Ενδεικτική θεωρία (Θεωρία της Σχετικότητας) για τος ποψήφιος ΠΕ41 το ΑΣΕΠ Α Το πείραμα Mihelson Morley. Κ Κ3 Κ1 Σύμφωνα με τις εξισώσεις το Mawell, η ταχύτητα το φωτός είναι ένα 1 σταθερό μέγεθος ίσο με = στο κενό. Το πρώτο ερώτημα πο προκύπτει ε μ είναι ως προς ποιο σύστημα σντεταγμένων πρέπει να μετρηθεί η ταχύτητα το φωτός. Το δεύτερο ζήτημα ήταν το εξής: Πριν από την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, εθεωρείτο ότι θα έπρεπε να πάρχει ένα λικό μέσο, το οποίο να γεμίζει όλο το σύμπαν και στο οποίο να διαδίδεται το φως. Ατό το μέσο ονομάστηκε αιθέρας. Μέχρι τότε, δεν ήταν κατανοητό ότι ένα κμαινόμενο ηλεκτρικό και ένα κμαινόμενο μαγνητικό πεδίο δε χρειάζονται κάποιο μέσο για τη διάδοσή τος, αλλά μπορούν και από μόνα τος να διαδίδονται, απλώς μεταφέροντας ενέργεια, ορμή και στροφορμή. Από την άλλη, το μέσο ατό προσέφερε μια εξήγηση της σταθεράς πο εμφανίζεται στις εξισώσεις το Mawell. Έτσι, θεωρήθηκε ότι οι εξισώσεις το Mawell, και σνακολούθως η εξίσωση το ηλεκτρομαγνητικού κύματος η οποία προκύπτει από ατές, ισχύον μόνο για ατό το προνομιακό σύστημα σντεταγμένων το αιθέρα, ενώ είναι φανερό ότι δε θα μπορούσαν, στο πλαίσιο της μη σχετικιστικής μηχανικής, να ισχύον για οποιοδήποτε άλλο σύστημα σντεταγμένων. Ο αιθέρας θα έπρεπε να είναι ένα πολύ περίεργο λικό, αφενός εντελώς μαλακό, ώστε να επιτρέπει την κίνηση των σωμάτων μέσα σε ατό χωρίς ατά να φίστανται απώλεια της κινητικής τος ενέργειας, αφετέρο απόλτα σκληρό, ώστε το φως να διαδίδεται με ψηλή ταχύτητα μέσα σε ατό. Θμίζομε ότι η ταχύτητα ενός κύματος σε ένα ελαστικό μέσο αξάνει με την σκληρότητα το ελαστικού μέσο. Αλλά θα αποδεικνόταν τελικά ότι το φως δεν είναι ελαστικό κύμα και δε χρειάζεται ελαστικά μέσα για τη διάδοσή το. Στο πείραμα των Mihelson Morley, θεωρούμε μια ακτίνα φωτός η οποία παράγεται από μια σημειακή πηγή και προσπίπτει σε ένα ημιδιαπερατό κάτοπτρο, οπότε ένα μέρος της ανακλάται και ένα μέρος της διέρχεται. Εφόσον η γη κινείται μέσα στον αιθέρα, όπως ένα ατοκίνητο μέσα στην ατμόσφαιρα, έπεται ότι θα πάρχει ένας «άνεμος αιθέρα», ο οποίος θα προκαλείται από την κίνηση της γης, και ο οποίος έστω ότι κατεθύνεται από δεξιά προς αριστερά στο σχήμα. Αν το φως ταξιδεύει με ταχύτητα ως προς τον αιθέρα, τότε, αν ισχύει η Νετώνεια Φσική και ειδικότερα οι μετασχηματισμοί το Γαλιλαίο, το φως θα κινείται προς τα δεξιά με 1
ταχύτητα ως προς τη γη και θα επιστρέφει από τα δεξιά με ταχύτητα +. Το φως ατό ανακλάται ξανά εν μέρει στο ημιδιαπερατό κάτοπτρο και μπαίνει στο τηλεσκόπιο. Ο σνολικός χρόνος πο κάνει από τη στιγμή πο φεύγει από το ημιδιαπερατό κάτοπτρο, πάει στον πλήρως ανακλαστικό καθρέφτη και ξαναγρνά L L L στο ημιδιαπερατό κάτοπτρο είναι: t1 = + = 1. Αν θεωρήσομε + τώρα την ακτίνα η οποία κινείται κάθετα στην ταχύτητα της γης ως προς τον αιθέρα, τότε η ταχύτητα το φωτός ως προς τη γη είναι: 1 και άρα ο χρόνος πο L χρειάζεται το φως για να διανύσει ατή την απόσταση είναι: t = 1. Ατό το δεύτερο φωτεινό κύμα, αφού περάσει από το ημιδιαπερατό κάτοπτρο, φτάνει στον πλήρως ανακλαστικό καθρέφτη και μετά επιστρέφει μέσω το ημιδιαπερατού καθρέφτη στο τηλεσκόπιο. Όπως μπορεί να δει κανείς, οι δύο χρόνοι είναι διαφορετικοί και άρα θα είναι διαφορετικές και οι φάσεις των κμάτων πο προσπίπτον στο τηλεσκόπιο. Εξ αιτίας της διαφοράς των φάσεών τος, τα δύο κύματα, επιστρέφοντας στο τηλεσκόπιο, θα δίνον κροσσούς σμβολής. Αν στρέφομε την όλη σσκεή σε διάφορες κατεθύνσεις, ατοί οι κροσσοί θα μετατοπίζονται ανάλογα με τη σχετική διεύθνση κίνησης της γης ως προς τον αιθέρα. Ωστόσο, όπως και να στρεφόταν η σσκεή το πειράματος, κροσσοί σμβολής δεν παρατηρούνταν. Άρα, κάπο πήρχε σφάλμα