Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Το κλασσικό µοντέλο των έµµεσων παρατηρήσεων στη ΜΕΤ Με διαστάσεις - L: nx1, A: nxu, X: ux1, V: nx1, όπου n: #παρατηρήσεων, u: #αγνώστων παραµέτρων Μπορεί να εκφραστεί ως ακολουθώντας το συµβολισµό της Μεθόδου Σηµειακής Προσαρµογής (ΜΣΠ), όπου x συµβολίζει το διάνυσµα των παρατηρήσεων, και n το θόρυβο τους (x και n έχουν διαστάσεις nx1) Η ΜΣΠ, συµπεριλαµβάνοντας µια νέα ποσότητα s (το λεγόµενο σήµα) που επεκτείνει το προηγούµενο µοντέλο στη µορφή Η ποσότητα s θα µπορούσε να ερµηνευθεί ότι εκφράζει τις ατέλειες του µαθηµατικού µοντέλου µε το οποίο επιχειρείται να περιγράφουν πλήρως ή ακριβώς οι σχέσεις µεταξύ των µετρήσεων x και των αγνώστων παραµέτρων Χ του φυσικού µοντέλου κάτι σαν µια πρόσθετη διόρθωση s στις παρατηρήσεις. Ωστόσο, κάτι τέτοιο δεν φαίνεται να ήταν η επιδίωξη στην αρχική διατύπωση της ΜΣΠ Η µέτρηση έχει δύο άγνωστες συνιστώσες - το σήµα s και το θόρυβο n Σήµα (signal) Τι παρατηρούµε Θόρυβος (noise) o θόρυβος σχετίζεται µε τα σφάλµατα της µετρητικής διάταξης το σήµα, σχετίζεται µε τη συµπεριφορά του παρατηρούµενου µεγέθους σε ένα συγκεκριµένο περιβάλλον µετρήσεων, όπως Οι αποκλίσεις της κατακορύφου στο πεδίο βαρύτητας Η αλλοίωση στην απόσταση που διασχίζει ένα δορυφορικό ραδιοσήµα µέσα από τη «µολυσµένη» ατµόσφαιρα ή τα ηλεκτρόνια της ιονόσφαιρας x µετρήσεις εντοπισµού του δορυφόρου (π.χ. από επίγειους σταθµούς λέιζερ) s διαταραχές της κανονικής τροχιάς εξ αιτίας του γήινου πεδίου βαρύτητας n Θόρυβος των µετρήσεων ΑX µοντέλο της κανονικής τροχιάς του δορυφόρου (π.χ. Κεπλέρια έλλειψη) Static GNSS surveying Baseline > 30km Horizontal: 2.5mm+0.5ppm RMS Vertical: 5mm+0.5ppm RMS Baseline > 30km Horizontal: 4mm+0.5ppm RMS Vertical: 9mm + 0.5ppm RMS Το τυπικό επίπεδο θορύβου στις µετρήσεις του οργάνου Μέτρο της συµπεριφοράς της παρατηρούµενης απόστασης µεταξύ σηµείων εξ αιτίας της διαφοροποίησης της ατµόσφαιρας κατά µήκος της διαδροµής των ραδιοσηµάτων GPS (ή των οπτικών ακτινών στις µετρήσεις π.χ. µε total stations) g x - Ένδειξη βαρυτήµετρου s Ανωµαλία βαρύτητας n Θόρυβος των µετρήσεων X Παράµετροι του κανονικού πεδίου βαρύτητας + άλλες συστηµατικές επιδράσεις στις µετρήσεις (π.χ. ολίσθηση βαρυτήµετρου) Αx+s Αx Στο βασικό της ΜΣΠ Συνήθως εισάγεται ο συµβολισµός Μετρήσεις βαρύτητας s Όλες οι ποσότητες που αφορούν το πεδίο βαρύτητας της Γης (αποκλίσεις της κατακορύφου, υψόµετρα του γεωειδούς, ανωµαλίες βαρύτητας) σχετίζονται µεταξύ τους... Όπου η ποσότητα Ζ εκφράζει το τυχαίο σφάλµα των παρατηρήσεων, µετά την αφαίρεση του συστηµατικού µέρους ΑΧ Ο συµβολισµός s χρησιµοποιείται για να δηλώσει το σήµα στα σηµεία των µετρήσεων Όπου χρησιµοποιείται ο συµβολισµός s υπονοείται ότι ο υπολογισµός του σήµατος γίνεται σε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος (χωρίς απαραίτητα εκεί να έχουν γίνει σε αυτά µετρήσεις)
