. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = εφ = i σφ = iv) σφ =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = i εφ = iv) σφ = 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) = 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ = σφ = 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ = ημ ii. = συν iii. εφ = εφ 5 7 iv. σφ = σφ 95
7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ ημ = + ii. = συν iii. εφ εφ + = iv. σφ σφ = 6 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = ημ 5 5 ημ + ημ = 7 i ημ = ημ 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν 5= συν = i =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ = εφ 6 εφ εφ = 5 i εφ = εφ.να λυθούν οι εξισώσεις: i) σφ = σφ 7 4 ( ) ( ) σφ σφ = i σφ + 9 = σφ. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = σφ = 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημ = β) = γ) εφ = 6 δ) σφ = 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ = ii. 4 = iii. 4 εφ = iv. σφ = 96
6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ = ημ ii. = συν iii. εφ + εφ = iv. σφ + σφ = 7 9 8 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = ημ iv) σφ = v) + = i = 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν + = εφ 8 + = iv) i ( ) ημ 5 + = σφ = 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = συν + = i 5 εφ = 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ + = συν = i εφ 5 =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ+ συν = εφ σφ + =. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημ συν = β) συν + + ημ + = 6 γ) εφ σφ = + δ) ημ + + συν + =. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημ = β) + = γ) ημ = συν + δ) εφ + = σφ + 97
4. Να λυθούν οι εξισώσεις: 5 i) ημ = συν ημ + = συν 7 ημ i συν + ημ = iv) 5 5 = 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = ημ ημ + ημ = 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = 9 ημ+ συν = i ημ + + συν = 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ = συν ii. = ημ iii. εφ σφ = iv. σφ εφ = 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: 4ημ συν + ) α) ( )( = β) ( )( ) 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( ημ)( ημ ). Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( εφ) εφ εφ σφ = = ( ημ )( ) + = + ( ) = ( )( ). Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ ii. iii. ( ) = ( ) ( ημ + ) = iv. ( ) συν ημ = ημ συν + = + εφ σφ =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. 8 + = ii. 9εφ 4 = 98
. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ημ)( ) + + = ( )( ) ( )( ) i ημ + συν = iv) ( ) εφ + συν = + = ημ 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ συν = σφ ημ = i εφ σφ = iv) ημ εφ = 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ημ) 4( ημ)( ημ) ( ) ( )( ) = + + + συν = 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ σφ = συν συν = i 4 ημ 4 = 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ ω + ημω = συν + συν = i εφ t = + εφt 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ + 5συν = 4 εφ σφ = 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ + εφ= i συν 5συν + = 5 ημ + ημ= iv) σφ = σφ 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ + ημ= ii. iii. εφ + εφ= iv. συν = σφ σφ = 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. = + ii. εφ = εφ 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. 7ημ + = ii. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. συν ημ ii. iii. = ημ + + = ( ) 4 + = ημ + iv. + = συν ημ = ημ συν ημ 99
44. Να λύσετε την εξίσωση: 4 4+ 5ημ 4=. 45. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημ + = 4ημ β) + = 4συν 46. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = 5 + ημ 5 8 συν + = i ( εφ ) 47. Να λύσετε στο διάστημα [, ] τις εξισώσεις: α) 4ημ = β) εφ = 48. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης: + = + εφ. εφ = στο διάστημα (,4 ) 49. Να λύσετε την εξίσωση: εφ σφ = + στο διάστημα [, ). 5. Να ληφθούν στο, οι εξισώσεις: i) εφ = σφ5 σφ = εφ i 5 εφ 5 σφ + 5 8 = iv) = σφ εφ 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) σφ = σφ4 στο, i σφ + + σφ5 = στο, 7 σφ5+ σφ + = 9 στο, 5. Να λύσετε την εξίσωση: + εφ = ημ. + σφ 5. Να βρείτε για οιες ελάχιστες τιμές του, καθεμιά αό τις εόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για οιες την ελάχιστη τιμή της: i) f( ) = ημ, < ( ) 7 g= συν, <
