Κεφάαιο 4 Θεωρήαα οής Σ' αυό ο εφάαιο θ αποδείξουε α Θεωρήαα οής για πεπερασένα παραγόενα R-πρόυπα, όπου R αέραια περιοχή υρίων ιδεωδών, (απι) 4 Ανάυση σε άθροισα περιοδιού αι εεύθερου, ανάυση σοιχείο σοιχείο περιοδιού σε άθροισα ων p-συνισωσών ου Έσω Μ ένα πεπερασένα παραγόενο R-πρόυπο Να υπενθυίσουε όι ένα m 0 έγεαι περιοδιό αν r R ε r 0 αι rm 0 = 0 αι ένα m έγεαι εεύθερο σρέψης αν m 0 αι η σχέση συνεπάγεαι όι r = 0 Ξέρουε όι αν είναι εεύθερο σρέψης T rm = 0 T = { m m περιοδιό σοιχείο ου Μ} όε T αι Ένα R πρόυπο Ν έγεαι περιοδιό R-πρόυπο αν άθε σοιχείο ου είναι περιοδιό δηαδή N = T N Ένα R-πρόυπο Κ έγεαι εεύθερο σρέψης R-πρόυπο αν άθε η ηδενιό σοιχείο ου Κ είναι εεύθερο σρέψης Πχ είναι εεύθερο σρέψης Ÿ -πρόυπο Ÿ n είναι περιοδιό Ÿ -πρόυπο Ÿ n δεν είναι ούε περιοδιό ούε εεύθερο σρέψης Ÿ -πρόυπο
4 Πρόαση Αν Ν είναι ένα πεπερασένο παραγόενο R-πρόυπο ο οποίο είναι εεύθερο σρέψης όε ο Ν είναι ένα εεύθερο R-πρόυπο Απόδειξη Έσω N =< x,, xk > Τόε άθε k -σοιχεία ου Ν είναι γραιά εξαρηένα έσω Πράγαι έσω + F ένας R-επιορφισός ε F εεύθερο διάσασης k αι π y,, yk+ όε a,, ak+ F ε π ( a ) = y Επειδή F εεύθερο διάσασης k έπεαι όι α α,, α k + είναι γραιά εξαρηένα άρα r,, ) (0,,0) ε r a + r k a 0, άρα r y + r k y 0 ( r k + Συνεπώς α y,, y k + + + k+ = είναι γραιά εξαρηένα + + k+ = Έσω οιπόν ρ ο έγισο πήθος γραιά αναξαρήων σοιχείων ου Ν Σύφωνα ε α προηγούενα Ν, έσω z z,, Για άθε x,, z ρ εξαρηένα άρα r R ε r 0 αι r x < z,, z ρ > ρ k Θεωρούε ρ γραιά ανεξάρηα σοιχεία ου k α σοιχεία x, z,, z είναι γραιά Έσω r = r όε r 0 επειδή R είναι αέραια περιοχή αι r ρ rx < z,, z ρ > k αι επειδή N =< x,, xk > έπεαι όι rw < z,, z ρ > w N Θεωρούε ον R-οοορφισό Επειδή ο Ν είναι εεύθερο σρέψης έπεαι όι ο N Imθ r z ρ z,, Imθ r Αά ε βάση α προηγούενα θ r θ ρ r N N w rw είναι R-ονοορφισός άρα Imθ z,, z N αι επειδή είναι εεύθερο R-πρόυπο, ως υποπρόυπο εεύθερου έπεαι όι αι ο είναι εεύθερο R-πρόυπο ως υποπρόυπο εεύθερου Άρα εεύθερο R-πρόυπο r ρ N Imθr είναι 4 Πρόαση Έσω Μ πεπερασένα παραγόενο R-πρόυπο αι ο σύνοο ων περιοδιών σοιχείων ου Μ Τόε T
