Ecuaţii diferenţiale ordinare cu aplicaţii în mecanică, fizică şi inginerie

Transcript

1

2 Prefaţă Cartea e faţă a fost elaborată î carul proiectului POSDRU/56/./S/768 Formarea carelor iactice uiversitare şi a stueţilor î omeiul utilizării uor istrumete moere e preare-îvăţare-evaluare petru iscipliele matematice î veerea creării e competeţe performate şi practice petru piaţa mucii. Fiaţat i Foul Social Europea şi implemetat e către Miisterul Eucaţiei Cercetării Tieretului şi Sportului î colaborare cu The Re Poit Oamei şi Compaii Uiversitatea i Bucureşti Uiversitatea Tehică e Costrucţii i Bucureşti Uiversitatea Politehica i Bucureşti Uiversitatea i Piteşti Uiversitatea Tehică Gheorghe Asachi i Iaşi Uiversitatea e Vest i Timişoara Uiversitatea Duărea e Jos i Galaţi Uiversitatea Tehică i Cluj-Napoca Uiversitatea Decembrie 98 i Alba-Iulia proiectul cotribuie î mo irect la realizarea obiectivului geeral al Programului Operaţioal Sectorial e Dezvoltare a Resurselor Umae POSDRU şi se îscrie î omeiul major e iterveţie. Calitate î îvăţămâtul superior. Proiectul are ca obiectiv aaptarea programelor e stuii ale isciplielor matematice la ceriţele pieţei mucii şi crearea e mecaisme şi istrumete e etiere a oportuitãţilor e îvãţare. Evaluarea evoilor eucaţioale obiective ale carelor iactice şi stueţilor legate e utilizarea matematicii î îvăţămâtul superior masterate şi octorate precum şi aalizarea eficacităţii şi relevaţei curriculelor actuale la ivel e performaţă şi eficieţă î veerea ezvoltării e cuoştiţe şi competeţe petru stueţii care îvaţă isciplie matematice î uiversităţi reprezită obiective specifice e iteres î carul proiectului. Dezvoltarea şi armoizarea curriculelor uiversitare ale isciplielor matematice coform eigeţelor e pe piaţa mucii elaborarea şi implemetarea uui program e formare a carelor iactice şi a stueţilor iteresaţi i uiversităţile

3 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie parteere bazat pe ezvoltarea şi armoizarea e curriculum crearea uei baze e resurse iovative moere şi fucţioale petru prearea-îvăţarea-evaluarea î iscipliele matematice petru îvăţămâtul uiversitar sut obiectivele specifice care au ca raspus materialul e faţă. Formarea e competeţe cheie e matematică şi iformatică presupue crearea e abilităţi e care fiecare iivi are evoie petru ezvoltarea persoală icluziue socială şi iserţie pe piaţa mucii. Se poate costata îsă că programele isciplielor e matematică u au îtoteaua î veere ietificarea şi sprijiirea elevilor şi stueţilor poteţial taletaţi la matematică. Totuşi stuiul matematicii a evoluat î eigeţe pâă a ajuge să accepte provocarea e a folosi oile tehologii î procesul e preareîvăţare-evaluare petru a face matematica mai atractivă. Î acest cotet aaliza fleibilităţii curriculei îsoţită e aaliza metoelor şi istrumetelor folosite petru ietificarea şi motivarea stueţilor taletaţi la matematică ar putea răspue eopotrivă ceriţelor e masă cât şi celor e elită. Viziuea pe terme lug a acestui proiect precoizează etermiarea uor schimbări î aborarea feomeului matematic pe mai multe plauri: iformarea uui umăr cât mai mare e membri ai societăţii î legătură cu rolul şi locul matematicii î eucaţia e bază î istrucţie şi î escoperirile ştiiţifice meite să îmbuătăţească calitatea vieţii iclusiv popularizarea uor mari escoperiri tehice şi u umai î care matematica cea mai avasată a jucat u rol hotărâtor. De asemeea se urmăreşte evieţierea a oi motivaţii solie petru îvăţarea şi stuiul matematicii la ivelele e bază şi la ivel e performaţă; stimularea creativităţii şi formarea la viitorii cercetători matematiciei a uei atituii eschise faţă e îsuşirea aspectelor specifice i alte ştiiţe î scopul participării cu succes î echipe mite e cercetare sau a aborării uei cercetări iter şi multi iscipliare; ietificarea uor forme e pregătire aecvată e matematică petru viitorii stueţi ai isciplielor matematice î scopul utilizării la ivel e performaţă a aparatului matematic î costruirea uei cariere profesioale. 4

4 Am îcercat să facem cât mai atractivă şi accesibilă prezetarea simplificâ epuerea fără a piere i rigoarea matematică a rezultatelor. Lucrarea este structurată î patru capitole ultimul referiu-se la probleme e stabilitate clasică şi urmăreşte î pricipal subiectele prevăzute î programa actuală e stuiu cu precăere cele care pot servi la rezolvarea problemelor tipic igiereşti. Astfel fiecare capitol se îcheie cu u paragraf e aplicaţii î iverse omeii: mecaică astroomie hirotehică statica costrucţiilor etc. Sut moelate probleme cocrete simple folosi ecuaţii ifereţiale oriare. Prezetarea aplicaţiilor este realizată î patru etape: problemă fizică moel matematic etermiarea soluţiei şi iterpretarea ei fizică. Cosierăm că umeroasele legături cu iscipliele igiereşti legături pe care le-am pus î evieţă pri aceste aplicaţii fac cu atât mai covigător stuiul ecuaţiilor ifereţiale oriare petru stueţii i uiversităţile tehice. Paragrafele îsoţite cu asterisc pot fi omise ca şi o serie e emostraţii. Le-am itrous totuşi petru uitatea şi logica epuerii. Meţioăm că ele sut e fapt estiate stueţilor celor mai iteresaţi e omeiul ecuaţiilor ifereţiale şi care vă î viitoarea lor profesiue u umai u mijloc e trai ar şi o cheie a eseţei feomeelor aturii; ei caută cu persevereţă sâmburele matematic care guverează i abstract aceste feomee căci oar el asigură o viziue completă şi uitară asupra feomeelor stuiate şi eci preveerea şi stăpâirea acestora. Coţiutul teoretic al primelor trei capitole a fost realizat e prof. Ileaa Toma şi cof. Emil Popescu e la Uiversitatea Tehică e Costrucţii i Bucureşti iar cel al capitolului 4 e cof. Aurelia Cerea e la Uiversitatea Bucureşti. Aplicaţiile î mecaică şi fizică au fost realizate e cof. Da Comăescu şi cof. Ioa Caşu e la Uiversitatea e Vest i Timişoara precum şi e echipa Uiversităţii Politehice i Cluj formată i cof. Gloria Cosovici şi cof. Sori Comşa. Aplicaţiile î mecaica costrucţiilor aparţi regretatului profesor M.V. Soare şi au fost publicate î carul 5

5 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie volumul Ecuaţii ifereţiale cu aplicaţii î mecaica costrucţiilor traus î Spriger (coautori: P.P.Teoorescu Ileaa Toma). Bibliografia cuprie şi lik-uri cu site-uri pe care stueţii pot cosulta şi olie mauale cuprizâ tematici e ecuaţii ifereţiale oriare. Autorii 6

6 CUPRINS PREFAŢĂ... CAPITOLUL... 9 ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE DE ORDINUL ÎNTÂI Noţiui prelimiare. Eemple Formele sub care se prezită ecuaţiile e oriul I şi soluţiile lor Forme ale ecuaţiilor e oriul I Forme ale soluţiilor Tipuri e ecuaţii ifereţiale e oriul I rezolvabile pri cuaraturi Ecuaţii cu variabile separate Ecuaţii cu variabile separabile Ecuaţii ifereţiale omogee e graul m Ecuaţii cu ifereţiale totale eacte Factor itegrat Ecuaţii ifereţiale lieare e oriul I Ecuaţia Beroulli Ecuaţia Riccati Ecuaţia Clairaut Ecuaţia Lagrage Metoa aproimaţiilor succesive Teorema clasică e eisteţă şi uicitate Cauch-Picar Pricipiul cotracţiei Aplicaţii î mecaică fizică şi igierie... 6 CAPITOLUL... 9 ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE LINEARE DE ORDINUL Noţiui prelimiare. Eemple Ecuaţii ifereţiale lieare şi omogee e oriul..... Ecuaţii ifereţiale e oriul lieare şi eomogee Ecuaţii ifereţiale lieare e oriul cu coeficieţi costaţi Ecuaţii ifereţiale lieare şi omogee Poliom ifereţial

7 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie.4.. Ecuaţii ifereţiale lieare şi eomogee Ecuaţii ifereţiale e ori superior itegrabile pri cuaraturi Ecuaţii reuctibile la EDO cu coeficieţi costaţi Aplicaţii î mecaică fizică şi igierie CAPITOLUL... 4 SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE Sisteme e EDO e oriul I lieare Sisteme e EDO e oriul I lieare cu coeficieţi costaţi Eprimarea soluţiei uui sistem e EDO lieare folosi epoeţiala e matrice Sisteme e oriul I elieare. Sisteme simetrice. Itegrale prime Aplicaţii î mecaică fizică şi igierie CAPITOLUL 4... STABILITATE Stabilitatea soluţiilor ecuaţiilor ifereţiale Stabilitatea Liapuov. Fucţia Liapuov Sisteme iamice autoome Comportamet pe terme lug al soluţiilor Aplicaţii î mecaică fizică şi igierie... 8 REFERINŢE BIBLIOGRAFICE

8 CAPITOLUL ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE DE ORDINUL ÎNTÂI.. NOŢIUNI PRELIMINARE. EXEMPLE Se ştie ce este aceea o ecuaţie algebrică. O ecuaţie ifereţială este şi ea o egalitate ce amite îsă ca ecuoscută o fucţie şi mai cuprie şi erivatele acesteia. Deosebim ouă posibilităţi: aplicaţii fucţia ecuoscută epie e o sigură variabilă şi atuci vom avea o ecuaţie ifereţială oriară (prescurtat EDO); Aplicaţii fucţia ecuoscută epie e mai multe variabile caz î care vom avea o ecuaţie cu erivate parţiale (prescurtat EDP). Subiectele tratate î carul acestui curs aparţi cazului a). Forma geerală a uei ecuaţii ifereţiale oriare este coform celor spuse aterior (... ( F )). (..) Defiiţia.. Numim ori al uei ecuaţii ifereţiale oriare oriul maim e erivare al fucţiei ecuoscute. Ua itre problemele eseţiale ale calculului ifereţial este aceea e a etermia erivata uei fucţii ate. Cea mai simplă problemă iversă aparţie calculului itegral:

9 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie PROBLEMĂ. Dâu-se o fucţie f ( ) f reală e variabilă reală să se etermie primitiva sa. Dacă otăm primitiva lui f cu atuci formularea matematică a acestei probleme este: sau echivalet f ( ) (..) ( ) f. (..) Relaţiile e mai sus sut e fapt cele mai simple ecuaţii ifereţiale şi ştim cum să le rezolvăm. Îtr-aevăr ştim că cea mai geerală fucţie satisfăcâ (..) sau (..) este ( ) f ( ) C. (..4) O primitivă arbitrară a lui f poate fi eci umită soluţie a ecuaţiei (..). Itrousă î (..) ea couce la o ietitate. Deci şi î cazul ecuaţiilor ifereţiale o soluţie trasformă ecuaţia îtr-o ietitate eact ca î cazul ecuaţiilor algebrice. Î epresia (..4) semul esemează ua itre primitivele lui f iar C este o costată arbitrară. Deci fucţia u este etermiată î mo uic e ecuaţia (..) sau (..) astfel îcât putem spue că ele amit o ifiitate e soluţii. Fiecare i aceste soluţii se pot etermia â lui C iferite valori umerice. Termiologie Soluţia (..4) a ecuaţiei (..) se umeşte soluţie geerală. Orice soluţie obţiută i soluţia geerală pri particularizarea costatei C se umeşte soluţie particulară.

10 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi O soluţie care u se obţie i cea geerală pri particularizarea costatei arbitrare se umeşte soluţie sigulară. După toate aceste cosieraţii s-ar părea la prima veere că ecuaţiile ifereţiale au apărut îtr-u caru strict matematic ca o completare logică formală a calculului ifereţial. Acest omeiu al matematicii îşi are îsă origiea istorică î mecaica ewtoiaă. Newto iiţiatorul calculului ifereţial alături e Leibiz a moelat cu o surprizătoare ituiţie o serie e feomee fizice pri ecuaţii ifereţiale. Astfel faimoasa lege a II-a (a mecaicii) euţată pe scurt: Rezultata forţelor ce acţioează asupra uui sistem este egală cu prousul itre masa sistemului şi acceleraţia acestuia lege care e altfel îi poartă şi umele se eprimă matematic sub forma: m a F (..5) şi u reprezită altceva ecât u sistem e ecuaţii ifereţiale. Îtr-aevăr acceleraţia este erivata a oua a eplasării î raport cu timpul; această observaţie aparţie uui alt tita al ştiiţei Leohar Euler. simplu. Petru eificare să urmăm rumul propus e Newto î stuiul uui caz foarte PROBLEMĂ. Să se stuieze mişcarea pe o aă verticală a uei particule (puct material) M sub acţiuea propriei greutăţi. Rezolvare. Costruim mai îtâi moelul matematic. Trebuie eci să etermiăm a) fucţia ecuoscută (fucţiile ecuoscute) a cărei cuoaştere îseamă cuoaşterea feomeului; b) legea fizică (legile fizice) care guverează feomeul.

