Ψηφιακός Έλεγχος η διάλεξη Ψηφιακός Έλεγχος
Άσκηση 3 Θεωρούμε το σύστημα διακριτού χρόνου της μορφής με A R, B R, C R nxn nx xn ( + ) + Cx( k) x k Ax k Bu k y k Υποθέτουμε ότι το διάνυσμα κατάστασης x(k) του συστήματος είναι ελέγξιμο. Επίσης υποθέτουμε ότι η τάξη του παρακάτω πίνακα διάστασης (n+)x(n+) είναι n+. A C Να αποδειχτεί ότι για το σύστημα της μορφής z( k+ ) Az ˆ ( k) + Bˆ ω ( k) όπου ˆ A B ˆ B A, B, ω ( k) u( k) u( ) C 0 0 B 0 είναι δυνατή η αυθαίρετη μετατόπιση των ιδιοτιμών του με χρήση στατικού γραμμικού νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος
Αρκεί να αποδειχτεί ότι το διάνυσμα κατάστασης του καινούριου συστήματος είναι ελέγξιμο. Ο πίνακας ελεγξιμότητας του αρχικού συστήματος είναι n S B AB... A B Εφόσον το αρχικό σύστημα είναι ελέγξιμο, rank(s)n. Έτσι, η τάξη του πίνακα S 0 0 Θεωρούμε την εξίσωση A B S 0 AS B C 0 0 CS 0 A B Εφόσον ο πίνακας έχει τάξη n+, το αριστερό μέλος της εξίσωσης έχει τάξη n+. C 0 AS B Έτσι, το ίδιο θα πρέπει να συμβαίνει και με το δεξί μέλος. Άρα: rank n + CS 0 Ψηφιακός Έλεγχος 3
Όμως n+ AS B A B AB... A B B CS 0 n+ C B AB... A B 0 n AS B AB A B... A B B ˆ ˆ ˆ ˆ... ˆn AB A B A Bˆ Bˆ Sˆ n CS 0 CB CAB... CA B 0 Έτσι, ο πίνακας ελεγξιμότητας του νέου συστήματος είναι n+ οπότε είναι δυνατό να γίνει αυθαίρετη μετατόπιση των ιδιοτιμών του πίνακα Â με χρήση του στατικού νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος 4
Άσκηση 4 Το σύστημα ενός κινητήρα συνεχούς ρεύματος, ο οποίος οδηγεί αδρανειακό φορτίο με σκοπό να το διατηρήσει σε συγκεκριμένη θέση, περιγράφεται απο τισ διαφορικές εξισώσεις: θ ω ( t) ω( t) () t aω() t + bu() t θ(t) είναι η γωνιακή θέση του φορτίου ω(t) είναι η γωνιακή ταχύτητα του φορτίου α, b σταθερές που εξαρτώνται απο φυσικές παραμέτρους του κινητήρα και του φορτίου: R είναι η αντίσταση του τυλίγματος του κινητήρα a K, b JR K JR Κ είναι σταθερά αναλογίας ανάμεσα στη ροπή και το ρεύμα εισόδου J είναι η ροπή αδρανείας του φορτίου. Ψηφιακός Έλεγχος 5
Αν θr είναι η επιθυμητή θέση, την οποία θεωρούμε σταθερή, θέτοντας et θ ( t) r Λαμβάνουμε το εξής πρότυπο χώρου κατάστασης συνεχούς χρόνου για τον κινητήρα: () () et 0 et 0 x () t u t Fx t gu t ω t + + 0 α ω t b () ˆ () ˆ () (η θέση του φορτίου μετριέται με ποτενσιόμετρο, ενώ η γωνιακή ταχύτητα με ταχογεννήτρια) θ Να προσδιοριστεί μια περιγραφή του συστήματος στο διακριτό χρόνο και, εφόσον υπάρχει, ένας στατικός νόμος ανατροφοδότησης ώστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κλειστού συστήματος διακριτού χρόνου να έχει τη μορφή ˆp z z + a z+ a 0 Ψηφιακός Έλεγχος 6
