Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύουν: i. x T A, x T A, ii. f x T f x T f x O αριθμός T λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f. Η συνάρτηση ημίτονο Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ(x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και τη συμβολίζουμε με: ημx = ημ(x rad) Η συνάρτηση ημίτονο είναι εριοδική με ερίοδο διότι: ημ(+x) = ημx, για κάθε x R Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα λάτους. Η μονοτονία της συνάρτησης αυτής στο διάστημα [0,] φαίνεται στον διλανό ίνακα. Η συνάρτηση συνημίτονο Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός α- ριθμός x αντιστοιχίζεται στο συν (x rad) λέγεται συνάρτηση συνημίτονο και τη συμβολίζουμε με: συνx = συν (x rad) Η συνάρτηση αυτή είναι εριοδική με ερίοδο., διότι: συν(+x)=συνx για κάθε x R Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα λάτους. Η μονοτονία της συνάρτησης αυτής στο διάστημα [0,] φαίνεται στον διλανό ίνακα. * R

140. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις Η συνάρτηση εφατομένη Η συνάρτηση εφατόμενη ορίζεται ως το ηλίκο του ημιτόνου ρος το συνημίτονο. ημx Είναι: f (x) εφx με εδίο ορισμού το A {x R : συνx 0} συνx Η συνάρτηση εφx είναι εριοδική με ερίοδο διότι: εφ( + x) = εφx, για κάθε x A. Άρα η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται η ίδια σε κάθε διάστημα λάτους. Όταν το x λησιάζει ( τείνει ) στο με ευθεία x x η εφx τείνει στο γι αυτό λέμε ότι η είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f με f(x) = εφx. Οι συναρτήσεις f(x) = ρημ(ωx), όου ρ, ω > 0 και g(x) = ρσυν(ωx), όου ρ, ω > 0 Εειδή 1 ημx 1 έχουμε 1 ημx(ωx) 1 και εειδή ρ > 0 είναι: ρ ρημ(ωx) ρ -ρ f (x) ρ Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι το ρ και η ελάχιστη τιμή της είναι το - ρ. Το ω καθορίζει την ερίοδο Τ της f ου είναι: T ω Παρατηρήσεις 1. Αό τον ορισμό της συνάρτησης ροκύτει ότι η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης τέμνεται το ολύ σε ένα σημείο αό κάθε κατακόρυφη ευθεία και σε κανένα, ένα ή ερισσότερα (μορεί και άειρα) αό κάθε οριζόντια ευθεία.. Αν γνωρίζουμε τη γραφική αράσταση της y = f(x) μορούμε να σχεδιάσουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων με τύους: y f (x) k, y = f ( x + k ) όου k είναι ραγματικός αριθμός.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 141. Προκύτει αό την καμύλη y = f(x) με μετατόιση κατά k ρος τα άνω αν k > 0 ή κατά k ρος τα κάτω αν k < 0. Προκύτει αό την καμύλη y = f(x) με μετατόιση κατά k δεξιά αν k < 0 ή κατά k ρος τα αριστερά αν k > 0. Αν γνωρίζουμε την καμύλη με εξίσωση y = f(x) μορούμε να σχεδιάσουμε την καμύλη y = f(x) ως συμμετρική της ρώτης ως ρος τον x x. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Ισότητα ημιτόνων Δύο τόξα (ή γωνίες)ω και φ έχουν ίσα ημίτονα όταν τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος τον άξονα y y ή όταν τα Μ και Μ ταυτίζονται. Άρα, ω φ κ ω φ κ, κ Ζ ω φ κ ω φ κ 1, κ Ζ Αό τα αραάνω, έχουμε ότι αν θ είναι μια λύση της εξίσωσης: ημx δηλαδή ημθ α, τότε όλες οι λύσεις της (1) είναι: Η y = f(x) έχει γραφική αράσταση συμμετρική της γραφικής αράστασης της y = f(x) ως ρος τον άξονα x x και η y = f( x) έχει γραφική αράσταση συμμετρική της γραφικής αράστασης της y = f(x) ως ρος τον άξονα y y. x κ θ, κ Ζ ή x κ 1 θ, κ Ζ () α (1)

14. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις Η εξίσωση ημx α, όου 1 α 1 έχει άειρες λύσεις όσες είναι και οι τετμημένες των σημείων τομής της ευθείας y α με την καμύλη της συνάρτησης y ημx. Οι λύσεις δίνονται αό τον τύο: x κ θ ημx α ημθ, όου κ Ζ x κ θ (3) όου θ είναι μια λύση της εξίσωσης ημx α. Ισότητα συνημιτόνων Δύο γωνίες (ή τόξα) ω και φ έχουν ίσα συνημίτονα όταν τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος τον άξονα x x ή όταν τα σημεία Μ και Μ ταυτίζονται. Άρα, ω φ κ ω φ κ, κ Ζ ή ω φ κ ω φ κ, κ Ζ (Όταν δηλαδή έχουν διαφορά ή άθροισμα ακέραιο ολλαλάσιο λήρους κύκλου κ ) Αό τα αραάνω ροκύτει ότι, αν θ είναι μία λύση της εξίσωσης συνx τότε όλες οι λύσεις της (1) δίνονται αό τους τύους: α (4) x κ θ, κ Ζ ή x κ θ, κ Ζ (5) Η εξίσωση συνx α, όου 1 α 1 έχει άειρες λύσεις όσες είναι και οι τετμημένες των σημείων τομής της ευθείας y α με την καμύλη της συνάρτησης y συνx.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 143. Οι λύσεις δίνονται αό τον τύο: x κ θ συνx α συνθ, όου κ Ζ x κ θ (6) όου θ είναι μια λύση της εξίσωσης συνx α. Ισότητα εφατομένων - συνεφατομένων Δύο τόξα (ή γωνίες) ω και φ έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη όταν τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος την αρχή των αξόνων Ο. Κάθε γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟΜ έχει την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη με γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟΜ (ή τα τόξα (με αρχή το Α (1,0)) ου έχουν έρας τα σημεία Μ και Μ έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη). Άρα τα φ και ω έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη όταν: ω φ κ ω φ κ, κ Ζ ω φ λ, λ Ζ ω φ κ ω φ κ 1, κ Ζ Οότε οι λύσεις της εξίσωσης: εφx α (7) δίνονται αό τον τύο: x κ θ, κ Ζ (8) όου θ μια λύση της (7) δηλαδή εφθ α Η εξίσωση εφx α, όου 1 α 1 έχει άειρες λύσεις όσες είναι και οι τετμημένες των σημείων τομής της ευθείας y α με την καμύλη της συνάρτησης y εφx. Οι λύσεις δίνονται αό τον τύο: όου θ είναι μια λύση της εξίσωσης εφx εφx α εφθ x κ θ, όου κ Ζ (9) α.

144. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις Τριγωνομετρική εξίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε εξίσωση ου ο άγνωστος ή η αράσταση του αγνώστου εριέχεται σε ένα τουλάχιστον τριγωνομετρικό αριθμό. Παραδείγματα 1. Οι εξισώσεις ημ x 1, εφ3x 7εφx 6 0, είναι τριγωνομετρικές. 3. Η εξίσωση x ημ δεν είναι τριγωνομετρική εξίσωση γιατί δεν εριέχει τον άγνωστο x σε τριγωνομετρικό αριθμό. μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης είναι το σύνολο των γωνιών (ή τόξων) ου την εαληθεύουν. Η διαδικασία εύρεσης της λύσης λέγεται είλυση της τριγωνομετρικής εξίσωσης. Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος 1 Η συνάρτηση f x ρημωx με ρ,ω 0 είναι εριοδική με ερίοδο Τ και έχει μέγιστο το ρ και ω ελάχιστο το ρ. Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(x) = 3ημ(4x) και να κάνετε την γραφική της αράσταση. η συνάρτηση f(x) = 3ημ(4x) έχει μέγιστη τιμή το 3, ελάχιστη το 3 και ερίοδο. 4 Εομένως, για να αρουσιάσουμε τη γραφική της f σχεδιάζουμε μια ημιτονοειδή καμύλη με ελάχιστη τιμή το - 3 και μέγιστη το 3 σε διάστημα λάτους. Στο ίδιο σχήμα σχεδιάσαμε και την ημx. Τα ίδια ισχύουν για τη συνάρτηση g(x) = ρσυν(ωx).

