ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g Στις περιπτώσεις που είναι f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f g α) β) γ) f και f + f και g g και g + 44 Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες όταν: + 3 f και g 9 3 45 ίνονται οι συναρτήσεις f + και Να βρείτε τις συναρτήσεις f + g, f g, fg και f g g 46 Αν, > f, g, f g (f + g) (), (f g) (), (fg) (), να βρεθούν οι συναρτήσεις: 75
47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις gof, fog, fof, gog 49 ίνονται οι συναρτήσεις f ( ) + και g α + Για ποια τιµή του α R ισχύει fog gof 430 ίνονται οι συναρτήσεις: α + β f, µε α Να αποδείξετε ότι: α) f ( f ), για κάθε R { α} και β) g( g), για κάθε [0,] β α και g + 43 ίνεται η συνάρτηση : [, ] α) g f ( 3) h f γ) f ( ln ) β) 43 Να βρείτε συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει: α) ( fog) + +, αν g + β) ( fog) +, αν γ) ( gof ) συν, αν f R Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων g g φ 433 Αν συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το Α ( 0, ], να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g f ( ) + f ( ln ) 434 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισµού το σύνολο Α και για κάθε Α ισχύει: ( f g) ( f g ) ( f g ) + + Να δειχθεί ότι, f g 435 Αν η f άρτια και η g περιττή, να δειχτεί ότι οι gof και fog είναι άρτιες 436 Αν οι f, g περιττές, να δειχτεί ότι οι gof και fog είναι περιττές 76
ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ισότητα-Πράξεις 437 Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες 3 f ln, g ln 3 438 Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες + συν ηµ f, g ηµ συν 439 Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες f ln 4 3 g ln + ln 3 +, 440 ίνεται η συνάρτηση f () + α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες µε τη συνάρτηση f f () - - f () 3 + - + f 3 () ( + ) f 4 () ( + ) f 5 () lne + ln (+) f 6 () e β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες 44 Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες, f <, g +, 44 Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες +, f, g 3, 77
+ + α + α 443 ίνονται οι συναρτήσεις f(), g(), α R, > 0 - ( - ) α) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των f, g β) Για ποια τιµή του α ισχύει f g; 444 445 446 447 Να βρεθούν οι τιµές των παραµέτρων και το διάστηµα στο οποίο είναι ίσες οι + λ ( λ ) + λ + f, g λ + λ 4 συναρτήσεις: Να βρεθούν οι τιµές των παραµέτρων και το διάστηµα στο οποίο είναι ίσες οι 3 + k + k + f k +, g + k + συναρτήσεις: Να βρεθούν οι τιµές των παραµέτρων και το διάστηµα στο οποίο είναι ίσες οι ( α + β ) + ( α + ) + β f, g α + + β 4 συναρτήσεις: Να βρεθούν οι τιµές των παραµέτρων και το διάστηµα στο οποίο είναι ίσες οι ( 3α β ) + β + ( 5α β ) + α 3 f, g + α + β + α + β 3 συναρτήσεις: 448 Να προσδιορίσετε τους,,, α β κ λ R ώστε οι συναρτήσεις: : [, ] β + και g :[ 0,] R µε g κ + + λ να είναι ίσες f f α β R µε 449 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να βρείτε τις συναρτήσεις f + g, f g, fg και f g 450 Έστω f, g Να βρεθούν οι συναρτήσεις: f (f + g) (), (f g) (), (fg) (), g 45 Έστω f, g 3 3 + Να βρεθούν οι συναρτήσεις: f g (f + g) (), (f g) (), (fg) (), 78
