ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων: Β1 Β2 Β3 Β4 Α1 100,50 60,60 30,70 0,80 Α2 60,60 50,70 60,60 0,60 Α3 50,50 40,40 70,30 0,20 Α4 0,0 0,0 50,0 1,1 B1 B2 B3 A1 10,4 1,5 98,4 A2 9,9 0,3 99,8 A3 1,98 0,100 100,98 B1 B2 B3 B4 A1 5,10 0,11 1,20 10,10 A2 4,0 1,1 2,0 20,0 A3 3,2 0,4 4,3 50,1 A4 2,93 0,92 0,91 100,90 ΑΣΚΗΣΗ 2 Έστω δύο επιχειρήσεις, η µία ήδη λειτουργεί στον κλάδο (επιχείρηση 1) και η άλλη θέλει να εισέλθει στον κλάδο (επιχείρηση 2). Η επιχείρηση 1 σχεδιάζει να κατασκευάσει ένα καινούργιο εργοστάσιο. Τα αποτελέσµατα των αποφάσεων σε εκατ. Ευρώ δείχνονται στην παρακάτω µήτρα. Είσοδος Όχι Κατασκευάσει 0, -10 20, 0 Όχι 20, 10 30, 0 Βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash του παιγνίου αυτού. ΑΣΚΗΣΗ 3 ύο εταιρίες αυτοκινήτων αποφασίζουν ταυτόχρονα να εισάγουν στην αγορά ένα νέο µοντέλο. Κάθε µια από τις εταιρίες σκέφτεται αν προσφέρει ή όχι ευκολίες πληρωµής στους πελάτες, κάτι που θα αύξανε το µερίδιο της αγοράς της αλλά συγχρόνως θα είχε κόστος για την εταιρία. Και οι δύο προτιµούν να µην προσφέρουν ευκολίες πληρωµής, αλλά κάθε µια φοβάται ότι η άλλη θα τις προσφέρει, και κατά συνέπεια η ίδια θα χάσει πελάτες. Ας υποθέσουµε ότι τα προσδοκώµενα κέρδη των εταιριών είναι τα ακόλουθα: αν και οι δυο προσφέρουν ευκολίες πληρωµής κάθε µια κερδίζει 200 εκατ.; αν καµιά δεν τις προσφέρει κάθε µια κερδίζει 300 εκατ.; αν η µια προσφέρει ευκολίες πληρωµής αλλά η άλλη όχι, η πρώτη κερδίζει 400 εκατ. και η δεύτερη µόνο 150 εκατ. Παραστήσατε το παίγνιο σε στρατηγική µορφή και υπολογίσατε τις ισορροπίες του κατά Nash.
ΑΣΚΗΣΗ 4 Βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash σε καθένα από ακόλουθα παίγνια. Α2 Β2 Γ2 2 Α1 10,0 5,2 10,-2 9,20 Β1 2,1-2,9 0,2 0,7 Γ1 15,-3 14,3 7,1 8,12 1 1,2 0,5 3,0-1,0. Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΑΣΚΗΣΗ 5 Το ακόλουθο διάγραµµα παριστά το δέντρο ενός παιγνίου τέλειας πληροφόρησης µεταξύ δύο παιχτών. r D e R l W c M D r L a D W L l b R M D L r L d l D (α) Προσδιορίσατε τα σύνολα πληροφόρησης κάθε παίχτη.
(β) Ποιες είναι οι αµιγείς στρατηγικές κάθε παίχτη; Και ποιες είναι οι επιλογές κάθε παίχτη σε καθένα από τα σύνολα πληροφόρησής του; (γ) Ποιο είναι το αποτέλεσµα του συνδυασµού των στρατηγικών (rll, LM); (δ) Προσδιορίσατε όλα τα δυνατά ζευγάρια στρατηγικών που οδηγούν το παίγνιο στην πορεία rrl ΑΣΚΗΣΗ 6 Μετατρέψτε το παρακάτω παίγνιο σε στρατηγική µορφή (µορφή µήτρας) και βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές. (Για να απλοποιήσετε την διαδικασία, θεωρήστε µόνο τις «ανηγµένες» στρατηγικές του παίκτη Ι. Με άλλα λόγια, αν ο παίκτης Ι επιλέξει αρχικά a τότε αργότερα µπορεί να επιλέξει µόνο µεταξύ των στρατηγικών του j και k; αν επιλέξει αρχικά b τότε αργότερα µπορεί να επιλέξει µόνο µεταξύ των στρατηγικών του m και n; όµοια, αν επιλέξει c, αργότερα µπορεί να επιλέξει µόνο µεταξύ p και q) j (70,0) a c b d e f g h i k j k m m p p n n q (10,70) (20,30) (30,10) (50,50) (70,40) (30,60) (40,20) (40,90) (50,30) (80,80) q (90,0) ΑΣΚΗΣΗ 7 (α) Μετατρέψτε το παρακάτω παίγνιο σε στρατηγική µορφή (µορφή µήτρας) και βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές. (Για να απλοποιήσετε την διαδικασία, θεωρήστε µόνο τις «ανηγµένες» στρατηγικές του παίκτη Ι. Με άλλα λόγια, αν ο παίκτης Ι επιλέξει αρχικά U τότε αργότερα µπορεί να επιλέξει µόνο µεταξύ των στρατηγικών του J και K; αν επιλέξει αρχικά M τότε αργότερα µπορεί να επιλέξει µόνο µεταξύ των στρατηγικών του M και N; όµοια, αν επιλέξει D, αργότερα µπορεί να επιλέξει µόνο µεταξύ P και Q) J (2.5,2.5) U D M d e f g h i J K K M P M P N N Q (3.5,2) (1.5,3) (2,1) (1,1.5) (0.5,0.5) (3.5,0) (1,3.5) (4,4) (4.5,0) (2,4.5) Q (2.5,1.5)
