Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς. Επίλυση τυ κυκλώµατς νµάζεται η εύρεση των ρευµάτων ή των πτώσεων τάσεως στα στιχεία. Για να εφαρµόσυµε τη µέθδ ρευµάτων βρόχων π.χ. στ κύκλωµα τυ Ζ διπλανύ σχήµατς : Α Ζ Γ Ζ Ε α) εκλέγυµε κλειστύς βρόχυς ρευµάτων πυ λέγνται ρεύµατα βρόχων β) γράφυµε τρεις (3) εξισώσεις, όσες δηλαδή ι βρόχι, µε αγνώστυς τα Ι 1,Ι 2 και Ι 3 γ) λύνυµε τ σύστηµα. + Ι 1 Ι 2 Ι 3 + Ζ Β Ζ V A - - V B Τ ρεύµα κάθε κλάδυ πρκύπτει αµέσως από ένα από τα ρεύµατα βρόχων ή από κατάλληλ γραµµικό συνδυασµό τυς. Τ ρεύµα π.χ. στη Z A είναι Ι 1, ενώ τ ρεύµα στη Ζ Β είναι Ι 1 -Ι 2 µε θετική φρά πρς τα κάτω. Έτσι βρίσκυµε τ ρεύµα για κάθε κλάδ τυ κυκλώµατς (δίκτυυ). Η πτώση τάσεως σε κάθε στιχεί τυ κυκλώµατς είναι τ γινόµεν τυ ρεύµατς πυ διαρρέει τ στιχεί επί τη µιγαδική τυ σύνθετη αντίσταση. Εκλγή τυ ρεύµατς βρόχων Η λύση ενός πρβλήµατς είναι δυνατό να απλπιηθεί µε κατάλληλη εκλγή των βρόχων στ κύκλωµα. Αν στ κύκλωµα τυ σχήµατς 1 ζητείται να καθριστεί µόν τ ρεύµα τυ κλάδυ πυ περιέχει την Ζ Β, τότε είναι βλικό η Ζ Β να ανήκει σε ένα µόν βρόχ. Με µια τέτια εκλγή, όπως τυ σχήµατς αρκεί να λύσυµε µόν ως πρς τ ρεύµα Ι 1 τυ πρώτυ βρόχυ. Τνίζεται ότι για πιαδήπτε εκλγή ρευµάτων βρόχων, κάθε στιχεί κυκλώµατς πρέπει να έχει τυλάχιστν ένα ρεύµα και δύ κλάδι δεν πρέπει να έχυν τ ίδι ρεύµα ή τν ίδι συνδυασµό ρευµάτων. Ζ Α Ζ Γ Ζ Ε + + Ι 1 Ζ Β Ι 2 Ζ Ι 3 V A - - V B www.arns.gr e-mail : inf@arns.gr 1
Σηµείωση : Στη γενική περίπτωση τα ρεύµατα και ι τάσεις είναι µιγαδικί jφ αριθµί, δηλαδή της µρφής ΙΙ Ι m e και V V j v m e φ αντίστιχα. Η µέθδς ρευµάτων βρόχων όπως και ι µέθδς τάσεων κόµβων ισχύυν συνεπώς και για αc µεγέθη (σύµβλα i,υ) και για dc µεγέθη (σύµβλα V,I). Πλήθς απαιτύµενων ρευµάτων βρόχων Τ πλήθς των ρευµάτων βρόχων πυ απαιτύνται για την επίλυση ενός κυκλώµατς δεν είναι πάντα φανερό. Μια µέθδς πυ δίνει τν απαιτύµεν πλήθς ρευµάτων και συνεπώς τν απαιτύµεν αριθµό εξισώσεων, βασίζεται στη µέτρηση των κλάδων και κόµβων τυ κυκλώµατς (ή δικτύυ). Είναι : πλήθς εξισώσεων πλήθς κλάδων - [(πλήθς κόµβων)-1] Στ κύκλωµα τυ σχήµατς 3 υπάρχυν επτά (7) κλάδι και τέσσερις (4) κµβόι. Τ απαιτύµεν πλήθς ρευµάτων βρόχων είναι 7-(4-1)4. Εξισώσεις βρόχων µε απλή εππτεία τυ κυκλώµατς Έστω ένα κύκλωµα τριών βρόχων. Οι εξισώσεις σε καννική µρφή είναι : Ζ 11Ι1 ±Ζ12Ι2 ±Ζ13Ι3 V1 ± Ζ21Ι1+Ζ22Ι 2 ±Ζ23Ι3 V2 ± Ζ31Ι1±Ζ32Ι2 +Ζ33Ι3 V3 Η Ζ 11 λέγεται ιδία σύνθετη αντίσταση τυ βρόχυ 1 και ισύται µε τ άθρισµα όλων των σύνθετων αντιστάσεων από τις πίες περνάει