1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

Transcript

1

2 Cupris 1. Operaţii cu umere reale Radicali, puteri Puteri Radicali Idetităţi Iegalităţi Fucţii Noţiuea de fucţii Fucţii ijective, surjective, bijective Compuerea fucţiilor Fucţia iversă Ecuaţii şi iecuaţii de gradul îtâi Ecuaţii de gradul îtâi Iecua tii de gradul îtâi Modul uui umăr real Numere complexe Forma algebrică Puterile umărului i Cojugatul lui z Modulul uui umăr complex Forma trigoometrică Formula lui Moivre Forma expoeţială Ecuaţia biomă Progresii Progresiile aritmetice Progresiile geometrice Logaritmi Ecuaţii şi iecuaţii logaritmice fudametale Ecuaţii şi iecuaţii expoeţiale fudametale...

3 7. Geometrie Vectori Aduarea vectorilor Teoreme cu vectori Geometrie aalitică î pla şi î spaţiu Pla determiat de u puct şi doi vectori ecoliari paraleli cu plaul Pla determiat de trei pucte ecoliare Ecuaţia plaului pri tăieturi Ecuaţia geerală a plaului Poziţia plaelor Ecuaţia dreptei Ecuaţia dreptei determiat de u puct şi de u vector paralel cu dreapta Ecuaţia dreptei determiat de două pucte diferite Ecuaţia geerală a dreptei Ecuaţia dreptei î pla Ecuaţia dreptei determiat de două pucte diferite Ughul determiat de două drepte Distaţa la u puct la o dreaptă (î pla) Ecuaţia bisectoarei (î pla) Distaţa la u puct la o dreaptă (î spaţiu) Cercul Elipsa Hiperbola Parabola Alte aplicaţii cu vectori Metoda iducţiei matematice Axioma de recureţă a lui Peao Metoda uducţiei matematice Variată a metodei iducţiei matematice Aaliză combiatorie Permutări Arajamete Combiări Biomul lui Newto Suma puterilor asemeea ale primelor umere aturale... 55

4 10. Polioame Forma algebrică a uui poliom Divizibilitatea polioamelor Rădăciile polioamelor Ecuaţii algebrice Polioame cu coeficieţi di R, Q, Z Permutări, matrici, determiaţi Permutări Matrici Determiaţi Iversa uei matrici Tr(A) Determiatul şi ragul Sisteme liiare Notaţii Compatibilitatea Sisteme omogee (b i =0) Trigoometrie Aplicaţii ale trigoometriei î geometrie Aaliză matematică Recureţe Recureţe de ordi Recureţe de ordi al doilea Limita de şiruri Limite geerale, criterii de covergeţă Limite de fucţii Operaţii cu limite de fucţii Limite tip Cotiuitatea fucţiilor Teoreme petru cotiuitatea fucţiilor Fucţii derivabile Defiiţia derivatei îtr-u puct Reguli de derivare Derivatele fucţiilor elemetare... 87

5 Derivatele fucţiilor compuse Derivatele de ordi superior ale uor fucţii elemetare Proprietăţi ale fucţiilor derivabile Itegrale Primitive Primitivele fucţiilor Reguli petru itegrarea geerală a fucţiilor Primitivele fucţiilor raţioale Itegrale cu r=(x +a ) 1/ Itegrale cu s=(x a ) 1/ Itegrale cu t=(a x ) 1/ Itegrale cu R 1/ =(ax +bx+c) 1/ Itegrale de fucţii trigoometrice ce coţi umai si Itegrale cu fucţii trigoometrice ce coţi umai cos Itegrale cu fucţii trigoometrice ce coţi umai ta Itegrale cu fucţii trigoometrice ce coţi atât si cât şi cos Fucţii logaritmice Proprietăţi ale itegralei defiite Teorema Fudametală Iegalităţi Alte teoreme Fucţii primitivabile Fucţii itegrabile Arii Structuri algebrice Grupul Proprietăţi şi teoreme Mooid Iel Corpuri Spaţii vectoriale... 14

6 1 Operaţii cu umere reale 1.1 Radicali,Puteri Puteri 1. a m = a m a. a m b m = (a b) m 3. a m : a = a m 4. a m : b m = (a : b) m 5. a m = 1 a m 6. (a m ) = a m. Puterile umerelor reale se extiid atât petru expoeți rațioali pozitivi sau egativi, cât şi petru puterile reale fiid defiite cu ajutorul şirurilor de puteri rațioale. Aceste puteri au proprietǎți idetice cu expoeți umere aturale Radicali 1 1. a = a, a > 0; 1. a = 1 = a m 1 ; a 3. ( a) = a; 4. a b = ab; 5. ( 1 a ) = 1 a ; a b c = abc; a : b = a b ; 1

