Βσικές Γώσεις Μθητικώ έχρι κι τη Β Λυκείυ ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Φυσικί: IN 0,,,..., Ακέριι: Z...,,,0,,,..., Ρητί: Q / Ζ, Ζ *, Άρρητι Q Πρτικί R Q Q, εώ R R, Ισχύει: Ν Ζ Q R, Εώ ε Ν*, Ζ*, Q*, R * συλίζυε τ τίστιχ σύλ χωρίς τ ηδέ. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ...... ε εριττ. 0 ή == Euler δ δ δ Lagrange ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. Ειτρέετι ρσθέσω ή φιρέσω ό τ δύ έλη ις ισότητς τ ίδι ριθό. Ειτρέετι λλλσιάσω, διιρέσω κι τ δύ έλη ις ισότητς ε τ ίδι θετικό ριθό, εώ ρέει λλάξω τη φρά της ισότητς υτός είι ρητικός.. Ειτρέετι υψώσω ι ισότητ σε δύη ε εριττό εκθέτη, εώ ρέει έχει θετικύς όρυς τη υψώσω σε δύη ε άρτι εκθέτη ( έχει ρητικύς όρυς κι τη υψώω σε άρτι εκθέτη ρέει της λλάξω τη φρά) 4. Ειτρέετι ρσθέσω δύ ισότητες της ίδις φράς κτά έλη 5. Ειτρέετι λλλσιάσω δύ ισότητες της ίδις φράς κτά έλη εφ όσ όλι ι όρι είι θετικί. 6. Α, θετικί κι ι δύ ή ρητικί ριθί κι ι δύ τότε ισχύει η ισδυί 7. Ισχύει η εττική ιδιότητ: Α κι τότε. Η ιδιότητ υτή υ ειτρέει «εισχύω» ι ισότητ ε κάτι ελύτερ ό τ εάλ ή κάτι ικρότερ ό τ ικρό έλς της. 8. ΙΣΧΥΟΥΝ: 0,, 0, 0 9. ΠΡΟΣΟΧΗ! ΔΕΝ ΑΦΑΙΡΟΥΜΕ, ΔΕΝ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑ ΜΕΛΗ ΑΠΟΛΥΤΑ. Αόλυτη τιή εός ριθύ είι η όστση της εικός τυ ριθύ ό τη ρχή τυ άξ.. Η όλυτη τιή εός θετικύ ριθύ είι ίδις ριθός. Η όλυτη τιή εός ρητικύ ριθύ είι τίθετς ριθός.. 0 ι κάθε R, 0 0, >0 0 =0 0 4. κι ι κάθε R ή ι κάθε R κι f() f() f() 5. θ θ ή θ, θ 0 ή 6. θ θ θ, θ 0 θ θ ή -θ, θ 0 7., ε 0 ι κάθε, R. 8. Η όστση δύ ριθώ στ άξ ισύτι ε τη όλυτη τιή της διφράς τυς: d(,) ΠΡΟΣΟΧΗ! Α 0 τότε 0 κι 0 κι Α 0 τότε 0 κι 0 εώ 0 τότε 0 ή 0 ΡΙΖΕΣ Ορισός: Ιδιότητες: 0 0 ε θετικός κέρις, 0, 0 ι κάθε R, 0,., θετικί κέριι εώ είι Γι κάθε, 0 κι,,ρ Ζ ισχύυ:, R κι, θετικί κέριι,,, θετικός, κέρις, θετικός κέρις κι, 0,, ρ ρ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γι τη λύση τυ ρικύ συστήτς Σ ε τη έθδ τω ριζυσώ ρίσκυε τις ρίζυσες D, D, D κι ισχύει ότι Α D 0 έχει δική λύση τη D D κι D D, Α D 0 κι D 0 ή D 0 είι δύτ, εώ D D D 0 τότε είι δύτ ή όριστ ή έχει άειρες λύσεις. M. Πρηράκης http://users.sch.gr/mipapagr 09.0
