Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58
Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας των µαθηµατικών ο οποίος ασχολείται µε τη µελέτη διανυσµάτων, διανυσµατικών χώρων, γραµµικών απεικονίσεων και συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων µέσω των πινάκων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 2/58
Περιεχόµενα του µαθήµατος 1. Πίνακες & ορίζουσες 2. Γραµµικά συστήµατα 3. ιανύσµατα 4. Αναλλοίωτα µεγέθη πινάκων Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 3/58
1. Ορισµοί 2. Πράξεις πινάκων 3. Αντιστροφή πίνακα 4. Όµοιοι πίνακες 5. Ορίζουσες και ιδιότητες οριζουσών Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 4/58
Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Επίλυση Crammer 3. Επίλυση Gauss 4. Οµογενές σύστηµα 5. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 6. Επίλυση µε αντίστροφο πίνακα Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 5/58
Κ3: ιανύσµατα 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 6/58
Κ4: Αναλλοίωτα µεγέθη πινάκων 1. Ορισµοί 2. Εύρεση ιδιοτιµών 3. Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 7/58
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πίνακες & Ορίζουσες Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 8/58
Πίνακαςονοµάζεται κάθε ορθογώνια διάταξη mxn στοιχείων της µορφής α11 α12... α1 n α21 α22... α2 n A=... αm 1 αm 2... α mn ή α11 α12... α1 n α21 α22... α 2n A=... αm 1 αm 2... αmn m (=πλήθοςγραµµών), n (=πλήθοςστηλών) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 9/58
Τα α11, α12,..., αmn πρέπει να είναι οµοειδή δηλ. να ανήκουν στο ίδιο σύνολο. Στα πλαίσια του δικού µας µαθήµατος είναι πραγµατικοίεκτός αν αναφέρεται ρητώς κάτι διαφορετικό. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 10/58
Αν α R, i=1,..., m, j=1,...,nτότε λέµε i, j ο πίνακας ανήκει στο σύνολο Μόλων των πινάκων µεγέθους mxn και συµβολίζουµε A Μ mxn ( R) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 11/58
Αν m = n τότε ο πίνακας ονοµάζεται τετραγωνικός πίνακας διάστασης n και συµβολίζουµε A ΜR n( ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 12/58
Ισότητα πινάκων: A= B aij = bij i, j υο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν ένα προς ένα όλατα αντίστοιχαστοιχεία στοιχεία τους ίσα βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 13/58
Πίνακας στήλη: S α 1 α 2 = αm Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 14/58
Πίνακας γραµµή: G= [ α α α ] 1 2... n Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 15/58
Πίνακας κλιµακωτός (ή τριγωνικός) άνω: K a α 11 α 12... α 1 n 0 α22... α 2n =... 0 0... αnn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 16/58
Πίνακας κλιµακωτός (ή τριγωνικός) κάτω: K k α 11 0... 0 α21 α22... 0 =... αn 1 αn2... αnn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 17/58
Μοναδιαίος τετραγωνικός πίνακας: 1 0... 0 0 1... 0 I=... 0 0... 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 18/58
Πρόσθεση/Αφαίρεση πινάκων: C= A± B cij = aij ± bij i, j α11 α12... α1 n b11 b12... b1 n α11± b11 α12± b12... α1 n± b1 n α21 α22... α 2n b21 b22... b 2n α21± b21 α22± b22... α2n± b 2n ± =......... αm 1 αm2... αmn bm 1 bm 2... bmn αm 1± bm 1 αm2± bm 2... αmn± bmn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 19/58