() T αι = T F όπου F εεύθερο R-πρόυπο ε rkf = ο έγισο πήθος γραιά ανεξάρηων σοιχείων ου Μ () Αν = T F, όπου T περιοδιό υποπρόυπο ου Μ αι F εεύθερο υποπρόυπο ου Μ όε T = T αι F F () Αν T F όπου T περιοδιό R-πρόυπο αι F εεύθερο όε T T αι F F Η απόδειξη ης Πρόασης αφήνεαι ως άσηση Το αόουθο Πόρισα είναι άεση συνέπεια ης Πρόασης 4 Πόρισα Έσω Μ, Ν πεπερασένα παραγόενα R-πρόυπα Τόε N αν αι όνο αν T T N αι ο έγισο πήθος γραιά ανεξάρηων σοιχείων ου Μ ισούαι ε ο έγισο πήθος γραιά ανεξάρηων σοιχείων ου Ν αι Αν Μ πεπερασένα παραγόενο R-πρόυπο όε από ην Πρόαση έπεαι όι T είναι πεπερασένα παραγόενο R-πρόυπο Έσω T =< w,, wk > Επειδή w είναι ένα περιοδιό σοιχείο έπεαι όι r R ε r 0 αι rw = 0, k Συνεπώς αν r = r όε r 0 αι rt = 0 r k Η επόενη Πρόαση ας δίνει ια ανάυση ου ως ευθύ άθροισα ων pσυνισωσών ου T 44 Πρόαση Έσω Ν ένα περιοδιό R-πρόυπο αι έσω όι υπάρχει d R ε = k k k d 0 αι dn = 0 Αν d up p, ε u ανισρέψιο, αι p,, p η συνροφιούς πρώους αι Np = { x N p x = 0}, k Τόε + k () Np d N όπου d = up p p p, k = () N = Np Np k + k
4 Απόδειξη () Προφανώς p ( d, ) = συνεπώς έχουε όι d N Np Έσω ώρα x Np άρα p x = 0 Επειδή = r d + r p για άποια r r, R Άρα x = r d x + r p x, x = dr x d N, άρα Np = d N () Επειδή ( d,, d k ) = έπεαι όι = d + + k dk για άποια,, k R Άρα αν x N Έσω ώρα όε x = dx + d x + + k d k x άρα N = Np + + Npk w Np σ Np Προφανώς για άθε σ για j, άρα w = 0 αφού σ d σ ( p σ, d ) = άρα w = 0 Συνεπώς σ σ x N j έχουε όι x d = 0 w Np αι pσ σ w = 0 αφού w Npσ Αά N = Np Np k Παράδειγα Έσω ο Ÿ -πρόυπο = Ÿ Τόε = 0 αι όπου = Ÿ = ] {[0],[],[6] [9] } = = 4 = 4 Ÿ [ = = [ 4] = {[0],[4],[8] } = 45 Ορισός Έσω Ν ένα R-πρόυπο αι p ένα πρώο σοιχείο ου R Το υποσύνοο Np = { x N p x = 0 για άποιο 0} ου Ν είναι ένα υποπρόυπο ου Ν αι έγεαι η p-συνισώσα ου Ν 46 Θεώρηα πρωαρχιής ανάυσης Έσω Μ ένα πεπερασένα παραγόενο περιοδιό R-πρόυπο ε 0 Τόε υπάρχει πεπερασένο πήθος η συνροφιών πρώων σοιχείων ου R, p,, ε p αι = p pk p k 0 Επιπέον αν Ν είναι ένα πεπερασένα παραγόενο περιοδιό R-πρόυπο όε N αν αι όνο αν p Np για άθε πρώο σοιχείο p ου R
