Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.

Transcript

1 Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea fucţlor defte pe dferte spaţ metrce.. Răspusur la problemele fale. 4.. CONTINUITATEA FUNCŢIILOR DEFINITE PE SPAŢII METRICE Fe (X d (Y d două spaţ metrce. Petru smplfcarea screr am otat cu aceeaş lteră d metrcle celor două spaţ care pot f dferte aceasta rezultâd d cotet. Să cosderăm o fucţe f : X Y. Putem avea următoarele cazur frecvet îtâlte î aplcaţ: a X Y R câd vorbm despre fucţ reale de varablă reală; m b X R Y R câd avem fucţ vectorale de varablă vectorală; c X Y C câd avem fucţ complee de varablă compleă. Î toate cele tre cazur am cosderat spaţle respectve îzestrate cu metrca eucldaă. Defţa. Aplcaţa f se umeşte cotuă îtr-u puct X dacă petru orce vecătate V a lu f ( estă o vecătate U a lu asfel îcât f (U V. Observaţa. Dacă fucţa f este cotuă î fecare puct X spuem că f este cotuă pe X. Teorema. (Caracterzarea cotutăţ ue fucţ îtr-u puct. Fe f : X Y o aplcaţe ître spaţle metrce (X d (Y d ş X. Atuc următoarele afrmaţ sut echvalete: a f este cotuă î (coform cu defţa formulată cu vecătăţ; b petru orce ε > estă δ > astfel îcât petru orce X cu ( d ( <δ să avem df ( f ( fs ( ( δ Sf ( ( ε ; c petru orce şr coverget ( <ε adcă: X ş avâd lmta avem:

2 48 lm Demostraţe: ( f ( f. Arătăm că are loc şrul de mplcaţ a b c a. Presupuem că f este cotuă î î sesul Defţe. Fe ε > cosderăm ( vecătatea V S f( ε a lu ( f. Atuc estă U o vecătate a lu astfel îcât f (U V. D defţa ue vecătăţ a uu puct îtr-u spaţu ( metrc rezultă că estă δ > astfel îcât S ( δ V ş dec fs ( adcă d ( δ mplcă df ( f ( ( δ V <ε ceea ce arată că afrmaţa b este verfcată. Să presupuem că f verfcă codţa b î puctul X ş fe ( X astfel că. Atuc petru orce ε > estă δ > astfel îcât petru orce X petru care d ( <δ avem df ( f ( Cum rezultă că estă N N astfel îcât d ( orce N. Cele de ma sus arată că df ( ( f ( ce mplcă lm f ( f ( adcă afrmaţa c este adevărată. ( <ε. <δ petru <ε petru orce N ceea Petru a demostra mplcaţa c a vom proceda pr reducere la absurd. Presupuem că c are loc ş că estă o vecătate V a lu f ( astfel îcât petru orce vecătate U a lu f(u V. Să luăm U S. Cum f S V rezultă că estă f ( V aşadar d ( < ş ( V petru orce N ceea ce cotrazce f ( f ( f ş astfel teorema este complet demostrată. Observaţa. Afrmaţle b ş c fd echvalete cu a costtue de asemeea defţ ale cotutăţ ue fucţ f îtr-u puct. Eemplul. Fe (X d u spaţu metrc. Aplcaţle X : X X X ( (aplcaţa dettate ş f : X X f( a ude a X (aplcaţa costată sut cotue. Eemplul. Aplcaţle :( R d ( R d Π k (proecţle caoce sut aplcaţ cotue. e ( e ( Π k K k Teorema. Fe f : X Y o aplcaţe ître două spaţ metrce (X d ( Y d. Atuc următoarele afrmaţ sut echvalete: a f este cotuă pe X