Μια διακριτή περιγραφή του συστήματος στο χώρο κατάστασης με περίοδο διεγματοληψίας Τ είναι: όπου (( + ) ) +β x k T Ax kt u kt at FT ˆ ( e ) A e a at 0 e b at T ( ) ˆ ατ + e FT ˆ a λ β e gdλ b 0 at ( e ) a Ο πίνακας ελεγξιμότητας του παραπάνω συστήματος διακριτού χρόνου είναι S [ β Aβ ] Ψηφιακός Έλεγχος 7
Έτσι S [ β Aβ] b at b at at ( ατ + e ) ( ατ e + e ) a a b at b at at ( e ) ( e e ) a a Η ορίζουσα του πίνακα ελεγξιμότητας είναι T at det ( S) β ( e ) 0 για Τ>0 (που ικανοποιείται πάντα) a Έτσι, το σύστημα είναι ελέγξιμο και είναι δυνατή η αυθαίρετη τοποθέτησης των πόλων του. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος είναι ( ) ( ) p z z z e z + e z+ e at at at Ψηφιακός Έλεγχος 8
Έτσι a ( at e ) + at e W Το επιθυμητό πολυώνυμο είναι Τελικά f T λ bt at ( e ) a όπου ( at e ) + 0 ˆp z z + a z+ a Έτσι 0 b b a a Τ b b + a a a 0 Ψηφιακός Έλεγχος 9 aˆ a at at ( e ) ( e ) at at at ( e α e ) ( at e ) at ( e ) + a λ at e a0
Ισοδύναμα, f q bt at ( e ) a όπου q b at ( e )( a a0) a b at at at at ( e ate ) + a0( at e ) a( at ate ) a u kt f x k T Ο ζητούμενος νόμος ελέγχου είναι Ψηφιακός Έλεγχος 0
Άσκηση 5 Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα συνεχούς χρόνου x ( t) A x( t) + bu( t) c c με A c 0.4 0 0.0 0 0.4 9.8 0.0 b c 6.3 0 9.8. Να γίνει διακριτοποίηση του συστήματος με περίοδο δειγματοληψίας 0.3 sec. Nα προσδιοριστεί νόμος ελέγχου για το σύστημα διακριτού χρόνου ώστε οι ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος να είναι 0.5, -0.4 και 0.3 3. Να προσδιοριστεί διακριτός νόμος ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης για την επίτευξη μηδενορυθμικού ελέγχου (deadbeat control). Ψηφιακός Έλεγχος
Οι πίνακες του συστήματος διακριτού χρόνου είναι υπολογίζονται από τις σχέσεις: 0.887 0.004 0.003 {( ) } c 0.83 0.999 0.0004 t T 0.3 0.08.93 0.994 AT c Ad e L si A 0.3.777 { } b d L si Ac bcdλ 0.7 t λ 0.80 Έτσι, το σύστημα διακριτού χρόνου είναι (( + ) ) d + d x k T A x kt b u kt Ψηφιακός Έλεγχος
Για να κάνουμε τοποθέτηση ιδιοτιμών, θα εξετάσουμε πρώτα αν το σύστημα διακριτού χρόνου είναι ελέγξιμο:.777.567.377 S bd Adb Ad b d 0.7 0.773.4.8 3.65 5.94 Το σύστημα είναι ελέγξιμο Προκύπτει ranks 3 Οι ιδιοτιμές του πίνακα A d είναι λ 0.8 λ.03 ± j0.4,3 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος είναι 3 p z zi A z.88z +.765z 0.88 Το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι 3 p z z 0.5 z+ 0.4 z 0.3 z 0.4z 0.7z+ 0.06 Ψηφιακός Έλεγχος 3
