CAPITOLUL 5 E E} 5.1. ARIA UNEI MULŢIMI PLANE. D I D = pentru i j. Se ştie că aria unui dreptunghi este egală cu produsul

Transcript

1 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 87 CAPITOLUL 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 ARIA UNEI MULŢIMI PLANE Î cele ce urmeză, pr mulţme plă polgolă, vom îţelege orce mulţme d pl mărgtă de u polgo Î prtculr, pr mulţme plă dreptughulră (trughulră) îţelegem o mulţme plă căre froteră este u dreptugh (trugh) Cttorul este fmlrzt cu oţue de re ue mulţm ple polgole de l cursul de geometre elemetră Î cest prgrf vom d u ses oţu de mulţme cre re re, petru o clsă de mulţm m geerlă decât cls mulţmlor polgole efţ 5 Pr mulţme elemetră (î pl) îţelegem orce reuue ftă de mulţm ple dreptughulre cu lturle prlele cu xele de coordote, fără pucte terore comue Fcem preczre că orce reuue ftă de mulţm dreptughulre cu lturle prlele cu xele de coordote se pote reprezet c o mulţme elemetră o o j Fg Aşdr, o mulţme E este elemetră, dcă exstă u umăr ft de, b c, d, dreptughur (ple) [ ] [, p stfel îcât ] p E U ş I petru j Se şte că r uu dreptugh este eglă cu produsul lugmlor lturlor, dec ( b )( d c ) elemetre E este A r Pr defţe, r mulţm r E p r () Î coture, vom ot cu E fml mulţmlor elemetre d pl că este o mulţme mărgtă, tuc vom ot cu: S ( A) sup{ r E; E A, E E} ş S ( A) f { r F; F A, E E }

2 88 Î czul câd mulţme A u coţe c o mulţme elemetră, vom def S ( A) Cu cestă preczre, este evdet că cele două mrg exstă ş că S A S A efţ 5 Spuem că o mulţme mărgtă A (re re) î sesul lu Jord, dcă S( A) se umeşte r mulţm A S A S A S A este măsurblă Vlore comuă Observţ 5 Orce mulţme elemetră re re î sesul efţe 5 ş cest cocde cu r deftă î (), dcă cu sum rlor dreptughulre cre o compu Observţ 5 Orce mulţme polgolă re re î sesul efţe 5 ş cest cocde cu r cuoscută d geometr elemetră Îtr-devăr, deorece orce mulţme polgolă este o reuue ftă de mulţm trughulre ş orce trugh este reuue su dfereţ două trughur dreptughce, este sufcet să rătăm că orce mulţme plă căre froteră este u trugh dreptughc re re Fe u trugh dreptughc ABC, Â 9, AB, AC b Împărţm ctet AB î părţ egle ş cosderăm dreptughur de tpul MNPQ ude MN ş MP este prlelă cu AB Să presupuem că BM semăre trughurlor Fg BMP ş BAC rezultă BM MP, b b b dec MP Aşdr, r dreptughulu MPQM este că otăm cu E reuue cestor dreptughur, tuc E E, E este clusă î mulţme trub b( ) ghulu ABC ş r E ( + + K + ( ) ) Î mod log, dcă otăm cu F reuue dreptughurlor de tpul MRSN, tuc F este o mulţme b elemetră cre clude trughul ABC ş r F ( b( + ) + + K+ ) Î coture vem

3 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 89 b b b + b sup S ( ABC) S ( ABC) f, b dec S ( ABC) S ( ABC) Aşdr, mulţme trughulră ABC re re î sesul efţe 5 ş cest cocde cu r trughulu dreptughc cuoscută d geometr elemetră efţ 53 Pr mulţme elemetră polgolă îţelegem orce reuue ftă de mulţm polgole cre u u pucte terore comue Fg 3 Propozţ 5 Orce mulţme elemetră polgolă este clusă îtr-o mulţme elemetră de re cel mult de 8 or r mulţm elemetre polgole ţlă emostrţe emostrţ se bzeză pe următorele observţ: ) Orce mulţme polgolă este o reuue ftă de mulţm trughulre; ) Orce trugh (pl) este reuue su dfereţ două trughur (ple) dreptughce; 3) Orce trugh dreptughc este clus îtr-u dreptugh de re de două or m mre c r s; 4) Orce dreptugh este o reuue ftă de pătrte ş u dreptugh cu rportul lturlor cuprs ître ş Îtr-devăr, fe u dreptugh de ltur ş b cu b > m Fe r u umăr rţol cu proprette m b < < b () ş fe dreptughul de ltur b ş m b, r dreptughul de ltur b ş m b

4 9 Evdet U Observăm că dreptughul este reuue m pătrte de ltură b Pe de ltă prte, d () rezultă m b< b< b ş m m deprte b< b< b Aşdr, m b vem < <, dec rportul b lturlor dreptughulu este cuprs ître ş 5) Orce dreptugh cu rportul lturlor cuprs ître ş este Fg 4 clus îtr-u pătrt de re cel mult dublul re dreptughulu ţl 6) Orce pătrt este clus îtr-u pătrt cu lturle prlele cu xele de coordote ş de re dublă Ţâd sem ş de 5) rezultă că orce dreptugh cu rportul lturlor cuprs ître ş este clus îtr-u pătrt cu lturle prlele cu xele de coordote ş de re cel mult de 4 or r dreptughulu ţl cele de m sus rezultă că orce mulţme polgolă pote f clusă îtr-o reuue ftă de mulţm dreptughulre cu lturle prlele cu xele de coordote de re cel mult de 8 or r mulţm polgole ţle Î sfârşt, să observăm că orce reuue ftă de mulţm dreptughulre cu lturle prlele cu xele de coordote se pote reprezet c o mulţme elemetră vâd ceeş re Observţe 53 Exstă mulţm ple cre u u re dcă x Îtr-devăr, fe fucţ lu rchlet x () dcă x \ {(, ), } A x y x y x Se observă medt, î cest cz, că S ( A) ş S ( A) ş fe, dec mulţme A u este măsurblă (u re re) Următore propozţe e furzeză exemple de mulţm cre u re Fe f :, b + ş fe Γ f subgrfcul său, dcă mulţme [ ] {( xy, ) x b, y f x } Γ f Propozţ 5 că f este tegrblă pe [, b], tuc subgrfcul său re re ş r b Γ f f xdx Γ f

5 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 emostrţe Fe : x < x< K< x < x < K< x b o dvzue orecre tervlulu [, b] ş fe m (respectv M ) mrge feroră (superoră) fucţe f pe tervlul [ x, x] că otăm cu s Fg 5 S( Γ f ) S ( f ) Γ S E [ x, x] [, m ] U, tuc E E, E Γ f ş r ( E ) m( x x ) s ude cu s m ott sum rboux feroră s S Γ Rezultă că ( f ) Î mod log, dcă otăm cu F [ x, x] [, M ] U, tuc F E, F Γ f ş r ( F ) S S ( f ) Aşdr vem: (3) Γ Fptul că f este tegrblă pe [, b] mplcă: I sups f S I f( x) dx b S Γ S Γ f xdx ş cu cest teorem Î sfârşt, d (3) rezultă () este demostrtă f f Fe f, g: [, b] Ρ două fucţ cu proprette f ( x) g( x), x [, b] ş fe {( xy, ) x b, f ( x ) y g x } Γ fg b Fg 6 Corolrul 5 că f ş g sut tegrble pe [, b], tuc mulţme Γ re re ş r ( Γ fg) [ () ()] b g x f x dx f g Exemplul 5 Să se clculeze r elpse x y Ecuţ elpse este + motve de smetre este sufcet să b clculăm u sfert d r elpse, de exemplu r mulţm hşurte î fgur 6

6 9 Fg 7 semxe ş b este eglă cu πb Arcul BA este grfcul fucţe b f () x x, x [, ] Coform Propozţe 5 vem: b r ( elpse ) f () x x dx 4 b x x x + rcs b π πb Aşdr r elpse de 4 Teorem 5 Fe A o mulţme mărgtă Codţ ecesră ş sufcetă c mulţme A să bă re este c petru orce ε > să exste două mulţm elemetre Eε ş F ε cu propretăţle: E ε A F ε ş r ( Fε ) r ( E ε ) < ε emostrţe Necestte: că S A S A S A superore (ferore) rezultă că exstă < r E ε ş exstă Fε E, F A vem r ( F ) r ( E ) ε ε < ε E E, tuc d defţ mrg ε S A < ε < S A + Aşdr, ε, E ε A stfel îcât ε stfel îcât r ( F ) Sufceţ că petru orce ε >, exstă E ε, F ε E cu propretăţle: E ε A F ε ş r ( Fε) r ( Eε ) <ε, tuc vem: S ( A) S ( A) ε > fost rbtrr, rezultă că S ( A) S ( A), dec A re re ε < ε Cum efţ 54 Spuem că mulţme Γ este de re zero dcă pote f clusă îtr-o mulţme elemetră de re orcât de mcă Cu lte cuvte, dcă ε > exstă o mulţme elemetră F Γ cu r(f) < ε Î prtculr vem ş cum S Γ S Γ rezultă că Γ re re ş că r(γ) Cu S ( Γ ) cestă defţe Teorem 5 se pote reformul stfel: Teorem 5' Fe A o mulţme mărgtă Codţ ecesră ş sufcetă c mulţme A să bă re este c froter s Γ să fe de re zero