με την πρόσθεση των ταχτήτων και όλη τη Νετώνεια Μηχανική στην οποία στηρίζεται η πρόσθεση ταχτήτων. Β Αξιώματα της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Ένα αξίωμα της Νετώνειας Μηχανικής είναι ότι όλοι οι νόμοι της φύσης πρέπει να ισχύον αναλλοίωτοι σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράς (παρατηρητής). Μπορεί διάφορα μεγέθη, όπως ενέργεια, έργο, ορμή, κλπ, να εξαρτώνται από το σύστημα σντεταγμένων, ωστόσο οι φσικοί νόμοι παραμένον αναλλοίωτοι στα διάφορα αδρανειακά σστήματα αναφοράς. Η Ειδική Σχετικότητα διατηρεί ατό το αξίωμα και παράλληλα εισάγει και ένα ακόμη στο πλαίσιο το προηγούμενο: Ότι η ταχύτητα το φωτός είναι ίδια για όλος τος αδρανειακούς παρατηρητές. Όπως φαίνεται, η Θεωρία της Σχετικότητας δε λέει ότι όλα είναι σχετικά, αλλά ότι αρκετά πράγματα είναι και με το παραπάνω απόλτα. Το αξίωμα της σταθερότητας το φωτός ως προς όλος τος αδρανειακούς παρατηρητές προέκψε από εμπειρικά δεδομένα. Ήταν επίσης εμφανές και από τη μορφή των εξισώσεων το Mawell, ότι πάρχει μια ταχύτητα, η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κμάτων στο κενό, η οποία είναι ανεξάρτητη από τος παρατηρητές. Αφού λοιπόν η ταχύτητα το φωτός είναι σταθερή για κάθε παρατηρητή, σε αντίθεση με την Νετώνεια Μηχανική, σημαίνει ότι θα πρέπει να τροποποιηθούν οι έννοιες το χρόνο και το χώρο, διότι από ατές παράγεται η έννοια της ταχύτητας. Ο καλύτερος τρόπος για να σνεχίσει κανείς, είναι να δει τος μετασχηματισμούς Lorentz, εφαρμογές των οποίων είναι η διαστολή το χρόνο, η σστολή το μήκος και μια σειρά άλλων φαινομένων. Γ Οι μετασχηματισμοί Lorentz. Αν δύο σστήματα σντεταγμένων, ένα τονούμενο και ένα άτονο, αρχικά έχον κοινή αρχή, άξονες παράλληλος, τα ρολόγια τος ξεκινούν να μετρούν τατόχρονα και έχον κοινή μονάδα μέτρησης, τότε, αν το τονούμενο κινείται με 1/
ταχύτητα στο άξονα, οι σντεταγμένες το τονούμενο σνδέονται με τις σντεταγμένες το άτονο με τος μετασχηματισμούς Lorentz: t t ' =, y ' = y, z ' = z, t' =. (1) Σημειώστε το σημαντικό αριθμό προϋποθέσεων πο χρειάζονται για να ισχύον οι προηγούμενες σχέσεις. Για να αποφύγομε τις προϋποθέσεις πο απαιτούν να έχον κοινή χωρική και χρονική αρχή τα δύο σστήματα σντεταγμένων, γράφομε τις παραπάνω σχέσεις με τη μορφή διαφορών, πεπερασμένων ή απειροστών: Δt Δ Δ Δt Δ ' =, Δ y' = Δy, Δ z' = Δz, Δ t' =. () Οι μετασχηματισμοί Lorentz μπορούν να γραφούν σε μια πιο σμμετρική μορφή, ώστε να φαίνεται ότι όντως ο χώρος και ο χρόνος είναι διαστάσεις το ίδιο τετραδιάστατο σνεχούς. Σε ατή τη μορφή γράφομε το χρόνο όχι ως Δt, αλλά ως Δ β ( Δt) Δt βδ Δt : Δ ' =, Δ y' = Δy, Δ z' = Δz, Δt' =, όπο β β β =. (3) Το β είναι μικρότερο της μονάδας. Ορίζομε επίσης το μέγεθος 1 γ =, (5.4) το οποίο είναι πάντα μεγαλύτερο της μονάδας και, για ταχύτητες πο πλησιάζον ατή το φωτός, τείνει στο άπειρο. Η ταχύτητα η οποία πεισέρχεται στος μετασχηματισμούς μπαίνει με το πρόσημό της. Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, δηλαδή τα μήκη και τος χρόνος πο βλέπει ο άτονος παρατηρητής αν ξέρομε τα μήκη και τος χρόνος πο βλέπει ο τονούμενος, μπορούμε να ακολοθήσομε μία από τις δύο παρακάτω διαδικασίες. Είτε να λύσομε τος μετασχηματισμούς Lorentz ως προς τα άτονα μεγέθη, είτε αντί της ταχύτητας να βάλομε τη στος ήδη πάρχοντες μετασχηματισμούς. Το τελεταίο προκύπτει από το ότι αν ένα, τονούμενο, σύστημα σντεταγμένων κινείται με ταχύτητα ως προς ένα άτονο, τότε και το άτονο κινείται με ταχύτητα ως προς το τονούμενο. Τολάχιστον ατό το επίπεδο λογικής, το να αποδίδον δύο κινούμενοι παρατηρητές ταχύτητες αντίθετες ο ένας στον άλλο, το διατηρεί και η Σχετικότητα. Τετράδες μεγεθών, οι οποίες μετασχηματίζονται όπως ο χρόνος και οι τρεις σνιστώσες το διανύσματος θέσης, ονομάζονται τετραδιανύσματα. Στις σχέσεις το μετασχηματισμού Lorentz είναι προφανές ότι ο χώρος και ο χρόνος σμπλέκονται σε μια αδιάσπαστη ενότητα. Ατό πο ένας παρατηρητής βλέπει ως χώρο στον άλλο παρατηρητή φαίνεται «εν μέρει» ως χώρος και «εν μέρει» ως χρόνος. 3
