ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον αξιότιμο καθηγητή κ. Γ.Στάμου, ο οποίος ανέλαβε υπό την ευθύνη του τη διπλωματική μου εργασία.καθ όλη τη διάρκεια της έρευνάς μου στο θέμα της, μου συμπαραστάθηκε ακούραστα, καθοδηγώντας με και διορθώνοντας τις αδυναμίες και παραλήψεις μου, έτσι ώστε αυτή να πάρει τη σωστή της μορφή. Ακόμη θέλω να ευχαριστήσω τις αξιότιμες κυρίες Δ.Παπαδοπούλου- Φλώρου και Π.Κολτσάκη-Κιλμπασάνη, που και αυτές με βοήθησαν και συμμετείχαν στη διόρθωση της εργασίας αυτής. 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΙ ΣΦΑΙΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ Κ ΙΙ 1 Δύο βασικά θεωρήματα...8 2 Η περίπτωση...11 3 Η περίπτωση...18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Κ ΙΙ 1 Επιφάνειες εκ περιστροφής του χώρου Ε 3...21 2 Υπερεπιφάνειες εκ περιστροφής του χώρου Ε n+1...26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 1 Ευθειογενείς επιφάνειες με μηδενική καμπυλότητα K II...40 2 Ευθειογενείς επιφάνειες τύπου Weingarten...44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ...49 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.........56 2
EIΣΑΓΩΓΗ αυτού Θεωρώντας τον Ευκλείδειο χώρο Ε n+1 (n 2) και μια υπερεπιφάνεια, είναι δυνατόν να ορίσουμε μια τυχούσα ομαλή τετραγωνική μορφή g επί της και να μελετήσουμε τη ρημάνεια ή ψευδορημάνεια πολλαπλότητα (Φ,g). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση, όπου είναι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της σε κάθε σημείο της, για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει. Διάφοροι συγγραφείς κατά το παρελθόν ασχολήθηκαν με τη Γεωμετρία της δεύτερης θεμελιώδους μορφής, αποδεικνύοντας πολλές και ενδιαφέρουσες προτάσεις με «τοπικό» ή «ολικό» χαρακτήρα. Από τη δεύτερη κατηγορία συμπερασμάτων κλασικό θεωρείται ένα θεώρημα του R.Schneider [13], σύμφωνα με το οποίο η καμπυλότητα της δεύτερης θεμελιώδους μορφής μιας (κλειστής) ωοειδούς υπερεπιφάνειας του χώρου Ε n+1 είναι σταθερή ακριβώς τότε, όταν η είναι υπερσφαίρα. Οι χαρακτηρισμοί σφαιρών του χώρου Ε 3, κάνοντας χρήση της καμπυλότητας, υπήρξε αγαπητό θέμα πολλών συγγραφέων (βλ. παρατιθέμενη βιβλιογραφία). Όμως και η τοπική Γεωμετρία της δεύτερης θεμελιώδους μορφής παρουσιάζει ενδιαφέρον. Η εξάρτηση της από άλλα μετρικά μεγέθη της μας οδηγεί πολλές φορές σε χαρακτηρισμούς ορισμένων κλάσεων επιφανειών. Η παραπάνω θεματική αποτελεί το περιεχόμενο της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας. Η εργασία διαιρείται σε πέντε Κεφάλαια. Στο πρώτο Κεφάλαιο αναφέρονται ορισμένες έννοιες και μερικοί θεμελιώδεις τύποι από τη Θεωρία των Επιφανειών του χώρου Ε 3. Στο δεύτερο Κεφάλαιο αποδεικνύονται, θεωρώντας ωοειδείς επιφάνειες του χώρου Ε 3, χαρακτηρισμοί σφαιρών με τη χρήση της καμπυλότητος. Πιο συγκεκριμένα: Στην παράγραφο 1 αποδεικνύονται δύο χρήσιμα θεωρήματα του D.Koutroufiotis [8] και του U.Simon [14], τα οποία αποτελούν 3
τη βάση για την εξαγωγή περαιτέρω συμπερασμάτων. Στην παράγραφο 2 θεωρείται ωοειδής επιφάνεια, για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει ( είναι η καμπυλότητα Gauss, η μέση καμπυλότητα της και c, r, s = σταθ.), ενώ στην παράγραφο 3 μελετώνται ωοειδείς επιφάνειες που ικανοποιούν τη σχέση, όπου είναι μία κατάλληλη πραγματική συνάρτηση. Στο Κεφάλαιο ΙΙΙ ερευνάται η ύπαρξη πλήρων επιφανειών, οι οποίες είναι εκ περιστροφής (μη σφαιρικές) με σταθερή καμπυλότητα. Στο Κεφάλαιο IV ερευνώνται οι ευθειογενείς επιφάνειες του χώρου Ε 3 με κεντρικό θέμα πάλι την καμπυλότητα. Στην πρώτη παράγραφο ταξινομούνται όλες οι ευθειογενείς επιφάνειες με την ιδιότητα η συνάρτηση (α,b=σταθ., ) να είναι σταθερή κατά μήκος κάθε γενέτειρας. Στη δεύτερη παράγραφο ταξινομούνται όλες οι ευθειογενείς επιφάνειες, των οποίων οι καμπυλότητες και ικανοποιούν μία μη τετριμμένη σχέση ( -Weingarten επιφάνειες). Τέλος, στο πέμπτο Κεφάλαιο θεωρείται επί μιας επιφάνειας η τετραγωνική μορφή (α,β,γ=σταθ. και είναι αντιστοίχως η πρώτη, δεύτερη και τρίτη θεμελιώδης μορφή της ) και μελετάται η εσωτερική καμπυλότητα αυτής. 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΤΥΠΟΙ Στον ευκλείδειο χώρο Ε 3 θεωρούμε μία επιφάνεια με παραμετρική παράσταση,, της κλάσης διαφορισιμότητας, όπου D είναι ένας ανοικτός τόπος του. Θα αναφέρουμε στη συνέχεια μερικούς από τους θεμελιώδεις τύπους της θεωρίας των επιφανειών. Πρώτη θεμελιώδης μορφή, (1.1) όπου θέσαμε,, και. Δεύτερη θεμελιώδης μορφή (1.2) όπου είναι το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα της και L. Τρίτη θεμελιώδης μορφή (1.3) όπου. Ας είναι η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα της. Τότε γνωρίζουμε, ότι οι τρεις θεμελιώδεις μορφές συνδέονται με τη σχέση 5
(1.4) Για την καμπυλότητα Gauss, τη μέση καμπυλότητα και τις πρωτεύουσες ακτίνες καμπυλότητας, της ισχύουν οι τύποι Σύμβολα Christoffel δεύτερου είδους Συμβολίζουμε με τα σύμβολα του Christoffel δευτέρου είδους ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή μιας επιφάνειας. Αυτά είναι Αν συμβολίσουμε με τα σύμβολα Christoffel δευτέρου είδους, ως προς τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή, τότε αυτά προκύπτουν από τα παραπάνω αν αντικατασταθούν τα E,F,G με τα L,M,N αντιστοίχως. Εξισώσεις Mainardi-Codazzi Αν το παραμετρικό δίκτυο u=σταθ.,v=σταθ. είναι το δίκτυο των γραμμών καμπυλότητας, τότε οι (1.7) παίρνουν την παρακάτω μορφή 6
Theorema Egregium (1.9) Για ορθογώνιο παραμετρικό δίκτυο ( ) έχουμε (1.10) Εξισώσεις των παραγώγων του Gauss (1.11) Εξισώσεις των παραγώγων του Weingarten (1.12) Όταν ισχύει τότε οι παραπάνω εξισώσεις λαμβάνουν τη μορφή (1.13) 7
