ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο του διανύσματος β, γ) το γινόμενο (α 2β ) (2α + β ). [Απ. 6, 3, -4] 2) Δίνονται τα διανύσματα α = (x, 1), β = (2, y) και γ = (x 5,3) για τα οποία ισχύει α β = 1 και γ β = 11.Να βρείτε α) τις τιμές των x, y β) τον πραγματικό αριθμό λ ώστε να ισχύει: (λα + β ) (β γ ) = 38 [Απ. x=3 y=5, λ=2] 3) Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β για τα οποία ισχύει α β = α 2 π και (α, β ) = 3 α) Να αποδείξετε ότι β = 2 α β) Να βρείτε για ποια τιμή του λ R τα διανύσματα v = 2a + β και w = λa [Απ. λ=2] β είναι κάθετα. 4) Δίνεται διάνυσμα α και το μοναδιαίο διάνυσμα β με (α, β ) = 120 και α (α + β ) = 3 α) Να αποδείξετε ότι α = 2 β) θεωρούμε το διάνυσμα v για το οποίο ισχύει v //(α + 2β ) και (α 5β ) (v β )
i) να γράψετε το διάνυσμα v ως γραμμικό συνδιασμό των διανυσμάτων α και β ii) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματας v [Απ. λ=2, v = 4] 5) Δίνονται διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α = 2 7, γ = 3, (γ, β ) = 60 και 3α β + β γ = 0 α) Να αποδείξετε ότι β = 6 β) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα ) α β και ) α γ γ) Να βρείτε το μέτρο α + β + γ [Απ. α β = -6, α γ = -15, α + β + γ =7] 6) Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α 1, β 2 και (, ) διανύσματα u 2α 3β, v α - 2β. Να υπολογίσετε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β β) τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u και v γ) το εσωτερικό γινόμενο u v δ) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v [Απ. α β = 1, u = 52 v = 13, u v = 23, 23 26 ] ΕΥΘΕΙΑ 3. Έστω τα 7) Δίνεται το σημείοα Α(4,2) και τα διανύσματα α = (μ, 6) και β = (6, μ 1), με μ R για τα οποία ισχύει α β = 30. Να βρείτε: α) Τον αριθμό μ β) Την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι: i) Παράλληλη στο διάνυσμα α ii) Κάθετη στο διάνυσμα β [Απ. μ=3, α = (3,6) και β = (6,2), y = 2x 6 και y = 3x + 14]
8) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(8,4) στο οποίο το ύψος ΒΔ βρίσκεται πάνω στην ευθεία y = 2x + 10 και η διάμεσος ΒΜ βρίσκεται πάνω στην ευθεία y = 3 x + 5. Να βρείτε: 4 4 α) Τις συντεταγμένες της κορυφής Β β) Τις εξισώσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ γ) Το μήκος της διαμέσου ΒΜ δ) Τις συντεταγμένες τις κορυφής Γ ε) Την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ [Απ. Β(6,-2), ΑΒ: y = 3x 20,ΑΓ: y = 1 x, M(2,1) και BM = 5, Γ( 4, 2), 2 x = 1] 9) Δίνεται η εξίσωση 3x 2 + 2y 2 + 7xy + 2x y 1 = 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις β) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες του ερωτήματος (α) [Απ. 3x + y 1 = 0 και x + 2y + 1 = 0, 45 ] 10) Δίνεται η εξίσωση: x 2 2y 2 xy 5x 2y + 4 = 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες β) Έστω ότι η ευθεία (ζ): x + 2y 8λ = 0 τέμνει τις ευθείες του ερωτήματος (α) στα σημεία Α και Β. Αν Μ είναι το μέσο του (ΑΒ), τότε: i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ συναρτήσεις του λ ii) Να αποδείξετε ότι καθώς το λ μεταβάλλεται στο R, το σημείο Μ, κινείται πάνω σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. [Απ. x + y 1 = 0 και x 2y 4 = 0, M(2 2λ, 5λ 1), 5χ + 2υ 8 = 0] 11) Έστω ε 1 η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ν( 1,3) και τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ώστε το Ν να είναι μέσο του (ΑΒ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε 1 β) Θεωρούμε τα σημεία Τ( 5,1) και Σ(2a 7,5 4a). Αν το σημείο Σ ανήκει στην ευθεία ε 1, να βρείτε: i) Τον αριθμό α ii) Τη μεσοκάθετο ε 2 του ευθύγραμμου τμήματος ΤΣ iii) Την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1 και ε 2