υο πίνακες µπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν µόνο όταν έχουν και οι δυοτις ίδιες διαστάσεις και µάλιστα το αποτέλεσµα έχει και αυτό τις ίδιες διαστάσεις. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 20/58
Παράδειγµα: 1 2 A 1 2 5 6 1 5 2+ 6 4 8 = 3 4 A+ B= + = = + 5 6 B = 7 8 3 4 7 8 3 7 4 8 10 4 1 2 5 6 1+ 5 2 6 6 4 A B= = = 3 4 7 8 3 7 4+ 8 4 12 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 21/58
Ιδιότητες πρόσθεσης: 1. Μεταθετική A+ B= B+ A 2. Προσεταιριστική A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. Ουδέτερο στοιχείο A+ 0 = 0 + A= A 4. Αντίθετο στοιχείο A + ( A ) = ( A) + A= 0 5. Ισοδυναµία A+ B= A+ C B= C Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 22/58
Εξωτερικός πολλαπλασιασµός : B= λa bij = λaij i, j α11 α12... α1 n λa11 λa12... λa1 n α21 α22... α 2n λa21 λa22... λa 2n λ =...... α α... α λa λa... λa m1 m2 mn m1 m2 mn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 23/58
Παράδειγµα: 1 2 A 1 2 7 1 7 2 7 14 = 3 4 λa= 7 = = 3 4 7 3 7 4 21 28 λ=7 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 24/58
Ιδιότητες εξωτερικού πολλαπλασιασµού: 1. 2. 3. 4. ( λ + µ ) A = λ A + µ A λ( A+ B ) = λa + λb λ ( µ A) = ( λµ ) A 1A= A ΠΡΟΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 25/58
Ιδιότητες εξωτερικού πολλαπλασιασµού: 5. 6. 7. 8. ΜΗ ΕΝΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 0 A= 0 λ 0 = 0 λa = λb A= B, λ 0 λ A = µ A λ = µ, A 0 ΜΗ ΕΝ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 26/58
Εσωτερικός πολλαπλασιασµός: A Μm xk ( R ), B Μk xn ( R ), C Μm xn ( R ) C= A B cij = a ipbpj, i, j k p= 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 27/58
Εσωτερικός πολλαπλασιασµός: α11 α12... α1 k b11 b12... b1 n α 21 α22... α 2k b21 b22... b 2n =...... αm 1 αm 2... αmk bk 1 bk 2... bkn α11 b11 + α12 b21 +... + α1 b1 α11 b12 + α12 b22 +... + α1 b 2... α11 b1 + α12 b2 +... + α1 b α21b 11+ α22 21 2 1 21 12 22 22 2 2 21 1 22 2 2 = b +... + α b α b + α b +... + α b... α b + α b +... + α b... α 1b 11+ α 2b21 +... + α b 1 α 1b 12+ α 2b22 +... + α b 2... α 1b 1 + α 2b2 +... + α b k k k k n n k kn k k k k n n k kn m m mk k m m mk k m n m n mk kn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 28/58
υο πίνακες µπορούν να πολλαπλασιαστούν εσωτερικά µόνον όταν το πλήθος των στηλών του πρώτου είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του δεύτερου. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 29/58
Παράδειγµα: 1 2 A 1 2 5 6 = 3 4 5 6 B= 7 8 A B= = 3 4 7 8 1 5+ 2 7 1 6+ 2 8 19 22 = = 3 5+ 4 7 3 6+ 4 8 43 50 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 30/58
Στον εσωτερικό πολλαπλασιασµό δεν ισχύει η µεταθετική ιδιότητα. A B B A Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 31/58
Παράδειγµα: ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ!!!! 2 1 2 1 3 2 6 1 4 + 1 7 5 A= 1 0 A B= = = 1 0 1 1 3+ 0 2 0 3 2 3 2 B = 1 1 3 2 2 1 6 2 3 0 4 3 B A + + = = = 1 1 1 0 2 1 1 0 1 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 32/58