45 Αν f 3, g να βρεθούν οι συναρτήσεις: f g (f + g) (), (f g) (), (fg) (), 453 ίνονται οι συναρτήσεις: 5, 0 f g + 3, > 0 και 454 ίνονται οι συναρτήσεις: +, f g, > και 455 ίνονται οι συναρτήσεις f () 3 -, -3 5 -, - 3 <, 3 Να βρεθεί η συνάρτηση f + g 3 +, > 3 < και f (), + 3, Να βρείτε τον τύπο της F µε F () 3f () - f () Να βρεθεί η συνάρτηση f g 4 + 3, < 7-5, Σύνθεση συναρτήσεων 456 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g f f και g ln α) β) f συν και g 3π 4 γ) f και g εφ αν 457 ίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και g 3α ισχύει g f f g + Για ποια τιµή του α R 458 ίνεται η συνάρτηση f Να αποδείξετε ότι: + f f για κάθε D f 459 ίνονται οι συναρτήσεις: f 3 3, + µε [ ] και g + και g + µε [,3] α) Να ορίσετε τις g f και f g β) Ποιο γενικό συµπέρασµα επαληθεύεται; 79
460 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : g f f f g g R R µε f 3 + και g 3 εξίσωση + Να λύσετε την 46 Να βρεθούν οι παράµετροι όταν ισχύουν για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισµού τους οι σχέσεις: f g + 3 + 3 f α α g + α α) ( ) µε + +, β) ( f g ) 4 + β µε f ( α ) + α + β γ) ( f f ) f µε f α α +, α ± 46 g g Αν f και g, να βρεθούν οι συναρτήσεις: f g, g f, f f, + 463 Αν f ( ) +, g ( ) 3, να βρεθούν οι συναρτήσεις: f g, g f, f f, g g 464 Αν f ln, e g +,, 0 > 0 να βρεθούν οι συναρτήσεις: f g, g f β 465 Αν για τις f() α, g + α, β R ισχύει f(g()) g(f()) για κάθε R, να βρεθούν οι 466 Να δειχτεί ότι για τη συνάρτηση f, ισχύει ( ) f f στο R 467 Να δειχτεί ότι για τη συνάρτηση f ( ), ισχύει ( ) f f στο [0, ] 468 ίνονται οι συναρτήσεις f () -, g () - + α) Να βρείτε τα πεδία ορισµού τους β) Να βρείτε τις συναρτήσεις f + g, f g γ) Χρησιµοποιώντας τις f, g να δικαιολογήσετε ότι (gof) () g () f () δ) Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις οι συναρτήσεις fog και gof είναι ίσες 3, < 469 ίνονται οι συναρτήσεις Να βρεθεί η f g f + 5, και g + <, 0, 0 80
470 ίνεται η συνάρτηση f : R { } R µε f α 3 f f Να προσδιορίσετε την τιµή του α R, ώστε 47 Ποια καµπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g () f (f (f ())), αν f () - ; 47 Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α [,8 ] Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων 3 α) f ( ) β) f ( ) γ) f ( ) f + δ) ( ln ) 473 Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [,8 ] Να βρείτε το πεδίο ορισµού της g f f ( + 8) (9 ) 474 Αν f() ln, f(g3 ()) 3 + 6, να βρεθεί ο τύπος της g() 475 Αν f() 3, f(g()) + 3, να βρεθεί ο τύπος της g() 476 Αν g() e, f(g()) +, να βρεθεί ο τύπος της f() 477 Αν g(), f(ln(g())) + να βρεθεί ο τύπος της f() 478 Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν α) f ηµ( + ), β) f ηµ 3 + γ) f ln( e ), δ) f ηµ (3 ) 479 Να εκφραστεί η f() σαν σύνθεση άλλων συναρτήσεων: α) f 3 e 3, β) f συν ( ) +, γ) f ln εφ ( ) + 480 Να γράψετε τη συνάρτηση f (), > 0 ως σύνθεση δύο άλλων συναρτήσεων 48 Καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις µπορεί να γραφεί στη µορφή f (g ()) Να βρείτε σε κάθε περίπτωση κατάλληλες συναρτήσεις f και g α) h () συν β) h () 3 ( + ) 3 γ) h () συν δ) h () ηµ ( ν ) ε) h () + 8
