Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φσζικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζεις III: Άηομο σδρογόνοσ. Σύζηημα δσο ζωμαηιδίων Έζησ δπν ζσκάηηα κε κάδεο m θαη είλαη: m θαη έλα δπλακηθό V x, x pˆ pˆ Ĥ V x, x m m Η δε εμέιημε ηνπ ζπζηήκαηνο ζην ρξόλν δίδεηαη από ηελ Γηαθξίλνπκε δπν πεξηπηώζεηο γηα ηελ Ĥ : Ĥ i t α) λα ρσξίδεηαη ζε άζξνηζκα δπν αλεμάξηεησλ όξσλ V x, x V x V x ˆ pˆ pˆ H Hˆ Hˆ m V x V x m. Η Φακηιηνληαλή ηνπ ζπζηήκαηνο νπόηε: β) λα κελ ππάξρεη ηέηνηνο δηαρσξηζκόο ησλ όξσλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα δπν ζσκάηηα:, V x x V x V x Σηελ πξώηε πεξίπησζε έρνπκε δπν αλεμάξηεηα ζσκάηηα πνπ δελ αιιειεπηδξνύλ κεηαμύ ηνπο, ελώ ζηε δεύηεξε πεξίπησζε έρνπκε δπν αιιειεπηδξώληα ζσκάηηα. Η πξώηε πεξίπησζε ιύλεηαη εύθνια γξάθνληαο ηελ νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε (θαηάζηαζε) σο γηλόκελν ησλ θαηαζηάζεσλ ησλ δύν ζσκαηηδίσλ: x x x x Αληηθαζηζηώληαο ζηελ εμίζσζε ηνπ Schrödiger θαη δηαηξώληαο κε x x έρνπκε: pˆ pˆ V x x V x x E x m x m Ο πξώηνο όξνο είλαη ζπλάξηεζε ηεο x, ελώ ν δεύηεξνο ηεο x, θαη εθόζνλ νη δπν όξνη έρνπλ άζξνηζκα κηα ζηαζεξά E γηα x, x, ζα πξέπεη ν θάζε έλαο λα είλαη ίζνο κε κηα ζηαζεξά. Η εμίζσζε ινηπόλ αλάγεηαη ζε δπν αλεμάξηεηεο εμηζώζεηο: Hˆ x E x και Hˆ x E x (.) Η επίιπζε ησλ (.) γίλεηαη κε ηηο κεζόδνπο πνπ έρνπκε ρξεζηκνπνηήζεη σο ηώξα. Τέινο, είλαη πξνθαλέο όηη ηα ίδηα ηζρύνπλ θαη ζε ηξεηο δηαζηάζεηο.
Σηελ δεύηεξε πεξίπησζε, πξνθαλώο δελ κπνξνύκε λα ρσξίζνπκε ηελ εμίζσζε ζε δπν αλεμάξηεηεο εμηζώζεηο. Υπάξρεη, σζηόζν, κηα ηάμε δπλακηθώλ, ηεο κνξθήο, V x x V x x γηα ηα νπνία κπνξνύκε λα πεξηγξάςνπκε ην ζύζηεκα σο δπν αλεμάξηεηεο θηλήζεηο: ηνπ θέληξνπ κάδαο θαη ηεο ζρεηηθήο θίλεζεο ησλ δπν ζσκαηίσλ. Απηό γίλεηαη κε ηελ αιιαγή ησλ κεηαβιεηώλ: mr mr R, r r r m m Γηα επθνιία, επίζεο νξίδνπκε ηηο παξακέηξνπο M, : M m m, m m Αληηζηξέθνληαο ηηο εμηζώζεηο παίξλνπκε mr mr MR r r r θαη άξα: Με ιίγε άιγεβξα βγάδνπκε: m mm r R r p mr mr r M M m mm r R r p mr mr r M M p m m m m R r m m R r m m M m M p m m m m R r m m R r m m M m M H MR m m M M r pcm prel! Δπνκέλσο, βξίζθνπκε όηη ε Φακηιηνληαλή κπνξεί λα γξαθεί σο ˆ ˆ ˆ pcm prel H V r M H (.) πεξηγξάθεη δπν αλεμάξηεηα, κε αιιειεπηδξώληα ζσκάηηα, κε κάδεο M θαη. Δπνκέλσο, ε ιύζε ηεο (.) δίλεηαη σο γηλόκελν: R r R r όπνπ ε CM R κάδαο ζην δπλακηθό, CM rel (.) πεξηγξάθεη έλα ειεύζεξν ζσκάηην κάδαο M θαη ε r πεξηγξάθεη έλα ζσκάηην Vr : rd