τ Ι 1. Αντιστίχως ρίζνται ι Ζ 22 και Ζ 33. Η Ζ 12 λέγεται αµιβαία σύνθετη αντίσταση των βρόχων 1 και 2 και είναι άθρισµα όλων των σύνθετων αντιστάσεων πυ ανήκυν και στυς δυ βρόχυς. Ισχύει Ζ 12 Ζ 21. Οι σύνθετες αντιστάσεις Ζ 13,Ζ 31,Ζ 23,Ζ 32 είναι τα αθρίσµατα των σύνθετων αντιστάσεων των κινών για τα ρεύµατα βρόχων πυ δείχνυν ι δείκτες τυς. Τ θετικό πρόσηµ χρησιµπιείται όταν τα ρεύµατα βρόχων περνάνε από την αµιβαία σύνθετη αντίσταση µε την ίδια φρά και τ αρνητικό πρόσηµ όταν περνάνε µε αντίθετες φρές. www.arns.gr e-mail : inf@arns.gr 2
Παράδειγµα : ίνεται τ κύκλωµα τυ σχήµατς. Ζητύνται ι εξισώσεις ρευµάτων βρόχων. Λύση Οι αντιστάσεις πρσδιρίζνται από τν ρισµό τυς. Η Ζ 11 είναι π.χ. Ζ 11 2-j2+j5+57+j3 Η Ζ 23 είναι η αντίσταση τυ κλάδυ ΑΒ, πυ διαρρέεται από τα ρεύµατα Ι 2 και Ι 3 µε αντίθετες φρές. Συνεπώς η αντίσταση 2-j2 τυ κλάδυ ΑΒ θα εµφανιστεί µε αρνητικό πρόσηµ στην εξίσωση. ηλαδή Ζ 23 -(2-j2). Έχυµε λιπόν : + 10 0 2 -j2 5 30 + - Ι 1 Α j5 5 2 -j2 Ι 3 - + 10 10 90 Ι 2 10 Β ( 7+ j3) I1 ( j5) I2 (5) Ι3 10 0 ( j5) I1+ (12+ j3) I2 (2 j2) Ι3 (5 30 ) ( 5) I1 (2 j2) I2+ (17 j2) Ι3 (10 90 ) Σε µρφή πινάκων γράφεται: 7+ j3 - j5-5 - j5 12+ j3 - (2 - j2) - 5 10 0 Ι1 - (2 - j2) (5 30 ) Ι 2 17 - j2 Ι3 (10 90 ) www.arns.gr e-mail : inf@arns.gr 3
Εισαγωγή Τάσεις Κόµβων ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Η µέθδς τάσεων κόµβων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ ρεύµατς τυ Kirchhff. Σε κάθε κόµβ κυκλώµατς µπρύµε να αντιστιχίσυµε έναν αριθµό ή ένα γράµµα, π.χ. στ κύκλωµα τυ σχήµατς 1, τα 1,2,3 είναι (κύριι) κόµβι. Τάση κόµβυ είναι η τάση ενός δεδµένυ κόµβυ ως πρς ένα ιδιαίτερ κόµβ, πυ εκλέγεται αυθαίρετα και νµάζεται κόµβς αναφράς. Οπότε V 13 είναι η τάση µεταξύ των 1 και 3 και V 23 η τάση µεταξύ των 2 και 3. Επειδή η τάση ενός Z A 1 Z Γ 2 Z E + - V A Z B Z V B - + 3 κόµβυ ρίζεται πάντα ως πρς τν κόµβ αναφράς χρησιµπιύµε τυς συµβλισµύς V 1, V 2 αντί των V 13, V 23 αντίστιχα. Παράδειγµα : Στη µέθδ τάσεων κόµβων βρίσκυµε τις τάσεις των κόµβων ως πρς τν κόµβ αναφράς. Για τ κύκλωµα τυ σχ. 1 εφαρµόζυµε τ νόµ ρευµάτων τυ Kirchhff στυς δύ κόµβυς 1 και 2 και παίρνυµε δύ εξισώσεις µε αγνώστυς τα V 1 και V 2. Ας υπθέσυµε ότι όλα τα ρεύµατα των κλάδων πυ συνδένται στν κόµβ 1, εξέρχνται από αυτόν. Επειδή τ άθρισµα τυς είναι µηδέν έχυµε : V 1 VA V1 V1 V + + 2 0 ZA ZB Z Γ (1) Οι φρές των ρευµάτων εκλέγνται αυθαίρετα. Επαναλαµβάνντας την ίδια διαδικασία για τν κόµβ 2 παίρνυµε : V 2 V1 V2 V2 + V + + Β 0 Z Z Z Γ Ε (2) Οι (1) και (2) µπρύν να γραφύν ως εξής : 1 ZA + 1 ZB + 1 Z 1 V1 V2 Γ ΖΓ 1 V Z A A (3α) 1 1 1 1 1 V1 + + + V2 V Z Z Z Z B Γ Γ Ε ΖΕ (3β) www.arns.gr e-mail : inf@arns.gr 4