7 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 93 emostrţe că A re re, tuc ε >, Eε, Fε E cu propretăţle E ε A F ε ş ε ε ε ε <ε Cum Γ fr A Fε \ Eε ş Fε \ este de semee o mulţme elemetră, rezultă că Γ este de re zero Afrmţ recprocă rezultă d Observţ că orce mulţme elemetră cre coţe froter Γ mulţm A se pote scre c dfereţ două mulţm elemetre F \ E cu E A F r ( F \ E ) r ( F ) r ( E ) Corolrul 5 Grfcul orcăre fucţ cotue f : [, b] Ρ este o mulţme de re zero Îtr-devăr, fucţ f fd cotuă, este tegrblă ş coform Propozţe 5 subgrfcul său re re Afrmţ rezultă cum d Teorem 5' Corolrul 53 Orce mulţme plă căre froteră este o reuue ftă de grfce de fucţ cotue, re re (Afrmţ rezultă d Corolrul 5, d observţ că o reuue ftă de mulţm de re zero este de semee de re zero ş d Teorem 5') Teorem 5" O mulţme mărgtă A re re dcă ş um dcă petru orce ε > exstă două mulţm elemetre polgole P ε ş Q ε cu propretăţle: P ε A Q ε ş r Q ε r P ε < ε Afrmţ rezultă d Propozţ 5 ş d Teorem 5 Observţ 54 Orce dsc (mulţme plă căre froteră este u cerc) re re Îtr-devăr, dcă otăm cu P (respectv Q ) mulţme polgolă căre froteră este polgoul regult cu ltur îscrs (respectv crcumscrs) î cerc, tuc rq rp este orcât de mcă petru sufcet de mre Î coture otăm cu (θ, ρ) coordotele polre î pl Propozţ 53 Fe ρ ρθ, θ [, ] o o Eε αβ o fucţe cotuă ş fe {( θ, ρ) α θ β, ρ ρ( θ )} Atuc A re re ş ra A d β ρ θ θ α emostrţe Fe : α θ < θ< K< θ < θ < K< θ β o dvzue echdsttă α, β tervlulu [ ]

8 94 Fe m (respectv M ) mrge feroră (superoră) fucţe ρ ρθ, θ [ θ, θ ] Ar sectorulu de cerc {( θ, ρ) θ θ θ, ρ ρ( θ )} OR P ρ θ, [ ] fucţ Fg 8 este eglă cu m ( ) θ θ, r r sectorulu de cerc OQR este eglă cu M ( θ θ ) că otăm cu P (respectv Q ) reuue celor sectore de cerc ORP (respectv OQ R ) tuc P A ş Q r P m ( θ θ ) r Q M θ θ r ( ) Observăm că cele două sume sut sumele rboux socte fucţe θ, Ţâd sem că β α ş ρ este tegrblă pe [ α ] β, rezultă că exstă lm r P Pe de ltă prte, deorece mulţme elemetră ( respectv ) r P r E < ε ş r F r Q 3 presupue că r Q me A re re ş r lm r Q β ρ θ dθ (4) α P respectv Q re re petru ε > exstă o E F, E P A Q F stfel îcât < ε Î plus, ţâd sem de (4) putem 3 r P < ε Aşdr, vem r F r E 3 A d β ρ θ θ α < ε, dec mulţ- Teorem 5 Suportul ue curbe rectfcble este o mulţme de re zero

9 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 95 emostrţe Fe r : [, b] drumul prmetrzt rectfcbl cre determă curb γ, deft pr rt () ( xt (), yt ()) Fe L lugme cestu drum ş fe x xs %(), y y% () s, s [, L] reprezetre s turlă (Vez Cp 4, 43) : s < s < K< s < s < K< s L o dvzue echdsttă Fe tervlulu [, L] ş fe M puctul de coordote ( x( s), y( s) ) % % de pe suportul curbe γ Lugme rculu M M este L Cosderăm u pătrt cu cetrul î M ş lturle prlele cu xele de coordote, de ltură L Este evdet că suportul curbe γ (mge fucţe vectorle r) este clus î Fg 9 U ş 4L r U r ( + ) Cum 4L lm ( + ), petru sufcet de mre, r mulţm U este orcât de mcă, dec suportul curbe γ este o mulţme de re zero Teoremele 5' ş 5 rezultă: Corolrul 54 Orce mulţme plă mărgtă căre froteră este o reuue ftă de curbe rectfcblă re re Corolrul 55 Orce mulţme mărgtă căre froteră este etedă pe porţu re re Afrmţ rezultă d Teorem 4 ş Corolrul 54 Propozţ 5 că A ş A sut două mulţm cre u re ş u u pucte terore comue, tuc reuue lor A A Υ A re re ş A r A + r A r emostrţe eorece froter lu A este clusă î reuue froterelor lu A ş A ş ceste sut de re zero, rezultă că ş fra este de re zero, dec A re re

10 96 Petru orce ε > exstă mulţmle elemetre E, F,, cu propretăţle: E A F, E A F, r ( F) r ( E) <ε, r ( F) r ( E) <ε Avem r E r E r A r F U F Fg r A r A r A + r F+ r F ş r E+ r E r A+ r A r F+ r F Aceste egltăţ mplcă + r F r E + r F r E < ε Cum ε > fost rbtrr, rezultă că r A r A+ r A 5 INTEGRALA UBLĂ EFINIŢIE PROPRIETĂŢI Fe A o mulţme mărgtă Atuc exstă u cerc cre coţe mulţme A Rezultă că dstţ dtre orce două pucte le mulţm A este m mcă decât dmetrul cestu cerc Aşdr, mulţme dst M, N, M A, N A { } este o mulţme de umere rele poztve mjortă, dec re mrge superoră efţ 5 Fe A mulţm A următorul umăr: d A Fg o mulţme mărgtă Se umeşte dmetrul dm( A) sup{ dst ( M, N) ; M A, N A} efţ 5 Fe A ş B două mulţm d pl Se umeşte dstţ dtre ceste mulţm următorul umăr d A, B f dst M, N ; M A, N B { } (, ) Este clr că dcă A I B tuc d A B Afr- mţ recprocă u este î geerl devărtă Îtr-devăr, dstţ dtre grfcul fucţe f() x, x ş x Ox este zero, deş cele două mulţm sut dsjucte x

11 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 97 Fg Teorem 5 Fe A ş B două mulţm ple îchse, mărgte ş dsjucte Atuc d A, B > d( A, B) Atuc, petru Q emostrţe Presupuem pr bsurd că ε, exstă P A ş B stfel îcât dst ( P, Q) < () P este mărgt eorece mulţme A este mărgtă, rezultă că ş şrul { } Lem Cesàro deducem că exstă u subşr { } k P coverget Fe P lm P k Cum A este îchsă rezultă că P A Pe de ltă prte, d () rezultă că subşrul { Q k } este de semee coverget ş lmt s este tot P Evdet, P B, petru că B este îchsă Am jus stfel l o cotrdcţe ş ume P A I B, dcă A ş B u sut dsjucte Î cele ce urmeză vom ot cu u domeu compct d, dcă o mulţme coexă, îchsă ş mărgtă Presupuem î plus că re re Acest se îtâmplă, de exemplu, dcă froter lu este o reuue ftă de curbe rectfcble Î prtculr dcă este etedă pe porţu efţ 53 Se umeşte prtţe lu orce fmle ftă de subdome,, p, cre u re, u u pucte terore comue ş U ρ k că otăm cu ρ prtţ,, K, p lu tuc orm ceste prtţ se defeşte stfel: ρ mx dm ; p { ( ) } Propozţ 5 rezultă că p r r efţ 54 Spuem că prtţ ρ domeulu este m Fg 3 fă c prtţ ρ cestu domeu ş otăm cest cu ρ f ρ, dcă fecre subdomeu l prtţe ρ este o reuue ftă de subdome le prtţe ρ Aşdr, dcă ρ este prtţ, tuc p

12 98 ρ este de form { j } p ş U,, p j j j Este evdet că dcă ρ p ρ tuc ρ ρ Fe ρ :,, K, p o prtţe domeulu ş fe f : Ρ o fucţe mărgtă Notăm cu: f { (, ) (, ) }, sup (, ) (, ) m f f ( x, ( x, m f xy xy Fg 4 { } { } { } M f x y x y, M sup f x, y x, y Sumele rboux corespuzătore fucţe f ş prtţe ρ se defesc stfel: p sρ mr ş Sρ Mr p eorece m m M M, ş, p r r, rezultă: ( r ) ( r ) m sρ Sρ M () Lem 5 că ρ p ρ tuc s s S S emostrţe ρ ρ ρ ρ Presupuem că prtţ ρ se compue d domele ( ) p ş prtţ ρ d domele { j } p Cum ρ p ρ rezultă că petru orce, p j j j { j } vem U că otăm cu m f f( xy, ) ( xy, ), tuc m m, j, p, j, Î coture vem p p p sρ mr m r j mj r j s ρ j j Aşdr, m rătt că sρ s ρ Î mod semăător se rtă că S S j ρ ρ Lem 5 Petru orce două prtţ ρ ş ρ le domeulu vem: sρ Sρ emostrţe