υνάµεις πινάκων: 0 A = I 1 A = A Οι δυνάµεις µπορούν να 2 A = A A οριστούν µόνο σε 3 2 A = A A τετραγωνικούς πίνακες. n n 1 A = A A Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 33/58
Αντίστροφοςενός πίνακα ονοµάζεται ένας άλλος πίνακας ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί και από τις δυο µεριές µε τον αρχικό δίνει τον µοναδιαίο πίνακα. A 1 αντίστροφος του A 1 1 A A = A A= I Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 34/58
Αντίστροφο έχουν µόνο οι τετραγωνικοί πίνακες. 1 1 A A = A A= I Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 35/58
Μια εφαρµογή (άσκηση): 2 Έστω ο n n πίνακας Αγια τον οποίο είναι γνωστό ότι Α + 2Α= 0 Να λυθεί η εξίσωση Α Χ=Α Χ 2 2 Α + 2Α= 0 Α + 2Α+ I= I ( Α+ I) 2 = I ( Α+ I)( Α+ I) = I ( ) Άρα Α+ I 1 =Α+ I Επίσης Α Χ= Α Χ Α= Α Χ+Χ Α= ( Α+ I) Χ Χ= ( Α+ I) 1 Α ( ) 2 Χ= Α+ I Α Χ=Α +Α 2 2 Χ= Α Τέλος 2 Α + 2Α= 0 Α +Α+Α= 0 Α +Α= Α Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 36/58
Ο κοινός παράγοντας θέλει πολλή προσοχή. A B+ A C A B+ A B+ C A ( ) A B+ 1 ( ) ΛΑΘΟΣ!!!! A B+ C ( ) A B+ I ( ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 37/58
Μια ακόµη εφαρµογή (άσκηση): Έστω ο πίνακας AX = A+ I A Όµως Άρα οπότε 0 2 Α=. Να λυθεί η εξίσωση 2 0 2 2 A X= A + A 0 2 0 2 2 0 = 2 0 2 A = 2 A X= 4I X και 4I X= 4I+ A 4 0 1 0 0 4 = 4 = 4I 0 1 2 A + A= 4I+ A X 1 = I + 4 A = 1 0 1 0 2 0 1 + = 4 2 0 A X = A+ I 1 1 2 1 1 2 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 38/58
Όταν πολλαπλασιάζουµε πίνακες, προσέχουµε αν ο πολλαπλασιασµός είναι από αριστερά ή από δεξιά. A AX = A+ I 2 AXA= A + A ΑΠΟ ΕΞΙΑ 2 2 A X= A + A ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 39/58
Όµοιοι λέγονται δυο πίνακες A, B αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας 1 τέτοιος ώστε B = P A P P Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 40/58
Πίνακες όµοιοι µε έναν αρχικό πίνακα προκύπτουν αν σε αυτόν κάνουµε γραµµοπράξεις. γραµµικέςπράξεις στα στοιχεία των γραµµών Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 41/58
Παράδειγµα γραµµοπράξεων: 2 6 10 14 1 3 5 7 ( Γ1/2) Γ A= 1 4 2 0 1 1 1 4 2 0 1 10 12 14 1 10 12 14 ( ) Γ+Γ 1 2 Γ 2 1 3 5 7 0 7 7 7 1 10 12 14 ( ) Γ Γ Γ 3 1 3 1 3 5 7 0 7 7 7 0 7 7 7 ( ) Γ3 Γ 2 Γ 3 1 3 5 7 0 7 7 7 0 0 0 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 42/58
Κλιµακωτήµορφή ενός µη µηδενικού πίνακα ονοµάζεται ένας όµοιός του πίνακας για τον οποίον ισχύουν: 1. Οι µη µηδενικές γραµµές του είναι πάνω από τις µηδενικές 2. Το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο κάθε γραµµής είναι η µονάδα 3. Το πλήθος των µη µηδενικών στοιχείων κάθε µη µηδενικής γραµµής είναι µικρότερο από το πλήθος των µη µηδενικών στοιχείων της αµέσως προηγούµενης Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 43/58
Βαθµόςενός πίνακα ονοµάζεται το πλήθος των µη µηδενικών γραµµών της κλιµακωτής µορφής του. A rank A ( ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 44/58
Ένα παράδειγµα: 2 6 10 14 A= = 1 4 2 0 1 10 12 14 1 3 5 7 0 7 7 7 0 0 0 0 ( /7) Γ2 Γ 2 1 3 5 7 0 1 1 1 0 0 0 0 rank ( A) = 2 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 45/58