Σηµείωση : Στη γενική περίπτωση τα ρεύµατα και ι τάσεις είναι µιγαδικί αριθµί όπως και στην περίπτωση της µεθόδυ των ρευµάτων βρόχων δηλαδή Ι και V. Τ σύστηµα των (3) µπρεί να γράφει µε τη χρήση των µιγαδικών αγωγιµτήτων αν ληφθεί υπόψη ότι 1/ΖY. Είναι : (Y A +Y B +Y Γ )V 1 -Y Γ V 2 Y A V A (4α) -Y Γ V 1 +(Y Γ +Y +Y Ε )V 2 -Y Ε V Β (4β) Πλήθς εξισώσεων τάσεων κόµβων Τ απαραίτητ πλήθς εξισώσεων τάσεων κόµβων ισύται µε τ πλήθς των (κύριων) κόµβων πλην ένα, αφύ µπρύµε να γράψυµε µια εξίσωση για κάθε κόµβ εκτός από τν κόµβ αναφράς. πλήθς εξισώσεων πλήθς κόµβων 1 Επιλγή µεθόδυ Η επιλγή µεθόδυ, µεταξύ τάσεων κόµβων και ρευµάτων βρόχων, για την επίλυση ενός δεδµένυ κυκλώµατς εξαρτάται από τη µρφή τυ κυκλώµατς, εκτός αν η µέθδς καθρίζεται στην εκφώνηση τυ πρβλήµατς. Ένα κύκλωµα µε µερικύς παράλληλυς κλάδυς έχει συνήθως περισσότερυς βρόχυς από ότι κόµβυς και συνεπώς χρειάζεται λιγότερες εξισώσεις κόµβων για την επίλυση τυ. Γενικά συµφέρει η χρήση της µεθόδυ πυ δηγεί σε λιγότερες εξισώσεις. Εξισώσεις κόµβων µε απλή εππτεία τυ κυκλώµατς. Έστω ένα κύκλωµα µε 4 κόµβυς. Απαιτεί 3 εξισώσεις κόµβων για να επιλυθεί. Οι εξισώσεις αυτές σε καννική µρφή είναι : Y 11 V 1 +Y 12 V 2 +Y 13 V 3 I 1 Y 21 V 1 +Y 22 V 2 +Y 23 V 3 I 2 (5) Y 31 V 1 +Y 32 V 2 +Y 33 V 3 I 3 www.arns.gr e-mail : inf@arns.gr 5
Η Y 11 λέγεται ιδία µιγαδική αγωγιµότητα τυ κόµβυ 1 και ισύται µε τ άθρισµα όλων των µιγαδικών αγωγιµτήτων πυ συνδένται στν κόµβ 1. Αντιστίχως ρίζνται ι Y 22 και Y 33. Η Y 12 λέγεται αµιβαία µιγαδική αγωγιµότητα µεταξύ των κόµβων 1 και 2 και ισύται µε τ άθρισµα των µεταξύ των κόµβων 1 και 2 µιγαδικών αγωγιµτήτων αλλά µε αρνητικό πρόσηµ, όπως φαίνεται στην (4α). Όµια Y 23 και Y 13 είναι ι αµιβαίες µιγαδικές αγωγιµότητες µεταξύ των κόµβων 2,3 και 1,3 αντίστιχα. Είναι ίσες µε τα αθρίσµατα των µιγαδικών αγωγιµτήτων των στιχείων πυ συνδέυν τυς αντίστιχυς κόµβυς, επίσης µε αρνητικό πρόσηµ. Είναι Y 13 Y 31, Y 23 Y 32. T Ι 1 είναι τ άθρισµα όλων των ρευµάτων πηγών πυ συνδένται στν κόµβ 1. Ρεύµα πυ εισέρχεται στν κόµβ έχει θετικό πρόσηµ, ενώ ρεύµα πυ εξέρχεται από τν κόµβ παίρνει αρνητικό πρόσηµ. Αντίστιχα ρίζνται τα Ι 2, Ι 3. Τ σύστηµα των εξισώσεων (5) µπρεί να γράφει σε µρφή πινάκων. Y11 Y21 Y31 Y12 Y22 Y32 Y13 V1 Ι1 Y 23 V2 Ι2 Y33 V3 Ι3 Συγγραφέας : Βυδύκης Νικόλας www.arns.gr e-mail : inf@arns.gr 6