = Rcos u ( u, v) =,,, puctul Oservăm că petru orice ( uv, ) ( (, ), (, ), (, )) uv y uv z uv verifică ecuţi + y + z = R, >, y >, z > Rezultă că suportul cestei pâze este porţiue sferei cu Fig cetrul î origie şi de rză R, cuprisă î primul octt Mi deprte vem: = Rcosucosv, y = Rcosusi v, z = Rsi u u u u u

139 4 = Rsiusi v, y = Rsiucos v, z = v A = R si ucosv, E = R, F =, v v B = R si usi v, C = R si ucosu G= R si u 4 = = >, A + B + C EG F R si u uv, e semee, este evidet că fucţi r este ijectivă pe Aşdr, pâz prmetriztă di cest eemplu este o pâză prmetriztă etedă şi simplă U cz prticulr de pâză prmetriztă, deoseit de importt î plicţii, este czul pâzei defiită eplicit Mi precis, fie u domeiu şi fie f f f : o fucţie de clsă C Notăm cu p = şi cu q = Cu jutorul y fucţiei f putem defii următore pâză prmetriztă de clsă C : r:, r(, y), y, f (, y) =, (, y) Ecuţiile prmetrice sut: = y = y z = f( y, ), ( y, ) Oservăm că suportul cestei pâze este grficul fucţiei f (Fig ) Pe de ltă prte, vem ( y, z) A = = = p,, y p q Fig (, ) (, ) z p q B = = = q şi, y y C = = =, y Plul tget îtr-u puct orecre ( ) ( X )( p) ( Y y)( q) Z f (, y) M sut ( p, q,) eorece A + B + C = p + q + >, rezultă că pâz () este etedă e seme e, este evidet că este o pâză simplă M, y, f, y re ecuţi: + + =, ir prmetrii directori i ormlei î r : morfism efiiţi 65 ouă pâze prmetrizte de clsă C, r: şi se umesc echivlete cu ceeşi orietre dcă eistă u difeo- Φ cu proprietăţile: det JΦ ( u, v) >, ( uv, ) : şi r = r oφ

140 CAP 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 4 Remitim că Φ este difeomorfism, dcă Φ este ijectivă, Φ C că det J Φ < Φ C pe, spuem că cele două pâze sut echivlete cu orietări opuse Fucţi Φ se mi umeşte şi schimre de prmetri Vom ot cu r r fptul că pâzele r şi r sut echivlete i efiiţi 64 rezultă: Oservţi 6 Orice două pâze echivlete u celşi suport Eemplul 6 Fie pâz prmetriztă defiită stfel: (, ) (,, ) r u v = u v R u v, { } u, v = u, v ; u + v < R, u >, v > Oservăm că pâzele di eemplele 6 şi 6 sut echivlete cu ceeşi π π orietre Îtr-devăr, fie Φ : =,,, defiită pri: uv, Rsiucos v, Rsiusi v uv, Rezultă că Φ C ( ) şi Φ =, J ( uv, ) Φ = Rcosucosv Rsi usi v Rcosusi v Rsi ucosv presupuem că ( u, v ) ( u v ) = R si ucosu >, ( uv, ) şi că Φ =Φ,, tuci rezultă că tg v = tg v şi mi deprte că v= v şi u= u Aşdr, Φ este ijectivă Petru dovedi că Φ este şi surjectivă, fie u >, v > cu propriette u + v < R u + v eorece < <, rezultă R π că eistă u, stfel îcât u + + v u R = siu, relţie echivletă cu v π u Rsiu = Rsiu Atuci eistă v, stfel îcât cosv Rsi u = şi v = si v Î defiitiv, m rătt că eistă Rsi u uv, stfel îcât u = Rsiucosv, v Rsi usi, deci u, v =Φ u, v e semee, este uşor de oservt că u + v v Φ ( u, v) = rcsi, rctg r u, ( ) u, v, deci Φ C ( ) Pe de ltă prte vem: ( ro Φ )( u, v) = r Φ ( u, v) = ( Rsiucos v, Rsiusi v, Rcos u) = r( u, v ), = v