7 m 8. a a = m a +m ; m 9. a : m a = a m ; 10. a m = a m ; m 11. a = a m ; m 1. a mp = a p ; m 13. a p b q = m a p b qm ; m 14. a = m a; 15. a = a ; a = +1 a; 17. a ± a + c a c b = ±, c = a b; 1. Idetitǎţi Oricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d R şi N avem: 1. a b = (a b)(a + b). (a + b )(x + y ) = (ax by) + (ay + bx) 3. a b b 3 = (a b)(a + ab + b ) 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) 5. a 3 +b 3 +c 3 3abc = (a+b+c)(a +b +c ab bc ca) 6. a b + b 3 + c 3 = (a + b + c) 3 3(a + b)(b + c)(c + a) 7. a 4 b 4 = (a b)(a + b)(a + b ) 8. a 4 + b 4 = (a + b ab )(a + b + ab ) 9. a 5 b 5 = (a + b)(a 4 + a 3 b + a b + ab 3 + b 4 ) 10. a 6 + b 6 = (a 3 ab ) + (b 3 a b) 11. a b = (a b)(a 1 + a b ab + b 1 )

8 1. a +1 + b +1 = (a + b)(a a 1 b +... ab 1 + b ) 13. (a + b + c) = a + b + c + ab + bc + ac 14. a j x j a jx j j=1 j=1 j=1 = (a ix j a jx i) 1 i<j 15. (Hermite) 1 [ x + k ] = [x], k=0 cu [ ] otǎm partea îtreagǎ. Fie x u umǎr real. Se umeşte parte îtreagǎ a lui x, cel mai apropiat îtreg mai mic sau egal cu x. Se umeşte parte fracțioară a lui x, difereța ditre umǎr şi partea lui îtreagă. Defiiția este sugerată de Axioma lui Arhimede : Petru orice umar real x, existǎ u umǎr îtreg, uic, astfel icat x < Iegalitǎţi 1. [E 1(x)] [E (x)] 0;. x + y xy, x, y R; 3. 1 a + 1 ab b a + b a + b 4. (a + b)(b + c)(c + a) 8abc; a 5. b + b a 3

9 ( 1 6. (a + b + c) ) 9, a + 1 b + 1 c a, b, c > 0; 7. a + b + c ab + bc + ca; 8. a 3 + b 3 + c 3 3abc; a a a 1 + a ; a a 3 a a (x + y )(a + b ) (ax + by) ; 11. (Beroulli) Petru orice x [ 1, ) şi α Q \ {1} avem: (1+x) α 1+αx, dacǎ α (0, 1) şi (1+x) α 1 + α x dacǎ α (, 0) (1, + ). 1. Petru orice a k R, k = 1, şi b k { 1, 1} avem cǎ a k b k a k. ( 13. Dacǎ u = ). Atuci şirul u este strict descrescǎtor, adicǎ: u > u Petru orice a k 0 umere reale avem cǎ: a 1 + a a a 1a... a 1 a a a Iegalitatea de mai sus, este umitǎ, iegalitatea mediilor. Egalitatea se obție petru a 1 =... = a. a 1 + a a a 1 + a a

10 16. (Cauchy-Buiakovsky-Schwarz) Dacǎ a k, b k R atuci ( ) ( ) a k b k ( ) a k b k 17. (Cebisev) Petru orice N şi a k, b k R, k = 1, eseté ( ) ( ) 1 1 a k b k ( ) 1 a k b k. Egalitatea se obție dacǎ a i = a j şi b i = b j i j. 18. (Huyges) Petru orice N \ {1} şi x k R + avem cǎ (1 + x k ) (1 + x 1...x ) 19. (Katorovici) Fie [a, b] R + u iterval, atuci dacǎ x k [a, b] k = 1, avem ( ) ( ) t k t k x k x k ( (a + b) ) t k. 4ab 5

11 7.5. Ecuaţia dreptei determiat de douǎ pucte diferite Similar, folosim ecuatția de mai sus, petru putul M 1, şi petru vectorul M 1M : M 1M : x x 1 x x 1 = y y1 y y 1 = z z1 z z 1. (3) Ecuatţia geerelǎ a dreptei Teoremǎ 7.6. Sistemul: { A1x + B 1y + C 1z + D 1 = 0 A x + B y + C z + D = 0 (4) ude ( ) A1 B 1 C 1 D 1 A B C D =. reprezitǎ o dreaptǎ. 41