13 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 99 prtţ Să presupuem că prtţ ρ d subdomele ( j ) ρ se compue d subdomele ( ) r j q p că otăm cu ρ prtţ formtă d domele ( I p, tuc ρ este m fă ş c ρ ş c ρ Lem 5 j) j q rezultă: s s S S că I ρ ρ ρ ρ Î coture vom ot cu sup{ prtţe lu } ş I f { S ρ ρ prtţe lu } I s ρ ρ Exsteţ cestor mrg rezultă d egltăţle () Lem 5 rezultă I efţ 55 Spuem că fucţ f este tegrblă pe domeul dcă I I I Vlore comuă I se oteză cu I f ( x, dx dy ş se umeşte tegrl dublă fucţe f pe domeul Lem 53 Petru orce ε > exstă δ ε > stfel îcât petru orce prtţe ρ domeulu cu ρ < δ vem: I ε < sρ Sρ < I + ε ε emostrţe defţ mrg superore rezultă că ε > exstă o prtţe ρ domeulu stfel îcât ε I < s ρ (3) Vom ot cu elemetele prtţe ρ, cu Γ κ froter mulţm ş cu G κ κ r U Γ Γ κ ( G κ ) r κ eorece Gκ re re, rezultă că Γ κ este de re zero Cum Γ este o reuue ftă de mulţm mărgte îchse, de re zero, rezultă că Γ este o mulţme îchsă, mărgtă de re zero Petru orce ε > exstă o mulţme elemetră E cu propretăţle Γ E ş ε r E <, ude M ş m sut mrgle fucţe f pe că otăm cu C M m froter mulţm elemetre E, tuc C este o mulţme îchsă mărgtă ş putem dst C, Γ δ > Fe presupue că Γ I C Teorem 5 rezultă că ρ : ( ) o prtţe domeulu cu ρ δ p ε < Să observăm că elemetele prtţe ρ sut de două felur ş ume: că I Γ tuc E ; dcă I Γ tuc exstă o sgură mulţme G κ stfel îcât G κ că ε

14 I {,, K, p }, tuc otăm cu I { I Γ } dcă I vem I ş cu I I \ I Aşdr, E ş dcă I exstă u κ (uc) stfel îcât ρ% prtţ formtă d mulţmle ( ), ş { j} j I I G κ κ G κ Fe cele de m sus rezultă că elemetele lu ρ% sut de form ( I G κ ) I κ Î coture vem ρ ρ κ r ( κ) r ( r I κ I, r s % s m % I G m ε ε < M r mr ( M m) r E ( M m) Aşdr ( M m) I I ε s% ρ < s ρ + (4) Pe de ltă prte, d Lem 5 rezultă că sρ s % ρ, deorece ρ p ρ% Ţâd sem cum de (3) ş (4) obţem: ε ε I < sρ s% ρ < sρ +, dec I ε < s ρ Celltă egltte d euţ se demostreză semăător Teorem 5 (rboux) Fe u domeu compct cre re re ş f : Ρ o fucţe mărgtă Codţ ecesră ş sufcetă c f să fe tegrblă pe este c petru orce ε > să exste δ ε > cu proprette că petru orce prtţe ρ lu cu ρ < δ să vem S s < emostrţe Necestte Pr poteză I ε I ρ ρ ε I Lem 53 rezultă că ε >, exstă δ ε > stfel îcât ρ prtţe lu cu ρ < δε vem ε ε I < sρ Sρ < I +, dec Sρ sρ < ε Sufceţă Pr poteză ε > δ ε > stfel îcât Sρ sρ < ε petru orce prtţe ρ cu ρ < δ egltăţle s I I S deducem ε I I < ε Cum ε > este rbtrr rezultă I I, dec f este tegrblă pe Teorem 53 Orce fucţe cotuă pe este tegrblă pe ρ ρ )

15 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE emostrţe Fe f : Ρ cotuă ş fe ρ :, K, p o prtţe orecre lu Atuc vem: p ( ) S s M m r ρ ρ cotutte lu f rezultă pe de o prte că f este mărgtă ş îş tge mrgle pe fecre domeu compct, r pe de ltă prte că f este uform cotuă pe Fe ( ξ, η ) stfel îcât m f ( ξ, η ) ş fe ( ξ, η ) îcât ( ξ η ) M f, cotutte uformă rezultă că ε >, ε x, y cu x x < δε, y y < δε vem ( x, y ), ε f ( x, y ) f ( x, y ) < r că presupuem cum că p ε ρ < δ v rezult stfel ε Sρ sρ f f < r δ > stfel îcât ( ( ξ, η ) ( ξ, η )) r r ε Teorem 5 rezultă că f este tegrblă pe Teorem 54 că f este mărgtă pe ş cotuă pe cu excepţ evetul ue mulţm de re zero, tuc f este tegrblă pe emostrţe Fe M > stfel îcât f ( x, < M, ( x, ş fe ε > orecre Pr poteză exstă o mulţme elemetră E cre coţe î terorul său ε puctele de dscotutte le lu f ş r E < 4M o că otăm cu % \ E, tuc % este o mulţme îchsă ş evdet mărgtă Cum f este cotuă pe % rezultă că f este uform cotuă pe %, dec ε >, δ ε > stfel îcât orcre r f ( x, y ) %, ( x, y ) % cu x x < δε, ε y y < δε vem f ( x, y ) f ( x, y ) < Fe cum ρ o prtţe lu r l căru prm elemet este EI r celellte elemete, K, j u dme- trele m mc c δ ε că clculăm dfereţ S ρ s obţem: ( ) r S s M m E+ M m r < ρ ρ ρ

16 ε ε ε ε < M + r ε 4M r < + Cum I I S s < ş ε > este rbtrr rezultă că I I, dec f ρ ρ ε este tegrblă pe Î coture vom troduce oţue de sumă Rem Fe ρ :, K, p o prtţe domeulu ş fe (, ) ( ξη, ) ( ξ, η) p ξ η u puct rbtrr,, p Notăm cu Sum Rem tştă fucţe f, dvzu ρ ş puctelor termedre ( ξ, η ) se defeşte stfel: σ ( ξ η) ( ξ η ) ( ξ, η ) m f M,, ρ p f,, f, r Cum p, rezultă sρ σρ( f, ξ, η) Sρ ( ξ, η), efţ 56 Fe u domeu compct ş fe f : Ρ o fucţe mărgtă Spuem că f este tegrblă pe (î sesul lu Rem, pe scurt (R)- tegrblă) dcă exstă u umăr ft I cu proprette că ε >, δ ε > stfel îcât orcre r f ρ prtţe lu cu ρ < δ ş orcre r f legere puctelor termedre (, ) ξ η vem ( f,, ) σ ξη I < ε ρ Numărul I se umeşte tegrl dublă fucţe f pe domeul ş se I f x, y dx dy foloseşte otţ Observţ 5 Petru orce ε >, exstă ( α, β) ş (, ) stfel îcât S σ ( f, αβ, ) < ε ş σ ( f, γδ, ) s < ε ρ ρ ρ ε ρ γ δ Îtr-devăr, d defţ mrg superore rezultă că ε >, exstă ε M f α, β < r Î coture vem: p ε Sρ σ ρ( f, αβ, ) ( M f ( α, β) ) r < r ε r ( α, β ) stfel îcât Celltă egltte se demostreză î mod log Folosd cestă observţe ş procedâd c î demostrţ Teoreme 3 se rtă că cele două defţ le tegrle duble cu sume Rem ş sume rboux cocd e semee, se pote demostr, c ş î czul tegrle smple, că re loc următorul crteru de tegrbltte

17 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 3 Teorem 55 (Rem) Fe f : Ρ mărgtă Codţ ecesră ş sufcetă c f să fe tegrblă pe, este să exste u umăr rel ft I cu ρ de prtţe le lu, cre stsfce codţ proprette că petru orce şr { } lm ρ ş orce şr (, ) ( f ) I lm σ, ξ, η ρ ξ η de pucte termedre să vem Observţ 5 Teorem 55 ş Observţ 5 rezultă că dcă f ρ de prtţ le lu, cre este tegrblă pe, tuc petru orce şr { } stsfce codţ lm ρ, vem: Fe { } lm s lm S f x, y dx dy ρ ρ ρ u şr de prtţ le domeulu cu proprette lm ρ Subdomele prtţe ρ cre u u pucte comue cu froter lu, le umm celule terore Reuue lor o otăm cu P Celellte subdome le prtţe ρ le umm celule froteră ş reuue lor o otăm cu Q Evdet PU Q ş r r P + r Q Observţ 53 r lm r P Îtr-devăr, deorece r sup { r E; E, E E } ε >, o mulţme elemetră Eε stfel îcât, rezultă că r < r E ε + ε (5) Mulţme E ε este formtă dtr-u umăr ft de dreptughur îchse, cu lturle prlele cu xele de coordote Fără restrâge geerltte, putem presupue că mulţme E ε este dsjuctă de froter domeulu, deorece, î cz cotrr, putem mcşor (comprm) cestă mulţme pe drecţ xelor de coordote, stfel îcât mulţme obţută să fe dsjuctă de froter lu ş să stsfcă î coture (5) Fe R u dreptugh orecre l mulţm E ε Coform Teoreme 5 dstţ de l R l froter lu este strct poztvă Notăm cu δ ce m mcă dstţă de l froter lu l dreptughurle mulţm E ε ş cosderăm o prtţe ρ cu ρ < δ Observăm că Eε P, ude P este reuue tuturor celulelor terore le prtţe ρ Îtr-devăr, dcă M E ε, tuc exstă u dreptugh R E ε stfel îcât M R eorece dstţ de l M l froter lu este m mre c δ,

18 4 puctul M u pote prţe c ue celule froteră d prtţ ρ, dec prţe ue celule terore prtţe ρ, dcă mulţm P r < r P + ε, dec { } Rezultă că r sup r P ; lm r P Î coture vom evdeţ o cosecţă mporttă Observţe 53 ρ u şr de prtţ le domeulu de petru teor tegrle duble Fe { } ormă tzâd l Celulele terore le prtţe celulele froteră le lu U j j P ş Q U ρ le otăm cu ρ le otăm cu j Avem P Q, r U ude Observţ 53 deducem că lm r Q (6) Observţ 54 Fe M (respectv vem: îcât f ( M) f : M j ) u puct rbtrr d domeul o fucţe mărgtă, tegrblă pe ş fe f ( M ) ( ) f ( x dxdy lm r, (respectv j) Atuc Îtr-devăr, deorece f este mărgtă pe, rezultă că exstă K > stfel < K, M Î coture vem: f ( Mj ) r ( j ) f ( Mj ) r ( j ) Kr ( Q) j j Ţâd sem de Teorem 55 ş de (6) deducem f x, y dxdy lm f M r + f M j r ( j) ( j) ( ) ( ) lm f M r 53 PROPRIETĂŢILE INTEGRALEI UBLE Propretăţle tegrle duble sut loge cu propretăţle tegrle smple Lăsăm demostrţle î sem cttorulu 53 dx dy r