5 Η απόδειξη ου θεωρήαος που αφήνεαι ως άσηση, σηρίζεαι σην προηγούενη πρόαση αι σο όι αν φ : N είναι ένας R-οοορφισός όε φ( p) Np αι αφήνεαι ως άσηση Θα δείξουε όι αν Μ είναι ένα πεπερασένα παραγόενο περιοδιό R-πρόυπο όε άθε p-συνισώσα, p, ου Μ, ε p 0 είναι ευθύ άθροισα υιών υποπρούπων Πριν δείξουε αυό θα εεήσουε ορισένες βασιές ιδιόηες ων υιών R-προύπων 4 Κυιά Πρόυπα αι οναδιόηα ανάυσης p-περιοδιού σε άθροισα υιών Όπως ξέρουε ένα R-πρόυπο Μ έγεαι υιό R-πρόυπο αν παράγεαι από φ : R ένα σοιχείο Έσω = Rm 0 αι όε ο φ είναι ένας R-επιορφισός, r rm άρα R ker φ Επειδή ο R είναι απι, ker φ = Rx0 αι ο σοιχείο x 0 ου R είναι οναδιό ως προς συνροφιόηα Τώρα ο ιδεώδες ker φ = { r R rm0 = 0} = { r R rm = 0 m } έγεαι ο ηδενισής ου Μ ή ο ιδεώδες άξης ου Μ αι συβοίζεαι ε σοιχείο άξη ου 0 o( ) Το δε x ου R, για ην αρίβεια η άση συνροφιόηας ου, έγεαι η 0 σοιχείο ου Προφανώς 0 αν αι όνο αν η άξη ου Μ δεν ένα ανισρέψιο R Αν Μ ένα R-πρόυπο αι m 0 όε ορίζεαι η άξη ου m 0 ως η άξη ου Rm 0 αι συβοίζεαι ε o ( m0 ) Συνεπώς o ( m0 ) = [ d] αν αι όνο αν dm0 = 0 αι αν rm0 = 0 όε d r Για παράδειγα η άξη ου Ÿ -προύπου Ÿm είναι m, για ην αρίβεια είναι η άση συνροφιόηας { m, m} Η άξη ου [x]- x 0
6 προύπου [ x] < x + > { q( x + ) q (0)} είναι x +, για ην αρίβεια η άση συνροφιόηας Η επόενη πρόαση ας έει όι η άξη ενός υιού προύπου ο χαραηρίζει ως προς ισοορφισό 4 Πρόαση ύο υιά R-πρόυπα Μ, Ν είναι ισόορφα αν αι όνο αν έχουν ην ίδια άξη Απόδειξη Έσω : N ένας R-ισοορφισός Θα δείξουε όι o ( ) = o( N) Έσω r o( ) αι x N Τόε y ε x = φ(y) αι rx = rφ) y) = φ( ry) = φ ( 0) = 0 άρα r o(n) Παρόοια δείχνουε όι o( N) o( ) άρα o ( ) = o( N) Αν ώρα o ( ) = o( N) όε R R o( ) = o( N) συνεπώς N Σχόιο Εδώ ουσιασιά δείξαε όι αν Ι, J ιδεώδη ου R όε ισόορφα ως R-πρόυπα αν αι όνο αν I = J R, R είναι I J Άσηση Να βρεθεί παράδειγα δαυίου R, ιδεωδών είναι ισοόρφοι δαύιοι αι I J I, J έσι ώσε R, R να I J Εύοα βέπουε όι άθε υποπρόυπο υιού είναι υιό αι άθε πρόυπο πηίο υιού είναι υιό 4 Πρόαση Έσω A = A Ak όπου A η εριένα υιά R-πρόυπα άξης r, k αι ( r, ) = για άθε, j ε j Τόε ο Α είναι ένα υιό r j R-πρόυπο άξης r = r r r k
7 Απόδειξη Έσω A = Ra, αι η άξη ου Ra είναι r x αι a = a + + ak Ισχυριζόασε όι A = Ra Πράγαι, sa 0 sa = 0 για άθε k r s k Τώρα = επειδή ( r, ) = για j έπεαι όι r s συνεπώς o ( Ra) = Rr άθε r j Τώρα θα δείξουε όι k Ra = A Προφανώς αρεί να δείξουε όι a Ra για Έσω r = r r r + rk όε ( r, r ) =, άρα υπάρχουν, R ε r r αι συνεπώς a = r a, αά r a = r ( a + + ak ) = r a, άρα + a r a = άξης = r