Αν δύο σστήματα σντεταγμένων κινούνται σχετικά όχι στο αλλά στον y άξονα, τότε έπεται: Δ ' = Δ, Δy' = γ ( Δy Δt), Δ z' = Δz, Δt' = γ Δt Δy. Εύκολα βλέπομε ότι το όριο των μετασχηματισμών Lorentz, σε ταχύτητες μικρές σγκρινόμενες με την ταχύτητα το φωτός, είναι οι μετασχηματισμοί το Γαλιλαίο. Η σύμπτωση ατή της Θεωρίας της Σχετικότητας με τη Νετώνεια Μηχανική είναι απαραίτητη προϋπόθεση για να γίνει αποδεκτή η θεωρία, εφόσον η Νετώνεια Μηχανική έχει ισχρή εμπειρική επαλήθεση στις χαμηλές ταχύτητες. Δ Σχετικότητα το τατόχρονο, σστολή το μήκος, διαστολή το χρόνο. Στα περισσότερα σγγράμματα προηγείται η διαπραγμάτεση ατών των φαινομένων από τος μετασχηματισμούς το Lorentz, ωστόσο νομίζομε ότι, αν δεν προτιθέμεθα να ανοίξομε φιλοσοφική σζήτηση για την Ειδική Σχετικότητα, ατά τα φαινόμενα ερμηνεύονται ικανοποιητικότερα όταν κανένας γνωρίζει ήδη τος μετασχηματισμούς Lorentz. Σχετικότητα το τατόχρονο. Εάν ένας (άτονος, δηλαδή ο «ακίνητος») παρατηρητής βλέπει μια μηδενική διαφορά χρόνο ανάμεσα σε δύο γεγονότα, αν δηλαδή γι ατόν δύο γεγονότα είναι τατόχρονα, δηλ. Δt =, αλλά δε σμβαίνον στο ίδιο σημείο το χώρο, δηλαδή είναι Δ, όπως σμβαίνει όταν πέφτον δύο κερανοί όχι στο ίδιο σημείο, τότε ο τονούμενος παρατηρητής βλέπει ότι πάρχει χρονική διαφορά ανάμεσα στα δύο γεγονότα, με βάση την τελεταία εξίσωση από τη. Να σημειώσομε ένα σημαντικό αποτέλεσμα των μετασχηματισμών Lorentz, το οποίο δείχνει ότι η Ειδική Σχετικότητα διατηρεί κάποια στοιχεία κοινής λογικής. Αν ο ένας παρατηρητής, είτε τονούμενος είναι άτονος βλέπει ότι δύο γεγονότα σμβαίνον στο ίδιο χωροχρονικό σημείο, δηλαδή ότι σμβαίνον τατόχρονα και σμπίπτον και χωρικά, δηλ., αν βλέπει ότι Δ = Δt =, τότε ισχύει για κάθε άλλο παρατηρητή ότι Δ ' = Δt' =. Δηλαδή, δεν πάρχει περίπτωση ατό πο ένας παρατηρητής βλέπει οσιαστικά ως ένα γεγονός αφού σμβαίνει σε ένα σημείο το χώρο και στον ίδιο χρόνο, κάποιος άλλος παρατηρητής να το δει ως δύο ξεχωριστά γεγονότα. Παράδειγμα για δύο γεγονότα, έναν προβολισμό και ένα θάνατο: Ατοπροβολούμαι εξ επαφής ( Δ = ) και πεθαίνω ακαριαία ( Δt = ). Αφού ο άτονος παρατηρητής δεν ακούει ούτε μια φορά την καρδιά μο μετά τον προβολισμό, άρα ούτε οποιοσδήποτε άλλος θα την ακούσει και άρα κανένας παρατηρητής δε θα ισχριστεί ότι πρόλαβα να διακομιστώ σε νοσοκομείο και άρα να διαφύγω το κινδύνο. Καταλαβαίνομε ότι μερικά τέτοια ζητήματα είναι κεφαλαιώδη για την αποδοχή μιας θεωρίας. Δε μπορεί σύμφωνα με ένα παρατηρητή να είμαι ζωντανός και σύμφωνα με άλλον όχι. Η σστολή το μήκος. Ένας παρατηρητής κινείται μαζί με μια ράβδο, μετρά το μήκος της και το βρίσκει Δ'. Ένας ακίνητος παρατηρητής μετρά και ατός το μήκος ράβδο. Για να είναι ατή η μέτρηση αξιόπιστη, θα πρέπει να μετρήσει πού βρίσκονται και τα δύο της άκρα τατόχρονα. Αν μετρήσει πρώτα το πίσω άκρο της ράβδο και μετά μετρήσει το μπροστινό της, η μέτρηση το μήκος της δε θα είναι αξιόπιστη, γιατί η ράβδος θα έχει προχωρήσει και θα μετρά μαζί με το μήκος της και την απόσταση πο διανύει. Θα πρέπει, άρα, για τη μέτρηση πο ατός κάνει να ισχύει: Δt =. Αν θεωρήσομε το Δ' = γ ( Δ Δt) μετασχηματισμό τότε προκύπτει ότι: Δ = 1 Δ' = Δ' < Δ'. (5) γ 1 4
