ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,. Aν οσες α, β φορες θετικοι και, να να συγκρινεται επαναληφθει τους κατω αριθμους απο τις Α ιδιες = α + συνθηκες. β, Β = α β + αβ. Δειγματικος χωρος Ω: ενος πειραματος τυχης ονομαζεται το συνολο ολων των δυνατων αποτελεσματων που μπορουν να εμφανιστουν κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη αν ω, ω,, ω ν τα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος, τοτε ο δειγματικος χωρος ειναι: Ω = { ω, ω,, ω ν }. Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο Ενδεχομενο Α: ενος πειραματος τυχης, λεγεται το συνολο που εχει για στοιχεια του ενα ή περισσοτερα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος. Δηλαδη το ενδεχομενο Α ειναι ενα υποσυνολο του δειγματικου χωρου Ω: Α Ω Tο πληθος των στοιχειων ενος ενδεχομενου Α συμβολιζεται με Ν(Α). Πραγματοποιηση ενος ενδεχομενου : Ενα ενδεχομενο Α πραγματοποιειται οταν το αποτελεσμα του πειραματος ειναι στοιχειο του ενδεχομενου. Τα στοιχεια του ενδεχομενου Α λεγονται και ευνοϊκες περιπτωσεις για την πραγματοποιηση του. Διακριση των ενδεχομενων Απλο (ή στοιχειωδες) ενδεχομενο: ειναι αυτο που εχει μονο ενα στοιχειο. Συνθετο ενδεχομενο: ειναι αυτο που εχει δυο ή περισσοτερα στοιχεια. Βεβαιο ενδεχομενο: ειναι αυτο που πραγματοποιειται παντοτε (δηλαδη σε καθε εκτελεση του πειραματος) και ταυτιζεται με τον δειγματικο χωρο Ω. Αδυνατο ενδεχομενο: ειναι αυτο που δεν πραγματοποιειται ποτε και ταυτιζεται με το κενο συνολο. H Εννοια του διανυσματος
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ (Α, Β) Συμβολισμος: Α Διαβαζεται: Οχι Α η αντιθετο του Α η συμπληρωμα του Α Πραγματοποιειται αν: Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α Α Διαγραμμα Venn Α Ω Συμβολισμος: Α Β Διαβαζεται: Α ενωση Β η Α η Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται τουλαχιστον ενα απο τα ενδεχομενα Α η Β Συμβολισμος: Α Β Διαβαζεται: Α τομη Β η Α και Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιουνται συγχρονως τα ενδεχομενα Α και Β Συμβολισμος: Α Β' η Α - Β Διαβαζεται: Διαφορα του Β απ το Α Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α αλλα οχι το ενδεχομενο Β Α Α Α Διαγραμμα Venn Διαγραμμα Venn Διαγραμμα Venn Β Ω Β Ω Β Ω Συμβολισμος: Β Α' η Β - Α Διαβαζεται: Διαφορα του Α απ το Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Β αλλα οχι το ενδεχομενο Α Α Διαγραμμα Venn Β Ω
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ (Α, Β) Συμβολισμος: (Α - Β) (Β - Α) η (Α Β') (Β Α') Διαβαζεται: Διαφορα του Β απ το Α η Διαφορα του Α απ το Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται μονο το ενδεχομενο Α η μονο το ενδεχομενο Β Α Διαγραμμα Venn Β Ω Α σ υ μ β ι β α σ τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Δυο ενδεχομενα Α, Β λεγονται ασυμβιβαστα η ξενα μεταξυ τους η αμοιβαιως αποκλειομενα, αν ισχυει: Α Β = Δηλαδη αυτα που δεν μπορουν να πραγματοποιηθουν συγχρονως. Στον παρακατω πινακα τα Α και Β συμβολιζουν ενδεχομενα ενος πειραματος και το ω ενα αποτελεσμα του πειραματος αυτου. Στην αριστερη στηλη του πινακα αναγραφονται διαφορες σχεσεις για τα Α και Β διατυπωμενες στην κοινη γλωσσα, και στη δεξια στηλη αναγραφονται οι ιδιες σχεσεις αλλα διατυπωμενες στη γλωσσα των συνολων. Το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται ω Α Το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται ω Α' η ω Α Ενα τουλαχιστον απ τα Α και Β πραγματοποιειται ω Α Β Α Διαγραμμα Venn Β Ω Πραγματοποιειται και το Α και το Β ω Α Β Δεν πραγματοποιειται ουτε το Α ουτε το Β ω (Α Β)' Πραγματοποιειται μονο το Α ω Α - Β η ω Α Β' Αν πραγματοποιειται το Α, τοτε πραγματοποιειται και το Β Α Β
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4 Ε ι σ α γ ω γ η Στην εκτελεση ενος πειραματος τυχης δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα και κατα συνεπεια δεν γνωριζουμε αν θα πραγματοποιηθει καποιο ενδεχομενο Α του δειγματικου χωρου. Σε πολλα ομως πειραματα εχουμε ενα μετρο προσδοκιας για την πραγματοποιηση ενος ενδεχομενου, π.χ. στη ριψη αμεροληπτου ζαριου η προσδοκια μας να ελθει εξαρι ειναι μια στις εξι. Αυτο το μετρο προσδοκιας πραγματοποιησης του ενδεχομενου λεγεται πιθανοτητα του Α και συμβολίζεται Ρ(Α). Επομενως σε καθε ενδεχομενο Α μπορουμε να αντιστοιχισουμε την πιθανοτητα του Ρ(Α) να πραγματοποιηθει. Σ χ ε τ ι κ η Σ υ χ ν ο τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Λεγεται το πηλικο κ, οπου ν ειναι ο αριθμος εκτελεσεων του πειραματος και κ ο αριθμος που δειχνει ποσες φορες πραγματοποιηθηκε το ενδεχομενο Α. ν κ δηλαδη : f = A ν Ειδικα για τα απλα ενδεχομενα {ω }, {ω },, {ω ν } του δειγματικου χωρου Ω, που πραγματοποιουνται κ, κ,, κ ν φορες αντιστοιχως σε ν επαναληψεις του πειραματος, οι σχετικες τους συχνοτητες ειναι : κ κ κ λ f=, f =,, f = ν ν λ ν Ο νoμος των μεγaλων αριθμων Η σχετικη συχνοτητα ενος ενδεχομενου σταθεροποιειται γυρω απο μια συγκεκριμενη αριθμητικη τιμη, καθως ο αριθμος των επαναληψεων του πειραματος αυξανει απεριοριστα Ι σ ο π ι θ α ν α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Τα απλα ενδεχομενα ω, ω,, ω ν ενος δειγμ. χωρου Ω = { ω, ω,, ω ν } λεγονται ισοπιθανα, οταν εχουν την ιδια συχνοτητα εμφανισης κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη η σχετικη συχνοτητα για καθ ενα απο αυτα ειναι ν Για ενα συνθετο ενδεχομενο Α = { α, α,, α κ } που αποτελειται απο κ ισοπιθανα κ ενδεχομενα η σχετικη συχνοτητα του είναι: f =f + f +... + f = + +... + = A κ ν ν ν ν κ φορες
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 5 Κ λ α σ σ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω τα απλα ισοπιθανα ενδεχομενα ω, ω,, ω ν ενος δειγματικου χωρου Ω = { ω, ω,, ω ν }. Πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α: πληθος ευνοϊκων περιπτωσεων του Α N(A) ειναι το πηλικο Ρ(Α) = = πληθος δυνατων περιπτωσεων N(Ω) Ιδιοτητες Ρ(ω i ) = ν, i =,,, ν Ρ(Ω) = Ρ( ) = 0 0 Ρ(Α) Α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω Ω = {ω,ω,...,ω } ενας δειγματικος χωρος με πεπερασμενο πληθος στοιχειων. ν Σε καθε απλο ενδεχομενο {ω } αντιστοιχιζουμε εναν πραγματικο αριθμο, που τον i συμβολιζουμε με P(ω ), ετσι ωστε να ισχυουν i 0 P(ω ) P(ω ) + P(ω ) +... + P(ω ) =. i ν Τον αριθμο P(ω ) ονομαζουμε πιθανοτητα του ενδεχομενου {ω }. i i Ως πιθανοτητα ενος ενδεχομενου A = {α,α,...,α } οριζουμε το αθροισμα κ P(α ) + P(α ) +... + P(α ), δηλαδη κ P(A) = P(α ) + P(α ) +...+ P(α ) κ Ως πιθανοτητα του αδυνατου ενδεχομενου οριζουμε τον αριθμο P( ) = 0. Παρατηρησεις Αν Ρ(ω i ) =, i =,,, ν, εχουμε τον κλασικο ορισμο της πιθανοτητας. Τοτε : ν H πιθανοτητα του βεβαιου ενδεχομενου Ω ειναι P(Ω)=. H πιθανοτητα του ενδεχομενου Α = {α, α,, α κ } ειναι N(A) κ P(A) = = N(Ω) ν Οταν εχουμε ενα δειγματικο χωρο Ω = {ω,ω,...,ω } και χρησιμοποιουμε τη φραση ν παιρνουμε τυχαια ένα στοιχειο του Ω, εννοουμε οτι ολα τα δυνατα αποτελεσματα ειναι ισοπιθανα με πιθανοτητα P(ω ) =, i =,,..., v. v i
ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 6 Απλος προσθετικος νομος (για ασυμβιβαστα ενδεχομενα) Για οποιαδηποτε ασυμβιβαστα μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει: P(AU B) = P(A) + P(B) Αν N(A) = κ και N(B) = λ, τοτε το AUB εχει κ + λ στοιχεια, γιατι αλλιως τα Α και Β δε θα ηταν ασυμβιβαστα. Δηλαδη, εχουμε N(AUB) = κ + λ = N(A) + N(B). Επομενως: N(AU B) N(A) + N(B) P(AU B) = = N(Ω) N(Ω) N(A) N(B) = + = P(A) + P(B). N(Ω) N(Ω). Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα. Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε P(AUB UΓ) = P(A) + P(B) + P(Γ). Πιθανοτητα συμπληρωματικου Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και P(A ) = - P(A) A (ασυμβιβαστα) ισχύει: P(AU A ) = P(A) + P(A ) P(Ω) = P(A) + P(A ) = P(A) + P(A ). Οποτε P(A ) = - P(A). Προσθετικος νομος ( για τυχαια ενδεχομενα) Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Για δυο ενδεχομενα Α και Β έχουμε: N(A B) = N(A) + N(B) - N(A B), () αφου στο αθροισμα N(A) + N(B) το πληθος των στοιχειων του A B υπολογιζεται δυο φορες. Αν διαιρεσουμε τα μελη της () με N(Ω) εχουμε: N(A B) N(A) N(B) N(A B) = + - N(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω). οποτε P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). Πιθανοτητα υποσυνολου Αν A B, τότε P(A) P(B) Επειδη A B εχουμε διαδοχικα: N(A) N(B) N(A) N(B) P(A) P(B). N(Ω) N(Ω)
ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 7 Πιθανοτητα Διαφορας Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P(A- B) = P(A) - P(A B) Επειδη τα ενδεχομενα A -B και A B ειναι ασυμβιβαστα και (A - B) (A B) = A, εχουμε: P(A) = P(A - B) + P(A B). Αρα P(A - B) = P(A) - P(A B). Πιθανοτητα Συμμετροδιαφορας Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P((A- B) (B - A)) = P(A) + P(B) - P(A B) P((A - B) (Β - Α)) = P(A - Β) + P(Β - Α) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) =. = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εχουμε δυο κουτια α και β.το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα.. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ Επιλεγουμε ενα κουτι στη τυχη και στη συνεχεια μια μπαλα απ'αυτο. Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος. Ποιο ειναι το ενδεχομενο Α : " η μπαλα ειναι μαυρη ". Ριχνουμε το ζαρι μια φορα και παρατηρουμε την ενδειξη του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : Α : " ενδειξη αρτια " Β : " ενδειξη μεγαλυτερη του " H κατασταση του πειραματος φαινεται στο δεντροδιαγραμμα: Ο δειγματικος χωρος ειναι : Κ ακ Ω = {ακ, αα, αμ, βα, βμ} Α ρ χ η Α Β, Α Β, Α', Α Β' Ο δειγματικος χωρος του πειραματος ειναι : Ω = {,,,4,5,6}. Α = {,4,6} Β = {4,5,6} Α Β = {4,6} Α Β = {,4,5,6} Α' = {,, 5} α β (ενδειξη αρτια και μεγαλυτερη του ) (ενδειξη αρτια η μεγαλυτερη του ) (ενδειξη οχι αρτια δηλαδη περιττη) Α Β' = {} (ενδειξη αρτια και οχι μεγαλυτερη το υ ) Α Μ Α Μ αα αμ βα βμ Το ενδεχομενο "η μπαλα ει - ναι μαυρη" ειναι : Α = {αμ,βμ} Ω Εχουμε ενα κουτι που περιεχει κοκκινες, 4 μπλε και 5 ασπρες μπαλες. Επιλεγουμε μια μπαλα στη τυχη. Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων : Α : " η μπαλα ειναι κοκκινη " Β : " η μπαλα δεν ειναι ασπρη " Γ : " η μπαλα ειναι μπλε η ασπρη "
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ν(Ω) = + 4 + 5 = Οι κοκκινες μπαλες ειναι, οποτε Ν(Α) =. Οι μπαλες που δεν ειναι ασπρες, ειναι μπλε η κοκκινες, οποτε Ν(Β) = 4 + = 6. Οι μπαλες που ειναι ασπρες η μπλε ειναι 9 (5 + 4), οποτε Ν( Γ) = 9. Ετσι Ν(Α) Ν(Β) 6 Ν(Γ) 9 Ρ(Α) = = Ρ(Β) = = Ρ(Γ) = = Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Εστω Ω = {,,...,0} ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα εν - δεχομενα : Α : " αρτιος " Β : " τελειο τετραγωνο " Γ : " περιττος " Δ : " αρτιος και τελειο τετραγωνο " Ε : " αρτιος ητελειο τετραγωνο " Ζ : " αρτιος και περιττος " Η : " αρτιος η περιττος " α. Να αντιστοιχισετε τα ενδεχομενα Γ εως Η με τα συμβολα : Α Β,, Ω, Α Β, Α' β. Να βρειτε τις πιθανοτητες των πιο πανω ενδεχομενων. α. Γ - Α' Δ - Α Β Ε - Α Β Ζ - Η - Ω β. Ν(Ω) = 0 Ν(Α) = 0, αφου Α = {, 4,6,8,0,,4,6,8,0} Ν(Β) = 4, αφου Β = {, 4,9,6} Ν(Γ) = 0, αφου Γ = {,,5, 7,9,,,5,7,9} Ν(Δ) =, αφου Δ = {4,6} Ν(Ε) =, αφου Ε = {,, 4,6,8,9,0,,4,6,8,0} Ν(Ζ) = 0, αφου Ζ = Ν(Η) = 0, αφου Η = Ω Ετσι Ν(Α) 0 Ν(Β) 4 Ρ(Α) = = = Ρ(Β) = = = Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 5 Ν(Γ) 0 Ν(Δ) Ρ(Γ) = = = Ρ(Δ) = = = Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 0 Ν(Ε) Ν(Ζ) 0 Ρ(Ε) = = = Ρ(Ζ) = = = 0 Ν(Ω) 0 5 Ν(Ω) 0 Ν(Η) 0 Ρ(Η) = = = Ν(Ω) 0
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Ω = {ω, ω, ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα ενδεχομενα Α = {ω, ω } και Β = { ω, ω }. 4 Αν Ρ(Α) = και Ρ(Β) = να υπολογισετε τις πιθανοτητες : 5 Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ). Αφου Ω = x i {ω, ω, ω v i } τοτε : f i f i % Ρ(ω ) + Ρ(ω 0 ) + Ρ(ω ) = Ρ(Ω) 0,0 Ρ(ω ) + Ρ(ω 0 ) + Ρ(ω ) = () Αφου Α = {ω, ω } τοτε 4 : 0,0 0 0 0,50 50 Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Α) Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = () 0,0 0 4 0,0 0 Απο () - () προκυπτει : Ρ(ω ) = - = () Συν ν=0 00 Αφου Β = {ω, ω } τοτε : () 4 4 Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Β) Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = - Ρ(ω ) = (4) 5 5 0 Απο τις (), (), (4) προκυπτει : Ρ(ω ) + + = Ρ(ω ) = - - Ρ(ω ) = 0 0 5 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α) = Ρ(Β) = 0,6 και Ρ(Α Β) = 0,4. Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Γ : " να πραγματοποιηθει το Α η το Β " Δ : " να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β " Αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα, τοτε : Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0,6 + 0,6 =, >, ατοπο γιατι Ρ(Α Β). Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. " να πραγματοποιηθει το Α η το Β " σημαινει Α Β, οποτε : Ρ(Γ) = Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β = 0,6 + 0,6-0, 4 = 0,8 "να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β" σημαινει (Α Β)', οποτε : Ρ(Δ) = Ρ[(Α Β)'] = - Ρ(Α Β) = - 0,8 = 0, Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α Β) = 0,9 και Ρ(Α') = 0,4 ενω Ρ(Α Β) = 0,5. Να βρειτε τις πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α - Β), Ρ(Β - Α), Ρ[(Α - Β) (Β - Α)].