19 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 53 că f ş g sut tegrble pe, tuc α, β Ρ, fucţ α f + β g este tegrblă pe ş tuc α f ( xy, ) + βg( xy, ) dxdy α f( xydxdy, ) + β g( xydxdy, ) 533 că f ş g sut tegrble pe ş f ( xy, ) g( xy, ), (, ) f ( x, dx dy g ( x, dx dy x y, 534 că f este tegrblă pe, tuc f este tegrblă pe ş f ( xydxdy, ) f( xy, ) dxdy 535 că f este tegrblă pe ş otăm cu m (respectv M) mrge feroră (respectv superoră) fucţe f pe, tuc exstă m µ M stfel îcât f xydxdy, µ r că presupuem î plus că f este cotuă pe, tuc exstă u puct ξη, stfel îcât f ( xydxdy, ) f( ξη, ) r 536 că domeul este reuue două dome compcte ş cre u re, fără pucte terore comue ş f este tegrblă pe ş, tuc f este tegrblă pe ş f xydxdy, f xydxdy, + f xydxdy, 54 MOUL E CALCUL AL INTEGRALEI UBLE efţ 54 U domeu compct se umeşte smplu î rport cu x ϕψ, : b, Ρ stfel îcât ϕ() x < ψ () x Oy, dcă exstă două fucţ cotue [ ] petru orce < x< b ş {(, ) ; ϕ () ψ () } x y x b x y x U stfel de domeu este reprezett î fgur Î mod log, u domeu se umeşte smplu î rport cu x Ox dcă uv, : cd, Ρ stfel îcât ux () < vx () petru c< y< d exstă două fucţ cotue [ ] stfel îcât

20 6 {(, ) ; () () } x y c y d u x x v x Fg Fg U stfel de domeu este reprezett î fgur Exstă dome compcte cre sut smple î rport cu mbele xe, de exemplu dreptughurle, cercurle etc Lem 54 Fe u domeu smplu î rport cu x Oy ş fe f : Ρ o fucţe cotuă pe că otăm cu m (respectv M) mrgle fucţe f pe domeul tuc b ψ ( x) ϕ( x) ( r ) (, ) r m f x y dy dx M emostrţe Petru îceput, să observăm că d teorem de cotutte tegrle cu ψ ( x ) prmetru (Teorem 3) rezultă că fucţ F( x) f ( x, dy, x [ b, ] este cotuă pe [ su b, ], dec tegrblă pe [, ] m f ( x, M, ( x, ϕ( x) b Pr poteză vem: proprette de mootoe tegrle rezultă: ( x ) ( x ) ( x ψ mdy ψ f x, y dy ψ ) M dy, x [ b, ], ϕ( x) ϕ( x) ϕ( x) ψ ( x ) m [ ψ( x ) ϕ( x )] f ( x, y ) dy M [ ψ( x ) ϕ( x )], x [ b, ] ϕ( x) Folosd d ou proprette de mootoe tegrle obţem: ψ [ ] ϕ b b x b [ ψ ϕ] (, ) ψ ϕ m x x dx f x y dy dx M x x dx x Rămâe să observăm că ( ψ ϕ ) cest lem este demostrtă b ( x) ( x) dx r (Corolrul 5) ş cu,

21 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 7 Teorem 54 Fe u domeu smplu î rport cu x Oy ş f : Ρ o fucţe cotuă Atuc b ψ ( x) ( ϕ( x) ) f ( xydxdy, ) f( xydydx, ) emostrţe Fe : x < x< K< x < x < K< x b, o dvzue echdsttă tervlulu [ b, ] mle ( j ) j, ude Fg 3 Aşdr, x x b,, ş b Cosderăm fucţle [ b] ϕ :,, j, defte j stfel: j ϕj( x) ϕ() x + [ ψ() x ϕ() x ], b Evdet ϕ x [, ] ϕ ψ ϕ ş Notăm cu ρ prtţ domeulu formtă d mulţ- {(, x x x, ϕ ( x) y ϕ x } x j j j b ψ ϕ Observăm că dm ( j ) +, x [ x, x] ρ câd Fe mj pe domeul (respectv, de ude deducem că M j ) mrge feroră (respectv superoră) fucţe f j Lem 54 rezultă m x j( x) j r ϕ j f ( x, y ) dy j r j, x dx M ϕ j ( x), j, Sumâd succesv după ş j obţem: m r x ϕ j x f ( x, y ) dy dx M r x ϕ j x j j j j j j j

22 8 rezultă: ϕ ( x) ψ( x) j eorece f ( xydy, ) f( xydy, ) ş ϕ j x ϕ x j x ϕ ( x) b ( x) ψ ( ϕ ) j f ( x, dy dx (, ) x ϕ j ( x) ( x) ρ f x y dy dx b ψ ( x) ( (, ) ϕ( x) ) ρ () s f x y dy dx S Cum f este tegrblă pe, d Observţ 5 rezultă că lm s lm S f x, y dx dy ρ ρ Trecâd l lmtă după î egltăţle () obţem b ψ ( x) ( ϕ( x) ) f ( xydxdy, ) f( xydydx, ) Observţ 54 că domeul este smplu î rport cu x Ox, vem următore formulă de clcul d v( ( u( ) f ( xydxdy, ) f( xydxdy, ) Exemplul 54 Să se clculeze c x ydx dy ude este domeul mărgt de curbele y x, y Observăm că domeul este smplu î rport cu x Oy: {,, } x y x x y Coform Teoreme 5 vem: x ydx dy ( ) x x ydy dx x dx x x dx y 6 x 3 7 x x 4 Fg Pe de ltă prte, este uşor de observt că domeul d este smplu ş î rport cu x Ox Îtr-devăr {,, } x y y y x y Aşdr vem

23 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 3 y y x x ydxdy x ydx dy y dy y 3 y 7 y y ydy SCHIMBAREA VARIABILELOR ÎN INTEGRALA UBLĂ F : Fe Ω u domeu mărgt cre re re, fe fucţ vectorlă Ω, deftă pr F ( u, v ) x ( u, v ), y ( uv, ) uv, Ω ş fe, mge drectă domeulu Ω pr fucţ vectorlă F Presupuem că fucţ F re următorele propretăţ: () F este de clsă C pe Ω () F : Ω este bjectvă () Trsformre F este o trsformre regultă pe Ω, dcă cobul său ( x, det JF ( u, v) u, v, ( uv, ) Ω uv, Î ceste codţ rezultă că F Ω este l râdul său u domeu compct ş că cobul trsformăr F păstreză sem costt pe Ω O stfel de fucţe vectorlă se m umeşte ş schmbre de coordote su schmbre de vrble Observţ 55 O schmbre de vrble trsformă o curbă etedă pe porţu d domeul Ω, îtr-o curbă etedă pe porţu d domeul Fe ρ () t u(), t v() t, t, b o reprezetre prmetrcă γ Ω o curbă etedă ş fe [ ] s că otăm cu C F( γ ), tuc rt () ( xut ( (), vt ()), y( ut (), vt ())), este o reprezetre prmetrcă curbe C Ţâd sem de formulele de clcul petru dervtele prţle le fucţlor compuse obţem: dx x x [ ut (), vt ()] u () t + [ ut (), vt ()] v () t dt u v dy y y [ ut (), vt ()] u () t + [ ut (), vt ()] v () t dt u v că presupuem, pr bsurd că C u este etedă, rezultă că exstă dx t (, b) stfel îcât ut ( ), vt ( ) dt dy ş ut ( ), vt ( ) dt, dec t [, b]

24 x x ut vt u t + ut vt v t u v y y ut vt u t + ut vt v t u v,,,, Cum pr poteză ( u ( t )) ( v ( t )) () + >, rezultă că sstemul () dmte soluţe eblă Aşdr, vem: x x ut ( x, ut ( ), vt ( ) uv (, ), vt ut, vt u v y y ut ( ), vt ( ) ut ( ), vt ( ) u v cee ce cotrzce fptul că F este o trsformre regultă, Observţ 55 Prtr-o schmbre de vrble, orce puct de pe froter domeulu, corespude uu puct de pe froter domeulu Ω ş F fr Ω fr recproc Cu lte cuvte Îtr-devăr, să presupuem că ( x, fr ş că exstă ( u, v) îcât x xu (, v), y y( u, v) u v ), d teorem de versue loclă rezultă că (, ) (, Ω stfel Cum trsformre F este regultă î puctul x y este u puct teror domeulu, cee ce este bsurd Î cele ce urmeză prezetăm oţue de modul de cotutte l ue fucţ ş prcplele sle propretăţ, cre vor terve î demostrţ teoreme schmbăr de vrble efţ 55 Fe δ > orecre Vom ot cu f : A, ude A este o mulţme orecre ş fe { δ } < δ < δ tuc ωδ (, f ) < ωδ (, f ) (, f ) sup f ( M ) f ( M ) ; M, M A, dst ( M, M ) ω δ < Se observă medt că dcă Observţ 553 O fucţe um dcă lm ωδ, f δ δ > f : A este uform cotuă pe A, dcă ş Îtr-devăr, pr poteză, petru ε >, η ε > cu proprette că petru cu dst ( M, M ) < ηε vem ( ) ( ) < δ < η, tuc ω ( δ, f ) < ε, dec ωδ ( f ) orce M, M A dcă ε frmţe recproce este semăătore f M f M < ε Rezultă că lm, emostrţ > δ δ