[Απ. A( λ+3 λ, 0) και Β(0, λ + 3), λ=3, α=2, ε 2: x 2y + 2 = 0, 45 ] 12) Η ευθεία (ε): λx 4y + λ + 2 = 0 απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 1. Να βρείτε: α) Τον αριθμό λ β) Τα σημεία του άξονα x x που απέχουν από την ευθεία ε απόσταση ίση με 2 γ) Τα σημεία του άξονα y y που ισαπέχουν από την ευθεία ε και από την αρχή των αξόνων. [Απ. λ=3, α = 5 ή α = 5,β = 5 ή β = 5] 3 9 13) Οι παράλληλες ευθείες ε 1 : y = λx + λ και ε 2 : y = λx + 2 απέχουν απόσταση ίση με 1. α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Να βρείτε τη μεσοπαράλληλη ζ των ε 1 και ε 2 γ) Έστω η ευθεία ε 3 που διέρχεται από το σημείο Α(4,2) και τέμνει την ε 1 σε σημείο με τετμημένη 7. Να βρείτε: i) Την εξίσωση της ευθείας ε 3 ii) Τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε 2 και ε 3 [Απ. λ = 3 4, ε 1: 3x 4y + 3 = 0 και ε 2 : 3x 4y + 8 = 0, ζ: 6x 8y + 11 = 0, Β(7,6), ε 3 : 4χ 3υ 10 = 0, δ 1 : x + y 18 = 0 και δ 2 : 7x 7y 2 = 0] 14) Δίνεται η εξίσωση: (α 1)x + (3α 13)y 11α + 41 = 0 (1) α) να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε α R β) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του α R οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση (1) διέρχονται από σταθερό σημείο γ) Έστω ε 1 και ε 2 οι ευθείες που προκύπτουν από την εξίσωση (1) για α = 5 και α = 4 αντίστοιχα i) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1 και ε 2 ii) Έστω ε 3 η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Τ( 3,4) και σχηματίζει γωνία 135 ο με τον άξονα x x. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ευθείες ε 1, ε 2, ε 3 [Απ: β) Α(2,3), γ) 45 ο, 10 τ.μ.] 15) Δίνονται οι εξισώσεις:
λx + (λ 1)y + 5 10λ = 0 (1) και (λ + 2)x + λy 5λ = 0 (2) α) Να αποδείξετε ότι καθεμία από τις εξισώσεις (1) και (2) παριστάνει ευθεία για κάθε λ R β) Έστω ότι οι ευθείες ε 1 και ε 2 που παριστάνουν οι εξισώσεις (1) και (2) αντίστοιχα, είναι παράλληλες γ) Να αποδείξετε ότι λ = 2 δ) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε 1 και ε 2 ε) Να βρείτε το σημείο Α της ευθείας ε 1 που έχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων στ) Αν Α(6,3), να βρείτε σημείο Β της ευθείας ε 2, ώστε ΑΒ = 5 [Απ: ii) 2 5 iii) 2x+y-10=0 iv) A(6,3)] 16) Δίνονται τα διανύσματα α, β 0 και η εξίσωση: 6 α β x 4 α β y 2α β = 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία ε β) Αν α β, να αποδείξετε ότι η ευθεία ε είναι ο άξονας x x γ) Αν η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Α(1, 1), να αποδείξετε ότι α β δ) Αν η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Β(3,2), τότε να βρείτε: i) Τη γωνία των διανυσμάτων α και β ii) Την απόσταση του σημείου Μ ( α +2β 2 α 2β 2 ευθεία ε [Απ. 60 ο, d(μ,ε)=3] α β, 1) από την ΚΥΚΛΟΣ 17) Θεωρούμε την εξίσωση: x 2 + y 2 2αx + 4y + 2α = 0 όπου α R α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο για κάθε α R
β) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α ώστε η ακτίνα του κύκλου αυτού να είναι ίση με 2 γ) Να βρείτε τον α R ώστε το κέντρο του κύκλου να βρίσκεται στην ευθεία (ε): 5x + 3y + 1 = 0 δ) Να βρείτε τον α R ώστε ο κύκλος να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. [Απ. α = 0 ή α = 2, α = 1, α = 0] 18) Δίνεται η εξίσωση: x 2 + y 2 + λx + (4 λ)y 2λ 14 = 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ R β) Έστω ότι το κέντρο του κύκλου C, που παριστάνει η εξίσωση (1), ανήκει στην ευθεία: (ζ): 5x + 3y + 4 = 0. Να βρείτε: i) Τον αριθμό λ, καθώς και