ˆp CM CM R ECMCM R M ˆp rd V r rel r Erel rel r Η δε νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο, επνκέλσο, ζα είλαη p CM E Erel M Η ιύζε, ινηπόλ, ηνπ ζπζηήκαηνο, αλάγεηαη ηειηθά ζηε ιύζε ηεο εμίζσζεο Schrödiger γηα έλα ζώκα κάδαο ζην δπλακηθό V r. Δπνκέλσο, γηα αθόκε κηα θνξά, έρνπκε λα ιύζνπκε ηελ Lˆ V r r,, E m r r r mr Η κέζνδνο είλαη γλσζηή ιόγσ ηεο αλεμαξηεζίαο ησλ παξαγόλησλ, δνθηκάδνπκε ηε ιύζε: r r,, Rr m, r Η είλαη ηδηνζπλάξηεζε ηεο νιηθήο ζηξνθνξκήο θαη ηεο ζπληζηώζαο ηεο ζηνλ άμνλα z : Δλώ ε αθηηληθή εμίζσζε γηα ηελ m ˆL, R r L m ˆz Rr γξάθεηαη σο V r E m r r r mr Σεκεηώλνπκε όηη εθόζνλ rf f r r r r r ε (.) γξάθεηαη θαη σο (.) rr E V rr (.4) r r r. Δσναμικό Coulomb και δέζμιες καηαζηάζεις Δθόζνλ mx V r, γηα δέζκηεο θαηαζηάζεηο έρνπκε E E. Η (.4) κπνξεί λα γξαθηεί πην απιά κε ηελ αληηθαηάζηαζε u r rr r Αληηθαζηζηώληαο θαη ηε κνξθή ηνπ δπλακηθνύ, παίξλνπκε ηελ εμήο δηαθνξηθή εμίζσζε: d u e u E u (.5) dr r r Γηα λα πξνρσξήζνπκε, μαλαγξάθνπκε ηελ (.5) ζε αδηάζηαηε κνξθή, κε ηελ αιιαγή κεηαβιεηήο k E kr όπνπ E k. Απηό καο δίλεη
d u ke k k u E u d Απινπνηώληαο, παίξλνπκε du u u u d 4 Όπνπ νξίζακε e, k Οξίδνληαο ηελ αθηίλα σο e, παίξλνπκε: k e 4 E k k όπνπ e 4 θαη είλαη ε ζηαζεξά ηνπ Rydberg Οπόηε ε δηαθνξηθή εμίζσζε γίλεηαη: du u u d 4 Γηαθξίλνπκε δύν όξηα γηα ην : θαη. du u u Ae Be d 4 Γηα : (.6) Δπεηδή πξέπεη lim, παίξλνπκε r Γνθηκάδνπκε ιύζε ηεο κνξθήο Οη ιύζεηο είλαη: θαη άξα u e A : du Γηα : u d u u u u u A B Δθαξκόδνληαο ηε ζπλνξηαθή ζπλζήθε γηα, παίξλνπκε: limu A θαη επνκέλσο, ε ιύζε ηεο (.6) γξάθεηαη ζηε κνξθή u u F Απνκέλεη λα βξνύκε ηε ζπλάξηεζε F. Αληηθαζηζηώληαο ηελ (.7) ζηελ (.6), παίξλνπκε ηελ εμήο δηαθνξηθή εμίζσζε (.7) 4
d d F d d (.8) Γνθηκάδνπκε ιύζε κε αλάπηπμε ζε άπεηξε ζεηξά: F (.9) Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (.8), παίξλνπκε: Μαδεύνληαο ηνπο όξνπο κε ηελ ίδηα δύλακε ηνπ, k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k (.) k k Τν επόκελν βήκα είλαη λα επαιεζεύζνπκε όηη ε ζεηξά (.9) κε ηνπο όξνπο όπσο ζηελ (.) ζπγθιίλεη: lim k k k k Όλησο, ε ζεηξά ζπγθιίλεη. Ωζηόζν, είλαη ίδηα κε ηε ζεηξά Δπνκέλσο ην γηλόκελν ηεο ζεηξάο θαη ηνπ όξνπ e e lim u e e e! από ηελ (.7) γηα ζα ζπκπεξηθέξεηαη σο Μόλνο ηξόπνο απνθπγήο ηνπ πξνβιήκαηνο κε ηε ζπλνξηαθή ζπλζήθε ζην, είλαη ε ζεηξά λα κελ είλαη άπεηξε, αιιά λα ηεξκαηίδεηαη, δειαδή λα