Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1

Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας καμπύλης C : f(x)=y ονομάζουμε αυτή που επαληθεύεται απο τα σημεία της Μ(x,y) και μόνον αυτά. Π.χ. Έστω η καμπύλη C με τύπο y=x 3 +1. Το σημείο Α(1,) είναι σημείο της C (Α C) αφού για x=1 έχουμε : y = 1 3 + 1 = 1 + 1 =. Σημείο Β(-,4) δεν είναι σημείο της C (Β C) αφού για x=- έχουμε : y = ( ) 3 + 1 = 8 + 1 = 7 4. Σημεία Τομής με τους Άξονες Για να βρούμε που μια καμπύλη τέμνει τους άξονες θέτουμε : Α. Για τον x x όπου y=0 B. Για τον y y όπου x=0 Π.χ. Να βρείτε που τέμνει τους άξονες η C: y = x 1 x x: Για y = 0 0 = x 1 x = 1 x = ±1 Άρα τον x x τον τέμνει στα Α(1,0) και Β(-1,0) y y: Για x = 0 y = 0 1 y = 1 Άρα τον y y τον τέμνει στο Γ(0,-1)

4. Εξίσωση Ευθείας 1. Διανυσματική Εξίσωση Ευθείας α. Έστω ευθεία (ε) που είναι παράλληλη σε δοσμένο διάνυσμα u 0 και διέρχεται από δοσμένο σημείο M 0 (x 0,y 0 ). Έστω Μ(x,y) ένα τυχαίο σημείο της ευθεία (ε) και r 0 = OM 0, r = OM τα διανύσματα θέσης των Μ, Μ 0 τότε : r r 0 = M 0 M r = r 0 + M 0 M (1) Όμως M 0 M//u άρα M 0 M = t u για tεr. Όποτε από την (1) r = r 0 + t u (1) Π.χ. 1.7.1 Να βρείτε τη διανυσματική εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στο u = ( 1,3) και διέρχεται από το σημείο Μ 0 (1,). r = r 0 + t u r = (1,) + t ( 1,3) r = (1,) + ( t, 3t) r = (1 3t, + 3t) β. Έστω ευθεία (ε) που διέρχεται από δύο δοσμένα σημεία M 1 (x 1,y 1 ), Μ (x,y ). Έστω r 1 = OM 1, r = OM τα διανύσματα θέσης των σημείων M 1 (x 1,y 1 ), Μ (x,y ). Η ευθεία είναι παράλληλη στο διάνυσμα u = M 1 = r r 1 και διέρχεται από το Μ 1 άρα από την (1) έχουμε : r = r 1 + t u r = r 1 + t (r r 1 ) () 3

Π.χ. 1.7.3 Να βρείτε τη διανυσματική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία M 1 (-,3), Μ (4,5). r = r 1 + t (r r 1 ) r = (,3) + t [(4,5),3) r = (,3) + t (6,) r = ( + 6t, 3 + t). Παραμετρική Εξίσωση Ευθείας α. Έστω ευθεία (ε) που είναι παράλληλη σε δοσμένο διάνυσμα u = (α, β) 0 και διέρχεται από δοσμένο σημείο M 0 (x 0,y 0 ). Από την (1) έχουμε : r = r 0 + t u (x, y) = (x 0, y 0 ) + t(α, β) (x, y) = (x 0 + αt, y 0 + βt) Άρα η παραμετρική της εξίσωση είναι : { x = x 0 + at y = y 0 + βt Π.χ. 1.7.1 Να βρείτε τη παραμετρική εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στο u = ( 1,3) και διέρχεται από το σημείο Μ 0 (1,). Η διανυσματική είναι : r = (1 3t, + 3t). Άρα έχουμε x = 1 3t { y = + 3t β. Έστω ευθεία (ε) που διέρχεται από δύο δοσμένα σημεία M 1 (x 1,y 1 ), Μ (x,y ). Από την () έχουμε : r = r 1 + t (r r 1 ) (x, y) = (x 1, y 1 ) + t (x x 1, y y 1 ) Άρα η παραμετρική της εξίσωση είναι : (3) { x = x 1 + t (x x 1 ) y = y 1 + t (y y 1 ) (4) Π.χ 1.7.3 Να βρείτε την παραμετρική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία M 1 (-,3), Μ (4,5). Η διανυσματική είναι : r = ( + 6t, 3 + t). Άρα έχουμε : x = + 6t { y = 3 + t 3. Αναλυτική Εξίσωση Ευθείας α. Έστω ευθεία (ε) που είναι παράλληλη σε δοσμένο διάνυσμα u = (α, β) 0 και διέρχεται από δοσμένο σημείο M 0 (x 0,y 0 ). Από τη (3) και λύνοντας ως προς t έχουμε t = x x 0 a { t = y y 0 β Άρα η αναλυτική εξίσωση είναι : x x 0 = y y 0 a β για α και β 0 (5) Αν α=0 τότε η ευθεία έχει αναλυτική εξίσωση x=x 0. Αν β=0 τότε y=y 0. 4