Πρώτος και δεύτερος τελεστής του Beltrami Συμβολίζουμε με τον πρώτο τελεστή του Beltrami, ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή. Έτσι, για δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις φ και ψ ορίζουμε: (1.14) όπου είναι ο αντίστροφος τανυστής του. Αντίστοιχα, συμβολίζουμε με τον πρώτο τελεστή του Beltrami, ως προς τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή. Θεωρούμε ότι η και συμβολίζουμε με τη συναλλοίωτο παράγωγο του τανυστή. Τότε ο δεύτερος τελεστής του Beltrami της συνάρτησης φ ως προς την τετραγωνική μορφή ορίζεται από την σχέση (1.15) Τύπος Gauss-Bonnet Aν είναι το εμβαδικό στοιχείο μιας κλειστής επιφάνειας γένους, τότε ισχύει ο τύπος (1.16α) Αν η είναι επιπλέον κυρτή, τότε θα έχουμε αναλόγως (1.16b) όπου είναι το εμβαδικό στοιχείο και η εσωτερική καμπυλότητα της Καμπυλότητα της δεύτερης θεμελιώδους μορφής Υποθέτουμε ότι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της επιφάνειας Φ είναι θετικά ορισμένη. Τότε η καμπυλότητα Gauss Κ της Φ θα είναι θετική και η θα ορίζει 8
επί της Φ μια μετρική Riemann. Για την καμπυλότητα αυτής ισχύει ο τύπος ([13,σελ.230-233]) (1.17) όπου θέσαμε (1.18) 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΙ ΣΦΑΙΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ 1. Δύο βασικά θεωρήματα Θα παραθέσουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που χαρακτηρίζουν τις σφαίρες, μεταξύ των ωοειδών επιφανειών του ευκλείδειου χώρου τα οποία θα χρησιμοποιηθούν στα επόμενα για την εξαγωγή νέων συμπερασμάτων. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.1 (D.KOUTROUFIOTIS [8]): Σε μια ωοειδή επιφάνεια του χώρου ή η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο είτε η S είναι μια σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Από τους τύπους (1.16α) και (1.16b) του Κεφαλαίου έχουμε (1.1) από την οποία παίρνουμε (1.2) Επομένως, είναι αρκετό να δείξουμε ότι η σχέση είναι σφαίρα. Θεωρούμε τη συνάρτηση είναι αληθής, αν-ν η Ισχύει προφανώς με την ισότητα να ισχύει σε ένα σημείο, αν-ν το σημείο είναι κυκλικό. Υποθέτουμε ότι η δεν είναι σφαίρα και ας είναι το σημείο όπου Σε μία κατάλληλη περιοχή U του θεωρούμε τις γραμμές καμπυλότητας ως παραμετρικές γραμμές. Τότε στην περιοχή U θα ισχύει 10
Στην περίπτωση αυτή έχουμε (1.3) (1.4) και (1.5) Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (1.3) και (1.5), η σχέση γίνεται οπότε, χρησιμοποιώντας τη σχέση (1.4), έχουμε Έτσι, λοιπόν, προκύπτει. Αυτό όμως είναι μία αντίφαση αφού το δεξιό μέλος της ισότητας μηδενίζεται στο και το αριστερό μέλος είναι θετικό. Άρα η είναι σφαίρα. Για την απόδειξη του δευτέρου θεωρήματος θα χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο ΛΗΜΜΑ 1.1: Έστω μία ωοειδής επιφάνεια του χώρου. Εάν υπάρχει στο οποίο η καμπυλότητα λαμβάνει το ελάχιστό της και η το μέγιστό της, τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Καθώς από τη σχέση (1.17) προκύπτει ότι: 11
Ισχύει όμως οπότε για κάθε έχουμε. Άρα η είναι σφαίρα, σύμφωνα με το θεώρημα 1.1. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.2(U.SIMON [14]): Ας είναι μία ωοειδής επιφάνεια του χώρου. Εάν υπάρχει μία συνάρτηση η οποία είναι αύξουσα, ως προς τις μεταβλητές και αυστηρά μονότονη, ως προς τη μία τουλάχιστον από τις μεταβλητές, και εάν ισχύει για όλα τα, τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ότι η είναι αυστηρά μονότονη, ως προς τη δεύτερη μεταβλητή. Θεωρούμε το σημείο, για το οποίο έχουμε. Λόγω της υπόθεσης ισχύει. Τότε έχουμε δηλαδή καταλήγουμε σε αντίφαση. Έτσι έχουμε οπότε το θεώρημα προκύπτει άμεσα από το προηγούμενο Λήμμα. 12
2. Η περίπτωση Θεωρούμε ωοειδή επιφάνεια, κατάλληλα προσανατολισμένη, ώστε για τη μέση καμπυλότητα αυτής να ισχύει Έχει διατυπωθεί η εικασία ότι, όταν για κάθε σημείο της ισχύει η σχέση (2.1) για τυχούσες σταθερές c, r, s, τότε αυτή είναι σφαίρα. Από τον τύπο Gauss- Bonnet προκύπτει ότι θα πρέπει να ισχύει c Διάφοροι συγγραφείς απέδειξαν αυτόν τον ισχυρισμό για ορισμένες όμως τιμές των s και r. Στη συνέχεια θα παραθέσουμε ορισμένα συμπεράσματα προς την κατεύθυνση αυτή. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1 ([7]): Ας είναι μία ωοειδής επιφάνεια του χώρου. Εάν ισχύει όπου c, r, s είναι σταθερές με τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Από την υπόθεση του θεωρήματος και από την σχέση (1.2) έχουμε: (2.2) Για ένα κρίσιμο σημείο της ισχύει (βλ. σχέση (1.17) του Κεφαλαίου ) ή, λόγω της υπόθεσης, από την οποία τελικά προκύπτει η σχέση (2.3) Όμως, είναι γνωστό ότι παντού στην S και επομένως θα έχουμε 13
, αφού. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, από την (2.3) παίρνουμε τότε (2.4) ή, ισοδύναμα, οπότε καταλήγουμε στην ανισότητα (2.5) Σε αυτό το σημείο διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1: Έστω ότι ισχύει και επομένως. Στην περίπτωση αυτή διαλέγουμε ως το σημείο εκείνο για το οποίο έχουμε Τότε, χρησιμοποιώντας τη σχέση (2.5), παίρνουμε (2.6) Περίπτωση 2: Έστω ή ισοδύναμα. Διαλέγουμε τώρα ως το σημείο εκείνο για το οποίο έχουμε Αλλά τότε, από τη σχέση (2.5) παίρνουμε (2.7) 14
Συγκρίνοντας τώρα τις σχέσεις (2.6) και (2.7), έχουμε ότι για ή ισχύει ή, ισοδύναμα, δηλαδή, τελικά. Η τελευταία σχέση ισχύει παντού στην για. Αφού λοιπόν η συνάρτηση είναι μη θετική, με τη χρησιμοποίηση της σχέσης (2.2), καταλήγουμε στη σχέση παντού στην. Τότε όμως, λόγω του θεωρήματος 1.1, η ωοειδής θα είναι σφαίρα. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τέσσερις ακόμη περιπτώσεις που δεν καλύπτονται από το θεώρημα 2.1. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2 ([1]): Ας είναι μία ωοειδής επιφάνεια του χώρου. Εάν ισχύει όπου c, r, s είναι σταθερές με τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Ο τύπος (1.17) του Κεφ. μπορεί να πάρει την ακόλουθη μορφή (βλ.[1,σελ. 337-343]) (2.8) όπου είναι μια μη αρνητική συνάρτηση. Για ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης ισχύει 15
ή λόγω της υπόθεσης δηλαδή τελικά (2.9) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1: Έστω ότι ισχύει. Στην περίπτωση αυτή διαλέγουμε ως το σημείο εκείνο για το οποίο έχουμε Τότε, χρησιμοποιώντας τη σχέση (2.9), παίρνουμε (2.10) Περίπτωση 2: Έστω. Διαλέγουμε τώρα ως το σημείο εκείνο για το οποίο έχουμε Αλλά τότε από τη σχέση (2.9) παίρνουμε (2.11) Συγκρίνοντας τώρα τις σχέσεις (2.10) και (2.11), έχουμε ότι για ή ισχύει ή, ισοδύναμα, 16