Έτσι,.88 a.765 a 0.88 T T άρα f W S ( a-a) ή 0.4.88.765 W 0.88 0.7 0.006 0 0 0.49 f 3. 0.309 Έτσι, ο νόμος ανατροφοδότησης κατάστασης για το σύστημα κλειστού βρόχου είναι T 0.49 3. 0.309 u k f x k x k x k x k 3 Ψηφιακός Έλεγχος 4
Για μηδενορυθμικό έλεγχο, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα έχει τη μορφή 3 p z z Έτσι, a.88.765 0.88 a 0 0 0 W.88.765 0.88 0 0 Αφού το σύστημα είναι ελέγξιμο, τότε 0.03 (- ) 4.3 0.6304 T T f W S a Έτσι, ο νόμος ανατροφοδότησης κατάστασης για το σύστημα κλειστού βρόχου είναι T 499.44 650.8 04.3 u k f x k x k x k x k 3 Ψηφιακός Έλεγχος 5
Άσκηση 6 Να υλοποιηθεί η συνάρτηση μεταφοράς u z 3+ 3.6z + 0.6z D( z) e z + 0.z 0.z σε απευθείας μορφη (εν σειρά και κανονική), σε σειρά και παράλληλα.. απευθείας μορφή σε σειρά 3 + 3.6 ( ) + 0.6 ( ) 0. ( ) + 0. ( ) uk ek ek ek uk uk Σε μορφή πινάκων: [ ] ( k) ( k) x k+ 0. x k 3.6 0.3 + e k x k+ 0. 0 x k 0.6 + 0.6 u k x + x 0 3 e k Ψηφιακός Έλεγχος 6
Η υλοποίηση είναι e( z ) u( z) 3 + z 3.6 + 0. z 0.6 + 0. Ψηφιακός Έλεγχος 7
. απευθείας κανονική μορφή 0. ( ) + 0. ( ) wk ek wk wk 3 + 3.6 ( ) + 0.6 ( ) uk wk wk wk Σε μορφή πινάκων: [ ] x k+ 0 x k 0 + ek x k+ 0. 0. x k u k ( k) ( k) x + + x 0.6.8 3.6 0.3 3 e k Ψηφιακός Έλεγχος 8
Η υλοποίηση είναι e( z) + + 3 u( z) z 0. +3.6 z 0. 0.6 Ψηφιακός Έλεγχος 9
3. σε σειρά 3( z+ )( z+ 0.) 3 ( + z )( 0.z ) D z z+ 0.5 z 0.4 + 0.5z 0.4z άρα [ ] x k+ 0.5 0 x k 3 + ek x k+ 0.5 0.4 x k 3 u k ( k) ( k) x + + x 0.5 0. 0.4 3 e k e( z) z z 3 + + 0. + 0.5 0.4 u( z) Ψηφιακός Έλεγχος 0
4. παράλληλα 3 7 + 0.5 z 0.4 z + D z [ i ] ( k) ( k) x k+ 0.5 0 x k + ek x k+ 0 0.4 x k u k x + + x e( k) 0.5 7 0.4 3 7 3 e( z) + 0.5 z + u( z) + 0.4 z 7 Ψηφιακός Έλεγχος
Άσκηση 7 + dz H z Να βρεθεί η διασπορά με συνάρτηση μεταφοράς, 0<d< για μετατροπέα (αναπαράσταση μεγέθους προσήμου )0-bit με κέρδος 0 και ζώνη +5V. a Έχουμε h k k ad u k k > 0 0 k 0 C 9 C+ 0 C 9 q Επίσης και σ 0 0 0 8 8 8 k k k y ad ad a d k 0 k 0 k 0 Έτσι σ y 8 a 0 d Ψηφιακός Έλεγχος
Αν α, d0.5 8 0 τότε σ y i0.75 Παρατήρηση Η ολική συμπεριφορά του σφάλματος είναι καλή θεωρώντας ότι η διασπορά είναι μκρή και ο μέσος όρος είναι μηδέν. Άσκηση4 Να βρεθεί η μέση τιμή της εξόδου με μετατροπέα αποκοπής q 9 j0 m m H e m H z y e e z m y 0 q 0.095V 0 b Ψηφιακός Έλεγχος 3
