Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντηση σας). (α) Αν 0 τότε η ακολουθία + + n είναι ϕραγµένη. (ϐ) Αν η ακολουθία + + n είναι ϕραγµένη τότε η σειρά συγκλίνει. (γ) Αν 0, τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως. (δ) Αν η σειρά συγκλίνει, τότε η σειρά συγκλίνει. (ε) Αν > 0 για κάθε N και αν 0 < + < για κάθε N, τότε η σειρά συγκλίνει. (στ) Αν > 0 για κάθε N και αν lim +, τότε η σειρά αποκλίνει. (Ϲ) Αν > 0 για κάθε N και αν + +, τότε η η σειρά αποκλίνει. (η) Αν 0, τότε η σειρά ( ) συγκλίνει. (ϑ) Αν > 0 για κάθε N και αν η σειρά συγκλίνει, τότε η σειρά συγκλίνει. (ι) Αν η σειρά συγκλίνει, τότε η σειρά συγκλίνει. (ια) Αν > 0 για κάθε N και αν η σειρά συγκλίνει, τότε η σειρά συγκλίνει. Υπόδειξη. (α) Λάθος. Η ακολουθία 0, όµως η ακολουθία + + + n δεν είναι ϕραγµένη (τείνει στο + ). (ϐ) Λάθος. Αν ϑεωρήσουµε την ακολουθία ( ), τότε έχουµε αν ο n είναι περιττός και 0 αν ο n είναι άρτιος. ηλαδή, η ακολουθία + + n είναι ϕραγµένη. Οµως, η σειρά ( ) αποκλίνει, διότι 0. (γ) Λάθος. Θεωρήστε την. Τότε, 0 και η δεν συγκλίνει απολύτως. (δ) Σωστό. Αποδείξαµε (στη ϑεωρία) ότι αν µια σειρά συγκλίνει απολύτως τότε συγκλίνει. αποκλίνει στο +, δηλαδή η
(ε) Λάθος. Θεωρήστε την. Τότε, > 0 για κάθε N και + + < για κάθε N. Οµως, η σειρά αποκλίνει. (στ) Λάθος. Θεωρήστε την. Τότε, > 0 για κάθε N και lim σειρά συγκλίνει. + lim (+). Οµως, η (Ϲ) Σωστό. Αν + +, υπάρχει N N ώστε + για κάθε N. Αφού η ( ) έχει ϑετικούς όρους, συµπεραίνουµε ότι 0 < N N+, δηλαδή 0. Συνεπώς, η σειρά αποκλίνει. (η) Λάθος. Αν ϑεωρήσουµε την ( ), τότε 0. Οµως, η σειρά ( ) αποκλίνει. (ϑ) Λάθος. Θεωρήστε την. Τότε, > 0 για κάθε N και η σειρά συγκλίνει. Οµως, η σειρά αποκλίνει. ( ) (ι) Λάθος. Από το κριτήριο του Dirichlet, η σειρά συγκλίνει. Οµως, η σειρά αποκλίνει. Λάθος. Σύµφωνα µε το κριτήριο Dirichlet, η σειρά ( ) συγκλίνει. Οµως, η σειρά αποκλίνει (συµπεριφέρεται σαν την αρµονική σειρά εξηγήστε γιατί). (ια) Σωστό. Αφού η συγκλίνει, έχουµε 0. Άρα, υπάρχει m N ώστε : για κάθε m, 0. Τότε, για κάθε m έχουµε 0. Από το κριτήριο σύγκρισης, η σειρά συγκλίνει.. Εξετάστε αν συγκλίνει η σειρά 4 6 ()! συγκλίνει. Υπόδειξη. Θέτουµε 4 6 ()!. Τότε, > 0 και + [ 4 6 ()( + )]! [ 4 6 ()]( + )! 4 6 () Από το κριτήριο του λόγου, η σειρά! αποκλίνει. Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι, άρα δεν ισχύει 0. + + >. 3. Εξετάστε για ποιές τιµές του p συγκλίνει η σειρά ( + ) p. (+ Υπόδειξη. Παρατηρούµε ότι lim ) ( ) p lim + p p+ > 0. Από το οριακό κριτήριο σύγκρισης, η σειρά ( + ) p συγκλίνει αν και µόνο αν η σειρά συγκλίνει. Αυτό συµβαίνει αν και µόνο αν (p+) (p + ) >, δηλαδή αν και µόνο αν p <. 4. είξτε ότι (α) ( )(+) (ϐ) +3 6 3 (γ) + +.