ή, δηλαδή τελικά. Άρα η είναι σφαίρα, σύμφωνα με το θεώρημα 1.1. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.3 ([16]): Ας είναι μία ωοειδής επιφάνεια του. Εάν ισχύει όπου c, r, s είναι σταθερές με τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Για ένα κρίσιμο σημείο της ισχύει (βλ. σχέση (1.17) του Κεφαλαίου ) ή, λόγω της υπόθεσης, από την οποία τελικά προκύπτει η σχέση οπότε καταλήγουμε στην ανισότητα Αυτό σημαίνει λόγω του θεωρήματος 2.1 ότι η είναι σφαίρα. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.4 ([16]): Ας είναι μία ωοειδής επιφάνεια του. Εάν ισχύει όπου c, r, s είναι σταθερές με τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Λόγω της σχέσης 17
η συνάρτηση έχει ελάχιστο σ ένα σημείο στο οποίο η συνάρτηση έχει μέγιστο. Για το σημείο αυτό ισχύει από την οποία προκύπτει η σχέση. Έτσι, τελικά καταλήγουμε στην ανισότητα και άρα η είναι σφαίρα, λόγω του θεωρήματος 2.1. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.5 ([5]): Ας είναι μία ωοειδής επιφάνεια του. Εάν ισχύει όπου c, r, s είναι σταθερές με τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Σε ένα κρίσιμο σημείο της ισχύει ή, λόγω της υπόθεσης, από την οποία, τελικά, προκύπτει η σχέση (2.12) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1: Έστω ότι ισχύει. Στην περίπτωση αυτή διαλέγουμε ως το σημείο εκείνο για το οποίο έχουμε 18
Τότε, χρησιμοποιώντας τη σχέση (2.12), παίρνουμε (2.13) Περίπτωση 2: Έστω. Διαλέγουμε τώρα ως το σημείο εκείνο για το οποίο έχουμε Αλλά τότε, από τη σχέση (2.12) παίρνουμε (2.14) Όμως, ισχύει, δηλαδή και επομένως έχουμε ή ισοδύναμα Τότε, από τη σχέση (2.14) παίρνουμε ή, δηλαδή τελικά. Λόγω του θεωρήματος 1.1, η ωοειδής θα είναι σφαίρα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι τα παραπάνω θεωρήματα δεν καλύπτουν όλες τις δυνατές περιπτώσεις των Στο σχήμα που 19
ακολουθεί, όλες αυτές οι περιπτώσεις, για τις οποίες η εικασία δεν έχει προς το παρόν επαληθευτεί, σκιαγραφούνται. 20
3. Η περίπτωση Σε αυτή την παράγραφο θα αποδείξουμε δύο βασικά θεωρήματα που χαρακτηρίζουν τη σφαίρα, όταν πάνω σε μια ωοειδή επιφάνεια ισχύει, όπου είναι μια κατάλληλη πραγματική συνάρτηση. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.1 ([2]): Έστω μια ωοειδής επιφάνεια του. Εάν υπάρχει μια πραγματική συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: (α) είναι αύξουσα ως προς ίδιο (β) η συνάρτηση, είναι φθίνουσα ως προς ίδιο, (γ) η συνάρτηση είναι μονότονη, και εάν ισχύει επί της, τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα. Θεωρούμε το σημείο, για το οποίο έχουμε Αφού ισχύει, έχουμε για κάθε Ώστε έχουμε 21
Άρα η είναι σφαίρα. Ανάλογη είναι η απόδειξη, όταν η είναι φθίνουσα, με τη μόνη διαφορά ότι θεωρούμε τότε το σημείο, για το οποίο έχουμε και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.2 ([2]): Ας είναι μια ωοειδής επιφάνεια του. Εάν υπάρχει μια πραγματική συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: (α) η είναι αύξουσα ως προς ίδιο, (β) η συνάρτηση είναι φθίνουσα ως προς ίδιο, (γ) η συνάρτηση, είναι μονότονη, και εάν ισχύει επί της, τότε η είναι σφαίρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα. Θεωρούμε το σημείο, για το οποίο έχουμε Για κάθε έχουμε 22
δηλαδή για κάθε. Άρα, η είναι σφαίρα. Εάν η συνάρτηση είναι φθίνουσα, θεωρούμε το σημείο, για το οποίο ισχύει και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. 23
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ 1. Επιφάνειες εκ περιστροφής του χώρου Σε αυτήν την παράγραφο θα ασχοληθούμε με επιφάνειες του χώρου, όπου η δεύτερη θεμελιώδης μορφή ορίζει ένα χώρο σταθερής καμπυλότητας. Αξίζει να αναφερθεί ότι πρώτος ο R.Schneider [13] απέδειξε ότι: Μία ωοειδής υπερεπιφάνεια του χώρου της οποίας η δεύτερη θεμελιώδης μορφή ορίζει ένα χώρο σταθερής καμπυλότητας, είναι μια ευκλείδεια υπερσφαίρα. Ας είναι μια εμβύθιση μιας επιφάνειας. Εάν η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι μη εκφυλισμένη, τότε το ζεύγος ορίζει εν γένει μία ψευδο-ρημάνεια πολλαπλότητα με εσωτερική καμπυλότητα Gauss. Για τη μοναδιαία σφαίρα έχουμε Για μια ελαχιστική επιφάνεια ισχύει, διότι υπάρχει παραμετροποίηση, ώστε τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης να είναι σταθερά. Πριν δείξουμε την πρώτη πρόταση θα δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1: Καλούμε μία υπερεπιφάνεια (αντίστοιχα εάν η πρώτη (αντίστοιχα η δεύτερη) θεμελιώδης μορφή είναι γεωδαισιακά πλήρης. Εάν η υπερεπιφάνεια είναι μόνο της κλάσης, θα καλούμε την εάν ο χώρος ( είναι ολικά ισομετρικός με ένα πλήρη χώρο. Η σφαίρα και η αλυσοειδής επιφάνεια είναι πλήρεις επιφάνειες. ΠΡΟΤΑΣΗ 1.1 ([9]): Υπάρχουν πλήρεις εκ περιστροφής επιφάνειες του που ικανοποιούν μία από τις επόμενες σχέσεις: 24
Αυτές είναι πλήρεις και πλήρεις και είναι αναλυτικές παντού, εκτός από τα σημεία που κείνται στον άξονα περιστροφής. Τοπικά υπάρχουν επιφάνειες οι οποίες δεν είναι ούτε μοναδιαίες σφαίρες ούτε αλυσοειδείς επιφάνειες που ικανοποιούν μια από τις ακόλουθες σχέσεις:,. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Ας θεωρήσουμε μία επιφάνεια εκ περιστροφής Για την πρώτη θεμελιώδη μορφή αυτής έχουμε και για τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή Για να κατασκευάσουμε παραδείγματα επιφανειών εκ περιστροφής με, ξεκινάμε με την τετραγωνική μορφή, όπου ε και όπου είναι μία μη μηδενική συνάρτηση, που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση. (1.1) Προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τα r και f, ώστε να έχουμε 25
και συνεπώς. Για τις συναρτήσεις r και f θα πρέπει τότε να ισχύει (1.2) (1.3) Η σχέση (1.3) γίνεται λόγω της (1.2) (1.4) η οποία είναι ισοδύναμη με τη σχέση (1.5) Όταν έχουμε τότε η f μπορεί να προσδιοριστεί συναρτήσει της r από τη σχέση Η μοναδιαία σφαίρα αντιστοιχεί στη λύση ενώ η αλυσοειδής επιφάνεια αντιστοιχεί στη λύση Συγκεκριμένες λύσεις μπορούν να βρεθούν, εάν ο συντελεστής στη σχέση (1.5) είναι μία σταθερά. Αυτές ορίζονται από τη διαφορική εξίσωση (1.6) Με παραγώγιση προκύπτει από την (1.6) η σχέση 26