Θεωρητικές ασκήσεις 48 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R µε: Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες: f g + f + g, για κάθε R 483 Έστω f, g συναρτήσεις µε κοινό πεδίο ορισµού το Α R για τις οποίες ισχύει: f y f y g y g y 4 + 4 + 8 0 για κάθε, y R, να δείξετε ότι f 484 Έστω f, g, h οµόσηµες στο κοινό πεδίο ορισµού τους Α Αν ισχύει: 3 3 3 f + g + h 3 f g h για κάθε A, να αποδειχτεί ότι f g h στο Α 485 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R µε την ιδιότητα: f + g f g 4 f + g f + g για κάθε R Να αποδείξετε ότι f g 486 Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες όταν ισχύουν οι σχέσεις: α) f + g f + g β) f 3 + g 3 + h 3 3 f g h µε f + g + h 0 f α βγ g β γα h γ αβ f + g + h 0 γ),, όταν 487 Να αποδειχθούν οι σχέσεις: α) + 4 f g 4 f g f g όταν ( f g ) + και f, g > 0 β) ( ) όταν ( + ) και f, g ( ) > 0 γ) ( f + g ) ( g + h) ( h + f ) ( f g h) όταν ( fg + gh + hf ) 0 488 Έστω οι συναρτήσεις f : Αν υπάρχει ένα µόνο ξ R τέτοιο ώστε: f ξ R R ώστε: g + α + β και f g g f ξ να δείξετε ότι: ( α ) 4 β g 489 Έστω f, g : R R τέτοιες ώστε: f g 3 + 4, για κάθε R και g f f g ( ) Να δείξετε ότι: 8
490 Να βρείτε πολυωνυµική συνάρτηση πρώτου βαθµού τέτοια ώστε: f f + και ( f f f ) 8 + 7 για κάθε R 4 3 49 Αν f f +, να βρείτε το ( 0) f 49 ίνεται η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει g f f g, να δειχθεί ότι f για κάθε R 493 Έστω η συνάρτηση f : 5 5 Να αποδείξετε ότι f ( ) f R R µε την ιδιότητα: 5 για κάθε R f f για κάθε R 494 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : f 4α + α, α R Αν f g g f, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση Cg της g και η ευθεία µε εξίσωση y έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο R R µε 495 ίνονται οι συναρτήσεις f + + και g υπάρχει συνάρτηση h : R R µε την ιδιότητα: ( h f ) + ( h g ) ( g f ) R + Να αποδείξετε ότι δεν για κάθε 496 Έστω η συνάρτηση f : Να βρείτε την f R R για την οποία ισχύει f f + για κάθε R 497 Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g φαίνονται στο διπλανό σχήµα α) Να βρείτε τις ( f + g ), ( f f )( 0), ( g f )( 5) f β) Να λύσετε την εξίσωση g γ) Να βρείτε τα διαστήµατα του που η C f 3 O y C g C f 3 5 είναι πάνω από τη C g δ) Να λύσετε την ανίσωση ( f g ) < 0 498 Έστω η συνάρτηση f () α + β, η οποία ως γνωστόν ονοµάζεται και γραµµική συνάρτηση Να δείξετε ότι η σύνθεση δύο γραµµικών συναρτήσεων είναι γραµµική συνάρτηση Να εξετάσετε αν το άθροισµα δύο γραµµικών συναρτήσεων είναι γραµµική συνάρτηση Το ίδιο και για το γινόµενο 83
499 Έστω η συνάρτηση f : R R µε την ιδιότητα: f ( + y) f ( f ) + f ( f ( y) )) για κάθε, y R f + y f + f y f 0 Να δείξετε ότι ( ) 400 Αν για κάθε R ισ f είξτε επίσης ότι ισχ 40 Αν για κάθε R ισχ f + είξτε επίσης ότι ισχ σχύει χύει f + +, να προσδιορισθ f 4 f 6 για κάθε R χύει f ( ) 3 χύει f ( ) f f ( ) +, να προσδιορισ + + 4 για κάθε R 40 ίνεται η συνάρτηση f () + Να βρείτε µια συνάρτηση g ώστε η γραφική παράσταση της fog να είναι η ευθεία του διπλανού σχήµατος θεί το σθεί το f και το f και το 84