141 44 ( uv, ), deci r r Oservţi 6 Orice pâză prmetriztă echivletă cu o pâză prmetriztă simplă su etedă este l râdul său simplă su etedă Îtr-devăr, fie ude r uv, uv,, y uv,, z uv uv,, r r = ( (, )), r( u, v) = ( ( u, v), y( u, v), z( u, v) ), ( u, v) şi fie Φ :, Φ ( uv, ) = ( λ ( uv, ), µ ( uv, )), ( uv, ), schimre de prmetri eorece r = r oφ şi Φ este ijectivă, rezultă că dcă r este ijectivă (deci simplă) tuci şi r este ijectivă (simplă) Pe de ltă prte: ( uv, ) = λ ( uv, ), µ ( uv, ), yuv (, ) = y λ ( uv, ), µ ( uv, ) şi z( uv, ) = z λ ( uv, ), µ ( uv, ) Ţiâd sem de formulele de derivre fucţiilor compuse de două vriile rezultă: ( y, z ) ( y, z ) ( λ, µ ) ( λ, µ ) A= = = A uv (, ) uv (, ) uv (, ) uv (, ) şi log ( λ, µ ) ( λ, µ ) B= B şi C = C ( uv, ) ( uv, ) Aşdr, vem: ( ) ( λµ, ) uv (, ) Cum ( λµ, ) uv (, ) A + B + C = A + B + C >, rezultă că dcă r (respectiv r ) este etedă, tuci şi r (respectiv r) este etedă efiiţi 66 Se umeşte suprfţă prmetriztă de clsă orice clsă de echivleţă de pâze prmetrizte de clsă C Aşdr, ˆ S este o suprfţă prmetriztă de clsă C, dcă eistă o pâză prmetriztă de clsă C, r :, stfel îcât: S ˆ = r :, pâză etedă prmetriztă; r r } { Cum r r, rezultă că r S ˆ Suprfţ S ˆ se umeşte simplă (respectiv etedă) dcă pâz r cre o determiă este simplă (etedă) Suportul suprfeţei S ˆ, este suportul S l pâzei r cre o determiă, celşi cu suportul oricărei lte pâze de clsă S ˆ e regulă, vom idetific suprfeţ S ˆ su suportul său S C

142 CAP 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 45 6 ARIA UNEI SUPRAFEŢE Petru îceput ordăm prolem riei uei suprfeţe edete eplicită Fie u domeiu mărgiit cre re rie şi fie f : o fucţie de clsă C f f pe că otăm cu p = şi q =, rezultă că p şi q sut cotiue pe Fie y S (respectiv S ) grficul fucţiei f : (respectiv f : ) Aşdr, = {(,, (, )); (, ) } şi S y f y y {(,,, ); (, ) } S = y f y y Mulţime Γ = S \ S se umeşte ordur suprfeţei S că S este frotier domeiului, tuci {(, y, f( y, )); ( y, ) C} Γ= Fie ρ :,, K, o prtiţie domeiului şi fie M (, y u i i i) puct orecre di i Notăm cu P i puctul corespuzător de pe suprfţ S Evidet re coordotele P i ( i, i, ( i, i) ) y f y puctul l S î Fie Pi P i π i plul tget l S î şi fie r i versorul ormlei, oriett î sus că otăm cu γ i ughiul formt de versorul r i cu Oz, tuci cosγ i =, + p + q Fig f f ude pi = ( i, y ) i şi qi = ( i, y ) i y Fie Ti porţiue decuptă di plul tget π i de cilidrul cu geertorele prlele cu Oz şi cur directore Ci frotier domeiului i eorece γ i este ughiul ditre plul π i şi plul Oy rezultă că ri i = ri ( Ti)cosγ i su ri = + + q ri Ti pi i Pri defiiţie, ri S = ri S = A = () i lim ρ i= ri ( T ) i Sesul ect fiid următorul: Eistă A + stfel îcât ε >, eistă δ ε > stfel îcât, ρ :, K,, prtiţie lui, cu ρ < δε şi ( ) Mi( i, yi) i, vem: i i