11 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Presupuem că O este aa verticală e-a lugul căreia cae particula origiea fii situată la suprafaţa pămâtului (vezi figura e mai jos). compoetă a acceleraţiei găsim Mişcarea particulei este cuoscută acă se cuoaşte uica sa cooroată aume poziţia sa pe aa O î fiecare momet t. Fucţia ecuoscută a problemei este eci ( t) cu semificaţia fizică e eplasare a particulei. Î problemele e mişcare legea a oua a lui Newto joacă u rol eseţial. Aplicâ-o petru uica ma mg (..6) m fii masa particulei iar g moulul acceleraţiei gravitaţiei. Semul mius provie i faptul că aa O este irijată î sus iar forţa e gravitaţie î jos. Ţiâ seama că acceleraţia este erivata a oua a eplasării î raport cu timpul t şi simplificâ cu m rezultă M O mg g. (..7) t Ecuaţia (..7) reprezită moelul matematic asociat mişcării stuiate. Sesul ei matematic este următorul: Cuoscâu-se erivata a oua a fucţiei să se etermie. Această ceriţă u ecesită î acest caz cuoştiţe speciale. Luâ succesiv e ouă ori primitiva ambilor membri ai ecuaţiei (..7) obţiem râ pe râ gt C t gt ( t) C t C. Ultima epresie costituie soluţia geerală a ecuaţiei (..7). (..8) Observaţie. Soluţia geerală epie î acest caz e ouă costate arbitrare î timp ce î cazul ecuaţiei (..) ea epiea oar e ua.

12 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi IMPORTANT! Îtoteaua soluţia geerală a uei ecuaţii ifereţiale epie e u umăr e costate egal cu oriul maim e erivare al fucţiei ecuoscute. Vom revei mai târziu cu justificări asupra acestui fapt semificativ. Să precizăm acum sesul fizic al costatelor C şi C. Luâ t î prima epresie (..8) găsim C t t v (..9) ue v este viteza iiţială a particulei. Aalog i a oua epresie (..8) eucem C ( t) t care reprezită poziţia iiţială a particulei. (..) Cu aceste oi otaţii petru costate otaţii sugestive pri semificaţia lor fizică soluţia geerală a ecuaţiei (..7) se pue sub forma gt ( t) vt (..) formă familiară cititorului îcă i stuiile liceale e fizică elemetară. Este clar acum care sut atele suplimetare ce trebuie cuoscute petru a etermia acea soluţie care corespue uei aumite mişcări bie precizată: poziţia iiţială a particulei şi viteza sa iiţială v. Se poate eci spue că satisface coiţiile ( ) t ( ) v. Acestea se mai umesc şi coiţii iiţiale sau coiţii Cauch. (..)

13 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Problema care costă î rezolvarea ecuaţiei (..7) astfel îcât să satisfacă coiţiile iiţiale (..) se umeşte problemă Cauch sau problemă iiţială. IMPORTANT! Î cazul problemei Cauch coiţiile sut puse î acelaşi puct! (Î eemplul e mai sus î puctul t ). Eistă îsă situaţii î care acest tip e coiţii u corespu feomeului fizic. Să luăm cazul uei bare simplu rezemate (vezi figura e mai jos). Problema costă î etermiarea efleiei (îcovoierii) ca fucţie e. Nu vom itra î etalii e stabilire a moelului matematic asociat. Precizăm oar că acesta se prezită sub forma ecuaţiei ifereţiale oriare f umită şi ecuaţia Beroulli-Euler. ( ) (..) O l aică Di figură se vee că la capetele şi l ale barei eplasarea trebuie să fie ulă ( ) ( l). (..4) Coiţiile suplimetare (..4) se mai umesc şi coiţii bilocale. Problema care costă î rezolvarea ecuaţiei (..) cu coiţiile (..4) este o problemă bilocală sau problemă Picar (egl.: two-poit problem). 4

14 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Aceste ouă tipuri e probleme asociate EDO sut tipice şi acoperă o mare parte i problemele mecaice şi fizice importate. Di cele epuse mai sus se esprie cocluzia că u se poate face u stuiu sistematic e feome fizic fără a se recurge la moelul său ifereţial. După rezolvarea EDO (sau EDP) corespuzătoare iterpretarea soluţiei va permite cuoaşterea efectivă previziuea şi eci cotrolul feomeului stuiat iar acestea sut ezierate majore ale ştiiţei... FORMELE SUB CARE SE PREZINTĂ ECUAŢIILE DE ORDINUL I ŞI SOLUŢIILE LOR Este eviet faptul că o ecuaţie ifereţială oriară poate fucţioa oar î puctele î care este efiită. De eemplu ecuaţia (..) are ses oar petru. Fii ată o ecuaţie ifereţială oriară trebuie etermiat mai îtâi omeiul pe care aceasta are ses; omeiul e efiiţie al uei ecuaţii ifereţiale oriare este cel al fucţiilor care o efiesc.... FORME ALE ECUAŢIILOR DE ORDINUL I A. Forma geerală a ecuaţiilor ifereţiale oriare e oriul I este coform efiiţiei. şi relaţiei (..) ( ) F (..) ue F este efiit şi e obicei cotiuu î raport cu variabila iepeetă precum şi î raport cu fucţia ecuoscută şi cu erivata acesteia. Forma geerală se mai umeşte şi implicită eoarece îl coţie implicit pe. 5

15 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie F B. Dacă atuci coform teoremei fucţiilor implicite (vezi cursul e Aaliză Matematică partea I) poate fi eplicitat i (..) şi obţiem forma caoică a ecuaţiilor ifereţiale oriare e oriul I: formă care se mai umeşte şi eplicită. C. Dacă f ( ) ( ) f (..) atuci (..) se mai poate scrie (..4) f ( ) umită şi forma iversă formă care poate fi folosită î veciătatea acelor pucte ( ) R î care ( ) f tie la ifiit. Eviet acă f u tie la ifiit formele (..) şi (..4) sut echivalete. D. Ecuaţia (..) mai poate fi scrisă şi sub forma ifereţială: ( ) f (..5) e asemeea echivaletă cu (..) (..4). Forma ifereţială mai geerală ( ) Q( ) este şi ea echivaletă cu fiecare itre ecuaţiile Î puctele ( ) P (..6) ( ) ( ) P Q ( ) ( ) Q. (..7) P ATENŢIE! î care P şi Q se aulează ici ua itre ecuaţiile (..6) (..7) u este efiită. Ca şi î cazul ecuaţiei (..) fucţiile P şi Q sut e cele mai multe ori cotiue pe omeiul e efiiţie al ecuaţiei. 6

16 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi E. Forma simetrică a EDO e oriul I este X. (..8) ( ) Y ( ) Fiecare i formele e mai sus pue î evieţă aumite caracteristici şi posibilităţi e rezolvare ale ecuaţiilor e oriul I. Cel mai es îtâlite sut formele (..) (..) şi (..6).... FORME ALE SOLUŢIILOR Defiiţia.. O soluţie a ecuaţiei ifereţiale (..) î itervalul real [ a b] este o fucţie ( ) e clasă C ([ ab] ) eviet că care satisface ietic (..) aică ( ) f ( ( ) ) [ a b]. (..9) Dacă eistă o costată c astfel îcât f ( c) petru orice [ a b] rezultă c este soluţie a lui (..). Ea se umeşte soluţie staţioară şi este eosebit e importată petru stuiul calitativ al ecuaţiei. Petru a rezolva o ecuaţie ifereţială e oriul I se folosesc upă caz formele meţioate î paragraful preceet şi î fucţie e acestea vom obţie şi soluţiile lor sub iferite forme. Soluţiile uei EDO e oriul I pot fi etermiate a. sub formă eplicită: ( ) [ a b] ; b. sub formă implicită: Φ( ) ; c. sub formă parametrică: Eemplu. Fucţia ( t) ( t) t [ a b] R. este soluţie eplicită a ecuaţiei 7 ( ) (..)

17 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie VERIFICARE. Îtr-aevăr pe e o parte iar pe e altă parte. (..) (..) Epresiile (..) şi (..) coici. Soluţia (..) poate fi eprimată şi implicit: Φ. (..) ( ). (..4) VERIFICARE. Îtr-aevăr calculâ ifereţiala lui Φ găsim ( ) ( ) Φ. (..5) Di ultima egalitate eucem aică tocmai (..). (..6) Soluţia (..) mai poate fi eprimată şi parametric: cost sit t >. (..7) VERIFICARE. Putem scrie ecuaţia (..) şi sub forma ifereţială Avem. (..8) 8

18 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi cost sit ( cost) cost ( si tt) ( sit) sit ( costt) ( sit cost sit cost) t sit costt sit costt e ue rezultă aică tocmai (..6). (..9).. TIPURI DE ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I REZOLVABILE PRIN CUADRATURI Eistă aumite ecuaţii e formă particulară es îtâlite î aplicaţii petru care s-au găsit metoe e rezolvare cu ajutorul cărora soluţia se eprimă folosi primitive ale uor fucţii. Spuem î acest caz că ecuaţia se rezolvă pri cuaraturi (itegrări). Vom amiti şi rezolva aici câteva asemeea tipuri e ecuaţii ifereţiale oriare.... ECUAŢII CU VARIABILE SEPARATE Sut e forma ( ) Y ( ) X (..) ue X şi Y sut fucţii cotiue epizâ e variabilele respectiv. MOD DE REZOLVARE Observăm că fucţia F ( ) X ( ) Y ( ) (..) amite ca ifereţială membrul stâg al ecuaţiei (..). Îtr-aevăr F F F( ) X ( ) Y ( ). (..) Rezultă eci F ( ) astfel îcât F ( ) C EDO (..) este. Pri urmare soluţia geerală a 9

19 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie X ( ) Y( ) C. (..4) Eemplu. Să se rezolve ecuaţia e {. X ( ) { (..5) Y ( ) Rezolvare. Este eviet o ecuaţie cu variabile separate. Calculâ primitivele găsim X Y ( ) e e ( ) l eci soluţia geerală a EDO (..5) este (..6) e l C. (..7)... ECUAŢII CU VARIABILE SEPARABILE Acestea au forma ue ( ) q( ) Q( ) p( ) P (..8) P p Q q sut fucţii cotiue î raport cu argumetele corespuzătoare. obţiem MOD DE REZOLVARE Dacă µ ( ) p( ) q( ) pe omeiul e efiiţie al ecuaţiei împărţim cu µ şi P p ( ) ( ) ( ) ( ) Q (..9) q care este o ecuaţie cu variabile separate. Coform cazului preceet soluţia geerală a ecuaţiei (..8) este

20 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi P p ( ) ( ) Eemplu. Să se rezolve ecuaţia ( ) ( ) Q C. (..) q ( ). (..) Rezolvare. Este o EDO cu variabile separabile. Împărţim cu ( ) upă simplificări obţiem µ şi. (..) Aceasta este o ecuaţie cu variabile separate eci soluţia geerală este ată e sau calculâ primitivele C (..) valabilă petru >. ue P şi Q sut omogee e acelaşi gra m. MOD DE REZOLVARE l C (..4) I... ECUAŢII DIFERENŢIALE OMOGENE DE GRADUL m Defiiţia.. O fucţie f f ( ) f :R R se umeşte omogeă e graul m acă: m f ( t t) t f ( ) t R. (..5) Dacă egalitatea are loc oar petru t > f se umeşte pozitiv omogeă. O ecuaţie omogeă e oriul I are forma ( ) Q( ) P (..6)

21 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Facem schimbarea Itroucâ î ecuaţie rezultă z z z. (..7) ( z) Q( z)( z z) P. (..8) Dar P Q sut omogee e graul m eci Rezultă m ( ) ( ) Q( z) m Q( z) P z P z. (..9) şi eucem Mai eparte [ P( z) Q( z)( z z) ] m. (..) [ ( z) zq( z) ] Q( z) z P. (..) ( ) Aceasta este o ecuaţie cu variabile separabile. Împărţim cu P( z) zq( z) Q( z) ( z) zq( z) z (..) P eci soluţia geerală a ecuaţiei (..) este coform celor spuse mai sus Făcâ otaţia P ϕ ( z) Q( z) ( z) zq( z) Q( z) ( z) zq( z) P soluţia geerală a ecuaţiei se scrie astfel z C. (..) z (..4) sau trecâ la epoeţială l ϕ ( z) C (..5)

22 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi ϕ( z Ce ). (..6) Revei la variabila iiţială obţiem soluţia geerală a EDO omogee (..6) sub forma ϕ Ce. (..7) Eemplu. Să se etermie soluţia geerală petru următoarea EDO omogeă: ( ) ( ). (..8) Rezolvare. Avem P( ) iar Q( ) ( ). Eviet această ecuaţie u este ici cu variabile separate ici separabile. Să îcercăm să verificăm acă este omogeă coform efiiţiei.: ( ) ( ) ( ) P t t t t t t P ( ) ( ) ( ) ( ) Q t t t t t t Q. Deci ecuaţia este omogeă e graul. Petru rezolvare efectuăm schimbarea (..9) Rezultă succesiv î fial obţiem z z z. (..) ( z z ) ( z)( z z) [( z z ) ( z)( z z) ] [( z z ) z z ] ( z) z ; ( z) care este o ecuaţie cu variabile separabile. Împărţi cu z găsim z z (..)

