οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες

οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 18 Νοεµβρίου 2014, 1/24

Ο προβολικός χώρος Εστω K ένα σώµα. Στον χώρο K n+1 {0,..., 0} ορίζουµε την σχέση ισοδυναµίας (x 0, x 1,..., x n ) = (x 0, x 1,..., x n) αν και µόνο αν x i = λx i µε λ K {0}. Ο προβολικός χώρος ορίζεται ως το σύνολο P n (K) = K n+1 {0,..., 0}. = Τα σηµεία µε συντεταγµένες [1 : x 1 : : x n ] αποτελούν ένα αφινικό κοµµάτι του P n (K), ενώ τα σηµεία [0 : x 1 : : x n ] µε x 0 = 0 αποτελούν ένα προβολικό χώρο P n 1 στο «άπειρο»., 2/24

Η συνάρτηση του Weierstrass Ορισµός Εστω ω 1, ω 2 δύο µιγαδικοί αριθµοί µε Im(ω 1 /ω 2 ) > 0. Lattice Λ ονοµάζεται η ελέυθερη προσθετική αβελιανή υποοµάδα που παράγεται από τα ω 1, ω 2. ηλαδή: Λ = {nω 1 + mω 2, n, m Z} Η -συνάρτηση του Weierstrass για το Λ είναι η (z; Λ) = 1 z + ( 1 2 (z ω) 1 ) 2 ω 2 ω Λ,ω 0, 3/24

Παραµέτριση φ : C/Λ E(C) P 2 (C) µε φ(z) = [1 : (z) : (z)] Παρατηρούµε ότι ο πόλος των συναρτήσεων,, που εµφανίζεται στα lattice points πηγαίνει στο σηµείο στο «άπειρο» του προβολικού επιπέδου., 4/24

Ο τύπος του Poincare Παρατηρούµε ότι ισχύει (z) (z) 1 det (w) (w) 1 (z + w) (z + w) 1 συνεπώς τρία σηµεία έχουν άθροισµα αν και µόνο άν είναι συνευθειακά. (Η απόδειξη γίνεται υπολογίζοντας το ανάπτυγµα Laurent της παραπάνω συνάρτησης δείχνοντας ότι είναι ολόµορφη και συνεπώς σταθερή.), 5/24

Η αρχή του Lefschetz Η αλγεβρική γεωµετρία υπέρ ενός οποιαδήποτε αλγεβρικά κλειστού σώµατος χαρακτηριστικής 0 είναι ίδια µε αυτή πάνω από το C. Η αλγεβρική γεωµετρία υπέρ ενός οποιαδήποτε αλγεβρικά κλειστού σώµατος χαρακτηριστικής p είναι ίδια µε αυτή πάνω από το C, αρκεί το p να είναι µεγαλύτερο από µια σταθερά (που κάθε ϕορά εξαρτάται από το συγκεκριµµένο πρόβληµα)., 6/24

οµή οµάδας σε ελλειπτική καµπύλη Αρχή: Συνευθειακά σηµεία έχουν άθροισµα 0 Εστω E(K) το σύνολο των σηµείων που ικανοποιούν µια εξίσωση Weierstrass. Μία ευθεία τέµνει την ελλειπτική καµπύλη σε 3 ακριβώς σηµεία µε µετρηµένη πολλαπλότητα. Είναι σηµαντικό ότι το σώµα είναι αλγεβρικά κλειστό και ότι η ελλειπτική καµπύλη ϑεωρείται προβολική. Αν έχουµε ένα σηµείο P για υπολογίσουµε το -P σχηµατίζουµε την ευθεία L(P, O) η οποία τέµνει ακριβώς στο P την ελλειπτική καµπύλη. Θεωρούµε δύο σηµεία P, Q E(K) και ϕέρνουµε την ευθεία L(P, Q) που αυτά ορίζουν. Το τρίτο σηµείο είναι το (P + Q) άρα το σηµείο P + Q είναι το σηµείο τοµής της ευθείας L(0, (P + Q)). Στην περίπτωση που P = Q η ευθεία L(P, P) είναι η εφαπτοµένη. Το ουδέτερο σηµείο O ϑα πρέπει να είναι τέτοιο σηµείο ώστε η εφαπτοµένη σε αυτό να τέµνει την καµπύλη σε ένα τρίτο σηµείο που πρέπει να είναι πάλι το ίδιο., 7/24