(β) Βρείτε όλες τις τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων του παιγνίου αυτού και σχολιάστε αν, και αν ναι γιατί, διαφέρουν από τις ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές που βρήκατε στο (α). ΑΣΚΗΣΗ 8 υο επιχειρήσεις που λειτουργούν στον ίδιο κλάδο και παράγουν προϊόντα ταυτόσηµα πρέπει να αποφασίσουν ταυτόχρονα την ποσότητα που θα παράγουν για την παρούσα περίοδο. Γνωρίζουν ότι το κόστος παραγωγής τους είναι ίσο µε C(q 1 )=10+2q i, ι=1, 2, και επίσης την κοινή καµπύλη ζήτησης του προϊόντος τους, P(q 1 +q 2 )=160 (q 1 +q 2 ). (α) Ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης; Αν οι επιχειρήσεις µεγιστοποιούν τα κέρδη τους, ποια είναι τα αποτελέσµατα για κάθε ζευγάρι στρατηγικών; Ποιες είναι οι καµπύλες (βέλτιστης) αντίδρασης; (β) Ποια είναι η ισορροπία κατά Nash όταν οι επιχειρήσεις αποφασίζουν ταυτόχρονα τις ποσότητες παραγωγής τους; ΑΣΚΗΣΗ 9 υο επιχειρήσεις, η 1 και η 2, που λειτουργούν στον ίδιο κλάδο και παράγουν οµογενή προϊόντα αποφασίζουν ταυτόχρονα την ποσότητα που θα παράγουν για την παρούσα περίοδο. Γνωρίζουν ότι το κόστος παραγωγής τους είναι C(q ι )=1 + q i, ι=1, 2, και ότι η καµπύλη ζήτησης του προϊόντος είναι P(q 1 +q 2 )=16 (q 1 +q 2 ). (α) Ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης και τα κέρδη τους για κάθε ζευγάρι στρατηγικών; Βρείτε τις καµπύλες αντίδρασης αν κάθε επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της. Προσδιορίσατε την ισορροπία κατά Nash και τα κέρδη των επιχειρήσεων στην ισορροπία. (β) Ποια θα ήταν η ισορροπία κατά Nash αν οι επιχειρήσεις αποφάσιζαν ταυτόχρονα τις τιµές τους; (γ) Ποιο θα ήταν το αποτέλεσµα στην αγορά (τιµή, ποσότητες παραγωγής και κέρδη) αν οι δύο επιχειρήσεις υπέγραφαν συµβόλαιο συνεργασίας µεταξύ τους; Υποθέσατε ότι στην περίπτωση αυτή οι επιχειρήσεις µοιράζονται τα κέρδη µεταξύ τους. ΑΣΚΗΣΗ 10 Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις επιχειρήσεις παράγουν ένα οµοιογενές αγαθό του οποίου η (αντίστροφη) καµπύλη ζήτησης δίνεται από p=12 Q, όπου Q=q 1 +q 2 +q 3, q ι η ποσότητα που παράγει η επιχείρηση ι=1, 2, 3. Κάθε επιχείρηση έχει οριακό κόστος ίσο µε 2 (το σταθερό κόστος είναι µηδέν). Οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται εκλέγοντας ταυτόχρονα τις ποσότητες τους. (α) Ποια είναι η ισορροπία Cournot-Nash στον κλάδο; Ποια είναι τα κέρδη κάθε επιχείρησης στην ισορροπία αυτή; (β) Έχουν κίνητρο δύο οποιεσδήποτε επιχειρήσεις να συγχωνευθούν και να δρουν ως µια επιχείρηση οπότε φυσικά ο κλάδος θα µετατραπεί σε δυοπώλιο; ικαιολογήσατε την απάντηση σας. ΑΣΚΗΣΗ 11 υο επιχειρήσεις, η 1 και η 2, που λειτουργούν στον ίδιο κλάδο και παράγουν διαφοροποιηµένα προϊόντα αποφασίζουν ταυτόχρονα τις ποσότητες τους. Το οριακό κόστος παραγωγής κάθε επιχείρησης είναι ίσο µε c και το πάγιο κόστος είναι µηδενικό. Η καµπύλη ζήτησης της επιχείρησης 1 είναι p1 = a 2q1 q2 και η καµπύλη ζήτησης της επιχείρησης 2 είναι p2 = a 2q2 q1 (α) Βρείτε τις καµπύλες αντίδρασης κάθε επιχείρησης και παραστήστε τις σε ένα διάγραµµα. (β) Προσδιορίστε αναλυτικά και διαγραµµατικά την ισορροπία κατά Nash και βρείτε τα κέρδη των επιχειρήσεων στην ισορροπία αυτή. Μεγιστοποιούνται τα κέρδη του κλάδου στην ισορροπία. Αν όχι, εξηγείστε γιατί. (γ) Προσδιορίστε διαγραµµατικά (στο ίδιο διάγραµµα) την ισορροπία στο παίγνιο όπου η επιχείρηση 1 είναι ηγέτης και η επιχείρηση 2 ακόλουθος. Εξηγήστε την µαθηµατική λογική στην οποία στηρίζεται η απάντηση σας και σκιαγραφείστε το πρόβληµα που πρέπει να λυθεί για να προσδιοριστεί η ισορροπία ηγέτη-ακόλουθου.