12 7.5.4 Ecuaţia dreptei î pla Similar ca şi î spacțiu. Fie e o drepatǎ î pla atuci ecuatția caoicǎ este: x x 0 p = y y0 q (5) Dacǎ e u este paralel cu axa Oy atuci (adicǎ p 0), atuci petru orice vector de direcție avem cǎ q p = m este costatǎ. Numǎrul m este umitǎ pata dreptei. Avem cǎ m = tg α, (6) ude α este ughiul determiat de dreapta e cu axa Ox. Î acest caz dacǎ dreapta trece pri puctul A(x 0, y 0) şi are pata m atuci ecuația dreptei este: y y 0 = m(x x 0). (7) Observaţie 7.3. Douǎ drepte sut parelele dacǎ şi umai dacǎ pata dreptelor sut egale. Observaţie 7.4. Fie e 1, e douǎ drepte perpediculare. Fie d 1(p 1, q 1) şi d (p, q ) vectorii de direcţie. Evidet cǎ d 1 d, deci v 1 v = 0. Cea ce îseamǎ p 1p + q 1q = 0. Presupuem cǎ dreptele u sut paralele cu axa Oy atuci e 1 e m 1 m = 1. (8) Ecuaţia dreptei determiat de douǎ pucte diferite Fie M 1(x 1, y 1) şi M (x, y ) douǎ pucte î pla. Atuci ecuația dreptei care trece pri puctele M 1 şi M are 4

13 vectorul de direcție M 1M (x x 1, y y 1), deci Ecuația caoicǎ a dreaptei M 1M este x x 1 x x 1 = y y1 y y 1, (9) sau: x y 1 x 1 y 1 1 x y 1 = 0. (30) Ughul determiat de douǎ drepte Fie d 1 şi d douǎ drepte. Atuci m( d 1, d ) = d 1 arccos d d 1 d, d 1 d 0 d 1 π arccos d d 1 d, altfel. Dacǎ luǎm î cosiderare cǎ π arccos x = arccos( x), petru orice x [ 1, 1] atuci avem cǎ: sau: arccos m( d 1, d ) = arccos d 1 d d 1 d, (31) m( d 1, d ) = p 1p + q 1q + r 1r p 1 + q 1 + r 1 p + q + r. 43

14 13 Trigoometrie 1. si x + cos x = 1;. 1 + ta x = 1 cos x ; cot x = 1 si x ; ( ) π 4. si x = cos x ; ( ) π 5. cos x = si x ; ( ) π 6. ta x = cot x ; ( ) π 7. cot x = ta x ; 8. ta x > x > si x, x 9. cos(x + y) = 10. si(x + y) = ( 0, π ) ; cos(x) cos(y) si(x) si(y); si(x) cos(y) + si(y) cos(x); ta(x) + ta(y) 11. ta(x + y) = 1 ta(x) ta(y) ; 1. cot(x + y) = 13. si(x y) = 68 cot(x) cot(y) 1 cot(x) + cot(y) ; si(x) cos(y) si(y) cos(x);

15 [si(x + y) + si(x y)]; cos(x y) = cos(x) cos(y) + si(x) si(y); ta(x) ta(y) 15. ta(x y) = 1 + ta(x) ta(y) ; cot(x) cot(y) cot(x y) = cot(y) cot(y) ; 17. si(x) = si(x) cos(x); 18. cos(x) = cos x si x = 1 si x = cos x 1; 19. si 3x = 3 si x 4 si 3 x; 0. cos(3x) = 4 cos 3 (x) 3 cos(x); ( ) x 1 + cos(x) 1. cos = ; ( ) x 1 cos(x). si = ; ( ) x 1 cos x 3. ta = 1 + cos(x) ; ( ) x 1 + cos x 4. cot = 1 cos(x) ; 5. si(p) + si(q) = 6. si(x) cos(y) = ( ) p + q si cos 1 ( p q ) ;

16 7. si(p) si(q) = ( ) p q si cos 8. cos(p) + cos(q) = ( ) p + q cos cos 9. cos(x) cos(y) = ( p + q ( p q ) ; ) ; 1 [cos(x + y) + cos(x y)]; 30. cos(p) cos(q) = ( ) p q si si 31. si(x) si(y) = ( p + q 1 [cos(x y) cos(x + y)]; si(p ± q) 3. ta(p) ± ta(q) = cos(p) cos(q) ; si(p + q) 33. cot(p) + cot(q) = si(p) si q ; 34. si(x) = ta( x ) 1 + ta ( x ) ; 35. cos(x) = 1 ta ( x ) 1 + ta ( x ) ; 36. ta(x) = ta( x ) 1 ta ( x ) ; 37. ta( x ) = si(x) 1 + cos(x) = 1 cos(x) ; si(x) 70 ) ;