Ι ΕΑΤΗ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 1 Ι ΕΑΤΗ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 47.1 Χρονικώς Ανεξάρτητη Συµπεριφορά 49. Ελαστο-πλαστικός ιαχωρισµός της Τροπής 50. Ιδεατά Πλαστικά Υλικά 5.4 Οι Εξισώσεις Prandtl - Reuss 59.5 Συνθήκη Καθετότητας και Κυρτότητα της Επιφάνειας ιαρροής 6.6 Τεχνική Θεωρία Πλαστικότητος Ραβδωτών Φορέων 6.6.1 Ελαστοπλαστική κάµψη 6.6. Ελαστοπλαστική στρέψη 65.6. Επιφάνειες διαρροής και καταρρεύσεως κυκλικής διατοµής 66 Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισµοί που διέπουν την µαθηµατική θεµελίωση της θεωρίας «Ιδεατής Πλαστικότητας». Οι σχετικά νέες έννοιες όπως η επιφάνεια διαρροής και ο νόµος πλαστικής ροής επεξήγονται στο παράδειγµα της «Τεχνικής Θεωρίας Πλαστικότητας Ραβδωτών Φορέων». 1 Αγγλ. Ideal Plasticity W. Prager and PG Hodge, Theory of Perfectly Plastic Solids, New York, Wiley, 1951.
48 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. Ι ΕΑΤΗ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ, 008 Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, Dr-Ing., Καθηγητής της Μηχανικής στο Ε.Μ. Πολυτεχνείο Τ.Θ. 144, Παιανία 190-0, htt://geolab.mechan.ntua.gr/, I.Vardoulakis@mechan.ntua.gr
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 49.1 Χρονικώς Ανεξάρτητη Συµπεριφορά Στην παρούσα ανάλυση θα περιορισθούµε σε υλικά που συµπεριφέρονται µε καλή προσέγγιση ως αµιγώς ανεξάρτητα της ταχύτητας παραµορφώσεως. Στην περίπτωση αυτή υποθέτουµε ότι η οποιαδήποτε αλλαγή στην ταχύτητα φορτίσεως, που αντιστοιχεί σε κάποιο µονοτόνως αύξοντα, τµηµατικώς συνεχή µετασχηµατισµό της χρονικής µεταβλητής, της µορφής (Εικ. -1), dh t = h(); t h= > 0 (.1) dt αφήνει αναλλοίωτες τις καταστατικές εξισώσεις. Εικ. -1:Μονότονος µετασχηµατισµός της χρονικής µεταβλητής. Αν δεχθούµε για παράδειγµα ότι µεταξύ ρυθµού παραµορφώσεως και τάσεως ισχύει µία καταστατική εξίσωση εξελικτικού χαρακτήρα, π.χ. της µορφής, kl mn ε = f ( σ, σ ) (.) και δεχθούµε ότι ε ε ε, ε t t τότε ε Άρα ε dh hε t dt f σ, σmn = h f σ, σ Οµοίως όµως έχουµε ότι ( ) kl kl mn (.) (.4) (.5) Τα ανεξάρτητα της ταχύτητας παραµορφώσεως υλικά (Αγγλ. rate indeendent materials) αποτελούν µία µαθηµατική εξιδανίκευση και συνιστούν µία οριακή συµπεριφορά. Γενικώς τα πραγµατικά υλικά συµπεριφέρονται διαφορετικά, όταν η ταχύτητα παραµορφώσεως αλλάζει. Μια τέτοια συµπεριφορά καλείται ιξωδο-ελαστική ή ιξωδο-πλαστική (Αγγλ. visco-elastic, visco-lastic). Πρβλ. P.Perzyna (196). The constitutive equations for rate sensitive lastic materials. Q. Al. Math., 0, 1-.
50 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. σ mn dh σ mn h σ mn t dt Άρα τελικά παίρνουµε ότι (.6) f σkl, hσ mn = h f ( σkl, σ mn ) (.7) Με τον περιορισµό ότι η παραπάνω σχέση, εξ. (.7), ισχύει µόνο για µονοτόνως αύξουσες συναρτήσεις µετασχηµατισµού της χρονικής µεταβλητής ( h > 0 ), η συνάρτηση αποκρίσεως δεν είναι κατ' ανάγκη µηδέν για µηδενικό ρυθµό µεταβολής της φορτίσεως 4, δηλαδή η f ( σ kl,0) δεν είναι κατ' ανάγκη µηδέν. Άρα για να περιγράφει η καταστατική εξ. (.) την συµπεριφορά ενός υλικού που δεν επηρεάζεται από τον ρυθµό της φορτίσεως, τότε πρέπει να απαιτήσουµε όπως η συνάρτηση αποκρίσεως είναι θετικά οµογενής ως προς αυτόν, λ 0 f, λσ mn λf, > = σmn (.8) Ένα τυπικό παράδειγµα καταστατικής εξισώσεως, ανεξάρτητης του ρυθµού φορτίσεως είναι ένας υποελαστικός νόµος, της µορφής, M mn σ mn ε = (.9) όπου στις περισσότερες εφαρµογές ο ελαστικός τανυστής ενδοτικότητας Μ θα είναι εκείνος που περιγράφει ελαστικό υλικό τύπου Hooke. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση αυτή η καταστατική συνάρτηση είναι γραµµική ως προς σ mn.. Ελαστο-πλαστικός ιαχωρισµός της Τροπής Από φαινοµενολογική σκοπιά τα πραγµατικά υλικά εµφανίζουν µη-αντιστρεπτές παραµορφώσεις, γεγονός που αναγνωρίζεται π.χ. σε ένα πείραµα φορτίσεως αποφορτίσεως. Όπως φαίνεται και στο αντίστοιχο διάγραµµα τάσεων-τροπών (Εικ. -) η συµπεριφορά του υλικού (µαρµάρου εν προκειµένω) είναι ριζικά διαφορετική στον κλάδο φορτίσεως από εκείνη στον κλάδο αποφορτίσεως- επαναφορτίσεως. Επίσης παρατηρούµε ότι γενικώς οι τροπές κατά την αποφόρτιση υστερούν κατά πολύ εκείνων κατά την φόρτιση. Έστω τώρα ότι ε είναι η ολική τροπή µέχρι κάποιου σηµείου Α στην καµπύλη φορτίσεως. e Το πείραµα αποφορτίσεως µας δείχνει ότι µόνο ένα µέρος της τροπής αυτής, έστω ε, η λεγόµενη και ελαστική τροπή (e: elastic), είναι αντιστρεπτή. Η 'παραµένουσα' τροπή καλείται και πλαστική τροπή (: lastic) e ε = ε ε > 0 (.10) ε 4 Η οριακή περίπτωση αυτή είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως οιονεί στατική φόρτιση (Αγγλ. quasi-static loading).