Το Δ' πο μετρά ο παρατηρητής πο κινείται μαζί με τη ράβδο καλείται ιδιόμηκος της ράβδο, είναι το πραγματικό της μήκος και είναι το μέγιστο πο μπορεί να μετρηθεί για ατή από κάποιο παρατηρητή. Να σημειώσομε ότι πολλοί σγγραφείς θεωρούν ότι η σστολή το μήκος, πο αλλιώς λέγεται και σστολή Lorentz, δε μπορεί να παρατηρηθεί πειραματικά, όχι από αδναμία εκτέλεσης των πειραμάτων, αλλά διότι το κινούμενο σώμα φαίνεται, σε κάποιες τολάχιστον περιπτώσεις, σα να περιστρέφεται και όχι να σστέλλεται. Ωστόσο, στα περισσότερα σγγράμματα η σστολή Lorentz αντιμετωπίζεται ως παρατηρήσιμο φαινόμενο. Η διαστολή το χρόνο. Ας θεωρήσομε τη σχέση: Δt' = γ Δt Δ. Ο άτονος παρατηρητής ακούει τος χτύπος της καρδιάς το οι οποίοι έχον μια χρονική απόσταση Δt. Η καρδιά το άτονο παρατηρητή βρίσκεται στο ίδιο σημείο ως προς ατόν, δηλαδή δεν κινείται ως προς ατόν, δηλαδή Δ=. Ο τονούμενος παρατηρητής βλέπει ότι ο άτονος κινείται και ακούει τος χτύπος της καρδιάς το άτονο να καθστερούν, δηλαδή ακούει: Δt Δt' = = γδt. (6) Ατή ακριβώς είναι η διαστολή το χρόνο πο παρατηρεί ο ακίνητος παρατηρητής όταν τα γεγονότα λαμβάνον χώρα στο ίδιο σημείο το άλλο παρατηρητή. Ε Μετασχηματισμοί ταχτήτων. Αν η ταχύτητα ενός σώματος ως προς ένα σύστημα σντεταγμένων είναι ', ', '), αν ατό το σύστημα σντεταγμένων κινείται με ταχύτητα στο ( y z άξονα ως προς ένα άλλο, άτονο σύστημα, τότε η ταχύτητα το σώματος ως προς το άτονο σύστημα δίνεται από τη σχέση: y, z ' ' + =, y, z =. (7) ' ' 1+ 1+ Η 7 ανάγεται σε ό,τι ξέρομε από τη Νετώνεια Μηχανική, αν όλες οι εμφανιζόμενες ταχύτητες είναι αρκετά μικρότερες από την ταχύτητα το φωτός. Η 7 μπορεί να εξαχθεί από τος μετασχηματισμούς Lorentz με λίγες πράξεις, d d' αν θμηθούμε ότι = και αντίστοιχα για τις άλλες σνιστώσες και ' =. Οι dt dt' άτονες ποσότητες θα αντικατασταθούν από το μετασχηματισμό Lorentz. Η 7 ισχύει μόνο αν η σχετική κίνηση των σστημάτων αναφοράς είναι στο άξονα. Η ασμμετρία πο πάρχει ανάμεσα στις σνιστώσες της ταχύτητας πο είναι παράλληλες στη σχετική κίνηση το σστήματος σντεταγμένων και τις σνιστώσες πο είναι κάθετες σε ατό οφείλεται στο ότι τα μήκη τα οποία είναι κάθετα στη διεύθνση της κίνησης παραμένον αμετάβλητα, ενώ μετασχηματίζονται τα μήκη πο είναι παράλληλα στη διεύθνση κίνησης. Αν θέλομε να βρούμε τις σνιστώσες της ταχύτητας το σώματος στο τονούμενο σύστημα, γνωρίζοντας τις σνιστώσες της ταχύτητάς το ως προς το άτονο, τότε θέτομε όπο το στις εξισώσεις το μετασχηματισμού. Η ταχύτητα δεν είναι τετραδιάνσμα γιατί οι σνιστώσες της δε μετασχηματίζονται όπως οι σνιστώσες τετραδιανύσματος. 5
Αν μια φσική οντότητα κινείται με ταχύτητα ως προς το τονούμενο σύστημα σντεταγμένων, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι η ταχύτητά της είναι επίσης ως προς το άτονο, ανεξάρτητα από το ποια είναι η ταχύτητα το τελεταίο. Έτσι, κάνομε έναν έλεγχο σνέπειας της Θεωρίας της Σχετικότητας. Στ Το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler. Στο σχετικιστικό φαινόμενο Doppler δε χρησιμοποιούμε την έννοια της ταχύτητας της πηγής ή το παρατηρητή ως προς το μέσο διάδοσης το φωτός, γιατί το φως δε χρειάζεται κανένα μέσο για να διαδοθεί. Υπεισέρχεται μόνο η σχετική ταχύτητα παρατηρητή και πηγής,. Αν ατή είναι κάθετη στην εθεία πο ενώνει τον παρατηρητή και την πηγή, τότε η σχνότητα πο μετρά ο παρατηρητής είναι: f = f, (8) με f τη σχνότητα της ακτινοβολίας πο πραγματικά εκπέμπει η πηγή. Ατό αποτελεί το εγκάρσιο φαινόμενο Doppler. Αν η σχετική ταχύτητα παρατηρητή και πηγής είναι στην εθεία πο ενώνει τα δύο σώματα, τότε η σχνότητα πο παρατηρεί ο παρατηρητής για το φως είναι: 1+ / f = f (9) / και τούτο αποτελεί το διάμηκες φαινόμενο Doppler. Η ταχύτητα λαμβάνεται θετική, όταν η πηγή και ο παρατηρητής πλησιάζον ο ένας προς τον άλλο και αρνητική όταν απομακρύνονται. Ζ Σχετικιστική δναμική. Η μάζα πο έχει ένα σώμα όταν είναι ακίνητο ως προς κάποιον παρατηρητή καλείται μάζα ηρεμίας το σώματος, m. Ενίοτε, ορίζεται η μάζα το σώματος από τον κατωτέρω τύπο: m m = γm =. (1) Άλλοι σγγραφείς θεωρούν ότι η πραγματική μάζα το σώματος είναι η μάζα ηρεμίας το και πολογίζον π.