143 46 ri ( i ) A T < ε i= Ţiâd sem de () rezultă că ri ( Ti ) = + pi + qi rii Oservăm că sum di memrul drept este sum Riem tştă fucţiei = + +, prtiţiei ρ şi puctelor itermedire Mi( i, yi) i g p q cotiuă pe, deci itegrilă, rezultă că: i= i= Cum g este ri S = lim σ ρ ( gm ; i ) = g (, y) d dy = + p + q (, y) d dy ρ Aşdr, o suprfţă etedă eplicită S: z = f (, y), (, y), re rie şi dy () ri S = + p + q, y d Eemplul 6 Să se clculeze ri suprfeţei =, S: z R y Rezultă: z p = = R y R + p + q = R y Coform () vem R Ari S = d dy = R R + p + q = π R R ρ = πr { }, y =, y ; + y < R, R z y q = = y R y π R ρ dρ = R ρ i puct de vedere geometric, {,, ; } S = y R y + y R reprezită emisfer superioră sferei cu cetrul î origii şi de rză R Ari îtregii sfere v fi 4π R efiiţi 6 Fie S o suprfţă prmetriztă simplă şi etedă şi fie (, ) ( (, ), (, ), ) r uv = uv y uv z uv,, uv,, o reprezetre prmetrică s Presupuem că este u domeiu mărgiit cre re rie şi că, y, z C { } Notăm cu ( (, ), (, ), (, )); (, ) S = u v y uv z uv uv şi cu

144 CAP 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 47 {( (, ), (, ), (, )); (, ) } S= uv y uv z uv uv eorece suprfţ este simplă, rezultă că fucţi r : S este ijectivă Mulţime Γ = S \ S se umeşte ordur suprfeţei S că otăm cu C frotier domeiului, tuci Γ= rc = uv,, y uv,, z uv, ; uv, C {( ) } Corespodeţ ditre C şi Γ, î geerl u este ijectivă Suprfţ S se umeşte îchisă dcă S = S O suprfţă prmetriztă îchisă u re ordură Eemplul 6 Fie suprfţ prmetriztă ruv, Rsiucos vr, siusi vr, cosu =, ( uv, ) (, π ) (, π ) = Fig Ecuţiile prmetrice sut: = Rsiucosv y = Rsi usi v u (, π ) z = Rcosu v (, π ) r, v,, R v, π Aşdr, imgie oricărui Oservăm că =, [ ] P(,, R) BF este puctul P (,, R) puct de pe segmetul AE, pri fucţi vectorilă r, este puctul mod log imgie oricărui puct de pe segmetul Î Pe de ltă prte, imgie oricărui puct M AB U EF v fi u puct de coordote = Rsiu, y =, z Rcosu eorece =, u [, π ] + y + z = R şi rezultă că imgie frotierei dome- iului pri fucţi vectorilă r este meridiul PQP de pe sfer cu cetrul î origie şi de rză R Aşdr, S = r( ) este sfer cu cetrul î origie şi de rză R mi puţi meridiul PQP