Εκτίµηση των αγνώστων εδοµένου ότι στο γενικό µοντέλο της ΜΣΠ κάθε παρατήρηση x έχει δύο τυχαίες συνιστώσες παραµέτρων στο βασικό µοντέλο της ΜΣΠ ; Το σήµα s και το θόρυβο n Αντίστοιχα υπολογίζονται οι πίνακες συµµεταβλητότητας Csx και Csx Ο πίνακας µεταβλητότηταςδιαστάσεων 1x(p+n) (1xp) συµµεταβλητότητας Cxx υπολογίζεται ως (1xn) Βάσει του γνωστού ελαχιστοτετραγωνικού κριτηρίου βελτιστοποίησης της ΜΕΤ, όπου το διάνυσµα των υπολοίπων των µετρήσεων αποτελείται από το σήµα s στα σηµεία ενδιαφέροντος και από την τυχαία συνιστώσα της εκάστοτε µέτρησης και o πίνακας βαρών Ρ αποτελείται από υποπίνακες που εκφράζουν τις συµµεταβλητότητες για τα σήµατα s, τις παρατηρήσεις x και τις µεταξύ τους συνδιακυµάνσεις και υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει συσχέτιση µεταξύ σήµατος και θορύβου Από το ελαχιστοτετραγωνικού απλά πίνακες µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας µεταξύ των σηµάτων s και s, στα σηµεία των µετρήσεων και τα άλλα σηµεία ενδιαφέροντος Οι κανονικές εξισώσεις κριτηρίου βελτιστοποίησης της ΜΕΤ προκύπτουν από την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης µαζί µε τη δεσµευτική Οι οποίοι παρατηρείται ότι είναι εξίσωση όπου Ο πίνακας µεταβλητότητας- όπου W υπολογίζεται από κάποιες παρατηρήσιµες (W = AX - x) ή προσεγγιστικές τιµές (W = AX0 - x) των παραµέτρων, και η εκτίµηση του διανύσµατος των αγνώστων δίνεται ως, συµµεταβλητότητας C = CXX για τα σήµατα στα σηµεία παρατήρησης, ο πίνακας µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας D για το θόρυβο των µετρήσεων και ο πίνακας βαρών ΡΧ συµπεριλαµβάνονται ως τρεις ξεχωριστοί τύποι πληροφοριών όπου Στην περίπτωση που δεν έχουµε a priori γνώση των παραµέτρων ΡΧ = 0 και W = -x ή W = AX0 x, ανάλογα µε το αν επιθυµούµε να επιλύσουµε ως προς τις ίδιες τις παραµέτρους ή τις διορθώσεις ως προς κάποιες προσεγγιστικές τιµές τους και τελικά Προκύπτει η αντίστοιχη εξίσωση για τον υπολογισµό των σηµάτων s σε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος Πρόβλεψη του σήµατος s σε σηµεία διαφορετικά από εκείνα των µετρήσεων συµµεταβλητότητας των παραµέτρων δίνεται ως Πρόβλεψη του σήµατος s σε σηµεία διαφορετικά από εκείνα των µετρήσεων Στο µοντέλο της ΜΕΤ, η εκτίµηση των Αντίστοιχα, ο πίνακας µεταβλητότητας- Στο ΜΣΠ, το σήµα s σε σηµεία ενδιαφέροντος διαφορετικά υπολοίπων των µετρήσεων και ο αντίστοιχος πίνακας µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας τους δίνεται από τις σχέσεις από σηµεία όπου έχουν γίνει µετρήσεις είναι σαν µια συνορθωµένη µέτρηση := µηδενική µέτρηση + το υπόλοιπο της εξισώνοντας το δεξί µέλος µε το αντίστοιχο από την προηγούµενη αντίστοιχη σχέση από τη ΜΕΤ και αποµονώνοντας τον υποπίνακα Cs προκύπτει και στην περίπτωση που ΡΧ = 0, 0 προκύπτει ο πίνακας µεταβλητότητας-συµµεταβλητότητας των παραµέτρων που προβλέπεται από τη ΜΣΠ