οµή οµάδας Η παραπάνω συνάρτηση E(K) E(K) E(K) (P, Q) P + Q εφοδιάζει το P + Q µε δοµή αβελιανής οµάδας., 8/24

Ελλειπτικές καµπύλες και Θεωρία Αριθµών E(Q) είναι πεπερασµένα παραγώµενη αβελιανή οµάδα δηλαδή οµάδα της µορφής Z r + s i=1 Z/n iz E(F q ) είναι πεπερασµένη και έχει τάξη E(F q ) q 1 2 q., 9/24

Ισογένειες Ορισµός Εστω E 1, E 2 δύο ελλειπτικές καµπύλες. Μια ισογένεια είναι ένας µορφισµός φ : E 1 E 2 µε φ(o) = O. ύο καµπύλες λέγονται ισογενείς αν υπάρχει µη τετριµµένη ισογένεια φ : E 1 E 2 (δηλαδή αν ισχύει φ(e 1 ) {O}). Παρατήρηση. Εστω E µία ελλειπτική καµπύλη και m ένας ακέραιος αριθµός. Τότε, ο πολλαπλασιασµός µε m : [m] : E E, P [m]p είναι ισογένεια. Αν m = 0 τότε προφανώς η ισογένεια [0] είναι τετριµµένη. Το αντίστροφο, δηλαδή ότι αν ο πολλαπλασιασµός µε [m] είναι τετριµµένος τότε m = 0, δεν είναι προφανές, είναι όµως σωστό., 10/24

Ισογένειες Ορισµός Ορίζουµε τον δακτύλιο End(E) = Hom(E, E), µε πρόσθεση αυτήν που ορίσαµε παραπάνω και πολλαπλασιασµό την σύνθεση των µορφισµών E E, και τον ονοµάζουµε δακτύλιο ενδοµορφισµών της E. Η οµάδα αυτοµορφισµών Aut(E) της E ορίζεται να είναι τα αντιστρέψιµα στοιχεία του: Aut(E) = (End(E)), 11/24

Μιγαδικός Πολλ/σµός Είναι ένα ϕυσιολογικό ερώτηµα να ϱωτήσουµε ποιός µπορεί να είναι ο End(E). Η απάντηση είναι πως τις περισσότερες ϕορές ο End(E) είναι ακριβώς ο Z, δηλαδή οι πολλαπλασιασµοί επί m που µας δίνει η πράξη της οµάδας εξαντλούν τις ισογένιες της καµπύλης στον εαυτό της. Υπάρχουν και εξαιρέσεις Ορισµός Εστω E µια ελλειπτική καµπύλη που ορίζεται πάνω από ένα σώµα K µε χαρ(k) = 0. Αν ο End(E) περιέχει ισογένεια που δεν είναι της µορφής [m] για κάποιον ακέραιο m, τότε λέµε ότι η E έχει την ιδιότητα του µιγαδικού πολλαπλασιασµού (complex multiplication ή εν συντοµία CM)., 12/24

Βαθµός ισογένειας Πρόταση Εστω φ : E 1 E 2 µια µη τετριµµένη διαχωρίσιµη ισογένεια. Τότε η φ είναι αδιακλάδιστη, kerφ = deg φ και η επέκταση είναι Galois. K(E 1 )/φ ( K(E2 )) Εστω E/F q µια ελλειπτική καµπύλη που ορίζεται πάνω από ένα πεπερασµένο σώµα µε q στοιχεία, q = p n, φ q = φ η απεικόνιση του Frobenius από την καµπύλη στον εαυτό της και m,n δύο ακέραιοι. Τότε η απεικόνιση m + nφ είναι διαχωρίσιµη αν και µόνο αν ο p δεν διαιρεί τον m. Ειδικότερα παρατηρούµε πως ο 1 φ είναι διαχωρίσιµος, άρα, από παίρνουµε την σχέση: ker(1 φ) = deg(1 φ), 13/24