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 51 Εικ. -: Καµπύλη αξονικής τάσεως-αξονικής τροπής σε τριαξονικό πείραµα θλίψεως µαρµάρου ιονύσου Η θεωρία της πλαστικότητας βασίζεται στην υπόθεση ότι δεν µπορούµε να διατυπώσουµε καταστατικές εξισώσεις που να αφορούν πεπερασµένες παραµορφώσεις, όπως κάνουµε στην περίπτωση ελαστικών υλικών. Πράγµατι, η συµπεριφορά ενός πραγµατικού υλικού δεν εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα τιµή της τάσεως, όπως υποθέτουµε ότι συµβαίνει στα ελαστικά υλικά, αλλά εξαρτάται και από την ιστορία της παραµορφώσεως. Για το λόγο αυτό η παραπάνω ανάλυση της τροπής θα αφορά τον ρυθµό της. Γενικώς δε θα δεχθούµε τον εξής διαχωρισµό e ε = ε + ε (.11) Αντιστοίχως οι εξισώσεις της θεωρίας πλαστικότητος διατυπώνονται ως σχέσεις µεταξύ του ρυθµού της πλαστικής τροπής, της τάσεως και ίσως και του ρυθµού της. Έχουν δε αυτές οι εξισώσεις τη µορφή εξελικτικών εξισώσεων 5 της µορφής, ε g, mn, σ = kl σ (.1) Τα αποσιωποιητικά στη λίστα των µεταβλητών της συναρτήσεως αποκρίσεως στην εξ. (.1) σηµαίνουν την εξάρτηση του ρυθµού της τάσεως και από µία σειρά παραµέτρων (των λεγοµένων και εσωτερικών µεταβλητών), που περιγράφουν µε την σειρά τους την «ιστορία» της παραµορφώσεως. Υποθέτοντας τώρα ότι η συνάρτηση g, σ mn, είναι θετικά οµογενής, εξασφαλίζουµε ότι η πλαστική απόκριση είναι ανεξάρτητη του 5 Αγγλ. evolution equations
5 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. ρυθµού της φορτίσεως 6. Οπότε αντί των ρυθµών µπορούµε χωρίς περιορισµό να αναφερόµαστε στις απειροστικές µεταβολές, αφού, ε ε t t g σ, kl σmn, g σkl, t = = σmn, g ( σkl, σmn, = = ) (.1) Όσον αφορά δε τις ελαστικές τροπές θα δεχθούµε γενικώς ότι ισχύει ένας υποελαστικός νόµος, e e M mn σ mn ε οπότε = (.14) e e e e mn mn mn kmn ε t = M σ t = M σ ε (.15) Άρα από την εξ. (.11) έπεται η αντίστοιχη για τις απειροστικές µεταβολές (Εικ. -), ε = ε + ε (.16) e Εικ. -: Ελαστοπλαστικός διαχωρισµός των απειροστικών τροπών Επειδή, όπως αναφέραµε, οι ελαστικές (αντιστρεπτές) τροπές είναι γενικώς µικρές σε σχέση µε τις πλαστικές (µη-αντιστρεπτές) τροπές γι' αυτό σε πολλές περιπτώσεις οι πρώτες θεωρούνται αµελητέες. Στην ειδική αυτή περίπτωση µιλάµε για απολύτως-στερεά, πλαστικά υλικά 7 e ε << ε ε ε (.17) 6 Στην αντίθετη περίπτωση η απόκριση θα χαρακταρισθεί ως ιξωδο-πλαστική (Αγγλ. visco-lastic). 7 Αγγλ. rigid-lastic materials
. Ιδεατά Πλαστικά Υλικά Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 5 Εικ. -4: Χαρακτηριστικό διάγραµµα ισοδύναµης τάσης-ισοδύναµης τροπής για απολύτως στερεό, ιδεατά πλαστικό υλικό. Το απλούστερο προσοµοίωµα πλαστικού υλικού είναι εκείνο του ισότροπου, ασυµπίεστου, ιδεατά πλαστικού και απολύτως στερεού υλικού. Το προσοµοίωµα αυτό προτείνεται για την προσεγγιστική περιγραφή της µηχανικής συµπεριφοράς όλκιµων µετάλλων ή εύπλαστων αργίλων 8. Η εξιδανικευµένη συµπεριφορά ενός ιδεατά πλαστικού υλικού παρίσταται γραφικά µε την αντίστοιχη καµπύλη ισοδύναµης τάσεως - ισοδύναµης τροπής (Εικ. -4). Οι ελαστικές τροπές θεωρούνται συνήθως αµελητέες, οπότε ο κλάδος αρχικής φορτίσεως (ΟΑ) και όλοι οι κλάδοι αποφορτίσεως-επαναφορτίσεως είναι κατακόρυφες ευθείες όπως η ευθεία (Γ ). Ο κλάδος φορτίσεως (ΑΒ) προσεγγίζεται µε µια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oε eq η οποία και τέµνει τον άξονα Oσ eq στο σηµείο σ eq = k, που αντιστοιχεί στην ισοδύναµη τάση διαρροής του υλικού. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση που το υλικό διαρρέει, ενώ η τάση ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη διαρροής του υλικού, οι τροπές είναι γενικώς απροσδιόριστες. Συµφώνως προς µία πρόταση του T.Y. Thomas 9, η καταστατική εξίσωση που διέπει τη συµπεριφορά ενός ισότροπου, ασυµπίεστου, ιδεατά πλαστικού- απολύτως στερεού υλικού προκύπτει ως συνέπεια των εξής καταστατικών υποθέσεων: 1) Το υλικό είναι κατά την αποφόρτισή του απολύτως στερεό, άρα e ε = 0 ε = ε (.18) ) Το υλικό είναι ασυµπίεστο, άρα διαχωρίζοντας τον ρυθµό παραµορφώσεως σε σφαιρικό µέρος και αποκλίνον µέρος έχουµε τις σχέσεις, 1 ε = ε δ + e, ε = 0 ε = e (.19) kk kk ιαχωρίζοντας την τάση σε µέση ορθή και σε αποκλίνουσα σ = δ + s (.0) παρατηρούµε ότι λόγω της υποθέσεως (1) η µέση ορθή τάση, = σ kk /, είναι κινηµατικώς απροσδιόριστη, ενώ υποθέτουµε ότι: 8 Πλάσσω (αρχ.): µορφώνω, διαπλάθω, σχηµατίζω 9 T.Y. Thomas, Plastic Flow and fracture in Solids, sect. IV, Academic Press, 1961.
54 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. ) Oι συνιστώσες του αποκλίνοντος τανυστή των τάσεων είναι ανάλογες εκείνων του ρυθµού του αποκλίνοντος τανυστή πλαστικής παραµορφώσεως. έχουµε τις σχέσεις, s = (.1) λ e όπου ο συντελεστής αναλογίας στη σχέση τάσεων-τροπών (.1) είναι γενικώς µία βαθµωτή αναλλοίωτος συνάρτηση του ρυθµού του αποκλίνοντος τανυστή πλαστικής παραµορφώσεως, δηλ. e λ =Λ ( ) (.) 4) εν υπάρχει αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ της τάσεως και του ρυθµού παραµορφώσεως. Παρατηρήσεις: Επειδή ο ρυθµός παραµορφώσεως ορίζεται ως το συµµετρικό µέρος της βαθµίδας της ταχύτητας και οι ελαστικές τροπές είναι µηδενικές, έχουµε 1 ε = ( iv j + jvi ) (.) από τις καταστατικές υποθέσεις (1) και () έπονται οι παρακάτω σχέσεις για τη βαθµίδα της ταχύτητας v = 0 (.4) k k v + v = e (.5) i j j i Η καταστατική υπόθεση (), εξ. (.1), εκφράζει την υπόθεση ότι οι τανυστές των τάσεων και του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως είναι οµοαξονικοί (δηλ. έχουν τους ίδιους κύριους άξονες). Η καταστατική υπόθεση (4) εκφράζει τη βασική διαφορά µεταξύ ελαστικής και ιδεατάπλαστικής συµπεριφοράς, δηλαδή τη µη-αντιστρεψιµότητα της παραµορφώσεως. Για τον προσδιορισµό της ζητούµενης καταστατικής σχέσεως θεωρούµε κατ' αρχήν τις ιδιοτιµές η ( i = 1,,) του τανυστή e, i det e ηδ = 0 η Jeη Je = 0 (.6) Οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξισώσεως είναι αντιστοίχως η η και η αναλλοίωτη του τανυστή e, 1 1 Je = e e = ( η1 + η + η ) (.7) 1 1 Je e e e = = jk ki ( η1 + η + η) (.8)
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 55 Είναι λοιπόν προφανές ότι οι ιδιοτιµές η i ( i = 1,,) του τανυστή e είναι συναρτήσεις των βασικών αναλλοίωτων του τανυστή αυτού. εχόµενοι τώρα πως ο συντελεστής λ στην καταστατική εξ. (.1) είναι µία αναλλοίωτη συνάρτηση του τανυστή e, και κάνοντας ένα µετασχηµατισµό των συντεταγµένων στο σύστηµα των κυρίων αξόνων Ox ( 1, x, x ) του τανυστή e παίρνουµε ότι ο συντελεστής λ είναι συνάρτηση των βασικών αναλλοίωτων του e, λ =Λ ( e ) =Λ ( η ) =Λˆ ( J, J ) (.9) Έστω τώρα i e e 1 1 Js = ssji = ( s1 + s + s) (.0) 1 1 Js = ssjkski = ( s1 + s + s) (.1) Από την εξ. (.1)παίρνουµε, J J = λ J s e s = λ Je (.) Αν υποθέσουµε ότι η ιακωβιανή του παραπάνω συστήµατος εξισώσεων είναι διάφορη του µηδενός, Js Js Je Je = 0 (.) Js Js J J e e τότε οι σχέσεις (.) είναι αντιστρέψιµες και υπάρχει µία µονοσήµαντη λύση, Je = BJ ( s, Js) (.4) Je = CJ ( s, Js) και άρα λ =Λ ˆ ( J, ) (, ) e Je =Λ Js Js (.5) Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση (.1) είναι µονοσηµάντως αντιστρέψιµη, και 1 e = s (.6) Λ ( J, J ) s s γεγονός που βρίσκεται σε αντίφαση µε την καταστατική υπόθεση (4). Άρα από την υπόθεση (4) έπεται ότι η ιακωβιανή, εξ. (.), πρέπει να µηδενίζεται