χ. την πκνότητά το με βάση ατή. Άλλοι αντίθετα θεωρούν ότι η πραγματική μάζα το σώματος είναι η τελεταία. Η επιτάχνση σε κάθε περίπτωση ορίζεται ως d a =. (11) dt Όταν μεταβαίνομε από έναν αδρανειακό παρατηρητή σε άλλον, τότε η επιτάχνση μετασχηματίζεται γενικά με έναν πολύπλοκο τρόπο και πάντως όχι ως τετραδιάνσμα. Η ορμή στη Θεωρία της Σχετικότητας ορίζεται ως: m p = m =. (1) Η ορμή ατή, όταν η ταχύτητα το σώματος είναι πολύ μικρότερη από την ταχύτητα το φωτός, σμπίπτει με το νετώνειο ορισμό. Εδώ η είναι η ταχύτητα το σώματος. Η ορμή της Σχετικιστικής Μηχανικής δεν είναι ανάλογη της ταχύτητας και 6
για ταχύτητες το σώματος κοντά σε ατή το φωτός απειρίζεται. Η ορμή ενός απομονωμένο σστήματος σωματίων διατηρείται πάντα. Η ενέργεια στη Θεωρία της Σχετικότητας δίνεται από τον τύπο: m 4 E = = p + m (13) και όταν η ταχύτητα το σώματος προσεγγίζει την ταχύτητα το φωτός απειρίζεται. Στο όριο των χαμηλών ταχτήτων εμφανίζεται ένας όρος ενέργειας, m, ο οποίος ονομάζεται ενέργεια ηρεμίας το σώματος, και αντιστοιχεί στην ενέργεια η οποία είναι αποθηκεμένη στη μάζα το σώματος. Ως σχετικιστική κινητική ενέργεια ορίζεται το μέγεθος: K = E m = γ m m. (14) Η σχετικιστική κινητική ενέργεια στο όριο των χαμηλών ταχτήτων σμπίπτει με την κινητική ενέργεια της Νετώνειας Μηχανικής. Και η σχετικιστική κινητική ενέργεια απειρίζεται όταν η ταχύτητα το σώματος τείνει στην ταχύτητα το φωτός. Όταν πάντως ένα σωμάτιο κινείται με ταχύτητα πολύ κοντά στην ταχύτητα το φωτός τότε η κινητική το ενέργεια είναι σχεδόν ίση με την ολική, ενώ ισχύει: E p. Για σωμάτια με μηδενική μάζα ηρεμίας, όπως είναι τα φωτόνια και τα νετρίνα, η σχέση ενέργειας ορμής απλοποιείται στην: E = p. (15) Τα σωμάτια με μηδενική μάζα ηρεμίας κινούνται ποχρεωτικά με την ταχύτητα το φωτός, γιατί διαφορετικά θα είχαν μηδενική ενέργεια και ορμή, σύμφωνα με τις 1, 13 σχέσεις, και άρα δε θα είχαν καμιά φσική πόσταση. Η δύναμη ορίζεται ως το μέγεθος dp F = (16) dt και δεν είναι το γινόμενο της μάζας επί την επιτάχνση, ακόμη και αν χρησιμοποιήσομε για τη μάζα το σχετικιστικό τύπο m = γm. Ο ορθή σχέση ma 3 προκύπτει από την 16 και είναι η: F = = m 3 aγ. 1 Η Εξειδικεμένα ζητήματα Ειδικής Σχετικότητας. Ορισμός το μέτρο το τετραδιανύσματος. Ούτε τα χρονικά διαστήματα ούτε τα μήκη των αντικειμένων είναι σταθερά για διαφορετικούς αδρανειακούς παρατηρητές στη Θεωρία της Σχετικότητας. Αν σχηματίσομε την ποσότητα ( Δr ) ( Δt) = ( Δ) + ( Δy) + ( Δz) ( Δt), θα δούμε ότι ατή είναι αναλλοίωτη για όλος τος παρατηρητές, δηλαδή ισχύει: ( Δ) + ( Δy) + ( Δz) ( Δt) = ( Δ') + ( Δy') + ( Δz') ( Δt'). Η ποσότητα ατή καλείται μέτρο το τετραδιανύσματος ( t, r ). Το μέτρο το τετραδιανύσματος θα μπορούσε να οριστεί και αντίθετα, δηλαδή ως ( Δ t) ( Δr ). Ο ακριβής ορισμός το είναι θέμα σμβάσεως. Όπως και αν ορίσομε το μέτρο το, ατό μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδενικό. Ονομάζομε ατή την ποσότητα μέτρο, επειδή είναι ίδια για όλος τος παρατηρητές, όπως το μέτρο ενός διανύσματος της εκλείδειας 7