3 49 b petru orce mulţme deschsă D d Y f ( D este o submulţme deschsă a lu X. c petru orce mulţme îchsă &I d Y f ( I& este o submulţme îchsă a lu X. Demostraţe: Vom arăta că a b. Î mod aalog se arată că a c. Fe f cotuă pe X ş D o submulţme deschsă a lu Y. Dacă f ( D rezultă f ( D. Cum D este o mulţme deschsă rezultă că estă ε > astfel că S (f ( ε D. D cotutatea lu f rezultă că estă δ > astfel ca f (S ( δ S (f ( ε ceea ce este echvalet cu S ( δ f ( D. Aceasta arată că f ( D este o submulţme deschsă a lu X. Recproc să presupuem că f ( D este o submulţme deschsă a lu X orcare ar f D o submulţme deschsă a lu Y. Fe X ş V o vecătate a lu f ( atuc estă V V f( V presupuerea făcută f ( V f ( V ş dacă luăm U f ( V ş V este o submulţme deschsă a lu Y. D este o submulţme deschsă a lu X ma mult atuc fu ( V Vş dec f este cotuă î. Cum a fost ales arbtrar rezultă că f este cotuă pe îtregul spaţu X. Remarcăm că Teorema caracterzează cotutatea ue fucţ îtr-u puct pe câd Teorema caracterzează cotutatea ue fucţ pe o mulţme. Teorema 3 (Cotutatea fucţlor compuse. Fe (X d (Y d ş (Z d spaţ metrce ş fucţle f : X Y g : Y Z cotue î X ş respectv ( f Y. Atuc fucţa compusă h g ο f h : X Z este cotuă î. Demostraţa aceste teoreme rezultă medat utlzâd defţa cu şrur a cotutăţ ue fucţ îtr-u puct. Î cotuare vom prezeta uele rezultate î cazul partcular câd (Y d (R d e. Teorema 4. Fe fucţle f g : (X d R fucţ cotue ş λ R. Atuc fucţle f g f - g λf fg : X R g/f : X - Z f R sut cotue Z f repreztă mulţmea zerourlor lu f adcă Z f { X; f ( }. De asemeea ma f g f g f g m fg f g fg sut fucţle f ( ( ( ( cotue. Petru demostraţe se utlzează defţa cu şrur a cotutăţ ue fucţ îtr-u puct arbtrar al spaţulu X.

4 5 Teorema 5. (Păstrarea semulu pe o vecătate. Fe (X d u spaţu metrc ş fx : R o fucţe cotuă îtr-u puct X. Dacă f ( > respectv f ( < atuc fucţa f este poztvă (a valor poztve pe o vecătate a lu respectv este egatvă pe o vecătate a lu. Demostraţe: Fe f ( > alegem ε > astfel îcât f ( > ε > ş cosderăm V ( f( ε f( ε. Deoarece f este cotuă estă o vecătate U a lu astfel îcât f ( U V adcă f ( > f ( ε > petru orce U dec f a valor poztve pe vecătatea U a lu. Teorema 6. Fe f f... f defte pe (X d ş cu valor reale. Fucţa FX : R deftă pr F ( ( f ( f (... f ( este cotuă îtr-u puct X (pe X dacă ş uma dacă fucţle compoete f f... f sut cotue î puctul (pe X. Petru demostraţe se utlzează defţa cu şrur a cotutăţ. Următoarea teoremă afrmă o propretate remarcablă a fucţlor cotue. Teorema 7. Fe (X d ş (Y d două spaţ metrce ş f : X Y o aplcaţe cotuă. Dacă K X este o mulţme compactă atuc magea drectă fk ( este o submulţme compactă a lu Y. Demostraţe: Fe ( V I D f ( V o acoperre cu mulţm deschse a lu f (K rezultă că este o acoperre cu mulţm deschse a lu K d care se poate etrage o acoperre ftă. Fe aceasta ( D j j J ( fk U ff ( ( V U Vj dec f ( K este o mulţme compactă. j J j J atuc Defţa. Fe (X d u spaţu metrc. Spuem că o fucţe fx : R este mărgtă dacă mulţmea fx ( R este mărgtă adcă estă M > astfel ca f ( M petru orce X. Spuem că f îş atge margle dacă estă X astfel îcât f f ( f ( ş sup f ( f ( X X. Teorema 8. O fucţe f deftă pe u spaţu metrc compact (X d cu valor reale este mărgtă ş îş atge margle. Demostraţe: D teorema 7 rezultă că f (X este o submulţme compactă a lu R dec f (X este mărgtă ş fx ( fx (. Cum f f ( ş sup f ( aparţ lu X X