Υπόδειξη. (α) Θέτουµε b. Παρατηρούµε ότι Εχουµε b και b 0. Άρα, n b b + + ( )( + ). ( )( + ) (ϐ) Γνωρίζουµε ότι αν 0 < x <, τότε Συνεπώς, (γ) Γράφουµε διότι + 3 6 ( ) + 3 + + n n ( )( + ) (b b n+ ). x x x x x. ( 0 ( ) /3 (/3) + / (/) + 3. ( ) 0, + + ) 5. Υπολογίστε το άθροισµα της σειράς (+)(+). Υπόδειξη. Παρατηρούµε ότι n +. ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ). Χρησιµοποιώντας την ακολουθία b (+) 0, συµπεραίνουµε ότι n ( + )( + ) n (b b + ) b b n+ b 4. 6. Εφαρµόστε τα κριτήρια λόγου και ϱίζας στις ακόλουθες σειρές: (α) x x (ϐ) x! (γ) (δ) 3 x 0 0 (ε)! x (στ) x (Ϲ) x (η) x 3!. 0 0 Αν για κάποιες τιµές του x R κανένα από αυτά τα δύο κριτήρια δεν δίνει απάντηση, εξετάστε τη σύγκλιση ή απόκλιση της σειράς µε άλλο τρόπο. Υπόδειξη. Εξετάζουµε µερικές από αυτέσ: (α) x : Με το κριτήριο του λόγου. Αν x 0, έχουµε ( + ) + x + ( x ( + ) + ) x +. 3
Συνεπώς, η σειρά αποκλίνει. Η σειρά συγκλίνει µόνο αν x 0. Στο ίδιο συµπέρασµα ϑα καταλήγατε αν χρησιµοποιούσατε το κριτήριο της ϱίζασ: παρατηρήστε ότι x x + αν x 0. (ϐ) 0 x! : Με το κριτήριο του λόγου. Αν x 0, έχουµε x + /( + )! x /! x + 0 <. Συνεπώς, η σειρά συγκλίνει απολύτως. Η σειρά συγκλίνει για κάθε x R. (στ) x : Με το κριτήριο του λόγου. Αν x 0, έχουµε + x + /( + ) x / x ( + ) x. Συνεπώς, η σειρά συγκλίνει απολύτως αν x < / και αποκλίνει αν x > /. Εξετάζουµε τη σύγκλιση χωριστά ( ) στις περιπτώσεις x ±/. Παρατηρώντας ότι οι σειρές και συγκλίνουν, συµπεραίνουµε τελικά ότι η σειρά συγκλίνει αν και µόνο αν x /. 7. Εξετάστε αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά στις παρακάτω περιπτώσεις: n (α) + (ϐ) + (γ) + (δ) ( ). Υπόδειξη. (α) Αν +, τότε + + n n + +, άρα η σειρά αποκλίνει. (ϐ) Εχουµε + + +. Παρατηρούµε ότι / + + > 0. Αφού η αποκλίνει, η σειρά αποκλίνει από το οριακό κριτήριο σύγκρισης. (γ) Εχουµε + ( ++ ). Παρατηρούµε ότι / 3/ > 0. Αφού η 3/ σειρά συγκλίνει από το οριακό κριτήριο σύγκρισης. (δ) Χρησιµοποιούµε το κριτήριο της ϱίζασ: έχουµε 0 <, άρα η σειρά συγκλίνει. 8. Εξετάστε αν συγκλίνουν ή αποκλίνουν οι σειρές συγκλίνει, η + 3, ( ), cos,!. + Υπόδειξη. (α) 3 : παρατηρούµε ότι Αφού η / 3 + 3 > 0. συγκλίνει, η σειρά συγκλίνει από το οριακό κριτήριο σύγκρισης. 4
(ϐ) ( ): ϑέτουµε θ 0. Τότε, ( + θ ). Παρατηρούµε ότι, για κάθε 3, ( + ) < e < 3 ( + θ ). Άρα, θ > για κάθε 3. Αφού η αποκλίνει, η σειρά θ αποκλίνει κι αυτή. cos (γ) : παρατηρούµε ότι. Αφού η συγκλίνει, η σειρά συγκλίνει από το κριτήριο σύγκρισης.! (δ) : χρησιµοποιούµε το κριτήριο λόγου. Εχουµε άρα η σειρά συγκλίνει. + ( + )!!( + ) + ( + ) ( + ) e <, 9. Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές. Οπου εµφανίζονται οι παράµετροι p, q, x R να ϐρεθούν οι τιµές τους για τις οποίες οι αντίστοιχες σειρές συγκλίνουν. (α) (δ) (Ϲ) ( ) + + ( p (ϐ) p p (0 < p) (ε) + ). p q (0 < q < p) (στ) (γ) p q (0 < q < p) +( ) ( ) Υπόδειξη. (α) + : χρησιµοποιούµε το κριτήριο της ϱίζας. Εχουµε ( ) + e <, άρα η σειρά συγκλίνει. (ϐ) p p : χρησιµοποιούµε το κριτήριο του λόγου. Εχουµε + ( + )p p p p, άρα η σειρά συγκλίνει αν 0 < p < και αποκλίνει αν p >. Για p παίρνουµε τη σειρά, η οποία αποκλίνει ( 0 όταν!). (γ) p : ϑεωρούµε την b q / p. Αφού q < p, έχουµε b > 0. Από το οριακό (p q) κριτήριο σύγκρισης, η σειρά µας συγκλίνει αν και µόνο αν η συγκλίνει, δηλαδή αν και µόνο αν p > p (και 0 < q < p). (δ) : ϑεωρούµε την b + /. Εχουµε b > 0. Από το οριακό κριτήριο σύγκρισης, η σειρά αποκλίνει (διότι η αποκλίνει). 5
(ε) : ϑεωρούµε την b p q /p. Αφού 0 < q < p, έχουµε b > 0 (διότι (p/q) 0 (q/p) αφού 0 < p/q < ). Από το οριακό κριτήριο σύγκρισης, η σειρά µας συγκλίνει αν και µόνο αν η p συγκλίνει, δηλαδή αν και µόνο αν p > (και 0 < q < p). +( ) (στ) : παρατηρούµε ότι 0 < 3. Αφού η συγκλίνει, η συγκλίνει από το κριτήριο σύγκρισης. ( (Ϲ) p + ): παρατηρούµε ότι + p p. + + ( + + ) Θεωρούµε την b p και παρατηρούµε ότι 3/ b > 0. Από το οριακό κριτήριο σύγκρισης, η συγκλίνει αν και µόνο αν η συγκλίνει. ηλαδή, αν 3 (3/) p p >, το οποίο ισχύει αν p <. Β Οµάδα 0. Εξετάστε αν συγκλίνει ή αποκλίνει καθεµία από τις παρακάτω σειρέσ: (α) (δ) (Ϲ) 0, (ϐ) (!) 0 ()!, +, (γ) e (ε) ( ), (στ) +, (η)!, (ϑ) 3!. cos(x), x R Υπόδειξη. (α) Κριτήριο λόγου. (ϐ) Κριτήριο λόγου. (γ) Για x > 0 αρκετά µεγάλο, έχουµε e x > x 4. Άρα, υπάρχει 0 τέτοιος ώστε : για κάθε 0, e ( ) 4 e <. Επεται ότι η σειρά συγκλίνει, από το κριτήριο σύγκρισης. (δ) Κριτήριο ισοδύναµης συµπεριφοράσ: συµπεριφέρεται σαν την, δηλαδή αποκλίνει. (ε) Κριτήριο Leibniz. (στ) Συγκλίνει από το κριτήριο σύγκρισησ: παρατηρήστε ότι cos(x). (Ϲ) Συγκλίνει από το κριτήριο σύγκρισησ: παρατηρήστε ότι (η)-(ϑ) Κριτήριο λόγου. +.. Ορίζουµε µια ακολουθία ( ) ως εξής: αν ο είναι τετράγωνο ϕυσικού αριθµού ϑέτουµε δεν είναι τετράγωνο ϕυσικού αριθµού ϑέτουµε. Εξετάστε αν συγκλίνει η σειρά. και αν ο 6
Υπόδειξη. Η σειρά έχει ϑετικούς όρους. Αρκεί να δείξετε ότι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων είναι άνω ϕραγµένη. Παρατηρήστε ότι για κάθε m N έχουµε s m m m + m m s m + M < +. Αν n N, τότε M. ηλαδή, η ( ) είναι άνω ϕραγµένη.. Εστω { } ϕθίνουσα ακολουθία που συγκλίνει στο 0. Ορίζουµε είξτε ότι 0 ( ) n (s ) n+. Υπόδειξη. Γράφουµε ( ) n (s ) ( ) n κάθε m N, άρα Επίσης, άρα n+m+ n+ n+m n+ s ( ). n+ ( ) ( ) n+. Παρατηρήστε ότι : για n+ ( ) n+ ( n+ n+ ) + + ( n+m n+m ) 0, ( ) n (s ) lim n+m m n+ ( ) n+ n 0. ( ) n+ n+ ( n+ n+3 ) ( n+m n+m+ ) n+, n+m+ ( ) n (s ) lim ( ) n+ n n+. m n+ 3. Εστω ( ) ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών αριθµών. είξτε ότι : αν η συγκλίνει τότε 0. Υπόδειξη. Εστω ε > 0. Αφού η συγκλίνει, η ( ) είναι ακολουθία Cuchy. Άρα, υπάρχει n 0 N ώστε : αν n > m n 0 τότε m+ + + n s m < ε. Ειδικότερα, αν n n 0, παίρνοντας m n 0 και χρησιµοποιώντας την υπόθεση ότι η ( n ) είναι ϕθίνουσα, έχουµε ε > n 0+ + + n (n n 0 ) n n n, 7
διότι n n 0 n. ηλαδή, αν n n 0 έχουµε n n < ε. Επεται ότι lim n (n n) 0. 4. Εστω ότι > 0 για κάθε N. Αν η συγκλίνει, δείξτε ότι οι, +, + συγκλίνουν επίσης. Υπόδειξη. (α) Αφού η συγκλίνει, έχουµε 0. Άρα, υπάρχει m N ώστε : για κάθε m, 0. Τότε, για κάθε m έχουµε 0. Από το κριτήριο σύγκρισης, η σειρά συγκλίνει. (ϐ) Παρατηρήστε ότι 0 + για κάθε N. Από το κριτήριο σύγκρισης, η σειρά + συγκλίνει. (γ) Παρατηρήστε ότι 0 + για κάθε N. 5. Υποθέτουµε ότι 0 για κάθε N και ότι η σειρά συγκλίνει. είξτε ότι η σειρά + συγκλίνει. είξτε ότι, αν η { } είναι ϕθίνουσα, τότε ισχύει και το αντίστροφο. Υπόδειξη. Παρατηρήστε ότι 0 + + + για κάθε N και εφαρµόστε το κριτήριο σύγκρισης. Με την υπόθεση ότι η ( ) είναι ϕθίνουσα, παρατηρήστε ότι 0 + + για κάθε N και εφαρµόστε το κριτήριο σύγκρισης. 6. Υποθέτουµε ότι 0 για κάθε N και ότι η σειρά συγκλίνει. συγκλίνει. Υπόδειξη. Από την ανισότητα Cuchy-Schwrz, για κάθε n N έχουµε είξτε ότι η σειρά n ( n ) / ( n ) / M M, όπου M < + και M < +. 7. Εστω ( ), (b ) δύο ακολουθίες πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι : αν οι σειρές και b συγκλίνουν, τότε η σειρά b συγκλίνει απολύτως. Υπόδειξη. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε την ανισότητα Cuchy-Schwrz όπως στην υπόδειξη για την προηγούµενη άσκηση. Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι, για κάθε N ισχύει b + b. Άρα, για κάθε n N έχουµε n b n + n b. Από την υπόθεση, οι σειρές και b συγκλίνουν, άρα έχουν ϕραγµένα µερικά αθροίσµατα. ηλαδή, υπάρχει M > 0 τέτοιος ώστε n + n b M 8
για κάθε n N. Τότε, τα µερικά αθροίσµατα της b είναι κι αυτά ϕραγµένα από τον M, άρα η σειρά b συγκλίνει. 8. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι : αν η σειρά συγκλίνει και αν p > /, τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως. p Υπόδειξη. Παρατηρήστε ότι, για κάθε N ισχύει p +. Άρα, για κάθε n N έχουµε p n p n + Από την υπόθεση, οι σειρές και συγκλίνουν (η δεύτερη διότι p > ), άρα έχουν ϕραγµένα p µερικά αθροίσµατα. ηλαδή, υπάρχει M > 0 τέτοιος ώστε n + n M p για κάθε n N. Τότε, τα µερικά αθροίσµατα της