γεωμετρίας είναι ίδιο για οποιοδήποτε σύστημα αξόνων, μετατοπισμένο είτε περιεστραμμένο ως προς κάποιο άλλο. Αιτιακή σσχέτιση γεγονότων στην Ειδική Σχετικότητα. Γεγονός στη Σχετικότητα, όπως και σε όλη τη Φσική, είναι κάτι πο σμβαίνει κάπο και κάποτε. Το γεγονός δηλαδή αντιστοιχίζεται αμφιμονοσήμαντα στην τετράδα ( t, r ). Στη Νετώνεια Μηχανική το γεγονός μπορεί να είναι αποτέλεσμα το γεγονότος 1, αν και μόνο t > t 1. Στη σχετικιστική Φσική το γεγονός μπορεί να είναι αποτέλεσμα το γεγονότος 1 αν και μόνο αν t > t 1 και Δr Δt. Για να μπορεί δηλαδή το ένα γεγονός να είναι αίτιο και το άλλο αποτέλεσμα, θα πρέπει, όχι μόνο το δεύτερο να έπεται χρονικά, αλλά και να πάρχει σωμάτιο ή φωτόνιο, πο να μπορεί να μεταβεί με από το ( t, r 1 1) στο ( t, r ). Διατήρηση της αιτιότητας στην Ειδική Σχετικότητα. Έστω ότι για έναν παρατηρητή ισχύει: Δt > και Δ Δt, δηλαδή τα δύο γεγονότα είναι αιτιακά σσχετίσιμα μεταξύ τος. Αποδεικνύεται ότι για κάθε άλλο παρατηρητή θα ισχύει: Δt '> και Δ' Δt', δηλαδή τα δύο γεγονότα θα είναι αιτιακά σσχετίσιμα για κάθε παρατηρητή. Και οι δύο σχέσεις είναι ιδιαίτερα σημαντικές. Αν ένας παρατηρητής βλέπει ένα νήπιο να γεννιέται και μετά να μεγαλώνει, τα ίδια θα βλέπει και ένας άλλος παρατηρητής: Δεν πρόκειται ποτέ να «γρίσει» το χρόνο σε αντίθετη κατεύθνση. Η δεύτερη σχέση περιγράφει μια λεπτομέρεια της αιτιακής σσχέτισης στην Ειδική Σχετικότητα: Έστω το γεγονός 1, ένα τρακάρισμα, και το γεγονός, η εισαγωγή το τραματία στο νοσοκομείο, με ασθενοφόρο πο κινείται με ταχύτητα μικρότερη ή ίση από την ταχύτητα το φωτός, για έναν παρατηρητή. Τότε, για κάθε άλλο παρατηρητή, το ασθενοφόρο θα τρέχει επίσης με ταχύτητα μικρότερη ή ίση, αντίστοιχα, της ταχύτητας το φωτός, και άρα θα πάρχει πραγματικό (δηλαδή κινούμενο με ταχύτητα μικρότερη ή ίση της ταχύτητας το φωτός) τέτοιο ασθενοφόρο, πο να διακομίζει τον τραματία μετά τον τραματισμό το. Έστω η ταχύτητα το ασθενοφόρο. Η Δt '> σχέση αποδεικνύεται, αν θέσομε = Δt για την απόσταση πο το όχημα διανύει. Τότε, για ένα Δ παρατηρητή πο κινείται με ταχύτητα < ως προς τον πρώτο: Δ = Δ t' γ t 1, δηλαδή ό,τι πρόσημο έχει η χρονική διαφορά για τον άτονο, θα έχει και για τον τονούμενο, με την προϋπόθεση ότι η ταχύτητα το ασθενοφόρο είναι μικρότερη ή ίση της ταχύτητας το φωτός. Η δεύτερη σχέση αποδεικνύεται από τη σταθερότητα το μέτρο το τετραδιανύσματος για κάθε παρατηρητή. Το τετραδιάνσμα ενέργειας ορμής. E E Ένα άλλο τετραδιάνσμα είναι το p,. Ισχύει: p = m, δηλαδή το μήκος το σγκεκριμένο τετραδιανύσματος είναι επίσης αναλλοίωτο. Τα τετραδιανύσματα μετασχηματίζονται όλα με τον ίδιο τρόπο, όταν μεταβαίνομε από ένα σύστημα σντεταγμένων σε ένα άλλο: E = γ E' + p '), p = γ p ' + ' E. ( Θ Η ισότητα αδρανειακής και βαρτικής μάζας και η θεμελίωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. 8
Για να είναι αποδεκτός ένας φσικός νόμος, πρέπει να είναι ο ίδιος για κάθε αδρανειακό παρατηρητή, να είναι όπως λέμε σχετικιστικά αναλλοίωτος. Οι εξισώσεις το Mawell είναι τέτοιοι νόμοι. Ωστόσο, ο νόμος της παγκόσμιας έλξης δεν είναι. Όντως, ας φανταστούμε δύο μάζες τοποθετημένες σε κάποια απόσταση στον yy άξονα πο ασκούν μεταξύ τος δνάμεις βαρύτητας, για τις οποίες ισχύει: dp y m1m = G. Σμβολίσαμε με λίγο διαφορετικό τρόπο τη δύναμη και τη μεταξύ dt y των μαζών απόσταση, για να θμόμαστε με ποιο τρόπο μετασχηματίζονται τα διάφορα μεγέθη. Σε ένα κινούμενο σύστημα σντεταγμένων στο άξονα, λαμβάνοντας πόψη ότι η ορμή είναι τετράνσμα, βλέπομε ότι η παραπάνω σνιστώσα της δε μεταβάλλεται, όπως δε μεταβάλλεται και το y. Ωστόσο, ο χρόνος και η μάζα αλλάζον για τον κινούμενο παρατηρητή. Αντικαθιστώντας τις νέες το τιμές, βλέπομε ότι ο νόμος της παγκόσμιας έλξης αλλάζει μορφή για τον κινούμενο αδρανειακό παρατηρητή, άρα δε μπορεί να είναι ορθός στο πλαίσιο της Θεωρίας της Σχετικότητας. Ατός ήταν ο πρώτος λόγος, για τον οποίο χρειάστηκε μια διαφορετική, σχετικιστικά αναλλοίωτη, θεωρία βαρύτητας. Η διαφορετική θεωρία βαρύτητας προέκψε από την παρατήρηση της ισότητας της αδρανειακής και της βαρτικής μάζας. Το