23 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie z z (..) z care este o ecuaţie cu variabile separate. Soluţia sa geerală este sau z C z l Revei la vechile variabile avem l z l z C. l C. Trecâ la epoeţială rezultă soluţia geerală a ecuaţiei omogee (..8) sau altfel scris e C (..) Ce. (..4)..4. ECUAŢII CU DIFERENŢIALE TOTALE EXACTE Sut e forma ( ) Q( ) P. (..5) Defiiţia.4. O ecuaţie ifereţială oriară e oriul I se umeşte ecuaţie cu ifereţiale totale eacte acă eistă o fucţie ifereţiabilă F F( ) ( ) Q( ) F P. Di Cursul e Aaliză Matematică partea I-a se ştie că: astfel îcât 4

24 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi CONSECINŢĂ: ( ) Q( ) F P acă şi umai acă P Q. (..6) Soluţia geerală a uei ecuaţii cu ifereţiale totale eacte este ( ) C F (..7) ue C este o costată arbitrară. Deci rezolvarea uei ecuaţii cu ifereţiale totale eacte se reuce la etermiarea uei fucţii e ouă variabile atuci câ i se cuoaşte ifereţiala. MOD DE REZOLVARE P Q Etapa. Se calculează erivatele parţiale ; acă ele coici rezultă că ecuaţia este cu ifereţiale totale eacte aică eistă F astfel îcât ( ) Q( ) F P. Etapa. Deoarece ifereţiala uei fucţii este (vezi Cursul e Aaliză partea I) rezultă F F F (..8) F P F Q. Itegrâ prima relaţie î raport cu se obţie forma lui F: (..9) F ( ) P( t ) t ϕ( ) (..4) 5

25 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie ue ϕ este o fucţie arbitrară epizâ oar e. ue Derivâ ambii membri ai acestei relaţii î raport cu vom avea F P ( t ) t ϕ ( ) este fiat ar arbitrar ales astfel îcât ( ) sut efiiţi P şi Q. e ue Ţiâ acum seama e coiţia (..6) eucem F Q t ( t ) t ϕ ( ) Q( ) Q( ) ϕ ( ) Comparâ această relaţie cu epresia lui şi eci epresia lui ϕ este F ( ) Q( ) ϕ ( ) Q( ) (..4) să aparţiă omeiului pe care i (..9) rezultă. (..4) Q (..4) ϕ ( ) Q( ) ϕ (..44) ( ) Q( t) fii ales î aceleaşi coiţii ca. Î fial găsim petru F F ( ) P( t ) t Q( t) t t (..45) (..46) astfel îcât soluţia geerală a ecuaţiei cu ifereţiale totale eacte se obţie sub forma 6

26 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi 7 ( ) ( ) C t t Q t t P (..47) ue C este o costată arbitrară. Dacă itegrăm mai îtâi a oua relaţie (..9) î raport cu obţiem soluţia geerală sub forma echivaletă cu (..47) ( ) ( ) C t t Q t t P. (..48) Eemplu. Să se etermie soluţia geerală petru ecuaţia ( ) e e. (..49) Rezolvare. I. Verificăm acă este satisfăcută coiţia (..6). Avem ( ) ( ) e e Q P eci ( ) ( ) e e Q P şi rezultă că ecuaţia este cu ifereţiale totale eacte. II. Aceasta îseamă că eistă F e clasă C astfel îcât. e e F F (..5) Di prima relaţie (..5) eucem

27 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie e ue F ( ) e ϕ( ) (..5) F ( ) e ϕ ( ) Egalâ această epresie cu cea i (..5) rezultă. (..5) e ue ( ) e ϕ e (..5) (..49): e mai sus. ϕ ( ) ( ) ϕ. (..54) Îlocui această epresie î (..5) obţiem soluţia geerală a ecuaţiei e C. (..55) Observaţii. Acelaşi rezultat se obţie pri aplicarea irectă a formulelor geerale a) Aplicăm formula (..47) î care se poate lua. Obţiem F t ( ) P( t ) t Q( t) t e t ( t e ) e t t t t t t t pri urmare soluţia geerală a ecuaţiei este tot e e C t 8

28 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi cu C costată arbitrară. b) Aplicăm acum formula (..48); şi aici se poate lua. Obţiem F t ( ) P( t ) t Q( t) t e t ( t e ) t t t t e pri urmare soluţia geerală a ecuaţiei este aceeaşi e C cu C costată arbitrară...5. FACTOR INTEGRANT Deoarece moul e rezolvare al uei ecuaţii cu ifereţiale totale eacte este etrem e simplu s-au căutat căi petru a eploata şi î alte situaţii această iee etrem e atrăgătoare. Fie ecuaţia ( ) Q( ) t P. (..56) Ne putem pue următoarea PROBLEMĂ. Dacă ecuaţia (..56) u este cu ifereţiale totale eacte am putea oare găsi o fucţie ( ) ifereţiale totale eacte? Fucţia ( ) µ µ cu care îmulţi-o s-o trasformăm îtr-o ecuaţie cu µ se umeşte factor itegrat. Putem emostra cu uşuriţă că:. Eistă îtoteaua u factor itegrat.. O ecuaţie ifereţială oriară e oriul I amite o ifiitate e factori itegraţi. 9

29 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie. Orice factor itegrat al uei ecuaţii ifereţiale oriare e oriul I este e forma ϕ ( U ) µ ( ) ue U ( ) soluţie) a ecuaţiei iar ( ) C este o itegrală (sau altfel spus o µ este u factor itegrat. 4. Dacă se cuosc oi factori itegraţi ai uei ecuaţii ifereţiale oriare e oriul I atuci soluţia acesteia se scrie fără cuaraturi. CUM DETERMINĂM FACTORUL INTEGRANT? Presupuem problema rezolvată; am îmulţit eci ecuaţia (..56) cu o fucţie ( ) µ µ obţiâ ( P) ( Q) µ µ (..57) care este o ecuaţie cu ifereţiale totale eacte. Coform proprietăţilor ifereţialei (vezi Cursul e Aaliză partea I) eistă F F( ) e clasă C astfel îcât ceea ce implică ( ) ( µ P) ( Q) F µ (..58) F F µ P µ Q. (..59) Dacă F este e clasă C atuci eviet ( µ P) ( µ Q) (..6) eoarece erivatele sale mite coici coform teoremei Schwartz (vezi Cursul e Aaliză partea I) Derivâ cele ouă prouse obţiem P Q µ P µ µ Q µ (..6)

30 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi care este e fapt o ecuaţie cu erivate parţiale pe care trebuie s-o satisfacă factorul itegrat µ; am ajus eci la o problemă aparet mai complicată ecât cea e la care am plecat. Presupuem acum că µ µ ( ω ) ue ( ) ω ω este o fucţie cuoscută ce epie e şi. Deoarece µ epie e şi oar pri itermeiul lui ω aplicăm regula erivării î laţ: sau µ µ ω ω Itroucem aceste epresii î (..6) şi obţiem µ µ ω. (..6) ω µ ω ω Q P P Q µ (..6) ω Dacă oua epresie otată ( ) Q P µ µ. ω ω ω (..64) P Q 44 4 ϕ( ω) ϕ ω este o fucţie ce epie oar e ω ecuaţia (..64) se scrie ( ) µ ϕ ω µ ω. (..65) Aceasta este o ecuaţie cu variabile separabile î µ şi ω. Împărţi cu µ eucem cu soluţia geerală eci µ ϕ ( ω ) ω (..66) µ ( ) l µ ϕ ω ω l C (..67)

31 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie ϕ( ω) ω µ C e. (..68) De fapt e iteresează oar o soluţie particulară a ecuaţiei (..65) eci putem lua C e eemplu. După ce am etemiat factorul itegrat îmulţim cu el ecuaţia ată şi obţiem o ecuaţie cu ifereţiale totale eacte pe care o rezolvăm coform moelului e la paragraful preceet. Observaţie. Acest mo e rezolvare epie e alegerea fucţiei ω; alegerea epie la râul ei e abilitatea rezolvitorului. Îsă e multe ori ω are forme simple sau este iicat. Eemplu. Să se rezolve ecuaţia. (..69) P Q µ µ. ştii că amite u factor itegrat e forma ( ) Rezolvare. Calculăm Rezultă că P ( ) Q ( ) astfel îcât ecuaţia u este cu ifereţiale totale eacte.. (..7) P Q (..7) Căutăm u factor itegrat e forma µ µ ( ω ) ue coform iicaţiei ω. Trebuie ca ( µ P) ( µ Q). (..7)

32 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Avem µ µ ω µ µ ω. Pe e altă parte i calculele e mai sus rezultă Q P. Di (..7) rezultă eci µ P Q P µ µ Q µ ω ω Aceasta îseamă că µ Q P ( P Q) µ. ω44 44 ( ) ω µ ω µ ω (..7) care este o ecuaţie cu variabile separabile. Împărţi cu ωµ obţiem ecuaţia cu variabile separate µ ω µ ω petru care căutâ o soluţie particulară găsim l µ l ω. Rezultă că factorul itegrat căutat este µ ω aică Îmulţim eci ecuaţia cu ( ) µ.. Obţiem

33 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie p q ( ) ( ). Aceasta este o ecuaţie cu ifereţiale totale eacte căci p q. Căutăm o fucţie F astfel îcât F p F F q Derivăm pe F î raport cu : Trebuie eci ca ϕ F ' ϕ ( ). ( ) şi rezultă că ϕ ( ). Î fial fucţia F are forma ( ) soluţia geerală a ecuaţiei (..69) este eci ; F ϕ ( ). (..74) C. (..75)..6. ECUAŢII DIFERENŢIALE LINEARE DE ORDINUL I Ecuaţia ( ) q( ) p q C ( I) R p I (..76) 4

34 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi ue efieşte ecuaţia ifereţială e oriul I lieară şi eomogeă. Deci ecuaţia omogeă asociată este ( ) p. (..77) A. Membrul stâg al ecuaţiei (..76) efieşte operatorul L care asociază fiecărei fucţii fucţia p( ) aică L p( ). (..78) De eemplu acă L este efiit ca L (..79) atuci el realizează următoarea corespoeţă e la fucţie la fucţie: L cos L e L L L L si cos e e. Putem spue că operatorul L at e (..78) este efiit astfel: (..8) ( I) C ( I) B. Operatorul L at e (..78) este liear. Defiiţia.5. Spuem că u operator reale/complee este liear acă petru orice L : C. (..8) ( β ) αl( ) βl( ) L : X Y ue X Y sut spaţii vectoriale L α (..8) X şi orice α β reali/complecşi. Dacă C ( I) iar α β sut costate reale/complee atuci 5

35 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie L ( α β ) ( α β ) p( )( α β ) α ef β αp( ) βp( ) [ p( ) ] β[ p( ) ] αl( ) βl( ) α 44 4 L L eci L este liear coform efiiţiei e mai sus. (..8) Observaţie. Recuoaştem u operator ifereţial liear upă faptul că îtoteaua î structura lui atât fucţia ecuoscută cât şi erivata ei sut la puterea îtâi. Defiiţia.6. Numim ucleu al uui operator kerel egl.) mulţimea elemetelor i X care îl aulează aică { X L( ) }. L : X Y şi otăm cu ker (e la ker L (..84) Se ştie (cursul e Algebră aul I) că ker L este subspaţiu vectorial al lui X. Petru operatorul ifereţial liear at e (..78) eviet Y { C ( I) L } ker L (..85) eci ker L coicie cu mulţimea soluţiilor ecuaţiei lieare şi omogee (..77). Ecuaţia lieară şi omogeă (..78) poate fi scrisă sub forma uei ecuaţii cu variabile separabile: p ( ) p( ) e ue pri împărţire cu eucem succesiv (..86) p ( ) ( l ) p( ) p( ) c. l (..87) 6

36 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi forma Î ultima epresie c este o costată arbitrară pe care o putem cosiera e l C. Trecâ la epoeţială î ultima egalitate rezultă care este soluţia geerală a ecuaţiei omogee asociate. este. p ( ) Ce (..88) Observaţie. Formula (..88) arată că imesiuea subspaţiului vectorial Î cotiuare vom scrie ecuaţia (..76) sub forma Putem emostra imeiat ( ) q( ) ker L L p. (..89) Teorema.. Soluţia geerală a ecuaţiei eomogee (..89) este suma itre o soluţie particulară a ecuaţiei eomogee şi soluţia geerală a ecuaţiei omogee asigurate. Demostraţie. Îtr-aevăr fie Y o soluţie particulară a ecuaţiei eomogee (..8). Aceasta îseamă că ( ) Y q( ) LY Y p. (..9) Să efectuăm î (..89) schimbarea e fucţie Itroucâ î (..89) obţiem Y z. (..9) Dar q( ) L L Y ( z) LY Lz q( ) Lz L liear L eci (..9) implică Lz aică z ker L.. (..9) CUM ÎL DETERMINĂM PE Y? Răspusul la această îtrebare îl ă Metoa variaţiei costatelor (sau metoa lui Lagrage) Căutăm pe Y e forma (..88) umai că C va fi cosierat fucţie e : 7

37 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Atuci Y C ( ) p( ) e. (..9) Y C ( ) p( ) p( ) e p C e (..94) ( ) ( ) şi îlocui î ecuaţia eomogeă (..89) obţiem LY Y p p( ) C( ) Îsă LY q( ) ( ) Y C ( ) e eci p ( ) e p C ( ) ( ) e p p ( ) C( ) ( ). e p ( ) (..95) ceea ce couce la p( ) C e q (..96) ( ) ( ) C eci C se obţie pri itegrare: C ( ) q( ) ( ) q( ) p( ) e (..97) p( ) e. (..98) Î fial soluţia particulară Y este obţiută irect pri cuaraturi Y ( ) p( ) p( ) e q e. (..99) ( ) Ţiâ seama e teorema. rezultă că Soluţia geerală a ecuaţiei lieare şi eomogee se obţie pri cuaraturi şi este ată e ( ) p( ) p( ) p( ) Ce e q e (..) ( ) sau echivalet e 8

38 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi ( ) p( ) e C q ( ) e p ( ) (..) ue C este o costată arbitrară. Petru rezolvarea uei ecuaţii lieare e oriul I putem folosi eci ua itre ultimele ouă formule îsă î practică este mai simplu să proceăm irect. Di cele spuse mai sus se esprie următorul MOD DE REZOLVARE Etapa I. Se asociază lui (..78) ecuaţia omogeă corespuzătoare: ( ) z Lz z p. (..) Am arătat că soluţia geerală a acestei ecuaţii omogee este ată e formula (..88) eci p ( ) z Ce. (..) Etapa II. Coform teoremei. rămâe să etermiăm pe Y o soluţie particulară a ecuaţiei (..78). Aceasta se realizează cu metoa variaţiei costatelor upă cum am arătat. Eemple. Să se etermie soluţia geerală petru următoarele ecuaţii: a). Rezolvare. Este o ecuaţie ifereţială e oriul I lieară şi omogeă. Ea se mai poate scrie succesiv ; 9

