ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε: έρνπκε: είλαη: Από ην Από ην Οη ηηκέο ησλ θαη. Άξα πνπ ζεκαίλεη όηη ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ είλαη ην 4. 2. Να απνδείμεηε όηη, γηα νπνηαδήπνηε ηηκή ηνπ αθεξαίνπ αξηζκνύ δελ είλαη πξώηνο., ν αξηζκόο Εάλ ν αξηζκόο είλαη άξηηνο, ηόηε δελ είλαη πξώηνο. Εάλ ν αξηζκόο είλαη πεξηηηόο έρνπκε: είλαη επίζεο άξηηνο κεγαιύηεξνο ηνπ 2, άξα [ λ ] [ λ ] Εύθνια βιέπνπκε όηη ν πξώηνο παξάγνληαο ηνπ γηλνκέλνπ είλαη κεγαιύηεξνο από ην 1 όηαλ. Γηα ηνλ δεύηεξν παξάγνληα ζα έρνπκε: Άξα θαη πάιη ν αξηζκόο δελ είλαη πξώηνο.
3. Να ιύζεηε ην ζύζηεκα, όπνπ πξαγκαηηθνί αξηζκνί. { Από ηελ πξώηε εμίζσζε Αληηθαζηζηώληαο ζηελ ηξίηε έρνπκε θαη από ηε δεύηεξε Απ όπνπ ή. Εύθνια βξίζθνπκε όηη νη ιύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη :. / θαη. /.
4. Σηηο θάζεηεο πιεπξέο ΑΓ θαη ΑΒ νξζνγσλίνπ θαη κε ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζεκεία Γ θαη Δ αληίζηνηρα, ώζηε. Σπκβνιίδνπκε Μ ην κέζνλ ηνπ ΔΓ, Ν ην κέζνλ ηνπ ΒΓ θαη Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ κεζνθαζέησλ ησλ ΔΓ, ΒΓ. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α, Μ, Ν, Ο είλαη θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ. Επεηδή, αξθεί λα απνδείμνπκε όηη Σην ηξίγσλν έρνπκε: Όκσο από ηελ ππόζεζε ζα πάξνπκε όηη: Από ην ηζνζθειέο ηξίγσλν έρνπκε, επνκέλσο, άξα θαη ηειηθά Επίζεο, άξα Άξα ηα ζεκεία Α, Μ, Ν, Ο είλαη θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1. Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη ε ζρέζε, λα βξείηε ηε γσλία Α ηνπ ηξηγώλνπ. Επεηδή ζε ηξίγσλν είλαη, ε δεδνκέλε ζρέζε γίλεηαη. Όκσο θαη άξα. 2. Έζησ αθνινπζία πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ κε θαη όπνπ. Να βξείηε ηνλ όξν ηεο αθνινπζίαο. Γηα θάζε είλαη, Δειαδή: ή * +. Από ηελ ηειεπηαία δηαδνρηθά γηα Πνιιαπιαζηάδνπκε θαηά κέιε:.
3. Αλ είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη δηαθνξεηηθνί ηνπ κεδελόο πξώηνη κεηαμύ ηνπο θαη ηζρύεη λα απνδείμεηε όηη είλαη ηεηξάγσλνο αξηζκόο. Επεηδή είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη, ηζρύεη θαη. Άξα ππάξρνπλ ζεηηθνί αξηζκνί ηέηνηνη ώζηε θαη. Έηζη έρνπκε: Οη αξηζκνί θαη δελ κπνξνύλ λα είλαη θνηλνί παξάγνληεο. Εάλ ππάξρεη πνπ δηαηξεί ηνλ ζα δηαηξεί επίζεο θαη ηνπο, ην νπνίν δελ είλαη δπλαηόλ εθόζνλ δίλεηαη όηη α, β θαη γ δελ έρνπλ θνηλό παξάγνληα. Άξα νη αξηζκνί κ θαη λ είλαη ηεηξάγσλνη αξηζκνί, δειαδή θαη. Άξα.