τελεταίο σημαίνει ότι: M βαρ. mβαρ. mαδρ. a = G, από το οποίο προκύπτει πως όλες οι κινηματικές παράμετροι r των σωμάτων πο κινούνται μέσα σε βαρτικό πεδίο είναι ανεξάρτητες της μάζας τος. Έτσι, με την ίδια επιτάχνση κινείται και το δάπεδο ενός δορφόρο περί τη γη και ο παρατηρητής πο βρίσκεται μέσα σε ατόν, και άρα δεν φίσταται φαινομενικά καμία δύναμη (δε χρειάζεται να τον σπρώξει δηλαδή το δάπεδο, πράγμα πο θα σνέβαινε αν η επιτάχνση στο βαρτικό πεδίο εξαρτώταν από τη μάζα των σωμάτων) και άρα είναι ισοδύναμος με έναν αδρανειακό παρατηρητή. Τα ίδια μπορούμε να πούμε και για ένα παρατηρητή πο πέφτει ελεύθερα μαζί με ένα ανελκστήρα: Θεωρεί τον εατό το αδρανειακό σύστημα και δε μπορεί να τεκμηριώσει ότι δεν είναι. Γενικά λοιπόν, ένας αδρανειακός παρατηρητής βλέπει ότι όλα τα σώματα στα οποία δεν ασκούνται δνάμεις εκτελούν εθύγραμμη ομαλή κίνηση. Το ίδιο βλέπει και ένας παρατηρητής ο οποίος κινείται στο σε ένα ελεύθερα σε ένα βαρτικό πεδίο. «Ελεύθερα» σημαίνει ότι η μόνη δύναμη πο ασκείται σε ατόν είναι της βαρύτητας. Σνοψίζοντας, οι παρατηρητές πο κινούνται ελεύθερα (π.χ. πέφτον ή περιστρέφονται) μέσα στο βαρτικό πεδίο θεωρούν τος εατούς τος ισοδύναμος με αδρανειακούς παρατηρητές πο βρίσκονται εκτός το βαρτικού πεδίο. Επίσης, ένας μη αδρανειακός παρατηρητής, ο οποίος κινείται με επιτάχνση a, δε μπορεί να αντιληφθεί αν όντως κινείται με ατή την επιτάχνση, ή είναι ένας αδρανειακός (π.χ. καθήμενος) παρατηρητής τοποθετημένος όμως μέσα σε βαρτικό πεδίο με g = a. Άραγε μο πέφτον τα αντικείμενα στο πάτωμα όταν τα αφήνω ελεύθερα επειδή είμαι ακίνητος σε ένα πλανήτη με g = 1m / s y, ή μο πέφτον επειδή είμαι μέσα σε ένα διαστημόπλοιο, μακριά από βαρτικά πεδία πο κινείται με a = 1m / s y ; Ατή την αρχή της ισοδναμίας όπως λέγεται θα πρέπει να τη λαμβάνομε σοβαρά πόψη. Ι Τί ακριβώς λέει η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Ένα σώμα το οποίο κινείται χωρίς να επιδρούν σε ατό δνάμεις, κινείται στην καμπύλη το μικρότερο μήκος (ή χρόνο, όπως έχομε δει και στην οπτική), πο είναι για το σνηθισμένο χώρο η εθεία γραμμή. Για ένα σώμα πάντως πο 9
κινείται στην επιφάνεια της γης, δηλαδή όχι στο σνηθισμένο χώρο πο είναι επίπεδος, αλλά σε ένα χώρο (έστω δισδιάστατο) πο είναι καμπύλος, η σντομότερη διαδρομή δεν είναι η «εθεία», διότι εθεία δεν πάρχει πάνω στην καμπύλη γη. Αν θέλομε να βρούμε τη σντομότερη διαδρομή πάνω στη γη, θα πρέπει να χαράξομε μέγιστο κύκλο, δηλαδή κύκλο πο «θα κόβει τη γη στη μέση» και θα περνά από τα δύο σημεία πο θέλομε να ενώσομε. Αφού ένα σώμα μέσα στο βαρτικό πεδίο κινείται σαν αδρανειακό, έπεται ότι θα ακολοθεί διαδρομές ελάχιστο μήκος. Κανονικά ατές οι διαδρομές δε θα είναι στο χώρο της Νετώνειας Φσικής, αλλά στο χωρόχρονο της Ειδικής Σχετικότητας, ωστόσο μπορούμε, για εποπτικούς λόγος, να έχομε στο μαλό μας χώρο σε κάθε περίπτωση. Εκεί λοιπόν πο ένα σώμα στο οποίο δεν ασκούνται άλλες δνάμεις θα ακολοθούσε τη γνωστή μας εθεία, αν δεν πήρχε το πεδίο βαρύτητας, όταν πάρχει το πεδίο βαρύτητας ακολοθεί κάποιες διαδρομές πο είναι καμπύλες, ωστόσο όμως είναι διαδρομές το ελάχιστο μήκος, διαδρομές δηλαδή πο πάρχον μόνο για να ακολοθούνται από αδρανειακά σστήματα εκτός βαρύτητας ή τα ισοδύναμά τος εντός βαρύτητας, δηλαδή ατά πο πέφτον ελεύθερα. Επειδή όλα ανεξαιρέτως τα σώματα ακολοθούν τις ίδιες διαδρομές (πράγμα πο είναι απόρροια της ισότητας βαρτικής και αδρανειακής μάζας, το οποίο δεν ισχύει για την κίνηση μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο), το να λέμε ότι τα σώματα κινούνται λόγω της βαρτικής δύναμης είναι ισοδύναμο με το εξής: Λέμε ότι δεν πάρχει βαρτική δύναμη, αλλά ότι οι πηγές το βαρτικού πεδίο έχον