25 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE Observţ 554 că A este covexă, tuc petru orce δ >, δ > vem ωδ ( δ, f ) ωδ (, f ) ωδ (, ) + + f Î prtculr, rezultă ( m, f ) ω δ, m Îtr-devăr, fe M, M A cu dst ( M, M ) < δ+ δ ş fe δ δ M M + M Evdet M prţe segmetulu de dreptă de cpete δ+ δ δ+ δ M ş M, dec M A, deorece A este covexă Î coture vem: δ M M ( M M ) ş δ+ δ δ δ δ, dec + dst ( MM, ) δ δ M M M M ( δ δ) δ δ δ < + + δ+ δ dst ( MM, ) δ δ M M M M ( δ δ) δ δ δ < + + δ+ δ dst MM, δ dst MM, < δ Aşdr, M A stfel îcât ( ) <, Petru orce M, M A cu dst ( M, M ) < δ+ δ vem f M f M f M f M + f M f M <, f + ωδ, f ), ( ) ( ) ( ) ( ) ωδ ( dec ωδ ( + δ, f ) ωδ (, f ) + ωδ (, f ) Fe F : Ω, F ( uv, ) ( xuv (, ), y( uv, )), ( uv, ) Ω o schmbre de vr- ble Notăm cu x x y y ω h mx ω h, ; ω h, ; ω h, ; ω h,, u v u v x x ude, de exemplu, ω h, este modulul de cotutte l fucţe pe mulţ- u u me Ω, clcult î puctul h, dec x x x ω h, sup ( M ) ( M ) ; M, M Ω, dst ( M, M ) <h u u u eorece xy, C Ω, rezultă că lm ω ( h) h Lem 55 Fe F :, (,,, ) bre de vrble, fe (, + h) ( bb, + h) Ω ş fe Ω, F ( uv) xuv y( uv), uv, Ω o schm- P F mge drectă pătrtulu pr trsformre F Atuc ( x, r P, b r + ϕ h ude ϕ h Kh ω( h), uv,

26 K fd o costtă depedetă de h ş de puctul A( b, ) emostrţe Fg Fg Fe c x(, b) ş d y( b, ) pucte ( ξ, η ), ( ξ, η ) pe segmetul de dreptă deschs de cpete ( b, ) ş ( uv, ) Teorem Lgrge rezultă că exstă două stfel îcât: x x xuv (, ) c+ ( ξη, )( u ) + ( ξη, )( v b) u v y y yuv (, ) d+ ( ξ, η )( u ) + ( ξ, η )( v b) u v că otăm cu x x (, ) (, ) x x α ξ η b u + ( ξ, η) ( b, ) ( v b) ş u u v v y y y y β ( ξ, η ) ( b, ) ( u ) ( ξ, η ) + ( b, ) ( v b), tuc u u v v x x xuv (, ) c+ ( b, )( u ) + ( b, )( v b) + α u v y y y( uv, ) d+ ( b, )( u ) + ( b, )( v b) + β u v Î coture cosderăm trsformre fă x x xˆ uv, c b, u b, v b u v y y yuv ˆ, d b, u b, v b u v + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) () (3) (4)

27 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 3 Fe F ˆ : Ω fucţ vectorlă Fˆ ( u, v) xˆ( u, v), yˆ( uv, ), ( uv, ) Ω ş fe Pˆ Fˆ( ) mge drectă pătrtulu pr trsformre fă ˆF Ţâd sem de coordotele vârfurlor A, B, H, L le pătrtulu rezultă coordotele vârfurlor ptrulterulu ˆP QRST, ume Q Fˆ A c, d ˆ x y R F B c+ (, b) h, d+ (, b) h u u ˆ x x y y T FL c+ ( bh, ) + ( bh, ), d+ ( bh, ) + ( bh, ) u v u v ˆ x y S F H c+ (, b) h, d+ (, b) h v v Se observă că dreptele QR ş ST sut prlele ş că uuur uuur x y QR ST h (, b) + (, b) Pr urmre, ptrulterul QRST este u u u prlelogrm Ar s este eglă cu mărme produsulu vectorl r r r j k uuur uuur x y QR QS ( b, ) h ( b, ) h u u x y ( b, ) h ( b, ) h v v x y x y h (, b) (, b) (, b) (, b) u v v u kr Aşdr, vem: ˆ ( x, r P uv,, b h (5) M reţem că uuur QS uuur RT x y h (, b) + (, b) v v Să estmăm cum dstţ de l u puct orecre M ( xy, ) (6) P l puctul corespuzător Mˆ ( xˆ, yˆ) Pˆ (3) ş (4) rezultă că dst ( ˆ ) M, M α β + Pe de ltă prte, ţâd sem de propretăţle modululu de cotutte, petru uv, obţem α x x ( uv, ) ω h, h h, h ( hh ) ( hh ) 4 ( hh ) u ω + v ω ω ω

28 4 Absolut log se rtă că β ω uv, 4 dst h h Aşdr, vem: M, Mˆ 3ω h h 6ω h h r (7) Notăm cu Γ reuue tuturor dscurlor de rză r cre u cetrul î puctul ˆM, câd ˆM prcurge froter prlelogrmulu ˆP Ar mulţm Γ este m mcă decât sum rlor celor ptru cercur de rză r cu cetrele î vârfurle prlelogrmulu ˆP, plus r celor ptru dreptughur de lăţme r costrute pe lturle prlelogrmulu ˆP Rezultă că uuur uuur Γ 4π r + 4r QR + QS r eorece xy, C Ω, rezultă că derv- Fg 3 tele lor prţle de ordul I sut mărgte pe Ω, uuur uuur dec QR < Kh, QR < Kh, ude K > este o costtă Pr urmre vem: r ( Γ) 4π36ω ( hh ) + 48ω( hhk ) Kω( hh ) (8) ude K este o costtă poztvă depedetă de h ş de (, ) Observăm că P\ P Γ ˆ Fg 4 Mˆ MM ˆ fr P ˆ Fe A b P\ Pˆ Îtr-devăr, fe M ş fe ( u, v) stfel îcât M F( u v ) ˆ ˆ (, ), că otăm cu M F u v, tuc M ˆ ˆ P M ˆ, M < r Cum M ˆ P, rezultă că segmetul de dreptă ˆM M îtâleşte froter lu ˆP I Avem dst ( ˆ ) dst ( ˆ ) ş dst M M < M M < r, dec M Γ Î coture vem: P Pˆ U P\ P ˆ de ude rezultă că: r P r P ˆ + r ( P\ P ˆ) Cum r ( P\ Pˆ ) r Γ, deducem că exstă θ (,) stfel îcât r ( P ) r ( Pˆ ) + θ r ( Γ ) (5) ş (8) obţem r ( P ) ( x, b, h + θ Kω h h uv, Î sfârşt, dcă otăm ϕ( h) θ Kω( h) h tuc ϕ( h) K ω( h) h ş r P (, ) b, h ϕ ( h), x y uv +

29 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 Cu cest lem este demostrtă Teorem 55 Fe F : Ω, F ( uv, ) ( xuv (, ), y( uv, )), (, ) schmbre de vrble ş fe f : o fucţe cotuă Atuc (, ) (, ) x y f ( xydxdy, ) f xuv (, ), yuv (, ) uv, dudv uv Ω uv Ω o emostrţe Fe m u umăr turl orecre, fe h m ş fe fmlle de drepte x kh, y lh, k, l Notăm cu Sm reţeu de pătrte determtă de ceste drepte ş cu ρ m prtţ domeulu Ω determtă de cestă reţe Fe m u pătrt teror orecre l reţele ş Fg5 Fg 6 (, ) ψ (, fe P m m S m F mge drectă pătrtulu m pr trsformre F Lem 55 rezultă că x y r ( Pm ) Mm r m + h r m ) ude ψ ( h) Kω( h), uv r M m este u puct d pătrtul m Qm F Mm Pm ş ţem sem că fucţle f, x ş y sut cotue ş mărgte rezultă ( x, f ( Qm ) r ( Pm ) f x( Mm ), y( Mm ) ( Mm ) r, ( m ) uv K ω( h) r ( m ) K ω( h) r ( Ω ) că otăm cu Cum fucţle f ş f o F sut cotue, dec tegrble ş lm ω ( h), d Observţ 54 deducem că f xydxdy, lm f ( Qm ) r ( Pm ) m lm f x Mm, y Mm r m m (, ) (, ) h x y f xuv (, ), yuv (, ) uv, dudv uv Ω Cel m utlzt tp de schmbre de vrble este trecere l coordote polre:

30 6 x ρ cosθ y ρ sθ ρ >, < θ < π (9) { } că otăm cu A ( θρ, ) θ π, ρ B \ {( x, ), x } ş cu F ( θ, ρ) ( ρcos θ, ρsθ) ( x, trsformre regultă (cobul său JF ( ρθ) ( ρθ, ) Fe < α < β < π ş fe :[, ] Ω {( θ, ρ) α < θ < β; < ρ < ϕ( θ) } ş cu F < < < <, cu, tuc F : A B este o, ρ> ) ϕ α β o fucţe cotuă Notăm cu Ω, tuc F : Ω este o schmbre de vrble că f : este o fucţe cotuă, tuc d Teorem 55 rezultă: (, ) ( cos, s ) f x y dxdy f ρ θ ρ θ ρdρdθ Ω () β ϕ( θ) f ( ρ cos θρ, sθ) ρdρ dθ α eorece mulţme \ (respectv Ω \ Ω ) este de re zero, rezultă că este vlblă ş egltte f xydxdy, f ρ cos θρ, sθρdρdθ () Ω Exemplul 55 Să se clculeze ( + ) x y dx dy, ude x ( x, x + y <, < y< x 3, x> 3 Fg 7 Fg 8 cosθ Ω ( θ, ρ) ρ <, < sθ < 3cosθ 3 Î cest cz Ω F este drept- π π ughul, (, ) 6 3 Îtr-devăr, îlocud î egltăţle cre defesc domeul pe x ş y cu ρ cosθ ş ρ sθ rezultă:

31 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 7 π π ( θ, ρ) ρ ; tgθ 3, (, ) < < < < Aşdr, vem ( + ) ( cos + s ) x y dx dy ρ θ ρ θ ρ dρ dθ Ω ( d ) π 3 3 π ρ ρ dθ π 6 4 Exemplul 55 Să se clculeze x 4 + y dxdy, ude {(, ), } x y x + y < x y > Observăm că ecuţ x + y x este ecuţ cerculu cu cetrul î puctul (, ) ş de rză r Îlocud x ş y cu ρ cosθ ş ρ sθ Fg 9 Fg î egltăţle ce defesc obţem π Ω {( θρ, ) ρ < ρcos θ, ρsθ > } {( θρ, ) < ρ< cos θ, < θ< } 3 π cosθ π 3 + cos x y dxdy ρ dρ dθ θdθ π ( s ) cos 3 θ θdθ 9 Exemplul 553 Să se clculeze ( + ) y x dx dy, ude x y x y ( x, + < Ecuţ + este ecuţ ue elpse de semxe b b ş b Î cest cz se folosesc coordote polre geerlzte ş ume x ρ cosθ y bρ sθ < ρ < ş < θ < π Icobul trsformăr este Fg Fg bρ

32 8 π ( s cos ) y x + dx dy bρ θ ρ θ + bρ dρ dθ 3 3 π ρ π ρ π ρ 3 3 π b sθ dθ b cosθ dθ + b dθ b 56 APLICAŢII ALE INTEGRALEI UBLE ÎN GEOMETRIE ŞI MECANICĂ O prmă plcţe tegrle duble î geometre fost evdeţtă î propretăţle tegrle duble ş ume: r dx dy, ude, este u domeu mărgt cre re re Fe f : o fucţe tegrblă, fe ρ :,, K, o prtţe ξ, η u puct rbtrr Remtm că: domeulu ş fe I f ( x, dxdy lm f ( ξ, η ) r, ρ sesul exct fd următorul: Petru orce ε >, exstă δ ε > stfel îcât, orcre r f prtţ ρ domeulu, cu ρ δ ξ, η, vem: f ( ξ, η) r I < ε < ş orcre r f puctele termedre ε 56 Ms ue plăc ple Pr plcă plă îţelegem o plcă vâd form uu domeu mărgt, cre re re Plc este cosdertă î geerl eomogeă, destte s fd dtă de fucţ cotuă f : + Fe ρ :,, K, o prtţe orecre ξ, η rbtrr Fg domeulu ş fe Ms plăc se proxmeză cu produsul f ξ, η r Aproxmre este cu tât m buă cu cât orm prtţe ρ este m mcă Pr urmre vem: f ( ξ η ) ms, r ş m deprte:

33 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 ρ ( ξ η ) ms lm f, r f x, y dx dy 56 Coordotele cetrulu de greutte l ue plăc ple Fe o plcă eomogeă de destăţle f : + ş fe ( xg, y G) coordotele cetrulu său de greutte G Cosderăm c m îte o prtţe ρ: ρ :,, K, ş şte pucte rbtrre ( ξ, η) Ms plăc se proxmeză cu produsul f ( ξ, η) r că vom cosder ms plăc cocetrtă îtr-u sgur puct ş ume î puctul ( ξ, η ), tuc coordotele cetrulu de greutte vor f: x G ( ξ η ) ξ f, r, f, r ( ξ η ) y G ( ξ η ) η f, r f, r ( ξ η ) Presupuâd că f este cotuă pe, l lmtă obţem: x y G G ( ξ η ) ξ f, r lm ρ f, r ( ξ η ) ( ξ η ) η f, r lm ρ f, r ( ξ η ) (, ) x f x y dxdy (, ) f x y dx dy (, ) y f x y dx dy (, ) f x y dx dy Î czul prtculr l ue plăc omogee ( f ( x, κ, ( x, xg y x dx dy dx dy ydxdy dx dy ) rezultă: Exemplul 56 Să se fle coordotele cetrulu de greutte l ue plăc ple omogee cre re form domeulu

34 Fg { }, π ; co s xy x y x Avem x π cos dxdy dy dx π π cos xdx xcos xdx x ( ) π cos xdxdy xdy dx π π π π π xs x s xdx + cos x x cos ( cos ) π cos π π ydxdy ydy dx xdx + x dx 4 Aşdr, vem π xg π yg 8 π Mometul de erţe l ue plăc ple Se şte că mometul de erţe l uu puct mterl î rport cu o umtă xă este egl cu produsul dtre ms puctulu ş pătrtul dstţe de l puct l xă Î czul uu sstem de pucte mterle, mometul de erţe î rport cu o xă este sum mometelor de erţe le puctelor mterle cre formeză sstemul Fe o plcă plă de destte cotuă f : +, fe ρ :,, K, o prtţe orecre s ş fe ( ξ, η) orecre Aproxmăm c ş m îte ms plăc cu produsul f ( ξ, η) r ş cosderăm cestă msă cocetrtă î puctul ( ξ, η ) Mometul de erţe l cestu sstem de pucte mterle î rport cu x Oy v f egl cu sum: ξ ( ξ, η ) r( f )

35 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE că rm prtţe ρ este mcă, cestă sumă pote f cosdertă c o vlore proxmtvă mometulu de erţe l plăc ple î rport cu x Oy L lmtă vem: ξ ( ξ η ) dxdy I lm f, r x f x, y y ρ Î mod log mometul de erţe î rport cu x Ox este I x (, ) y f x y dx dy că plc plă este omogeă de destte f ( x,, (, ) I y x dxdy, I x y dx dy I y x y tuc e semee, se pote clcul mometul de erţe l plăc î rport cu orge O(,) Obţem formulele respectv I ( x + y ) dx dy I x + y f x y dx dy, Exemplul 56 Să se fle mometul de erţe î rport cu x Oy (respectv î rport cu orge) plăc ple omogee de destte, ude: {(, ) ;, } x y x + y r x y Avem r ( cos ) 4 π r π I x dxdy ρ θ ρdρ dθ cos θ dθ y r π π r ( cos ) d 8 + θ θ 6 r 4 4 π π r π r I x + y dxdy ρ ρdρ dθ FORMULA LUI GREEN Formul lu Gree fce legătur ître tegrl dublă ş tegrl curble de speţ dou Fe u domeu mărgt căru froteră C este o curbă etedă pe porţu ş costă dtr-o reuue ftă de curbe smple îchse Fe P, Q: P Q două fucţ cotue cu proprette că exstă ş ş sut cotue pe y x Cu ceste preczăr formul lu Gree este următore:

36 Q P dx dy P dx + Qdy x y () C Î cestă formulă oretre curbe C (sesul de prcurgere l curbe C) este lesă stfel îcât domeul să rămâă l stâg Fg Fg Î fgur m exemplfct oretre curbe C fr petru domeul căru froteră costă dtr-o sgură curbă îchsă, r î fgur petru u domeu căru froteră costă îtr-o reuue ftă de m multe curbe îchse efţ 57 Pr domeu elemetr de tp Gree (G domeu elemetr) vom îţelege orcre d cele cc dome reprezette î fgur 3 Fg 3 Lem 57 Formul lu Gree este verfctă petru orce G-domeu elemetr emostrţe

37 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 3 Avem: Q dx dy x d c Fg 4 b Q dx dy x Petru îceput cosderăm u domeu căru froteră este u dreptugh cu lturle prlele cu xele de coordote: xy,, < x< b, c< y < d { } Putem cosder următorele reprezetăr prmetrce petru lturle dreptughulu: [ ] [ ] [ ] [ ] AB: x t, y c, t, b BC: x b, y t, t c, d C: x t, y d, t, b A: x, y t, t c, d b d d d Q ( x, y ) dx Q b, y dy Q y dy, () c c c Ţâd sem de modul de clcul l tegrle curbl de speţ dou rezultă: Q( x, dy Q( x, dy AB C d d (3) Q( x, dy Q( b, t) dt ş Q( x, dy Q(, t) dt c c BC () ş (3) deducem Q dx dy Q dy + Q dy + Q dy + Q dy Q dy x BC A (4) C A AB Î mod log vem P b d dx dy y P dy dx b c y d (, c ) P x y dx BC AB Pdx Pdx b (, ) b Fr P x d dx+ P x, c dx (5) A b d c C (, ) (, ) ; (, ) (, ) Pxydx Ptcdt Pxydx Ptddt (5) ş (6) deducem: (6)

38 4 P dx P dx + P dx + P dx + P dx P dx y (7) AB BC C A Aduâd formulele (4) ş (7) obţem formul lu Gree Să cosderăm cum u domeu G-elemetr c cel d fgur 5 M precs, u stfel de domeu se defeşte stfel: Fe f : [, b] [c, d] o fucţe cotuă, strct crescătore ş surjectvă xy, ; < x< b; c< y< f( x) { } Fr Avem P b f( x) P b b dx dy dy dx P( x, f ( x) ) dx + P( x, c) dx y c y (8) Cosderâd următorele reprezetăr prmetrce le rculu AE ş le segmetelor AB ş BE : Fg 5 (8) ş (9) rezultă: P dx dy y AB Pe de ltă prte vem: Q d b dx dy x BC deducem AE AB BC EA AE : x t, y f( t), t [, b] AB : x t, y c, t [, b] BE : x b, y t, t [ c, d] (, ) (, ) b P x y dx P t f t dt; b P( x, dt P( t, c) dt P( x, dx Pdx + Pdx + Pdx Pdx () Fr (, ) c f y d Q dx dy x d b ( f ( y ) ) Qb, y dy Q f (, y dy c d c c Q x y dy () e dt cest, cosderâd petru rcul AE reprezetre prmetrcă: AE : x f (), t y t, t [ c, d], deducem AE (, ) d Q x y dy Q f (), t t dt c () (9)