Άσκηση 8 Στο σχήμα απεικονίζεται ένας δορυφόρος. Η κίνηση είναι επιτρεπτή μόνο κατα τον άξονα κάθετο στο επίπεδο της διαφάνειας. Οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος είναι κινητήρες ώσης θέση αναφοράς θ κέντρο μάζας J C D J θ t T + T η ροπή αδράνειας του δορυφόρου περί το κέντρο μάζας η ροπή ελέγχου η οποία εφαρμόζεται στους κινητήρες ώσης θ T C T D ( t) οι εξωτερικές ροπές διαταραχής η γωνία κλίσης του διαμήκους άξονα του δορυφόρου σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ψηφιακός Έλεγχος 4
Κανονικοποιώντας έχουμε, έτσι θ ( t) u( t) + wd ( t) u T C T w D D Μετασχηματίζοντας (Laplace) έχουμε: ( s) J J + U s WD s Θ s Αν θεωρήσουμε τις ροπές διαταραχής αμελητέες έχουμε Θ ( s) U s ( s) G s Στην διακριτή περίπτωση, με την είσοδο u(t) να εφαρμόζεται μέσω ενός δικτύου συγκράτησης μηδενικής τάξης, λαμβάνουμε τη διακριτή συνάρτηση μεταφοράς G ( z) ( s) Θ + U s ( z ) T z Ψηφιακός Έλεγχος 5
(α) Για περίοδο δειγματοληψίας Τ0.05sec να προσδιοριστεί διακριτός στατικός νόμος ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε οι ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος να λαμβάνουν τιμές -0.4 και 0.5 : Μια υλοποίηση στο χώρο κατάστασης της διακριτής συνάρτησης μεταφοράς είναι όπου ( + ) + T c x( k) x k Ax k bu k y k 0.05 0.005 A, b 0 0.05 c T [ 0] [ c 0] Ο πίνακας ελεγξιμότητας S είναι S [ b Ab] θ ω x k k x k k 0.005 0.00375 0.05 0.05 rank(s), έτσι είναι δυνατή η αυθαίρετη μετατόπιση των ιδιοτιμών του Α σε νέες επιθυμητές θέσεις Ψηφιακός Έλεγχος 6
p z z z z+ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι Το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι pˆ z z+ 0.4 z 0.5 z 0.z 0. Έτσι 0. W, aˆ, a 0 0. 80 3 T T άρα f W S ( aˆ a) και ο ζητούμενος νόμος ελέγχου είναι u( k) f T x( k) Ψηφιακός Έλεγχος 7
(β) να προσδιοριστεί μηδενορυθμικός (deadbeat) ελεγκτής. Στην περίπτωση μηδενορυθμικού παρατηρητή το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο ˆp z z είναι 0 aˆ 0 Έτσι, οπότε T T 400 f W S a 30 (γ) να προσδιοριστεί παρατηρητής κατάστασης πλήρους τάξης. Πρέπει πρώτα να εξετάσουμε την παρατηρησιμότητα του συστήματος. Ο πίνακας παρατηρησιμότητας είναι T T 0 R c A c 0.05 rank(s) άρα, η σχεδίαση παρατηρητή πλήρους τάξης είναι δυνατή. Ψηφιακός Έλεγχος 8
pc,0 z z 0.z 0. 0. aˆ, a 0. Εκλέγοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του παρατηρητή ως έτσι ( ˆ ) T k W R a a με.9 k 4 (δ) να προσδιοριστεί μηδενορυθμικός παρατηρητής. Στην περίπτωση αυτή το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι c,0 p z z 0 T τελικά k W R ( a) Ψηφιακός Έλεγχος 9