ΑΣΚΗΣΗ 12 Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις επιχειρήσεις παράγουν ένα οµοιογενές αγαθό του οποίου η (αντίστροφη) καµπύλη ζήτησης δίνεται από p=10 (q 1 +q 2 +q 3 ), όπου q i παριστάνει την ποσότητα που παράγει η επιχείρηση i=1, 2, 3. Κάθε επιχείρηση παράγει µε οριακό κόστος, c=2 και έχει επίσης ένα σταθερό κόστος ίσο µε 2. (α) Αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται εκλέγοντας ταυτόχρονα την ποσότητα τους, προσδιορίσατε την ισορροπία κατά Nash στον κλάδο. Ποια είναι τα κέρδη κάθε επιχείρησης στην ισορροπία αυτή; (β) Έχουν κίνητρο δύο οποιεσδήποτε επιχειρήσεις να συγχωνευθούν και να δρουν ως µια επιχείρηση οπότε φυσικά ο κλάδος θα µετατραπεί σε δυοπώλιο; Υποθέσατε ότι η συγχώνευση δεν επηρεάζει το οριακό κόστος παραγωγής (που παραµένει ίσο µε 2), αλλά µειώνει το σταθερό κόστος σε f, 2<f<4. ικαιολογήσατε την απάντηση σας. ΑΣΚΗΣΗ 13 Σε ένα κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ατελώς υποκατάστατα αγαθά. Οι καµπύλες ζήτησης των προϊόντων τους είναι q 1 =20 2p 1 +p 2 και q 2 =20 2p 2 +p 1. Το οριακό κόστος παραγωγής των επιχειρήσεων είναι ίσο µε 0 και δεν υπάρχει σταθερό κόστος. Η επιχείρηση 1 είναι ηγέτης στην αγορά και θέτει πρώτη την τιµή της. Κατόπιν θέτει την τιµή της η επιχείρηση 2 που είναι ακόλουθος. (α) Βρείτε την τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων του παιγνίου αυτού. Ποιος θέτει υψηλότερη τιµή, ο ηγέτης ή ο ακόλουθος; Ποιος επιτυγχάνει µεγαλύτερα κέρδη; (β) Ποια θα ήταν οι τιµές και τα κέρδη κάθε επιχείρησης αν αποφάσιζαν ταυτόχρονα την τιµή που θα πωλούν το προϊόν τους; (γ) Πώς θα άλλαζε η ισορροπία αν οι δύο επιχειρήσεις ανταγωνιζόταν σε ποσότητες αποφασίζοντας ταυτόχρονα πόσο θα παράγει κάθε µια από αυτές. ΑΣΚΗΣΗ 14 Σε ένα κλάδο υπάρχει µια καθιερωµένη επιχείρηση, ενώ µια νέα επιχείρηση σκέφτεται να εισέλθει στον κλάδο. Αν η τελευταία αποφασίσει να εισέλθει, η καθιερωµένη επιχείρηση έχει δύο επιλογές: να αποδεχτεί την είσοδο της νέας επιχείρησης χάνοντας έτσι ένα µέρος των πελατών της ή να διεξάγει πόλεµο τιµών στη νεοεισερχόµενη. Αν αποδεχτεί την είσοδο της αντιπάλου, τα κέρδη της καθιερωµένη επιχείρησης θα είναι 10 εκατ., ενώ αν διεξάγει πόλεµο τιµών θα έχει απώλειες 10 εκατ. Από την άλλη, η νεοεισερχόµενη θα κερδίσει 10 εκατ. Αν δεν δεχτεί τον πόλεµο τιµών, ενώ θα έχει απώλειες 20 εκατ. Στην αντίθετη περίπτωση. Τέλος, αν η αντίπαλος αποφασίσει να µην εισέλθει στον κλάδο, η καθιερωµένη επιχείρηση θα συνεχίσει να πετυχαίνει τα κέρδη του µονοπωλίου που είναι 30 εκατ. Σχεδιάστε την αναλυτική µορφή του παιγνίου. Προσδιορίσατε κατόπιν τη στρατηγική µορφή του και βρείτε τις ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές. Ποιες απ αυτές είναι τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων; ΑΣΚΗΣΗ 15 ίνεται το ακόλουθο παίγνιο σε αναλυτική µορφή : L 10, 2 l H 0, 0 A h L H -1, -1 3, 5 (α) Προσδιορίσατε τις ισορροπίες κατά Nash του παιγνίου αυτού. (β) Παραστήσατε σε µορφή στρατηγική το παίγνιο. (γ) Είναι κάποια από τις ισορροπίες κατά Nash τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; (δ) Υποθέτοντας τώρα ότι ο παίχτης Β παρατηρεί την απόφαση του παίχτη Α πριν πάρει την απόφασή του, απαντήσατε στις τρεις προηγούµενες ερωτήσεις.
ΑΣΚΗΣΗ 16 ίνεται το ακόλουθο παίγνιο σε αναλυτική µορφή: U 2 1, 2 U 2 D 2 0, 3 2, 1 D 2 0, 3 (α) Προσδιορίσατε ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε παίχτη και βρείτε όλες τις τέλειες ισορροπίες κατά Nash υποπαιγνίων. (β) Παραστήσατε το παίγνιο σε στρατηγική µορφή και βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash. ΑΣΚΗΣΗ 17 Ορισµένοι από τους φορολογούµενους αποφασίζουν κάθε χρόνο αν θα κάνουν δήλωση εισοδήµατος ή όχι. Το πλεονέκτηµα από τη µη δήλωση είναι, προφανώς ότι αν δεν εξεταστεί η περίπτωση τους δεν θα πληρώσουν κανένα φόρο. Ο κίνδυνος όµως που διατρέχουν είναι ότι αν ανακαλυφθούν, πέρα από τους φόρους, πρέπει να πληρώσουν επίσης και πρόστιµο. Ας εξετάσουµε την περίπτωση ενός συγκεκριµένου φορολογούµενου. Υποθέσατε ότι το αρχικό του εισόδηµα είναι R, είναι οι φόροι που θα πληρώσει αν αποφασίσει να κάνει δήλωση, Μ είναι το πρόστιµο που θα πληρώσει επιπλέον από τους φόρους που του αντιστοιχούν αν ανακαλυφθεί, και C είναι το κόστος της Εφορίας να διερευνήσει την περίπτωση ενός φορολογούµενου (το οποίο προφανώς πληρώνεται όποιο και αν είναι το αποτέλεσµα της έρευνας αυτής).