145 48 S = r este sfer cu cetrul î origie şi de rză R Bordur suprfeţei S este Γ = S \ S = PQP efiiţi 6 Fie u domeiu mărgiit cre re rie şi fie =, (, ) Presupu că r C ( ) : r:, r( uv, ) uv (, ), y( uv, ), z( uv, ) S = r Pri defiiţie uv şi r este ijectivă Fie S = r( ) şi () ri S = ri S = EG F du dv = A + B + C du dv Oservţi 6 Fie S o suprfţă etedă eplicită: z f (, y) ( y, ), f C ( ) Î cest cz A p, B q, C 6 rezultă că: ri S p q ddy = + + =, = = = şi di efiiţi Aşdr, î cest cz prticulr, regăsim formul () de clcul riei uei suprfeţe Rezultă că efiiţi 6 este geerlizre, petru suprfeţe prmetrizte, oţiuii de rie uei suprfeţe eplicite Oservţi 6 Ari uei suprfeţe prmetrizte u depide de prmetrizre lesă Îtr-devăr, fie S o suprfţă prmetriztă simplă şi etedă şi fie r:, r( uv, ) = uv (, ), y( uv, ), z( uv, ), ( uv, ), o reprezetre prmetri- ztă s că, r : r ( u, v ) ( ( u, v ), y ( u, v ), z ( u, v )), ( u, v ) = este o ltă reprezetre prmetrică echivletă lui S, tuci eistă u difeomorfism Φ:, Φ ( uv, ) = ( λ ( uv, ),,( uv, )), ( uv, ) şi vem ( λµ, ) (, ) A + B + C = ( A + B + C ) uv oţiem că î formul () fcem schimre de vriile u λ ( u v) =, v = µ ( u v),, λµ, λµ, ri S = A + B + C dudv= A + B + C du dv uv, uv, = A B C dudv = + +

146 CAP 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 49 Eemplul 6 Să se clculeze ri suprfeţei prmetrizte π π S: = Rsi ucosv, y= Rsiusi v, z = Rcosu, ( v, ) =,, Aş cum s- rătt î eemplul 6, î cest cz 4 A + B + C = EG F = R si u, deci Ari S = R siududv= R dv siudu= π π π R i puct de vedere geometric suprfţ S este porţiue di primul octt sferei, cu cetrul î origie şi de rză R Ari îtregii sfere v fi eglă cu π R 8 = 4π R Eemplul 64 Să se clculeze ri torului Cosiderăm î plul Oy u cerc de rză cu cetrul î puctul (,) ude < < Torul este suprfţ T cre se oţie câd rotim cest cerc, c u corp rigid, î spţiu î jurul ei Oy că θ este ughiul di figur şi ϕ este ughiul de rotire l cercului î jurul ei Oy, tuci ecuţiile prmetrice le torului sut: = ( + cosθ) cosϕ T : y = si θ ( θϕ, ) = (,π) (,π) z = ( + cosθ) siϕ Rezultă: θ = siθ cosϕ yθ = cosθ zθ = siθ siϕ ϕ = ( + cosθ ) siϕ y ϕ = Fig ϕ ϕ ϕ θ G = + y + z = + cos EG F = + cosθ zϕ = + cosθ cosϕ θ θ θ E = + y + z = ; F = θϕ + yθyϕ + zθzϕ = ; Ari T = ( + cosθ ) dθdϕ = dϕ ( + cosθ) dθ = 4 Aşdr, ri torului este ri sferei π π π 4π Î czul prticulr câd = reoţiem

147 5 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ E PRIMA SPEŢĂ Fie S o suprfţă prmetriztă simplă şi etedă şi fie uv,, y uv,, z uv,, uv, o reprezetre prmetrică s r(u, v) = Presupuem că este u domeiu mărgiit cre re rie şi că, y, z C ( ) Fie de semee, F o fucţie relă defiită pe S = r( ) şi fie ρ :,, K, o prtiţie lui Notăm cu S = r( i ) şi cu (,, ) S i Pi i yi z i u puct orecre di i efiiţi 6 Se umeşte itegrl de suprfţă de prim speţă fucţiei F, y, z dσ următore limită F pe suprfţ S şi se oteză cu i lim F Pi ri S i, dcă cestă limită eistă şi e fiită ρ = S (Sesul ect l eisteţei cestei limite fiid următorul: eistă L Ρ stfel îcât ε >, δ ε > cu propriette că oricre r fi prtiţi ρ lui cu ρ < δε şi oricre r fi puctele Pi S i vem L F( Pi) ri Si < ε i= Oservţi 6 că S este o suprfţă mterilă eomogeă, cărei desitte vriilă este descrisă de fucţi F: S +, tuci F ( Pi) proimeză ms suprfeţei S, ir lim F ( Pi) ri Si ms( S) ρ = i i= ri S = Aşdr, F, y, z dσ reprezită ms suprfeţei mterile S cărei desitte vriilă S este dtă de fucţi F: S + Teorem 6 Fie S o suprfţă prmetriztă simplă şi etedă şi fie uv, y y u, v z z u, v uv, o reprezetre prmetrică s =, =, =, Presupuem că este u domeiu mărgiit cre re rie şi că, yz, C dcă F: S este cotiuă, tuci eistă itegrl de suprfţă de prim speţă fucţiei F pe suprfţ S şi F(, y, z) dσ = S emostrţie F uv,, y uv,, z uv, EG F uv, dudv () S i