39 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie ultima este o ecuaţie cu variabile separate. Soluţia ei geerală este lc sau l lc ue C este o costată arbitrară. Trecâ la epoeţială găsim Ce. b) e. Rezolvare. Este o ecuaţie ifereţială e oriul I lieară şi eomogeă. Etapa. Ecuaţia omogeă asociată este z z. Soluţia ei geerală a fost eja găsită la eemplul b). Ea este z Ce. Etapa. Petru a etermia o soluţie particulară Y a ecuaţiei eomogee folosim metoa variaţiei costatelor. Căutăm pe Y e forma ( ) ecuaţia eomogeă: Y C e. Itroucem î Y C ( ) Y C e ( ) e C( ) e şi cum Y Y C ( ) e C( ) e C( ) e C ( ) e 4

40 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi rezultă că şi eci aică C ( ) Y Y e ( ) e e C C ( ). Obţiem Y e. Soluţia geerală a ecuaţiei eomogee este z Y aşaar sau altfel scris Ce e C e ue C este o costată arbitrară. Este e forma..7. ECUAŢIA BERNOULLI ( ) q( ) α { } p q C ( I ) I R α p. (..4) Dacă α rezultă ecuaţia e oriul I lieară şi eomogeă p q. ( ) Dacă α rezultă ecuaţia e oriul I lieară şi omogeă p q. 4

41 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie MOD DE REZOLVARE Împărţim (..4) cu α Derivăm α : α p ( ) q( ) α α. (..5) α α ( ) ( α) ( α) α Deci (..4) se trasformă î. (..6) Notăm şi obţiem α p ( ) q( ) α α α. (..7) u (..8) α ( ) u q( ) u p (..9) care este o ecuaţie lieară şi eomogeă avâ pe u rept fucţie ecuoscută. O rezolvăm şi reveim la pri (..8). Eemplu. Să se rezolve ecuaţia. (..) Recuoaştem î ea o ecuaţie e tip Beroulli cu α. Rezolvare. Împărţim ecuaţia cu : 4

42 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Notăm u u. Avem. care este o ecuaţie lieară şi eomogeă. o Rezolvăm ecuaţia lieară (..). Ecuaţia omogeă asociată este Rezultă u u (..) u u. (..) u e ue eucem l u l l C. u Soluţia geerală a ecuaţiei (..) este o u C. Soluţia geerală a ecuaţiei eomogee (..) este eci (..) u C U (..4) ue U este o soluţie particulară a lui (..) pe care o etermiăm cu metoa variaţiei costatelor. Rezultă succesiv U U ( ) C( ) ( ) C ( ) C( ) U U C ( ) 4

43 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie astfel îcât aică C soluţia particulară U este eci ( ) C ( ) U. Soluţia geerală a ecuaţiei (..) este u C. Soluţia geerală a ecuaţiei Beroulli (..) este ată e ; C...8. ECUAŢIA RICCATI Are forma ( ) q( ) r( ) p q r C ( I ) R p I Dacă q rezultă ecuaţia lieară şi eomogeă ( ) r( ) p. Dacă p q. r rezultă ecuaţia Beroulli ( ) ( ). (..5) Dacă se cuoaşte o soluţie particulară Y ( ) ecuaţia Riccati se rezolvă pri MOD DE REZOLVARE Îtr-aevăr cu schimbarea cuaraturi. 44

44 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi avem Y z şi îlocui î (..5) aceasta evie Y z (..6) ( )( Y z) q( )( Y Yz z ) r( ) Y z p. (..7) Îsă Y py qy r( ) eci z satisface [ p( ) q( ) Y ] z q( ) z z (..8) care este o ecuaţie Beroulli cu α. După rezolvarea ei reveim la cu schimbarea e fucţie (..6). Eemplu. Să se rezolve ecuaţia ştii că amite o soluţie particulară Y ( ) Rezolvare. Folosi schimbarea e fucţie (..9). obţiem z (..) z z z. Rezultă ecuaţia Beroulli z z z (..) pe care am rezolvat-o la eemplul corespuzător cazului Beroulli găsi 45

45 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie z C. Revei la cu schimbarea (..) rezultă soluţia geerală a ecuaţiei Riccati (..9) C ue C este o costată arbitrară. Să meţioăm căteva cazuri particulare simple î care ecuaţia Riccati se rezolvă pri cuaraturi. ) Dacă ( ) p( ) q( ) r I (..) atuci se arată că soluţia geerală a ecuaţiei Riccati este ( ) C C [ Q( ) R( ) ] ϕ( ) ϕ( ) [ Q( ) R( ) ] ϕ( ) ϕ( ) ) Presupuem mai geeral că ϕ ( ) e [ Q( ) R( ) ]. (..) ( ) a p( ) abq( ) b r I (..4) ue costatele a şi b u sut simulta ule. Dacă b atuci cu schimbarea e fucţie ( ) a b u( ) / (..5) obţiem petru oua fucţie ecuoscută u o ecuaţie Beroulli u Q a b ( ) u Q( ) P( ) u. (..6) 46

46 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Y ) Dacă p şi q sut polioame satisfăcâ p p 4R cost atuci [ ] ( ) P( ) a Y ( ) P( ) Riccati [ ] sut ambele soluţii ale ecuaţiei ( ) r( ) p. (..7) Cometariu. Ecuaţia Riccati este eosebit e importată î aplicaţiile i mecaică igierie fizică chimie etc.; e aceea a fost mult stuiată. Are o serie e proprietăţi remarcabile (e eemplu oricare 4 soluţii isticte ale uei ecuaţii Riccati ate sut toteaua î raport aarmoic). Sistemele e ecuaţii Riccati sut pritre cele mai es folosite î cercetări moere i omeiul ştiiţelor aturii...9. ECUAŢIA CLAIRAUT Este e forma ( ) ϕ. (..8) MOD DE REZOLVARE Folosim schimbarea e ue rezultă imeiat p (..9) p. (..) Pe e altă parte i (..8) rezultă relaţie care ifereţiată evie ( p) p ϕ (..) 47

47 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie { p p ( p) p p ϕ. Egalâ cele ouă epresii ale lui obţiem (..) eci ( p) p p p p ϕ (..) ( ϕ ( p) ) p. (..4) Rezultă că cel puţi ua i următoarele egalităţi este valabilă p ϕ ( p). o Cazul a). Dacă p atuci p C şi eci (..5) ( C) C ϕ (..6) ue C este o costată arbitrară. Relaţia (..6) reprezită soluţia geerală a ecuaţiei Clairaut. Geometric soluţia ecuaţiei Clairaut reprezită u fascicol e repte. o Cazul b). Dacă ϕ ( p) atuci ϕ ( p) Rezultă ϕ ϕ ϕ şi eci ( p) p ϕ( p) ( p) ( p) p ϕ( p) (..7) care reprezită ecuaţia parametrică a uei curbe itegrale petru ecuaţia Clairaut care u se obţie i soluţia geerală particularizâ pe C. De aceea această soluţie este o soluţie sigulară. Geometric ea este îfăşurătoarea fascicolului e repte reprezetat e soluţia geerală. Îtr-aevăr acă F ( C ) este u fascicol e curbe atuci elimiâ pe C ître relaţiile 48

48 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi F F C ( C) ( C) obţiem îfăşurătoarea fascicolului. F Î cazul ecuaţiei Clairaut F şi au următoarea formă C F F C ( C) C ϕ( C) ( C) ϕ ( C). Elimiâ pe C ître cele ouă ecuaţii e mai sus obţiem ϕ ϕ ( C) ( C) C ϕ( C) care sut tocmai ecuaţiile parametrice ale soluţiei sigulare. (..8) (..9) (..4) Deci soluţia sigulară a ecuaţiei Clairaut este îfăşurătoarea fascicolului e Eemplu. Să se rezolve ecuaţia repte ce reprezită soluţia sa geerală. aică Rezolvare. p p p Egalâ epresiile lui eucem. (..4) p p p p p. ( p) p p pp p p p p. (..4) 49

49 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie o Cazul a). p p C eci care reprezită soluţia geerală a ecuaţiei Clairaut. o Cazul b). Avem e ue eucem imeiat C C (..4) p p p p care reprezită soluţia sigulară a ecuaţiei Clairaut. p (..44) 4 O Î figura e mai sus este îfăţişată soluţia sigulară tagetă î fiecare puct la ua i reptele fascicolului care reprezită soluţia geerală a ecuaţiei Clairaut cosierate.... ECUAŢIA LAGRANGE Este e forma ( ) B( ) C( ) eci epie liear e şi. Dacă A ( ) A (..45) împărţi cu el obţiem 5

50 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi ( ) ( ) ( ) ( ) B C f ( ) g( ) f ( ) g( ). (..46) A A f atuci (..46) este o ecuaţie Clairaut; a fost tratată î Dacă ( ) paragraful preceet. f. Presupuem eci că ( ) MOD DE REZOLVARE Proceăm ca î cazul ecuaţiei Clairaut. Fie eci e ue rezultă imeiat p (..47) p. (..48) Pe e altă parte i (..46) rezultă relaţie care ifereţiată evie ( p) g( p) f (..49) { f ( p) f ( p) p g ( p) p p. Egalâ cele ouă epresii ale lui obţiem (..5) eci Dacă ( ) cost f rezolvă ca î paragraful... p ( p) f ( p) p g ( p) p p f (..5) [ ( p) p] [ f ( p) g ( p) ] p f. (..5) atuci ecuaţia (..5) este cu variabile separabile şi se Î caz cotrar avem ouă situaţii posibile: a) f ( p) p. Atuci împărţim (..5) cu ( p) p f şi rezultă 5

51 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie p f f ( p) ( p) p f g ( p) ( p). (..5) p Aceasta este o ecuaţie ifereţială oriară lieară şi eomogeă a cărei fucţie ecuoscută este variabila iepeetă fii p. Rezolvâ-o cu metoa escrisă la paragraful..6 obţiem soluţia sub forma ( p) a ( p) C b ( p) costată arbitrară. Di (..49) rezultă sau altfel scris ue am folosit otaţiile ( p) [ a ( p) C b ( p) ] f ( p) g( p) ue C este o (..54) ( p) a ( p) C b ( p) (..55) ( p) a ( p) f ( p) b ( p) b ( p) f ( p) g( p) a. (..56) Î fial obţiem soluţia geerală a ecuaţiei Lagrage sub forma parametrică b) Dacă ( p) p ( p) a( p) C b ( p) ( p) a ( p) C b ( p). (..57) f amite soluţiile reale p i îlocui î ecuaţia (..46) şi ţiâ seama că f ( p i ) pi rezultă soluţiile ( ) p g (..58) i p i relaţii care reprezită ecuaţii ale uor repte petru fiecare Aceste soluţii pot fi sigulare. Eemplu. Să se etermie soluţia geerală a ecuaţiei p i (..59) 9 7 Rezolvare. Este o ecuaţie e tip Lagrage. Deci aplicăm schimbarea 5

52 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi şi eucem p p (..6) 4 8 p p (..6) 9 7 i care obţiem pri ifereţiere 8 8 pp p p. (..6) 9 9 Egalâ cele ouă epresii ale lui găsim 8 8 p pp p p (..6) 9 9 sau upă efectuarea calculelor 8 p 9. (..64) ( ) pp Rezultă că cel puţi ua i următoarele egalităţi este valabilă: 8 pp 9 p. a) Prima egalitate este e fapt ecuaţia cu variabile separate cu soluţia geerală 8 pp 9 (..65) 4 p C. (..66) 9 Di (..6) rezultă şi 8 p C. (..67) 7 Soluţia geerală a ecuaţiei Lagrage se obţie eci î forma parametrică 5

53 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie 4 p C 9 8 p C. 7 (..68) Elimiâ p ître cele ouă epresii i (..68) găsim soluţia geerală sub forma implicită ( C) ( C). (..69) b) Cea e a oua egalitate (..65) implică p care îlocuit î (..6) uce la soluţia sigulară a ecuaţiei Lagrage: 4. (..7) 7.4. METODA APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE Î paragraful preceet am pus î evieţă uele tipuri e ecuaţii ifereţiale e oriul I care pot fi rezolvate pri cuaraturi coucâ la formule aalitice cocrete ale soluţiilor. Dar u sut multe cazurile î care apar ecuaţii e aceste tipuri. Acest eajus ar putea fi compesat pri găsirea uor metoe aproimative ale soluţiilor. Ua itre cele mai uzitate asemeea metoe este metoa aproimaţiilor succesive sau metoa lui Picar. Îtrucât metoa este costructivă o vom prezeta î carul complet al teoremei e eisteţă şi uicitate a soluţiei problemei Cauch..4.. TEOREMA CLASICĂ DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE CAUCHY- PICARD Teorema.. Fie problema Cauch 54

54 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi f ( ) (.4.) ( ). Presupuem că f satisface următoarele coiţii: ) f C ( Ω) Ω ( ) { R a b} ) f este Lipschitz î raport cu eci eistă o costată pozitivă K astfel îcât ( Y ) f ( Z ) K Y Z ( Y ) ( Z ) Ω f. (.4.) Atuci problema Cauch (.4.) amite o soluţie uică C ( I) itervalul I ( h h) lugimea sa h fii etermiată astfel: ue I este b h mi a M sup f ( ). (.4.) M ( ) Ω * Demostraţie. M eistă şi este fiit căci f este cotiuu pe compact. Demostrăm îtâi EXISTENŢA SOLUŢIEI Itegrâ ecuaţia i (.4.) şi ţiâ cot e coiţia Cauch observăm că problema (.4.) este echivaletă cu ecuaţia itegrală ( ) f ( t ( t) ) Eisteţa este costructivă pri t. (.4.4) METODA APROXIMAŢIILOR SUCCESSIVE care se mai umeşte şi metoa lui Picar autorul ei. Metoa este eficietă şi are u gra mare e aplicabilitate. Ea poate fi utilizată şi î alte probleme. 55