5 5 f( X aparţ ş lu f (X adcă estă X sup f X ( f (. astfel îcât f f ( f ( X ş Î cazul câd domeul de defţe a ue fucţ f este u terval compact următorul rezultat este deosebt de mportat î studul fucţlor reale de o varablă reală. Teorema 9. Fe a b R a < b ş f : [a b] R. (a Dacă f (a f (b < atuc estă [ a b] astfel îcât ( f. (b Fe m f f( ş M sup f(. Petru orce m < < M estă u [ a b] [ a b] [a b] astfel îcât f (u. (c Dacă fucţa f este strct mootoă atuc f stableşte o bjecţe de la [a b] la [m M] ar versa f a lu f este de asemeea o fucţe cotuă ş strct mootoă. Teorema de ma sus este cuoscută sub umele de Teorema Bolzao- Darbou. Demostraţe: a Să otăm cu I [ a b]. Aşadar f a valor de seme cotrare la capetele tervalulu I. Împărţm pe I î două tervale de lugm egale. Atuc f va lua valor de sem cotrar la capetele uua d cele două tervale îchse. Î cazul câd va lua la mjlocul tervalulu I valoarea puctul a este demostrat. Cotuâd acest procedeu rezultă şrul de tervale compacte I > I > I > L> I > L la capetele cărora f a valor de seme cotrare ş petru care şrul lugmlor li ( are lmta lm li (. Pr lema tervalelor îchse cluse (.3. tersecţa I I este evdă ş se reduce la u puct fe acesta. Dacă otăm I [ α β ] lm α lm β f fd cotuă rezultă că lm f( f( lm f ( β f(. Dar pr costrucţe f( α ş f( β atuc α ş sau vers f( α ş f( β de ude rezultă f ( ş f ( ceea ce coduce la f ( ş afrmaţa a este demostrată. b Deoarece [a b] este o submulţme compactă a lu R coform Teoreme 8 estă [ a b] astfel ca m f( ş M f(. Dacă cosderăm

6 5 fucţa g ( f ( - aceasta va lua valor de seme cotrare la capete. Afrmaţa b rezultă aplcâd puctul a fucţe g. c Puctul b asgură că fucţa f este surjectvă fd mootoă ea este ş jectvă ş dec este o bjecţe de la [a b] la [m M] ceea ce arată că este versablă adcă estă f [ m M] [ a b] : astfel că f o f [ mm ] ş f f [ ab] m M a b astfel îcât f ( < f ( dar f ( < f ( mplcă < (f fd strct mootoă dec: f ( < f ( cea ce arată că f este strct mootoă. Afrmaţa b arată că petru orce submulţme îchsă a lu [m M] coform cu Teorema. c f este cotuă ş teorema este complet demostrată. o. Fe [ ] < atuc vor esta [ ] Defţ cotutatea ue fucţ ître spaţ metrce.euţaţ teoreme de cotutate petru fucţ reale de o varablă reală respectv petru fucţ vectorale de ma multe varable reale. 4.. UNIFORM CONTINUITATE Defţa. Fe (X d ş (Y d două spaţ metrce. O fucţe f : X Y se umeşte uform cotuă pe X dacă petru orce ε > estă δ > astfel îcât petru orce X cu d( < δ să avem: ( d(f ( f ( < ε. Defţa. Spuem că f : X Y este o fucţe lpschtzaă dacă estă o costată c > astfel îcât petru orce X ( d (f ( f ( c d (. Observaţa. Dacă o fucţe f : X Y este lpschtzaă atuc este uform cotuă. Teorema. Dacă fucţa f : X Y este uform cotuă ş spaţul metrc (X d este compact atuc fucţa f este uform cotuă. Demostraţe: Presupuem că f u este uform cotuă atuc estă u ε > astfel îcât petru orce δ > estă X astfel îcât d ( < δ ş d (f ( f ( ε. Să luăm δ atuc estă X ( ( f ( df astfel îcât d ( < ş ε. Spaţul (X d fd compact putem etrage subşrurle