το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C ii) Τις εφαπτομένες του κύκλου που είναι παράλληλες στην ευθεία (η): 4x + 2y 2018 = 0 iii) Να δείξετε ότι το σημείο Ρ(-1,3) είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου C iv) Τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Ρ(-1,3) [Απ. λ=-2 τελικά Κ(1,-3) και ρ= 20, y = 2x + 9 και y = 2x 11, 2x y + 5 = 0 και x + 2y 5 = 0] 19) Δίνεται η εξίσωση: x 2 + y 2 + λx + (2λ 4)y 4λ 1 = 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ R β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η εξίσωση (1) για τις διάφορες τιμές του λ R κινούνται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση γ) Αν ο κύκλος C που παριστάνει η εξίσωση (1) διέρχεται από το σημείο Α(1,2), τότε να βρείτε: i) Τον αριθμό λ, το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου C ii) Την εφαπτόμενη (ε) του κύκλου C στο σημείο του Α iii) Τις εφαπτομένες του κύκλου C που είναι κάθετες στην ευθεία ε [Απ. Κ( λ, 2 λ) άρα y = 2x + 2, λ=4, 3x + 4y 11 = 0, 4x 3y + 27 = 0 2 και 4x 3y 23 = 0] 20) Δίνεται κύκλος C κέντρου Κ( 1,3) που εφάπτεται στον άξονα x x. α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C β) Θεωρούμε το σημείο Α( 1, 3). Να βρείτε:
i) Τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Α ii) Την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι παραπάνω εφαπτομένες [Απ. (x + 1) 2 + (y 3) 2 = 9, 3x y 3 + 3 = 0 και 3x + y + 3 3 = 0, 60 ο ] 21) Δίνεται η εξίσωση: x 2 + y 2 8x + 4y + 6 = 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να βρείτε το μήκος της χορδής του κύκλου C που έχει μέσο το σημείο Μ(2, 1) γ) Να βρείτε τις ευθείες που είναι παράλληλες στη (ζ): y = 3x + 2018 και ορίζουν στον κύκλο C χορδές με μήκος 4. [Απ. Κ(4,-2) ρ = 14, μήκος χορδής 6, y = 3x 24 και y = 3x 4] 22) Δίνεται η εξίσωση: (x 1) 2 + (y + 3) 2 20 + λ(3x + y 10) = 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ R β) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) για τις διάφορες τιμές του λ R διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β τα οποία και να βρείτε γ) Έστω ότι το κέντρο Κ του κύκλου C που παριστάνει η εξίσωση (1) ανήκει στην ευθεία (ζ): 2x + y + 8 = 0. Να βρείτε: i) Τον αριθμό λ ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΒ [Απ. Α(3,1) και Β(5,-5), λ=2, Κ(-2,-4) (ΑΚΒ)=20 τ.μ.] 23) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Γ(1, 3), του οποίου η πλευρά ΑΒ βρίσκεται στην ευθεία x 7y + 38 = 0 και το ύψος ΑΔ βρίσκεται στην ευθεία x + 3y 12 = 0. Να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες τις κορυφής Α β) Την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Β γ) Τις μεσοκαθέτους των πλευρών ΑΒ και ΑΓ δ) Την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου C του τριγώνου ΑΒΓ ε) Την εφαπτομένη (ε) του κύκλου C στο σημείο Α και την απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία (ε) [Απ. Α(-3,5), ΒΓ: 3x y 6 = 0, Β(4,6), 7x + y 9 = 0 και x 2y + 3 = 0, Κ(1,2), ρ=(κα)=5 C: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25, (ε): 4x 3y + 27 = 0 και d(γ, ε) = 8]