54. Οι μηνιαίες ωλήσεις ενός εοχιακού ροϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια) δίνονται κατά t ροσέγγιση αό τον τύο S = 75 + 5 ημ, όου t ο χρόνος σε μήνες και με t = να 6 αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. i) Να βρείτε οιους μήνες οι ωλήσεις φτάνουν τις κομμάτια. Να βρείτε οιο μήνα έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό ωλήσεων και όσες είναι αυτές. 55. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ ημ+ = ημ+ εφ εφ = 4 56. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ σφ = εφ = σφ 57. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ = ημ = σφ 58. Να λυθεί η εξίσωση: εφ + =. 59. Να λυθεί η εξίσωση: + εφ = + ημ συν. εφ 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ συν+ ημ = + συν ii. ημ εφ = ημ εφ iii. ( ημ) + ημ = iv. 5 ημ + ημ = 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ( + εφ ) εφ = ii. εφ = 4συν iii. = εφ iv. = εφ συν
6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. σφ = συν ii. εφ = ημ iii. εφ + = iv. ημ = σφ ημ 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 i) συν ημ + = ( )( ) ημ ημ ημ + ημ + = 64. Να λύσετε τις εξισώσεις: ημ 4 ημ + α) + = ημ + + ημ ημ γ) εφ+ = β) ημ 5 ημ 5 + = 4 ημ + ημ ημ 4 65. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) + = ημ β) + ημ = συν 66. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημ ( ) = β) ( ημ ) = συν 5 67. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) εφ+ σφ = β) ημ εφ+ συν = 68. Δίνεται η εξίσωση: ημ + λ = λ +, 4 λ. Αν μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός = τότε: α) Να βρείτε την τιμή του λ. β) Να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. 69. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( + ) = ημ β) εφ + = + ημ 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ ( + ) = + εφ ( ) = i συν ( ) 6 + + = στο (6 ο, 6 ο )
7. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) = ημ συν ( εφ+ σφ ) ημ α) Να βρείτε το εδίο ορισμού Α της συνάρτησης f ( ). β) Να αοδείξετε ότι η f είναι σταθερή. γ) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) = ημ. 7. Δίνεται η εξίσωση: + σφ + εφ+ = 4συν ημ α) Να αοδείξετε ότι: + σφ + εφ+ = ημ β) Να λύσετε τη δοσμένη εξίσωση. 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = στο (, ) σφ = στο, i εφ+ εφ = στο, 4 4 74. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ ημ ημ 7 ημ + + 6 + + 6 = + + + 6 6 ημ 5 ημ εφ εφ 4 εφ 5 + = i = + 4 4 75. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των εξισώσεων: i) ημ = και = ημ = και = 76. Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει ώστε: 4 i) ημ = + 5 R α = α +, α * 77. Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = α ημ + β με, a και β. Η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό το σημείο Α (, ) και η μέγιστη τιμή της f είναι το. α) Να αοδείξετε ότι α = και β =. β) Να κατασκευάσετε ίνακα τιμών για τη συνάρτηση f και να κάνετε τη γραφική της αράσταση στο διάστημα Δ = [, ]. γ) Να βρείτε τα σημεία, στα οοία η γραφική αράσταση τέμνει τον άξονα, όταν,. [ ]
78. Να λυθεί η εξίσωση: + ημ = ημ στο [, ]. 79. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ+ ημ = ημ = i ημ + = iv) ημ + = 8. Να λυθεί η εξίσωση: ημ+ =. 4 4 8. Να λυθεί η εξίσωση: ( ) συν συν =. 8. Να λύσετε την εξίσωση: ημ ( ) = 8. Να λύσετε την εξίσωση: ημ,. + = στο διάστημα [ ) 84. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) > i iv) < v) vi) < v vi 85. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) συν ημ ημ ημ ημ 6 4 4 5 i 4 86. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ημ > < i συν + iv) εφ v) εφ + 4 87. Να λύσετε την εξίσωση: ημ + συν + = όταν (, ). 4
88. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημ + = β) 4 4 ημ + = 6 6 6 7 89. Αν 999 999 ημ + = (), να δειχθεί ότι: ημ + συν =. 9. Να λυθεί η εξίσωση 9 6 + ημ = 9. Εάν οι εξισώσεις ημ + = και ημ + = α έχουν κοινή λύση: i. να βρεθεί το α, ii. αν α ο είναι η μεγαλύτερη τιμή ου θα βρείτε για το α, να λυθεί η εξίσωση εφ + = αο. 9. Να λυθεί η εξίσωση = +. 9. Να λύσετε την εξίσωση ημ συν = Ποιες είναι οι ρίζες της εξίσωσης στο διάστημα [, ]; 94. Αν ημ ( α β ) =, να αοδείξετε ότι: συν ( α β ) = συνβ. 5