4. Οη εθαπηόκελεο ζηα άθξα Α,Β αληίζηνηρα ρνξδήο ΑΒ θύθινπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Ρ. Σε ζεκείν Ν ηεο ρνξδήο ΑΒ θέξνπκε επζεία θάζεηε ζην ΟΝ, πνπ ηέκλεη ηηο εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία Ε, Θ αληίζηνηρα. Να απνδείμεηε όηη: α Ο πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΕΡΘ πεξλά από ην Ο β Αλ ε επζεία πνπ πεξλά από ην κέζνλ Κ ηνπ ΟΕ θαη ην κέζνλ Δ ηνπ ΡΘ, ηέκλεη ηελ ΕΡ ζην Τ θαη ηελ ΟΘ ζην Σ, ηόηε ηζρύεη. α Επεηδή ην ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν θαη άξα ζα έρνπκε: ή Από ηα εγγξάςηκα ηεηξάπιεπξα Από ηηο έρνπκε, δειαδή ην ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν. β Φέξνπκε. Από ηα όκνηα ηξίγσλα θαη από ηα όκνηα ηξίγσλα Όκσο από ηα ίζα ηξίγσλα, Άξα από ηηο πξνεγνύκελεο ηζόηεηεο ζα έρνπκε: Όκσο έρνπκε: Επνκέλσο ε γξάθεηαη: θαη Επεηδή όκσο ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο θαη, ε ηειεπηαία ζρέζε γξάθεηαη Από ηα όκνηα ηξίγσλα Άξα ηειηθά ζα πάξνπκε
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1. Αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί θαη, λα απνδείμεηε όηη ε ειάρηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο κε είλαη. Προτεινόμενη λύση 1 η : θαη, άξα ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ειάρηζην ζηε ζέζε 1 θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο είλαη. / Από ηελ αληζόηεηα αξηζκεηηθνύ-αξκνληθνύ κέζνπ έρνπκε θαη ε ηειεπηαία ζρέζε γίλεηαη Άξα, πνπ ζεκαίλεη όηη ε ειάρηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο είλαη. Προτεινόμενη λύση 2 η : θαη παξνπζηάδεη ειάρηζην ζηε ζέζε 1 θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο είλαη, άξα ε ζπλάξηεζε
.... /. /. /. /. /. /. /. /. /.... /. /. /, -, αθνύ γηα νπνηνπζδήπνηε ζεηηθνύο αξηζκνύο ηζρύεη,. Άξα, πνπ ζεκαίλεη όηη ε ειάρηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο είλαη.
2. Να πξνζδηνξίζεηε ην πνιπώλπκν κε αθέξαηνπο ζπληειεζηέο κε ηνλ ειάρηζην βαζκό, πνπ έρεη ξίδα ηνλ αξηζκό. Σηε ζπλέρεηα λα βξείηε όιεο ηηο ξίδεο ηνπ πνιπσλύκνπ. Έζησ. Άξα ην πνιπώλπκν είλαη ην ειάρηζην πνιπώλπκν 4 νπ βαζκνύ πνπ έρεη σο ξίδα ην Αλ γξάςνπκε ην =. /. /. /. / Οι ρίζες είναι: 3. Αλ είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη δηαθνξεηηθνί ηνπ κεδελόο πξώηνη κεηαμύ ηνπο θαη ηζρύεη λα απνδείμεηε όηη είλαη ηεηξάγσλνο αξηζκόο. Επεηδή είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη, ηζρύεη θαη. Άξα ππάξρνπλ ζεηηθνί αξηζκνί ηέηνηνη ώζηε θαη. Έηζη έρνπκε: Οη αξηζκνί θαη δελ κπνξνύλ λα είλαη θνηλνί παξάγνληεο. Εάλ ππάξρεη πνπ δηαηξεί ηνλ ζα δηαηξεί επίζεο θαη ηνπο, ην νπνίν δελ είλαη δπλαηόλ εθόζνλ δίλεηαη όηη α, β θαη γ δελ έρνπλ θνηλό παξάγνληα. Άξα νη αξηζκνί κ θαη λ είλαη ηεηξάγσλνη αξηζκνί, δειαδή θαη. Άξα.
4. Οη εθαπηόκελεο ζηα άθξα Α,Β αληίζηνηρα ρνξδήο ΑΒ θύθινπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Ρ.. Σε ζεκείν Ν ηεο ρνξδήο ΑΒ θέξνπκε επζεία θάζεηε ζην ΟΝ, πνπ ηέκλεη ηηο εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία Ε, Θ αληίζηνηρα. Να απνδείμεηε όηη: α Ο πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΕΡΘ πεξλά από ην Ο β Αλ ε επζεία πνπ πεξλά από ην κέζνλ Κ ηνπ ΟΕ θαη ην κέζνλ Δ ηνπ ΡΘ, ηέκλεη ηελ ΕΡ ζην Τ θαη ηελ ΟΘ ζην Σ, ηόηε ηζρύεη. α Επεηδή ην ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν θαη άξα ζα έρνπκε: ή Από ηα εγγξάςηκα ηεηξάπιεπξα Από ηηο ηεηξάπιεπξν β Φέξνπκε ηξίγσλα έρνπκε, δειαδή ην είλαη εγγξάςηκν.. Από ηα όκνηα θαη από ηα όκνηα ηξίγσλα Όκσο από ηα ίζα ηξίγσλα, Άξα από ηηο πξνεγνύκελεο ηζόηεηεο ζα έρνπκε: Όκσο έρνπκε: Επνκέλσο ε γξάθεηαη: θαη Επεηδή όκσο ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο θαη, ε ηειεπηαία ζρέζε γξάθεηαη Από ηα όκνηα ηξίγσλα Άξα ηειηθά ζα πάξνπκε