a Ra Σην επόενη πρόαση βρίσουε α υποπρόυπα ενός υιού R-προύπου p, όπου p είναι ένα πρώο σοιχείο ου R 4 Πρόαση Έσω Α ένα υιό R-πρόυπο άξης p, όπου p πρώο σοιχείο ου R Τόε α υποπρόυπα ου Α είναι 0 = p A p A p A pa A φ : R A Απόδειξη Έσω όι A = Ra 0 αι όε ker φ p R Έσω r ra K 0 K A όε K = φ( φ ( )) όπου φ ( K) = { r R φ( r) K} Το φ ( K) είναι ένα υποπρόυπο ου φ K R που περιέχει ον ker K Επειδή ( ) είναι ένα υποπρόυπο ου R έπεαι όι φ ( K) = dr για άποιο K d R αι επειδή ker φ φ ( ) έπεαι όι R dr p Συνεπώς d p, άρα d = p, ν αι εποένως K = φ( φ ( K)) = φ( p R) = p A Μένει να δείξουε όι αν όε p A p A Επειδή p A είναι υιό ( 0 R-πρόυπο ε p A = R p a ), αρεί να δείξουε όι η άξη ου A είναι διαφορειή από ην άξη ου A Αά η άξη ου A είναι p p p p
8 Ένα άεσο συπέρασα είναι ο αόουθο 44 Πόρισα Έσω Α υιό R-πρόυπο άξης p, όπου p πρώο σοιχείο ου R Αν A = B Γ όε B = 0 ή Γ = 0 Ασήσεις 4 Έσω Α υιό R-πρόυπο άξης p, p πρώο Τόε άθε υποπρόυπο αι πρόυπο πηίο ου Α είναι άξης p για άποιο Έσω A = A όπου A υιά R-πρόυπα άξης p, σοιχείο ου R αι 0 A k όε να δειχθεί όι k Αν A p πρώο a έοιο ώσε p a = 0, όπου a = p a για άποιο a A 4 Ανάυση p-περιοδιού σε άθροισα υιών αι Θεωρήαος οής 4 Ορισός Ένα R-πρόυπο Μ έγεαι p -περιοδιό, όπου p ένα πρώο σοιχείο ου R, αν για άθε x, x = 0 για άποιο p Θα δείξουε όι αν ένα p -περιοδιό R-πρόυπο αναύεαι ως ευθύ άθροισα πεπερασένου πήθους υιών όε η ανάυση είναι οναδιή ως προς ο πήθος αι ις άξεις ων η ηδενιών υιών Γι αυό θα χρειασούε ο αόουθο Λήα 4 Λήα Έσω Μ ένα p -περιοδιό R-πρόυπο, όπου p πρώο σοιχείο ου R αι ( p) = { x px = 0}
9 () Αν = όε ( = αι ( p) k ( p) ( p) k ( p) p) k k ( p) () Αν = όπου η εριένα υιά R-πρόυπα, k, k όε k = dm ( p) R pr Απόδειξη Είναι προφανές από άσηση όι ο ( p) είναι ένα R -πρόυπο αι pr επειδή p είναι ένα πρώο σοιχείο ου R έπεαι όι είναι ένας R -διανυσαιός χώρος pr R είναι ένα σώα άρα pr Η () είναι άεση αι η () έπεαι από ην () αι ο όι αν ( p) είναι υιό, όε είναι υιό άξης p, για άποιο Τώρα ( p) = p, ο οποίο είναι υιό άξης p, άρα ( p) R pr 4 Θεώρηα Έσω A = A A = A A όπου A υιά άξης ε αι = αι = j p A υιά άξης p ε Τόε Απόδειξη Από () ου προηγούενου ήαος έπεαι όι = = dm A( p) Θα δείξουε όι = ε επαγωγή σο Αν = όε pa = 0 άρα = = = = Έσω > Θεωρούε ο R-πρόυπο προηγούενου ήαος έχουε όι A A A p) ( A A ( p) A A ( p) A ( R pr = = A Από () ου A( p) A p) A ( p)