56 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. λ λ λ Je + λ λ Je Je Je = 0 = 0 λ λ λ J λ J + λ ή J λ + J λ + λ = 0 e e Je Je e e Je Je (.7) (.8) Παρατηρούµε ότι µε το µετασχηµατισµό, x = J e, y = Je, λ = z( x, y) (.9) η παραπάνω διαφορική εξίσωση (.8) παίρνει τη µορφή οµογενούς διαφορικής εξισώσεως, τάξεως α = 1 z z x + y = α z (.40) x y Η γενική λύση της οµογενούς δ.ε. είναι µία οµογενής συνάρτηση α-τάξεως 10 zkxky (, ) = k α zxy (, ) (.41) Παρατηρούµε τώρα ότι η συνάρτηση 1 y z = f (.4) x x είναι λύση της οµογενούς δ.ε.. Αυτό σηµαίνει ότι η αρχική εξ. (.8) έχει λύσεις της µορφής, 1 J e λ = L (.4) J e J e οπότε η εξ. (.1) δίδει, 1 J e s = L e (.44) J e J e από την οποία παίρνουµε ότι, J es J e J s = L= L (.45) Jes J e J s Από τη εξ. (.44) παίρνουµε τον εξής περιορισµό για την ένταση της διατµητικής τάσεως T J L J s = s = J s (.46) 10 Ε.Kamke, Differentialgleichungen, Loesungsmethoden und Loesungen, Vol. II, sect. E..5 & 4.8 Chelsea Publ. Co., 1974.
Υπενθυµίζουµε ότι η ποσότητα s / s Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 57 J cosα s = (.47) J είναι η αναλλοίωτη τασική γωνία οµοιότητας. Οπότε τελικά παίρνουµε τον περιορισµό ότι εν προκειµένω η ένταση της διατµητικής τάσεως πρέπει να είναι γενικώς µία συνάρτηση της αναλλοίωτης γωνίας οµοιότητας, π.χ. τ oct = T = F(cos α s ) (.48) Η σχέση αυτή λέγεται συνθήκη διαρροής 11. Εικ. -5: Ίχνος της συνθήκης διαρροής στο αποκλίνον επίπεδο Η συνθήκη διαρροής, εξ. (.48), παρίσταται γεωµετρικά στον χώρο των κυρίων τάσεων ως ένας κύλινδρος µε τον άξονά του να συµπίπτει µε τη χωροδιαγώνιο και µε ίχνος στο αποκλίνον επίπεδο που να καθορίζεται από την συνάρτηση F( α s ), Εικ. -5. Με δεδοµένη τώρα τη συνθήκη διαρροής (.48) έπεται τελικά ότι ο νόµος πλαστικής ροής 1 ε = 0 e = s, λ > 0 (.49) kk λ Παρατηρούµε ότι ο νόµος πλαστικής ροής περιορίζει µόνο την κατεύθυνση του e, e g όπου s = (.50) T g = e e (.51) ενώ η ένταση του ρυθµού (διατµητικής) πλαστικής παραµορφώσεως δεν περιορίζεται. 11 Αγγλ. yield condition
58 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. Εικ. -6: Eπιφάνεια διαρροής κατά v. Mises, εξ. (.5) Παρατηρούµε ότι στην ειδική περίπτωση που η καταστατική συνάρτηση είναι της µορφής F( α ) = k : const. (.5) s τότε καταλήγουµε στην συνθήκη διαρροής κατά v. Mises. Στην περίπτωση αυτή η συνθήκη διαρροής παρίσταται στον χώρο των κυρίων τάσεων ως ένας κυκλικός κύλινδρος µε άξονα τη χωροδιαγώνιο και ακτίνα k (Εικ. -6). Το ίχνος της κυλινδρικής επιφάνειας στο απoκλίνον επίπεδο (π) είναι κύκλος µε ακτίνα k (Εικ. -7). Εικ. -7: Συνθήκη καθετότητας στην περίπτωση κυκλικού ίχνους της συνθήκης διαρροής Παρατηρούµε τέλος ότι αφού ο τανυστής των τάσεων και ο τανυστής του ρυθµού πλαστικών τροπών είναι οµοαξονικοί, µπορούµε να ταυτίσουµε το σύστηµα κυρίων αξόνων τους Στην περίπτωση αυτή το διάνυσµα των κύριων πλαστικών τροπών, e = ηi ( i = 1,,) παρίσταται στο επίπεδο (π) και είναι κάθετο στο κυκλικό ίχνος της i συνθήκης διαρροής (Εικ. -7). Η συνθήκη αυτή είναι γνωστή ως συνθήκη καθετότητας 1. Η συνθήκη καθετότητας γενικεύεται ως εξής: Έστω 1 Αγγλ. normality condition
