Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη. i) Nα δείξετε ότι το µεταξύ του φορτίου q και της σφαίρας δηµιουρ γούµενο ηλεκτροστατικό πεδίο είναι ισοδύναµο µε το πεδίο που δηµι ουργεί το φορτίο q και ένα άλλο φορτίο q -qr/d το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό της σφαίρας µεταξύ του q και του κέντρου της O, σε απόσταση R /D από αυτό. ii) Nα βρείτε την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο φορτίο q, ώστε αυτό να αποµακρυνθεί σε άπειρη απόσταση από τη σφαίρα. ΛYΣH: i) Tο θετικό φορτίο q δηµιουργεί εξ επαγωγής πάνω στην εξωτερική επιφάνεια της µεταλλικής σφαίρας αρνητικό φορτίο, µε αποτέλεσµα να σχηµα τίζεται µεταξύ της σφαίρας και του φορτίου q ένα ηλεκτροστατικό πεδίο. Oι δυναµικές γραµµές του πεδίου αυτού παρουσιάζουν συµµετρία ως προς την ευθεία OA (σχήµα ) πού σηµαίνει ότι αυτές που καταλήγουν στην εξωτερική επιφάνεια της σφαίρας, προεκτεινόµενες νοερά, τεµνονται σ ένα σηµείο A της OA. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να θεωρήσουµε κατάλληλο ηλεκτρικό φορτίο Σχήµα q,το οποίο µαζί µε το q να δηµιουργεί στον εξωτερικό χώρο της σφαίρας ηλεκ τρικό πεδίο ταυτιζόµενο µε εκείνο που υπάρχει στον χώρο αυτόν. Eίναι προ φανές ότι στο πεδίο αυτό, η σφαίρα αποτελεί ισοδυναµική επιφάνεια µε µηδε νικό δυναµικό. Έτσι εάν θεωρήσουµε ένα τυχαίο σηµείο M της εξωτερικής επιφάνειας της σφαίρας, του οποίου η θέση καθορίζεται από την γωνία φ, θα έχουµε την σχέση: V M 0 q 4 0 r + q' 4 0 r' 0 q r + q' r' 0 () όπου r, r οι αποστάσεις του σηµείου M από τα φορτία q και q αντιστοίχως. Eφαρµόζοντας το νόµο του συνηµιτόνου στα τρίγωνα AOM και A OM αντιστοί
χως, παίρνουµε τις σχέσεις: r D + R - RD$ r' x + R - Rx$ r D + R - RD$ r' x + R - Rx$ $ () όπου x η απόσταση OA. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () έχουµε: q D + R - RD$ + q' x + R - Rx$ 0 q D + R - RD$ q' x + R - Rx$ q (x + R )- q xr$ q' (D + R )- q' DR$ (3) Για να ισχύει η (3) δια κάθε σηµείο της εξωτερικής επιφάνειας της σφαίρας, δηλαδή για 0 φ π, πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: και q (x + R ) q' (D + R ) q xr q' DR q q' D x q q' D + R x + R (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και παίρνουµε την σχέση: D + R x + R D x (D + R )x Dx + DR x - (D + R /D)x + R 0 (6) H (6) αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς x, της οποίας οι ρίζες είναι D και R /D, από τις οποίες η πρώτη απορρίπτεται διότι το σηµείο A είναι διά φορο του A. Άρα για την απόσταση x ισχύει η σχέση: x R /D (7) Θέτοντας την τιµή του x στην σχέση έχουµε: q q' D R q' q R D q' ± qr D (8) Eπειδή το φορτίο q είναι ετερόσηµο του q, η σχέση (8) είναι δεκτή µόνο µε το πρόσηµο µείον, δηλαδη θα έχουµε: q' -qr/d (9)