ο φορολογούµενος ενδιαφέρεται να πετύχει το µεγαλύτερο δυνατό εισόδηµα και το κριτήριο της Εφορίας είναι να µεγιστοποιήσει τα καθαρά φορολογικά έσοδα (δηλ. έσοδα από φόρους και πρόστιµα µείον το κόστος της διερεύνησης). (α) Παραστήσατε το παίγνιο σε στρατηγική µορφή έτσι ώστε να περιγράφεται ακριβώς η σχέση µεταξύ της Εφορίας και του φορολογούµενου. (β) Υποθέτοντας ότι +M C > > C > 0, έχει κανείς από τους παίκτες µια κυρίαρχη στρατηγική: είξατε αν το παίγνιο έχει µια ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές και εξηγήσατε της απάντησή σας σε οικονοµικούς όρους. (γ) Υποθέτοντας τώρα ότι > 0 >+M C > C, απαντήσατε στην ερώτηση (β). ΑΣΚΗΣΗ 18 Για καθένα από τα παρακάτω παίγνια, βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash. Τι παρατηρείτε? Ι. L S R L 10,2 0,0 1,1 S 5,2-2,-2 0,0 A R 1,1 2,5 2,10 ΙΙ. L S R L 20,4 0,0 2,2 S 10,4-4,-4 0,0 R 2,2 4,10 4,20
ΙΙΙ. L S R L 10,2 0,0 1,1 S 5,2-2,-2 0,0 R 1,1 2,5 2,10 ΙV. L S R L 30,6 0,0 3,3 S 15,6-6,-6 0,0 R 3,3 6,15 6,30 ΑΣΚΗΣΗ 19 Ένας πελάτης επισκέπτεται ένα καλό εστιατόριο όπου αναλαµβάνει να τον εξυπηρετήσει ένα από τα γκαρσόνια. Το γκαρσόνι πρέπει να αποφασίσει αν παρέχει καλή ή κακή εξυπηρέτηση. Το κόστος ευκαιρίας της καλής εξυπηρέτησης είναι ίσο µε 10 Ευρώ, ενώ της κακής εξυπηρέτησης είναι µηδενικό. Ο πελάτης συγχρόνως πρέπει να αποφασίζει αν θα αφήσει ή όχι φιλοδώρηµα. Υποθέσατε ότι τα µόνα φιλοδωρήµατα που επιτρέπονται είναι 20 Ευρώ, 10 Ευρώ ή 0 (τίποτα). Ο πελάτης εκτιµά την καλή εξυπηρέτηση σε 60 Ευρώ, και την κακή εξυπηρέτηση σε 0. (α) Παραστήσατε το παίγνιο αυτό στην κατάλληλη µορφή και προσδιορίσατε όλες τις ισορροπίες του. Τι παρατηρείτε ως προς τα αποτελέσµατα των παικτών; (β) Υποθέσατε τώρα ότι ο πελάτης έχει ήδη αποφασίσει αν θα δώσει φιλοδώρηµα ή όχι και το γκαρσόνι πρέπει να επιλέξει καλή ή κακή εξυπηρέτηση. Απαντήστε στην προηγούµενη ερώτηση και συγκρίνατε τα αποτελέσµατα µε αυτά του (α). Σχολιάσατε. ΑΣΚΗΣΗ 20 ύο άτοµα, ο Α και ο Β, θέλουν να µοιράσουν 100 Ευρώ. Ανακοινώνουν ταυτόχρονα πόσο θέλει να κρατήσει κάθε ένας από τα 100 Ευρώ. Έστω s A και s Β τα ποσά αυτά, 0 s A, s Β 100. Αν 0 s A + s Β 100, τότε κάθε ένας παίρνει αυτό που ζήτησε, στην αντίθετη περίπτωση δεν παίρνει κανείς τίποτα. Ποιες είναι οι ισορροπίες κατά Nash αυτού του παιγνίου; ΑΣΚΗΣΗ 21 ύο άτοµα, ο Α και ο Β, µοιράζονται ένα διαµέρισµα όπου καθένας έχει το δικό του δωµάτιο. Όσον αφορά την διακόσµηση του διαµερίσµατος, κάθε ένας πρέπει να αποφασίσει µε ποιο τρόπο θα κατανείµει τους τρεις πίνακες ζωγραφικής που έχει στην κατοχή του. Πιο συγκεκριµένα, πόσους πίνακες από τους τρεις να κρεµάσει στο δωµάτιο του και πόσους στο σαλόνι. Υποθέσατε ότι ο καθένας παίρνει ξεχωριστά την απόφαση του, οι πίνακες τοποθετούνται ανάλογα και κατόπιν δεν µπορούν να ξεκρεµαστούν. Έστω X A και X B ο αριθµός των πινάκων που τα άτοµα Α και Β αποφασίζουν να κρεµάσουν στο δωµάτιο τους (οπότε Χ S =6-Χ Α -Χ Β είναι ο αριθµός των πινάκων που µένουν για το σαλόνι). Η συνάρτηση χρησιµότητας του Α είναι U A (X A,X S )=X A (3+2X S ) και του Β είναι U Β (X Β,X S )=X Β (3+2X S ). (α) Ποιες είναι οι στρατηγικές καθενός από τα δύο άτοµα; Παραστήσατε το παίγνιο σε µορφή µήτρας. (β) Προσδιορίσατε τη µοναδική ισορροπία κατά Nash. Είναι το αποτέλεσµα αυτό καλό για τα δύο άτοµα; ΑΣΚΗΣΗ 22 Θεωρήσατε το παίγνιο στο οποίο ο παίκτης Ι επιλέγει πρώτος µεταξύ 0 και 1. Κατόπιν επιλέγει η Θεά Τύχη µεταξύ των ενδεχοµένων 0 και 1 µε ίσες πιθανότητες. Τέλος, ο παίκτης ΙΙ επιλέγει µεταξύ 0 και 1 µη γνωρίζοντας την επιλογή του παίκτη Ι αλλά γνωρίζοντας το ενδεχόµενο που επέλεξε η Θεά Τύχη. Αν το άθροισµα των τριών επιλογών είναι ίσο µε 1, ο παίκτης Ι πληρώνει τον παίκτη ΙΙ 1000 δρχ. Στην αντίθετη περίπτωση ο παίκτης ΙΙ πληρώνει τον παίκτη Ι 1000 δρχ.. (α) Σχεδιάστε το δέντρο του παιγνίου αυτού δείχνοντας καθαρά τα σύνολα πληροφόρησης κάθε παίχτη. (β) Ποιες είναι οι αµιγείς στρατηγικές κάθε παίχτη; Πόσα υποπαίγνια έχει το παίγνιο αυτό;