39 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 Petru segmetele AB ş BE vem: Q( x, dy ş Q( x, dy AB BE (), () ş (3) rezultă: Q dx dy x AB Qdy+ d Q b, t dt (3) BE Qdy+ EA c Qdy Qdy (4) Aduâd formulele () ş (4) obţem formul lu Gree petru domeul cosdert î fgur 5 Este evdet că demostrţle formule lu Gree petru celellte dome G-elemetre d fgur 3 sut bsolut loge Teorem 57 Fe u domeu mărgt căru froteră este etedă pe porţu ş costă dtr-o reuue ftă de curbe smple îchse Presupuem î plus că domeul este o reuue ftă de G-dome elemetre P Q cre u u pucte terore comue că PQ,,, sut cotue pe, y x tuc re loc formul lu Gree: emostrţe Q P dx dy x y Să presupuem că m k k, m (Vez Fg 6) Ţâd sem de Lem 57 rezultă Q P dx dy x y k Fr Fr Pdx+ Qdy U ude k este u G-domeu elemetr, m m Q P dx dy P dx + Q dy k x y k k Fr k (5)

40 6 Froter domeulu se compue d curbele C ş C Reuue froterelor domelor,, m se compue d curbele C ş C ş u umăr ft de segmete de dreptă cluse î prlele cu xele de coordote Fecre semee segmet de dreptă fce prte d froterele două G-dome elemetre vece e exemplu AB fce prte d froterele domelor ş Să Fg 6 observăm că tegrlele curbl d membrul drept l egltăţ (5) clcultă pe segmetele terore dspr, deorece orce stfel de segmet este prcurs de două or î sesur opuse e exemplu: Fr + + ş AB BG GA Fr Cotrbuţ segmetulu AB î sum Aşdr rezultă m k Fr k Pdx+ Qdy (5) ş (6) deducem: Q P dx dy x y CUC Fr FB BA AE EF Fr Pdx+ Qdy Pdx+ Qdy Fr + este + Fr Teorem 57 Formul lu Gree este vlblă petru orce domeu polgol emostrţe eorece orce domeu polgol este o reuue ftă de dome trughulre este sufcet să demostrăm teorem petru dome trughulre Fe u domeu trughulr orecre de froteră ABC ucem d AB BA (6)

41 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 7 A o prlelă l Oy, d C o prlelă l Ox ş otăm cu G tersecţ lor e semee, ducem pr B o prlelă l Ox ş otăm cu E tersecţ s cu drept AF omeul este reuue domelor, ş 3, ude re froter ABE, re froter BEF r 3 re froter AFC Observăm că ş sut G-dome elemetre, î tmp ce 3 u re cestă proprette Este clr îsă, că 3 se pote reprezet c dfereţ Fg 7 două G-dome elemetre Îtr-devăr, dcă otăm cu 4 domeul de froteră AGC ş cu 5 domeul de froteră FGC, tuc 4 ş 5 sut G-dome elemetre ş 3 4 \ 5 Ţâd sem de Lem 57 rezultă: Q P dx dy x y CF Pdx+ Qdy Fr 3 AG GC CA AG GC AF FC CA Aşdr, formul lu Gree este vrblă ş pe 3, dec este vrblă pe Observţ 57 Se pote răt că formul lu Gree este vrblă petru orce domeu căru froteră este o curbă smplă, îchsă, etedă pe porţu Îtr-devăr, se pote răt că exstă u şr de l polgole C, îscrse î C fr, stfel îcât lm Pdx+ Qdy Pdx+ Qdy C C că otăm cu domeul mărgt cre re froter C, tuc Q P Q P lm dx dy dx dy x y x y Teorem 57 rezultă că formul lu Gree este vlblă pe, petru orce Pr trecere l lmtă, v rezult că formul lu Gree este vlblă ş petru domeul

42 8 xy y dx xy x dy ude Exemplul 57 Să se clculeze ( ) + ( + ) x y : + b Fg 8 Fr că otăm cu P( x, xy y ş cu Q( x, xy+ x, tuc, d formul lu Gree rezultă că Fr xy y dx+ xy+ x dy ( y ) + x dx dy Fd vorb de u domeu elpsodl vom folos coordote polre geerlzte ş ume x ρcosθ θ [, π], ρ [,] y bρsθ Î coture vem π ( ) ( s cos ) + y x dx dy + bρ θ ρ θ bρ dθ dρ Observţ 57 că π b ρdρ dθ πb este u domeu cre re re ş petru cre e vlblă formul lu Gree, tuc r() x dy y dx Fr Îtr-devăr, dcă otăm cu P( x, y ) ş cu (, ) y Q x y x, tuc Q P + Pe de ltă prte ştm că r dx dy x y Aplcâd cum formul lu Gree rezultă: r P dx + Q dy x dy y dx Fr Fr Exemplul 57 să se clculeze r domeulu elpsodl x y : + b

43 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 9 x Coform Observţe 57, vem: r() x dy y dx Fe Fr x cost, y bst, t [,π] o reprezetre prmetrcă elpse y + Î coture vem: b x dy y dx ( cost bcost+ bst cost) dt π b, Fr de ude rezultă că r π π b Observţ 573 Se pote răt că teorem 57 rămâe vlblă ş îtr-o poteză m slbă refertore l fucţle P ş Q ş ume P ş Q sut cotue pe P Q r ş sut cotue ş mărgte pe y x 58 INTEGRALE UBLE GENERALIZATE Î cest prgrf troducem oţue de tegrlă dublă geerlztă, cre coperă tât czul câd domeul este emărgt, cât ş czul câd fucţ este emărgtă Fe u domeu mărgt su u ş fe f : Ρ, mărgtă su u Vom presupue că f este tegrblă pe orce submulţme lu cre re re efţ 58 Spuem că f (, ) orce şr de dome mărgte, cre u re, { } () K K () +, () U exstă lm (, ) dvergetă xydxdy este covergetă, dcă petru cu propretăţle: f xydxdy e ftă ş u depde de legere şrulu { } Î czul câd lmt u exstă, su e ftă, spuem că f (, ) xydxdyeste

44 3 Teorem 58 că f ( x,, ( x,, tuc f ( xydxdy, ) este covergetă dcă ş um dcă exstă cel puţ u şr { } cre u re, cu propretăţle ()-(), petru cre şrul { }, ude f ( x, dx dy, este mărgt de dome mărgte, emostrţe Necestte este evdetă u şr de dome mărgte cre u re cu propre- Sufceţ Fe { } tăţle ()-() ş fe (, ) f x y dx dy () ş d fptul că f pe, rezultă că { } este mooto crescător Cum pr poteză { } { } este coverget Fe I lm este mărgt, rezultă că Rămâe să rătăm că I lm este depedetă de legere şrulu { } Fe { } u lt şr de dome mărgte cre u re, cu propretăţle ()-(), ş fe (, ) f x y dx dy Să observăm că exstă m stfel îcât () m Îtr-devăr, î cz cotrr, exstă u puct M k stfel îcât M k k, k Obţem stfel u şr de elemete { M k } d Cum este mărgtă ş îchsă, rezultă că cest şr coţe u subşr { M k m } coverget că otăm cu M lm M k, tuc M m U Fe stfel îcât m M Cum este deschsă, deducem că exstă o vecătte V puctulu M stfel îcât V Pe de ltă prte, deorece M k M, rezultă că exstă u rg k stfel îcât M k V, k k Î prtculr, rezultă că Mk V k, cee ce cotrzce modul de legere puctelor M k Aşdr, m demostrt cluzue () () rezultă că I () Cum { } m este crescător, deducem că { } Iversâd rolul şrurlor { } ş { } este coverget ş I lm I rezultă că I I, dec I I

45 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 3 e Exemplul 58 Să se studeze covergeţ tegrle geerlzte x y dxdy, ude domeul este emărgt eorece Observăm că este o tegrlă geerlztă î cre x y f x, y e, xy,, rezultă că este sufcet să găsm u şr de dome mărgte, cre u re {, petru cre şrul cu termeul geerl (, ) Alegem f x y dx dy este mărgt {, ; } xy x + y <, Este evdet că { } re propretăţle ()-() Pe de ltă prte, x y ( e d ) ( e ) x y e dx dy Rezultă că tegrl este covergetă ş π ρ ρ ρ π π e dxdy π { } Pe de ltă prte fe ( xy, ) ; x<, y< Şrul { } de pătrte ple, cre îdepleşte codţle ()-(), rezultă că x y x y ( e dx) dy x y ( e dx)( e d x x ( e dx) ( e dx) π e dxdy lm lm lm (S- folost fptul că e x dx este covergetă) Am clcult stfel tegrl lu Posso ş ume x e dx π Exemplul 58 Să se studeze covergeţ tegrle geerlzte dx dy x + y α, α >, ude { xy, ; x + y < } } este u şr Observăm că fucţ f ( x, ( x + y ) α u este deftă î O(,) ş u este mărgtă pe Fe \ B ; ( x, ; x + y Este clr că { } este u şr de dome mărgte, cre re re ş cre îdepleşte codţle ()-(), r f este cotuă pe, dec tegrblă pe Î coture vem:

46 3 dx dy dρ [ α α α ] ( + ) x y α π ρ π α ρ Observăm că dcă α <, tuc exstă lm Aşdr, dcă α < tegrl este covergetă ş că α >, tuc lm dx dy + x y α ( + ) dx dy Petru α, vem x + y Rezultă că dx dy x + y este dvergetă dx dy ( + ) dx dy x y α π α π α α α α x + y π d ρ dθ π l l ρ Exemplul 583 Să se studeze covergeţ tegrle {(, );, } dx dy ( + ) x y α x y x + y > > Evdet, domeul este emărgt { } că otăm cu ( xy, ); < x + y <, rezultă că { }, ude stsfce codţle ()-() Pe de ltă prte, procedâd c î exercţul precedet deducem că dx dy π x y α [ ] + α α α, dcă α ş dx dy x + y π [ l l ] Rezultă că tegrl este covergetă dcă α > ş dvergetă dcă α Teorem 58 Fe f, g: Ρ +, cu proprette f ( x ( ( x, că g ( xydxdy, ) f,, g xy, ), este covergetă, tuc ş este covergetă Afrmţ rezultă medt d Teorem 58 ş d egltte f x, y dx dy g x, y dx dy b, xydxdy

47 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 33 efţ 58 Fe cetrul î orge ş de rză R că exstă lm f :, tegrblă pe orce blă îchsă B r, cu (, ) B r f xydxdyş e ftă, tuc, cestă lmtă se umeşte vlore prcplă î sesul lu Cuchy tegrle f xydxdy, geerlzte Se foloseşte otţ: f x, y dx dy lm cotuă pe Vp f x y dx dy r (, ) x + y r Exemplul 584 Vp ( + ) lm r Îtr-devăr, x + y r x h x y dxdy, orcre r f h o fucţe x h x + y dxdy lm r π r cosθdθ ρ l ρ dρ 59 INTEGRALE TRIPLE upă cum m văzut î cest cptol, trecere de l tegrl smplă l tegrl dublă, pe lâgă multe log, presupue ş uele modfcăr de substţă, tât î plul coceptelor, cât ş î cel l rţometelor Aceste modfcăr îş u orge î prcpl, î teor mulţmlor ple măsurble (cre u re) Î cotrst cu cestă stuţe, trecere de l tegrl dublă l tegrl trplă u presupue c u fel de complcţe Petru îceput se mpue troducere oţu de volum geometr elemetră se şte că volumul uu prlelpped dreptughc este egl cu produsul lugmlor muchlor sle Î prtculr, dcă T este u prlelpped cu lturle prlele cu xele de coordote, dcă T [, ] [ b, b] [ c, c], tuc Vol ( T) ( )( b b )( c c ) efţ 59 Pr mulţme elemetră î spţu îţelegem orce reuue ftă de prlelppede dreptughce cu muchle prlele cu xele de coordote, fără pucte terore comue Volumul ue stfel de mulţme este pr defţe sum volumelor prlelppedelor cre o compu M precs, T este o mulţme elemetră dcă exstă [, ] [, ] [, ] T b b c c,, p stfel îcât T U T ş TI T j petru j p o o

48 34 Vol ( T ) def p p Vol( T ) ( )( b b )( c c ) Î coture otăm cu T fml tuturor mulţmlor elemetre d spţu efţ 59 Fe T u domeu mărgt d Se umeşte volumul teror l lu T următorul umăr: V sup{ Vol ( T ); T T, T T } (Î czul câd u exstă T T stfel îcât T T, vom def V ) Î mod log, defm volumul exteror stfel: V f Vol ( T ); T T, T T { } Este evdet că V V Spuem că domeul T este măsurbl (re volum) dcă V V V că T re volum, tuc pr defţe Vol ( T ) V V V Observţ 59 Orce mulţme elemetră î spţu re volum î sesul defţe 59 ş cest cocde cu cel d efţ 59 Teorem 59 Fe u domeu mărgt cre re re ş fe f : + o fucţe cotuă că otăm cu T {( x, y, z) 3 ;( x,, z f ( x, } tuc T re volum ş Vol ( T ) f ( x, dx dy emostrţe puct de vedere geometrc domeul T este u corp cldrc mărgt feror de domeul, lterl de suprfţ cldrcă, cre re geertorele prlele cu x Oz ş curb drectore fr(), r superor de grfcul fucţe z f x, y x, y, 3

49 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 35 Fg fucţe f pe domeul h ş fe Cosderăm î plul xoy o reţe de ps h, formtă de dreptele x ph, y lh, pl, Fe fml Sk k tuturor pătrtelor (ple) h le reţele S k cluse î ş fe P k reuue cestor pătrte Coform Observţe 53 vem r sup r P lm r P () k k k Fe mh (respectv M h ) mrge feroră (respectv superoră) sk mhr h Ţâd sem de () ş de h Ik fptul că f este tegrblă pe rezultă că lm (, ) lm S f x, y dx dy k k Fg k s f x y dxdy k Fe J k fml tuturor pătrtelor h cre coţ cel puţ u puct d ş fe Q k reuue cestor pătrte Evdet Pk Q k M mult, se pote răt că r f r Q lm rq () k că otăm cu k I k k k k Sk Mhr h h Jk preczre că dcă J \ I h k k { h }, (cu, tuc M sup f x, y ; x, y I, tuc Fe T h prlelppedul dreptughc cu muchle prlele cu xele de coordote de bză h ş îălţme m k ş fe Tk U{ Th; h I k } Este evdet că T k este o mulţme elemetră î spţu, Tk T ş Vol( Tk ) sk Pe de ltă prte, dcă otăm cu T h prlelppedul dreptughc de bză h ş îălţme M h ş cu Tk U{ Th ; h J k }, tuc T k este o mulţme elemetră î spţu, T T ş Vol ( Tk ) S k Î coture vem: k V V Vol Tk Vol Tk Sk sk Cum lm S s, rezultă că V k k V f ( xydxdy, ) k h

50 36 Observţ 59 Teorem 59 rezultă terpretre geometrcă tegrle duble că f : + este cotuă, tuc f ( xydxdy, ) este volumul corpulu cldrc mărgt feror de, lterl de suprfţ cldrcă cu geertorele prlele cu Oz ş curb drectore C fr ş superor de suprfţ z f x, y, x, y (Vez fg ) emostrţ următore teoreme este complet logă cu czul domelor ple 3 Teorem 59 U domeu T re volum dcă ş um dcă petru ε > exstă două mulţm elemetre î spţu P ε ş Q ε stfel îcât P T Q ε ş Vol( Q ) Vol( P ) ε ε ε < ε 3 efţ 59 O mulţme A este de volum zero dcă ε >, exstă o mulţme elemetră î spţu P ε cu propretăţle: A P ε ş Vol( P ε ) < ε Ţâd sem de cestă defţe, Teorem 59 se pote reformul stfel: Teorem 593 U domeu mărgt T dcă froter s este de re zero 3 3 re volum dcă ş um Fe cum T u domeu mărgt ş fe ρ : T, T, K, T o fmle de subdome cu propretăţle: ) T U T o ) T IT dcă j o j 3) T re volum,, O stfel de fmle de subdome se umeşte prtţe lu T Se umeşte orm prtţe ρ cel m mre dmetru dtre dmetrele domelor T,, Aşdr { ( T ) }, ude ( T ) { ( M M ) M M T } ρ mx dm, dm sup dst, ;, 3 efţ 593 Fe T u domeu mărgt cre re volum, fe f : T Ρ ş fe ρ : T, T, K, T o prtţe orecre lu T Notăm cu P u puct orecre d subdomeul ş cu σ ρ T ( f, P) f ( P) Vol( T )

51 Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 37 Spuem că f este tegrblă pe domeul T dcă exstă u umăr ft I cu proprette că ε >, δ ε > stfel îcât orcre r f prtţ ρ lu T cu ρ < δ ε ş orcre r f puctele P T vem: σ ρ ( f P), I < ε Numărul I se umeşte tegrl trplă fucţe f pe domeul T ş se I f x, y, z dxdydz e semee, vom scre foloseşte otţ: T f xyzdxdydz,, lm f P Vol T, T ρ sesul exct fd cel d efţ 593 Propretăţle tegrle trple sut complet loge cu propretăţle tegrle duble Î prtculr se pote răt că orce fucţe cotuă este tegrblă efţ 594 U domeu dcă exstă u domeu, : 3 T se umeşte smplu î rport cu x Oz cre re re ş două fucţ cotue ϕ x, y ψ x, x, y stfel îcât ϕψ cu proprette < ( y ), T {( x, y, z) 3 ; ϕ( x, z ψ ( x,, ( x, } < < Teorem 59 rezultă că u stfel de domeu re volum ş Vol T ψ x, y dxdy ϕ x, y dxdy 3 Teorem 594 Fe T u domeu smplu î rport cu Oz ş fe f : T Ρ o fucţe cotuă Atuc: ( xy, ) f ( xyzdxdydz,, ψ ) f( xyzdz,, ) dxdy ϕ( xy, ) T Exemplul 59 Să se clculeze volumul tetredrulu T mărgt de plele: x, y, z ş x + y + z 6 Proecţ tetredrulu T î plul xoy este x x, y ; x 6; y 3 r T este următorul domeu trughul (pl) { } smplu î rport cu Oz: T {( x, y, z) ; z 6 x y, ( x, }

52 38 Fg 3 Fg 4 Evdet 6 x y 6 3 Vol x T dxdydz dz dxdy ( 6 x dy dx T x 3 x x x ( 6 6 ) y xy y dx 9 3 x dx 9 x Exemplul 59 Să se clculeze mărgt de suprfeţele z, z, z Fg 5 x x + y dxdy ude T este domeul T + y puct de vedere geometrc z x + y repreztă u co cu vârful î orge Observăm că dcă otăm cu dscul x + y <, tuc Avem {(,, );, (, ) } T x y z x + y < z< x y x + y dxdydz x y ( dz ) T x + y ( x y ( x y )) dxdy π ( π dθ ρ ρ ) ρdρ 6 Î coture prezetăm teorem schmbăr de vrble î tegrl trplă