ii) H δύναµη που δέχεται το σηµειακό φορτίο q από το επαγωγικό φορτίο που υπάρχει στην εξωτερική επιφάνεια της σφαίρας, είναι ίδια µε την δύναµη Coulob που δέχεται το q από το q, δηλαδή ισχύει η σχέση: q q' q R (0) 4 0 4 0 D όπου ψ η εκάστοτε απόσταση του q από το q. Tο έργο της που αντιστοιχεί σε µετατόπιση του q από τη θέση A στο άπειρο είναι: W + ( d$) - ( d) W - + + q R d 4 0 D - q R 4 0 D + (0) d W - q R 4 0 D - $ & +( D'x - q R ), +. 4 0 D * D- - W - q R $ - q R 4 0 D D - R /D 4 0 D - R ( ) () Eίναι προφανές ότι η ενέργεια W που πρέπει να προσφερθεί στο φορτίο q, ώστε αυτό να αποµακρυνθεί σε άπειρη απόσταση από την σφαίρα, είναι ίσο µε την απόλυτη τιµή του W F, δηλαδή ισχύει: q W W $ & D - R q R 4 0 P.M. fysikos Ένα σωµατίδιο άλφα βάλλεται από µεγάλη απόστα ση εναντίον ακίνητου βαρέως πυρήνα, µε ταχύτητα v 0 της οποίας ο φορέας απέχει απόσταση b από τον πυρήνα. i) Nα δείξετε ότι η τροχιά του σωµατιδίου είναι υπερβολή, της οποίας η εξωτερική εστία ταυτίζεται µε τον ακίνητο πυρήνα. ii) Eάν φ είναι η γωνία εκτροπής του σωµατιδίου από την αρχική του διεύθυνση (γωνία σκέδασης), να δείξετε την σχέση: $ & $ v 0 0 'b Zq e όπου η µάζα ηρεµίας του σωµατιδίου άλφα, Z ο ατοµικός αριθµός
του πυρήνα, q e το ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου και ε 0 η απόλυ τη διηλεκτρική σταθερά του κενού. Nα δεχθείτε ότι η αρχική ταχύτη τα του σωµατιδίου άλφα δεν µας αναγκάζει να το θεωρούµε ως σχετι κιστικό σωµατίδιο. ΛYΣH: i) Tο σωµατίδιο άλφα δέχεται σε κάθε θέση M της τροχιάς του δύναµη Coulob F από τον ακίνητο πυρήνα Π της οποίας ο φορέας διέρχεται από τον πυρήνα, δηλαδή η F είναι κεντρική δύναµη, γεγονός που εξασφαλίζει ότι η τροχιά του σωµατιδίου είναι επίπεδη και µάλιστα βρίσκεται στο επίπεδο που καθορίζει ο φορέας της v 0 και ο πυρήνας Π. Eξάλλου το µέτρο της F δίνεται από τον νόµο του Coulob, δηλαδή από την σχέση: F Z q e q e 4 0 r Z q e K () 0 r r µε K Zq e / 0, ενώ r είναι η εκάστοτε απόσταση του σωµατιδίου από τον πυ ρήνα. Λόγω της F το σωµατίδιο έχει δυναµική ενέργεια U(r), για την οποία ισχύει η σχέση: U(r) K/r () Σχήµα Όµως η δύναµη F είναι συντηρητική, οπότε η µηχανική ενέργεια E του σωµα τιδίου διατηρείται σταθερή και ίση µε την αρχική του κινητική ενέργεια v 0/, αφού η αρχική του δυναµική ενέργεια είναι µηδενική, λόγω της µεγά λης αρχικής του απόστασης από τον πυρήνα. Έτσι αν v είναι η ταχύτητα του σωµατιδίου στην θέση M, θα ισχύει: v + K r v 0 E (3)
Aκόµη η στροφορµή L του σωµατιδίου περί τον πυρήνα Π διατηρείται σταθερή και στην περίπτωσή µας έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: L v 0 b (4) Όµως εάν v είναι η κάθετη στην επιβατική ακτίνα συνιστώσα της ταχύτητας v, θα ισχύει για το µέτρο της στροφορµής και η σχέση: L rv rr d $ d $ r d dt L r όπου θ η γωνία της επιβατικής ακτίνας r µε τον πολικό άξονα Πx. Eξάλλου, εάν v r είναι η ακτινική συνιστωσα της v θα ισχύει: v v r + v dr $ + r d $ dt v dr $ + r L r dr $ 4 + L r (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (6) παίρνουµε την σχέση: dr$ + L r + K r E (7) H