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Ρ(Α) = - Ρ(Α') = - v 0, = N 4 = = 0,6 50 5 f% Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) f = = = και = f.v = 0,0.50 = - 00 Ρ(Α Β) 0,0 0,9 F = 0,6 v+ Ρ(Β) - 0,5 Ρ(Β) 5 = 0,9 Ν - 0,6 + 0,5 = 0,8 ν v = Ν - Ν = 6-5 και f = = = 0, Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) = 0,6-0,5 = 0, ν 50 F = f + f = 0, + 0, = 0, Ρ(Β - Α) = Ρ(Β) - Ρ(Α Β) F % = 0,850-0,5 = 0, F = = = 0,50 και f = F - F = 0,5-0, = 0,8 00 00 Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] = Ρ(Α - Β) + Ρ(Β - Α) = 0, + v0, = f.v = 0,8.50 = 9 = 0,4 v = ν - (ν ν ν ν ) = 50-9 = 4 4 Σε ενα μη αμεροληπτο ζαρι οι πιθανοτητες εμφανισης καθε εδρας δινονται απο τη σχεση: 4P() = 4P() = 4P() = 4P(4) = P(5) = P(6) Να βρεθουν οι πιθανοτητες εμφανισης της καθε εδρας. Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α: η ενδειξη να ειναι αρτιος αριθμος. Θετουμε Ρ() = Ρ() = Ρ() = Ρ(4) = x, οποτε : Ρ(5) = x και Ρ(6) = 4x. Ομως Ρ() + Ρ() + Ρ() + Ρ(4) + Ρ(5) + Ρ(6) = x + x + x + x + x + 4x = 0x = x = 0 4 Aρα, Ρ() = Ρ() = Ρ() = Ρ(4) =, Ρ(5) = και Ρ(6) =. 0 0 0 4 6 : Ρ(Α) = Ρ() + Ρ(4) + Ρ(6) = + + =. 0 0 0 0 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α') 0,5 και Ρ(Β') 0,7. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β),05 - Ρ(Α Β) Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα Ρ(Α')=-Ρ(Α) Ρ(Α') 0,5 - Ρ(Α) 0,5 Ρ(Α) 0,75 () Ρ(Β')=-Ρ(Β) Ρ(Β') 0,70 - Ρ(Β) 0,70 Ρ(Β) 0,0 () Απο () + () : Ρ(Α) + Ρ(Β) 0,75 + 0.0 =,05 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β).05 - Ρ(Α Β) () Απ' το προσθετικο νομο των πιθανοτητων η () γινεται : Ρ(Α Β).05 - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β),05 - Ρ(Α Β) Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Τοτε : Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0,75 + 0.0 =,05 >, που ειναι ατοπο. Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) = και Ρ(Β) =. 4 8 Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β). 4 8 8 Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Τοτε : 9 Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = + = >, που ειναι ατοπο. 4 8 8 Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) τοτε 4 Ρ(Α Β) Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) 4 Ρ(Α Β) 8 Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Α Β Β τοτε Ρ(Α Β) Ρ(Β) 0 Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 4 4 Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 8 8 8 8 0 + - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 4 8 8 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Β) = και Ρ(Α Β) =. 4 5 Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α). Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) 0 -Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) 5 Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α) + - Ρ(Α) Ρ(Α) 4 4 5 Ρ(Α)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : 0 < Ρ(Α) <. Να αποδειχτει οτι : + 4. Ρ(Α) Ρ(Α') Αφου 0 < Ρ(Α) < τοτε 0 < - Ρ(Α') < - < -Ρ(Α') < 0 Ρ(Α') > 0. Ρ(Α) + Ρ(Α') + 4 4 Ρ(Α) + Ρ(Α') 4Ρ(Α).Ρ(Α') Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α).Ρ(Α') Ρ(Α) + - Ρ(Α) 4Ρ(Α).[ - Ρ(Α)] 4Ρ(Α) - 4[Ρ(Α)] + 4[Ρ(Α)] - 4Ρ(Α) 0 [ - Ρ(Α)] 0, που αληθευει. Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Α,Β και α αριθμος θετικος. Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι :,, α α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστοιχα. Θα εξετασουμε αν υπαρχει α > 0 ωστε : Ρ(Α) =, Ρ(Β) =, Ρ(Α Β) =. α α Οι αριθμοι,, πρεπει να ανηκουν στο διαστημα (0,] σαν πιθανοτητες ενδεχομενων. α α Οποτε 0 < α 0 < α 0 < 0 < α 0 < α 0 < α Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) α α α α Πρεπει : α Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) α α Πρεπει : Ρ(Α Β) (0,] 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) α >0 0 + - 0 < 9 + α - α 6 α α α α Αρα, για α οι αριθμοι,, ειναι οι πιθανοτητες των Α, Β,Α Β. α α Για το ενδεχομενο Α ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει : Ρ(Α) = κ - 4κ + 5 Να βρειτε την τιμη του κ. Να δειξετε οτι Α = Ω.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Εστω η συναρτηση f(κ) = κ - 4κ + 5 : f'(κ) = κ - 4 f'(κ) = 0 κ - 4 = 0 κ = f'(κ) > 0 κ - 4 > 0 κ > η f γ.αυξουσα στο (,+ ) f'(κ) < 0 κ - 4 < 0 κ < η f γ.φθινουσα στο (-,) Οποτε, εχουμε ελαχιστο για κ =, το f() =. Δηλαδη, f(κ) τοτε και Ρ(Α) () Ομως 0 Ρ(Α) () Απο (), () προκυπτει : Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ - 4κ + 5 = κ - 4κ + 4 = 0 (κ - ) = 0 κ - = 0 κ =. Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Ω) Α = Ω. Για τους υποψηφιους τηςτεχνολογικης κατευθυνσης το 006 γνωριζουμε οτι : Το 0% απετυχε στη Φυσικη. Το 40% απετυχε στα Μαθηματικα. Το 0% απετυχε στη Φυσικη και στα Μαθηματικα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απ'τους υποψηφιους και ζητουμε την πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α : " ο υποψηφιος απετυχε τουλαχιστον σ'ενα απο τα δυο μαθηματα ". Β : " ο υποψηφιος απετυχε μονο στα Μαθηματικα ". Γ : " ο υποψηφιος απετυχε μονο σ'ενα απο τα δυο μαθηματα ". Θεωρουμε τα ενδεχομενα : Φ : "ο υποψηφιος απετυχε στη Φυσικη" Οποτε : Ρ(Φ) = 0,, Ρ(Μ) = 0,4 και Ρ(Φ Μ) = 0, Μ : "ο υποψηφιος απετυχε στα Μαθηματικα" : Α = Φ Μ, οποτε Ρ(Α) = Ρ(Φ Μ) = Ρ(Φ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = 0, + 0,4-0, = 0,5 : Β = Μ - Φ, οποτε Ρ(Β) = Ρ(Μ - Φ) = Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = 0, 4-0, = 0, : Γ = (Φ - Μ) (Μ - Φ), οποτε (αφου Φ - Μ, Μ - Φ ασυμβιβαστα) Ρ(Γ) = Ρ(Φ - Μ) + Ρ(Μ - Φ) = Ρ(Φ) - Ρ(Φ Μ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = Ρ(Φ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = = 0, + 0, 4 -.0, = 0, Η Γ' ταξη ενος Λυκειου εχει 5 μαθητες - μαθητριες. Τα / 5 των μαθητων και το / 5 τω ν μαθητριων επελεξαν τη θετικη κατευθυνση και οι υπολοιποι την θεωρητικη η τεχνολογικη κατευθυνση. Επιλεγουμε τυχαια εναν υποψηφιο. Αν η πιθανοτητα να ειναι μαθητης που δεν επελεξε τη θετικη κατευθυνση ειναι Ρ(Μ) = 9 / 5, να βρειτε : Ποσοι ειναι οι μαθητες και ποσες οι μαθητριες. Ποια η πιθανοτητα Ρ(Κ) ο υποψηφιος να ειναι μαθητρια που δεν επελεξε τη θετικη κατευθυνση;