7 53 ( ( k k k d ( covergete la respectv la d X. D k < rezultă d ( k k adcă. D cotutatea fucţe f avem : ( lm f ( f ( lm f k ( k adcă df ( f k ( k k k tră î cotradcţe cu df ( f ( ( k k k ceea ce ε ceea ce arată că presupuerea făcută este falsă ş dec f este uform cotuă. Observaţa. Estă fucţ cotue care u sut uform cotue. De eemplu vom arăta că fucţa f : ( ] R pr ( f Dacă f ar f uform cotuă atuc petru ε> orce ( ] cu - < δ să avem f ( f ( N ( > atuc: ( că f este uform cotuă. u este uform cotuă. estă δ > astfel îcât petru <. Să cosderăm ş ar f ( f ( > ceea ce arată Defţ fucţle uform cotue. Daţ eemple de fucţ care u sut uform cotue LIMITE. DISCONTINUITĂŢI. LIMITE PARŢIALE LIMITE ITERATE PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE REALE Fe (X d ş (Y d două spaţ metrce ş fa : \{ } Y fd u puct d A X cu alte cuvte aplcaţa f este cosderată deftă î toate puctele mulţm A cu ecepţa lu ude poate să u fe deftă. Spuem că Y este lmta fucţe f î ş screm lm f ( dacă petru orce ε > estă δ > astfel că petru orce S( δ \{ } avem f ( S ( ε.

8 54 Cu ajutorul şrurlor lmta fucţe f î puctul se defeşte astfel: f ( câd dacă petru orce şr ( coverge către şrul valorlor fucţe ( ( N d A \ { } ce f N coverge către. Dacă fucţa f este cotuă pe mulţmea A \ { } ş defm ( ( f lm f spuem că am prelugt fucţa f pr cotutate de la A \ { } la A. Să presupuem că f este deftă pe A X cu valor î Y ş să otăm cu A At A frotera aceste mulţm. Dacă petru orce A estă lm f ( atuc defm petru orce A f ( lm f ( ş obţem prelugrea pr cotutate a fucţe f de la A la A. Dacă f : A X Y u este cotuă î puctul A atuc se spue că fucţa f este dscotuă î acest puct. Vom cosdera câteva tpur de dscotutăţ ce apar ma frecvet î aplcaţle practce. Î cazul fucţlor f:r R se pot deoseb: a dscotutăţ elmable (aparete câd lm f ( f. Î acest caz ( pr modfcarea valor lu f î f ( lm f ( f va deve cotuă î ; b dscotutăţ de tp salt (de prma speţă câd î puctul cosderat estă atât lmta la stâga lm f ( f ( lm > cât ş lmta la dreapta. < f ; î acest caz dfereţa f( - f( - se umeşte ( ( f saltul fucţe f î puctul ; c dscotutăţ de speţa a doua defte ca fd dferte de cele de la puctul a sau b această stuaţe apare dacă u estă lm f ( sau ( { } lm f. Î cazul fucţlor de ma multe varable pot apărea ş stuaţ ma complcate de eemplu î cazul fucţlor f:r R pot apare curbe de dscotutate ş alte mulţm de pucte de dscotutate. Î cotuare vom cosdera cazul fucţlor defte pe o submulţme X R cu valor reale.

