Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1... κι lim lim... lim 1 lim lim... lim 1 1... P 1 1. Δείξτε ότι ισχύει: lim P P - Ν ποδείξετε ότι Έστω η ρητή συάρτηση P lim Q f P εφ όσο Q P όπου Q P Q Q πολυώυμ του με με Q. Τότε: lim f P lim P P lim εφ όσο Q lim Q Q Q Νικόλος Σμπάης nikossab3@gmail.com
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 2 ο [σελ 194 σχ. Βιβλίου] ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ( Θ.Ε.Τ ) 25 Έστω μι συάρτηση f η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ β. Α: η f είι συεχής στο β f f β ΚΙΝΔΥΝΟΣ215 τότε γι κάθε ριθμό n μετξύ τω f κι f β υπάρχει ές τουλάχιστο β τέτοιος ώστε f n Υποθέτουμε ότι f f β. Οπότε f n f β. Ας θεωρήσουμε τη συάρτηση g f n β η g είι συεχής στο β ως διφορά συεχώ. g f n g g β g β f β n. Πρτηρούμε ότι Επομέως σύμφω με το θεώρημ Bolzano υπάρχει β τέτοιο ώστε f n. g f n οπότε Θέμ 3 ο [σελ 217 σχ. Βιβλίου] 2 23 ΚΙΝΔΥΝΟΣ215 Ν ποδείξετε ότι μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σ έ σημείο τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό. Γι έχουμε: f f f f τότε: f f lim f f lim f f lim lim f Αφού f είι πργωγίσιμη στο. Επομέως lim f f Άρ f συεχής στο. Νικόλος Σμπάης nikossab3@gmail.com
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 4 ο [σελ 223 σχ. Βιβλίου] ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ () f c c Α f c Έστω. Γι : f f c c. Άρ f f lim δηλδή c (β) f Α f 1 Έστω. Γι : f f 1. Άρ f f lim lim1 1 δηλδή 1 * (γ) f 1 Έστω. Γι : f f 1 Α f (δ) f 1 1 1... f f lim... 1 2 1. Γι : Έστω = 1 25 2 1 1. Δηλδή 1 2 1 =.... Οπότε f f f f 1 1 lim lim 2 πργωγίσιμη στο. Δηλδή = 1 2 1. Η οπότε: f δε είι (ζ) f * * 1 Γι έχουμε: 1 1 1 1 2 2 1 Νικόλος Σμπάης nikossab3@gmail.com
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης (η) f εφ π 1 κπ εφ 2 2 συ Γι 2 2 π ημ ημσυ ημ συ συ ημ 1 κπ : εφ 2 2 2 2 συ συ συ f (θ) 1 Α y e u τότε ln κι θέσουμε ln y u e Αρ 1 y e e u e u u ln 1 (ι) f f ln Α y e ln ln Θέτω ln u u y e e u e ln ln u τότε έχουμε y u e Άρ (κ) f ln [σελ 235 σχ. Βιβλίου] * ln 1 28 1 ln ln οπότε θέσουμε yln( ) κι u έχουμε : f ln f : τότε 1 1 1 y ln u u 1 κι άρ ln u 1 y ln u Άρ Θέμ 5 ο [σελ 229 σχ. Βιβλίου] Α οι συρτήσεις f g είι πργωγίσιμες στο τότε η συάρτηση f ισχύει f g f g Γι ισχύει: f f g g f g f g f g f g f g f g. Επειδή οι f gείι πργωγίσιμες στο ισχύει: f f g g lim lim f f g g lim lim f g g είι πργωγίσιμη στο κι Νικόλος Σμπάης nikossab3@gmail.com
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 6 ο [σελ 251 σχ. Βιβλίου] 24E 29 212 214 Έστω συάρτηση f ορισμέη σε έ διάστημ Δ. Α: η f είι συεχής στο Δ γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ. f Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε 1 2 Δ προφώς f 1 f 2 τότε στο διάστημ 1 2 f 2 f 1 τέτοιο ώστε f ξ ξ f ισχύει f f. Πράγμτι: η f ικοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ Επομέως υπάρχει 2 1 ξ.οπότε λόγω της (1) είι f f (1). Το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ άρ. Άρ f στθερή σε όλο το Δ. Θέμ 7 ο [σελ 251 σχ. Βιβλίου] Έστω δύο συρτήσεις f g ορισμέες σε έ διάστημ Δ. Α : Οι f g είι συεχείς στο Δ κι f g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Δ ισχύει f g c Η συάρτηση f f g f g g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει :. Άρ η συάρτηση f g είι στθερή στο Δ Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Δ f g c. Οπότε f g c Νικόλος Σμπάης nikossab3@gmail.com