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Εστω x o αριθμος των μαθητων. Ευκολα απο τις στηλες v i, xiv i x Οι μαθητες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος, ενω αυτοι που δεν προκυπτει η στηλη των x. 5 i Επισης x που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος. 5 Οποτε η πιθανοτητα Ρ(Μ), "ο μαθητης να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι : x 9 Ν(Μ) 9 5 9 x Ρ(Μ) = = = = 9 x = 45 x = 5 5 Ν(Ω) 5 5 5 5 Αρα οι μαθητες ειναι 5 και οι μαθητριες 0. Οι μαθητριες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι : 0. =, ενω αυτες που δεν την 5 επελεξαν ειναι 0 - = 8 Οποτε η πιθανοτητα του ενδεχομενου, "η μαθητρια να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", Ν(Κ) ειναι : Ρ(Κ) =. Ν(Ω) 8 Ρ(Κ) = 5 Σ'ενα διαγωνισμο ομορφιας 4 υποψηφιες εχουν καστανα μαλλια, ενω οι υπο - λοιπες εχουν μαυρα η ξανθα. Η πιθανοτητα να κερδισει το διαγωνισμο ξανθια ειναι, ενω να κερδισει υπο - ψηφια με μαυρα μαλλια ειναι. 6 Να βρειτε ποσες ειναι οι υποψηφιες. Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια. Τοτε : Ν(Ω) = 4 + x + y. Θεωρουμε τα ενδεχομενα : Α : "υποψηφια με καστανα μαλλια". Β : "υποψηφια με ξανθα μαλλια". Γ : "υποψηφια με μαυρα μαλλια". Ρ(Β) =, Ρ(Γ) =, Ν(Β) = x, N(Γ) = y. 6 Οποτε Ν(Β) x Ρ(Β) = = = Ν(Ω) 4 + x + y x = 4 + x + y Ν(Γ) y 6y = 4 + x + y Ρ(Γ) = = = 6 Ν(Ω) 6 4 + x + y 6 x = 4 + y x = 4 + y x = 4 + y x = 6 x - 5y = -4 4 + y - 5y = -4 4y = 48 y = Aρα οι υποψηφιες ειναι : 4 + 6 + = 7.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) - + Ρ(Α) - = κ +, κ και η συναρτηση : f(x) = ln(x + ) + κx, Να βρειτε την τιμη του κ, ωστε η f να ειναι γ.αυξουσα στο. * + x H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο με : x κx + x + κ f'(x) = ln(x + ) + κx ' = (x + )' + κ = + κ = x + x + x + Για να ειναι η f γ.αυξουσα πρεπει f'(x) > 0. Oποτε πρεπει κx + x + κ x + Δηλαδη Δ 0 4-4κ 0 0 κx + x + κ 0 κ>0 κ - (κ - )(κ + ) 0 κ () κ Ρ(Α) > Ρ(Α) - > 0 Ρ(Α) - = Ρ(Α) - Ρ(Α) - < 0 Ρ(Α) - = - Ρ(Α) Ρ(Α) < Οποτε, η δοσμενη σχεση γινεται : Ρ(Α) - + ( - Ρ(Α)) = κ + Ρ(Α) - + - Ρ(Α) = κ + Ρ(Α) = κ () Αρα απο (),() προκυπτει Ρ(Α) () Ομως 0 Ρ(Α) (4) () Απο (), (4) προκυπτει : Ρ(Α) = κ = Εστω Ω = {,,...,0} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπι - θανα απλα ενδεχομενα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απλο ενδεχομενο α Ω. Αν f(x) = x πραγματικες ριζες. + 4x + α, να βρειτε τη πιθανοτητα η εξισωση f(x) = 0 να μην εχει Για να μην εχει πραγματικες ριζες η εξισωση f(x) = 0 πρεπει : Δ < 0 4-4..α < 0 6-4α < 0 α > 4 Οποτε α {5,6,7,8, 9,0} = Α Ν(Α) = 6 και Ν(Ω) = 0. Αρα Ν(Α) 6 Ρ(Α) = = = 0,6 Ν(Ω) 0
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 0 Εστω Ω = {,,,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισο - x + y = πιθανα απλα ενδεχομενα και το συστημα, με α Ω. (α + )x + αy = Να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " το συστημα αδυνατο ". = α - α - = -(α + - α) D = = -(α - )(α - ) α + α y = - α - 6 D = = 9α - D = = -α - 5 x α α + Για να ειναι αδυνατο το συστημα πρεπει : D = 0 και D 0 η D 0. Οποτε α = D = 0 -(α - )(α - ) = 0 α = Για α = τοτε D = 9. - = 8 0, οποτε το συστημα αδυνατο. x Για α = τοτε D = 9. - = 7 0, οποτε το συστημα αδυνατο. x Ν(Α) = (αφου, Ω) και Ν(Ω) = 5. Αρα Ν(Α) Ρ(Α) = = = 0,4 Ν(Ω) 5 Εστω τα ενδεχομενα Α, Β ενος δειγματικου χωρου Ω και η συναρτηση : 7 f(x) = x - x + x. Aν Ρ(Α), Ρ(Β) ειναι ειναι η μικροτερη και η μεγαλυτερη ριζα της εξισωσης f'(x) = 0 αντιστοιχα, τοτε : Να βρειτε τις Ρ(Α), Ρ(Β). Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) 6 Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) 7 f'(x) = 0 x - x + x ' = 0 6x - 7x + = 0 7 + x = x = = P(B) Δ = (-7) - 4.6. = 7 - x = x = = P(A) A B A P(A B) P(A) P(A B) P(A B) A B B P(A B) P(B) P(A B) x y
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Eιναι P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(A B) P(A B) = + - P(A B) 0 P(AUB) 7 7 P(A B) = - P(A B) 0 - P(A B) Ρ(Α Β) 6 6 6 Αρα Ρ(Α Β) 6 A A B P(A) P(A B) P(A B) P(A B) B A B P(B) P(A B) P(A B) Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω και κ πραγματικος αριθμος τε - τοιος ωστε : Ρ(Α) + = κ + - - Ρ(Α). Να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη του κ. Αφου Α Β = Ω και Α,Β ασυμβιβαστα ενδεχομενα, τοτε : Ρ(Α) + Ρ(Β) =. Οποτε Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) 7 7 7 Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Α) + - Ρ(Α) = Ρ(Α) = - κ κ κ 4 Ρ(Α) - Ρ(Β) = - 4Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ κ κ Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = 7 - κ = κ = 6 κ = κ = κ κ Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ κ Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με - 4 κ και η εξισωση : (Ε ) : κx + (κ - )x + κ = 0. κ Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ) : Α : εχει δυο πραγματικες και ισες ριζες Β : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες κ Αφου κ [-4,] και οριζει τις εξισωσεις (Ε ),(Ε ),...,(Ε ) τοτε Ω = {(Ε ),(Ε ),...,(Ε )} και Ν(Ω) = 8. -4 - (κ - ) - 4.κ.