Πχ 1.7.1 Να βρείτε την αναλυτική εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στο u = ( 1,3) και διέρχεται από το σημείο Μ 0 (1,). Από την (5) έχουμε : x 1 1 = y 3x 3 = y + 3 β.. Έστω ευθεία (ε) που διέρχεται από δύο δοσμένα σημεία M 1 (x 1,y 1 ), Μ (x,y ) με M 1 0. Από την (4) και λύνοντας ώς προς t έχουμε την αναλυτική εξίσωση : x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 (6) Ευθεία παράλληλη σε δοσμένο διάνυσμα u = (α, β) 0 και διέρχεται από δοσμένο σημείο M 0 (x 0,y 0 ) Πίνακας Εξισώσεων Ευθείας Διανυσματική Παραμετρική Αναλυτική r = r 0 + t u { x = x 0 + at y = y 0 + βt x x 0 = y y 0 a β Για α=0 x=x 0 Για β=0 y=y 0 Ευθεία διέρχεται από δύο δοσμένα σημεία M 1 (x 1,y 1 ), Μ (x,y ) με M 1 0 r = r 1 + t (r r 1 ) { x = x 1 + t (x x 1 ) y = y 1 + t (y y 1 ) x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 4. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας Κάθε εξίσωση της μορφής : Αx + Βy + Γ = 0 με Α 0 ή Β 0 Παριστάνει μια ευθεία (ε) στο επίπεδο και ονομάζεται Γενική Μορφή εξίσωσης ευθείας. Η ευθεία αυτή έχει : 1. Ένα Παράλληλο Διάνυσμα που συμβολίζομε με u και είναι ίσο με u = (B, A). Ένα Κάθετο Διάνυσμα που συμβολίζομε με η και είναι ίσο με η = (Α, Β) 5

Ειδικές Περιπτώσεις ευθειών Αx+Βy+Γ=0 1. Αν Α=0 (Β 0) τότε η ευθεία είναι της μορφής Βy + Γ = 0 y = Γ ή γενικότερα y=κ. Β y=3 Η ευθεία αυτή είναι πάραλληλη με τον άξονα χ χ και διέρχεται από το σημείο Μ(0,κ). y=-. Aν Β=0 (Α 0) τότε η ευθεία είναι Αx + Γ = 0 x = Γ ή γενικότερα x=k. Α x=-3 x= H ευθεία αυτή είναι παράλληλη στον y y και διέρχεται από το Μ(κ,0). 3. Αν Γ=0 τότε η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) 6

4.3 Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Ορισμός Συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση μιας ευθείας (ε) συμβολίζομε με λ, ονομάζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω (0 0 ω < 180 0 που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα Οχ. Δηλαδή λ = εφω. λ = εφω Αν ω = π = 900 τότε λ=εφ90 0 =δεν ορίζεται, και η ευθεία είναι παράλληλη με τον y y δηλαδή έχει τύπο x=k. Αν ω = 0 0 τότε λ=εφ0 0 =0, και η ευθεία είναι παράλληλη με τον x x δηλαδή έχει τύπο x=k. Τρόποι εύρεσης συντελεστή διεύθυνσης 1. Αν μας δίνεται η γωνία ω τότε λ = εφω.. Αν μας δίνονται δύο σημεία της ευθείας Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) τότε : λ ΑΒ = y y 1 με x x x 1 x 1 Αν x 1 = x τότε λ ΑΒ =δεν ορίζεται 3. Αν μας δίνεται ο συντελεστής μιας παράλληλης ευθείας ε τότε : ε 1 //ε λ 1 = λ 4. Αν μας δίνεται ο συντελεστής μιας κάθετης ευθείας ε τότε : ε 1 ε λ 1 λ = 1 αν λ 1, λ 0 και ορίζονται. Αν ε 1 ε και λ 1 = 0 τότε λ = δεν ορίζεται 5. Αν Αx+By+Γ=0 η γενική εξίσωση μιας ευθείας ε τότε 7 Αν Β 0 τότε λ ε = Α Β Αν Β = 0 τότε λ ε = δεν ορίζεται Εξίσωση ευθείας με γνωστό Συντ. Διευθυνσης λ και ένα σημείο Μ(x 0,y 0 ) y y 0 = λ(x x 0 ) με λ R x = x 0 αν λ = δεν ορίζεται.