Πεπερασµένα σώµατα και ελλειπτικές καµπύλες Θεωρούµε µια κανονική µορφή Weierstrass για την E µε συντελεστές στο F q και τον µορφισµό του Frobenius : φ : E E µε φ(x, y) = (x q, y q ). Ο µορφισµός του Frobenius παράγει την οµάδα Galois της επέκτασης F q /F q, άρα για κάθε σηµείο P στην καµπύλη E( F q ) ϑα έχουµε ότι P E(F q ) το P είναι σταθερό σηµείο του µορφισµού του Frobenius, δηλαδή αν και µόνο αν: P ker(1 φ). Στόχος µας είναι να εκτιµήσουµε την παραπάνω τάξη., 14/24

ιγραµµικές Μορφές Ορισµός Μια απεικόνιση d : A R από µια αβελιανή οµάδα A στους πραγµατικούς αριθµούς που για κάθε a στοιχείο της A ικανοποιεί d(a) = d( a) και η αντιστοιχία A A R µε (a, b) d(a + b) d(a) d(b) είναι διγραµµική λέγεται τετραγωνική µορφή πάνω στην οµάδα A. Αν η d παίρνει τιµές στο R + και παίρνει την τιµή 0 µόνο στο 0 A, τότε λέγεται ϑετικά ορισµένη. Η deg φ : Hom(E 1, E 2 ) Z είναι ϑετικά ορισµένη τετραγωνική µορφή., 15/24

Cauchy-Schwartz Πρόταση (Ανισότητα Cauchy-Schwarz για αβελιανές οµάδες) Αν G είναι µια αβελιανή οµάδα, και d : G Z µια ϑετικά ορισµένη τετραγωνική µορφή. Τότε: d(ψ φ) d(ψ) d(φ) 2 d(ψ)d(φ) για κάθε ψ, φ G. Απόδειξη: Αν ψ = 0 η ανισότητα είναι τετριµµένη. Εστω ψ 0, φ G. Ορίζουµε την ποσότητα L(ψ, φ) = d(ψ φ) d(ψ) d(φ). Αφού η d είναι τετραγωνική µορφή, η L είναι διγραµµική µορφή. Επίσης, αφού η d είναι ϑετικά ορισµένη, ισχύει για κάθε m,n Z. 0 d(mψ nφ) = m 2 d(ψ) + mnl(ψ, φ) + n 2 d(φ), 16/24

Cauchy-Schwartz Επιλέγοντας m = L(ψ, φ) και n = 2d(ψ), παίρνουµε ότι 0 4d(ψ) 2 d(φ) d(ψ)l(ψ, φ) 2 = d(ψ)(4d(ψ)d(φ) L(ψ, φ) 2 ). Αφού ψ 0 έπεται ότι d(ψ) > 0 και έχουµε τελειώσει., 17/24

Πεπερασµένα σώµατα και ελλειπτικές καµπύλες Για να ολοκληρώσουµε την απόδειξη του ϕράγµατος των σηµείων, παρατηρούµε ότι E(F q ) = ker(1 φ) = deg(1 φ). Η deg είναι ϑετικά ορισµένη τετραγωνική µορφή, άρα, από την Cauchy-Schwarz και το γεγονός ότι deg φ = q έχουµε το Ϲητούµενο, δηλαδή deg(1 φ) deg(1) deg(φ) 2 deg φ deg(1), 18/24