(δ) Αν επιλεγότανε ο συνδυασµός των στρατηγικών: 0 για τον παίκτη Ι και (1,0) για τον παίκτη ΙΙ, δηλ. [0,(1,0)], σε ποιο (ποιους) τελικό(ούς) κόµβο(ούς) του δέντρου θα φτάνουµε; και µε ποια πιθανότητα; ΑΣΚΗΣΗ 23 Υποθέσατε ότι έξι αδέλφια πρέπει να αποφασίσουν µεταξύ τους ποιος θα πάρει το αυτοκίνητο το Σαββατοκύριακο και στήνουν το εξής παίγνιο. Ταυτόχρονα γράφουν σε ένα χαρτί ένα αριθµό µεταξύ 0 και 10. Κατόπιν υπολογίζουν τον αριθµητικό µέσο αυτών των αριθµών και ο αδελφός που έχει γράψει τον αριθµό που είναι µικρότερος από το µέσο και είναι πλησιέστερος στον µέσο παίρνει το αυτοκίνητο. Σε περίπτωση ισοπαλίας, όλοι οι αδελφοί που έχουν προτείνει τον ίδιο αριθµό έχουν την ίδια πιθανότητα να πάρουν το αυτοκίνητο. Προσδιορίσατε τις ισορροπίες κατά Nash αυτού του παιγνίου, εξηγώντας µε λεπτοµέρειες πως τις βρήκατε. ΑΣΚΗΣΗ 24 ύο άτοµα παίζουν ένα παίγνιο ταιριάσµατος (matching) αριθµών. Καθένας επιλέγει µεταξύ 1, 2 ή 3. Αν οι επιλεγµένοι αριθµοί είναι οι ίδιοι, τότε ο παίκτης 2 πληρώνει στον παίκτη 1 τρεις λίρες. Αν διαφέρουν µεταξύ τους, τότε ο παίκτης 1 πληρώνει στον παίκτη 2 µια λίρα. (α) Προσδιορίσατε την στρατηγική µορφή του παιγνίου αυτού και δείξατε ότι δεν έχει καµία ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές. (β) Βρείτε την ισορροπία κατά Nash σε µικτές στρατηγικές και τα αναµενόµενα κέρδη κάθε παίκτη στην ισορροπία αυτή. ΑΣΚΗΣΗ 25 Οι Α και Β διαπραγµατεύονται για το πως θα µοιραστούν 1 εκατοµµύριο ευρώ. Η ωφέλεια/χρησιµότητα που δίνουν τα χρήµατα στην Α και στον Β αντίστοιχα δίδονται ως εξής: U A = (χρήµατα) 2 και U Β = (χρήµατα) 1/3 (α) Η Α θα πάρει 666666 ευρώ (και κάτι λεπτά) (β) Ο Β θα πάρει 133333 ευρώ (και κάτι λεπτά) (γ) Η Α θα πάρει 750000 ευρώ (ακριβώς) (δ) Ο Β θα πάρει 500000 ευρώ (ακριβώς) ΑΣΚΗΣΗ 26 Μια µορφή του παιγνίου της Αλυσίδας Καταστηµάτων (Chain-store Game) είναι η ακόλουθη. Ο παίκτης ΙΙ επιλέγει πρώτος µεταξύ L και R. Αν επιλέξει R το παίγνιο τελειώνει και οι παίκτες Ι και ΙΙ λαµβάνουν αντίστοιχα 5 και 1 Ευρώ. Αν ο παίκτης ΙΙ επιλέξει L τότε ο παίκτης Ι αποφασίζει µεταξύ των στρατηγικών l και r. Αν ο παίκτης Ι επιλέξει r τότε κανείς παίκτης δεν παίρνει τίποτα. ιαφορετικά, αν επιλέξει l τότε οι παίκτες Ι και ΙΙ λαµβάνουν από 2 Ευρώ έκαστος. (α) Παραστήσατε το παίγνιο αυτό σε µορφή αναλυτική (δένδρου) και βρείτε την ισορροπία µε την εφαρµογή της µεθόδου της οπισθογενούς επαγωγής (β) Βρείτε την στρατηγική µορφή (µήτρας) του παιγνίου αυτού και προσδιορίσατε τις ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές (γ) Σχολιάστε γιατί διαφέρει η απάντηση σας στα δύο παραπάνω ερωτήµατα. ΑΣΚΗΣΗ 27 Μια επιχείρηση χρησιµοποιεί στην παραγωγική της διαδικασία εξειδικευµένους εργάτες οι οποίοι δηµιουργούν επιπλέον έσοδα 10 εκ. Ευρώ. Οι εξειδικευµένοι εργάτες είναι συνδικαλισµένοι και διαπραγµατεύονται µε την επιχείρηση τη µοιρασιά του παραπάνω πλεονάσµατος. Η διαπραγµάτευση ξεκινά µε µια προσφορά που κάνει το συνδικάτο, την οποία αποδέχεται ή απορρίπτει η επιχείρηση. Αν την αποδεχτεί, οι δύο παίκτες µοιράζονται το πλεόνασµα σύµφωνα µε την προσφορά του συνδικάτου. Αν την απορρίψει, τότε η επιχείρηση κάνει µια αντιπροσφορά που το συνδικάτο µπορεί να αποδεχτεί η να απορρίψει. Αν η προσφορά απορριφθεί, η κυβέρνηση παρεµβαίνει και µοιράζει εξίσου το πλεόνασµα την επόµενη περίοδο στους δύο παίκτες. ιαφορετικά, το
πλεόνασµα µοιράζεται σύµφωνα µε την προσφορά της επιχείρησης. Υποθέσατε ότι η επιχείρηση έχει συντελεστή προεξόφλησης δ E =. 9 ενώ για το συνδικάτο δ Σ =. 8. (α) Ποια είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων της διαπραγµάτευσης αυτής; Ποιο είναι το αποτέλεσµα της ισορροπίας, πότε επιτυγχάνεται και ποιος παίκτης έχει πλεονέκτηµα; Εξηγήστε το γιατί. Τι θα συνέβαινε αν δεν παρέµβαινε η κυβέρνηση και στην περίπτωση άρνησης της τελευταίας προσφοράς κανείς από τους δύο δεν θα λάµβανε τίποτα; (β) Τι θα συµβεί αν στην διαπραγµάτευση αυτή ο αριθµός προσφορών-αντιπροσφορών είναι άπειρος. είξτε ότι σε αυτή την περίπτωση οι βέλτιστη προσφορά κάθε παίκτη είναι τέτοια ώστε ο αντίπαλος είναι πάντα αδιάφορος µεταξύ του να δεχτεί την προσφορά και να την απορρίψει. Με βάση τις δύο προηγούµενες εξισώσεις βρείτε το αποτέλεσµα της διαπραγµάτευσης για κάθε παίκτη. ΑΣΚΗΣΗ 28 ύο άσπονδοι φίλοι, ο Ι και ο ΙΙ, έχουν να επιλέξουν µεταξύ του να παρακολουθήσουν ένα αγώνα ποδοσφαίρου και ένα αγώνα µπάσκετ. Αν πάνε σε διαφορετικούς αγώνες τότε και οι δύο θα είναι εξ ίσου ευχαριστηµένοι που δεν συναντήθηκαν και θα έχουν (ας πούµε) µηδενική χρησιµότητα έκαστος. Ο Ι έχει σχετική προτίµηση για το ποδόσφαιρο ενώ ο ΙΙ για το µπάσκετ. Αν συναντηθούν στον αγώνα ποδοσφαίρου ο Ι είναι λιγότερο δυσαρεστηµένος από τον ΙΙ και έχει απώλεια µιας µονάδας χρησιµότητας, ενώ ο ΙΙ χάνει δύο µονάδες χρησιµότητας. Το ακριβώς αντίθετο συµβαίνει αν συναντηθούν