κ = κ - 4κ + 4-4κ -4 - Δ = = -κ - 4κ + 4 Για να εχει η εξισωση δυο πραγματικες και ισες ριζες, πρεπει : κ = - Δ = 0 -κ - 4κ + 4 = 0 κ = (απορριπτεται, κ ακεραιος)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ν(Α) Αρα Ν(Α) = και Ρ(Α) = Ν(Ω) = 8 Για να εχει η εξισωση δυο πραγματικες και ανισες ριζες, πρεπει : Δ > 0 -κ - 4κ + 4 > 0 - < κ < τοτε κ εχει τιμες - και 0. Ν(Β) Αρα Ν(Β) = και Ρ(Β) = = Ν(Ω) 8 = 4 Για να μην εχει η εξισωση πραγματικες ριζες, πρεπει : Δ < 0 -κ - 4κ + 4 < 0 (κ < - η κ > ) τοτε κ = -4,-,,,. Ν(Γ) Αρα Ν(Γ) = 5 και Ρ(Γ) = 5 Ν(Ω) = 8 Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α) + - Ρ(Α) - = 8κ, κ. Να δειχτει οτι : κ. 8 Ρ(Α) - Ρ(Α) + 0 Ρ(Α) + = Ρ(Α) + 0 Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) - 0 Ρ(Α) - = - Ρ(Α) Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται : 8κ + Ρ(Α) + - ( - Ρ(Α)) = 8κ Ρ(Α) + - + Ρ(Α) = 8κ Ρ(Α) = 8κ + Ρ(Α) = () Ομως () 8κ + 0 Ρ(Α) 0 0 8κ + - 8κ - κ 8 8 κ 8 Εστω δειγματικος χωρος Ω = {ω,ω,ω,...,ω }. 0 ν Ισχυει Ρ(ω κ ) =, κ =,,...,ν. κ Να βρεθει Ρ(ω ) και με ποιο ενδεχομενο ειναι ισοπιθανο το {ω }. 0 0 Να βρεθει Ρ(Α), αν Α = {ω,ω,...,ω }. ν- Εστω το ενδεχομενο ν Β = {ω,ω,...,ω }, τοτε Ρ(Β) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) +... + Ρ(ω ν) = + +... + () ν ν α.λ - α,,..., ειναι γ. προοδος με α ν = και λ = S v = λ -. -. - ν Οποτε η () γινεται: Ρ(Β) = = = - () ν - - ν
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ () Ρ(ω 0) + Ρ(Β) = Ρ(Ω) Ρ(ω 0) +- = Ρ(ω 0 ) = = Ρ(ω ν ν ) ν Εστω το ενδεχομενο Α = {ω,ω,...,ω }, τοτε ν- Ρ(Α) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) +...+Ρ(ω ν-) = + +...+ () ν-,,..., ειναι γ. προοδος με α ν- = και λ = και πληθος ν.. -. - ν Οποτε η () : Ρ(Α) = = = - - - 4 ν ν Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της εξισωσης : x - P(A)x + P(A B) = 0. 5 Aν P(Α Β) =, να βρεθουν οι πιθανοτητες : 9 Ρ(Α), P(A B),P(A' B), P(Α' Β'). Απ'το αθροισμα και γινομενο ριζων τριωνυμου ειναι: Ρ(Α) +Ρ(Β) =Ρ(Α) Ρ(Α) = Ρ(Β) Ρ(Α).Ρ(Β) = P(AB) [Ρ(Α)] = P(A B) 5 5 5 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) = Ρ(Α)-[P(A)] = 9 9 9 Ρ(Α) = 9[P(A)] -8Ρ(Α) +5 = 0 5 Ρ(Α) = (απορριπτεται αφου Ρ(Α) > ) P(A B) = [P(A)] = = 9 P(A' B) = Ρ(Β)-P(AB) = - = 9 9 8 P(Α' Β') = Ρ[(AB)]'=-P(AB) =- = 9 9 Εστω Α, Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(Α Β) Ομως, 0 P(A B)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Οποτε 0 Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(ΑΒ) P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) (), λογω της () P(Α Β Γ) = Ρ Α (Β Γ) P(Α Β Γ) Ρ(Α) + P(Β Γ) (+) P(Β Γ) Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(Β Γ) Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(ΑΒ Γ) + P(Β Γ) Ρ(Α) + P(Β Γ) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) Εστω Ω = {0,,,,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα ενδεχομενα. Επιλεγουμε ενα ενδεχομενο λ Ω. Αν f(x) = x - λx + λ x + + λ, να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α :" η γραφικη παρασταση της f εχει στο σημειο της Α(,f()) εφαπτομενη πα - ραλληλη στον αξονα x'x ". H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο με : f'(x) = x - 4λx + λ Για να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x η εφαπτομενη της C στο σημειο με τετμημενη, πρεπει: λ = f'() = 0. - 4λ. + λ = 0 λ - 4λ + = 0 λ = Ω και Ω, οποτε Ν(Α) = και αφου Ν(Ω) = 6, τοτε : Ν(Α) Ρ(Α) = = = Ν(Ω) 6 Εστω Α, Β ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω με : 9 Ρ(Α) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Α Β) = 5 0 0 Ρ(Α Β)x - Ρ(Α)x, αν x 0 P(A) και η συναρτηση : f(x) = x - P(B) + x 4Ρ(Α- Β), αν x = 0 Να εξετασετε αν η f ειναι συνεχης στο x = 0. 0 f 9 4 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) = +Ρ(Β)- Ρ(Β) = 0 5 0 5 Ρ(Α- Β) = Ρ(Α)-P(AB) = - = 5 0 0 Οποτε η συναρτηση γινεται: 0,9x - 0,4x, αν x 0 f(x) = x - x 0,4, αν x = 0
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 f(0) = 0,4 lim f(x) = = 0,4 0,9x - 0,4x x(0,9x - 0,4) 0,9x -0, 4 lim = lim = lim x - x x(x -) x 0 x 0 x 0 x 0 x - Δηλαδη lim f(x) = f(0) = 0,4 που σημαινει οτι η f ειναι συνεχης στο x = 0. x 0 0 Εστω Α, Β ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α), Ρ[(Α Β)'] και Ρ(Β) να ειναι διαδοχικοι οροι αριθμ.προοδου. Αν Ρ(Α Β) ειναι το τ.ελαχιστο της συναρτησης f(x) = x - x + και Ρ(Α) η θεση του τ.ελαχιστου, να βρεθουν : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β). Αφου Ρ(Α), Ρ[(ΑΒ)'], Ρ(Β) ειναι διαδοχικοι οροι αριθμ.προοδου, τοτε Ρ[(ΑΒ)'] = Ρ(Α) Ρ(Β) [-Ρ(ΑΒ)] = Ρ(Α) Ρ(Β) - P(A B) -Ρ(ΑΒ) = P(AB) + P(AB) P(A B) = () f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = Για x < τοτε f'(x) < 0 και η f γ.φθινουσα, ενω για x > τοτε f'(x) > 0 και η f γ.αυξουσα Δηλαδη, για x = η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο, το f( ) = - + = 4 4 Αρα Ρ(Α) = Ρ(Α Β) = (απο υποθεση) 4 ( ) - -P(AB) 5 P(A B) = = 4 = 5 8 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) Ρ(Β) = - + = = 4
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Εστω Ω = {ω,ω,ω } ο δειγματικος χωρος πειραματος τυχης με : Α = {ω,ω } και Ρ(Α) =. x + x - 4Ρ(ω ), x Δινεται η συναρτηση f(x) = x - Ρ(ω ) αx + Ρ(ω )x, x > Να βρεθει η Ρ(ω ). Να βρεθει ο πραγματικος α, ωστε να υπαρχει το limf(x). x Ρ(Ω) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(ω ) + Ρ(Α) = Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = x + x -, x O τυπος της συναρτησης f γινεται: f(x) = x - αx + x, x > Οποτε x + x - x + x - (x -)(x +) lim f(x) = lim = lim = lim = x x x - x x - x x - lim f(x) = lim αx + x = α + x x 5 Για να υπαρχει το limf(x) πρεπει: lim f(x) = lim f(x) α + = α = x x x Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ν ) Ω = {ω,ω,...,ω ν } και Ρ(ω ) = = =... = ν Να βρεθει : η Ρ(ω ) με κ =,,...,ν σε συναρτηση με τα κ,ν. κ η Ρ(ω ) αν ν =. Απο τις ιδιοτητες των αναλογιων προκυπτει: Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ν ) Ρ(ω ) + Ρ(ω ) +... + Ρ(ω ν) = = =... = = = = ν ++... + ν ν(ν +) ν(ν + ) ν(ν +) : Ρ(ω ) + Ρ(ω ) +... + Ρ(ω ν) = και ++... + ν = Ρ(ω κ) : = κ ν(ν + κ Ρ(ω κ ) =, κ =,,...,ν ) ν(ν + ). Ρ(ω ) = = = ( +) 6. 78