148 CAP 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 5 Fie ρ :,, K, o prtiţie orecre domeiului O stfel de prtiţie determiă o prtiţie suprfeţei S (mi ect suprfeţei lui S) şi ume: S, S, K, S ude S = r( i ) Fie P(, y, z ) u puct orecre di Si = r( i) şi fie π F ( P) i= i i i i i = ri S că ţiem sem de modul de clcul l riei uei i i suprfeţe (efiiţi 6), rezultă că π = F ( i, yi, zi) EG F ( u, v) dudv Pe de ltă prte, di teorem de medie itegrlei dule, rezultă că eistă α, β stfel îcât i i i i= EG F ( u, v) dud v= EG F ( αi, βi) ri( i) i Fie, de semee ( ξη i, i) i cu propriette că i = ( ξi, ηi), yi = y( ξi, ηi) şi = ( ξ η ) Cu ceste precizări rezultă că: zi z i, i F (, ), y(, ), z(, ) EG F (, ) ri( i) π = ξ η ξ η ξ η α β i i i i i i i i i= că otăm cu G( uv, ) = F ( uv, ), y( uv, ), z( uv, ) EG F ( uv, ), ( uv, ), tuci sum Riem corespuzătore prtiţiei ρ, fucţiei G şi puctelor itermedire ( ξ, η ) este i i i ( G,, ) = F ( i, i), y( i, i), z( i, i) EG F ( i, i) ri( i) σρ ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η i= i eorece G este cotiuă pe, deci itegrilă pe, rezultă că eistă lim σ G; ξ, η = G u, v dudv () ρ Cum F este cotiuă pe S r( ) pe S Fie M > stfel îcât F(, y, z) ρ = şi S este o mulţime compctă (fiid imgie mulţimii compcte pri fucţi cotiuă r), rezultă că F este mărgiită < M, (, yz, ) S Î cotiure vem: ρ i i i i i i= ( G;, ) M EG F (, ) EG F (, ) ri π σ ξ η α β ξ η Pe de ltă prte, fucţi EG F fiid cotiuă pe mulţime compctă, este uiform cotiuă, deci ε >, δ ε > cu propriette că oricre r fi

149 5 puctele ( u, v ) şi ( u, v ) di stfel îcât u v < δε, u v < δε, rezultă că ε EG F ( u, v ) EG F ( u, v ) < () M ri că presupuem cum că β η dim( ) < δ, deci i i i ε ρ < δ, tuci dim( ) ε ( ) i= α ξ < δ, i i i ( G ;, ) M ε π σρ ξ η < ri( i) M ri = ε (4) i () şi (4) rezultă că eistă ρ ρ ( G ) F ( uv) y( uv) z( uv) EG F ( uv) u v lim π = lim σ ; ξ, η =,,,,,, d d ρ Eemplul 6 Să se clculeze ( + y+ z)dσ ude S ε S: y z + + =, z > Suprfţ S reprezită emisfer superioră sferei cu cetrul î origie şi de rză O reprezetre prmetrică cestei suprfeţe este: = siucosv, y= siusiv, z cosu, π,,, π ) = ( uv) = ( 4 (Vezi Eemplul 6) Ţiâd sem că EG F = si u, di Teorem 6 rezultă: ( + y+ z)dσ = siucosv+ siusiv+ cosu siududv= S π π = = du si ucosv+ si usiv+ siucosu dv π π π π = si usiv si ucosv vsiu cosu d + u= π si u = π = π Corolrul 6 Fie S: z= f (, y), (, y) ude este u domeiu mărgiit cre re rie, ir f C ( ) este cotiuă, tuci: F(, y, z) dσ = + + S o suprfţă etedă eplicită, că F: S F yf,, y, p q y, ddy (5) Afirmţi rezultă di Teorem 6 şi di oservţi că o reprezetre,, y prmetrică suprfeţei S este: =, y = y, z = f ( y ),