9 55 Propozţa. Fe f: X R R ş a u puct de acumulare al mulţm X ş l R atuc următoarele afrmaţ sut echvalete: a fucţa f are lmta l î puctul a; b petru orce ε > estă η(ε > astfel îcât petru orce X a cu a < η să avem f ( l< ε; c petru orce ε > estă η(ε > astfel îcât petru orce X a cu a < η să avem f ( l< ε ude: (... a ( a a... a. Avâd î vedere puctul c lmta l a fucţe f î puctul ( a a ma scre sub forma l lm f(... l a... a.... se Pord de la fucţa f: X R R putem cosdera fucţ reale f: X R de o varablă reală umte fucţ parţale f( f( ude: sut cosderate fe ar: { R: ( } X X este cosderată varablă a fucţe parţale f. Se pot acum cosdera lmtele acestor fucţ parţale de o sgură varablă f î puctele corespuzătoare a dacă acestea sut pucte de acumulare ale mulţm X. Avem astfel lmte parţale ale fucţe f corespuzătoare puctulu a ( a a... a : l lm f ( lm f( a a. Observăm că o lmtă parţală a fucţe f l poate f cosderată o fucţe de - varable depedete K K. Se poate cosdera acum lmta: lj lm lm f( a K j această lmtă depde de - j a j a j varable depedete k dferte ş j. Se poate def astfel lmta terată î raport cu toate varablele pe râd. Această lmtă este u umăr care se umeşte lmtă terată a fucţe f î puctul ( a a K a. Î cazul ue fucţ f: X R R fe ( următoarele lmte terate î puctul a: a a a X& atuc avem

10 56 l ( a lm lm f( l( a lm lm f(. a a a a De asemeea î puctul a avem lmtele parţale: l a a lm f lm f a ; ( ( ( a a ( lm ( lm ( l a a f f a a a Observaţa. Dacă fucţa f: X R R are î puctul a X& lmta l atuc f are î puctul a lmte parţale ş acestea sut egale cu l adcă l l ( a l ( a. Observaţa. Dacă estă lmta fucţe f: X R R î puctul a X& ş ua d lmtele terate î acest puct atuc cele două lmte sut egale. Aplcaţa. Fe fucţa f: X R R;. Î acest caz: f ( X {( R :. } Să făm puctul a. 4 D Avem fucţle parţale: 3 f( f A B 4 Se mpue codţa: 3 4 de ude rezultă 3 3 dec 3 3 f : R cocde cu restrcţa fucţe f la segmetul AB. 5 f ( f. 4 6 Se mpue codţa dec f 4 4 : 4 restrcţa fucţe f la segmetul CD.. O 5 4 ( C 4 R cocde cu

11 57 Aplcaţa. Fe fucţa f: R \{ } R f ( lmtă î puctul O (. Îtr-adevăr f ( m m lm lm m. Fucţa f u are m m depde de m adcă calculâd lmta petru d restrcţa fucţe { } f la dreptele D ( R : m obţem lmte dferte ceea ce arată că fucţa u are lmtă (globală î puctul O (. Dacă screm fucţle parţale corespuzătoare puctulu O (. Acestea sut ule f( f( f ( dec lmtele parţale ale fucţe f î puctul O ( estă ş sut ule. De asemeea petru lmtele terate avem: l ( lm lm l ( lm lm. Observaţa 3. Î cazul câd lmtele parţale ale ue fucţ f îtr-u puct î care fucţa este deftă sut egale cu valoarea fucţe î acel puct se spue că fucţa f este cotuă parţal î puctul respectv î raport cu varablele respectve.

12 58 Probleme fale :. Să se determe ş să se fgureze domele de esteţă petru următoarele fucţ reale : a f( (4 ( b f( l 4. Folosd defţa lmte ue fucţ îtr-u puct să se arate că. lm 3 3. Să se arate că fucţa f deftă petru de egaltatea f( u are lmtă î orge. 4. Să se arate că estă lmte terate dar u estă lmta următoare fucţ f deftă pr f( 4 (. 5. Să se studeze esteţa lmte ş a lmtelor terate î puctul O( petru fucţle : a f( l( e b f( ( 6. Să se studeze cotutatea următoarelor fucţ î orge: a f( e e b f( 3 c f( s( Să se studeze uforma cotutate a fucţe f( ( ( (.