Επομένως, ψάχνουμε για μη σταθερές λύσεις Α και του συστήματος (1.7) Περίπτωση 1: Για, και έχουμε. Η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι τότε και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή Η επιφάνεια που προκύπτει από αυτές είναι πλήρης και αναλυτική, εκτός από τα σημεία όπου είναι της κλάσης (όχι όμως ). Περίπτωση 2: Για και και έχουμε,. Για την πρώτη θεμελιώδη μορφή έχουμε 27
και για τη δεύτερη, Η αντίστοιχη επιφάνεια είναι πλήρης και αναλυτική, εκτός από τα σημεία με, όπου είναι της κλάσης (όχι όμως ). Tέλος ισχύει, δηλαδή η επιφάνεια είναι αυστηρά κυρτή. Περίπτωση 3: Για και ( όμοια με την περίπτωση 2) έχουμε,. Για την πρώτη θεμελιώδη μορφή έχουμε τότε και για τη δεύτερη Περίπτωση 4: Για η (1.4) παίρνει τη μορφή: Τοπικά υπάρχουν λύσεις αυτής της διαφορικής εξίσωσης. Κάθε επιφάνεια αυτής της οικογένειας έχει ένα σημείο ανωμαλίας επί του άξονα Περίπτωση 5: Τέλος, αν έχουμε,, και τότε έχουμε 28
) με πρώτη θεμελιώδη μορφή και με δεύτερη Η επιφάνεια που προκύπτει είναι αναλυτική στα σημεία με Για έχει ένα σημείο ανωμαλίας, διότι η συνάρτηση τείνει στο άπειρο. Τελειώνοντας την παράγραφο αυτή, παραθέτουμε (χωρίς απόδειξη) το ακόλουθο ΠΟΡΙΣΜΑ 1.2 ([9]): Μία πλήρης επιφάνεια εκ περιστροφής, της οποίας η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι αόριστη και επίπεδη, είναι αναγκαστικά ελαχιστική και άρα αλυσοειδής επιφάνεια. 29
2.Υπερεπιφάνειες εκ περιστροφής του χώρου Σε αυτή την παράγραφο ταξινομούμε τις υπερεπιφάνειες εκ περιστροφής στον ευκλείδειο χώρο, των οποίων η δεύτερη θεμελιώδης μορφή ορίζει μία ψευδο-ρημάνεια μετρική, με σταθερή τμηματική καμπυλότητα. Ειδικότερα, βρίσκουμε τέτοιες τμηματικά αναλυτικές υπερεπιφάνειες της κλάσης, όπου η δεύτερη θεμελιώδης μορφή ορίζει ένα πλήρη χώρο με σταθερή, θετική, αρνητική ή μηδενική καμπυλότητα. Μεταξύ αυτών υπάρχουν υπερεπιφάνειες, οι οποίες δεν είναι σφαίρες. Ξεκινάμε θεωρώντας υπερεπιφάνειες της κλάσης (ή αν ) που έχουν καμπυλότητα Gauss-Kronecker Τότε το ζεύγος ( είναι μία ψευδο-ρημάνεια πολλαπλότητα. Για η καμπυλότητα είναι η εσωτερική καμπυλότητα της δεύτερης θεμελιώδους μορφής και για μπορούμε να μιλάμε για την τμηματική καμπυλότητα, ως προς ένα μη εκφυλισμένο επίπεδο (σ). Για μια διδιάστατη επιφάνεια της κλάσης η καμπυλότητα είναι καλά ορισμένη, σύμφωνα εξάλλου με ένα τύπο του Cartan. Εάν η είναι μόνο της κλάσης, τότε ο τανυστής καμπυλότητας της πολλαπλότητας δεν είναι καλά ορισμένος και για αυτό η καμπυλότητα συγκρίνουμε τον χώρο δεν μπορεί να ορισθεί. Ωστόσο μπορούμε να με χώρους σταθερής καμπυλότητας, σύμφωνα με τον ακόλουθο ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ 2.1: Καλούμε δύο ψευδο-ρημάνειες πολλαπλότητες και ισομετρικές, εάν υπάρχει ένας -διφεομορφισμός τέτοιος, ώστε να ισχύει Δύο υπερεπιφάνειες καλούνται - ισομετρικές (αντίστοιχα -ισομετρικές ) εάν τα ζεύγη και (αντίστοιχα και είναι ισομετρικά. 30
Ειδικότερα, μία υπερεπιφάνεια είναι καλά ορισμένη, εάν η πολλαπλότητα είναι ισομετρική με έναν απλό συνεκτικό και πλήρη χώρο σταθερής ή μη καμπυλότητας. Σε αυτή την παράγραφο θα ασχοληθούμε με υπερεπιφάνειες, οι οποίες είναι τουλάχιστον της κλάσης και τμηματικά είναι της κλάσης Yπερεπιφάνειες εκ περιστροφής Μία υπερεπιφάνεια εκ περιστροφής προκύπτει από την περιστροφή μιας ομαλής επίπεδης καμπύλης της κλάσης γύρω από τον άξονα Η πρώτη και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της υπερεπιφάνειας δίνονται από τις σχέσεις όπου είναι η συνήθης μετρική της μοναδιαίας σφαίρας. Στα επόμενα υποθέτουμε ότι ισχύει και, προκειμένου η να θεωρείται με συγκεκριμένο πρόσημο. Χώροι σταθερής καμπυλότητας Η μετρική ενός αφηρημένου χώρου σταθερής τμηματικής καμπυλότητας είναι όπου ε= και είναι μία μη μηδενική συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση Εάν ισχύει μεμονωμένα, τότε η μετρική δίνεται σε γεωδαισιακές πολικές συντεταγμένες. Πιο συγκεκριμένα, για η μετρική αυτή είναι σταθερής καμπυλότητας αν-ν 31
Ενώ για η μετρική είναι σταθερής καμπυλότητας Κ, αν-ν όπου η μηδενίζεται το πολύ σε μεμονωμένα σημεία. Επομένως, η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι ισομετρική με την αν-ν ισχύουν οι σχέσεις, εάν και, εάν. Οι μόνες λύσεις που προκύπτουν για την περίπτωση είναι Για υπάρχουν περισσότερα παραδείγματα, μεταξύ των οποίων περιλαμβάνονται η ψευδοσφαίρα ( ) και ο κύλινδρος ( ). Δεύτερη θεμελιώδης μορφή σταθερής καμπυλότητας Όμοια με τα παραπάνω, η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι ισομετρική με την μετρική αν-ν (2.1) 32
(2.2) Κάθε λύση του συστήματος (2.2) με μη σταθερά, είναι επίσης λύση της (2.1). Από την κατασκευή η παράμετρος της καμπύλης είναι το μήκος πάνω στην υπερεπιφάνεια. Μπορούμε να εκφράσουμε την με την χρήση των ως εξής Αυτή η σχέση προσθέτει τον επιπλέον περιορισμό παντού, εκτός ίσως από μεμονωμένα σημεία πάνω στην καμπύλη. Διαφορίζοντας την τελευταία σχέση, λαμβάνουμε Εάν συνδυάσουμε αυτές τις δύο εξισώσεις με την εξίσωση παίρνουμε ή ισοδύναμα Επομένως οι σχέσεις (2.1) και (2.2) είναι ισοδύναμες με τα επόμενα συστήματα αντιστοίχως εάν (2.1) 33
εάν (2.2) Κλασικές λύσεις των παραπάνω συστημάτων είναι Η αλυσοειδής υπερεπιφάνεια είναι η μόνη περίπτωση, όπου η συνάρτηση είναι σταθερή. Αυτό όμως δεν ισχύει για, διότι αλλιώς η μετρική θα είχε μη σταθερή καμπυλότητα. Πλήρεις υπερεπιφάνειες εκ περιστροφής ΠΡΟΤΑΣΗ 2.1 ([3]): Εάν μία υπερεπιφάνεια εκ περιστροφής, κλάσης,του, είναι και ικανοποιεί τις σχέσεις τότε έχουμε και η επιφάνεια είναι η αλυσοειδής. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Στις παραπάνω σχέσεις οι υποθέσεις της Πρότασης 1.1 αντιστοιχούν στις τιμές:. Εάν είναι μία λύση του συστήματος (2.2), τότε δηλαδή προκύπτει αντίφαση. Εάν τώρα είναι μία λύση του συστήματος (2.1), τότε δηλαδή με σταθερές. Οι γραμμές είναι γεωδαισιακά παραμετροποιημένες ως προς το μήκος τόξου, σε σχέση με τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή. Εάν είναι μη σταθερά και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι πλήρης, τότε η συνάρτηση μηδενίζεται σε ένα σημείο Επομένως, από το σύστημα (2.1) προκύπτει το οποίο σημαίνει ότι η επιφάνεια έχει ένα σημείο στον άξονα περιστροφής. Αυτό το σημείο πρέπει να είναι κυκλικό, 34