0 Εύοα βέπουε όι p ) A A A ( p) ανισ ι είναι υιό άξης p (ανι Aι ( p) Από ο () ου προηγούενου ήαος έπεαι όι ο πήθος ων ηδενιών A ισούαι ε ο πήθος ων ηδενιών A ( p) A A A έσω Τ Άρα = 0 ( p) A ( p) A για αι = 0, Συνεπώς A ( p) = = = = = = αι όπου j p A Συνεπώς A A A + + ( p) A + ( p) A ( p) A + ( p) + A + A A ( p) A j A j A j ( p) ανισ A είναι η εριένα υιά άξης p j (ανισ j ( p) ) + j, άρα από υπόθεση επαγωγής =, = j j + j 44 Θεώρηα Κάθε πεπερασένα παραγόενο p-περιοδιό R-πρόυπο αναύεαι ως ευθύ άθροισα υιών υποπρούπων ου Απόδειξη Έσω Μ ένα πεπερασένα παραγόενο περιοδιό p-πρόυπο αι x,, x ένα σύνοο γεννηόρων ου Μ ε x άξης p, αι m m m Θα m = δείξουε ε επαγωγή σο όι υπάρχουν σοιχεία y,, ου Μ ε άξη ου y n, p όπου n m, αι όι αν m = Ry Ry Ry Να παραηρήσουε n = 0 για άποιο όε Ry = 0 Για = 0 έπεαι όι = 0 Έσω m = > αι m > 0 Έσω m = > 0 Χωρίς βάβη ης γενιόηας πορούε να υποθέσουε όι = Rx + Rx + Από υπόθεση επαγωγής επειδή y
m < m, αφού m > 0, υπάρχουν y,, y σοιχεία ου ε άξη ου y, = = n p όπου n m, αι Τώρα α σοιχεία Ry Ry = x, y,, y παράγουν ο Μ αφού = Rx +, αι αν n < m για άποιο {,, } όε m + n < m, άρα από υπόθεση 0 0 0 επαγωγής θα είχαε ια ανάυση ου Μ ως ευθύ άθροισα υιών Έσω οιπόν όι m = n, Rx = {0} ή = = =,, Έχουε όι = Rx + Αν Rx όε έχουε εειώσει Έσω όι Rx {0}, άρα r R ε rx αι rx 0, αι έσω όι x Ψάχνουε να βρούε ένα y έοιο ώσε rx + = Ry + αι αν ry όε ry = 0 Επειδή η άξη ου x γ + είναι p ε γ m αι επειδή x, γ > 0 Άρα rx p γ r γ m Έσω m γ = p, όε p m = x = 0 αι επειδή x p m m m = n έχουε όι n γ n p m = 0 Αά m = Ry Ry αι η άξη ου y είναι p, γ αι n n, άρα από Άσηση 4, m = p για άποιο y n y Έσω ώρα Ry = {0} Αν Τόε y = x y Προφανώς Ry + = Rx + = Θα δείξουε όι w Ry όε w = r y για άποιο r R r x = r ( y + y) = r y + r y, άρα p γ γ γ r, αά p y = p ( x y) = γ γ p x p y = m m = 0 Συνεπώς w = r y = 0 αι εποένως Ry = {0} απ αυό έπεαι όι = Ry η Απόδειξη ου Θεωρήαος 44 Για ην απόδειξη αυή θα χρειασούε ο αόουθο Λήα