στιγµιαία επιτάχυνση a του σωµατιδίου έχει µόνο ακτινική συνιστώσα και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα θα ισχύει: a F d r dt - r d ' $ * ), () dt +, K r d r dt - r L $ r 4 & K d r r dt - L r K (8) 3 r H (8) αποτελεί µια διαφορική εξίσωση για την λύση της οποίας χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό u/r, από τον οποίο µε διαφόριση προκύπτει: du - dr dr r dt du -r dt dr dt du d $ -r d dr dt - du r d L $ r & - L du$ d d dr$ dt - L d du$ dt d
d r dt - L d d du$ d $ d r d dt - L d u$ L $ d & r & d r dt - L u d u$ d & (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: - L u d u$ d & - L u 3 Ku d u d + u - K L (0) H διαφορική εξίσωση (0) είναι µια τυπική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: u r A($ - $ 0) - K L () όπου θ0, A σταθερές ολοκλήρωσης. Eπιλέγοντας κατάλληλα τον πολικό άξονα Πx µπορούµε να πετύχουµε θ00, ενώ η σταθερά A θα προκύψει από το γεγο νός ότι, όταν το σωµατίδιο άλφα βρίσκεται στην εγγύτερη προς τον πυρήνα θέση του η απόστασή του r θα λάβει τη µικρότερη τιµή της rin και την στιγµή αυτή θα ισχύει (dr/dt)0, οπότε η (7) δίνει: 0 + L r in + K E r in + K $ r in L r in - E L 0 () H () είναι εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς /rin µε ρίζες ετερόσηµες, οπότε δεκτή είναι η θετική ρίζα: r in - K L + K$ L + E L (3) Eξάλλου για θ0 έχουµε από την () ότι rrin, δηλαδή ισχύει: r in A - K L (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε: A - K L - K L + K$ L + E L A K$ L + E L L K$ L + E
H σχέση () µπορεί να µετασχηµατιστεί σε µια πιο απλή µορφή ως εξης: r K AL L K $ - $ & r AL / AL $ / K - e $ - (6) µε α(l /K)>0 και e(al /K)>0. H σχέση (6) αποτελεί την εξίσωση σε πολι κές συντεταγµένες, µιας κωνικής τοµής µε εκκεντροτητα e, η οποία µε βάση την γράφεται: e L K$ L + E L $ K & L K K$ + E L e + EL K > (7) δηλαδή η τροχιά του σωµατιδίου άλφα είναι υπερβολή, µε εξωτερική εστία τον πυρήνα Π. ii) Aπό την εξίσωση της τροχιάς (σχέση 6) προκύπτει ότι, για συνθ/e η απόσταση r απειρίζεται, που σηµαίνει ότι η υπερβολή που διαγράφει το σωµατί διο άλφα παρουσιάζει δύο πλάγιες ασύµπτωτες, οι οποίες είναι συµµετρικές µεταξύ τους ως προς τον πολικό άξονα Πx. Oι ασύµτωτες αυτές τέµνονται στο σηµείο O του πολικού άξονα και σχηµατίζουν µε αυτόν γωνία θ0, η οπoία απο τελεί την οριακή τιµή της γωνίας θ, όταν r +, δηλαδή η γωνία θ0 ικανοποιεί την σχέση: $ 0 + EL K - $ 0 $ 0 EL K 0 EL K 0 L K E (8) Όµως η γωνία σκεδάσεως φ του σωµατιδίου άλφα αποτελεί την εκτροπή του από την αρχική του κατεύθυνση και συνδέεται µε την γωνία θ0 µέσω της σχέσε ως: - 0 0 (/) - (/) 0 [($/) - (/)] 0 $(/) (8) (/) L K E v 0b($ 0 v 0 ) Zq e $ $ 0v 0 'b (9) Zq e Παρατήρηση: H απόσταση b ονοµάζεται παράµετρος κρούσεως του σωµατιδίου άλφα µε τον πυρήνα και η αύξησή της προκαλεί ελάττωση της γωνίας σκεδάσεως, όπως γίνεται φανερό από την σχέση (9). P.M. fysikos