είναι κι αυτά ϕραγµένα από τον M, άρα η σειρά p συγκλίνει. p 9. Προσδιορίστε τις τιµές των, b, c για τις οποίες συγκλίνει η σειρά b (ln ) c. n p. Υπόδειξη. Εφαρµόζουµε το κριτήριο του λόγου για την x. Εχουµε b (ln ) c x + x ( ) b ( ) c ln. + ln( + ) Άρα, η σειρά συγκλίνει για κάθε b, c αν < και αποκλίνει για κάθε b, c αν >. Εξετάζουµε χωριστά τις περιπτώσεις και : (i) Αν έχουµε τη σειρά b (ln ) c. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο συµπύκνωσης δείξτε ότι : συγκλίνει για κάθε c αν b >, αποκλίνει για κάθε c αν b <, ενώ στην περίπτωση που b η σειρά συγκλίνει αν c >. (i) Αν έχουµε τη σειρά ( ) b (ln ) c. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο Leibniz δείξτε ότι : συγκλίνει για κάθε c αν b > 0 και αποκλίνει για κάθε c αν b 0. 0. Προσδιορίστε τις τιµές των, b, c > 0 για τις οποίες συγκλίνει η σειρά ( ) ( ) sin b cos c. 9
Υπόδειξη. Θέτουµε και Παρατηρούµε ότι x, y > 0 και sin t παίρνοντας υπόψη µας τα ϐασικά όρια lim t 0 + t συγκλίνει αν και µόνο αν η σειρά b >. ( ) ( ) x sin b cos c y b b. x sin ( ) ( ) b y cos c b b και lim cos t. Άρα, η σειρά t 0 + sin ( ) ( cos ) b c συγκλίνει. ηλαδή, για όλες τις τριάδες (, b, c) µε, b, c > 0 και. Εστω ( ) ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε lim >. είξτε ότι η σειρά συγκλίνει. Υπόδειξη. Θεωρούµε R τέτοιον ώστε < < s : lim. Εφαρµόζοντας τον ορισµό του ορίου ακολουθίας µε ε s > 0, ϐρίσκουµε 0 τέτοιον ώστε > για κάθε 0. Συνεπώς, για κάθε 0 έχουµε 0 <. Ο είναι σταθερός (δεν εξαρτάται από το ) και µεγαλύτερος από, άρα η σειρά 0 κριτήριο σύγκρισης, η σειρά 0 συγκλίνει, άρα και η σειρά συγκλίνει. συγκλίνει. Από το. Εστω ( n ) ακολουθία στο R. Υποθέτουµε ότι n+ n n για κάθε n N. είξτε ότι η ( n ) συγκλίνει. Υπόδειξη. Θα δείξουµε ότι η ( n ) είναι ϐασική ακολουθία. Εστω ε > 0. Αφού η σειρά συγκλίνει, η ακολουθία n των µερικών αθροισµάτων της συγκλίνει, άρα είναι ϐασική. Συνεπώς, υπάρχει n 0 N µε την εξής ιδιότητα : για κάθε n > m n 0, n m+ s m < ε. Τότε, από την υπόθεση, για κάθε n > m n 0 έχουµε n n n m ( + ) n + < ε. m m m Αυτό αποδεικνύει ότι η ( n ) είναι ϐασική, άρα συγκλίνει. 3. Εστω ( ), (b ) δύο ακολουθίες πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι : αν η σειρά συγκλίνει και αν η (b ) είναι µονότονη και ϕραγµένη, τότε η σειρά b συγκλίνει. Υπόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι η (b ) είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη, άρα συγκλίνει σε κάποιον b R. Τότε, η (b b) είναι ϕθίνουσα µε όριο το 0 και η + + n είναι ϕραγµένη διότι η 0