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 59 Fs ( ) = k> 0 (.5) η συνθήκη διαρροής, όπου η συνάρτηση διαρροής Fs ( ) είναι µία ισότροπη συνάρτηση το αποκλίνοντος τανυστή των τάσεων 1. Οµοαξονικότητα και καθετότητα εξασφαλίζονται αν απαιτήσουµε την ισχύ του λεγοµένου συνηρτηµένου νόµου πλαστικής ροής 14, ο οποίος προϋποθέτει ότι η συνάρτηση διαρροής παίζει και το ρόλο πλαστικού δυναµικού 15 F e =Λ, Λ> 0 (.54) s.4 Οι Εξισώσεις Prandtl - Reuss Γενικεύοντας τις παραπάνω παρατηρήσεις µπορούµε τώρα να διατυπώσουµε τη λεγόµενη θεωρία πλαστικής ροής για ιδεατά πλαστικά υλικά. Κατ' αρχήν δεχόµαστε ότι ο ρυθµός της παραµορφώσεως µπορεί να αναλυθεί προσθετικά στο ρυθµό ελαστικής και πλαστικής τροπής, e ε = ε + ε (.55) και υποθέτουµε ότι ο ρυθµός ελαστικών τροπών δίδεται από το νόµο του Hooke 16, e 1+ ν ν ε = σ σ δ kk (.56) E E Στο σηµείο αυτό θα δεχθούµε ότι το υλικό είναι «πλαστικά ασυµπίεστο», δηλ., ε = 0 (.57) kk Επίσης θα δεχθούµε την ύπαρξη µιας επιφάνειας στο χώρο των τάσεων (Εικ. -8) Fs ( ) = k( k> 0) (.58) η οποία περιβάλλει την περιοχή ελαστικής συµπεριφοράς. Αυτό σηµαίνει ότι αν κάποια εντατική κατάσταση σ βρίσκεται εντός της ελαστικής περιοχής, τότε ο ρυθµός πλαστικών τροπών µηδενίζεται, δηλ. Fs ( ) < k ε = 0 (.59) Επίσης δεχόµαστε ότι ο τανυστής του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως είναι οµοαξονικός µε τον τανυστή των τάσεων, οπότε αυτός παρίσταται ως διάνυσµα στο χώρο των κυρίων τάσεων. Μέσα στα πλαίσια της λεγόµενης συνηρτηµένης θεωρίας πλαστικής ροής 17 δεχόµαστε επιπλέον ότι το διάνυσµα αυτό είναι κάθετο στην επιφάνεια διαρροής (συνθήκη καθετότητας), γεγονός το οποίο εκφράζεται από την σχέση, F ε =Λ, Λ 0 (.60) σ 1 Σχετικά µε το θεµελιώδες θεώρηµα αναπαραστάσεως ισοτρόπων τανυστικών συναρτήσεων πρβλ. Σηµείωσεις Μηχανικής Συνεχούς Μέσου.. 14 Αγγλ. associated flow-rule 15 Αγγλ.. lastic otential 16 Με E συµβολίζουµε το µέτρο ελαστικότητας Young και µε ν τον λόγος Poisson του υλικού. 17 Αγγλ. associated flow theory of lasticity
60 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. Στη σχέση αυτή η παράµετρος Λ καλείται πλαστικός πολλαπλασιαστής 18 και είναι µια απροσδιόριστη βαθµωτή ποσότητα. Εικ. -8: Επιφάνεια διαρροής στο χώρο των τάσεων Για να είναι συµβατή η εξ. (.60) µε την καταστατική υπόθεση (.57) προκύπτει ότι προκειµένου περί ενός πλαστικά ασυµπίεστου υλικού, που υπακούει ένα συνηρτηµένο νόµο πλαστικής ροής, η συνθήκη διαρροής δεν πρέπει να εξαρτάται από τη µέση ορθή τάση, δηλαδή πρέπει να είναι µόνο συνάρτηση το αποκλίνοντος τανυστή των τάσεων, F F Fs ( ) = k ε =Λ = 0 e =Λ (.61) kk σ s kk Για παράδειγµα η συνθήκη von Mises περιγράφει την επιφάνεια διαρροής που δίδεται από τη σχέση, τ oct = J s = k (.6) οπότε, τ oct e =Λ =Λ s 1 1 J s J s 1 1 1 =Λ ( smnsnm ) T s 1 1 1 s =Λ ( smnδδ in jm + δδ im jnsnm) e = Λ 6 T 6 T s Συνοψίζοντας τα ανωτέρω παίρνουµε τις λεγόµενες εξισώσεις Prandtl-Reuss : 1) Εξισώσεις συµβιβαστού για το ρυθµό της παραµορφώσεως 19 : (.6) 1 ε = ( iv j + jvi ) (.64) 18 Αγγλ. lastic multilier 19 v ( x, t ) είναι το διάνυσµα της ταχύτητας των υλικών σηµείων. i k
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 61 ) Ανάλυση του ρυθµού της παραµορφώσεως σε ελαστικό και πλαστικό µέρος: e ε = ε + ε (.65) ) Νόµος ελαστικότητας για τον ρυθµό µεταβολής της τάσεως: e 1+ ν ν ε = σ σ δ kk (.66) E E 4) Συνθήκη διαρροής: 1 Fs ( ) = ss ji = k (.67) 5) Νόµος πλαστικής ροής: ε kk e = 0 F 1 s 0 if : F < k =Λ = Λ, Λ= s 6 T > 0 else (.68) Οι εξισώσεις αυτές συµπληρώνονται µε τις εξισώσεις ισορροπίας για τον ρυθµό του τανυστή των τάσεων, i σ = 0 (.69) Παρατηρούµε ότι για ένα τρισδιάστατο πρόβληµα έχουµε ως 7 άγνωστες ποσότητες: τις συνιστώσες της ταχύτητας v i e τις 18 συνιστώσες των τανυστών ε, ε, ε τις 6 συνιστώσες του ρυθµού του τανυστή των τάσεων σ Οι αντίστοιχες διαθέσιµες εξισώσεις είναι επίσης 7: οι 6 εξισώσεις µεταξύ της βαθµίδας της ταχύτητας και του ρυθµού της παραµορφώσεως, εξ. (.64), οι εξισώσεις ισορροπίας, εξ. (.69), οι 6 εξισώσεις αναλύσεως του ρυθµού της παραµορφώσεως, (.65), οι 6 εξισώσεις ελαστικότητας, εξ. (.66), οι 6 εξισώσεις που καθορίζουν τον νόµο πλαστικής ροής, εξ. (.68) Παρατηρούµε τέλος ότι για E, λαµβάνουµε την οριακή συµπεριφορά του, ιδεατά πλαστικού-απολύτως στερεού υλικού, όπου e ε = 0 ε = ε (.70)