πράγμα που είναι αντιφατικό με την υπόθεση Έτσι είναι σταθερά, το οποίο σημαίνει ότι η επιφάνεια συμπίπτει με τη διδιάστατη αλυσοειδή. Στη συνέχεια θα δείξουμε την ακόλουθη: ΠΡΟΤΑΣΗ 2.2 ([3]): Εάν υπάρχει μία επιφάνεια εκ περιστροφής της κλάσης, του χώρου που ικανοποιεί την ανισότητα παντού, τότε αυτή δεν συναντά τον άξονα περιστροφής. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Μπορούμε να περιορισθούμε στις ακόλουθες περιπτώσεις: Περίπτωση 1: Για από τις σχέσεις (2.2) προκύπτει, και επομένως έχουμε,. H καμπύλη που προκύπτει, δηλαδή η τέμνει τον άξονα κάθετα και η καμπυλότητά της είναι η οποία τείνει στην τιμή στον άξονα και δεν είναι στάσιμη στα σημεία αυτά. Από την άλλη, η συμμετρική καμπύλη 35
είναι της κλάσης στα σημεία με ως προς αυτή την παραμετροποίηση. Όμως, η εικόνα της καμπύλης, με την παραμετροποίηση είναι μία καμπύλη, λόγω της συνέχειας της καμπυλότητάς της. Επίσης, η καμπύλη αυτή δεν είναι στα σημεία με διότι τότε η καμπυλότητά της θα ήταν στάσιμη. Βεβαίως για είναι αναλυτική. Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της υπερεπιφάνειας, η οποία είναι η ευκλείδεια μετρική.σε πολικές συντεταγμένες, είναι αναλυτική παντού, ανεξάρτητα της παραμέτρου Επομένως, η υπερεπιφάνεια είναι πλήρης και πλήρης Το παρακάτω σχήμα δείχνει την καμπύλη για διάφορες τιμές της μεταβλητής, καθώς και την αναλυτική συνέχεια της καμπύλης αριστερά του άξονα. Ασυμπτωτικά για η καμπύλη προσεγγίζει μία παραβολή τύπου Neil, όπου Σχήμα 1 Περίπτωση 2: Για η σχέση (2.2) γίνεται και επομένως έχουμε 36
, και Στα σημεία η καμπύλη είναι ομαλή, όπως και στην περίπτωση 1. Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της υπερεπιφάνειας εκ περιστροφής είναι η μετρική του υπερβολικού χώρου σε πολικές συντεταγμένες και είναι ανεξάρτητη της παραμέτρου. Επομένως η υπερεπιφάνεια είναι πλήρης και πλήρης. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται οι καμπύλες για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής, καθώς και οι αναλυτικές τους συνέχειες. Ασυμπτωτικά για η καμπύλη προσεγγίζει μία ευθεία γραμμή. Σχήμα 2 Περίπτωση 3: Για οι σχέσεις (2.2) γίνονται 37
και επομένως έχουμε,. Και σε αυτή την περίπτωση η καμπύλη στον άξονα περιστροφής συμπεριφέρεται όπως στην περίπτωση 1. Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της υπερεπιφάνειας είναι. Ωστόσο στα σημεία με υπάρχει μία ανωμαλία, διότι =0 και η καμπυλότητα της τείνει στο άπειρο. Στα σημεία με ισχύουν τα εξής: 1) Η καμπυλότητα της καμπύλης είναι 2) Ο εγγύτατος κύκλος έχει το κέντρο του στον άξονα περιστροφής. Αυτές οι ιδιότητες μας επιτρέπουν να συνδυάσουμε ένα κομμάτι της καμπύλης με ένα κομμάτι του μοναδιαίου κύκλου ως εξής: όπου η συνάρτηση προσδιορίζεται από την αρχική συνθήκη Για η καμπύλη είναι της κλάσης και η αντίστοιχη υπερεπιφάνεια εκ περιστροφής είναι συμπαγής και κυρτή, τμηματικά αναλυτική και της κλάσης στα σημεία και. Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της συγκεκριμένης υπερεπιφάνειας είναι, η οποία είναι η συνήθης μετρική της μοναδιαίας σφαίρας. Η οικογένεια αυτή των υπερεπιφανειών, όπου 38
εκτείνεται σε όλο το χώρο μεταξύ των μοναδιαίων σφαιρών ) και του περιγεγραμμένου υπερκυλίνδρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα 3. Επιπλέον, κάθε καμπύλη είναι κυρτή και τα σημεία του άξονα τείνουν στο άπειρο για Σχήμα 3 Τοπική ταξινόμηση των υπερεπιφανειών εκ περιστροφής του χώρου Σε αυτή την παράγραφο καθορίζουμε όλες τις τοπικές λύσεις του συστήματος (2.2). Συνολικά υπάρχουν έξι πιθανές περιπτώσεις για τα (. Ωστόσο, οι περιπτώσεις όπου και είναι αδύνατες λόγω της σχέσης (2.2), η οποία γίνεται ή αντίστοιχα. Για τις υπόλοιπες τέσσερις περιπτώσεις δίνουμε όλες τις λύσεις, όταν ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες: 1) Η συνάρτηση μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία, 2) ισχύει, εκτός από μεμονωμένα σημεία, 39
3) οι μετασχηματισμοί και είναι γεωμετρικά μη ουσιώδεις. Περίπτωση 1: Διαφορική εξίσωση για : Λύσεις της διαφορικής εξίσωσης:, ή. Οι επιφάνειες που παράγονται από αυτές τις καμπύλες είναι της κλάσης στον άξονα περιστροφής. Το σημείο στον άξονα αντιστοιχεί στην τιμή. Για οι καμπύλες παρουσιάζουν ένα σημείο ανωμαλίας, διότι η καμπυλότητα της επίπεδης καμπύλης τείνει στο άπειρο. Τέλος, είναι οι αναλυτικές συνέχειες των Περίπτωση 2: Διαφορική εξίσωση για : Λύσεις της διαφορικής εξίσωσης: 40
, ή ή. Για η συμπεριφορά των λύσεων αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι όμοια με την περίπτωση 1. Είναι όλες της κλάσης και όχι της και επιπλέον η επίπεδη καμπύλη έχει ένα σημείο ανωμαλίας για Περίπτωση 3: Διαφορική εξίσωση για : Λύσεις της διαφορικής εξίσωσης:, ή 41
Για οι καμπύλες παρουσιάζουν ένα σημείο ανωμαλίας. Σε αυτό το σημείο κάθε τέτοια καμπύλη έχει μία κατακόρυφη εφαπτομένη και η καμπυλότητα της καμπύλης τείνει στο άπειρο. Επιπλέον, στον άξονα περιστροφής ( οι αντίστοιχες επιφάνειες είναι μόνο της κλάσης και όχι της, με εξαίρεση την επιφάνεια που αντιστοιχεί στην τιμή, η οποία είναι αναλυτική στον άξονα. Τέλος, σημειώνουμε ότι και είναι αναλυτικές συνέχειες των Περίπτωση 4: Διαφορική εξίσωση για :. Λύσεις της διαφορικής εξίσωσης:, Σε αυτή την περίπτωση κάθε καμπύλη έχει μία θετική απόσταση από τον άξονα περιστροφής με πλησιέστερο σημείο στο. Σε αυτό το σημείο υπάρχει μία κατακόρυφη εφαπτομένη και η καμπυλότητα κάθε καμπύλης τείνει στο άπειρο. Όταν η καμπύλη προσεγγίζει την κατακόρυφη ευθεία 42
Σχήμα 4 ΠΟΡΙΣΜΑ 2.1 ([3]): Δεν υπάρχει πλήρης υπερεπιφάνεια εκ περιστροφής, κλάσης,του χώρου, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Οι μόνες λύσεις (τοπικά) είναι αυτές που προκύπτουν από τη διαφορική εξίσωση της περίπτωσης 4 ) του προηγούμενου θεωρήματος. Όμως καμία από αυτές δεν είναι πλήρης, λόγω της ανωμαλίας που παρουσιάζεται στο σημείο 43