Υπολογιστικός φόρτος εφαρµογής της ΜΣΠ Ο υπολογισµός των αγνώστων παραµέτρων, απαιτεί δύο Εναλλακτικός τρόπος εξαγωγής των εξισώσεων της ΜΣΠ Ξεκινώντας από ένα µη-γραµµικό µοντέλο της µορφής που µετά τη γραµµικοποίηση του είναι της µορφής αντιστροφές πινάκων που εµπεριέχονται στην έκφραση nxn uxu και οι δύο προς αντιστροφή πίνακες είναι πλήρεις µε τις υποφαινόµενες διαστάσεις Σε πολλές εφαρµογές, µπορεί να έχουν ειδική µορφή και να αντιστρέφονται µε αποδοτικό τρόπο Όπου * υποδηλώνει υπερπίνακα ή υπερδιάνυσµα Για τον υπολογισµό του σήµατος s στα σηµεία των µετρήσεων, καθώς και του σήµατος s σε σηµεία ενδιαφέροντος σηµάτων s και s εξήγηση? Για να σχηµατιστούν και να επιλυθούν οι κανονικές εξισώσεις απαιτείται να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ, ο συγκεκριµένος φορµαλισµός ανάγει τη ΜΣΠ στο κλασσικό µοντέλο της ΜΕΤ µε τη χρήση παραµέτρων µε βάρη. Τα σήµατα s και s έχουν εκ της Οι παράµετροι Χ, όπως και οι παρατηρήσεις L, θεωρούνται ότι δεν σχετίζονται στατιστικά µε τα σήµατα s και s Εφαρµόζοντας την αντίστοιχη σχέση του κλασσικού µοντέλου της ΜΕΤ για την εκτίµηση των παραµέτρων προκύπτει Css Csx µένει να δούµε τη συγκεκριµένη µορφή του πίνακα (Β* Ρ*-1 Β*Τ) Όπου για ευκολία Όπου οι δύο πρώτοι όροι είναι οι νόρµες (δηλ. το άθροισµα των τετραγώνων που ελαχιστοποιείται) που αφορούν αντίστοιχα τις παραµέτρους, και τα σήµατα s και s, ενώ η ελαχιστοποίηση της νόρµας για τις διορθώσεις των παρατηρήσεων υπεισέρχεται µέσω του τρίτου όρου και έµµεσα µέσω του υπερδιανύσµατος V* στην δεσµευτική συνθήκη που εκφράζει ο τέταρτος όρος. Με αντίστοιχους a priori πίνακες βαρών για τις παραµέτρους, τα σήµατα s, s και τις παρατηρήσεις φύσεως τους φυσική συσχέτιση Στον υπολογισµό των στοιχείων του W σηµειώστε την απουσία συµµετοχής των διαφορετικά από σηµεία όπου έχουν γίνει µετρήσεις ΕΝ ΑΠΑΙΤΟΥΝΤΑΙ επιπλέον αντιστροφές πινάκων Η εκτίµηση του διανύσµατος των αγνώστων παραµέτρων προκύπτει τελικά ως η ακολουθώντας το συµβολισµό της ΜΣΠ Πίνακας µεταβλητότηταςµεταβλητότητας-συµµεταβλητότητας CX Css Csx η εκτίµηση σηµάτων στα σηµεία των µετρήσεων... και οι διορθώσεις των παρατηρήσεων στα σηµεία των µετρήσεων... Η εκτίµηση (πρόβλεψη) του διανύσµατος των σηµάτων σε σηµεία διαφορετικά από τα σηµεία των µετρήσεων Ξεκινώντας από τον αντίστοιχο πίνακα από το κλασσικό µοντέλο της ΜΕΤ και αντικαθιστώντας και τελικά επειδή καθώς επίσης και η συνδυασµένη ποσότητα σήµα + θόρυβος στα ίδια σηµεία...