6 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ..5 Συνθήκη Καθετότητας και Κυρτότητα της Επιφάνειας ιαρροής Εικ. -9: Συνθήκη καθετότητας και κυρτότητα της επιφάνειας διαρροής Θεωρούµε δύο εντατικές καταστάσεις, έστω c σ και οριακή, δηλαδή να ικανοποιεί τη συνθήκη διαρροής * σ, έτσι ώστε η πρώτη να είναι c F( σ ) = k (.71) ενώ η δεύτερη να είναι επιτρεπτή, δηλαδή να µην παραβιάζει τη συνθήκη διαρροής F σ k (.7) * ( ) Με άλλα λόγια η εντατική κατάσταση όριο ή σύνορο αυτής) ενώ η (ελαστική) περιοχή της επιφάνειας διαρροής. Από τη συνθήκη καθετότητας F ε =Λ σ c σ απεικονίζεται επί της επιφάνειας διαρροής (στο * σ απεικονίζεται είτε στο σύνορο είτε στην εσωτερική (.7) και εφόσον η επιφάνεια διαρροής είναι κυρτή, προκύπτει ότι ισχύει η παρακάτω καθοριστική ανισότητα που αποδίδεται στον Drucker 0 (Εικ. -9) c * ( ) 0 σ σ ε (.74) Παρατηρούµε ότι όταν η επιφάνεια διαρροής δεν είναι κυρτή, τότε υπάρχουν εντατικές καταστάσεις σ και σ επί και εντός αυτής (που αντιστοιχούν στα διανύσµατα θέσεως OB c και OA ), τέτοιες ώστε η διαφορά * να αντιστοιχεί σε διάνυσµα AB, του c * ( σ σ ) 0 D.C. Drucker, A more fundamental aroach to stress strain relations. In: Proceedings of the First US Nat. Cong. Al. Mech. (1951),. 487 491.
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 6 οποίου το εσωτερικό γινόµενο µε το διάνυσµα της καθέτου διαρροής στο σηµείο Β να είναι αρνητικό..6 Τεχνική Θεωρία Πλαστικότητος Ραβδωτών Φορέων 1 ε επί της επιφανείας Οι παραπάνω έννοιες της επιφάνειας διαρροής και του νόµου πλαστικής ροής κ.λπ. έχουν βρει εφαρµογή και στην Τεχνική Μηχανική µέσα στα πλαίσια της Τεχνικής Θεωρίας Πλαστικότητας ραβδωτών και επιφανειακών φορέων. Η συγκεκριµένη αυτή εφαρµογή είναι διδακτικά χρήσιµη για την εξοικείωση µας µε την αφηρηµένη ορολογία της Μαθηµατικής Θεωρίας της Πλαστικότητας. Για το λόγο αυτό σκιαγραφούµε στις επόµενες δύο παραγράφους το τρόπο κατασκευής τέτοιων Τεχνικών Θεωρίων..6.1 Ελαστοπλαστική κάµψη Θεωρούµε ένα ραβδωτό φορέα από ελαστικό, ιδεατά πλαστικό υλικό. Η αντίστοιχη καµπύλη τάσεων-τροπών σε µονοαξονική καταπόνηση (Εικ. -10) χαρακτηρίζεται από το µέτρο ελαστικότητας E, την τάση διαρροής σ Y και την τροπή διαρροής του υλικού, σy ε Y = (.75) E Θεωρούµε για παράδειγµα ένα γραµµωτό φορέα µε ορθογωνική διατοµή κάτω από την επίδραση καµπτικής ροπής M y = M( x). Για την επίλυση του προβλήµατος της Τεχνικής Θεωρίας Κάµψεως στην ελαστοπλαστική περιοχή εισάγουµε, όπως και στην περίπτωση της ελαστικής θεωρίας, την κινηµατική παραδοχή Bernulli, συµφώνως προς την οποία αρχικώς ορθές προς τον άξονα της δοκού διατοµές παραµένουν κάθετες προς αυτόν και µετά την κάµψη. Οπότε, αν ρ είναι η ακτίνα καµπυλότητας της δοκού στη θέση x, τότε έχουµε τις εξής σχέσεις µεταξύ αξονικής µετατοπίσεως, τροπής και καµπυλότητας, κ = κ( x) (Εικ. -11), y du z x = dx 1 εxx κz, κ ρ = = ρ (.76) Εικ. -10: Χαρακτηριστική καµπύλη τάσεων-τροπών για ελαστικό, ιδεατέ πλαστικό, όλκιµο υλικό 1 Πρβλ. Βαρδουλάκης Ι. Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Εκδόσεις Συµµετρία, 1999. Για µία διεξοδικότερη παρουσίαση της Τεχνικής Θεωρίας Πλαστικής Κάµψεως δοκών παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο βιβλίο του Jacques Heyman, Elements of the Theory of Structures, Cambridge Univ. Press, Chat. 1, 1996.