Ορίζουσα ονοµάζεται η γραµµική απεικόνιση : M ( ) Mn R R Ορίζουσα έχουν µόνο οι τετραγωνικοί πίνακες. Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι αριθµός. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 46/58
Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες a a A a a 11 12 = 21 22 2x2 a a 11 12 a11 a22 a12 a21 a21 a = 22 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 47/58
Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες ΕΠΙΛΕΓΩ ΟΠΟΙΑ ΗΠΟΤΕ ΓΡΑΜΜΗ ή ΣΤΗΛΗ a11 a12 a13 A= a21 a22 a 23 a31 a32 a 33 3x3 a a a 11 12 13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 21 22 23 11 12 13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 31 32 33 a a a = a a + a =... a a a ΕΝΑΛΛΑΞ ΠΡΟΣΗΜΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 48/58
A Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες a a a a...... a a a 1 a 2... a 11 12 1n 21 22 2n = n n nn nxn a a... a a a... a a a... a a a... a 11 12 1n 22 23 2n 21 23 2n 21 22 2n 1 a21 a22... a2 n a32 a33... a3 n a31 a33... a3 n a 1 31 a32... a n+ 3n 1 = a11 a12 +... + ( 1) a1 n =... a a... a a a... a a a... a a a... a n1 n2 nn n2 n3 nn n1 n3 nn n1 n2 nn 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 49/58
Ένα παράδειγµα: 2 5 7 3 4 6 4 6 3 6 3 4 = 2 5 + 7 = 2 3 5 3 5 2 5 2 3 2( 9+ 8) 5( 18 20) + 7( 12 15) = 2+ 190 189= 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 50/58
Ιδιότητες οριζουσών: Η ορίζουσα ενός άνω ή κάτω τριγωνικού πίνακα ισούται µε τογινόµενο των διαγώνιων στοιχείων του. 2 5 7 5 7 2 7 2 5 0 3 4 = 0 0 3 = 3 2 3 3 4 0 4 0 3 0 0 3 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 51/58
Ιδιότητες οριζουσών: Αν εναλλάξουµεδυο γραµµές ή στήλες του πίνακα, η ορίζουσά του αλλάζει πρόσηµο. 2 5 6 5 1 1 3 = = 5 2 5 6 1 3 1 = = Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 52/58
Ιδιότητες οριζουσών:,, n( ( R ) A B= A B A B M n Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 53/58
Ιδιότητες οριζουσών: Αν δυο γραµµές ή στήλεςτου πίνακα είναι ίσες ή ανάλογες, η ορίζουσά του είναι µηδενική. Να δειχθεί µε βάση το προηγούµενο. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 54/58
Ιδιότητες οριζουσών: Αν µια γραµµήή στήληενός πίνακα πολλαπλασιαστεί µε έναν πραγµατικό αριθµό, τότε όλη η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται µε τον ίδιο αριθµό. n ( ) A= A, A M R n λ λ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 55/58
Προσαρτηµένοςτου τετραγωνικού πίνακα A ονοµάζεται ο τετραγωνικός πίνακας adj ( A ) που κάθε στοιχείο του είναι το αλγεβρικό συµπλήρωµατου αντίστοιχου στοιχείου του πρώτου πίνακα. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 56/58
1 0 1 A= = 2 1 1 1 2 5 Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ένα παράδειγµα: ( ) adj A 1 1 0 1 0 1 + + 2 5 2 5 1 1 2 1 1 1 1 1 = + 1 5 1 5 2 1 2 1 1 0 1 0 + + 1 2 1 2 2 1 7 2 1 = 11 6 1 3 2 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 57/58
Σε τι µας χρησιµεύει ο προσαρτηµένος? A 1 1 = A ( ) adj A Υπάρχει ο αντίστροφος µόνον όταν η ορίζουσα δεν είναι µηδέν. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 58/58