55 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Î cazul ostru cosierăm următorul şir aproimat petru soluţia problemei (.4.4): Urmăm câteva etape: ( ) f ( t ) ( ) f ( t ( t) ) t... ( ) f ( t ( t) ) t N. I. Demostrăm că şirul { } N valorile umai î itervalul [ b b] II. Arătăm că şirul { } N Î acest scop cosierăm seria t (.4.5) este bie efiit şi toate fucţiile N au petru orice I. este uiform şi absolut coverget pe I. ( ) K ( ) K S (.4.6) K. ale cărei sume parţiale sut chiar ( ) ( ) Demostrăm că seria (.4.6) are termeii majoraţi e costate pozitive pe I iar seria umerică a acestor costate este covergetă. Coform criteriului lui Weierstrass (vezi cursul e Aaliză Matematică partea I) rezultă că Seria (.4.6) este absolut şi uiform covergetă pe I. Să otăm suma acestei serii cu. Termeul geeral al lui (.4.6) este cotiuu eci coform proprietăţilor sumei seriilor e fucţii (Cursul e Aaliză Matematică partea I) că 56

56 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Suma a seriei (.4.6) este cotiuă. Se poate trece eci la limită î relaţia e efiiţie (.4.5) şi avem ( ) f ( t ( t) ) t ; (.4.7) cum şi f sut cotiue rezultă că membrul rept al lui (.4.7) este erivabil eci membrul stâg este e clasă C ( I). Î cocluzie satisface problema Cauch (.4.). UNICITATEA SOLUŢIEI Se emostrează pri reucere la absur..4.. PRINCIPIUL CONTRACŢIEI Metoa aproimaţiilor succesive aplicată ecuaţiilor ifereţiale oriare implică u cocept mult mai geeral cu umeroase aplicaţii aume pricipiul cotracţiei. Îl vom prezeta pe scurt. Fie X o mulţime pe care s-a efiit o istaţă (metrică): cu proprietăţile:. ( ) > şi ( ). ( ) ( ) : X X R (.4.8) X proprietatea e simetrie. ( ) ( ) ( ) z z z X iegalitatea triughiului. Astfel X împreuă cu ce îeplieşte proprietăţile e mai sus formează spaţiul metric ( X ). Defiiţii:. Şirul { } X { ( ) } N este coverget. N este coverget î metrică către X acă şirul umeric 57

57 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie. Şirul { } X găsim u rag N ( ε) astfel îcât petru orice rag > N( ε) N se umeşte Cauch î metrică acă petru orice ε > ( ) < ε p (.4.9) şi orice p N.. ( X ) se umeşte spaţiu metric complet acă orice şir Cauch î metrică amite o limită î X. îcât Să cosierăm acum u operator T : X X. Defiiţii:. T se umeşte cotracţie acă eistă u umăr pozitiv subuitar ρ < astfel ( T T) ρ( ) X. (.4.). se umeşte puct fi petru T acă T. (.4.) Cu aceste precizări şi efiiţii putem euţa acum fără a o emostra Teorema.. (Pricipiul cotracţiei): Fie ( X ) u spaţiu metric complet şi T : X X o cotracţie. Atuci T amite u puct fi uic. APLICAŢIE: DEMONSTRAREA TEOREMEI CAUCHY-PICARD CU PRINCIPIUL Teorema.4. Fie problema Cauch CONTRACŢIEI f ( ) ( ). Presupuem aevărate ipotezele teoremei. eci ) C ( D) D ( ) { < a b} f < ; ) f Lipschitz î raport cu pe D aică eistă o costată K > astfel îcât 58 (.4.)

58 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi f ( Y ) f ( Z ) < K Y Z ( Y ) ( Z ) D Atuci problema Cauch (.4.) amite local o soluţie uică.. (.4.) Demostraţie: Ca şi î emostrarea teoremei. itegrăm ecuaţia i (.4.) şi rezultă ţiâ seama şi e coiţia Cauch ( ) f ( t ( t) ) t. (.4.4) Problema Cauch (.4.) este eci echivaletă cu ecuaţia itegrală (.4.4). Aceasta pue î evieţă operatorul ( t ( t) ) t T f (.4.5) care este efiit pe mulţimea (spaţiul) C ( I ) cu valori tot î ( I ) itervalul [ a a] I. Fie C I fii h mi a (.4.6) K ue K este costata Lipschitz şi să cosierăm itervalul [ h h] Atuci acă pe C ( I ) cosierăm istaţa efiită e I. avem ( ) sup ( ) z( ) z C ( I) I (.4.7) 59

59 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Rezultă ( T Tz) sup f ( t ( t) ) t f ( t z( t) ) sup K I I ( t) z( t) t K ( z). 6 ( T Tz) Kh( z) ue Kh ρ < coform iegalităţii (.4.6). Deci T este cotracţie. Să observăm că C ( I) t (.4.8) (.4.9) este complet î raport cu metrica efiită e fapt cu ajutorul ormei sup. Aplicăm pricipiul cotracţiilor şi rezultă că eistă C ( I) uic astfel îcât aică Y Y Y TY (.4.) ( ) f ( t Y ( t) ) t. (.4.) Îsă f este cotiuu eci primitiva i membrul rept este e clasă C ( I). Rezultă Y C ( I ) successive. aşaar Y satisface (.4.). Eemplu: Fie problema Cauch ( ) D {( ) < < }. (.4.) Să se aproimeze soluţia problemei Cauch folosi metoa aproimaţiilor Rezolvare:

60 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi ETAPA. Ietificăm atele i teoremele. şi.4: ( ) f a b. (.4.) ETAPA. Determiăm itervalul pe care este valabilă metoa. a) Coform teoremei. avem ue b h mi a M M { ( )} sup f (.4.4) ( ) D eci M sup ( ) D { f ( ) } sup { } < < (.4.5) h mi. (.4.6) b) Coform teoremei.4 avem eci ( ) ( ) f f z z z z (.4.7) f ( ) f ( z) < z. (.4.8) Rezultă K şi coform iegalităţii (.4.6) h mi a mi (.4.9) K aică aceeaşi valoare ca î cazul teoremei.. Itervalul căutat este eci I. (.4.) 6

61 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Avem Să calculăm primele trei aproimaţii succesive ale soluţiei problemei (.4.). ( t ) t t t t 7 6 (.4.) t t t t Observăm că fucţiile sut impare şi crescătoare. Deci fiecare itre ele îşi atige maimum-ul î puctul î acest puct găsim: foarte puţi Calculâ valoarea aproimatelor < 6 (.4.) Deci chiar petru u umăr mic e iteraţii (trei) soluţiile aproimate iferă Observaţii. Nu îtoteaua valorile lui h calculate coform celor ouă teoreme. şi.4 coici; aceasta atorită calculului costatei Lipschitz K pe e o parte şi cel al maimum-ului fucţiei f pe e altă parte. 6

62 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Câ aplicăm metoa aproimaţiilor succesive lucrurile se îtâmplă ca î cazul căutării limitei uui şir Cauch: u cuoaştem limita ar pe măsură ce avasăm î şir termeii se apropie ître ei apropiiu-se î acest fel şi e limită. Eemplu. Tastaţi u umăr arbitrar pe ispla-ul uui calculator e buzuar şi apăsaţi succesiv tasta cos (calculâ î raiai!). După câteva iteraţii umărul afişat pe ispla stă pe loc. Aceasta îseamă că aţi rezolvat ecuaţia cu precizie e 7! cos.5. APLICAŢII ÎN MECANICĂ FIZICĂ ŞI INGINERIE Aplicaţia.5.. Mişcarea corpurilor pe verticală î veciătatea suprafeţei Pămâtului (D. Comăescu I. Caşu) Problema fizică. Î multe situaţii fizice cocrete corpurile pot fi cosierate pucte materiale (imagiea î spaţiu a acestora este u puct geometric) cu masa costată m. Î această secţiue corpurile se mişcă î apropierea suprafeţei terestre pri urmare forţele cele mai importate ce acţioează asupra corpului sut greutatea G r şi forţa e frecare cu aerul F r r r r a. Greutatea are epresia G mg ue g este vectorul acceleraţiei gravitaţioale şi este u vector costat e mărime 6 g 98m / s irecţie verticală şi avâ sesul spre cetrul Pămâtului. Cea mai utilizată epresie a forţei e r r frecare cu aerul este µ v v ue v r este vectorul viteză ce are mărimea v iar µ F a este o costată pozitivă umită coeficiet e frecare. Vom presupue că puctul material este arucat e pe suprafaţa terestră vertical î sus cu viteza e mărime v. Acceptăm că mişcarea este rectiliie şi se esfăşoară pe verticala ce trece pri poziţia iiţială a corpului. Pe reapta pe care se realizează mişcarea alegem u reper cu origiea

63 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie î poziţia iiţială a corpului şi cu sesul pozitiv î sus. Moelul matematic al mişcărilor este o coseciţă a teoremei impulsului ce poate fi eprimată astfel variaţia impulsului este egală cu forţa rezultată ce acţioează asupra puctului material. Vom aaliza pe râ câteva mişcări care apar mai es î aplicaţiile practice. A. MIŞCAREA SUB ACŢIUNEA GREUTĂŢII Moel matematic. Î această secţiue vom ţie seama oar e greutate şi vom eglija frecarea cu aerul. Notâ cu v compoeta vitezei pe aa e mişcare ţiâ seama e teorema impulsului şi alegerea reperului evoluţia vitezei este moelată pri problema Cauch: v& g v() Soluţie. Ecuaţia ifereţială este cu variabile separabile mai precis o problemă e primitive iar soluţia problemei Cauch este v( t) v g t. Notăm cu compoeta mişcării pe aa verticală. Aceasta este soluţia următoarei probleme Cauch: & v g t () Şi î această situaţie avem o problemă e primitive cu soluţia: ( t) v v. g t t Iterpretare fizică. Î figura.5. este prezetată simularea mişcării pe verticală petru v 5m / s.. 64

64 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Figura.5.. Mişcarea pe verticală sub acţiuea greutăţii Aalizâ matematic viteza v şi mişcarea eucem următoarele: v î itervalul temporal [ ] corpul eecută o mişcare asceetă ajugâ la g îălţimea maimă H v g ma ; v v î itervalul temporal [ ] corpul eecută o mişcare esceetă căzâ g g pe Pămât cu o viteză e mărime v ; eşi soluţiile problemelor Cauch se pot etie matematic şi upă mometul v g acestea îşi pier semificaţia fizică. B. MIŞCAREA SUB ACŢIUNEA GREUTĂŢII ŞI A FRECĂRII CU AERUL 65

65 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Moel matematic. Notâ cu v compoeta vitezei pe aa e mişcare şi ţiâ seama e teorema impulsului şi alegerea reperului evoluţia vitezei este moelată pri problema Cauch: v& g µ v v v() v O aaliză calitativă a soluţiei pue î evieţă eisteţa uui iterval e forma [ u T ] î care viteza v este pozitivă. Petru t > Tu viteza este egativă. Soluţie. Aceste observaţii e couc la separarea stuiului î ouă cazuri. B. Mişcarea asceetă Î acest caz t T ] iar problema Cauch evie [ u v& g µ v v() v. Ecuaţia ifereţială poate fi tratată fie ca o ecuaţie cu variabile separabile fie ca o ecuaţie Riccati. Soluţia problemei Cauch este: g µ v( t) tg ( arctg( v) µ g t ). µ g Această formă petru viteză este valabilă pâă câ viteza se aulează. Di această coiţie se etermiă timpul e urcare T u arctg( µ g µ g v ). Mişcarea asceetă este soluţie a problemei Cauch & g µ tg (arctg v µ g () 66 µ g t ) Fie pri calcul irect fie utilizâ u program e calcul al primitivelor (oi am utilizat programul MAPLE ) eucem.

66 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi ( t) l µ ( µ v g tg tg( ( µ g t)). µ g t) Îălţimea maimă la care ajuge corpul este H ma ( T u ) µ v l( µ g ). B. Mişcarea esceetă Petru u timp t superior lui T u viteza corpului este soluţia problemei Cauch v& g µ v v( T u ). Ecuaţia ifereţială poate fi tratată fie ca o ecuaţie cu variabile separabile fie ca o ecuaţie Riccati. Soluţia problemei Cauch este: v( t) g ep( µ ep( µ g ( t T µ g ( t T u u )). )) Mişcarea esceetă a corpului este moelată e problema Cauch a cărei soluţie este & g ep( µ ep( ( T H ) u ma µ g ( t T µ g ( t T u u )) )) ( t) g ( t T µ u µ v g ) l µ ep( µ g ( t T Epresiile mişcării şi ale vitezei au relevaţă fizică atât timp cât corpul se află î aer aică atât timp cât este pozitiv. Egalâ pe cu etermiăm timpul e coborâre al corpului u. )) 67

67 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie T c µ g l( µ v g µ v g ) Itroucâ această epresie î formula vitezei găsim viteza e căere pe suprafaţa Pămâtului v P µ g µ v g µ v ( g µ v g µ v ( g µ v g ( µ ) v g )). Iterpretare fizică. Aalizâ matematic epresiile mişcării şi vitezei atât î mişcare asceetă cât şi î mişcare esceetă eucem următoarele: aerul are u rol ivelator ceea ce poate fi evieţiat e următorul rezultat: v ( t) t g µ ; timpul e coborâre T c este mai mare ecât timpul e urcare T u ; viteza e căere pe Pămât v P este mai mică ecât viteza e arucare v. Î figurile.5. şi.5. sut prezetate simulările umerice ale evoluţiei vitezei şi a mişcării corpului petru o viteză iiţială v 5 m / s şi petru u coeficiet e frecare cu aerul µ m. 68

68 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Figura.5.. Evoluţia vitezei î mişcarea pe verticală sub acţiuea greutăţii şi a forţei e frecare cu aerul Figura.5.. Mişcarea pe verticală sub acţiuea greutăţii şi a forţei e frecare cu aerul Valorile umerice petru îălţimea maimă şi petru timpii e urcare şi coborâre sut ate î următorul tabel: 69

69 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie EFECTUL FRECĂRII CU AERUL H (metri) 574 ma T (secue) 4 u T (secue) 7 c Aalizâ matematic fucţiile ce escriu viteza şi mişcarea corpului î cele ouă moele stuiate cu aceeaşi viteză iiţială observăm următoarele proprietăţi: corpul se riică la o îălţime mai mică atuci cî asupra lui acţioează atât greutatea cât şi forţa e frecare cu aerul; timpul e urcare î aer este mai scurt ecât timpul e urcare î vi (atuci câ se ţie cot oar e greutate); timpul e coborâre î aer este mai scurt ecât cel î vi ; viteza e căere pe suprafaţa terestră este mai mică î aer ecât î vi ; î figura.5.4 sut prezetate simulările umerice ale vitezei corpului cu valorile costatelor i secţiuile preceete; cu culoarea gri î vi şi cu culoarea eagră î aer. Figura.5.4. Efectul frecării cu aerul asupra vitezei 7

