Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης «Απόκτηση Ακαδημαϊκής Διδακτικής Εμπειρίας σε Νέους Επιστήμονες Κατόχους Διδακτορικού» του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Ανάπτυξη Ανθρώπινου Δυναμικού, Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» που συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Page 2
Το μοντέλο του Γραμμικού Προγραμματισμού Για να διαμορφώσετε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού συνιστάται όπως ακολουθήσετε τα παρακάτω βήματα. Βήμα 1 ο Διαβάζετε προσεκτικά την εκφώνηση του προβλήματος και κατανοείται τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος σε τέτοιο βαθμό ώστε να είστε σε θέση να διατυπώσετε το πρόβλημα με δικά σας λόγια χωρίς να χάσετε καμία απ όλες του τις λεπτομέρειες. Page 3
Το μοντέλο του Γραμμικού Προγραμματισμού Βήμα 2 ο Ορίζετε με σαφήνεια τις μεταβλητές αποφάσεων. Με τον όρο μεταβλητές αποφάσεων εννοούμε τις μεταβλητές που έχουν άμεση σχέση με την λύση του προβλήματος. Συνήθως είναι οι μεταβλητές εκείνες των οποίων η τιμή δίνεται από τη λύση του προβλήματος. Page 4
Το μοντέλο του Γραμμικού Προγραμματισμού Βήμα 3 ο Ορίζουμε την αντικειμενική συνάρτηση. Η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών αποφάσεων που ορίσατε στο Βήμα 2 ο παραπάνω και εκφράζει τον στόχο του προβλήματος. Ο στόχος του προβλήματος συνήθως είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους ή ελαχιστοποίηση του κόστους χωρίς κατ ανάγκη να περιορίζεται μόνο σ αυτούς τους στόχους. Page 5
Το μοντέλο του Γραμμικού Προγραμματισμού Βήμα 4 ο Ορίζουμε τους περιορισμούς σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος. Οι περιορισμοί συνήθως είναι γραμμικές συναρτήσεις ανισοτήτων ή ισοτήτων των μεταβλητών αποφάσεων. Απλά μεταφράζουν την εκφώνηση του προβλήματος σε απλές μαθηματικές σχέσεις. Page 6
Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (1) Μία δασκάλα θέλει να αγοράσει για το μάθημα της ζωγραφικής τουλάχιστον 12 μαρκαδόρους. Οι μαύροι μαρκαδόροι κοστίζουν 1 και οι έγχρωμοι 2 ο ένας. Αλλά η δασκάλα δεν διαθέτει πάνω από 16. Πόσους μαρκαδόρους από κάθε είδος μπορεί να αγοράσει; Page 7
Μοντελοποίηση 1. Μεταβλητές Οι μεταβλητές θα είναι οι ζητούμενες ποσότητες: α) ο αριθμός των μαύρων μαρκαδόρων που θα αγοραστούν, Χ. β) ο αριθμός των έγχρωμων μαρκαδόρων που θα αγοραστούν, Υ. Page 8
Μοντελοποίηση 2. Παράμετροι Οι παράμετροι του προβλήματος είναι οι: α) 1 η τιμή κάθε μαρκαδόρου Χ (μαύρου). β) 2 η τιμή κάθε μαρκαδόρου Υ (έγχρωμου). γ) 16 τα χρήματα που διαθέτει η δασκάλα. δ) το να αγοραστούν12 μαρκαδόροι τουλάχιστον. Page 9
Μοντελοποίηση 3. Περιορισμοί α) Τουλάχιστον 12 μαρκαδόροι σημαίνει ότι το σύνολο μαύρων (Χ) και έγχρωμων (Υ) μαρκαδόρων θα είναι 12 ή μεγαλύτερο. Σε μαθηματική διατύπωση γράφεται: Χ + Υ 12. β) Όχι πάνω από 16 σημαίνει ότι το συνολικό κόστος μαύρων (X 1 ) και έγχρωμων (Υ 2 ) μαρκαδόρων θα είναι 16 ή μικρότερο. Σε μαθηματική διατύπωση γράφεται: Χ + 2Υ 16. γ) Οι ποσότητες των μαρκαδόρων είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί, δηλαδή είναι: Χ 0, και, Υ 0. Page 10