64 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. Εικ. -11: Ελαστοπλαστική απλή κάµψη Το υλικό αρχίζει να διαρρέει στις ακρότατες ίνες της δοκού, όπου η αξονική τροπή λαµβάνει ακρότατες τιµές. Η µέγιστη ροπή που αντιστοιχεί στην είσοδο των ακρότατων ινών στην πλαστική περιοχή, λέγεται ροπή διαρροής σε κάµψη, M YB,, και αντιστοιχεί συµφώνως προς τον ελαστικό νόµο ροπής κάµψεως-καµπυλότητας, M = ( EI ) κ (.77) σε εκείνη την τιµή της καµπυλότητας, για την οποία έχουµε ότι, h σy σy 1 εxx ( ± h /) = κy = εy = κy = (.78) E E h Υπενθυµίζουµε ότι στα πλαίσια µιας γραµµικής Τεχνικής Θεωρίας η καµπυλότητα δίδεται κατά προσέγγιση από την δεύτερη παράγωγο του βέλους κάµψεως, dw κ (.79) dx Στους παραπάνω τύπους µε h συµβολίσαµε το ύψος ορθογωνικής διατοµής και µε bh I = (.80) 1 την αντίστοιχη ροπή αδρανείας της ορθογωνικής διατοµής. Άρα bh M B, Y = σy (.81) 6 Αν υποθέσουµε ότι µόνο ένα τµήµα της διατοµής έχει διαρρεύσει τότε από το παραπάνω σχήµα µπορούµε να υπολογίσουµε τη σχέση καµπτικής ροπής-καµπυλότητας στην ελαστοπλαστική περιοχή (Εικ. -1), κ if : κ κy ( ελαστική κ άµψη) M y = M BF, 1 κy ( EI ) 1 if : κ κy ( ελαστοπλαστική κ άµψη) ( EI) κ (.8)
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 65 Εικ. -1: Ελαστοπλαστική σχέση ροπής κάµψεως -καµπυλότητας Παρατηρούµε, ότι λόγω της ανοµοιογενούς κατανοµής των ορθών τάσεων καθ' ύψος της διατοµής, η απόκριση της διατοµής στην ελαστοπλαστική περιοχή είναι µη-γραµµική, µε την ροπή κάµψεως να τείνει ασυµπτωτικώς σε µία οριακή τιµή, τη ροπή καταρρεύσεως σε κάµψη, M B, F. Άρα η ροπή καταρρεύσεως είναι η µέγιστη ροπή κάµψεως που µπορεί να παραλάβει η διατοµή και, όπως προκύπτει από τα παραπάνω, αυτή αντιστοιχεί σε απειρισµό της καµπυλότητας ( κ ), δηλαδή στη δηµιουργία µιας πλαστικής αρθρώσεως στη θεωρούµενη θέση x. Για ορθογωνική διατοµή έχουµε ότι: M BF, MB, F = MB, Y = κy (.8) ( EI) Αν η διατοµή έχει άλλο (απλά συµµετρικό) σχήµα, τότε η ροπή διαρροής και ο λόγος ροπής καταρρεύσεως προς ροπή διαρροής παίρνει µία αντίστοίχη τιµή, µεγαλύτερη πάντοτε της µονάδος. Π.χ. για κυκλική διατοµή, ακτίνας, R έχουµε τις εξής τιµές για τη ροπή διαρροής και τον αντίστοιχο συντελεστή µορφής M π M BF 16 = R σ µ = = 1.698 (.84) 4 M π BY, Y B BY.6. Ελαστοπλαστική στρέψη Εικ. -1:Στρέψη κυλινδρικής ατράκτου Η συντελεστή "ασφαλείας" έναντι πλαστικής καταρρεύσεως
66 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. Θεωρούµε την περίπτωση ελαστοπλαστικής στρέψεως µιας ατράκτου µε κυκλική διατοµή, ακτίνας R (Εικ. -1). Κατ' αναλογία µε την κάµψη, υιοθετούµε στην περίπτωση αυτή την παραδοχή Navier, περί επιπεδότητας των διατοµών. Στη ροπή στρέψεως M x αντιστοιχεί η συστροφή κ = ϑ( x) της διατοµής, x dϕ ϑ = (.85) dx όπου ϕ ( x) η γωνία στροφής της διατοµής. Στην περίπτωση της στρέψεως η σχέση ροπής στρέψεως-συστροφής έχει ως εξής: ϑ if : ϑ ϑy ( ελαστικ ή στρέψη ) M x = M TF, 1 ϑy (.86) ( GI ) 1 if : ϑ ϑy ( ελαστοπλαστικ ή στρέψη ) ( GI ) 4 ϑ όπου G είναι το ελαστικό µέτρο διατµήσεως του υλικού και π 4 I = R (.87) είναι η πολική ροπή αδρανείας της διατοµής. Η συστροφή διαρροής δίδεται από τον τύπο, τy 1 ϑ Y = (.88) GR όπου τy είναι η τάση διαρροής του υλικού σε καθαρή διάτµηση. Η στρεπτική ροπή διαρροής και καταρρεύσεως δίδονται εν προκειµένω από τους παρακάτω τύπους: π MT, F 4 MTY, = τ YR µ T = = 1. (.89) M TY, Παρατηρούµε τέλος ότι η στρεπτική ροπή καταρρεύσεως M TF, αντιστοιχεί σε απειρισµό της συστροφής (ϑ ), δηλαδή στη δηµιουργία ενός πλαστικού γόµφου στη θέση x..6. Επιφάνειες διαρροής και καταρρεύσεως κυκλικής διατοµής Εικ. -14: Κυλινδρική άτρακτοςσε σύνθετη καταπόνηση