τροποποιήσει το χωρόχρονο και, ενώ ήταν επίπεδος, τον έχον καμπλώσει. Έτσι, τα σωμάτια πο θα κινούνταν στις γνωστές μας εθείες αν δεν πήρχαν οι πηγές το βαρτικού πεδίο, τώρα πλέον κινούνται στις γραμμές πο έχον το ελάχιστο μήκος πο δεν είναι πλέον οι γνωστές μας εθείες αλλά κάποιες άλλες καμπύλες. Αντί δηλαδή να λέμε ότι ασκείται δύναμη στα σώματα, λέμε ότι οι πηγές το βαρτικού πεδίο παραμορφώνον, «καμπλώνον», το χωρόχρονο, και τα σωμάτια κινούνται απλώς στις γραμμές πο έχον το μικρότερο μήκος σε ατό το χωρόχρονο. ΙΑ Τα κλασικά τεστ της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Η βαρτική μετατόπιση προς το ερθρό. Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, τα φωτόνια τα οποία ταξιδεύον μέσα στο βαρτικό πεδίο χάνον ή κερδίζον ενέργεια, ανάλογα με το αν κινούνται (χοντρικά) προς περιοχές ψηλότερο ή χαμηλότερο, αντίστοιχα, δναμικού. Όσο και αν μια τέτοια πρόβλεψη φαίνεται ατονόητη στο πλαίσιο της κλασικής αντίληψης για το φως, ωστόσο είναι απόρροια της Γενικής Σχετικότητας. Το φαινόμενο ατό έχει παρατηρηθεί από τη μετατόπιση προς το ερθρό σγκεκριμένων φασματικών γραμμών (όπως η διπλή το νατρίο), οι οποίες ξέρομε ότι ανήκον σε σγκεκριμένα άτομα, όταν ατά τα άτομα φωτοεκπέμπον μέσα σε ισχρό βαρτικό πεδίο. Η καμπύλωση των ακτίνων το φωτός όταν διέρχονται κοντά από ισχρό βαρτικό πεδίο. Η Γενική Σχετικότητα προβλέπει ακριβώς πόσο θα αλλάζει το φως κατεύθνση (και όχι σχνότητα όπως στην προηγούμενη περίπτωση), όταν διέρχεται κοντά από ένα ισχρό βαρτικό πεδίο. Ατή η αλλαγή της πορείας το φωτός παρατηρήθηκε κατά τη διάρκεια ολικών ηλιακών εκλείψεων για αστέρες πο βρίσκονταν κανονικά πίσω από τον ηλιακό δίσκο και, άρα, δε θα έπρεπε να φαίνονται. Η καμπύλωση όμως της πορείας το φωτός τος έκανε ορατούς. Η μετάπτωση το περιηλίο το Ερμή. Έχομε πει ότι όλα τα σώματα τα οποία κινούνται σε ένα κεντρικό πεδίο δνάμεων, η ένταση το οποίο είναι αντιστρόφως ανάλογη το τετραγώνο της 1
απόστασης από ένα σταθερό σημείο, διατηρούν σταθερό το διάνσμα Runge-Lenz. Το διάνσμα ατό έχει κατεύθνση από το κέντρο από το οποίο ασκείται η δύναμη, προς το σημείο της τροχιάς με την κοντινότερη απόσταση από ατό το κέντρο, την οποία κοντινότερη απόσταση λέμε περιήλιο για την κίνηση των πλανητών γύρω από τον ήλιο. Αποτέλεσμα της σταθερότητας το διανύσματος Runge-Lenz είναι ότι το περιήλιο παραμένει σταθερό, ότι με άλλα λόγια ο πλανήτης δε διαγράφει «μαργαρίτες» γύρω από τον ήλιο. Βέβαια, όταν ένας πλανήτης κινείται γύρω από τον ήλιο, η σνισταμένη δύναμη ούτε απολύτως κεντρική είναι, ούτε πάντα μεταβάλλεται ακριβώς με το τετράγωνο της απόστασης από το κέντρο μάζας το σστήματος, αφενός γιατί πάρχον και οι άλλοι πλανήτες, αφετέρο γιατί ο ήλιος δεν είναι απόλτα σφαιρικά σμμετρικός. Αποτέλεσμα ατών των αποκλίσεων από το νόμο το αντιστρόφο τετραγώνο είναι το περιήλιο να μη διατηρείται εντελώς σταθερό. Παρατηρήθηκε όμως για τον Ερμή ότι, ακόμη και αν αφαιρούσαμε τη μετάπτωση το περιηλίο το πο οφείλεται στος παραπάνω παράγοντες, πάλι έμενε ένα πολύ μικρό ποσοστό μετάπτωσης, ανεξήγητο για τη Νετώνεια βαρύτητα. Η θεωρία της Γενικής Σχετικότητας εξήγησε ατή ακριβώς την επιπλέον μετάπτωση. Στην πραγματικότητα, το περιήλιο όλων των πλανητών και όχι μόνο το Ερμή παροσιάζει μια μετάπτωση ανεξήγητη στο πλαίσιο της Νετώνειας θεωρίας βαρύτητας, ωστόσο για τον Ερμή είναι περισσότερο έντονο το φαινόμενο, επειδή βρίσκεται εγγύτερα στον ήλιο, δηλαδή σε περιοχές πο το βαρτικό πεδίο είναι ισχρότερο. Γενικά, ο νόμος της παγκόσμιας έλξης το Νεύτωνα, ενώ είναι αρκετά καλή προσέγγιση για ασθενή βαρτικά πεδία, αποτγχάνει για ισχρά. Επιμέλεια: Αθ. Πρίκας, Δρ θεωρητικής Φσικής Στοιχειωδών Σωματίων. 11