Μοντελοποίηση 4. Αντικειμενικός στόχος (ΑΣ) Στο πρόβλημα δεν έχει δοθεί κάποιος αντικειμενικός στόχος ώστε να βρεθεί η βέλτιστη λύση που θα τον ικανοποιεί. Το πρόβλημα ζητά τους εφικτούς συνδυασμούς μαρκαδόρων που μπορούν να αγοραστούν. Έχοντας βέβαια το σύνολο των δυνατών λύσεων, μπορούμε μετά να διαλέξουμε εκείνη που μας εξυπηρετεί καλύτερα (π.χ. να είναι όσο πιο πολλοί οι έγχρωμοι μαρκαδόροι, ή, να είναι όσο πιο πολλοί συνολικά οι μαρκαδόροι, κλπ.). Page 11
Μοντέλο Υπό τους περιορισμούς (ΥΤΠ): Χ + Υ 12 Χ + 2Υ 16 Χ 0, και, Υ 0. ΑΣ: Να Βρεθούν Όλες οι Εφικτές Λύσεις. Page 12
Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (2) Ένας έμπορος πρόκειται να φέρει από το εξωτερικό ποδήλατα και πατίνια. Τα προϊόντα έρχονται λυμένα και ο έμπορος θα τα συναρμολογήσει και θα τα μεταπωλήσει. Συνολικά μπορεί να αποθηκεύσει μέχρι 50 συσκευές. Κάθε ποδήλατο κοστίζει 40 και κάθε πατίνι 20. Page 13
Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (2) Ο έμπορος μπορεί να διαθέσει μέχρι 1400 για την αγορά τους. Υπολογίζει να κερδίσει 60 από κάθε ποδήλατο και 40 από κάθε πατίνι. Με αυτές τις συνθήκες πόσα ποδήλατα και πατίνια πρέπει να αγοράσει για να κερδίσει περισσότερα; Page 14
Μοντελοποίηση 1. Μεταβλητές Οι μεταβλητές θα είναι πάλι οι ζητούμενες ποσότητες: α) ο αριθμός των ποδηλάτων που θα αγοραστούν, έστω Χ. β) ο αριθμός των πατινιών που θα αγοραστούν, έστω Υ. Page 15
Μοντελοποίηση 2. Παράμετροι Οι παράμετροι του προβλήματος είναι οι: α) 40 η τιμή και 60 το κέρδος κάθε συσκευής Χ (ποδήλατο). β) 20 η τιμή και 40 το κέρδος κάθε συσκευής Υ (πατίνι). γ) 1400 τα χρήματα που διαθέτει ο έμπορος. δ) ότι η αποθήκη χωρά 50 προϊόντα. Page 16
Μοντελοποίηση 3. Περιορισμοί α) Μέχρι 50 προϊόντα σημαίνει ότι το σύνολο ποδηλάτων (Χ) και πατινιών (Υ) θα είναι 50 ή μικρότερο. Σε μαθηματική διατύπωση γράφεται: Χ + Υ 50. β) Όχι πάνω από 1400 σημαίνει ότι το συνολικό κόστος ποδηλάτων (X 40 ) και τρυπανιών (Υ 20 ) θα είναι 1400 ή μικρότερο. Σε μαθηματική διατύπωση γράφεται: 40Χ + 20Υ 1400, ή, 2Χ + Υ 70. γ) Οι ποσότητες των προϊόντων είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί, Δηλαδή είναι: Χ 0, και, Υ 0. Page 17
Μοντελοποίηση 4. Αντικειμενικός στόχος Για να κερδίσει περισσότερα σημαίνει ότι το συνολικό κέρδος από τη πώληση των ποδηλάτων (X 60 ) και των πατινιών (Υ 40 ) θα πρέπει να γίνει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο. Σε μαθηματική διατύπωση γράφεται σαν: max (60Χ + 40Υ). Η βέλτιστη λύση θα είναι η εφικτή λύση θα που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση. Page 18
Μοντέλο Υπό τους περιορισμούς (ΥΤΠ): Χ + Υ 50 2Χ + Υ 70 Χ 0, και, Υ 0. ΑΣ: Να Μεγιστοποιηθεί το Συνολικό Κέρδος Κέρδος 60Χ + 40Υ Page 19