24) Δίνεται η εξίσωση x 2 + y 2 2xσυνθ 2yημθ 1 = 0, 0 θ < 2π α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα β) Αν θ = π, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο 2 σημείο Ν(1,2) γ) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1 δ) Δίνονται τα σημεία Τ(ημφ 4, συνφ + 2), φ R. Να αποδείξετε ότι τα παραπάνω σημεία κινούνται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα ε) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α ( 2λ, λ4 +4 λ 2 +2 λ 2 +2 ημικύκλιο με κέντρο την αρχή των αξόνων ), λ R κινούνται σε [Απ. Κ(συνθ, ημθ), ρ = 2, C: x 2 + y 2 2y 1 = 0, K(0,1), (ε): y = x + 3, (x + 4) 2 + (y 2) 2 = 1, x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 1, y > 0 ] 25) Δίνονται οι κύκλοι C 1 : x 2 + y 2 = 5 και C 2 : x 2 + y 2 10x 20y + 45 = 0 α) Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των παραπάνω κύκλων β) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου C 2 που είναι παράλληλες στο διάνυσμα ΟΚ, όπου Ο η αρχή των αξόνων και Κ το κέντρο του κύκλου C 2. γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C 1, C 2 εφάπτονται εξωτερικά δ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C 3, στον οποίο εφάπτονται εσωτερικά οι κύκλοι C 1 και C 2 [Απ. Κ(5,10) ρ 2 = 4 5, y = 2x 20 και y = 2x + 26, (OK) = ρ 1 + ρ 2, (x 4) 2 + (y 8) 2 = 125] 26) Δίνεται η εξίσωση x 2 + y 2 + 4(2λ 1)x 6λy + 25λ 2 16λ = 0 (1), λ R α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία κινείται το κέντρο του κύκλου γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι που αντιπροσωπεύονται από τη (1), εφάπτονται σε δύο ευθείες, οι οποίες και να βρεθούν.
[Απ. Κ(2 4λ, 3λ), ρ = 2, 3x + 4y 6 = 0, 3x + 4y 16 = 0 και 3x + 4y + 4 = 0] ΠΑΡΑΒΟΛΗ 27) Δίνεται η εξίσωση C: x 2 + y 2 6kx 8ky = 0, k R α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο ( για κάθε k R ) του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων γ) Να δείξετε ότι οι κύκλοι C διέρχονται από το σημείο Ο(0,0) για κάθε k R δ) Έστω C 1 ο κύκλος για k = 1 και η ευθεία (ε): y = λx + 2. Να βρείτε το λ R ώστε η ευθεία (ε) να τέμνει τον κύκλο C 1 σε δύο σημεία Α και Β έτσι ώστε ΑΟΒ = 90 ε) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής, η οποία διέρχεται από το κέντρο του προηγούμενου κύκλου για k = 1 και έχει διευθετούσα την ευθεία x = p. Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής. 2 [Απ. Κ(3k, 4k), ρ = 5 k, y = 4 3 x χωρίς το Ο(0,0), λ = 2 3, y2 = 16 3 x ] 28) Δίνεται κύκλος C: x 2 + y 2 = 25 και ε 1 και ε 2 οι εφαπτομένες του κύκλου από το σημείο Μ(0, 10). Αν Α και Β είναι τα σημεία επαφής των ε 1, ε 2 με τον κύκλο, να βρείτε: α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε 1 και ε 2 β) Τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α και Β γ) Την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σημεία Α και Β [Απ. ε 1 : x 3 y 10 = 0 και ε 2 : x 3 + y + 10 = 0, A( 5 3, 5 5 3 ), B(, 5 ), 2 2 2 2 C: x 2 = 15 y] 2 29) Δίνεται η παραβολή y 2 = 4x. Να βρείτε: α) Την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής β) Τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 2 2 γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y = x 1 [Απ. Ε(1,0) δ: x = 1, y = x 1 και y = x + 1, y = x + 1]
30) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Β έχει συντεταγμένες (2,0), το ύψος ΑΔ και η διάμεσος ΑΜ έχουν αντίστοιχα εξισώσεις y = x + 3 και y = 2x 9. Να βρείτε: α) Τι συντεταγμένες της κορυφής Α β) Τις εξισώσεις των πλευρών ΑΒ και ΒΓ γ) Τις συντεταγμένες της κορυφής Γ δ) Την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΔΓ ε) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από την αρχή των αξόνων στ) Την εξίσωση της παραβολής που έχει εστία το σημείο Β Βιβλιογραφία Μαθηματικά Β' λυκείου (Εκδότης: Εκδόσεις Μπάρλας) Μαθηματικά Β λυκείου -Συγγραφείς: Βασίλης Γ. Παπαδάκης (Εκδότης: Σαββάλας) www.askisopolis.gr ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ -ΜΑΜΑΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΣΤΕΛΙΟΣ, ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ (Εκδότης: ΛΙΒΑΝΗΣ)