Βσικές Γώσεις Μθητικώ έχρι κι τη Β Λυκείυ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ:, R /, R /, Αικτό:, Κλειστό, R /,, R /,, R /,, R / ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η όστση τω σηείω Α(, ) κι Β(, ) είι ίση ε Τ σηεί, είι συετρικό ως ρς: τ ε τ,, τ ε τ, τ (ΑΒ) ( ) ( ). 0,0 ε τ,, τη ευθεί, κ.λ. ε τ, Οι ευθείες κι είι ράλληλες κι ό Οι ευθείες κι ε 0 είι κάθετες κι ό Μι συάρτηση f λέετι άρτι κι ό ι κάθε Af ισχύει ότι: Af κι f f Η ρφική ράστση ις άρτις συάρτησης έχει άξ συετρίς τ Μι συάρτηση f λέετι εριττή κι ό ι κάθε Af ισχύει ότι: Af κι f f. Η ρφική ράστση ις εριττής συάρτησης έχει κέτρ συετρίς τ (0,0) Μι συάρτηση f σε έ διάστη Δ τυ εδίυ ρισύ της: Είι ήσι ύξυσ κι ό ι κάθε, Δ ισχύει ότι: Α Είι ήσι φθίυσ κι ό ι κάθε, Δ ισχύει ότι: Α Η τί ις συάρτησης κθρίζετι ό τ ρόση τυ λόυ ετλής: λ τότε f f τότε f f f f. Α C f είι η ρφική ράστση της συάρτησης f τότε η ρφική ράστση της g ε : g f c, c 0 ρκύτει ό τη ράλληλη εττόιση της C f κτά c άδες άω g f c, c 0 ρκύτει ό τη ράλληλη εττόιση της C f κτά c άδες ριστερά g f είι η συετρική της C f ως ρς άξ συετρίς τ. g f είι η συετρική της C f ως ρς άξ συετρίς τ. f f 0 g f f f 0 σικές ρφικές ρστάσεις: Η λυωυική συάρτηση f() Η λυωυική συάρτηση f()=, 0. >0 a>0 a<0 a=0 <0 Η λυωυική συάρτηση f() =, 0. >0 <0 = =- a Η ρητή συάρτηση f(), a 0. >0 <0 Οι συρτήσεις f ( ), g( ). M. Πρηράκης http://users.sch.gr/mipapagr
Βσικές Γώσεις Μθητικώ έχρι κι τη Β Λυκείυ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Πλυώυ είι κάθε ράστση υ ρεί άρει τη ρφή: P.... ε,,..., στθερί ρτικί ριθί κι R 0 0 Τ λυώυ P 0 έχει ρίζ τ ρ κι ό Pρ 0 δηλ κι ό P ( ρ)(). Α P, Q δύ λυώυ ε Q 0 λυώυ () κι υ() ρίσκτι κάτς τη διίρεση τότε υάρχυ δύ λυώυ () κι υ() ώστε : P Q()() υ(). Τ P : Q() Τ λυώυ P... 0 είι τ ηδεικό κι ό = =... =0 0 εώ δύ λυώυ είι ίσ κι ό ι συτελεστές τω άθιω όρω τυς είι ίσι. ΤΡΙΩΝΥΜΟ Τριώυ είι κάθε ράστση υ ρεί άρει τη ρφή ε 0. ΡΙΖΕΣ Δ 0 Δ Έχει δύ ρίζες άισες τις:, Δ 0 Έχει ι διλή ρίζ τη, Δ i Δ i Δ Δ 0 Έχει δύ ιδικές ρίζες τις, TΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ, 0 ΜΟΡΦΗ f() f() Δ f() 4 Τιές τυ - Πρόση τυ, 0 ετερόση τυ 0 όση τυ Πρόση τυ τριωύυ Δ 0, 0 Τιές τυ - + Πρόση τυ όση τυ 0 ετερόση τυ 0 όση τυ + Δ 0 Τιές τυ - + Πρόση τυ όση τυ 0 όση τυ Δ 0 Τιές τυ - + Πρόση τυ όση τυ Πρσχή!!. Α ι κάθε R είι 0 τότε είι Δ 0 όση τυ δηλδή:. Ισχύει. Ισχύει 4. Τ τριώυ 0 ι κάθε R. Στη ερίτωση υτή τ τριώυ 0 ι κάθε ρτικό ριθό κι ό ισχύει: Δ 0 κι 0 0 ι κάθε ρτικό ριθό κι ό ισχύει: Δ 0 κι 0 M. Πρηράκης http://users.sch.gr/mipapagr είι, κ.