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ω = { Α,Β,Γ,Δ } Ρ(Δ) =.Ρ(Γ) Ρ(Α) η θεση του ελαχιστου της συναρτησης f(x) = x - x + 5 Ρ(B) η τετμημενη του σημειου που η εφαπτομενη της συναρτησης g(x) = x - x + ειναι παραλληλη στον αξονα x'x. Nα βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Δ). f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = x < f'(x) < 0 f γ.φθινουσα x > f'(x) > 0 f γ.αυξουσα g'(x) = 4x - για x = η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο. Για να ειναι η εφαπτομενη της C στο x παραλληλη στον αξονα x'x, πρεπει: g'(x 0) = 0 4x0 - = 0 x 0 = 4 Αρα, Ρ(Α) = Ρ(Β) = 4 Επισης g 0 Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) + Ρ(Δ) = + + Ρ(Γ) +Ρ(Γ) = 4 Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Δ) =. Ρ(Δ) = 6 Ρ(Γ) = 4 Ρ(Γ) = Ρ(Γ) = Εστω Ω ο δειγματικος χωρος του πειραματος της ριψης ενος ζαριου. Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου: Α = { x Ω : το δειγμα x, 5 x, 7 x, -, -7x να εχει x =- } Ω = {,,,4,5,6}, και x +5 -x + 7 -x --7x = - x - 4x -7x = -0 x - 4x -7x +0 = 0 x = - 5 x = (x -)(x -5)(x +) = 0 x = 5 x = -, απορριπτεται αφου -Ω Ν(Α) Οποτε, Ν(Α) =, Ν(Ω) = 6 και Ρ(Α) = = Ν(Ω) 6 =
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Μια μεταβλητη παιρνει τις τιμες,,,, 4, 6, x. 6x - 6x + 66 Να δειξετε οτι η διακυμανση των παρατηρησεων ειναι : s = 49 Αν το x παιρνει τιμες απο το συνολο : + +++ 4 + 6 + x 8 + x x = =, οποτε 7 7 8 + x 8 + x 8 + x 8+ x 8 + x 8+ x (- ) +(- ) +(- ) (4 - ) +(6- ) +(x - ) s = 7 7 7 + 7 7 7 = 7 7 (+ x) +(4 + x) +(- x) +(0 - x) +(4 - x) +6(x -) 4x -5x +6 = = = 49.7 49.7 6x - 6x + 66 = 49 66 66 6x -6x s > s > > 0 6x -6x > 0 x -6x > 0 7 49 49 x < 0 η x > 6 (x : -9,-8,-7,-6,-5,-4,-,-,-,7,8,9,0). Ω = {-9,-8,...,8,9,0} να βρειτε την πιθανοτητα του ενδεχομενου 66 Α : " Η τυπικη αποκλιση ειναι μεγαλυτερη απο ". 7 Αρα Ρ(Α) =. 0 Σ'ενα κυκλικο διαγραμμα παρουσιαζονται οι τιμες x, x, x, x μιας μεταβλη - 4 της Χ. Η γωνια του τοξου της τιμης x ειναι 54 και η συχνοτητα της x ειναι ν = 4. Επιλεγουμε στη τυχη μια παρατηρηση και εστω Να βρειτε τη πιθανοτητα Ρ(x ). 0 4 4 Αν Ρ(x ) = 0,5 και ν = 6, να βρειτε το πληθος των παρατηρησεων, τις πι - Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x ) η πιθανοτητα να επιλεγει η παρατηρηση με τιμη x,x,x,x αντιστοιχα. θανοτητες Ρ(x ),Ρ(x ) και να κατασκευασετε το κυκλικο διαγραμμα. 4 0 54 Ρ(x ) = f = = 0,5 60 0 ν ν 4 f = Ρ(x ) = 0,5 = 0,5 ν = ν = ν = 40 ν 0,5 0,5 ν 6 Ρ(x ) = f = = = 0,40 ν 40 Ρ(x ) = - Ρ(x ) +Ρ(x ) + Ρ(x ) =-(0,5 + 0,5 + 0,40) = 0,0 4 Eπισης 0 0 0 0 4 0 0 ω = 0,5.60 = 6, ω = 0, 40.60 = 44,ω = 0,.60 = 6 Οποτε το κυκλικο διαγραμμα ειναι:
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9 P(x 4 )=0,0 P(x )=0,5 Εστω οτι η μεταβλητη Χ παιρνει τις τιμες 0 και και εχει x = λ. Να δειξετε οτι : s = λ( - λ). P(x )=0,40 P(x )=0,5 Μια καλπη περιεχει x + 7x + ασπρες, x κοκκινες κινες και x + x + 4 πρασινες μπαλες. Εστω το ενδεχομενο Α :" η μπαλα ειναι κοκκινη ". Επιλεγουμε τυχαια μια μπαλα. Να βρεθει η τιμη του x για την οποια η Ρ(Α) γινεται μεγιστη. Να βρεθει η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α). Ν(Ω) =x + 7x + + x +x +x + 4 = 5x +0x +5 και Ν(Α) Ν(Ω) =x + 7x ++ x +x +x + 4 = 5x +0x +5 και Ν(Α) = x, οποτε Ν(Α) x Ρ(Α) = = 5x Ν(Ω) + 0x + 5 x 5x +0x +5- x(0x +0) -5x +5-5(x - )(x + ) Ρ'(Α) = ' = = = 5x +0x +5 (5x +0x +5) (5x +0x +5) (5x + 0x + 5) -5(x -)(x +) x = Ρ'(Α) = 0 = 0-5(x -)(x +) = 0 (5x +0x +5) x = - απορρ. Για 0 < x < P'(A) > 0 η f γ.αυξουσα Για x = η f παρουσιαζει Για x > P'(A) < 0 η f γ.φθινουσα τοπικο μεγιστο, το Ρ(). Οποτε η τιμη για την οποια η Ρ(Α) γιν εται μεγιστη ειναι: x = Η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α) ειναι: Ρ() = = 5. +0. +5 0 Εστω Α και Β - Α συμπληρωματικα ενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι Ρ(Α Β) = Αν Ρ(Α Β) = [Ρ(Β)], να βρειτε : τη συναρτηση f(x), η οποια εκφραζει τη μεταβολη της Ρ(Α), οταν μεταβαλλε - ται η Ρ(Β). την Ρ(B), για την οποια η Ρ(Α) γινεται ι ελαχιστη, καθως και την ελαχιστη αυτη πιθανοτητα.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 0 Αφου Α και Β-Α ειναι συμληρωματικα ενδεχομενα, τοτε : Β-Α = Α' Ρ(Β-Α) = Ρ(Α') Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) =-Ρ(Α) Ρ(Α) + Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α Β) = Ρ(ΑΒ) =[Ρ(Β)] Ρ(Α) + Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) =[Ρ(Β)] Ρ(Α) + Ρ(Β)- = [Ρ(Β)] Ρ(Α) =[Ρ(Β)] -Ρ(Β) + Αρα f(x) = x - x + f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = Ρ(ΑΒ)= x < f'(x) < 0 f γ.φθινουσα για x = η f παρουσιαζει x > f'(x) > 0 f γ.αυξουσα τ.ελαχιστο. f = - + = ειναι το τ.ελαχιστο. 4 4 Αρα η Ρ(Α) γινεται ελαχιστη οταν Ρ(Β) =. Η ελαχιστη τιμη της Ρ(Α) ειναι. 4 Στο CD που εχετε αυτη τη στιγμη μπροστα σας, υπαρχουν ν αλυτες ασκησεις, αριθμημενες απο το ως το ν, που επιμεληθηκαν δυο μαθηματικοι, ο Α και ο Β. Καποιες απ'αυτες επιμεληθηκε ο μαθηματικος Α, καποιες ο Β και καποιες επι - μεληθηκαν μαζι ο Α και ο Β. Ο μαθηματικος Α εχει επιμεληθει συνολικα τις πρωτες 50 ασκησεις, απ'τις ο - ποιες μονο τις πρωτες 0 επιμεληθηκε μονος του. Η πιθανοτητα να εχουν επιμεληθει μαζι οι δυο μαθηματικοι μια ασκηση ειναι. 5 Να βρειτε ποσες ειναι οι αλυτες ασκησεις. Αν η πιθανοτητα να εχει επιμεληθει μια ασκηση ο μαθηματικος Β μονος του ειναι, ο ισχυρισμος του οτι ασχοληθηκε με 70 απ'τις ασκησεις ειναι σωστος; Ν(Α) = 50, Ν(Ω) = ν και Ν(ΑΒ) = 50-0 =0. Ν(ΑΒ) 0 Ρ(ΑΒ) = = = ν = 00 5 Ν(Ω) 5 ν 5 7 Ρ(Β-Α) = Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) = Ρ(Β)- = Ρ(Β) = 5 0 Ομως Ν(Β) 7 Ν(Β) Ρ(Β) = = Ν(Β) = 70 Ν(Ω) 0 00 Δηλαδη ο ισχυρισμος του ειναι σωστος.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Απο μια τραπουλα (5 φυλλων) παιρνουμε διαδοχικα φυλλα και τα χαρακτη -. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; ριζουμε ως προς το χρωμα τους σε μαυρα (Μ) και κοκκινα (Κ). Να βρειτε :. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ Το δειγματικο χωρο Ω του πειραματος. Το ενδεχομενο Α :" το πολυ μαυρα φυλλα " Το ενδεχομενο Β :" τουλαχιστον μαυρα φυλλα " Το ενδεχομενο Γ = Α Β. Ριχνουμε το ζαρι δυο φορες και παρατηρουμε τις ενδειξεις του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : Α :" πρωτη ενδειξη μεγαλυτερη απο την δευτερη " Β : " το αθροισμα των δυο ενδειξεων ειναι αρτιος αριθμος " Γ :" η πρωτη ενδειξη περιττη και η δευτερη αρτια " Α Β, Α Γ, Β Γ, Α (Β Γ) Ριχνουμε τα ζαρια στο ταβλι ( ζαρια). Ποια ειναι η πιθανοτητα να φερουμε : Α :" εξαρες " (και τα δυο ζαρια τον αριθμο 6) Β : " ασσοδυο " (το ενα ζαρι τον αριθμο και το αλλο τον αριθμο ) Γ :" ενα τουλαχιστον 5 " Απο τραπουλα 5 παιγνιοχαρτων παιρνουμε ενα φυλλο. α. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α :" το φυλλο ειναι κοκκινο " Β :" το φυλλο ειναι νταμα " Γ :" φυλλο ειναι μαυρο " Δ : " το φυλλο ειναι κοκκιν νταμα " Ε : "τ ο φυλλο ειναι κοκκιν η νταμα " Ζ : " το φυλλο δεν ειναι κοκκιν η νταμα " β. Να αντιστοιχισετε τα ενδεχομενα Γ εως Ζ με καποιο απο τα συμβολα : Α Β,, Ω, Α Β, Α', (Α Β)', Α' Β Εστω Ω = {ω, ω, ω, ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης. 4 Αν Ρ(ω ) =, Ρ(ω ) = και Ρ(ω ) =, να βρεθει η Ρ(ω 4 ). 4 8 4 Αν Α = {ω, ω }, Β = { ω, ω 4 }, Ρ(Α) =, Ρ(Β) = και Ρ(ω ) =, να υπολογι - 4 5 6 σετε τη πιθανοτητα Ρ(ω ).
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,5 ενω Ρ(Α Β) = 0,4. Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Γ : " να πραγματοποιηθει μονο το Α " Δ : " να πραγματοποιηθει μονο το Β " x i v i f i f i % Ε : " να πραγματοποιηθει μονο ενα απο τα Α και Β " 0 0,0 0 4 0,0 0 Εστω Α, Β ενδεχομενα 0 ενος 0,50 δειγματικου 50 χωρου Ω με : 0,0 0 Ρ(Α Β) 4 = και Ρ(Β') = ενω 0,0 Ρ(Α Β) 0 =. 4 4 Να βρειτε Συντις πιθανοτητες ν=0 : 00 Ρ(Β) Ρ(Α) Ρ(Α- Β) Ρ(Β - Α) Ρ(Α' Β') Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] Ριχνουμε στον αερα ενα ζαρι που δεν ειναι αμεροληπτο. Αν Ρ() =, Ρ() = Ρ() = Ρ(4) = και Ρ(6) =, τοτε : 6 4 Να βρεθει η Ρ(5). Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α :" ενδειξη περιττη ". Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Β :"ε νδειξη μεγαλυτερη του 4 ". Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α ) = και Ρ(Β ) =. Eξεταστε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Αν Ρ(Α Β ) = να υπολογισετε την Ρ(Α Β ). Δειξτε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. Να υπολογισετε τις πιθανοτητες Ρ(Α Β ) και Ρ(Α Β ). Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : 5 Ρ(Α'), Ρ(Β) και Ρ(Α Β). 6 Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β). 6
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : v = N = 5 50 5 Ρ(Α') και Ρ(Β'). 4 f% 6 f = = = και = f.v = 0,0.50 = = 00 0,0 F 5 v 5 Ν Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β). 4 ν v = Ν - Ν = 6-5 = και f = = = 0, ν 50 F = f + f = 0, + 0, = 0, Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. F % 50 F = = = 0,50 Να αποδειχτει οτι και f = F - F = 0,5-0, = 0,8 : [Ρ(Α)] 00 00 + [Ρ(Β)] - Ρ(Α Β) [Ρ(Α Β) - ]. v = f.v = 0,8.50 = 9 v = ν - (ν ν ν ν ) = 50-9 = 4 4 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και α > 0. Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι : 8, - και α α α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστοιχα Η πιθανοτητα να επιλεγει ενας μαθητης στη θεατρικη ομαδα του σχολειου του ειναι /6 ενω η πιθανοτητα να μην επιλεγει στην ομαδα μουσικης ειναι 4/5, ε- νω η πιθανοτητα να επιλεγει και στις δυο ομαδες ειναι /0. Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων: Να επιλεγει τουλαχιστον σε μια απο τις δυο ομαδες. Να επιλεγει μονο στην θεατρικη ομαδα. Να επιλεγει μονο στην ομαδα μουσικης. Να επιλεγει μονο σε μια απο τις δυο ομαδες. Να μην επιλεγει σε καμια ομαδα. Να επιλεγει σε μια το πολυ ομαδα. Μια ταξη εχει 0 αγορια και κοριτσια.τα των αγοριων και τα των κοριτσι - ων εχουν κινητο τηλεφωνο. Αν η πιθανοτητα να ειναι κοριτσι που εχει κινητο ειναι 0, να βρεθουν : Ποσα ειναι τα αγορια της ταξης. Ποια η πιθανοτητα το ατομο να ειναι κοριτσι η να εχει κινητο. Σε ενα συνεδριο μαθηματικων συμμετεχουν Ελληνες, Γαλλοι και Αγγλοι μαθηματικοι. Απο τους συνεδρους επιλεγεται τυχαια ενας για τη θεση του συντονιστη του συνεδριου. Αν στο συνεδριο συμμετεχουν 5 Ελληνες, ενω οι πιθανοτητες να επιλεγει Γαλλος ειναι / και Αγγλος ειναι /4, να βρεθει το πληθος των συνεδρων.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Για το ενδεχομενο Α ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει : Ρ(Α) = λ + 6λ+ 0 Να βρειτε την τιμη του λ. Να δειξετε οτι Α = Ω. Να εξεταστει αν η πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α μπορει να εκφραστει απ'τη 5 συναρτηση : f(x) = x - x +, x -,. 8 4 4 Aν ακομη ισχυει : - Ρ(Α) - Ρ(Α) - = κ, κ, να βρεθουν οι τιμες των κ και Ρ(Α). Εστω δειγματικος χωρος που αποτελειται απο το συνολο των ριζων της εξισωσης (x 0) (x ) (x 0) = 0. Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα και λ Ω, να βρεθει η πιθανοτητα η εξισωση y 8y + λ = 0 να μην εχει πραγματικες ριζες. Δινεται το συστημα : x - y = αx + (α - 5α + )y = 6 Για να προσδιορισουμε τη τιμη της παραμετρου α ριχνουμε ενα ζαρι στον αερα. Η ενδειξη του ζαριου θα καθοριζει τη τιμη του α. Να βρειτε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων : Α : " το συστημα εχει απειρες λυσεις " Β :" το συστημα ειναι αδυνατο " Γ : " το συστημα εχει μια μονο λυση " Δ :" το συστημα εχει μοναδικη λυση την : (x,y) = (,-) " Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω και Ρ(Α), Ρ(Β) ριζες της εξισωσης: 6x + 5x x + 4 = 0 με Ρ(Α) < Ρ(Β) να δειξετε οτι: Α, Β οχι ασυμβιβαστα Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 6 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω και κ πραγματικος αριθμος τετοιος ωστε : Ρ(Α) - - Ρ(Α) + = κ + 9. Αν α ειναι η ελαχιστη τιμη του κ και β η μεγιστη, τοτε : Να βρεθουν τα α και β. x - 9 x - 4x - x + 4 Να βρεθουν τα ορια : lim lim x α x - x β x - 6