150 CAP 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 5 di coul Eemplul 6 Să se clculeze ( y + yz + z)dσ, ude S este porţiue z = + y, decuptă de cilidrul Fig Fig S + y = y Oservăm că proiecţi suprfeţei S î plul Oy este domeiul : + y y Aşdr, = +, (, y) S: z y = z Î cotiure vem p = = z y, q = = şi + y y + y + p + q = i corolrul 6 rezultă că: I = ( y + yz + z)dσ = y+ ( y+ ) + y ddy S Trecâd l coordote polre: = ρ cosθ, y ρ siθ =, θ [, π ] ρ siθ, oţiem: π siθ I = dθ ( ρ siθcosθ + ρ siθ + ρ cosθ) ρdρ = 4 siθ π ρ = ( siθ cosθ + siθ + cosθ) dθ = 4 π 5 5 4, = 4 si θ cosθ + si θ + si θcosθ dθ = 4 si θ dθ = ( θ) π 64 = 4 cos siθdθ = 5 Oservţi 6 că suprfţ S este etedă pe porţiui, dică este o reuiue fiită de suprfeţe simple etede, simplă şi etedă ρ i i= π S = US cu proprietăţile: este i =, ρ, două câte două u u pucte iteriore comue ii j ij Si Sj ( S S = dcă i j) şi petru orice i şi j Γ = I este o cură etedă pe porţiui (î czul câd este evidă), tuci ρ = F(, y, z) d σ F(, y, z) dσ ri S ri S i şi i= S ρ = i= S 5 S i

151 54 64 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ E SPEŢA A OUA Petru defii itegrl de suprfţă de speţ dou, treuie mi îtâi să defiim orietre uei suprfeţe, prolemă semăătore cu orietre uei cure Fie S o suprfţă prmetriztă etedă şi fie r( uv, ) = ( ( uv, ), y( uv, ), z( uv, )), ( uv, ) o reprezetre prmetrică s Î scriere vectorilă, r r uv uv i y uv j z uv k (, ) = (, ) + (, ) + (, ), ( uv, ) eorece suprfţ S este etedă, rezultă că r r r, petru orice ( uv), Î u v (, ), (, ), (, ) fiecre puct M S, de coordote M uv yuv zuv eistă doi versori ormli l suprfţ S (ortogoli pe plul tget î puctul M l suprfţ S) şi ume ± M r r ru rv ude M = r r u v efiiţi 64 Suprfţ S se umeşte orietilă (su cu două feţe) dcă r plicţi M M : S este cotiuă r Este evidet că dcă plicţi M ( M): S este cotiuă, tuci şi r plicţi M ( M): S este cotiuă că o suprfţă este orietilă, tuci orietre s (su desemre uei feţe cestei suprfeţe) revie l legere uei di cele două plicţii cotiue M ± M r Aşdr, vem două orietări posiile le suprfeţei S (su două feţe le suprfeţei S) şi ume: r r r S+ = ( S, ) cre corespude plicţiei cotiue M ( M): S şi S = ( S, ) r cre corespude plicţiei cotiue M ( M): S esigur, otţi petru fţ ( S, r ) este ritrră Putem forte ie să otăm cu S ( S, ) S + + = r Importt este fptul că, odtă les u umit ses l ormlei petru desem o fţă suprfeţei, celltă fţă v corespude sesului opus l ormlei O suprfţă eorietilă se mi umeşte şi suprfţă cu o sigură fţă r Oservţi 64 Propriette plicţiei M ( M): S de fi cotiuă, î czul uei suprfeţe orietile, este o propriette glolă şi se referă l îtreg suprfţă S Acest presupue de pildă următore propriette: fie M S orecre fit şi fie C o cură îchisă pe suprfţ S cre trece pri M şi cre u îtâleşte ordur suprfeţei S Să presupuem că m les u ses pe r orml î M l S şi ume sesul versorului ( M ) eplsâd versorul M r pe cur C, plecâd di M, reveim î puctul M cu ceeşi orietre ormlei, dică