λ.. διτηρεί στθερό ρόση ι κάθε ρτικό κι ό ισχύει Δ 0 Δ Η συάρτηση f, 0 είι ρλή ε κρυφή τ σηεί,f 4 Σχέσεις ριζώ συτελεστώ: (τύι Vietta) S ρ ρ, Ρ ρ ρ Εώ ι εξίσωση υ έχει δσέες ρίζες ρ, ρ είι η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Πίκς τριωετρικώ ριθώ: Γωί ω ηω συω εφω 0 0, 6 0 0 45, 4 σφω S P 0 60, 90, 80, 70, 0 0 0 0 0 0
Βσικές Γώσεις Μθητικώ έχρι κι τη Β Λυκείυ Βσικί τριωετρικί τύι κι ριθί:.. η συ ή εφ η συ η συ ή ι R κ,κ : κέρις. η, συ, ι κάθε R, εφ R, σφ R συ η, R, εφ σφ σφ M. Πρηράκης http://users.sch.gr/mipapagr, R κ, κ Z συ η 4. η( ) η συ συ η, συ( ) συ συ η η, 5. η η συ, 6. 7. συ η, εφ, συ ι R κ,κ : κέρις εφ συ συ η συ η, εφ εφ συ συ, σφ η ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ κ θ η ηθ ή ε κ Ζ κ θ κ θ συ συθ ή κ θ ε κ Ζ εφ εφθ κ θ ε κ Ζ σφ σφθ κ θ ε κ Ζ εφ εφ εφ( ) εφεφ συ εφ (Τύι τετρωισύ): συ εφ εφ εφ η συ εφ εφ εφ εφ Είι: η 0 κ, κ Ζ, συ 0 κ, κ Ζ, η κ, κ Ζ η κ, κ Ζ συ κ, κ Ζ συ κ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ: λύτι ε χρήση τυ τριωετρικύ κύκλυ.. Νός ηιτόω: Σε κάθε τρίω ΑΒΓ ισχύει ότι R ηα ηβ ηγ. Νός συηιτόω: Σε κάθε τρίω ΑΒΓ ισχύει ότι. Πλικές συτετέες σηείυ Μ, στ είεδ. συα ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Οι ωίες κ ω κι ω έχυ τυς ίδιυς τριωετρικύς ριθύς ε κ Ζ. Οι τίθετες ωίες έχυ τ ίδι συηίτ συω συω, κι τίθετυς τυς άλλυς τριωετρικύς ριθύς ηω ηω, εφ ω εφω, σφ ω σφω. Δηλδή η συάρτηση f συ, R είι άρτι, εώ ι f η, R, f εφ, κ, f σφ, κ είι εριττές συρτήσεις. Οι ωίες της ρφής ή υ ρύ άρυ τη ρφή 80 ω, ω ή 60 ω ω, έχυ τυς ίδιυς τριωετρικύς ριθύς ε τη ωί ω ε ρόση ή άλ ε τ τετρτηόρι στ ί η τελική λευρά της ωίς τέει τ τριωετρικό κύκλ, θεωρώτς ότι 0 ω Οι ωίες της ρφής ή υ ρύ άρυ τη ρφή 90 ω, ω ή 70 ω, ω, ελλάσσυ τυς τριωετρικύς ριθύς ε τη ωί ω, δηλδή τ ηίτ ίετι συηίτ ή τίστρφ κι εφτέη ίετι συεφτέη ή τίστρφ ε ρόση ή άλ ε τ τετρτηόρι στ ί η τελική λευρά της ωίς τέει τ τριωετρικό κύκλ, θεωρώτς ότι 0 ω ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθητική ρόδς άζετι η κλυθί ριθώ,,...,. στη ί κάθε όρς ρκύτει ό τ ρηύε ρσθέττς τ ίδι ριθό, (διφρά), ω. Ισχύυ: = +(-)ω, Σ + + +... ( )ω, εώ κί κι ική συθήκη ι είι τρείς ριθί,, διδχικί όρι ριθητικής ρόδυ είι η Γεωετρική ρόδς άζετι η κλυθί τω η ηδεικώ ριθώ,,... τ ρηύε λλλσιάζτς τ ίδι η ηδεικό ριθό, (λός), λ., στη ί κάθε όρς ρκύτει ό (-) λ Ισχύυ: =λ, Σ + + +... εφόσ λ κι Σ λ, εώ κί κι ική λ συθήκη ι είι τρείς η ηδεικί ριθί,, διδχικί όρι εωετρικής ρόδυ είι η
Βσικές Γώσεις Μθητικώ έχρι κι τη Β Λυκείυ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Οάζετι η συάρτηση f(), 0 ρίζετι ι κάθε R κι ίρει τιές στ 0,. Α 0 είι ησίως φθίυσ εώ είι ησίως ύξυσ. Ορισός τυ e: lim =,78888459045560874757...=e ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισός lg θ θ ε 0, θ 0 Νεέρις λάριθς λέετι λάριθς υ έχει άση τ e : Δεκδικός λάριθς λέετι λάριθς υ έχει άση τ 0: ln e ε 0 κι R. lg 0 ε 0 κι R. Κάθε ρτικός ριθός ρεί ρφεί ως λάριθς : ι κάθε R ισχύει: ln e ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συάρτηση f() lg, 0 ρίζετι στ 0,, έχει τιές στ IR κι είι η τίστρφη της f Α 0 είι ησίως φθίυσ, εώ είι ησίως ύξυσ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: --- στις εόεες ιδιότητες όυ δε ράφετι τ εριεχόε τω λρίθω είι θετικά εώ ι άσεις θετικές κι όχι έ. ln P() ln P() ln 0 ln e ln e e ε 0 ln e P() e P() ε P 0 lg ( ) lg lg lg lg lg lg ε 0, 0 κ κlg ln lg ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε λάριθ: lg, εικότερ ισχύει: lg, 0,, 0 ln lg ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε εκθετική συάρτηση : ση ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ εκθέτης εκθέτη ln(άσης) e ή e ln Οι συρτήσεις f() κι f() lg ε 0 Είι τίστρφες κι έχυ ρφικές ρστάσεις υ είι συετρικές ως ρς τη ευθεί (Διλά σχήτ) =a =lga =a > =lg a 0<< ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α Α(, ) κι Β(, ) τότε AB, Α (,), τότε i j,, εώ τ έσ M τυ AB είι τ M, λ εφω, 0 Έστω τ διύστ (, ) κι (, ). Tότε: Ορίζυε: συ(,) Ισχύυ (, ) ( ),, συ,, ρ (, ) 0 (, ) det(,) 0 // 0 det(,) 0 = ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ε είι η: Α Β Γ 0 ε A 0 ή B 0. Ισχύυ: Ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς υ διέρχετι ό τ A,, B, είι λαβ Η ευθεί (ε): Α Β Γ 0 είι ράλληλη στ διάυσ δ ( Β,Α), στ διάυσ ε (Β, Α) κι έχει A συτελεστή διεύθυσης λ, εφόσ Β 0 εώ είι κάθετη στ διάυσ. p (Α, Β) B Η όστση εός σηείυ Μ(, ) ό τη (ε) είι: Τ εδό τυ τριώυ ΑΒΓ ε Α,, B,, Α Β Γ d(μ,ε) Α Β Γ, είι: (ΑΒΓ) det(ab,aγ) M. Πρηράκης http://users.sch.gr/mipapagr,
Βσικές Γώσεις Μθητικώ έχρι κι τη Β Λυκείυ ΚΥΚΛΟΣ είι τ σύλ τω σηείω τυ ειέδυ Ο τ ί έχυ στθερή όστση ρ, (κτί τυ κύκλυ), ό έ στθερό σηεί Κ, (κέτρ τυ κύκλυ). Α Μ(,) υτά τ σηεί κι Κ(, ) τότε: ρ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ A B Γ 0 ε Α Β 4Γ 0 Α Β Τότε έχει κέτρ τ σηεί: Κ, κι κτί Α Β 4Γ ρ Η εξίσωση τυ κύκλυ στ ιδικό είεδ είι: z z ρ, ε z στθερός ιδικός ριθός κι ρ R. ΠΑΡΑΒΟΛΗ είι τ σύλ τω σηείω τυ ειέδυ Ο τ ί ισέχυ ό ι ευθεί δ, (διευθετύσ) κι έ στθερό σηεί Ε, (Εστί). p Α Μ(, ) υτά τ σηεί κι δ:, Ε ( p,0) τότε: d M,δ ME p. Τ άω τή είι η ρφική ράστση της συάρτησης p, εώ τ κάτω της p ε M(,) Α(,) Ο P p>0 M(,) Α p E,0 p δ: p p Α Μ(, ) υτά τ σηεί κι δ :, Ε0, d M,δ ME p. τότε: Αυτή η ρλή είι η ρφική ράστση της συάρτησης: p ΈΛΛΕΙΨΗ είι τ σύλ τω σηείω Μ(,) τυ ειέδυ Ο τ ί έχυ στθερό άθρισ στάσεω,, ό δύ στθερά σηεί Ε, Ε (εστίες), ( EE. Α είι E(,0), E (,0) τότε: Α είι E(0,), E (0, ) τότε: Τ άω τή της έλλειψης ΜΕ ΜΕ Α, ΜΕ ΜΕ Α,, εώ τ κάτω της.. είι η ρφική ράστση της συάρτησης:,,. Ατίστιχ ισχύυ ι τη Εκκετρότητ της έλλειψης άζετι ριθός ε. Ότ ε τότε η έλλειψη ίετι ι ελτυσέη, εώ ότ ε 0 η έλλειψη τείει ίει κύκλς ΥΠΕΡΒΟΛΗ είι τ σύλ τω σηείω τυ ειέδυ τ ί έχυ στθερή όλυτη διφρά στάσεω,, ό δύ στθερά σηεί Ε, Ε (εστίες), ( EE ). a a Α Μ(, ) υτά τ σηεί κι E (,0), E(,0) τότε: ΜΕ ΜΕ Α Μ(, ) υτά τ σηεί κι E (0, ), E(0,) τότε ΜΕ ΜΕ Τ άω τή της υερλής, εώ τ κάτω της,., είι η ρφική ράστση της συάρτησης:,,, υερλής άζετι ριθός ε.- Ατίστιχ ισχύυ ι τη ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ είι ι κι εώ της Ισσκελής υερλή λέετι η υερλή:. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ: τω ράω κυλώ στ σηεί τυς Α, ΚΩΝΙΚΗ ρ p, Εκκετρότητ της είι ι κι. p ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ρ p( ) p( ) A =p p>0 E(,0) E0, p p δ: B M (, ) B Α Ν Ο E(,0) Κ Μ Λ Α Α M. Πρηράκης http://users.sch.gr/mipapagr