70 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi î figura.5.5 sut prezetate simulările umerice ale mişcării corpului cu valorile costatelor i secţiuile preceete; cu culoarea gri î vi şi cu culoarea eagră î aer. Figura.5.5. Efectul frecării cu aerul asupra mişcării Aplicaţia.5.. Golirea rezervoarelor (D. Comăescu I. Caşu) Problema fizică. U rezervor ciliric e rază R ce coţie o catitate e lichi este golit pritr-u orificiu e arie S aflat la baza acestuia. Rezervorul poate fi alimetat pritr-u robiet. Ne iteresează evoluţia î timp a volumului e lichi V(t) i rezervor. Petru eucerea moelului matematic utilizăm următoarea lege e bilaţ: variaţia masei i rezervor este egală cu ifereţa itre masa e lichi ce itră pri robiet î uitatea e timp şi masa e lichi ce iese pri orificiu î uitatea e timp. Î cele ce urmează vom presupue că masa e lichi ce itră pri robiet pe uitatea e timp este costată şi o vom ota k. Masa e lichi ce iese pri orificiu î uitatea e timp este egală cu k ρ S w ue am otat cu ρ esitatea lichiului cu w( t ) mărimea vitezei uei particule e lichi situată pe suprafaţa S a orificiului şi cu k coeficietul etermiat eperimetal care eprimă procetul i aria S a orificiului pri care iese 7

71 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie efectiv lichiul. Pe baza celor e mai sus şi otâ cu m(t) masa e lichi i rezervor putem scrie m k k ρ S w. Îlocui masa cu volumul şi otâ k k ρ obţiem V k k S w Viteza w e evacuare a lichiului pri orificiu este ată e Legea lui Torricelli care este o cosecită a uei legi mai geerale ate e Beroulli. Aceasta afirmă că viteza e scurgere a lichiului i rezervor este g h( t) ue g este acceleraţia gravitaţioală iar h(t) este îălţimea coloaei e lichi easupra orificiului. Sitetizâ putem scrie V ( t) k k S g h( t). Di formula volumului cilirului eucem că V ( t) h( t). π R Îlocui î ecuaţia ifereţială preceetă găsim ecuaţia ifereţială a evoluţiei volumului e lichi S V k k V R g ue am otat k k. Ecuaţia e mai sus este o ecuaţie ifereţială cu variabile π separabile. Dacă robietul e alimetare este îchis k atuci ecuaţia ifereţială poate fi privită şi ca o ecuaţie Beroulli (vezi..7). Notâ volumul iiţial e lichi cu V evoluţia volumului e lichi este soluţia problemei Cauch 7

72 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi S V k k V R V () V CAZUL ÎN CARE ROBINETUL DE ALIMENTARE ESTE ÎNCHIS k Problema Cauch evie. şi are soluţia: S V k V R V () V ( k S t R V ) V ( t) 4 R. Figura.5.6. Evoluţia volumului e lichi petru iverse arii ale orificiului. Î figura.5.6 este prezetată simularea evoluţiei volumului e lichi petru următoarele valori ale parametrilor şi coiţiei iiţiale: V m R m k m s. Cu liie puctată avem evoluţia volumului 7

73 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie lichiului atuci câ S 5 m cu liie cotiuă atuci câ S m şi cu liie îtreruptă atuci câ S 5m. Deşi soluţia problemei Cauch este globală (efiită pe R) relevaţa fizică a acesteia este pe itervalul e timp [ T G ] ue T G este timpul e golire al rezervorului şi are epresia T G R V k S. Această epresie e ajută la rezolvarea uor probleme practice e următorul tip: etermiarea ariei orificiului petru ca timpul e golire să se îcareze ître aumite limite ate î prealabil. CAZUL GENERAL Petru a simplifica stuiul facem schimbarea e variabilă W V ue W este k volumul e lichi ormalizat şi itroucem otaţiile W V k şi a k S. Cu aceste k R otaţii problema Cauch a evoluţiei volumui e lichi i rezervor evie W a W W () W Epresia eplicită a soluţiei este imposibil e obţiut pri fucţii elemetare. Fie pri calcul irect fie cu ajutorul uui program e calcul simbolic cum ar fi MAPLE se poate a soluţia î formă implicită. Epresia acestei este complicată şi u o vom prezeta î această lucrare. Petru a sesiza comportarea volumui e lichi i rezervor preferăm să prezetăm soluţia problemei Cauch petru valori particulare ale parametrului a şi a coiţiei iiţiale W. Mai precis vom cosiera a W. Soluţia implicită a problemei Cauch este. 74

74 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi W l W t.făcâ o aaliză matematică etaliată a soluţiei sau urmări simularea i figura.5.7 observăm că volumul e lichi scae tizâ spre o valoare strict pozitivă atuci câ t. Figura.5.7. Evoluţia volumului e lichi ormalizat. Î geeral se observă că acă este satisfăcută relaţia W a atuci fucţia W este costată ceea ce arată că volumul e lichi rămâe tot timpul costat. Dacă W > atuci W este o fucţie escrescătoare şi lim W ( t) a t ; eucem că volumul a e lichi scae şi tie spre o valoare strict pozitivă (această situaţie este prezetată î simularea e mai sus). Dacă W < a atuci W este o fucţie crescătoare şi lim W ( t) t ; eucem că volumul e lichi creşte şi tie spre o valoare strict a pozitivă. 75

75 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Aplicaţia.5.. (M.V.Soare [9]) Problema fizică. Să se etermie fucţia e eforturi (efortul meriia) petru plăcile curbe subţiri e rotaţie. Cazuri particulare: cupola sferică şi cupola parabolică. Moel matematic. Î carul teoriei membraei se stabileşte următoarea ecuaţie ifereţială oriară pe care o satisface fucţia e eforturi U ( ϕ) U ϕ r r ϕ cot ϕ U r U cos ϕ r ϕ î (.5.) ϕ este ughiul meriia (variabila iepeetă) ( ϕ) U (efortul meriia) ; (.5.) si ϕ r este raza cercului r paralel al suprafeţei meriiae (e rotaţie) iar este u umăr îtreg. Soluţie. Ecuaţia (.5.) este e tip Riccati şi o putem rezolva pri cuaraturi acă i se cuoaşte o soluţie particulară (vezi..8). O asemeea soluţie poate fi găsită î cazurile particulare i euţ. rezultă A. CUPOLA SFERICĂ. Î acest caz otâ cu a raza suprafeţei meriiae sferice r asi ϕ eci ( r ) r ϕ cot ϕ. Ecuaţia (.5.) ia forma mai simplă ( U ) U ϕ si ϕ Putem scrie această ecuaţie sub forma U U. (.5.) ϕ ; (.5.) si ϕ aceasta este o ecuaţie cu variabile separate a cărei soluţie este (vezi..) ue C este o costată e itegrare. ϕ C ta U (.5.4) ϕ C ta 76

76 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi A. CUPOLA PARABOLICĂ. Dacă a este raza e curbură la creştetul paraboloiului avem evie r a ta ϕ şi r ϕ a cos ϕ astfel îcât ecuaţia (.5.) U U ϕ si ϕ U cos ϕ si ϕcos Ea mai poate fi scrisă sub forma ϕ. (.5.5) si ϕ U cos U ϕ cos si ϕ ϕ ϕ cos ceea ce sugerează ouă soluţii particulare U U ± cos ϕ. Di acest puct sut posibile ouă mouri e rezolvare: i) Itroucem otaţia v U cos ϕ şi ecuaţia (.5.6) evie ( v ) v ϕ cos ϕsi ϕ care este o ecuaţie cu variabile separabile e acelaşi tip ca (.5.). e ue Putem scrie v ϕ v si ϕ (.5.6) ϕ (.5.7) î fial avem v c ta c ta ϕ ; ϕ ue c este o costată arbitrară. c ta ϕ U cos ϕ (.5.8) c ta ϕ 77

77 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie ii) O altă posibilitate care uce îsă la calcule mai complicate este aceea e a folosi faptul că ecuaţia (.5.6) este e tip Riccati şi îi cuoaştem ouă soluţii particulare. Aplicâu-i schimbarea e fucţie obţiem U v cosϕ (.5.9) v si ϕ v ϕ cos ϕ si ϕ cos ϕ si ϕ cos v ϕ (.5.) eci o ecuaţie e tip Beroulli cu α (vezi..7). Notâ z v rezultă petru oua fucţie ecuoscută z ecuaţia lieară eomogeă e oriul I z si ϕ z ϕ cos ϕ si ϕ cos ϕ si ϕ cos (.5.) ϕ care poate fi rezolvată cu metoa prezetată î..6. Soluţia geerală a ecuaţiei omogee asociate este c z ( ta ϕ) cos ϕ iar o soluţie particulară a ecuaţiei eomogee se poate etermia folosi metoa variaţiei costatelor. Obţiem î fial Revei la v şi apoi la U eucem c z ( ta ϕ). cos ϕ cos ϕ U c cosϕ ( taϕ) K cosϕ K ( taϕ) ( taϕ) c cosϕ cosϕ c ( taϕ) ( taϕ) (.5.) 78

78 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi ue am otat K c. Se vee cu uşuriţă ca formele (.5.8) şi (.5.) ale soluţiei sut ietice. Observaţie. O posibilitate e a itegra ecuaţia (.5.) apare atuci câ coeficieţii satisfac coiţia (..) aică e ue rezultă r ϕ r cot ϕ cos ϕ r ϕ r (.5.) si ϕ r ϕ cos ϕ (.5.4). r si ϕ După cum se vee această coiţie este satisfăcută petru cupola sferică( r si ϕ). a Î cazul mai geeral (..4) ecuaţia Riccati poate fi itegrată acă eistă ouă costate a b care să u fie simulta ule astfel îcât r r a ab cot cos ϕ b (.5.5) ϕ r ϕ r ϕ si ϕ ceea ce revie la r b ab cos ϕ cot ϕ. (.5.6) r ϕ a ab cos ϕ Aplicaţia.5.4. Mişcarea uei rachete pritr-u or e praf cosmic (D. Comăescu I. Caşu) Problema fizică.o rachetă cu masa costată m se mişcă î urma uui impuls iiţial pritr-u or e praf cosmic. Acesta acţioează asupra rachetei cu o forţă e frecare F f e forma. Pe baza atelor eperimetale s-a ajus la cocluzia că forţa e frecare este 79

79 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie F f µ ( v ) v ue v este viteza iar µ :[ ) [ ) este o fucţie cotiuă. Datorită simetriei problemei mişcările rachetei cu u impuls iiţial sut rectiliii. Alegem o astfel e mişcare a rachetei şi u reper cu origiea î poziţia iiţială a rachetei şi cu sesul pozitiv at e viteza iiţială a acesteia. Notăm cu v compoeta vitezei pe aa e mişcare şi cu v viteza iiţială. Pe baza teoremei impulsului a epresiei forţei e frecare şi a alegerii reperului se obţie moelul matematic al evoluţiei vitezei rachetei m v µ ( v) v v() v. Oată etermiată viteza v a rachetei se poate etermia mişcarea acesteia ca soluţie a problemei Cauch v (). a) Cazul frecării liiare Î situaţia î care orul e praf cosmic este rarefiat forţa e frecare poate fi bie aproimată pritr-o fucţie liiară; aică fucţia µ este costată. Itroucem otaţia µ m µ. Evoluţia vitezei rachetei capătă forma v µ v v() v Avem o problemă Cauch petru o ecuaţie ifereţială liiară a cărei soluţie este (vezi..6) v( t) v ep( µ t). 8

80 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Î figura.5.8 este prezetată simularea vitezei rachetei petru o viteză iiţială egală cu m / s coeficiet e frecare µ egal cu s şi masa egală cu kg. Mişcarea rachetei este soluţia problemei Cauch care are epresia (vezi..6) v ep( µ t) () t v ( ) ( ep( µ t)) µ. Figura.5.8. Viteza rachetei î cazul frecării liiare Figura.5.9. Mişcarea rachetei î cazul frecării liiare Iterpretare fizică. Î figura.5.9 este prezetată simularea mişcării rachetei petru valorile parametrilor şi coiţiei iiţiale cosierate mai sus. Aalizâ epresiile vitezei şi mişcării remarcăm următoarele: viteza este escrescătoare tizâ spre câ t ; 8

81 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie mişcarea este o fucţie mărgiită ceea ce emostrează că racheta u poate ajuge î coiţiile ate mai eparte e o istaţă maimă egală cu b) Cazul frecării eliiare e forma µ ( v) µ v α α > µ > v µ. Observaţii eperimetale au cous la moele matematice ale frecării e forma prezetată î această secţiue. Evoluţia vitezei rachetei capătă forma µ v v m v() v α Avem o problemă Cauch petru o ecuaţie ifereţială cu variabile separabile a cărei soluţie este α µ α v( t) ( v α t). m Î coiţiile acestui caz observăm că v( t). Petru etermiarea mişcării rachetei trebuie să aalizăm ouă situaţii. b) α. t Pritr-o itegrare irectă eucem că mişcarea rachetei este b) α. t Mişcarea rachetei este ată e m µ ( ) l( t ) µ v m m µ α m ( t) ( t v ) v µ α µ α α α α α ( ) m ( ) Iterpretare fizică. Aalizâ epresiile mişcării rachetei observăm că mişcarea este mărgiită acă α < şi emărgiită acă α... 8

82 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Î figurile prezetăm simulări umerice ale vitezei şi mişcării rachetei î cazurile α < α > şi respectiv α. Figura.5.. Viteza rachetei î cazul frecării eliiare cu α < Figura.5.. Mişcarea rachetei î cazul frecării eliiare cu α < Figura.5.. Viteza rachetei î cazul frecării eliiare cu α > Figura.5.. Mişcarea rachetei î cazul frecării eliiare cu α > 8