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Η επιπλοποιεία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει πολυτελή τραπέζια και καρέκλες, με παρόμοια διαδικασία. Για την παραγωγή κάθε τραπεζιού απαιτούνται 8 ώρες στο ξυλουργείο και 4 ώρες στο βαφείο, ενώ για κάθε καρέκλα 8 ώρες και 2 ώρες αντίστοιχα. Για τον επόμενο μήνα η ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ έχει προσδιορίσει ότι οι διαθέσιμες ώρες παραγωγής στο ξυλουργείο ανέρχονται συνολικά σε 960 ενώ στο βαφείο είναι μόλις 400. Page 20
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Για κάθε τραπέζι το μικτό κέρδος της επιχείρησης είναι 14.000, ενώ για κάθε καρέκλα είναι 10.000. Το πρόβλημα της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ είναι ο καθορισμός των ποσοτήτων παραγωγής σε τραπέζια και καρέκλες ώστε να πετύχει το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος. Page 21
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Βήματα για την διατύπωση του παραπάνω προβλήματος ως πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού. Μεταβλητές Οι μεταβλητές του προβλήματος αφορούν τους παράγοντες εκείνους τους οποίους μπορούμε να καθορίσουμε ή τις ποσότητες που προσπαθούμε να προσδιορίσουμε στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Page 22
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Μεταβλητές Στην προκειμένη περίπτωση στόχος μας είναι να προσδιορίσουμε τις ποσότητες πολυτελών τραπεζιών και καρεκλών που πρέπει να παραχθούν, ώστε να επιτύχουμε μεγιστοποίηση των κερδών. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό: I. Χ 1 = ποσότητα (αριθμός) τραπεζιών που θα παραχθούν, και II. Χ 2 = ποσότητα (αριθμός) καρεκλών που θα παραχθούν. Page 23
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Τοποθέτηση των δεδομένων του προβλήματος στον πίνακα που ακολουθεί: Τμήμα παραγωγής Απαιτούμενες ώρες για την παραγωγή 1 μονάδας Χ 1 (τραπέζια) Χ 2 (καρέκλες) Διαθέσιμες ώρες το μήνα Ξυλουργείο 8 ώρες 8 ώρες 960 ώρες Βαφείο 4 ώρες 2 ώρες 400 ώρες Κέρδος ανά μονάδα προϊόντος 14.000 10.000 Page 24
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Αντικειμενική συνάρτηση: Σκοπός είναι η μεγιστοποίηση των κερδών της επιχείρησης. Το κέρδος από την παραγωγή Χ 1 τραπεζιών είναι 14.000 Χ 1 Το κέρδος από τα Χ 2 κομμάτια καρεκλών είναι 10.000 Χ 2 Συνολικό κέρδος : 14.000 Χ 1 + 10.000 Χ 2 Page 25
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Για κάθε συνδυασμό ορισμένης ποσότητας τραπεζιών (Χ 1 ) και καρεκλών (Χ 2 ) η τιμή συνάρτησης 14.000Χ 1 + 10.000Χ 2 αντιστοιχεί στο κέρδος που προκύπτει από το δεδομένο συνδυασμό παραγωγής. Η συνάρτηση αυτή που εκφράζει το συνολικό κέρδος της επιχείρησης και την οποία θα προσπαθήσουμε να μεγιστοποιήσουμε καλείται αντικειμενική συνάρτηση. Page 26