45 Λήα Έσω Α ένα R-πρόυπο ε p A = 0 αι p A 0, όπου p ένα πρώο 0 p a0 0 Ra0 σοιχείο ου R Αν a A ε αι A όε () β A ε β 0 αι Ra Rβ 0 () Γ A ε A Ra Γ = 0 0 = Απόδειξη () Επειδή A Ra 0, υπάρχει c A \ Ra0 Επειδή c = 0 Ra 0 αι p 0 p c = c Ra0 υπάρχει j ιρόερος θειός ε ην ιδιόηα c Ra0 αι p j c Ra 0 (, p) = Έσω p j c = r a 0 αι έσω r = p r όπου j j j = 0 0 p c = p p c = p p ra 0 έπεαι όι j +, άρα j Έσω j p j r αι 0 Τώρα αι επειδή η άξη ου a είναι p αι ( r, p) = β = p c rp a, όε p β = 0 αι αν Ra Rβ 0 αι s R ε 0 0 sβ 0 όε έπεαι όι ( s, p) = άρα = s + p αι = sβ pβ Συνεπώς β = sβ Ra 0 p j 0 Ra0 Rβ = 0 β + Άρα c Ra ο οποίο είναι άοπο από ην επιογή ου j, άρα () Έσω S = { A 0 αι Ra 0 = 0} από () S Φ αι από ο Λήα Zorn έπεαι όι ο S έχει εγισιό σοιχείο, έσω Γ p A αι p ( ) 0 Αν Γ a 0 + Γ A R( a 0 Γ) Γ + όε από () υπάρχει Τώρα ( ) = 0 β0 + Γ 0 ε R ( a0 + Γ) R( β0 + Γ) = 0, άρα Ra 0 Rβ0 + Γ = 0, επειδή Ra0 Γ = 0 Αά Γ Rβ + Γ 0 αι Ra Rβ + Γ 0 άοπο, επειδή Γ εγισιό 0 0 = σοιχείο ου S Άρα όι A Ra Γ = 0 A = R( a + Γ A = Ra Γ Γ 0 ) 0 + αι επειδή Ra0 Γ = 0 έπεαι Απόδειξη Θεωρήαος 44 Έσω Μ x,, x ε x 0 Θα δείξουε ο = Θεώρηα ε επαγωγή σο Για = είναι άεσο
Έσω > αι έσω όι η άξη ου x να είναι p ε Τόε p = 0 αι p x ο φυσιός επιορφισός Προφανώς 0, άρα από προηγούενο Λήα π : Μ Rx w w + Rx = π( x ),, π( x ) = π ( x ),, ( ) Rx π x = Rx Έσω άρα από υπόθεση επαγωγής ο είναι ευθύ άθροισα υιών, συνεπώς ο Μ αναύεαι ως ευθύ άθροισα υιών 46 Θεώρηα Κάθε πεπερασένα παραγόενο p-περιοδιό R-πρόυπο αναύεαι ως ευθύ άθροισα πεπερασένου πήθους υιών προύπων αι η ανάυση αυή είναι οναδιή ως προς ο πήθος αι ις άξεις ων (η ηδενιών) υιών προύπων Απόδειξη Το Θεώρηα 44 ας δίνει ην ανάυση αι ο Θεώρηα 4 ην οναδιόηα Συβοισός Αν r R όε ο υιό R-πρόυπο 0 r0 R Έσω Μ, Ν πεπερασένα παραγόενα p-περιοδιά Θεώρηα υπάρχει ια αοουθία δυνάεων ου p, Cp N Cp Cp Cp σ ε ε R ο συβοίζουε ε Cr 0 R-πρόυπα Τόε από ο p,, p έσι ώσε αι ια αοουθία, p,, p έσι ώσε σ Επειδή ένας R-ισοορφισός διαηρεί ην ανάυση σε ευθύ άθροισα, από ο Θεώρηα 4 παίρνουε όι σ 47 Θεώρηα Με ους προηγούενους συβοισούς έχουε όι N αν αι όνο αν = σ αι η αοουθία p,, p ισούαι ε ην αοουθία p,, p