συγκλίνει, οπότε εφαρµόζεται το κριτήριο του Dirichlet και έχουµε ότι η (b b) συγκλίνει. Επίσης, η σειρά b συγκλίνει στον b. Άρα, η συγκλίνει κι αυτή, στον b [ (b b) + b] (b b) + b. 4. Εστω ( ), (b ) δύο ακολουθίες. Αν η συγκλίνει και η b b + συγκλίνει, δείξτε ότι η b συγκλίνει. Υπόδειξη. Μιµούµαστε την απόδειξη του κριτηρίου Dirichlet, δηλαδή ϑα χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο του Cuchy και άθροιση κατά µέρη. Η + + n συγκλίνει, άρα υπάρχει M > 0 ώστε M για κάθε n. Εστω ε > 0. Χρησιµοποιώντας την υπόθεση ότι η b b + συγκλίνει, ϐρίσκουµε N N ώστε : για κάθε n > m N, Επεται ότι n m b m b n b b + < ε 4M. n m b b + < ε 4M για κάθε n > m N, άρα η (b n ) είναι ϐασική, άρα b n b R. Μπορούµε τότε να ϐρούµε N τέτοιο ώστε b b < ε 4M για κάθε N. Τέλος, αφού η ( ) συγκλίνει είναι ϐασική, άρα µπορούµε να ϐρούµε N 3 τέτοιο ώστε b s m < ε 4 για κάθε n, m N 3. Θέτουµε N mx{n, N, N 3 }. Άν N m < n, τότε n n b s (b b + ) + b n s m b m m m n s (b b + ) + (b n b) s m (b m b) + b( s m ) m n s b b + + b n b + s m b m b + b s m m n M m < ε 4 + ε 4 + ε 4 + ε 4 ε. Από το κριτήριο του Cuchy, η σειρά b συγκλίνει. b b + + M b n b + M b m b + b s m 5. Εστω ( ) 0 ϕραγµένη ακολουθια. Υποθέτουµε ότι η 0 αποκλίνει. είξτε ότι η ακτίνα σύγκλισης R της δυναµοσειράς 0 x ισούται µε. Υπόδειξη. Η δυναµοσειρά αποκλίνει για x, άρα R. Εφαρµόζοντας το κριτήριο της ϱίζας ϐλέπουµε ότι x x x
διότι η ( ) είναι ϕραγµένη, άρα (εξηγήστε γιατί). Άρα, η δυναµοσειρά συγκλίνει για κάθε x µε x <, το οποίο αποδεικνύει ότι R. Συνδυάζοντας τις R και R έχουµε το Ϲητούµενο. 6. Εστω ( ) 0 ακολουθια πραγµατικών αριθµών. Υποθέτουµε ότι η 0 συγκλίνει υπό συνθήκη. είξτε ότι η ακτίνα σύγκλισης R της δυναµοσειράς 0 x ισούται µε. Υπόδειξη. Η δυναµοσειρά συγκλίνει για x, άρα R. Ας υποθέσουµε ότι R >. Τότε, αφού για κάθε x < R η δυναµοσειρά x συγκλίνει, παίρνοντας x ϐλέπουµε ότι η σειρά συγκλίνει, δηλαδή η σειρά συγκλίνει απολύτως. Αυτό είναι άτοπο, άρα R. Γ Οµάδα 7. Υποθέτουµε ότι 0 για κάθε N και ότι η σειρά αποκλίνει. είξτε ότι ( + )( + ) ( + ). Υπόδειξη. Αν b 0 και για N, δείξτε ότι για κάθε N, άρα Παρατηρώντας ότι δείξτε ότι n b ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) b b ( + )( + ) ( + ) b 0 b n b n. ( + )( + ) ( + n ) > + + n + n ( + )( + ) ( + ) b n. 8. Εστω ( ) ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών αριθµών µε 0. είξτε ότι : αν η αποκλίνει τότε { min, } +. Υπόδειξη. Υποθέτουµε ότι η σειρά min { }, συγκλίνει. Αφού η ( ) ϕθίνει προς το 0, το ίδιο ισχύει για ( την min{, }) (εξηγήστε γιατί). Από το κριτήριο συµπύκνωσης, η σειρά min { }, min {, } συγκλίνει. Ειδικότερα, min {, } 0, άρα τελικά έχουµε min {, } (εξηγήστε γιατί).