83 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Figura.5.4. Viteza rachetei î cazul frecării eliiare cu α Figura.5.5. Mişcarea rachetei î cazul frecării eliiare cu α Î toate simulările făcute am utilizat următoarele valori ale parametrilor şi coiţiei iiţiale: α α µ şi v / m kg kg m s m s. Aplicaţia.5.5 (M.V.Soare [9]) Problema fizică (problema lui Cale 857). Să se stuieze mişcarea uui uui corp soli e greutate P care se eplasează pe u pla îcliat cu ughiul α fii legat e u laţ îfăşurat fără frecare î A (figura.5.6). e oriul I Moel matematic. Aplicâ teorema mometului se obţie ecuaţia ifereţială î care P v g t p g ( v v ) X (.5.7) P / g este masa totală a sistemului mecaic la mometul t g fii acceleraţia gravitaţiei p / g este acumularea e masă X este forţa eterioară v viteza la 84

84 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi mometul t iar v este viteza iiţială a masei aiţioale. Ecuaţia (.5.7) reprezită moelul uui sistem mecaic e masă variabilă. Fie q greutatea laţului pe uitatea e lugime; î acest caz petru orice eplasare a greutăţii P masa totală î mişcare va fi Observăm că P P q. (.5.8) P p qv. (.5.9) t Figura.5.6. Sistem mecaic e masă variabilă Porţiuea îfăşurată a laţului fii î repaus putem cosiera că viteza iiţială a masei aiţioale este ulă ( v ). Forţa eterioară X este compoeta upă irecţia plaului îcliat a forţei P aşa îcât ( P q) si α X. Î felul acesta ecuaţia (.5.7) capătă forma v P P v q g t t ( P ) si. α Soluţie. Ecuaţia care guverează feomeul este eci 85

85 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie găsim t ( Pv) Pg si α ( P q) g si. α Îmulţi la stâga cu Pv şi la reapta cu ( P q) t ( Pv ) ( P q) si α C. (.5.) şi apoi itegrâ g (.5.) q Iterpretare fizică. Dacă amitem că petru t sistemul mecaic este î repaus la partea superioară a plaului îcliat atuci i coiţia ( ) rezultă că ( g / q) α C si P ( P q) ( P q) iar pătratul vitezei este at e ( P q) ( P q) g P g P q v si α si α. (.5.) q Î cazul particular P (laţul cae liber) se obţie e ue g v si α (.5.) t apoi g si αt ; aşa îcât ( ( ) ) 6 g si αt C g g g ( t) t si α v( t) t si α a( t) si α (.5.4) 6 mişcarea elemetelor laţului fii uiform accelerată. 86

86 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Aplicaţia.5.6 (M.V.Soare [9]) Problema fizică. Să se etermie forma e echilibru a uui fir elastic suspeat ître ouă pucte avâ aria secţiuii A şi moulul e elasticitate al materialului E. Va fi stuiat cazul greutăţii proprii a firului mg [68]. Moel matematic. Fie S efortul î fir şi compoetele sale upă aele O şi O: S s S s respectiv (figura.5.7). Î starea eformată a firului ecuaţiile e proiecţie pe cele ouă ae au S (.5.5) s s S s s S g EA (.5.6) ue g este greutatea proprie a firului pe uitatea e lugime (se ia masa egală cu uitatea). Di (.5.5) rezultă şi itroucâ î (.5.6) obţiem s S S cost S S (.5.7) s S s S s s EA g. (.5.8) Ţiâ seama că s rezultă ecuaţia ifereţială elieară e oriul I Soluţie. Notăm S S EA g pşi cosierăm p ca variabilă iepeetă; obţiem. (.5.9) p S g S EA p. (.5.) 87

87 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Figura.5.7. Deformarea uui fir elastic suspeat ître ouă pucte Pri itegrare rezultă ( p p ). S S p l C (.5.) g EA Deoarece petru avem p eucem C şi Dacă îmulţim (.5.) cu ( p ). S S p l p (.5.) g EA p rezultă p S g S EA p p p. (.5.) Pri itegrare eucem S S p p C g EA Deoarece petru avem p rezultă C şi eci 88. S S p p. (.5.4) g EA Relaţiile (.5.) şi (.5.4) costituie represetarea parametrică a fibrei eformate. Se vee că atuci câ ecuaţia lăţişorului. EA (cazul firului ietesibil) se regăseşte

88 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Efortul S poate fi etermiat itr-o coiţie geometrică legată e lugimea totală a firului. Aplicaţia.5.7 (M.V.Soare [9]) Problemă. Cosierăm starea e eforturi e membraă simetrică itr-o placă subţire e rotaţie supusă la o îcărcare eterioară e compoete Y upă tageta la meriia respectiv Z upă ormala la suprafaţa meiaă. şe cer epresiile geerale ale eforturilor meriiae şi ielare N N (figura.5.8). ϕ θ Moel matematic. Ecuaţiile e echilibru uui elemet e placă sut ϕ ( r ) N r cos ϕ Yr r N (.5.5) ϕ θ N r ϕ N r θ Z. (.5.6) Variabila iepeetă a problemei este ughiul meriia ϕ măsurat î ses irect orar e la creştet θ fii ughiul e-a lugul cercului paralel. Alte mărimi fizice implicate î moel sut: raza r a cercului paralel raza e curbură ( / cos ϕ)( / ϕ) r a curbei meriiae (prima rază e curbură pricipală a suprafeţei r meiae şi r / si ϕ a oua rază e curbură pricipală a suprafeţei meiae. r Soluţie. Deoarece ecuaţia (.5.6) este algebrică avem e fapt o sigură ecuaţie ifereţială î epresia N ϕ pe care o obţiem elimiâ pe N r N θ etermiat i (.5.6) cu θ N ϕ Zr. (.5.7) r 89

89 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Figura Eforturile e membraă îtr-o placă subţire e rotaţie Itroucâ î (.5.5) eucem ϕ ( N r ) N r cosϕ Yr r Zr r. ϕ ϕ Ţiâ seama e relaţiile itre razele r şi r rezultă ϕ Notâ acum ( ) ( N r si ϕ) ( Y si ϕ Z cosϕ) r. ϕ r ϕ N ϕ si ϕ obţiem petru o ecuaţie ifereţială oriară e oriul I lieară şi eomogeă stuiată la..6 Itegrâ-o rezultă ϕ C fii o costată arbitrară. r ( Y si ϕ Z cos ϕ) r r N ϕ r si ϕ Efortul ielar se obţie irect i (.5.7) N ( Y si ϕ Z cos ϕ) r r ϕ C ( Y si ϕ Z cos ϕ). (.5.8) θ Zr r r ϕ C. r si ϕ r r 9

90 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Costata C poate fi etermiată itr-o coiţie impusă la margiea superioară ( ϕ ϕs ) sau la creştet ( ϕ ). Aplicaţia.5.8 (M.V.Soare [9]) Problemă. Se cere să se etermie starea e tesiue ormală ca fucţie e timp petru u corp Mawell. Moel matematic. Petru eplicarea relaării se alcătuieşte moelul Mawell pri combiarea uui moel Hooke (elastic) şi a uui moel Newto (vâscos) (figura.5.9 a)). Starea e tesiue rezultă ca o sumă a stărilor e eformaţie a celor ouă corpuri; astfel tesiuea totală ε cost este compusă i eformaţia elastică a arcului ată e ue E este moulul logituial e elasticitate şi i eformaţia vâscoasă ε vascos. Pri urmare (figura.5.9 a)) ε elastic σ / E (.5.9) ε σ E ε vascos Derivâ î raport cu timpul t ( ε& ) obţiem Ştii că petru corpul Newto subzistă relaţia 9. σ & ε & vascos. (.5.4) E ε& vascos σ η î care pri η s-a otat coeficietul e vâscozitate iamică care este costat. Astfel (.5.4) evie σ& E σ. (.5.4) η

91 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Soluţia şi iterpretarea ei fizică. Ecuaţia ifereţială (.5.4) este lieară şi omogeă aică e tipul celor stuiate î..6. Separâ variabilele obţiem ceea ce implică σ E t σ η ue C este o costată arbitrară. E l σ lc t η Soluţia geerală a ecuaţiei (.5.4) este eci σ Ce Presupuem îepliită coiţia iiţială σ E η t ( ) σ. Rezultă C σ. Soluţia problemei Cauch cosierate este. σ σ R t η e. (.5.4) Figura a) Moelul Mawell. b) Variaţia lui σ î fucţie e t Variaţia lui σ ca fucţie e t este ată î figura.5.9 b). Graficul reprezită o epoeţială escrescătoare care amite ca asimptotă aa timpului. 9

92 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Aplicaţia.5.9 (M.V.Soare [9]) Problema fizică. U fir trece peste u scripete circular fi e rază R (figura.5.) ître fir şi scripete luâ aştere o forţă e coeficiet e frecare e aluecare f. Dacă la ua i etremităţile firului P acţioează o tesiue T ce tesiue T trebuie să se eercite la cealaltă etremitate P petru ca firul să îceapă să aluece pe scripete? Moel matematic. eoarece scripetele este rugos reacţiuea R ( s) s asupra uui elemet e fir va avea pe lâgă o compoetă ormală N ( s) s şi ua tageţială Φ ( s) s umită forţă e frecare e aluecare. Di echilibrul uui elemet e fir (figura.5.) se obţie ecuaţia vectorială mai putem scrie R( s) T s ; (.5.4) s ( Tτ ) Nν fnτ. (.5.44) Figura.5.. Echilibrul uui fir pe u scripete Î (.5.44) N este reacţiuea ormală e-a lugul vectorului uitate ν iar fn este reacţiuea tageţială la limită e-a lugul vectorului uitate τ. Figura. 5.. Eforturile acţioâ pe arcul s 9

93 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Î efiitiv utilizâ formula lui Freet ecuaţii care moelează feomeul τ / s ν / R putem scrie sistemul e T fn s T N. R (.5.45) Soluţie. Elimiâ reacţiuea ormală N eucem următoarea ecuaţie ifereţială priară e oriul I lieară şi omogeă ( s Rθ ) ( θ) T θ ft. (.5.46) Coform ipotezei ecuaţia trebuie itegrată cu coiţia iiţială T ( ) T. (.5.47) Cu metoa e la..6 obţiem imeiat soluţia geerală a ecuaţiei sub forma î care C este o costată arbitrară. (.5.47) fθ T Ce (.5.48) Coiţia iiţială couce la etermiarea soluţiei problemei Cauch (.5.46) T fθ T e. (.5.49) Iterpretare fizică. Petru θ α putem scrie fα T T e ue s-au pus î evieţă mărimile tesiuilor la capetele firului. Echilibrul poate avea loc şi petru T < T ; î acest caz forţa e frecare e aluecare îşi schimbă sesul şi rezultă T fα T e. Se obţie astfel coiţia e echilibru a lui Euler e fα T < T < e fα. (.5.5) 94

94 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Dacă raportul T /T este î afara acestiu iterval firul îcepe să aluece. Aplicaţia.5. (M.V.Soare [9]) Problemă. Să se etermie starea e eformare ε( t) Kelvi atât î cazul geeral cât şi î cazul particular ε ( ). ε petru u moel Voigt- Moel matematic. petru eplicarea feomeului e fluaj se costruieşte moelul Voigt-Kelvi pri combiarea î paralel a uui corp Hooke şi a uui corp Newto (figura.5. a). Starea e eformaţie rezultă pri îsumarea stărilor e tesiue ale celor ouă corpuri σ σ σ î care σ reprezită tesiuea fială presupusă cuoscută; corpului Hooke iar σ Eε corespue to σ ηε& moelului Newto. Î ultimele ouă relaţii E este moulul e elasticitate al materialului (costat) η este coeficietul e vâscozitate iamică (costat) iar Rezultă astfel relaţia ε& ε / t este viteza e eformare. σ Eε ηε& care se mai poate scrie sub forma Î coseciţă starea e eformare ε( t) E σ ε& ε. (.5.5) η η ε î cazul uui moel Voigt-Kelvi trebuie să satisfacă ecuaţia ifereţială oriară e oriul I (.5.5). Soluţie. Ecuaţia (.5.5) este lieară şi eomogeă e tipul celor stuiate la E..6. Ecuaţia omogeă asociată ε& ε are soluţia geerală η ε E t homog Ce η. (.5.5) 95

95 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Deoarece termeul liber este o costată putem căuta o soluţie particulară a ecuaţiei eomogee irect sub forma uei costate ε part K. Îlocui î (.5.5) eucem ε part σ / E şi eci soluţia geerală a ecuaţiei (.5.5) este ε ( t) Ce E t η σ E. (.5.5) Figura.5.. a) Moelul Voigt-Kelvi. b) Variaţia lui ε î fucţie e t Aceasta este epresia geerală a stării e eformaţie î cazul uui moel Voigt- Kelvi. Petru a etermia soluţia care satisface coiţia Cauch ulă luăm t î (.5.5); rezultă σ ε E e E t η. (.5.54) Iterpretare fizică. Variaţia lui ε ca fucţie e t este reată î figura.5. b). Graficul fucţiei amite o asimptotă ε σ / E paralelă cu aa timpului; aceasta îseamă că eformaţia se amortizează î timp. Tageta î origie este Fucţia e timp ε & σ / η. se umeşte fucţie e fluaj. ϕ ( t) e E t η 96

96 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi Aplicaţia.5. (M.V.Soare [9]) Problemă. Să se etermie eplasările meriiae w petru o placă subţire e rotaţie. Caz particular: cupola sferică e rază a supusă acţiuii propriei greutăţi g. Moel matematic. Deplasările meriiae ale uei plăci subţiri e rotaţie sut escrise î teoria e membraă e ecuaţia ifereţială oriară (Flügge) w w cot ϕ f ϕ ( ϕ) (.5.55) ue φ este variabila ughiulară (ughiul meriia) iar f ( ϕ) este fucţie e îcărcarea eterioară. Soluţie. Ecuaţia (.5.55) este e oriul I lieară şi eomogeă (vezi..6). Ecuaţia omogeă asociată amite soluţia geerală w cot ϕ ϕ w (.5.56) w C si ϕ. homog Determiăm o soluţie particulară a ecuaţiei eomogee pri metoa variaţiei costatelor căutâ-o sub forma Îlocui î (.5.55) obţiem Î cazul cupolei sferice avem 97 ( ϕ) ϕ w C si. part ( ϕ) ϕ f w part si ϕ. si ϕ Deci soluţia geerală a ecuaţiei (.5.55) este ( ϕ) f w ( ϕ) C ϕ si ϕ C R. (.5.57) si ϕ