στον αγώνα του µπάσκετ. (α) Παραστήσατε το παίγνιο αυτό σε στρατηγική µορφή και σχολιάστε µε ποιο παίγνιο που αναλύσαµε στις διαλέξεις φαίνεται να µοιάζει. (β) Βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash του παιγνίου αυτού ως και τα αποτελέσµατα κάθε ισορροπίας. (γ) Προτείνατε ένα κοινά αποδεκτό µηχανισµό που θα έλυνε τα όποια προβλήµατα συντονισµού που πιθανά να προέκυπταν σε κάθε µια από τις παραπάνω ισορροπίες ΑΣΚΗΣΗ 29 Ένας πωλητής και ένας αγοραστής µε την αγοραπωλησία µπορεί να δηµιουργήσουν ένα πλεόνασµα ίσο µε 1. Η διαπραγµάτευση που κάνουν για να µοιράσουν το πλεόνασµα έχει ως ακολούθως. Ο αγοραστής κάνει µια προσφορά, την οποία αποδέχεται ή απορρίπτει ο πωλητής. Αν την αποδεχτεί, οι δύο παίκτες µοιράζονται το πλεόνασµα σύµφωνα µε την προσφορά του αγοραστή. Αν την απορρίψει, τότε ο πωλητής κάνει µια αντιπροσφορά που ο αγοραστής µπορεί να αποδεχτεί η να απορρίψει. Αν η προσφορά απορριφθεί, η αγοραπωλησία ναυαγεί και έτσι οι παίκτες κερδίζουν µηδέν. ιαφορετικά, το πλεόνασµα διαµοιράζεται σύµφωνα µε την προσφορά του πωλητή. Υποθέσατε ότι οι δύο παίκτες έχουν τον ίδιο συντελεστή προεξόφλησης δ, 0 < δ < 0.5. (α) Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική µορφή (µορφή δένδρου). είξατε ότι η διαπραγµάτευση αυτή έχει άπειρες ισορροπίες κατά Nash. Σχολιάστε γιατί υπάρχουν τόσες πολλές ισορροπίες κατά Nash. (β) Προσδιορίστε την µοναδική τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων της διαπραγµάτευσης αυτής; Ποιο είναι το αποτέλεσµα της ισορροπίας αυτής, πότε επιτυγχάνεται και ποιος από τους δύο παίκτες έχει πλεονέκτηµα και γιατί; ΑΣΚΗΣΗ 30 Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις επιχειρήσεις παράγουν ένα οµοιογενές αγαθό του οποίου η (αντίστροφη) καµπύλη ζήτησης δίνεται από p=100 (q 1 +q 2 +q 3 ), όπου q ι παριστάνει την ποσότητα που παράγει η επιχείρηση ι=1, 2, 3. Κάθε επιχείρηση παράγει µε οριακό κόστος, c=20 (το σταθερό κόστος είναι µηδέν). (α) Αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται εκλέγοντας ταυτόχρονα την ποσότητα τους, προσδιορίσατε την ισορροπία κατά Nash στον κλάδο. Ποια είναι τα κέρδη κάθε επιχείρησης στην ισορροπία αυτή; (β) Έχουν κίνητρο δύο οποιεσδήποτε επιχειρήσεις να συγχωνευθούν και να δρουν ως µια επιχείρηση οπότε φυσικά ο κλάδος θα µετατραπεί σε δυοπώλιο; ικαιολογήσατε την απάντηση σας. (γ) Ποια θα ήταν τα κέρδη κάθε επιχείρησης και η τιµή ισορροπίας στον κλάδο αν οι επιχειρήσεις ανταγωνιζότανε εκλέγοντας ταυτόχρονα τις τιµές τους;
ΑΣΚΗΣΗ 31 1. Η καµπύλη ζήτησης ενός αγαθού είναι, P(Q) = 160 Q. Το τρέχον οριακό κόστος παραγωγής είναι ίσο µε 40. Στην αγορά είναι διαθέσιµη µία νέα τεχνολογία που µειώνει το οριακό κόστος παραγωγής από 40 σε 10. Στην αγορά λειτουργεί µια επιχείρηση µε την τρέχουσα τεχνολογία. Αν η επιχείρηση αυτή αποφασίσει να υιοθετήσει την νέα τεχνολογία θα πρέπει να πληρώσει 2100. Μια άλλη επιχείρηση που διαθέτει ήδη την νέα τεχνολογία σκέφτεται να εισέλθει ή όχι στον κλάδο. Το κόστος εισόδου είναι ίσο µε 3.000. Αν αποφασίσει να εισέλθει στον κλάδο η νέα επιχείρηση, οι δύο επιχειρήσεις θα ανταγωνίζονται επιλέγοντας ταυτόχρονα τις ποσότητες τους (ανταγωνισµός a la Cournot). (α) Βρείτε την ισορροπία Cournot-Nash, ως και τα καθαρά κέρδη των δύο επιχειρήσεων στην ισορροπία αυτή, (ι) στην περίπτωση που η υπάρχουσα επιχείρηση δεν υιοθετήσει την νέα τεχνολογία και (ιι) στην περίπτωση που την υιοθετήσει. Είναι και στις δύο περιπτώσεις κερδοφόρα η είσοδος της νέας επιχείρησης στον κλάδο; (β) Ας υποθέσοµε τώρα ότι πρώτα αποφασίζει η εγκατεστηµένη στον κλάδο επιχείρηση αν θα υιοθετήσει ή όχι την νέα τεχνολογία. Κατόπιν η ενδιαφερόµενη να εισέλθει στον κλάδο επιχείρηση, αφού παρατηρήσει την ενέργεια της αντιπάλου της, αποφασίζει να εισέλθει ή όχι στον κλάδο. Βρείτε την τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Θα υιοθετήσει ή όχι την νέα τεχνολογία η ήδη υπάρχουσα επιχείρηση; Θα εισέλθει ή όχι στον κλάδο η νέα επιχείρηση; Θα διέφερε το αποτέλεσµα αν η υπάρχουσα επιχείρηση δεν αντιµετώπιζε τον κίνδυνο να εισέλθει η νέα επιχείρηση στον κλάδο; ΑΣΚΗΣΗ 32 ύο εταιρείες αποφασίζουν ταυτόχρονα να εισάγουν στην αγορά ένα νέο προϊόν. Κάθε µια σκέφτεται αν θα κάνει διαφήµιση του νέου προϊόντος προσφέροντας δείγµατα δωρεάν στους πελάτες ή όχι, κάτι που θα αύξανε το µερίδιο της αγοράς της αλλά συγχρόνως θα είχε κόστος για την εταιρεία. Και οι δύο