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 1. Ευθειογενεις επιφάνειες με μηδενική καμπυλότητα Σε αυτή την παράγραφο θα μελετηθούν ευθειογενείς επιφάνειες του ευκλείδειου χώρου, για τις οποίες ένας γραμμικός συνδυασμός της καμπυλότητας και της μέσης καμπυλότητας είναι σταθερός κατά μήκος κάθε γενέτειρας. Ειδικότερα, θα δείξουμε ότι η μόνη ευθειογενής επιφάνεια με ταυτοτικά μηδενική καμπυλότητα είναι η ελικοειδής. Είναι προφανές, ότι μία επιφάνεια του χώρου με θετική καμπυλότητα έχει μία θετικά ορισμένη δεύτερη θεμελιώδη μορφή, εάν είναι κατάλληλα προσανατολισμένη. Θεωρώντας τώρα τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή σαν μία νέα ρημάνεια μετρική, μπορούμε να ορίσουμε τη καμπυλότητα αυτής. Γενικότερα, εάν μία επιφάνεια δεν έχει σημεία όπου η καμπυλότητα Gauss μηδενίζεται, τότε η μπορεί και πάλι να ορισθεί σαν καμπυλότητα της ρημάνειας ή ψευδο-ρημάνειας μετρικής Συμβολίζοντας με τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης μιας επιφάνειας, ορίζουμε την καμπυλότητα σύμφωνα με το Theorema Egregium: ( Είναι γνωστό ότι μία επιφάνεια, της οποίας η καμπυλότητα Gauss είναι σταθερή κατά μήκος κάθε γενέτειρας, είναι αναπτυκτή. Σε αυτή την ενότητα μελετάμε μη αναπτυκτές ευθειογενείς επιφάνειες, για τις οποίες η συνάρτηση, α,b=σταθ., είναι σταθερή κατά μήκος κάθε γενέτειρας. Ακόμη είναι 44
γνωστό ότι, για μια ελαχιστική επιφάνεια, είναι δυνατόν να εισαχθούν καμπυλόγραμμες συντεταγμένες έτσι, ώστε τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης αυτής να είναι σταθερές. Επομένως, ισχύει ΠΡΟΤΑΣΗ 1.1 ([4]): Για μία ελαχιστική επιφάνεια του χώρου η καμπυλότητα μηδενίζεται ταυτοτικά. Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει.(βλ. [4 σελ.178]) ΘΕΩΡΗΜΑ 1.2 ([4]): Ας είναι πραγματικοί αριθμοί με Aν για μία μη αναπτυκτή ευθειογενή επιφάνεια του χώρου η συνάρτηση είναι σταθερή κατά μήκος κάθε γενέτειρας, τότε αυτή είναι τμήμα μιας ελικοειδούς. Ειδικότερα ισχύει: (α), (β) Η σχέση ικανοποιείται από τα ορθά κωνοειδή. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Μία ευθειογενής επιφάνεια στον μπορεί να περιγραφεί με τη χρήση μιας καμπύλης αφετηρίας και ενός μοναδιαίου διανυσματικού πεδίου που προσανατολίζει τις γενέτειρες. Έχουμε δηλαδή την ακόλουθη διανυσματική παράσταση μιας ευθειογενούς επιφάνειας, όπου είναι ένα ανοιχτό διάστημα του Επιπλέον, μπορούμε να διαλέξουμε ως παράμετρο το μήκος τόξου της σφαιρικής καμπύλης μπορούμε να πάρουμε. Αφού η ευθειογενής επιφάνεια είναι μη αναπτυκτή, να είναι η γραμμή σύσφιξης της επιφάνειας. Έτσι, έχουμε Τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης της επιφάνειας είναι 45
Θέτουμε, Ως προς την ορθομοναδιαία βάση θα έχουμε και Τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης e,f και g θα δίνονται από τις σχέσεις (1.1), (1.2) g=0. (1.3) Η ποσότητα Q καλείται στρεβλότητα της επιφάνειας και η ποσότητα J μας δίνει πληροφορίες για την καμπυλότητα και τη στρέψη της καμπύλης. Ισχύουν οι σχέσεις Αν τώρα δοθούν οι συναρτήσεις, τότε ισχύει 46
Αν είναι J=0, τότε η καμπύλη είναι ένας μεγάλος κύκλος της μοναδιαίας σφαίρας. Αν πάλι ισχύει τότε η είναι μία ευθεία κάθετη στο επίπεδο της καμπύλης είναι σταθερά, τότε, αφού έχουμε, και < θα ισχύει, δηλαδή η είναι γραμμική συνάρτηση του, οπότε η επιφάνεια πρέπει να είναι τμήμα ελικοειδούς επιφάνειας. Στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις παραγώγους των και χρησιμοποιώντας τη σχέση ( βρίσκουμε (1.4) ενώ για τη μέση καμπυλότητα της ευθειογενούς επιφάνειας προκύπτει η σχέση (1.5) Από τις εκφράσεις (1.4) και (1.5) συνεπάγεται ότι Διαφορίζοντας στη συνέχεια τις (1.4) και (1.5), ως προς τη μεταβλητή, θα έχουμε και Συνεπώς, η σχέση θα μας δώσει και Εάν τότε θα έχουμε και άρα η επιφάνεια είναι (τοπικά) μία ελικοειδής επιφάνεια. Εάν από την άλλη ισχύει, τότε δεν συνεπάγονται άλλες συνθήκες. Στην πραγματικότητα η σχέση 47
κωνοειδές. ικανοποιείται για και αυθαίρετο, οπότε έχουμε ορθό 48
2.Ευθειογενείς επιφάνειες τύπου Weingarten Είναι γνωστό ότι μία επιφάνεια του χώρου ονομάζεται επιφάνεια Weingarten (για συντομία W-επιφάνεια), αν μεταξύ των πρωτευουσών καμπυλοτήτων αυτής υφίσταται μία μη τετριμμένη σχέση ή ισοδύναμα ισχύει ο ορισμός για τις W-επιφάνειες. Αν αντί των χρησιμοποιήσουμε δύο άλλες αναλλοίωτες, τότε λέμε ότι έχουμε μία επιφάνεια τύπου Weingarten. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με τις παραπάνω περιπτώσεις, θεωρώντας μία ευθειογενή επιφάνεια. με Το πιο απλό παράδειγμα W-επιφάνειας είναι μία ευθειογενής επιφάνεια Στην περίπτωση αυτή, είναι γνωστό ότι η ευθειογενής επιφάνεια αποτελείται από τμήματα κυλίνδρου, κώνου, επιπέδου και από τμήματα μιας ευθειογενούς επιφάνειας, που σχηματίζεται από τις εφαπτόμενες μιας καμπύλης του χώρου. Στα επόμενα θα υποθέσουμε ότι για την ευθειογενή επιφάνεια που θεωρούμε, ισχύει Θεωρούμε λοιπόν μια ευθειογενή επιφάνεια με διανυσματική παράσταση και με την παραμετροποίηση της προηγούμενης παραγράφου. Ως προς αυτή την παραμετροποίηση για την καμπυλότητα και τη μέση καμπυλότητα ισχύουν οι σχέσεις. Μετά από υπολογισμό των μερικών παραγώγων έχουμε 49
(2.1) Τότε ισχύει: Από την υπόθεση έχουμε αφού ισχύει Επομένως, σε μία περιοχή ενός σημείου με ο μηδενισμός του συντελεστή του δίνει. Και ο μηδενισμός των συντελεστών των και συνεπάγεται. Επομένως, για μία ευθειογενή W-επιφάνεια με οι ποσότητες πρέπει να είναι σταθερές. Στην περίπτωση αυτή η επιφάνεια είναι αναλυτική. Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1 ([10]): Για μία μη αναπτυκτή ευθειογενή επιφάνεια οι επόμενες συνθήκες είναι ισοδύναμες: (1) η είναι W-επιφάνεια, (2) οι ποσότητες είναι σταθερές, (3) ισχύει για σταθερές όπου το πρόσημο είναι αυτό του (4) η είναι ευθειογενής κοχλιοεπιφάνεια. ΑΠΟΔΕΙΞΗ:(1) Προκύπτει άμεσα από τους υπολογισμούς (2.1) Εάν είναι σταθερές, τότε 50