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 8 ο [σελ 253 σχ. Βιβλίου] 2 26 212 Έστω συάρτηση f συεχής σε διάστημ Δ. Α f γησίως ύξουσ σε όλο το Δ. Έστω 1 2 Δ με η f συεχής στο. Θ δείξουμε ότι f f Δ η f πργωγίσιμη στο 1 2 Δ f 2 f 1 ξ τ.ω : f ξ ξ f κι 2 1 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είι. Έχουμε. Άρ ικοποιεί τις προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ ΆΡΑ υπάρχει 2 1 οπότε έχουμε f f f ξ. Επειδή 2 1 έχουμε f f οπότε f f 2 1. Θέμ 9 ο [σελ 26 σχ. Βιβλίου] ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT 24 211 ΚΙΝΔΥΝΟΣ215 Έστω συάρτηση f ορισμέη σε έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ. Α η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό τότε f. Υποθέτουμε ότι η f προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο. Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ υπάρχει δ τέτοιο ώστε δ δ Δ κι f f γι κάθε δ δ. (1) Επειδή η f είι πργωγίσιμη στο Επομέως δ ισχύει: f λόγω της (1) θ είι: f f f lim δ (2) λόγω της (1) θ είι: f f f lim Από (2) (3) : f (3) f f f f lim lim f f f f οπότε οπότε. Νικόλος Σμπάης nikossab3@gmail.com
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 262 σχ. Βιβλίου] Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ β με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η f είι συεχής. Α f στο κι f στο β τότε το μέγιστο της f. Επειδή f γι κάθε οπότε f f γι κάθε f είι τοπικό κι η f συεχής στο η f είι γησίως ύξουσ στο. Επειδή f γι κάθε β οπότε f f γι κάθε β κι η f συεχής στο η f είι γησίως φθίουσ στο. Άρ f f γι κάθε β που σημίει ότι το f είι μέγιστο της f στο τοπικό μέγιστο της f. β β κι άρ Θέμ 11 ο [σελ 262 σχ. Βιβλίου] Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ β με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η f είι συεχής. Α η κρόττο κι η f είι γησίως μοότοη στο f διτηρεί πρόσημο στο β τότε το β. f δε είι τοπικό Έστω ότι f γι κάθε β. Επειδή η f είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ στ κι β. Οπότε γι 1 2 ισχύει f 1 f f 2 άρ το είι τοπικό κρόττο της f. Θ δείξουμε ότι η f είι γησίως ύξουσ στο β. - Α 1 2 επειδή f είι γησίως ύξουσ στο ισχύει f 1 f 2 - Α β επειδή f είι γησίως ύξουσ στο β ισχύει f f - Α 1 2 ισχύει f f f 1 2.. f δε Άρ σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f f γι κάθε β άρ f γησίως ύξουσ στο β Νικόλος Σμπάης nikossab3@gmail.com
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 12 ο [σελ 34 σχ. Βιβλίου] 23E ΚΙΝΔΥΝΟΣ215 Έστω f μι συάρτηση ορισμέης σε έ διάστημ Δ. Α F είι μι πράγουσ της f στο Δ τότε Όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c c είι πράγουσες της f στο Δ κι Κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρει τη μορφή G F c. Ισχύει ότι F f Κάθε συάρτηση της μορφής G F c όπου c είι μι πράγουσ της f στο Δ φού : G F c F f γι κάθε Δ. Έστω G μι άλλη πράγουσ της f στο Δ. Τότε γι κάθε Δ ισχύου F f κι οπότε G F G f γι κάθε Δ. Άρ υπάρχει στθερά c ώστε G F c γι κάθε Δ. Θέμ 13 ο [σελ 335 σχ. Βιβλίου] 22 24 29E 213 Έστω f μι συεχής συάρτηση στο β. Α G είι μι πράγουσ της f στο β τότε β f t dt G β G Η F f t dt είι μι πράγουσ της f στο β υπάρχει c ώστε G F c (1) Από τη (1) γι έχουμε G F c f tdt c β. Επειδή G είι μι πράγουσ της f στο οπότε c G G F G β Οπότε γι β έχουμε G β F β G f tdt G άρ β Άρ f t dt G β G Νικόλος Σμπάης nikossab3@gmail.com