Πχ. Για να προδιορίσουμε το σημείο τομής δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξίσώσεων τους : 3x + 4y 11 = 0 { x 3y + 1 = 0 3x + 4y 11 = 0 8y + = 0 { { 6x 3 x 3y + 1 = 0 6x 9y + 33 = 0 17y + 55 = 0 y = 5 3x + 4 5 11 = 0 x = 3 Αρα οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Α(-3,5). α) Αφού η ευθεία (ε 1 ) είναι παράλληλη στην (η): x+y+1=0 έχουμε λ ε1 =λ η. Όμως λ η = Α Β = 1. Άρα λ ε1 = 1. Οπότε η εξίσωση της (ε 1) είναι : (ε 1 ) y 5 = 1 (x + 3) y 10 = x 3 x + y 7 = 0 β) Αφού η ευθεία (ε ) είναι κάθετη στη (ζ): 3x-y+5=0, λ ε λ ζ = 1. Όμως λ ζ = 3 = 3. 1 Άρα : Οπότε η εξίσωση της (ε ) είναι : λ ε λ ζ = 1 λ ε 3 = 1 λ ε = 1 3 (ε ) y 5 = 1 (x + 3) 3 3y 15 = x 3 x + 3y 1 = 0 γ) Η ευθεία (ε 3 ) διέρχεται από δύο σημεία Α(-3,5) και Ο(0,0) άρα ο συντελεστής της είναι : λ ε3 = 0 5 0 + 3 = 5 3 Οπότε η εξίσωση της (ε 3 ) είναι : (ε 3 ): y 0 = 5 (x 0) 3 δ) Η ευθεία (ε 4 ) είναι παράλληλη στον χ χ οπότε λ ε3 =0 και (ε 3 ) y = 5 ε) Η ευθεία (ε 5 ) είναι παράλληλη στον y y οπότε λ ε4 =δεν ορίζεται και (ε 3 ) x = 3 y = 5 3 x 8

α) Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ είναι : x Μ = 1 1 = 0, y M = 4 5 = 1, M(0, 1 ) β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ΑΒ) είναι : λ ΑΒ = 5 4 1 1 = 9 γ) Η μεσοκάθετος του ΑΒ διέρχεται απο το μέσο M(0, 1 ) και είναι κάθετη στην ΑΒ άρα : Οπότε η εξίσωση της είναι : λ ε λ ΑΒ = 1 λ ε 9 = 1 λ ε = 9 (ε): y + 1 = 9 (x 0) y = 9 x 1 δ) Η ευθεία (η) διέρχεται από το Ο(0,0) και είναι κάθετη στην ΑΒ άρα λ η = 9. Οπότε η εξίσωση της είναι : (η) y 0 = 9 (x 0) y = 9 x ε) Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ και τα σημεία τομής με τους άξονες : (ΑΒ) y 4 = 9 (x 1) 9x y 1 = 0 Για x = 0 0 y 1 = 0 y = 1. Άρα η ευθεία τέμνει τον y y στο Γ(0, 1 ) Για y = 0 9x 0 1 = 0 x = 1 9. Άρα η ευθεία τέμνει τον x x στο Δ(1 9, 0) Από το σχήμα το εμβαδό του ορθογωνίου τριγώνου ΟΓΔ είναι : 1 ΟΓ ΟΔ Ε = = 1 9 = 1 36 9