Βασικές εξισώσεις για Από τα στοιχεία στις θέσεις (1,1) στις προηγούµενες εξισώσεις προκύπτει ο a posteriori πίνακας για τα σήµατα σε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος, διαφορετικών από τα σηµεία των µετρήσεων ή αντίστοιχα η έκφραση µε τους συµβολισµούς της ΜΣΠ Βασικές εξισώσεις για τον a posteriori υπολογισµό των διαφόρων πινάκων συνδιακύµανσης τον a posteriori υπολογισµό των διαφόρων πινάκων συνδιακύµανσης Από το κλασσικό µοντέλο της ΜΕΤ προκύπτει ο a posteriori πίνακες µεταβλητότητας-συµµεταβλητότητας για τα υπόλοιπα των µετρήσεων Από το κλασσικό µοντέλο της ΜΕΤ προκύπτουν δύο εκφράσεις για τους a posteriori πίνακες µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας για τα σήµατα στα σηµεία των µετρήσεων και τις µετρήσεις στα εν λόγω σηµεία Αντίστοιχες εκφράσεις δεν υπάρχουν στην αρχική θεώρηση της ΜΣΠ Αποµένουν να εξαχθούν οι εκφράσεις για τους πίνακες µεταβλητότηταςµεταβλητότητας- συµµεταβλητότητας Μεταξύ των σηµάτων σε σηµεία διαφορετικά από εκείνα των µετρήσεων και των σηµάτων στα σηµεία των µετρήσεων Μεταξύ των σηµάτων στα σηµεία των µετρήσεων και των µετρήσεων στα εν λόγω σηµεία Μεταξύ των σηµάτων σε σηµεία διαφορετικά από εκείνα των µετρήσεων και των µετρήσεων είτε το σαν άσκηση Από τα στοιχεία στις θέσεις (1,2) στις προηγούµενες εξισώσεις προκύπτει ο a posteriori πίνακας για τα σήµατα s σε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος (διαφορετικών από τα σηµεία των µετρήσεων), και τα σήµατα s στα σηµεία των µετρήσεων ή αντίστοιχα η έκφραση µε τους συµβολισµούς της ΜΣΠ Μερικές παρατηρήσεις Εάν έχουµε κάποια εφαρµογή όπου τα δεδοµένα Από τα στοιχεία στις θέσεις (1,3) και (2,3) στις προηγούµενες εξισώσεις προκύπτουν δύο εκφράσεις για τους a posteriori πίνακες συµµεταβλητότητας για τα σήµατα s και s και τις µετρήσεις Αντίστοιχες εκφράσεις δεν υπάρχουν στην αρχική θεώρηση της ΜΣΠ θεωρούνται χωρίς σφάλµατα, στις προηγούµενες εκφράσεις αρκεί να εξαλειφθούν όλες οι ποσότητες που αναφέρονται στην εκτίµηση των υπολοίπων των µετρήσεων, δηλαδή και αντίστοιχα όλοι οι πίνακες µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας που εµπεριέχουν το διάνυσµα των συνορθωµένων µετρήσεων µηδενίζονται
Ενδεικτική συνάρτηση συµµεταβλητότητας (covariance function) After: Legrand J., Altamimi Z., and Jamet O. (2006) - Interpolation of After: Legrand J., the European velocity field using least squares collocation method, EUREF the European velocity field using least squares collocation method, EUREF Symposium Riga, Latvia, 14-17 June. Symposium Riga, Latvia, 14-17 June. Altamimi Z., and Jamet O. (2006) - Interpolation of From: Ján HEFTY (2007) - GEO-KINEMATICS OF CENTRAL AND SOUTH-EAST EUROPE RESULTING FROM COMBINATION OF VARIOUS REGIONAL GPS VELOCITY FIELDS Καλή προετοιµασία για την εξεταστική και την παρουσίαση για το Ατοµικό Θέµα σας...