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 67 Θεωρούµε µια άτρακτο µε κυκλική διατοµή κάτω από σύνθετη καταπόνηση συνιστάµενη από ροπή κάµψεως M y = MB( x) και ροπή στρέψεως M x = MT( x). Οι ροπές αυτές προκαλούν την ανάπτυξη πάνω στη διατοµή ορθών τάσεων σ και διατµητικών τάσεων τ, αντιστοίχως. Το κριτήριο διαρροής κατά von Mises, επιτάσσει ότι ένα υλικό σηµείο της διατοµής διαρρέει πλαστικά, όταν M σ + τ = τ eq (.90) Παρατηρούµε ότι σε µονοαξονικό εφελκυσµό και θλίψη ισχύει ότι, M σ = σy, τ = 0 τeq = σy (.91) ενώ σε καθαρή διάτµηση έχουµε ότι, M σ = 0, τ = τ y τeq = τy (.9) Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι βάσει του κριτηρίου von Mises, ισχύει σy τ Y = (.9) Τώρα θεωρούµε µια µεικτή εντατική κατάσταση και αναζητούµε την έκφραση για την έναρξη της διαρροής της θεωρούµενης διατοµής. Στην περίπτωση αυτή οι ορθές και οι διατµητικές τάσεις στις ακραίες ίνες της διατοµής δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: M B π σ =±, WB = R (.94) W 4 M B π T τ =±, WT = R (.95) WT Οπότε M B M T Y = + = + WB WT σ σ τ M B M T + = 1 σ YW σ B Y W T (.96) Λαµβανοµένου υπ' όψιν ότι οι αντίστοιχες ροπές διαρροής είναι, M = σ W, M = τ W (.97) B, Y Y B T, Y Y T η παραπάνω συνθήκη διαρροής, εξ. (.96) για µεικτή φόρτιση γράφεται, M B M T + = 1 M M BY, TY, (.98)
68 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. Ορισµός Στο χώρο των εντατικών µεγεθών { M B, M T } ορίζουµε ως "επιφάνεια διαρροής" την καµπύλη που δίδεται από την σχέση, M B M T FY( MB, MT) = + 1= 0 M M BY, TY, (.99) Όπως φαίνεται και στην Εικ. -15 σε κανονικοποιηµένες συντεταγµένες η αντίστοιχη καµπύλη διαρροής είναι κύκλος. Εικ. -15: Καµπύλη διαρροής κυλινδρικής ατράκτου κάτω από σύνθετη, καµπτική-στρεπτική καταπόνηση εχόµεθα τώρα ότι στον χώρο αυτό και στο τυχόν σηµείο Α της «επιφάνειας» διαρροής F = 0, µπορούµε να ορίσουµε κατά προσέγγιση µιας σταθεράς δλ την στοιχειώδη πλαστική στροφή λόγω κάµψεως δϕ B (πλαστική στροφή αρθρώσεως) και την στοιχειώδη πλαστική στροφή λόγω στρέψεως δϕ T (πλαστική στροφή γόµφου). Ο προσδιορισµός των πλαστικών στροφών αυτών γίνεται συµφώνως προς το νόµο καθετότητας, που σηµαίνει ότι το διάνυσµα { δϕ, δϕ } είναι κάθετο στην επιφάνεια διαρροής: B T ( MT / MT, Y) ( /, ) F F δϕt δϕb = δλ, δϕt = δλ = M M δϕ M M M T B B BY Οµοίως ορίζουµε και την «επιφάνεια» καταρρεύσεως της διατοµής, MT (.100) M B FF( MB, MT) = + 1= 0 (.101) MBF MTF Η αντίστοιχη καµπύλη σε κανονικοποιήµενες συντεταγµένες είναι έλλειψη (Εικ. -16).
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ. 69 Εικ. -16: Καµπύλες διαρρροής και καταρρεύσεως σε µικτή καταπόνηση κυλινδρικής ατράκτου Άσκηση Να κατασκευασθούν οι επιφάνειες διαρροής και καταρρεύσεως ορθογωνικής διατοµής σε λοξή κάµψη (Εικ. -17). Εικ. -17: Λοξή κάµψη: Θέση διανύσµατος ροπής κάµψεως και θέση ουδέτερης γραµµής
70 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλαστικότητα, Κεφ.