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 Εστω Α,B ασυμβιβαστα ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω ωστε Α Β = Ω. 4 Αν Ρ(Α) - Ρ(Β) = και Ρ(Α) + Ρ(Β) =, θ > 0, τοτε να βρεθουν : θ θ Ρ(Α), Ρ(Β) και θ. Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με κ 7 και η εξισωση : (Ε κ ) : (κ - )x - (κ - )x + κ + = 0. Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ) : Α : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες Β : εχει δυο ομοσημες και ανισες ριζες Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω. Ισχυει Ρ(Α) + - Ρ(Α) - = κ +, κ. Να δειχτει οτι : κ. Εστω δειγματικος χωρος Ω = {0,,,...,ν},ν θετικος ακεραιος. Ισχυει Ρ(κ) =, κ {,,...,ν}. κ Να βρεθει Ρ(0) και να βρεθουν δυο στοιχειωδη ισοπιθανα ενδεχομενα. Να βρεθει Ρ(Α), αν Α = {,4,6,...,ν}. Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της P(A B) 5 8 Aν P(Α' Β') =, να βρεθουν οι πιθανοτητες : 9 Ρ(Α), P(A B),P(A' B), P(Α Β). εξισωσης : x - (P(A) - Ρ(Β))x + = 0. κ Εστω Α, Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) - Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {0,,, } και f(x) = λx 4 + λ x 5, με λ Ω. Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα να βρεθει η πιθανοτητα ωστε η γραφικη παρασταση της f να εχει στο σημειο με συντε-ταγμενες (, f()) εφαπτομενη παραλληλη στον αξονα x x.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Σε ενα κουτι υπαρχουν κοκκινες, πρασινες και μαυρη σφαιρα. Επιλεγουμε τυχαια δυο σφαιρες διαδοχικα. Εστω τα ενδεχομενα Α: οι σφαιρες εχουν το ιδιο χρωμα και Β: η μια σφαιρα ειναι μαυρη. Δινεται η συναρτηση f με τυπο: x + [P(B) + P(A)]x, x 0 f(x) = x + x P(A B), x = 0 Να εξετασετε τη συνεχεια της συναρτησης f στο x 0 = 0, αν η δειγματοληψια γινει: με επανατοποθετηση χωρις επανατοποθετηση Θεωρουμε τις συναρτησεις: f(x) = 4(x )(x 5x + 6) και g(y) = /y 5y + 6y + 006 Εστω Ω = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης με ισοπιθανα απλα ενδεχομενα. Οριζουμε τα ενδεχομενα: Α = { x Ω / f(x) = 0} και Β = { y Ω / y ειναι θεση ακροτατου της g(x)}. Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων: Α, Β, A B,A B, Α Β, Β - Α Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {ω, ω, ω, ω 4 } και τα ενδεχομενα: Α = {ω, ω } και Β = {ω, ω }. 5 Αν Ρ(Α) =, Ρ(Β) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Α- Β) = να βρεθουν οι πιθανοτητες των απλων ενδεχομενων ω, ω, ω και ω 4. Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ρ(0) Ρ() Ρ() Ρ() Ρ(4) Ω = {0,,,,4} και = = = = Να βρεθουν οι παραπανω πιθανοτητες. 4 Εστω η συναρτηση f με f(x) = -x + x + λx - (λ - 5λ+ 8)x + 006, λ Ω. Θεωρουμε το ενδεχομενο : Α = {λ Ω / η C δεχεται στο - εφαπτομενη καθετη στην ευθεια : y = -x + 007}. Nα βρεθει η Ρ(Α). f
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ευκολα απο τις στηλες v i, xiv i Ω = {ω,ω,ω } προκυπτει η στηλη των x. i x x Επισης Ρ(ω ) η θεση του ακροτατου της συναρτησης f(x) = - + 4 Ρ(ω ) το ακροτατο της συναρτησης f. Nα βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(ω ), Ρ(ω ) και Ρ(ω ). 5 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ω = {,,5,0} με Ρ(κ) =, κ Ω. 9κ Να βρειτε τις πιθανοτητες των στοιχειωδων ενδεχομενων του Ω. Οι τιμες των παρατηρησεων μιας μεταβλητης x ειναι : 6,6,,κ,κ, οπου κ Ω και εστω Α,Β τα ενδεχομενα του Ω : Α = {κ Ω / η διαμεσος των παρατηρησεων της x ειναι : δ < 8} Β = {κ Ω / η μεση τιμη των παρατηρησεων της x ειναι : x > 8} Nα βρεθουν : Ρ(Α), Ρ(Β'), Ρ(Α Β),Ρ(Α Β),Ρ(Α' Β'). Μια μεταβλητη παιρνει τις τιμες, 4, 6, 8, x. 4x - 40x + 00 Να δειξετε οτι η διακυμανση των παρατηρησεων ειναι : s = 5 Αν το x παιρνει τιμες απο το συνολο : Ω = {-9,-,0,8,9,,5,7} να βρειτε την πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " Η τυπικη αποκλιση ειναι μικροτερη απο ". Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια. Τοτε : Ν(Ω) = 4 + x + y. Θεωρουμε τα ενδεχομενα Εστω P(x : ), P(x ), P(x ), P(x 4 ) οι πιθανοτητες να εμφανιστει μια απ τις παρατηρησεις x x i v i f i % Α : "υποψηφια με καστανα μαλλια"., x, x, x 4 αντιστοιχα. x Τοτε, με τη βοηθεια του διπλανου πινακα: x Β : "υποψηφια 0 με ξανθα μαλλια". να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) x Γ : "υποψηφια με μαυρα μαλλια". να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) x 4 αν P(x 4 )=0,0 να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) Συν ν=0 Ρ(Β) =, Ρ(Γ) =, Ν(Β) να κατασκευαστει = x, N(Γ) = y. το αντιστοιχο κυκλικο διαγραμμα. 6 Οποτε Ενας μαθηματικος εχει στον υπολογιστη του x ευκολες ασκησεις, x + με - Ν(Β) x τριας Ρ(Β) = = = δυσκολιας και x δυσκολες ασκησεις. Ν(Ω) 4 + x + y x = 4 + x + y Ο καθηγητης επιλεγει τυχαια μια ασκηση για να τη βαλει σ'ενα test. Ν(Γ) y 6y = 4 + x + y Ρ(Γ) = = = Θεωρουμε το ενδεχομε 6 νο Α :"επιλεγει Ν(Ω) 6 ευκολη ασκηση". 4 + x + y 6 Να βρειτε : x = 4 + y x = 4 + y x = 4 + y x = 6 την πιθανοτητα Ρ(Α) σε συναρτηση με τον x. x - 5y = -4 4 + y - 5y = -4 4y = 48 y = για ποια τιμη του x η Ρ(Α) γινεται μεγιστη. Aρα οι υποψηφιες ειναι : 4 + 6 + = 7. ποια ειναι η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α).
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Εστω Α και Β - Α ενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : 0 Ρ(Α)Ρ(Α') [Ρ(Α)] + [Ρ(Α')] 4 Αν Ρ(Α Β) - Ρ(Α Β) =, να δειξετε : Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) = Μετα απο ενα τροχαιο ατυχημα το 40% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκομειο, το 50% των επιβατων διακομιστηκαν σε νοσοκομειο της Αθηνας, ενω το 5% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκομειο και κατοπιν λογω της σοβαροτητας του τραυματισμου τους κριθηκε αναγκαια η μεταφορα τους σε νοσοκομειο της Αθηνας. Αν απο τους επιβατες δεν τραυματιστηκαν καθολου τοτε ποσους επιβατες συνολικα ειχε το οχημα;