προτιµούν να µην προσφέρουν δείγµατα δωρεάν, αλλά κάθε µία φοβάται ότι η άλλη θα τα προσφέρει, και κατά συνέπεια η ίδια θα χάσει πελάτες. Ας υποθέσουµε ότι τα προσδοκώµενα κέρδη των εταιρειών είναι τα ακόλουθα: αν και οι δύο προσφέρουν δείγµατα δωρεάν, κάθε µια κερδίζει 10 εκατ. Ευρώ; αν καµιά δεν τα προσφέρει, κάθε µια κερδίζει 15 εκατ. Ευρώ; αν η µια προσφέρει αλλά η άλλη όχι, η πρώτη κερδίζει 20 εκατ. Ευρώ και η δεύτερη µόνο 7,5 εκατ. Ευρώ. Παραστήσατε το παίγνιο σε στρατηγική µορφή και υπολογίσατε την ισορροπία κατά Nash. Τι παρατηρείτε; ΑΣΚΗΣΗ 33 Στον κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ατελώς υποκατάστατα αγαθά. Οι καµπύλες ζήτησης των προϊόντων τους είναι q 1 =20 2p 1 +p 2 και q 2 =20 2p 2 +p 1. Το οριακό κόστος παραγωγής των επιχειρήσεων είναι ίσο µε 5 και δεν υπάρχει σταθερό κόστος. Η επιχείρηση 1 είναι ηγέτης στην αγορά και θέτει πρώτη την τιµή της. Κατόπιν θέτει την τιµή της η επιχείρηση 2 που είναι ακόλουθος. (α) Βρείτε την τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων του παιγνίου αυτού. Ποιος θέτει υψηλότερη τιµή, ο ηγέτης ή ο ακόλουθος; Ποιος επιτυγχάνει µεγαλύτερα κέρδη; (β) Ποια θα ήταν οι τιµές και τα κέρδη κάθε επιχείρησης αν αποφάσιζαν ταυτόχρονα την τιµή που θα πωλούν το προϊόν τους; ΑΣΚΗΣΗ 34 Σε ένα βιοµηχανικό κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ένα οµογενές αγαθό και ανταγωνίζονται θέτοντας τις τιµές τους κάθε περίοδο. Υποθέσατε ότι η συνάρτηση ζήτησης δίνεται από D(p) = 100 p και ότι το οριακό κόστος παραγωγής κάθε επιχείρησης είναι ίσο µε 20 (και το σταθερό κόστος παραγωγής είναι µηδενικό). (α) Αν ο ανταγωνισµός στην αγορά λαµβάνει χώρα µόνο µια περίοδο, ποιες θα είναι οι τιµές και τα κέρδη των επιχειρήσεων; Σχολιάσατε. Εξηγήσατε γιατί το αποτέλεσµα δεν θα άλλαζε αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονταν στην αγορά για 100 περιόδους. (β) Αν ο κοινός συντελεστής προεξόφλησης των δύο επιχειρήσεων είναι ίσος µε δ = 0.9, εξηγήσατε πως οι δύο επιχειρήσεις θα επιτύχουν να συνεργαστούν και βρείτε τι κέρδη (σε όρους παρούσας αξίας) θα κάνουν στην τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Τι θα συνέβαινε αν δ =.4; Ποιος είναι ο ελάχιστος συντελεστής
προεξόφλησης που επιτρέπει την σιωπηρή συνέργια των δύο ανταγωνιστών; Πως ο συντελεστής αυτός µεταβάλλεται όταν αυξάνεται ο αριθµός των ανταγωνιστών στην αγορά; Σχολιάσατε. ΑΣΚΗΣΗ 35 Σε ένα κλάδο λειτουργούν δύο επιχειρήσεις οι οποίες παράγουν ένα οµογενές αγαθό και ανταγωνίζονται θέτοντας τις τιµές τους κάθε περίοδο t. Η συνάρτηση ζήτησης για το αγαθό του κλάδου είναι D(p) = 10 p. Το οριακό κόστος παραγωγής της επιχείρησης i, i=1,2 είναι ίσο µε c i. Ο κοινός συντελεστής προεξόφλησης των δύο επιχειρήσεων είναι ίσος µε δ = 0.9 (α) Έστω c 1 = c2 = 2 και το πάγιο κόστος παραγωγής κάθε επιχείρησης είναι µηδενικό. Αν ο ανταγωνισµός στην αγορά λαµβάνει χώρα µόνο µια περίοδο, ποιες θα είναι οι τιµές και τα κέρδη ισορροπίας των επιχειρήσεων όταν οι επιχειρήσεις επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιµές τους; Θα άλλαζε το αποτέλεσµα αν η επιλογή τιµών ήταν διαδοχική µε την επιχείρηση 1 να επιλέγει πρώτη και την επιχείρηση 2 δεύτερη; Σχολιάστε τα ευρήµατα σας. (β) Έστω c 1 = 1 < c2 = 2 και το πάγιο κόστος παραγωγής κάθε επιχείρησης είναι µηδενικό. Βρείτε την ισορροπία κατά Nash και τα κέρδη κάθε επιχείρησης αν ο ανταγωνισµός στην αγορά λαµβάνει χώρα µόνο µια περίοδο και οι επιχειρήσεις επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιµές τους. ικαιολογήστε την απάντηση σας. (γ) Απαντήστε στην προηγούµενη ερώτηση αν c 1 = c2 = 2 και το πάγιο κόστος παραγωγής κάθε επιχείρησης είναι ίσο µε F = 1. (Λάβετε υπ όψη σας αν µια επιχείρηση προβλέπει ότι θα κάνει αρνητικά κέρδη θα προτιµήσει να σταµατήσει ολοσχερώς την παραγωγή της, οπότε τα κέρδη της θα είναι µηδενικά!) (δ) Θα ήταν τα κέρδη των επιχειρήσεων µεγαλύτερα αν ο ανταγωνισµός στην αγορά διαρκούσε t = 10 περιόδους, ενώ τα λοιπά δεδοµένα έµεναν όπως στην ερώτηση (α); Θα άλλαζε η ισορροπία αν ο ανταγωνισµός διαρκούσε άπειρες περιόδους; ικαιολογήστε διεξοδικά την απάντηση σας. Ποιος είναι ο ρόλος του συντελεστή προεξόφλησης για την επίτευξη ή µη σιωπηρής συνέργιας; ΑΣΚΗΣΗ 36 Σε ένα κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ένα οµογενές αγαθό. Η συνάρτηση ζήτησης του αγαθού είναι D(p) = 10 p (οπότε η αντίστροφη συνάρτησης ζήτησης