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 145. Κατηγορία Μέθοδος Η συνάρτηση f x ρσυν ωx με ρ,ω 0 είναι εριοδική με ερίοδο Τ και έχει μέγιστο το ρ και ω ελάχιστο το ρ. Παράδειγμα Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f x 3συνx σε λάτος μιας εριόδου. Η συνάρτηση f x 3συνx είναι της μορφής f x ρσυν ωx με ρ 3 και ω. Εομένως: Είναι εριοδική με ερίοδο Τ και έχει μέγιστη ω τιμή το 3 και ελάχιστη το 3. Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο διλανό σχήμα. Κατηγορία Μέθοδος 3 Η συνάρτηση f x ρημ ωx φ με ρ,ω 0 και φ R γράφεται: φ f x ρημ ω x ω. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή ροκύτει αό τη συνάρτηση g x ρημ ωx αν φ όου x θέσουμε το x. Εομένως: ω Είναι εριοδική με ερίοδο Τ. ω Έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ. Η γραφική αράσταση ροκύτει αό κατάλληλη μετατόιση της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g x ρημ ωx.

146. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις Παράδειγμα 3 Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f x ημ x 4. είναι της μορφής f x ρημ ωx φ με ρ και φ. 4 Η συνάρτηση f x ημ x 4 Εομένως: Είναι εριοδική με ερίοδο Τ. Έχει μέγιστη τιμή το και ελάχιστη τιμή το. Η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g x ημx κατά 4 μονάδες ρος τα δεξιά. Κατηγορία Μέθοδος 4 Η είλυση μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης στηρίζεται στο μετασχηματισμό της σε κάοια αό τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Αυτό το ειτυγχάνουμε με τη βοήθεια κατάλληλων τριγωνομετρικών τύων όως θα δούμε στα λυμένα αραδείγματα και στα σχόλια ου ακολουθούν. Με την εφαρμογή των τύων των λύσεων των εξισώσεων, αό μια βασική τριγωνομετρική εξίσωση, καταλήγουμε σε αλγεβρική εξίσωση ου την ειλύουμε κατά τα γνωστά ως ρος το άγνωστο τόξο. Παράδειγμα 4 Να λύσετε την εξίσωση: ημ x ημ x 3 4 Είναι βασική τριγωνομετρική εξίσωση της μορφής ημf x ημg x οότε έχουμε: x κ x 3 4 x x κ 4 3 ή, κ Z ή, κ Z x κ x x x κ 3 4 4 3

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 147. x κ 1 ή, κ Z 5 3x κ 1 Άρα x κ ή 1 κ 5 x, κ Z. 3 36 Κατηγορία Μέθοδος 5 Για να ειλύσουμε εξισώσεις, όως οι: ημf x λ, 1 λ 1 1 συνf x λ, 1 λ 1 εφf x λ, λ R 3 σφf x λ, λ R 4 εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε γωνία θ ώστε ημθ λ έτσι η (1) γίνεται ημf x ημθ, δηλαδή βασική εξίσωση. Ανάλογα εργαζόμαστε και για τις εριτώσεις (), (3), (4). Παράδειγμα 5 3 Να λυθεί η εξίσωση ημx. Εειδή 3 ημ μια λύση της εξίσωσης είναι το. Εομένως όλες οι λύσεις της αραάνω 3 3 εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: Με ανάλογες σκέψεις βρίσκουμε: συνx α συνθ x κ θ ή x, κ Z και εφx α εφθ x κ θ, όου Z σφx α σφθ x κ θ, όου Z Παράδειγμα 6 1 Να λύσετε την εξίσωση: συν x 6 x κ, x κ, όου κ Z 3 3 α R α R α 1,1

148. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1 1 Εειδή συν έχουμε: συν x συν x συν 3 6 6 3 x κ x κ 6 3 3 6 ή, κ Ζ ή, κ Ζ x κ x κ 6 3 3 6 Άρα x κ ή 6 x κ, κ Ζ. Κατηγορία Μέθοδος 6 Οι αρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις, μετασχηματίζονται σε βασικές εξισώσεις με τους τύους των αντιθέτων - αραληρωματικών γωνιών: 1. ημf x ημg x ημf x ημ g x. συνf x συνgx συνf x συν g x 3. εφf x εφg x εφf x εφ g x 4. σφf x σφg x σφf x σφ gx, όου f x, g x είναι αραστάσεις του x. Παράδειγμα 7 Να λύσετε την εξίσωση: συν x συν x 4 3 Εειδή συν x συν x 3 έχουμε: 3 συν x συν x συν x συν x 4 3 4 3 x κ x 4 3 συν x συν x ή, κ Ζ 4 3 x κ x 4 3

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 149. 5 3x κ 3x κ 3 4 1 ή, κ Ζ ή, κ Ζ 11 x κ x κ 3 4 1 Άρα κ 5 x ή 3 36 11 x κ, κ Ζ. 1 Κατηγορία Μέθοδος 7 Οι αρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις, μετασχηματίζονται σε βασικές εξισώσεις με τους τύους των συμληρωματικών γωνιών: 1. ημf x συνg x ημf x ημ g x. συνf x ημg x συνf x συν g x 3. εφf x σφg x εφf x εφ g x 4. σφf x εφg x σφf x σφ g x Παράδειγμα 8 Να λύσετε την εξίσωση: ημx συν x 4 Εειδή ημ x συν x 4 έχουμε: 4 ημx συν x ημx ημ x ημx ημ x 4 4 4 x κ x 0x κ, αδύνατη 4 4 ή, κ Ζ ή, κ Ζ x κ x x κ 4 4 3 x κ, κ Ζ 4

150. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 3 Άρα x κ, κ Ζ 8 Κατηγορία Μέθοδος 8 Όταν ζητείται να λύσουμε τριγωνομετρική εξίσωση σε διάστημα α,β τότε: Βρίσκουμε αρχικά τις άειρες λύσεις της και στη συνέχεια αό την ανισότητα α x β βρίσκουμε τις τιμές του κ Ζ για τις οοίες οι λύσεις ανήκουν στο διάστημα α,β. Παράδειγμα 9 Να λύσετε την εξίσωση εφ x 3 στο διάστημα 0,. 4 Αρχικά ρέει συν x 0 (1). Εειδή 4 εφ x εφ x κ, κ Ζ 4 3 4 3, η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: εφ 3 3 x κ, κ Ζ 3 4 x κ, κ Ζ, ου είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τον εριορισμό (1). 1 Θα βρούμε οιες αό τις άειρες λύσεις ου δίνονται αό τον τύο x κ, κ Ζ ανή- 1 κουν στο διάστημα 0,. Πρέει x 0, δηλαδή: 0 x 0 κ, κ Ζ 1 κ, κ Ζ 1 1 3 κ, κ Ζ 1 1 1 κ 3, κ Ζ. Εειδή κ Z είναι: κ 0, κ 1. 1 1 Εομένως οι λύσεις της εξίσωσης εφ x 3 στο 0, είναι: 4 για κ 0 : 13 x και για κ 1: x 1 1

