11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A να ισχύει ότι: x + T A και x T A ( x T) f ( x) f + = και f ( x T) = f ( x) Ο αριθμός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ(x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ = ημx έχει τις εξής ιδιότητες: Παρατηρήσεις: α) Αν ο αριθμός Τ>0 είναι ερίοδος μιας συνάρτησης f, τότε και ο αριθμός λτ με * λ Z είναι είσης ερίοδος της f (Ως ερίοδο θα αίρνουμε το μικρότερο Τ) β) Αν μια συνάρτηση f έχει ερίοδο Τ, τότε τη μελετάμε συνήθως σε ένα διάστημα Α με λάτος Τ Έχει εδίο ορισμού το Α = R 31
Είναι εριοδική με ερίοδο Τ =, διότι: x + T, x T A = R για κάθε x R και f ( x + T) = f ( x + ) = ημ( x + ) = ημx = f ( x), για κάθε x A f ( x T) = f ( x ) = ημ( x ) = ημx = f ( x), για κάθε x A Εειδή ο αριθμός Τ = είναι ερίοδος της f, θα τη μελετήσουμε στο διάστημα Δ = 0, [ ] B M3 M Έχει μέγιστο το 1 για x = (και γενικά για x = κ +, 3 κ Ζ )Έχει ελάχιστο το 1 για x = (και γενικά για x = κ, κ Ζ ) A Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, και 3 και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, 3, Η μονοτονία και τα ακρότατα της f ( x) ημx Δ = [, ] (το οοίο έχει λάτος ίσο με Τ = = στο διάστημα 0 ), φαίνονται στον εόμενο ίνακα x 0 ημx 0 1 max 3 0 1 min Είναι εριττή συνάρτηση Αυτό σημαίνει ότι: f ( x) = f ( x), για κάθε x A = R Πραγματικά f ( x) = ημ( x) = ημx = f ( x), x R Οότε η γραφική αράσταση της f ( x) έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή ( 0, 0) των αξόνων 0 αό το 0 μέχρι το το Μ κινείται αό το Α μέχρι το Β Άρα η τεταγμένη του αυξάνει ου σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο 0, Ομοίως για τα άλλα διαστήματα 3
Η γραφική αράσταση της f ( x) ημx = είναι μια ημιτονοειδής καμύλη και έχει τη μορφή του αραάνω σχήματος Τονίζουμε ότι η συνάρτηση f ( x) = ημx δεν είναι μονότονη Η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στα σημεία με τετμημένες x = κ, κ Ζ Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο συν(x rad) λέγεται συνάρτηση συνημίτονο και συμβολίζεται με συν = συν x έχει τις εξής ιδιότητες: Έχει εδίο ορισμού το σύνολο Α = R B M3 M Είναι εριοδική με ερίοδο Τ =, διότι: x + T, x T A = R για κάθε x R και f ( x + T) = συν( x + ) = συνx και f ( x T) = συν( x ) = συνx, για κάθε x R 0, Έτσι μελετάμε την f στο διάστημα [ ] A Έχει μέγιστο το 1 για x = 0, x = (και γενικά για x = κ, κ Ζ ) και ελάχιστο το 1 για x = (και γενικά για x = κ +, κ Ζ ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] [, ] 0 και γνησίως αύξουσα στο 33
Η μονοτονία και τα ακρότατα της f ( x) συνx Δ = [ 0, ], φαίνονται στον αρακάτω ίνακα = στο διάστημα x 0 συνx 1 max 0 1 min 3 0 1 max Η f ( x)= συνx είναι άρτια συνάρτηση, διότι: f ( x) = συν( x) = συνx = f (x), για κάθε x R Άρα η γραφική αράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y f φαίνεται στο αρακάτω σχήμα και τέμνει τον άξονα x x στα σημεία x = κ +, κ Ζ Η γραφική αράσταση της ( x) αό το 0 μέχρι το το Μ κινείται αό το Α μέχρι το Β Άρα η τετμημένη του μειώνεται ου σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, Ομοίως για τα άλλα διαστήματα Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η συνάρτηση εφατομένη ου συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής: ημω εφω = συνω B M3 M A = εφx Έχει ερίοδο Τ = 34
Εειδή είναι εριοδική μορούμε να την μελετήσουμε σε ένα διάστημα λάτους χ στο, και γενικά σε κάθε διάστημα της μορφής: Δ = κ, κ+ κ, με κ Ζ Έτσι το εδίο ορισμού της είναι το: Α = R x x = κ +, κ Ζ Δεν έχει ακρότατα (δηλαδή δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο) Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Είναι εριττή συνάρτηση, διότι: f ( x) = εφ( x) = εφx = f (x), για κάθε x Α οότε η γραφική αράσταση της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων αό το - μέχρι το το Μ κινείται αό το Β μέχρι το Β Άρα η τεταγμένη του σημείου Ε αυξάνει ου σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = εφx είναι γνησίως αύξουσα στο, Η γραφική αράσταση έχει τη μορφή του αραάνω σχήματος και τέμνει τον άξονα x x στα σημεία x = κ, κ Ζ Όταν το x αίρνει τιμές κοντά στο, δηλαδή το x λησιάζει συνέχεια («τείνει») αό τις μικρότερες τιμές το, τότε οι τιμές της εφx μεγαλώνουν λησιάζοντας συνέχεια στο + Όταν συμβαίνει αυτό λέμε ότι η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f / -/ + + + 0 35
Όμοια η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f Μελέτη της συνάρτησης f(x) = σφx ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η συνάρτηση συνεφατομένη ου συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής: συνω σφω = ημω = σφx Έχει ερίοδο Τ = Εειδή είναι εριοδική μορούμε να την μελετήσουμε σε ένα 0, και γενικά σε κάθε διάστημα της διάστημα λάτους χ στο ( ) μορφής: κ ( κ, κ ), με κ είναι το: Α= R { x x= κ, κ Ζ} Δ = + Ζ Έτσι το εδίο ορισμού της Δεν έχει ακρότατα (δηλαδή δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο) Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( 0, ) Είναι εριττή συνάρτηση, διότι: f ( x) = σφ ( x) = σφx= f ( x ), για κάθε x Α οότε η γραφική αράσταση της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων 8 6 4 0 x 05 0 05 15 5 3 - -4-6 -8 y E3 M3 E M E1 αό το 0 μέχρι το το Μ κινείται αό το Α μέχρι το Α Άρα η τετμημένη του σημείου Δ μειώνεται ου σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = σφx είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, ) Η γραφική αράσταση έχει τη μορφή του αραάνω σχήματος και τέμνει τον άξονα x x στα σημεία x = κ +, κ Ζ Οι κατακόρυφες ασύμτωτες είναι οι ευθείες x = 0, x = 36