και Από τις σχέσεις αυτές και λαμβάνοντας υπόψη ότι έχουμε ή, ισοδύναμα,. (3) Είναι προφανές. (2) Προκύπτει άμεσα, αν παρατηρήσουμε ότι, για μία μη αναπτυκτή ευθειογενή κοχλιοεπιφάνεια τα είναι σταθερά, αλλά και αντιστρόφως. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία επιφάνεια την καλούμε επιφάνεια, αν μεταξύ των καμπυλοτήτων υφίσταται μία μη τετριμμένη σχέση. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2 ([10]): Ας είναι μία ευθειογενής επιφάνεια με παντού. Τότε η είναι επιφάνεια αν-ν ισχύει μία από τις ακόλουθες ιδιότητες: (1) είναι σταθερές με (2) (3) 51
ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αρχίζουμε με την υπόθεση ότι Φ είναι μια επιφάνεια. Υπολογίζουμε καταρχήν την καμπυλότητα. Έχουμε λοιπόν οπότε Αν θεωρήσουμε την έκφραση και υπολογίσουμε τους συντελεστές των (το πολύ μέχρι τον παράγοντα βρίσκουμε Αν αυτοί μηδενίζονται ταυτοτικά, τότε μία από τις επόμενες περιπτώσεις πρέπει να συμβαίνει: Περίπτωση 1: H πρώτη εξίσωση συνεπάγεται ότι. Επιπλέον έχουμε η οποία μηδενίζεται αν-ν είναι σταθερά. Επομένως είναι σταθερές. (Ιδιότητα (1) του θεωρήματος.) Περίπτωση 2: Ας είναι μία περιοχή ενός σημείου, στην οποία ισχύει Η πρώτη εξίσωση συνεπάγεται ότι ή Ας υποθέσουμε τώρα ότι και J Τότε η δεύτερη 52
σχέση συνεπάγεται ότι και η τρίτη Δηλαδή αν η Φ είναι επιφάνεια ισχύουν οι τύποι της ιδιότητας (2). Αντίστροφα, αν ισχύουν οι τύποι της (2), μετά από υπολογισμούς βρίσκουμε: και επομένως ισχύει δηλαδή η Φ είναι Περίπτωση 3: επιφάνεια. Τότε έχουμε Το δεύτερο μέλος μηδενίζεται ταυτοτικά αν και επομένως έχουμε τότε τη σχέση, ανεξάρτητα ποιο είναι το δηλαδή έχουμε την ιδιότητα (3) του θεωρήματος. Εάν το δεν μηδενίζεται ταυτοτικά, τότε ισχύουν οι σχέσεις και, οι οποίες πάλι οδηγούν στην περίπτωση (2) του θεωρήματος. Το αντίστροφο είναι προφανές. 53
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό θεωρούμε μία επιφάνεια, εμβυθισμένη σε μία τριδιάστατη ρημάνεια πολλαπλότητα με σταθερή καμπυλότητα. Ας είναι η πρώτη, δεύτερη και τρίτη θεμελιώδης μορφή της επιφάνειας. Στη συνέχεια θεωρούμε τρεις αυθαίρετες σταθερές και υπολογίζουμε την καμπυλότητα της (όχι κατ ανάγκη ρημάνειας ) μετρικής την οποία θεωρούμε μη εκφυλισμένη. Ας είναι μία εμβύθιση μιας επιφάνειας σε μία τριδιάστατη ρημάνεια πολλαπλότητα. Ας συμβολίσουμε με το συναλλοίωτο διαφορικό στη και με το εσωτερικό γινόμενο, ως προς τη μετρική Riemann επί της Η εσωτερική καμπυλότητα της μετρικής Riemann επί της και η εξωτερική καμπυλότητα συνδέονται με την εξίσωση Gauss = Κ, (1.1) όπου Κ είναι η τμηματική καμπυλότητα της, ως προς το εφαπτόμενο επίπεδο της εμβυθισμένης επιφάνειας σε ένα σημείο της. Επιπρόσθετα, θα πρέπει να ικανοποιούνται οι εξισώσεις των Mainardi-Codazzi. Μεταξύ των τετραγωνικών μορφών και της τρίτης θεμελιώδους μορφής ( είναι το καθετικό διάνυσμα της επιφάνειας) υφίσταται, ως γνωστόν, η σχέση (1.2) όπου 54
(1.3) είναι η μέση καμπυλότητα της Υποθέτουμε ότι η είναι της κλάσης,εμβυθισμένη σε τριδιάστατη πολλαπλότητα Riemann και ότι είναι απαλλαγμένη από κυκλικά σημεία. Τότε σε μία περιοχή ενός σημείου της, αν οι γραμμές καμπυλότητας είναι οι παραμετρικές γραμμές, θα έχουμε όπου είναι οι πρωτεύουσες καμπυλότητες της Η καμπυλότητα δίνεται από την εξίσωση (1.4) Αν τώρα θέσουμε έχουμε τον τύπο οπότε η καμπυλότητα θα δίνεται από τη σχέση (1.5) Οι εξισώσεις Mainardi-Codazzi λαμβάνουν, λόγω της θεωρηθείσας παραμετροποίησης, τη μορφή (1.6) όπου θέσαμε και. 55
Εάν τώρα θέσουμε, οι (1.6) γίνονται (1.7) οπότε, αντικαθιστώντας τις (1.7) στην (1.5), θα έχουμε (1.8) Χρησιμοποιώντας στη συνέχεια την (1.6), θα καταλήξουμε στην ακόλουθη σχέση (1.9) όπου και είναι οι παράγωγοι κατεύθυνσης στις πρωτεύουσες κατευθύνσεις Υποθέτουμε στη συνέχεια ότι η είναι από την κλάση. Τότε η καμπυλότητα είναι ορισμένη και συνεχής, όταν η είναι μη εκφυλισμένη. Να σημειώσουμε σε αυτό το σημείο ότι η είναι εκφυλισμένη ακριβώς τότε, όταν ισχύει Σε ένα κυκλικό σημείο έχουμε οπότε η είναι εκφυλισμένη, αν-ν ισχύει Στη συνέχεια παραθέτουμε τα βασικά αποτελέσματα για την καμπυλότητα της μετρικής Έχουμε λοιπόν μία επιφάνεια η οποία είναι της κλάσης εμβυθισμένη σε μία τριδιάστατη ρημάνεια πολλαπλότητα σταθερής καμπυλότητας. Όπως και προηγουμένως, θέτουμε για σταθερές με. 56
Στην περιοχή κάθε μη κυκλικού σημείου της είναι τα μοναδιαία εφαπτομενικά πεδία στις κατάλληλα προσανατολισμένες πρωτεύουσες κατευθύνσεις, που αντιστοιχούν στις πρωτεύουσες καμπυλότητες αντίστοιχα. Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 1.1 ([12]): Σε ένα μη κυκλικό σημείο, όπου ισχύει, η καμπυλότητα δίνεται από τη σχέση (1.9). Σε ομαλά κυκλικά σημεία 1, όπου έχουμε ισχύει. (1.10) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Ας είναι ένα μη κυκλικό σημείο της όπου ισχύει Θεωρούμε μία εμβύθιση όπου μία περιοχή του επί της. Διαλέγουμε την έτσι ώστε οι μερικές παράγωγοι των (ως προς τοπικές συντεταγμένες κοντά στο ) να είναι ίδιες. Άρα, στο σημείο οι τύποι των θεμελιωδών μορφών καθώς και οι καμπυλότητες πρέπει να είναι ίδιες για τις εμβυθίσεις. Επομένως, έχουμε ότι και το σημείο είναι κυκλικό για την εμβύθιση με Έτσι, η καμπυλότητα υπάρχει και ταυτίζεται με αυτές των στο σημείο και το δεξιό μέλος της (1.9) πρέπει να είναι το ίδιο για τις δύο εμβυθίσεις στο Εάν τώρα ισχύει σε ένα ομαλό κυκλικό σημείο, το οποίο δεν είναι εσωτερικό σημείο του κυκλικού συνόλου, τότε η σχέση (1.9) ισχύει για ακολουθία από μη κυκλικά σημεία, η οποία συγκλίνει στο. Λόγω της συνέχειας, η σχέση (1.9) ισχύει σε μία περιοχή του σημείου Στη συνέχεια, 1 Ένα κυκλικό σημείο καλείται ομαλό, όταν σε μία περιοχή του μπορούν να εισαχθούν καμπυλόγραμμες ορθογώνιες συντεταγμένες της κλάσης, σε σχέση με τις θεμελιώδεις μορφές I και II. 57