είναι P(Q) = 10 Q, όπου Q = q 1 +q 2 ). Το οριακό και το πάγιο κόστος κάθε επιχείρησης είναι µηδενικό. (α) Αν οι επιχειρήσεις αυτές επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιµές τους, πια θα είναι η τιµή ισορροπίας στην αγορά και πόση συνολική ποσότητα του αγαθού θα παραχθεί. (β) Αν η επιχείρηση 1 θέτει πρώτα την τιµή της (ηγέτης) και κατόπιν η επιχείρηση 2 θέτει την τιµή της (ακόλουθος), οι επιχειρήσεις θα κάνουν υψηλότερα κέρδη σε σχέση µε αυτά της ερώτησης (α); ικαιολογήστε αναλυτικά την απάντηση σας. (γ) Πια θα ήταν τα κέρδη των επιχειρήσεων αν ανταγωνίζονταν σε ποσότητες; Πια θα ήταν η συνολική παραγόµενη ποσότητα και πια θα ήταν η τιµή αγοράς του αγαθού; Εξηγήστε αν και γιατί διαφέρει η απάντηση σας σε σχέση µε το ερώτηµα (α). (δ) Αν ο κοινός συντελεστής προεξόφλησης των δύο επιχειρήσεων είναι ίσος µε δ = 0.9, εξηγήσατε πως οι δύο επιχειρήσεις θα επιτύχουν να συνεργαστούν και βρείτε τι κέρδη θα κάνει κάθε µια στην τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Συγκρίνετε µε τα παραπάνω. ΑΣΚΗΣΗ 37 Ας εξετάσουµε το ακόλουθο παίγνιο µεταξύ δύο παιχτών αθροίσµατος µηδέν (δηλ. το άθροισµα των κερδών των δύο παιχτών είναι µηδέν; όσο κερδίζει ο ένας χάνει ο άλλος) που έχει τρία στάδια: -στο πρώτο στάδιο, ο παίχτης Α εκλέγει a {-1, 2}. -στο δεύτερο στάδιο, η Τύχη εκλέγει b {1, -1}, µε αντίστοιχες πιθανότητες 1/3 και 2/3. -στο τρίτο στάδιο, ο παίχτης Β εκλέγει c {-1, 1} χωρίς να γνωρίζει την εκλογή της Τύχης, αλλά γνωρίζοντας την απόφαση του συµπαίχτη του. Τα κέρδη του παίχτη Α δίνονται από u(a,b)= (ac) b. Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική και σε στρατηγική µορφή. Βρείτε τις ισορροπίες κατά Nash στην στρατηγική µορφή του παιγνίου.
ΑΣΚΗΣΗ 38 Υποθέσατε ότι δύο κατασκευαστικές εταιρίες, UNOSA και DOSSA, λαµβάνουν µέρος σε µια δηµοπρασία για την απόκτηση ενός ηλιακού συστήµατος. Για απλοποίηση ας υποθέσουµε ότι και οι δύο σχεδιάζουν τρεις δυνατές προσφορές, που θα τις καλέσουµε, υψηλή, µέση και χαµηλή. Το σύστηµα δίνεται στην εταιρία που θα κάνει την υψηλότερη προσφορά, και σε περίπτωση ισοπαλίας, θα δοθεί για ιστορικούς λόγους στην UNOSA. Τα προσδοκώµενα κέρδη της εταιρίας που έχει το ηλιακό σύστηµα εξαρτώνται προφανώς από την προσφορά που έκανε και είναι ίσα µε 10 αν η προσφορά είναι υψηλή, 30 αν είναι µέση και 40 αν είναι χαµηλή. Αν δεν κερδίσει την δηµοπρασία, τα κέρδη της εταιρίας είναι µηδέν. Υποθέσατε ότι κάθε εταιρία κάνει την προσφορά της µυστικά και τη στέλνει µέσα σε ένα σφραγισµένο φάκελο. (α) Προσδιορίσατε τη στρατηγική µορφή του παιγνίου. (β) Βρείτε την ισορροπία του παιγνίου απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές, δείχνοντας την ακριβή σειρά µε την οποία κάνετε την απαλοιφή. (γ) είξατε αν οι στρατηγικές που προσδιορίσατε στο (β) µια κατά Nash ισορροπία. (δ) Υπάρχει κάποιος άλλος συνδυασµός στρατηγικών που να οδηγεί σε καλύτερα αποτελέσµατα για τον νικητή της διαπραγµάτευσης; Είναι ισορροπία κατά Nash; (ε) είξατε αν η ισορροπία αυτή είναι αποτελεσµατική κατά Pareto ή όχι. Αν όχι, δείξατε ποιος συνδυασµός στρατηγικών θα οδηγούσε σε µια αποτελεσµατική κατανοµή των πόρων. (στ) Υποθέσατε τώρα ότι η εταιρία DOSSA έχει την δυνατότητα να µάθει αν η προσφορά που έκανε η αντίπαλός της είναι χαµηλή ή όχι, άλλα δεν µπορεί να έχει πληροφόρηση που να µπορεί να διακρίνει µεταξύ µέσης και υψηλής προσφοράς. Σχεδιάσατε την αναλυτική µορφή του παιγνίου. (ζ) Προσδιορίσατε πόσες στρατηγικές έχει τώρα κάθε µία από τις εταιρίες, εξηγώντας µε λεπτοµέρειες όλα τα απαιτούµενα βήµατα. (θ) Προσδιορίσατε αν οι συνδυασµοί στρατηγικών (Υψηλή, Υψηλή, Χαµηλή) και (Μέση, Μέση, Χαµηλή) αποτελούν µια επιχειρηµατική συµπεριφορά που δεν είναι πιστευτή. Είναι κανένας από τους δύο συνδυασµούς τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων; ΑΣΚΗΣΗ 39 (α) Βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash του ακόλουθου παιγνίου αφού πρώτα απαλείψετε διαδοχικά όλες τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές κάθε παίκτη. Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 (β) Προσδιορίσατε τουλάχιστον δύο συνδυασµούς στρατηγικών που οδηγούν σε µεγαλύτερα κέρδη από τα κέρδη που επιτυγχάνουν οι παίκτες στις παραπάνω ισορροπίες. Εξηγήσατε εν συντοµία πώς οι δύο παίκτες θα µπορούσαν να συντονιστούν και έτσι να πετύχουν τα µεγαλύτερα αυτά κέρδη αν το παίγνιο επαναλαµβανότανε άπειρες φορές.