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Περιορισμοί: Αύξηση των ποσοτήτων παραγωγής (των Χ 1 και Χ 2 ) οδηγεί και στην αύξηση των κερδών. Οι ποσότητες παραγωγής δεν μπορεί να αυξηθούν απεριόριστα, διότι οι διαθέσιμες ώρες στα τμήματα ξυλουργείου και βαφείου είναι συγκεκριμένες. Το επόμενο βήμα είναι η διατύπωση των περιορισμών του προβλήματος. Page 27
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Η γενική διατύπωση των περιορισμών στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι ότι οι απαιτούμενες για την παραγωγή ώρες σε κάθε τμήμα δεν πρέπει να ξεπερνούν τις διαθέσιμες ώρες. Το ξυλουργικό τμήμα: Κάθε τραπέζι (Χ 1 ) απαιτεί 8 ώρες στο ξυλουργείο. Άρα τα Χ 1 τραπέζια απαιτούν συνολικά 8 Χ 1 ώρες. Κάθε καρέκλα (Χ 2 ) απαιτεί επίσης 8 ώρες στο ξυλουργείο. Άρα οι Χ 2 καρέκλες απαιτούν συνολικά 8 Χ 2 ώρες. Page 28
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Περιορισμοί: Συνοψίζοντας λοιπόν έχουμε: Απαιτούμενες ώρες στο ξυλουργείο: 8Χ 1 + 8Χ 2 Διαθέσιμες ώρες στο ξυλουργείο: 960 Άρα ο περιορισμός που αφορά τις ώρες στο ξυλουργείο θα έχει τη μορφή: Περιορισμός Ξυλουργείου: 8Χ 1 + 8Χ 2 960 (απαιτούμενες ώρες διαθέσιμες) Ο περιορισμός που αφορά τις διαθέσιμες ώρες στο βαφείο θα είναι: Περιορισμός Βαφείου: 4Χ 1 + 2Χ 2 400 (απαιτούμενες ώρες διαθέσιμες) Page 29
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Περιορισμοί: Και οι δύο περιορισμοί του προβλήματος αφορούν το διαθέσιμο δυναμικό παραγωγής και οπωσδήποτε επηρεάζουν το ύψος στο οποίο μπορεί να φτάσει το συνολικό κέρδος. Για παράδειγμα η ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ δεν είναι δυνατόν να παράγει 140 τραπέζια (Χ 1 = 140) γιατί κανένας από τους δύο περιορισμούς δεν το επιτρέπει, (140 τραπέζια απαιτούν 1120 ώρες στο ξυλουργείο (8 140 = 1120) και 560 ώρες (4 140 = 560 στο βαφείο). Page 30
Παράδειγμα διατύπωσης προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Επίσης η ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ δεν θα μπορούσε να παράγει ούτε το συνδυασμό 100 τραπεζιών και 20 καρεκλών γιατί δεν επαρκούν οι ώρες στο βαφείο, όπως εύκολα μπορεί να επαληθευτεί. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού είναι το ότι οι μεταβλητές του προβλήματος είναι αλληλένδετες και αλληλοεξαρτώμενες. Όταν αυξάνει η παραγωγή στο ένα προϊόν πρέπει να μειωθεί η παραγωγή του άλλου. Page 31
Βιβλιογραφία Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Κολέτσος Ιωάννης, Στογιάννης Δημήτρης, 2η έκδοση, ΑΘΗΝΑ 2015. Επιχειρησιακή έρευνα, Κώστογλου Βασίλειος Ι., Εκδόσεις Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε., 2002. Διοικητική επιστήμη, Anderson David R., Sweeney Dennis J., Williams Thomas A., Martin Kipp, Εκδόσεις ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΕ, 2004. Page 32
Ευχαριστώ Για Την Προσοχή Σας! Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας e-mail: itourtou@gmail.com Page 33