αφού έχουμε =0 στο σημείο η σχέση (1.6) μας δίνει στο και επομένως η σχέση (1.10) ισχύει στο Από την άλλη, εάν το είναι ένα εσωτερικό κυκλικό σημείο της χρησιμοποιώντας καμπυλόγραμμες συντεταγμένες της κλάσης σε μία περιοχή του που είναι ορθογώνιες ως προς τις, έχουμε ότι οι σχέσεις (1.6) και (1.7) ισχύουν για και επομένως η σχέση (1.8) μας δίνει τη σχέση (1.10). Τελειώνοντας, θα παραθέσουμε ορισμένα ενδιαφέροντα πορίσματα. Για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.[12, σελ. 250-252]. ΠΟΡΙΣΜΑ 1: Εάν έχουμε επί της τότε ισχύει όταν ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αφού έχουμε ότι η μετρική είναι εκφυλισμένη σε κάθε κυκλικό σημείο. Έτσι, όταν, συνεπάγεται ότι ισχύει η σχέση (1.9) και μετά από υπολογισμούς καταλήγουμε στην ΠΟΡΙΣΜΑ 2: Εάν η μέση καμπυλότητα είναι σταθερή και η είναι μία εμβύθιση στην πολλαπλότητα τότε η μετρική είναι επίπεδη και αόριστη. Εάν ισχύει (η είναι ελαχιστική), τότε η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι επίπεδη και αόριστη οπουδήποτε ισχύει ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αφού η μέση καμπυλότητα είναι σταθερή, μπορούμε να διαλέξουμε κατάλληλες συντεταγμένες, έτσι ώστε η να γίνει μία εμβύθιση της κλάσης Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το Πόρισμα 1 για διαπιστώνουμε ότι η μετρική είναι αόριστη στα μη κυκλικά σημεία και εκφυλισμένη στα κυκλικά. Εάν πάλι ισχύει τότε έχουμε και ενώ τα κυκλικά σημεία περιγράφονται από τη σχέση 58
ΠΟΡΙΣΜΑ 3: Εάν η καμπυλότητα είναι μία μη μηδενική σταθερά επί της τότε στα μη κυκλικά σημεία η μετρική είναι επίπεδη, ορισμένη όταν και αόριστη όταν ΠΟΡΙΣΜΑ 4: Εάν είναι μη αρνητικές σταθερές, τότε εάν ισχύει επί της η καμπυλότητα της μετρικής δίνεται από τη σχέση (1.11) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα 1.1 για. Ισχύει και και επομένως έχουμε. Εάν τώρα έχουμε σε ένα μη κυκλικό σημείο, τότε και από τη σχέση (1.8) καταλήγουμε στη σχέση (1.11). Από την άλλη, στα κανονικά κυκλικά σημεία έχουμε και ισχύει η σχέση (1.11) όταν Συγχρόνως, λόγω του ότι το σύνολο των κυκλικών σημείων είναι πυκνό στην επιφάνεια και λόγω της συνέχειας, έχουμε ότι η (1.11) ισχύει όταν ΠΟΡΙΣΜΑ 5: Όταν τότε ισχύει ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Εφαρμόζουμε το Πόρισμα 4 για, οπότε καταλήγουμε στη ζητούμενη σχέση. ΠΟΡΙΣΜΑ 6: Υποθέτουμε ότι η τρίτη θεμελιώδης μορφή είναι πλήρης και ότι ισχύει, όπου είναι σταθερά, και επιπλέον έχουμε. Τότ,ε η επιφάνεια είναι συμπαγής, ενώ οι καμπυλότητες και η χαρακτηριστική του Euler X είναι αυστηρά θετικές. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Λόγω της σχέσης (1.1) και του πορίσματος 5 καταλήγουμε στη σχέση (1.12) 59
Αφού η τρίτη θεμελιώδης μορφή είναι πλήρης, από το θεώρημα των Bonnet-Hopf-Rinow, συνεπάγεται ότι η επιφάνεια είναι συμπαγής. Συγχρόνως, από τη σχέση (1.12), προκύπτει ότι η καμπυλότητα της τρίτης θεμελιώδους μορφής πρέπει να είναι θετική. Επομένως έχουμε ότι Χ >, από το θεώρημα των Gauss-Bonnet, και η ολική καμπυλότητα της πρώτης θεμελιώδους μορφής πρέπει να είναι και αυτή θετική. Τέλος, αφού η καμπυλότητα δεν αλλάζει ποτέ πρόσημο, ενώ ισχύει συνεπάγεται ότι η καμπυλότητα δεν αλλάζει και αυτή πρόσημο. Έτσι, η καμπυλότητα θα είναι θετική, οπότε και η ΠΟΡΙΣΜΑ 7: Εάν είναι μη αρνητικές σταθερές και ισχύει και επί της τότε έχουμε Ειδικότερα, αν ισχύει επί της τότε. ΠΟΡΙΣΜΑ 8: Εάν ισχύει και η επιφάνεια είναι συμπαγής, τότε η χαρακτηριστική του Euler X είναι μηδέν και ισχύει Κ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Λόγω του θεωρήματος των Gauss-Bonnet, οι ολικές καμπυλότητες της πρώτης θεμελιώδους μορφής, και, της τρίτης θεμελιώδους μορφής, ισούνται με X.Στη συνέχεια, από το Πόρισμα 7 έχουμε ότι έτσι, ώστε να ισχύει X Εάν τώρα ισχύει Κ, τότε από τη σχέση (1.1) έχουμε ότι το οποίο συνεπάγεται Όμως καταλήξαμε σε αντίφαση, αφού ισχύει X Άρα Κ ΠΟΡΙΣΜΑ 9: Στα μη κυκλικά σημεία, όπου έχουμε, ισχύει (1.13) 60
Στα ομαλά κυκλικά σημεία με θα έχουμε Για τις αποδείξεις των Πορισμάτων 3, 7 και 9 βλ.[12, σελ. 250-252]. 61
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1]. BAIKOUSSIS C and KOUFOGIORGOS TH: On convex hypersurfaces in Euclidean space, Arch. Math. 49 (1987), 337-343. [2]. BAIKOUSSIS C and KOUFOGIORGOS TH: Ovaloids with prescribed curvature of the second fundamental form, Arch. Math. 45 (1988), 245-248. [3]. BECKER M and KÜHNEL W: Hypersurfaces with constant inner curvature of the second fundamental form and the non-rigidity of the sphere, Math. Z. 223 (1996), 693-708. [4]. BLAIR D and KOUFOGIORGOS TH: Ruled surfaces with vanishing second Gaussian curvature, Monatsh. Math. 113 (1992), 177-181. [5]. HASANIS TH: Characterizations of the sphere by the curvature of the second fundamental form, Colloq. Math. 46 (1982), 41-44. [6]. KOUFOGIORGOS TH: Some characteristic properties of the sphere related to the curvature of the second fundamental form, Roum. Math. 4 (1979), 611-614. [7]. KOUFOGIORGOS TH and HASANIS TH: A characteristic property of the sphere, Amer. Math. Soc. 67 (1974), 303-305. [8]. KOUTROUFIOTIS D: Two characteristic properties of the sphere, Proc. Amer. Math. Soc. 44 (1974), 176-178. [9]. KÜHNEL W: On the inner curvature of the second fundamental form, 3 rd Congress of Geometry, Thessaloniki (1991), 248-253. [10]. KÜHNEL W: Ruled W - surfaces, Arch. Math. 62 (1994), 475-480. [11]. MILNOR T: The curvatures of some skew fundamental form, Proc. Amer. Math. Soc. 62 (1977), 323-329. 62
[12]. MILNOR T: The curvatures of on a surface in a 3- manifold of constant curvature, Michigan Math. 22 (1975), 247-255. [13]. SCHNEIDER R: Closed convex hypersurfaces with second fundamental form of constant curvature, Proc. Amer. Math. Soc. 35 (1972), 230-233. [14]. SIMON U: Characterization of the sphere by the curvature of the second fundamental form, Proc. Amer. Math. Soc. 55 (1976), 282-284. [15]. STAMOU G: Global characterizations of the sphere, Proc. Amer. Math. Soc. 68 (1978), 328-330. [16]. STAMOU G: Global characterizations of the sphere by the II curvature and the mean II - curvature, Rev. Roumaine Math. Soc. 32 (1987), 555-559. [17]. ΣΤΕΦΑΝΙΔΗ Ν: Διαφορική Γεωμετρία, Ι, ΙΙ, Θεσσαλονίκη (1982), (1987). 63