α) Για το πλοίο Π 1 : τετμημένη x = t 1 τεταγμένη y = t + Απαλλοίφωντας το t απο τις δυο εξισώσεις έχουμε : 1 = t 1 x = t 1 {x { x y = 3 x y + 3 = 0 1 y = t + y = t Η πορεία του Π 1 είναι ευθεία ε 1 με τύπο x-y+3=0. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία για το Π και η πορεία του είναι ευθεία ε με τύπο x-y-1=0. β) Για να συναντηθούν τα δύο πλοία πρέπει οι πορείες τους να τέμνονται για την ίδια χρονική στιγμή t. Όμως λ ε1 = 1 = 1 = λ 1 ε άρα οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και τα πλοία δεν θα συναντηθούν. γ) Για t=3 Π 1 (,5) και Π (9,8). Η απόσταση μεταξύ τους είναι : Π 1 Π = (9 ) + (8 5) = 49 + 9 = 58 7,6 10

4.4 Απόσταση Σημείου Από ευθεία Διχοτόμος Γωνίας Γωνία δύο Ευθειών 1. Απόσταση σημείου Α(x 0,y 0 ) από ευθεία (ε) με τύπο Ax+By+Γ=0 d(a, ε) = Αx 0 + By 0 + Γ Α + Β Πχ. Διχοτόμος Γωνίας Τεμνόμενων Ευθειών Πχ. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες : ε 1 : 3x 4y + 1 = 0 ε 5x + 1y + 4 = 0 Έστω M(x,y) τυχαίο σημείο της διχοτόμου (δ). Τότε το Μ ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας δηλαδή από τις ε 1 και ε. Οπότε : 11

3x 4y + 1 5x + 1y + 4 d(m, ε 1 ) = d(m, ε ) = 3 + 4 5 + 1 3x 4y + 1 5x + 1y + 4 = 13 3x 4y + 1 = 5 5x + 1y + 4 5 13 13(3x 4y + 1) = 5(5x + 1y + 4) ή 13(3x 4y + 1) = 5(5x + 1y + 4) Άρα μετά από πράξεις οι εξισώσεις των διχοτόμων είναι : δ 1 : x 16y 1 = 0 και δ 64x + 8y + 33 = 0 3. Γωνία δύο ευθειών Για να βρούμε τη γωνία δύο ευθειών, βρίσκουμε τα παράλληλα διαντύσματά τους u 1, u και το συν(u 1, u )= u 1 u. u 1 u Πχ. Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε 1 : x - y +1 =0 και ε : x + y -3 =0. Οι ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες προς τα διανύσματα u 1 = (B, A) = (1,1) και u = (B, A) = (1, ). Επομένως, η γωνία θ των ευθειών ε 1 και ε είναι ίση ή παραπληρωματική της γωνίας φ των διανυσμάτων u 1, u. Όμως, είναι: συν(u 1, u ) = u 1 u u 1 u = 1 1 1 5 Επομένως συνθ = 10 10, οπότε θ =70. = 1 10 = 10 10 1

4.5 Κύκλος Ορισμός Κύκλος ονομάζεται ο Γεωμετρικός Τόπος των σημείων που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο το Κέντρο Κ σταθερή απόσταση ίση με την Ακτίνα R. 1. Αναλυτική εξίσωση κύκλου Έστω κύκλος με κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα R. Τότε η αναλυτική εξίσωση του δίνεται από τον τύπο : (x x 0 ) + (y y 0 ) = R Π.χ Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα στους παρακάτω κύκλους : α. x + y = 4 Κύκλος με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα R=. β. (x ) + (y 3) = 9 Κύκλος με κέντρο Κ(,3) και ακτίνα R=3 13

γ. (x + 1) + y = 1 Κύκλος κέντρου Κ(-1,0) και ακτίνα R=1. Γενική εξίσωση Κύκλου Κάθε εξίσωση της μορφής x + y + Ax + By + Γ = 0 με Α + Β 4Γ > 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ( Α, Β ) και ακτίνα R = Α +Β 4Γ. Π.χ. Να δειχθεί ότι η εξίσωση : C: x + y x + 4y 4 = 0 παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του. A=-, B=4, Γ=-4 Υπολογίζουμε την παράσταση Α + Β 4Γ = ( ) + 4 4( 4) = 4 + 16 + 16 = 36 > 0 άρα η C παριστάνει κύκλο με κέντρο : Κ ( Α, Β ) = Κ (, 4 ) = Κ(1, ) και ακτίνα : R = Α + Β 4Γ = ( ) + 4 4( 4) Οπότε η αναλυτική εξίσωση του C είναι : C: (x 1) + (y + ) = 9 = 36 = 6 = 3 14