4 Έσω ώρα Α, Β πεπερασένα παραγόενα R-πρόυπα Από α Θεωρήαα 4 (), 46 αι 44 έπεαι όι υπάρχει πεπερασένο πήθος πρώων σοιχείων ου R, p,, p αι για άθε πρώο p ια πεπερασένη αοουθία δυνάεων ου, p ρ p έσι ώσε wa φορές ρ A R R Cp Cp Cp Cp όπου w A ο έγισο πήθος γραιών ανεξάρηων σοιχείων ου Α Παρόοια για ο Β υπάρχει ια πεπερασένη αοουθία πρώων σοιχείων ου R q,, q αι για άθε πρώο j σ q,, q σ έσι ώσε wb φορές q ρ για πεπερασένη αοουθία δυνάεων ου σ σ Cq B R R Cq Cq Cq όπου w B ο έγισο πήθος γραιών ανεξάρηων σοιχείων ου Β Από α Θεωρήαα 4 (), 46 αι 47 έπεαι όι σ σ 48 Θεώρηα (Θεώρηα οής Ι) Με ους προηγούενους συβοισούς έχουε όι A B αν αι όνο αν w A = wb, { p,, p} = { q,, q } αι για άθε,, αν p = q z(), όε ρ = z( ) αι η αοουθία p ρ, p,, p ισούαι ε ην αοουθία σz( ) z( ),, σz( ) z ( ) z( ) q q 49 Ορισός Τα σοιχεία ου R: T A έγοναι οι σοιχειώδεις διαιρέες ου ρ ρ p,, p, p,, p,, p,, p Συνεπώς ο Θεώρηα οής Ι έει όι αν Α, Β είναι πεπερασένα παραγόενα R- πρόυπα όε A B αν αι όνο αν w A = wb αι οι σοιχειώδεις διαιρέες ου T B είναι οι ίδιοι ε ους σοιχειώδεις διαιρέες ου ρ T A
5 Το αόουθο θεώρηα, εφράζει η οναδιόηα ως προς ο πήθος αι ις άξεις, ης ανάυσης ενός πεπερασένα παραγόενου περιοδιού R-προύπου σε ευθύ άθροισα η ηδενιών υιών, ε διαφορειό ρόπο 40 Θεώρηα (Θεώρηα οής ΙΙ) Έσω Μ ένα πεπερασένα παραγόενο περιοδιό R-πρόυπο Τόε υπάρχουν ανισρέψια,, d d d αι d,, d σοιχεία ου R ε d 0, d η Cd Cd Επιπέον αν Cr Cr αι r 0, r η ανισρέψια, αι r r r όε = αι Cr = Cd, Απόδειξη Επειδή Μ είναι ένα πεπερασένα παραγόενο περιοδιό υπάρχει πεπερασένο πήθος πρώων σοιχείων R-πρόυπο p,, p ου R ε p {0} αι = p p Τώρα από ο Θεώρηα 44 άθε p είναι ευθύ άθροισα υιών Αν είναι ο πήθος ων η ηδενιών υιών όρων που εφανίζεαι σην ανάυση ου p, έσω = max{, } Τόε όπου j j Cp p = p = p = αι, Μεριά από α πορεί να είναι 0 δηαδή = 0, απά α θεωρούε σην j αρχή ώσε να έχουε ο ίδιο πήθος όρων σε άθε ανάυση Προφανώς για άθε j {,, } υπάρχει {,, } ε 0 Έσω ώρα j = j j j j Τόε = p p = Μ
6 Από ην Πρόαση 4 j j j Cd όπου d = p p p αι επειδή j j, έχουε όι d d d Επιπέον από ην επιογή ου έπεαι όι d 0 αι d η ανισρέψια, Έσω ώρα όι = N N όπου N Cr, r η ανισρέψιια, r 0, αι r r r Έσω p,, p γινόενο πρώων ων αι r Αν j οι η συνροφιοί πρώοι που εφανίζοναι σις αναύσεις σε d όε επειδή έχουε όι d = p a a p a d = p p αι Cd Cp j= a r = p r = p β β p p β β aj β j j αι Crj Cp = = = N N Cd Cd Cr Cr Cp = j= Από ο Θεώρηα 46 έχουε όι για άθε Cp a Cp a a j j Cp j= = α β Cp Cp β j Cp Επειδή d είναι 0 αι η ανισρέψιο υπάρχει ουάχισον ένα πρώο σοιχείο σην ανάυσή ου, δηαδή άποιο από α a είναι 0 Έσω πχ όι a 0 Επειδή d d d έχουε όι 0 a a a β < άρα από ο Θεώρηα 4 έπεαι όι η δεξιά πευρά ης (*) έχει η ηδενιούς όρους για = άρα (*)
