Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax Δηλαδή x y = Ax
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax Δηλαδή x y = Ax Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R 2 φιγς/γραμετ.πνγ
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax Δηλαδή x y = Ax
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax Δηλαδή x y = Ax Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί του R n Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν 1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
Μετασχηματισμοί του R n Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν 1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων 2. x x cx cx, x R n, c R
Μετασχηματισμοί του R n Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν 1. δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων 2. x x cx cx, x R n, c R 3. x x,y y x +y x +y, x,y R n
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με πίνακα
Παραδείγματα 1. [ 1 0] 2 3 και 4 [ 0 1] 4 6 8
Παραδείγματα 1. 2. [ 1 0] 2 [ 0 3 και 1] 4 6 4 8 [ 6 [ ] 1 2 9 και 1] 0 0 1 12 0
Άσκηση Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την 1. παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
Άσκηση Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την 1. παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p 2. ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
Παραγώγιση Πολυωνύμων p n (x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +... +a n 1 x n 1 +a n x n
Παραγώγιση Πολυωνύμων p n (x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +... +a n 1 x n 1 +a n x n p n (x) = 0 +a 1 +2a 2 x +3a 3 x 2 +... + (n 1)a n 1 x n 2 +na n x n 1
Παραγώγιση Πολυωνύμων p n (x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +... +a n 1 x n 1 +a n x n p n (x) = 0 +a 1 +2a 2 x +3a 3 x 2 +... + (n 1)a n 1 x n 2 +na n x n 1 a 0 a 1 p n (x) a 2... a n 1 a n 0 a 1 p n (x) 2a 2... (n 1)a n 1 na n
Πίνακας Μετασχηματισμού Εστω v 1,v 2,...,v m βάση του V και w 1,w 2,...,w n βάση του W τότε
Πίνακας Μετασχηματισμού Εστω v 1,v 2,...,v m βάση του V και w 1,w 2,...,w n βάση του W τότε Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Πίνακας Μετασχηματισμού Εστω v 1,v 2,...,v m βάση του V και w 1,w 2,...,w n βάση του W τότε Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της v j της βάσης του V
Πίνακας Μετασχηματισμού Εστω v 1,v 2,...,v m βάση του V και w 1,w 2,...,w n βάση του W τότε Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο W μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της v j της βάσης του V Av j = a 1,j w j +a 2,j w 2 +... +a m,j w m
Περιστροφή φιγς/ροτατιον.πνγ
Περιστροφή φιγς/ροτατιον.πνγ φιγς/ροτατιον2.πνγ
Περιστροφή φιγς/ροτατιον.πνγ φιγς/ροτατιον2.πνγ ( ) cosθ sinθ Q θ = sinθ cosθ
Περιστροφή Q θ Q θ =
Περιστροφή Q θ Q θ = I
Περιστροφή Q θ Q θ = I Q 1 θ = Q θ
Περιστροφή Q θ Q θ = I Q 1 θ Q θ1 Q θ2 = = Q θ
Περιστροφή Q θ Q θ = I Q 1 θ Q θ1 Q θ2 = Q θ1 +θ 2 = Q θ
Περιστροφή Q θ Q θ = I Q 1 θ Q θ1 Q θ2 = Q θ1 +θ 2... = Q θ
Μετασχηματιμός Γινομένου x A y B z x AB z
Μετασχηματιμός Γινομένου Συμπέρασμα A παραγ A oλoκλ = I x A y B z x AB z
Μετασχηματιμός Γινομένου Συμπέρασμα x A y B z x AB z A παραγ A oλoκλ = I A 1 παραγ = A oλoκλ
Παράδειγμα - Προβολή φιγς/προ ολι.πνγ
Παράδειγμα - Προβολή φιγς/προ ολι.πνγ φιγς/προ ολι2.πνγ
Παράδειγμα - Προβολή φιγς/προ ολι.πνγ φιγς/προ ολι2.πνγ ( P θ = cos 2 θ cosθsinθ ) cosθsinθ sin 2 θ