CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată, îcărcate cu forţe situate î plaul axei lor geometrice. Pe secţiuea barei curbe apar următoarele eforturi: forţa axială, forţa tăietoare T şi mometul îcovoietor. Efectul forţei tăietoare este eglijabil î raport cu efectele eforturilor T şi, eci barele curbe sut solicitate la îcovoiere cu tracţiue. Forţa axială prouce pe secţiue tesiui ormale, costate pe secţiue ate e relaţia 0.: (0.) Vom etermia î cotiuare tesiuile ormale prouse pe secţiue e mometul îcovoietor. Se amite valabilitatea legii lui Hooke, ipoteza secţiuilor plae a lui Beroulli şi coveţia e sem a lui Wikler: mometul îcovoietor este pozitiv câ eschie bara curbă (măreşte raza e curbură). Î Fig.0..a. s-a reprezetat u elemet e bară, cu ughiul la cetru ϕ, mărgiit e secţiuile plae şi ormale la axa barei ab şi c solicitat la îcovoiere pură e mometul îcovoietor. Se otează R raza e curbură a axei geometrice a barei curbe, R raza iterioară a barei curbe, R raza exterioară şi r raza fibrei eutre, aică a curbei. Curba reprezită succesiuea puctelor î care axele eutre z îtâlesc plaul e simetrie al barei (Fig.0..b). La îcovoierea barelor curbe suportul vectorului u trece pri cetrul e greutate G al secţiuii ( u coicie cu G). Distaţa itre cetrul e greutate G şi axa eutră a secţiuii se umeşte excetricitate: e R-r. Cosierăm o fibră oarecare a barei curbe BD, la istaţa e fibra eutră. Sub acţiuea mometului, fibra BD se lugeşte, evei arcul BD. Vom etermia eformaţia specifică ε a acestei fibre. Sub efectul mometului îcovoietor elemetul e bară se eformează ca î Fig.0..a, arcul bc se lugeşte, iar arcul a se scurtează. Presupuâ că secţiuea ab este imobilă, secţiuea c se va roti cu ughiul Δ( ϕ). Petru calculul eformaţiei specifice ε sut ecesare următoarele mărimi: - lugimea iiţială a fibrei BD: BD ( r ) ϕ DD ' Δ ϕ - lugirea fibrei BD: ( )
34 Capitolul 0 - lugirea specifică a fibrei BD: DD' ε BD Δ( ϕ) ( r ) ϕ Fig.0.
Calculul barelor curbe plae 35 Coform legii lui Hooke, tesiuea ormală pe secţiuea barei curbe va fi: Deoarece E, ( ϕ) ( ϕ) EΔ Eε (0.) ϕ r Δ şi ϕ sut costate pe secţiue, tesiuea ormală variază upă o hiperbolă. Tesiuea ormală prouce pe elemetele e suprafaţă ale secţiuii forţe iterioare elemetare F. Ecuaţiile e echivaleţă i mecaică au expresiile: F 0 (0.3) Di relaţiile (0.) şi (0.3) se obţie: F (0.4) z ( ϕ) EΔ ϕ 0 r r 0 (0.5) Ecuaţia (0.5) permite calculul razei fibrei eutre r petru iferite forme e secţiue: - petru secţiuea circulară e iametru se obţie: r R + R - petru secţiuea reptughiulară cu imesiuile b şi h: h r R l R Di relaţia e echivaleţă (0.4) va rezulta expresia tesiuii ormale pe secţiuea barei curbe: ( ϕ) EΔ ϕ r I (0.6) Itegrala I i relaţia (0.6) se calculează utilizâ u artificiu e calcul şi coiţia (0.5):
36 Capitolul 0 ( r ) r r + I r 0 r r r S z I G e (0.7) Di relaţiile (0.6) şi (0.7) va rezulta: E Δ( ϕ) EΔ( ϕ) ϕ e ϕ e (0.8) Itroucâ expresia costatei (0.8) î relaţia (0.) se obţie variaţia tesiuii ormale pe secţiuea barei curbe: ( ) (0.9) e r Valorile extreme ale tesiuii ormale apar î puctele secţiuii cele mai îepărtate e axa eutră z: e r R r r + R ( r R) max e r R R e r R r + R r ( r R ) mi e R r R (0.0) Î Fig.0..b s-a reprezetat variaţia tesiuii pe secţiuea barei curbe. Dacă se ţie cot şi e efectul forţei axiale pe secţiue, tesiuea ormală se obţie pri metoa suprapuerii e efecte: ( ) + + (0.) e r Î expresia (0.) forţa axială, mometul îcovoietor şi oroata se itrouc cu sem.
Calculul barelor curbe plae 37 0.. plicaţie cer: Petru bara curbă i Fig. 0..a, cu secţiue circulară e iametru 60mm se a. Diagramele e eforturi, T, b. Verificarea barei cuoscâ tesiuea amisibilă a materialului a 0 /mm c. Diagrama tesiuii ormale pe secţiuea periculoasă a barei Se cuosc F 0 K şi raza e curbură a barei curbe R 0 mm. a. Fucţiile e eforturi: T ( ϕ) Fcosϕ T ( 0) F T 3 ( ϕ π) F T ( ϕ ) o ϕ ; π 0 cos ϕo 0 ϕo ϕ ; π ϕ F ; 3 ϕ π ϕ ; π ϕ FR ; 3 ϕ π ( ϕ) Fsi ϕ ( 0) 0 ( ) 0 ( ϕ) Ft FRsi ϕ ( 0) 0 ( ) 0 Diagramele e eforturi s-au reprezetat î Fig.0..b,c,. b. Verificarea barei Di iagramele e eforturi se observă că secţiuea periculoasă a barei este secţiuea, ue eforturile au valorile: 4 F 0K 0 4 5 FR 0 0 0 mm
38 Capitolul 0 Fig.0.
Calculul barelor curbe plae 39 Fig.0.3 π π 60 ria secţiuii: 87,4mm 4 4 Raza fibrei eutre: r R + R 8,095mm Excetricitatea: e R r 0 8,095,905mm Raza iterioară: R R 0 30 90mm Raza exterioară: R R + 0 + 30 50mm Cooroatele puctelor extreme: e 8,095mm + e 30,905mm Valorile extreme ale tesiuii ormale se calculează cu relaţia (0.):
40 Capitolul 0 ( ) + e 4 5 ( ) ( 0 ) ( 0 ) 8,095 + 87,4 r,905 87,4 8,095 90 4 5 ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 30,905) 30,905 + 73,084 87,4,905 87,4 50 mm 4,36 mm Se observă că cele ouă valori extreme ale tesiuii sut iferioare tesiuii amisibile a materialului barei a 0, eci bara curbă rezistă la această mm solicitare. c. Diagrama tesiuii este prezetată î Fig.0.3.