Εικασίες του Weil Θεώρηµα (Θεώρηµα (Αρχή Hasse-Weil)) Αν µια καµπύλη C γένους g ορίζεται υπεράνω ενός πεπερασµένου σώµατος F q, τότε C(Fq ) q 1 2g q Η γενίκευση αυτή µπορεί να συναχθεί ως πόρισµα των ακόλουθων εικασιών που διετύπωσε ο Weil το 1949. Οι εικασίες αυτές µελετούν σε µεγαλύτερο ϐάθος την συµπεριφορά των τάξεων των varieties που ορίζονται πάνω από πεπερασµένα σώµατα. Για να µπορέσουµε να τις περιγράψουµε πρέπει πρώτα να ορίσουµε την Z συνάρτηση µιας variety, η οποία είναι η εκθετική της γεννήτριας συνάρτησης της ακολουθίας αριθµών a n = V(F q n), 19/24

Εικασίες του Weil Ορισµός Εστω V µια variety που ορίζεται πάνω από ένα πεπερασµένο σώµα F q, ας πούµε ότι η V ορίζεται ως οι κοινές ϱίζες m το πλήθος οµογενών πολυωνύµων, δηλαδή V = {P P N (F q ) : f i (P) = 0, } µε i = 1, 2,..., m. Ορίζουµε την Z-συνάρτηση της V να είναι η συνάρτηση: ( ) Z(V/F q : T) = exp V(F q n) T n n n=1, 20/24

Εικασίες του Weil Πρόταση Το V(F q n) είναι ίσο µε την παράγωγο υπολογισµένη στο T = 0. Παράδειγµα Αν V = P n, τότε Z(P N /F q : T) = 1 (n 1)! dt logz(v/f n q : T) d n 1 (1 T)(1 qt)(1 q 2 T)...(1 q N T), 21/24

Εικασίες του Weil Εστω V µια nonsingular προβολική variety διάστασης N που ορίζεται πάνω από ένα πεπερασµένο σώµα F q. Τότε: 1. Η Z-συνάρτηση της καµπύλης είναι ϱητή. 2. Υπάρχει ɛ = ɛ(v) Z ώστε να η V να ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση: 3. Ισχύει Z(V/F q : 1/q N T) = ±q Nɛ/2 T ɛ Z(V/F q : T) Z(V/F q : T) = P 1(T)...P 2N 1 (T) P 0 (T)...P 2N (T) όπου P i (T) Z[T] P 0 (T) = 1 T, P 2N (T) = 1 q N (T) και κάθε P i (T), για i = 1,..., 2N 1, γράφεται b i P i (T) = (1 a ij T) a ij = q. j=1 Επίσης, ο αριθµός b i καλείται και i-οστός αριθµός Betti της V., 22/24

Εικασίες του Weil Οι εντυπωσιακές αυτές εικασίες έχουν εξίσου ενδιαφέρουσα ιστορία: όπως είπαµε, ο ίδιος ο Weil απέδειξε τις εικασίες του για καµπύλες και αργότερα για αβελιανές varieties. Στην γενική περίπτωση, η ϱητότητα αποδείχτηκε από τον Dwork το 1960, η συναρτησιακή εξίσωση από τον Grothendieck το 1965, ενώ ο Deligne έδειξε την υπόθεση Riemann το 1974 (ο ίδιος, το 1971, είχε δείξει πως η υπόθεση Riemann για varieties συνεπάγεται την εικασία του Ramanujan για την συνάρτηση τ, την οποία ϑα µελετήσουµε αργότερα). Ο ίδιος ο Deligne έδωσε το 1980 και µια δεύτερη απόδειξη της υπόθεσης Riemann. Στο πέµπτο κεφάλαιο, όταν ϑα µελετήσουµε τις L-σειρές των ελλειπτικών καµπυλών και των modular µορφών, ϑα δούµε πως κι εκεί ϑα µας απασχολήσει η ύπαρξη συναρτησιακής εξίσωσης για αυτές τις L-σειρές., 23/24

Θεώρηµα Weil Θέτοντας T = q s στον τύπο της Z(E/F q ; T) ορίζεται η ζ-συνάρτηση: ζ(s) = 1 αq s + q 1 2s (1 q s )(1 q 1 s ) Η συναρτησιακή εξίσωση παίρνει την µορφή ζ(s) = ζ(1 s) και η «υπόθεση Riemann» είναι η ζ(s) = 0 q s = q 1/2 Im(s) = 1/2., 24/24