97 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie ( ν) ga f ( ϕ) cosϕ (.5.58) Eδ cosϕ ue E reprezită moulul elasticităţii logituiale ν este raportul Poisso (coeficietul e cotracţie trasversală a materialului) iar δ este grosimea plăcii presupusă costată. Î cazul particular al îcărcării (.5.58) îlocuim irect epresia lui f î (.5.57). După itegrare obţiem epresia ughiul ( ν) ga w ( ϕ) δ l E cos ϕ ( cos ϕ) si ϕ C si ϕ C R. (.5.59) Determiăm costata C i coiţia ca petru cercul e rezemare efiit pri ϕ ϕi eplasările meriiae să fie ule ( ) w. (.5.6) ϕ i Aceasta este o coiţie Cauch care împreuă cu ecuaţia (.5.55) formează o problemă Cauch (sau iiţială). Deucem ga C ( ν) Eδ l ( cos ϕ ) Î fial soluţia problemei Cauch capătă forma i cos ϕ i. (.5.6) w ( ϕ) ( ν) ga Eδ cos ϕ l cos ϕi cos ϕ cos ϕ i si ϕ. Aplicaţia.5. (M.V.Soare [9]) Problema fizică. Chiuveta uui lac e acumulare este asimilată cu u paralelipe avâ aria secţiuii trasversale (orizotale) A. Evacuarea apei spre aval se face cu ajutorul uui eversor ebitul acestuia fii evaluat cu formula Q Ch ue C este o costată iar h este sarcia eversorului efiită î schema e calcul i figura 98

98 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi.5.. Se cere să se stuieze variaţia î timp a ivelului h al apei i recipiet acă ebitul afluet t avem h ): ue Q şi T sut costate. Q e se prezită î următoarea variată (iiţial vasul este gol aică petru Q e Q for t [ T ] for t > T Moel matematic. Petru a euce ecuaţia ifereţială care guverează mişcarea observăm că î itervalul e timp t suma itre volumul acumulat şi cel evacuat este egală cu volumul afluet A h Ch t Q t. (.5.6) e Figura.5.. Chiuveta uui lac e acumulare Soluţie. Petru primul iterval vom scrie ecuaţia sub forma Itroucâ otaţia Q e Q e Ah Ch C β t. (.5.6) schimbarea e fucţie couce la ecuaţia cu variabile separate (vezi..) h h (.5.64) 99

99 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie t C A β. (.5.65) Descompuâ fracţia preceetă î fracţii simple β β β β β β β β β β β β β β ecuaţia ifereţială evie t C A β β β β β β β β. Itegrâ obţiem ( ) ( ) arcta l l t t C A β β β β β β ue t este o costată e itegrare. Soluţia preceetă se mai scrie arcta l t t C A β β β β β β ; revei la fucţia iiţială h găsim arcta l t t h h h h C A β β β β β β. (.5.66) Petru t avem h eci arcta t C A β. Î fial obţiem

100 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi A l Cβ La mometul h β β t T h β h arcta h t t h β [ T ] (.5.67) evie o ecuaţie trasceetă. (.5.67) h h h A T β T β T T C l arcta β β ht h (.5.68) T β care etermiă ivelul h T al apei. Petru t > T avem Q şi ecuaţia (.5.6) ia forma mai simplă e sau A h Ch t (.5.69) Itegrâ obţiem A C h h t. î care A h C t t (.5.7) t este o costată e itegrare; ea se etermiă i coiţia ( T ) Astfel eucem soluţia fială A h C T T t. h h. Rezultă T ue ( h h ) T t T A t T C h h T C A ( t T ) t T.

101 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Aplicaţia.5. (M.V.Soare [9]) Problema fizică. U recipiet avâ aria secţiuii trasversale (orizotale) A are pe fu u orificiu care poate evacua u ebit Q Ch ue C este o costată iar h este aâcimea apei i recipiet. Se cere să se stuieze variaţia î timp a ivelului h al apei i recipiet acă ebitul afluet vasul este gol aică petru t avem h ): a) Q e b) Q e Q Q Q 4t T for t [ T ] for t > T 4t T ue Q şi T sut costate. Q e se prezită î următoarele variate (iiţial T for t 4 T T for t 4 Î figura.5.4 a) se ă schema e calcul iar î figura.5.4 b) sut ate cele ouă legi e variaţie a lui Q e. Moel matematic. Petru a obţie ecuaţia ifereţială care guverează mişcarea observăm că îtr-u iterval e timp t suma itre volumul acumulat şi cel evacuat este egală cu volumul afluet h A Ch Qe. (.5.7) t Aceasta este o ecuaţie ifereţială e oriul I elieară şi eomogeă. Soluţie. Cu schimbarea e fucţie ecuaţia (.5.7) evie h h (.5.7)

102 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi A C Qe (.5.7) t şi putem trece la eamiarea cazurilor a) b) i euţ. a) Petru t [ T ] ecuaţia (.5.7) este cu variabile separate (vezi..) Itroucâ otaţia Q C β A t. Q C soluţia geerală a ecuaţiei preceete evie C β l( β ) ( t τ ) A ue τ este o costată e itegrare; revei la variabila h soluţia preceetă se scrie Q Q C h l h ( t τ ). (.5.74) C C A Itroucâ coiţia iiţială ( h petru t ) rezultă astfel îcât (.5.74) evie A Q Q τ l C C C Q Ch C h l t t [ T ] C Q. (.5.75) A Î particular la mometul h T t T relaţia (.5.76) etermiă îălţimea h T. Petru itervalul t > T avem Q Ch T C l T ; (.5.76) C Q A ecuaţia ifereţială (.5.7) ia forma

103 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie sau h A Ch t cu soluţia geerală h A Ct h Ah Ct τ (.5.77) î care τ este o costată e itegrare ce urmează a fi etermiată i coiţia e cotiuitate; petru t T trebuie să avem h ht etermiat e relaţia (.5.76) Figura.5.4. Recipiet cu orificiu: a)schema e calcul; b) legile e variaţie ale lui Q e Ah T CT τ. (.5.78) Itroucâ epresia (.5.78) a lui τ î (.5.77) obţiem care etermiă eplicit ivelul h Ah Ct AhT CT C h ht > A ( t T ) t T. (.5.79) 4

104 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi 5 Timpul t poate fi eplicitat i (.5.7) şi (.5.75) sub forma [ ] ( ) >. petru petru l T t h h C A T T t Q Ch C Q h C A t T b) Ecuaţia ifereţială (.5.7) evie T t Q Ch t h A 4 petru primul iterval; cu schimbarea e fucţie u t h ecuaţia se mai scrie ( ) T t Q u Ct u t tu A 4. Simplificâ cu t rezultă ecuaţia cu variaile separate t t Au u C T Q u A 4 eci ( ) K u F K Au u C T Q u A t l l 4 l ue K este o costată pozitivă arbitrară. Primitiva F i membrul rept se scrie astfel ( ) ( )( ) l l 4 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v A v v Av T Q Cv Av v Av u F

105 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie 6 î care u v şi v v sut răăciile ecuaţiei algebrice 4 T Q Cv Av şi sut îtoteaua reale. Î coseciţă 4 6 < > ± v v A A T Q C C v. Soluţia capătă forma K t v t h v v v v t h v v v l l l l sau ( ) ( ) K t v h t v h v v î care K este o ouă costată arbitrară. Dacă ( ) h pe primul iterval rezultă v t h. Petru cel e al oilea iterval vom folosi aceeaşi metoă. Î ecuaţia T t Q Ch t h A 4 vom face schimbarea e fucţie ( ) u T t h 4. Deucem T t Q u T t C u T t u T t T A Simplificâ cu ( ) T 4t / obţiem i ou petru u o ecuaţie ifereţială cu variabile separabile

106 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi sau 8A 4t u u C u Q T T t t 4t T u Q C u Aplicaţia.5.4 (M.V.Soare [9]). 8A u T Problema fizică. Să se stuieze variaţia vitezei apei pe o couctă simplă alimetată itr-u rezervor la eschierea bruscă a vaei (figura.5.5). Moel matematic. Scrii relaţia lui Beroulli ître rezervor şi vaă rezultă petru cazul mişcării epermaete (regim trazitoriu) H v L v ( a ξ) (.5.8) g g t petru cazul mişcării permaete (regim stabilizat) ue H v ( a ) (.5.8) g ξ v cost este viteza e regim permaet. Soluţie. Scăzâ relaţia (.5.8) i (.5.8) rezultă ecuaţia ifereţială a ξ g simplificâ cu g şi itroucâ otaţia L v ( v v ) g t ; putem scrie a ξ g H B (.5.8) L L v 7

107 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie v Bt v v v v v v v v. (.5.8) Figura.5.5. Schema geometrică a rezervorului şi a couctei Soluţia geerală a ecuaţiei cu variabile separate (.5.8) este (vezi..) v v t l C (.5.84) Bv v v ue C este o costată e itegrare. Valoarea ei se etermiă i coiţia iiţială ( ) v ; it rezultă C aşa îcât avem v v vl t l Bv v v gh sau eprimâ viteza v ca fucţie e timp v v v (.5.85) v gh v v tah t. (.5.86) vl Aplicaţia.5.5 (M.V.Soare [9]) Problema fizică. Să se stuieze forma suprafeţei libere a apei la curgerea pritr-u strat permeabil aşezat pe u pat impermeabil îcliat cu pata i. Se ştie că viteza e curgere aparetă v îtr-o secţiue curetă (ebitul raportat la îtreaga secţiue) este 8

108 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi proporţioală cu pata suprafeţei libere a apei i acea secţiue (legea lui Darc) Caz particular: i. Moel matematic. Schema e calcul este ată î figura.5.6 fii itrouse următoarele otaţii: q ebitul specific aică ebitul care se scurge pe o fâşie e e lăţime uitate; z cota patului impermeabil faţă e u pla orizotal e referiţă; h cota suprafeţei libere a apei măsurată faţă e patul impermeabil îcliat; h aâcimea costată i mişcarea uiformă. Cu aceste otaţii i z s eprimă pata patului impermeabil iar j H s este pata suprafeţei libere ue H z h. (.5.87) Petru stabilirea moelului matematic se aplică legea lui Darc stablită eperimetal ître aii lege care stă la baza tuturor calculelor e ifiltraţie. Heri Darc a escoperit pe probe e isip proporţioalitatea ebitului ifiltrat Q cu secţiuea e curgere Ω cu graietul hiraulic I şi cu u coeficiet costat couctivitatea hiraulică k: Raportul Q ΩIk. Q / Ω are imesiui e viteză şi eprimă viteza e ifiltraţie v. Legea lui Darc capătă astfel forma cuoscută v ki. Di legea lui Darc rezultă î acest caz k fii costata e proporţioalitate. v kj (.5.88) 9

109 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Figura.5.6. Curgerea pritr-u strat permeabil Soluţie. Viteza poate fi scrisă î ouă mouri: q H v kj k h s k ( z h) s Di al oilea şi i ultimul membru se euce z k s h k s h ki k. s h i s q kh. (.5.89) Î cazul mişcării uiforme avem v v q h şi j i eci q kih. Îlocui această epresie a lui q î (.5.89) se obţie q h ki ; rezultă sau separâ variabilele Itegrâ rezultă h h i s h h h is h h. (.5.9) ( h h) is C h h l (.5.9)

110 Ecuaţii ifereţiale oriare e oriul îtâi ue C este o costată e itegrare. Valoarea ei poate fi etermiată e eemplu acă se cuoaşte cota suprafeţei libere h h îtr-o secţiue s s ; relaţia (.5.9) evie î acest caz ( h h ) is C h h l. (.5.9) Scăzâ (.5.9) i (.5.9) rezultă î fial sau eplicitâu-l pe s h h h h ( s ) (.5.9) h l i s h h h h h h h s s l. (.5.94) i i h h Eplicitarea lui h este mai ificilă eoarece (.5.9) este o ecuaţie trasceetă care poate fi rezolvată umai umeric. Î cazul particular i ecuaţia (.5.89) ia forma mai simplă şi separâ variabilele obţiem h s q kh q hh s. k Scrii ca şi î cazul preceet că petru s s avem h h rezultă pri elimiarea costatei C sau ( h h ) k s s (.5.95) q q h h ( s s ). (.5.96) k Î acest caz suprafaţa liberă este u ciliru parabolic.

111 Ecuaţii ifereţiale oriare cu aplicaţii î mecaică fizică şi igierie Aplicaţia.5.6 (M.V.Soare [9]) Problema fizică. Se cere să se stabilească ecuaţia curbei meriiae a suprafeţei libere a apei la curgerea pritr-u strat permeabil cu pat orizotal către u puţ circular (figura.5.7). Se va amite că puţul perfect ajuge pâă la stratul impermeabil e bază. Figura.5.7. Suprafaţa liberă a apei la curgerea pritr-u strat permeabil Moel matematic. Problema este aial simetrică astfel îcât suprafaţa liberă a apei va fi o suprafaţă e rotaţie efiită pri curba sa meriiaă. Vom utiliza următoarele otaţii; Q ebitul etras i puţ; r raza puţului; r raza uui ciliru e îălţime curetă h pri care se scurge apa; v k h r viteza (etermiată e legea lui Darc) ue k este o costată e proportioalitate; h aâcimea liberă a apei î puţ. Petru stabilirea moelului matematic se va eprima faptul că ebitul etras i puţ este egal cu ebitul care se scurge pri stratul permeabil către puţ. Astfel putem scrie