152 CAP 6 INTEGRALE E SUPRAFAŢĂ 55 Eemple r r lim M = M M M M C Orice suprfţă etedă eplicită, z= f (, y), (, ) y re două feţe şi ume: fţ superioră, cre corespude ormlei oriettă î sus (cre fce u ughi scuţit cu direcţi pozitivă ei Oz) şi fţ iferioră cre corespude ormlei oriettă î jos Fig Sfer + y + z = R re două feţe şi ume: fţ eterioră cre corespude ormlei oriettă spre eterior şi fţ iterioră cre corespude ormlei oriettă spre iterior Îtr-devăr, petru orice puct M ( yz,, ) de pe sferă, versorul ormlei r uuuur eteriore î puctul M l sferei este: M = OM R r Este uşor de rătt că plicţi M ( M): S este cotiuă pe {(,, ) } S = y z + y + z = R (, ) r r u v = u v i + y u v j + Fie S o suprfţă prmetriztă etedă şi fie (, ) (, ) (, ) ) + zuvk, ( uv, o reprezetre prmetrică s Presupuem î plus că r : S este homeomorfism, dică r este ijectivă şi icotiuă (r şi r sut cotiue) Atuci S = r() este o suprfţă orietilă r r ru rv Îtr-devăr, plicţi M ( M): S, ude M = este cotiuă pe r r S, petru că este compuere fucţiilor cotiue r : S şi r ( uv), u r v : r r u v u v

153 56 4 U eemplu clsic de suprfţă cu o sigură fţă (eorietilă) este şumit d lui Möius U model l cestei suprfeţe se oţie dcă răsucim o uctă de hârtie dreptughiulră ABC stfel îcât puctul A să coicidă cu C, ir puctul B cu Fig Este uşor de oservt că dcă deplsăm versorul ormlei l suprfţă plecâd di E, pe cur îchisă de pe suprfţă corespuzătore liiei medie EF, câd reveim î E, orietre versorului ormlei v fi opusă orietării iiţile cestui Aşdr, u este sigurtă cotiuitte glolă plicţiei r M ( M): S, deci suprfţ u este orietilă efiiţi 64 Fie S o suprfţă prmetriztă simplă, etedă, orietilă r r uv, = uv, i+ y uv, j+ z uv, k şi fie, ( uv, ) o reprezetre prmetrică s Presupuem că este u domeiu mărgiit cre re rie şi că, yz, C ( ) r Fie de semee v : Ω o fucţie vectorilă cotiuă defiită r r r r pri v( yz,, ) = P( yzi,, ) + Q( yz,, ) j+ R( yzk,, ), ( yz Ω,, ), ude Ω r este u domeiu ce coţie suprfţ S că otăm cu S S, ude r r = u r v r r u v + =, tuci itegrl de suprfţă de speţ dou fucţiei v r pe fţ S + suprfeţei S, se defieşte stfel: r r Pdy dz + Qdz d + Rd dy = v dσ = S+ = P yz,, cos α + Q yz,, cos β + R yz,, cosγ dσ S ude α, βγ, sut ughiurile pe cre le fce versorul r l ormlei l suprfţă cu r r direcţiile pozitive le elor de coordote Aşdr: (, y, z) = cos α (, y, z) i + r r + cos β(, yz, ) j+ cos γ ( yzk,, ), (, yz, ) S că S = ( S, r ) este celltă fţă suprfeţei S, tuci: r r Pdydz + Qdzd + Rddy = v ( )dσ = Pdydz + Qdzd + Rddy S S S+ S ()