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 151. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 x Να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f (x) Σύμφωνα με τα ροηγούμενα είναι μια ημιτονοειδές καμύλη και έχει μέγιστη τιμή το, ελάχιστη τιμή το - και είναι εριοδική με ερίοδο T 4 1/ Σχεδιάζουμε την ημιτονοειδή καμύλη σε διάστημα λάτους 4. Για σύγκριση σχεδιάσαμε και τη συνάρτηση φ(x) = ημx στο διάστημα [0, ]. Άσκηση x Να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f (x) 3συν 1 Η f είναι εριοδική ερίοδο T 4. Σχεδιάζουμε μια συνημιτονοειδή καμύλη στο διάστημα 1/ [0, 4] με μέγιστη τιμή το 3 και ελάχιστη το - 3 και τη μεταφέρουμε ρος τα άνω κατά μία μονάδα. Άσκηση 3 3 Να λυθεί η εξίσωση: συν x 4 5 3 Εειδή συν, έχουμε: 6 5 x κ 3 5 4 6 συν x συν 4 6 5 x κ 4 6, Z

15. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 5 13 x κ x κ, κ Z 6 4 1 5 7 x κ x κ, κ Z 6 4 1 Άσκηση 4 Να λυθεί η εξίσωση: ημ 3x 1 4 Είναι ημ 3x 1 ημ 3x 1 ημ 3x ημ 4 4 4 3x κ 4 3x κ 3x κ 4 4 3x κ 4 3 κ 3x κ x, Z 4 3 4 Άσκηση 5 Να λυθεί η εξίσωση: ημx εφx εφx ημx 1 στο διάστημα,. Πρέει συνx 0 x κ, κ Ζ ημx ημx ημx εφx εφx ημx 1 ημx ημx 1 συνx συνx ημxσυνx ημx ημ x συνx ημx συνx ημx συνx ημx 0 ημxσυνx ημ x ημx συνx 0 ημx 1 0 ημx 1συνx ημx 0 συνx ημx 0 ημx 1 (1) συνx ημx () x κ (1) ημx 1 ημ x κ x κ, κ Z (αορρίτονται λόγω εριορισμών)

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 153. x κ x x κ x κ, κ Ζ () συνx συν x 4 x κ x 0x κ, κ Ζ αδύνατη Προσδιορισμός του κ: Είναι x κ κ 3 1 4 4 4 4 4 και εειδή κ Z θα είναι κ 0. Άρα αό τις άειρες λύσεις x κ μόνο μία λύση (αυτή ου ροκύτει για κ = 0) ανήκει 4 στο, και είναι η x 0 4 4 Άσκηση 6 Να λυθεί η εξίσωση: Θέτουμε t ημ x 3ημx 0. x, οότε ροκύτει η δευτεροβάθμια ως ρος t εξίσωση: t 3t 0 (1) 3 5 1 3 5 Η (1) έχει διακρίνουσα 9 4 5 και ρίζες t 1, t 4 4 Έτσι έχουμε να ειλύσουμε τις εξισώσεις 1 ημx και ημx (ου είναι αδύνατη) x κ 1 6 Είναι: ημx ημ 6 5 x κ κ 6 6, κ Z Δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ x 1. Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των f (x) ημ3x και g(x) 1 3ημ στο διά- στημα της αντίστοιχης εριόδου.. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις συναρτήσεις: f (x) εφx, g(x) 1 εφx, h(x) εφx

154. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 3. Να μελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f (x) σφx. 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. 1 συνxσυνx 3 0 ii. εφ 4x 3 3 iii. εφx σφ 3x 3 iv. συν ω συνω 1 0 5. Να λυθούν οι εξισώσεις i. 1 4 εφx ii. ημx 1 συνx συν x 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. 31 ημx συνx σφx ii. 7. Να λυθεί η εξίσωση: στο, 4 ημ x 1 3 ημ x ημx 0, στο 4,5 8. Να λυθεί η εξίσωση: εφ x 3εφx 0 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. εφ x σφ 3x 0 3 ii. ημ 3x συν x 4 3 Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Να λυθεί η εξίσωση: 3 3 ημ x ημ xσυνx ημxσυν x συν x = 0 (Υ.: Παρατηρήστε ότι συνx 0 και διαιρέστε με συνx )