ππάξρεη δείθηεο k mx ηέηνηνο ώζηε kmx αθέξαηνο, ίζνο κε kmx E E Γηα βξίζθνπκε ηηο ελεξγεηαθέο ζηάζκεο ηνπ Bohr: E Τν πνιπώλπκν F είλαη δηαθνξεηηθό γηα θάζε ηηκή ησλ θαη, νπόηε ηνπ δίλνπκε δπν δείθηεο: F k.. Απηά είλαη γλσζηά σο «Πνιπώλπκα Lguerre». Δίλαη δε, πνιπώλπκν βαζκνύ mx Πνιιαπιαζηαδόκελν κε ηνλ όξν δύλακε θάζε,, θαη κέγηζηε ην όπνπ F πνιπώλπκν ηεο κνξθήο Δίλαη δε πξνθαλέο όηη ζηελ (.7), ην απνηέιεζκα είλαη έλα πνιπώλπκν κε ειάρηζηε. Έηζη ζπκπεξαίλνπκε όηη ε αθηηληθή θπκαηνζπλάξηεζε ζα είλαη, γηα R F r e kr r... r 5
k mx Τν κπνξεί λα παίξλεη όιεο ηηο αθέξαηεο ηηκέο,,... έσο.. Παραδείγμαηα. Υπνινγηζκόο ζεκειηώδνπο θαηάζηαζεο ηνπ αηόκνπ ηνπ πδξνγόλνπ, θαζώο θαη ησλ r θαη Δθόζνλ, θαη άξα ε ιύζε ηεο αθηηληθήο εμίζσζεο u F e Τν πνιπώλπκν Lguerre F ζα είλαη βαζκνύ, άξα είλαη κηα ζηαζεξά, A, πνπ βξίζθεηαη θαλνληθνπνηώληαο ηελ θπκαηνζπλάξηεζε, δει. απαηηώληαο d R r r dr A e A k k Καη άξα: Δπνκέλσο, Αληηθαζηζηώληαο kr, παίξλνπκε Με ηνλ ίδην ηξόπν βξίζθνπκε r R r re r R r rr r r dr R r dr 4! k 4k r k e d R r dr k e d k r r k Η κέγηζηε πηζαλόηεηα εύξεζεο ηνπ ειεθηξνλίνπ είλαη ζην ζεκείν όπνπ pr r Rr dp αθξόηαην, δει. dr. p u e dp Γηα d, βξίζθνπκε, δει. πην πηζαλή αθηίλα: r. Οη θπκαηνζπλαξηήζεηο ηνπ αηόκνπ ηνπ πδξνγόλνπ δίδνληαη σο εμήο: r είλαη. 6
S r,, e, r r S r,, e, r r,,, r P r,, e, r r,,, r r S r,, e r 4 9 r r r r r r,,, r r P r,, e, r 6,,, r r 7 5,,,,,,,, D r,, e,,. Υπνινγηζκόο πηζαλόηεηαο ην ειεθηξόλην λα βξεζεί ζε απόζηαζε m από ηνλ ππξήλα, όπνπ m αξηζκόο:,,,, m m r 4 4 P m P r m r r dr r e dr m m e Αληηθαζηζηώληαο κεξηθέο ελδεηθηηθέο ηηκέο, Γηα m P % (κόλν ην ηεο δσήο ηνπ ζε r!) r % r 76% r 4 99% r 7 99,99% r 9 99,9997% 7
E 4 me e V r E r me m e 4 4 r r 4% ηνπ ρξόλνπ ηνλ πεξλάεη ζηελ θιαζζηθά απαγνξεπκέλε πεξηνρή!. Παξάδεηγκα: Σε ρξόλν t, άηνκν πδξνγόλνπ βξίζθεηαη ζηελ εμήο θαηάζηαζε: 4 r r r r, e A e i 7 ) Υπνινγίζηε ηε ζηαζεξά A : 4 r, A i 7 dv A 7 9A A 9 b) Πνηα ε πηζαλόηεηα, κέηξεζε ηεο ζηξνθνξκήο λα δώζεη ηελ ηηκή? p c) Πνηα ε πηζαλόηεηα (ππθλόηεηα) ην ειεθηξόλην λα βξεζεί ζε έλα θέιπθνο πάρνπο dr ζε αθηίλα r? p r drd r dr r r 4 8 r r r r d e d e 7 e e r dr d) Βξείηε κηα εμίζσζε πνπ λα δίλεη ην ζεκείν κε ην κέγηζην ηεο Pr r..4 Απνδείμηε όηη r επεηδή ε m, r Pr r r e e r 6 r 4 dpr r 4r r dr r r r r re e e e ζηελ m ηνπ αηόκνπ ηνπ H. m cosd cosd m x r si cos R r d cos ddr y z cos Y, d cos είλαη δπγή ζπλάξηεζε ηνπ cos. 8