7 Παρόοια επειδή αι r είναι 0 αι η ανισρέψιο ααήγουε όι άρα = ν Συνεπώς η (*) γίνεαι αι a Άρα από ο Θεώρηα 4 a β Cp Cp β Cp Cp, j a β a a β β a = β για άθε, j Συνεπώς d ] = [ r ] j [ 4 Ορισός Τα σοιχεία d,,d ου R έγοναι οι αναοίωοι παράγονες ου Μ Συνεπώς ο Θεώρηα οής ΙΙ έει όι αν Α, Β είναι πεπερασένα παραγόενα R- πρόυπα, όε A B αν αι όνο αν w A = wb αι οι αναοίωοι παράγονες ου είναι οι ίδιοι ε ους αναοίωους παράγονες ου T B T A Παραδείγαα Έσω η αβειανή οάδα A = Ÿ5 Ÿ5 Ÿ5 Ÿ6 Ÿ54 Να βρεθούν οι σοιχειώδεις διαιρέες αι οι αναοίωοι παράγονες ης Α Έχουε όι Ÿ 5 Ÿ Ÿ5 Ÿ6 Ÿ4 Ÿ9 Ÿ54 Ÿ Ÿ Άρα A A Α Α5 Ÿ Ÿ4 Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ5 Ÿ 5 άρα οι σοιχειώδεις διαιρέες είναι παράγονες 5 5 5,,,, = 5 = = 5 5, 5, 5 5 5 Πόσες ανά δύο η ισόορφες αβειανές οάδες υπάρχουν άξης p d d d αι οι αναοίωοι
8 Από ο Θεώρηα οής Ι (σοιχειώδεις διαιρέες) έπεαι όι υπάρχουν όσες η ισόορφες αβειανές οάδες άξης p όσες αι αοουθίες p, p,, p ε + + + = Ÿp Ÿp 5, άρα Ÿp, Ÿp, Ÿp Ÿ, Ÿp, p, Ÿp Ÿ, 5 5 4 p Ÿp Πόσες ανά δύο η ισόορφες αβειανές οάδες υπάρχουν άξης 5 Υπάρχουν επιογές για ις -συνισώσες, Υπάρχουν επιογές για ις -συνισώσες,,, Υπάρχει επιογή για ις 5 συνισώσες 5 Άρα υπάρχου η ισόορφες αβειανές οάδες άξης 5 Ασήσεις 4 Πόσες ανά δύο η ισόορφες αβειανές οάδες υπάρχουν άξης 6 Ποιοι είναι οι αναοίωοι παράγονες αι οι σοιχειώδεις διαιρέες ης A = Ÿ Ÿ45 Ÿ6 Ÿ9 Έσω Α αβειανή οάδα ε A = αι Να δειχθεί όι υπάρχει K A ε άξη ης K να είναι 4 Να δειχθεί όι ια πεπερασένη αβειανή οάδα Α δεν είναι υιή αν αι όνο αν υπάρχει K A ε K Ÿ Ÿ για άποιο πρώο p 5 Ποιοι είναι οι αναοίωοι παράγονες ης Ÿm Ÿn p p
9 6 Έσω Α εεύθερη αβειανή διάσασης αι B A Να δειχθεί όι πεπερασένη αν αι όνο αν η Β είναι εεύθερη διάσασης A είναι B 7 Έσω Α αβειανή ε αναοίωους παράγονες d d Να δειχθεί όι η Α δεν πορεί να παραχθεί από ιγόερα από ρ σοιχεία 8 Έσω Α πεπερασένα παραγόενη αβειανή οάδα αι f : A A ένας επιορφισός Να δειχθεί όι η f ένας ισοορφισός d ρ