Επεται ότι η σειρά συγκλίνει. Χρησιµοποιώντας ξανά το κριτήριο συµπύκνωσης, αυτή τη ϕορά για τη σειρά, ϐλέπουµε ότι η συγκλίνει. Αυτό είναι άτοπο από την υπόθεση. 9. Υποθέτουµε ότι > 0 για κάθε N και ότι η αποκλίνει. Θέτουµε + + + n. (α) είξτε ότι η + αποκλίνει. (ϐ) είξτε ότι : για m < n, και συµπεράνατε ότι η s (γ) είξτε ότι n s n αποκλίνει. m+ s m+ + + n s m και συµπεράνατε ότι η Υπόδειξη. (α) Εστω ότι η + συγκλίνει. Τότε, s συγκλίνει. + 0 + + +. Συνεπώς, υπάρχει m N ώστε : + < 3 για κάθε m. Επεται ότι 0 3 + για κάθε m. Από το κριτήριο σύγκρισης, η συγκλίνει, άτοπο. (ϐ) Παρατηρήστε ότι η ( ) είναι αύξουσα. Άρα, αν m < n έχουµε m+ + + n m+ + + n m+ + + n s m+ s m s m. Ας υποθέσουµε ότι η s συγκλίνει. Από το κριτήριο Cuchy, για ε > 0, µπορούµε να ϐρούµε n 0 N ώστε : αν n > m n 0 τότε m+ + + n < s m+, δηλαδή s m < Σταθεροποιήστε m n 0 και αφήστε το n. Αφού η το οποίο οδηγεί σε άτοπο. (γ) Παρατηρήστε ότι n s n s n Αν t n είναι το n-οστό µερικό άθροισµα της s m >. s αποκλίνει, έχουµε. Άρα, lim m n sn 0,., τότε s t n s + s + + n s ( + n s s s 3 ) ( + + ). s
Η (t n ) είναι άνω ϕραγµένη, άρα η συγκλίνει. s 30. Υποθέτουµε ότι > 0 για κάθε N και ότι η συγκλίνει. Θέτουµε r n. n (α) είξτε ότι : για m < n, και συµπεράνατε ότι η r (ϐ) είξτε ότι αποκλίνει. m + + n r n r n+ rn n < ( rn ) r n+ και συµπεράνατε ότι η r συγκλίνει. Υπόδειξη. Αφού η συγκλίνει, έχουµε r n 0. Παρατηρήστε επίσης ότι η (r n ) είναι ϕθίνουσα. (α) Αν m < n, m + + n r n m + + n m + + n r n+ r n+ r n. Ας υποθέσουµε ότι η r συγκλίνει. Από το κριτήριο Cuchy υπάρχει n 0 N ώστε : για κάθε n > m n 0, r n m + + n r n <. Σταθεροποιώντας m n 0 και αφήνοντας το n καταλήξτε σε άτοπο. (ϐ) Παρατηρήστε ότι Άρα, για κάθε n N, n Επεται ότι η r rn r n+ r n r n+ rn + r n+ n rn + r n+ n r n. r ( r r + r r 3 + + r n r n+ ) r. συγκλίνει. 3. Εστω ( ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν η σειρά αποκλίνει τότε και η σειρά αποκλίνει. b Υπόδειξη. Θέτουµε b. Τότε, ϑέλουµε να δείξουµε ότι : αν η σειρά αποκλίνει τότε και η σειρά b αποκλίνει. Παρατηρήστε ότι αν η b συγκλίνει, τότε έχει ϕραγµένα µερικά αθροίσµατα. Αφού η ϕθίνει προς το b 0, το κριτήριο Dirichlet δείχνει ότι η συγκλίνει, το οποίο είναι άτοπο. 4
3. Εστω ( ) ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν η σειρά συγκλίνει, τότε και η + συγκλίνει. Υπόδειξη. Γράφουµε + + (α) Αν > / + τότε + > /. Συνεπώς, (ϐ) Αν / + τότε Σε κάθε περίπτωση, και διακρίνουµε δύο περιπτώσεισ: +. ( ) + + +. + +. Οµως, η συγκλίνει, άρα η ( + ) συγκλίνει. Το Ϲητούµενο έπεται από το κριτήριο σύγκρισης. 5