Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Transcript

1 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς. Θ ε ω ρ ι α. Μ ε θ ο δ ο ς. Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς 4. Π ρ ο π ο ν η σ η 5. Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς

3 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς

4 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Με πολυ μερακι Για τους καλους φιλους μου Κερκυρα 05 H δικη μου αποψη για την βοηθεια των μαθητων

5 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Πιθανοτητες Τακης Τσακαλ ακο ς logspot.gr

6 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς. Ο ρ ι σ μ ο ι Π ε ι ρ α μ α Τ υ χ η ς λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα, οσες φορες και να επαναληφθει κατω απο τις ιδιες συνθηκες. Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ω : ενος πειραματος τυχης ονομαζεται το συνολο ολων των δυνατων αποτελεσματων που μπορουν να εμφανιστουν κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη αν ω, ω,, ων τα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος, τοτε ο δειγματικος χωρος ειναι : Ω = { ω, ω,, ων }. Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο Α ενος πειραματος τυχης, λεγεται το συνολο που εχει για στοιχεια του ενα η περισσοτερα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος. Δηλαδη το ενδεχομενο Α ειναι ενα υποσυνολο του δειγματικου χωρου Ω : Α Ω Tο πληθος των στοιχειων ενος ενδεχομενου Α συμβολιζεται με Ν(Α). Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι η σ η Ε ν ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Ενα ενδεχομενο Α πραγματοποιειται οταν το αποτελεσμα του πειραματος ειναι στοιχειο του ενδεχομενου. Τα στοιχεια του ενδεχομενου Α λεγονται και ε υ ν ο ϊ κ ε ς π ε ρ ι π τ ω σ ε ι ς για την πραγματοποιηση του. Δ ι α κ ρ ι σ η τ ω ν Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν Α π λ ο ( η σ τ ο ι χ ε ι ω δ ε ς ) ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που εχει μονο ε ν α στοιχειο. Σ υ ν θ ε τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που εχει δ υ ο η π ε ρ ι σ σ ο τ ε ρ α στοιχεια. Β ε β α ι ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που πραγματοποιειται π α ν τ α (δηλαδη σε καθε εκτελεση του πειραματος) και τ α υ τ ι ζ ε τ α ι με τον δειγματικο χωρο Ω. Α δ υ ν α τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο : ειναι αυτο που δεν πραγματοποιειται π ο τ ε και ταυτιζεται με το κενο συνολο.

7 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς. Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α ( Α, Β ) Σ υ μ π λ η ρ ω μ α Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α Δ ι α β α ζ ε τ α ι : Οχι Α η αντιθετο του Α η συμπληρωμα του Α Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α. Α Α Ω Ε ν ω σ η Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α Β Α Δ ι α β α ζ ε τ α ι : Α ενωση Β η Α η Β Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται τουλαχιστον ενα απ'τα ενδεχομενα Α η Β. Τ ο μ η Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α Α Β Δ ι α β α ζ ε τ α ι : Α τομη Β η Α και Β Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιουνται συγχρονως τα ενδεχομενα Α και Β. Β Ω Β Ω Δ ι α φ ο ρ α Α - Β Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α Β η Α - Β Δ ι α β α ζ ε τ α ι : Διαφορα του Β απ το Α Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α αλλα οχι το ενδεχομενο Β. Α Β Ω Δ ι α φ ο ρ α Β - Α Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : Α Α Β η Β - Α Δ ι α β α ζ ε τ α ι : Διαφορα του Α απ το Β Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Β αλλα οχι το ενδεχομενο Α. Β Ω

8 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Σ υ μ π λ η ρ ω μ α Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς : (Α Β ) (Α Β) η (Α Β) (Β Α) Δ ι α β α ζ ε τ α ι : "Διαφορα του Β απ το Α η Διαφορα του Α απ το Β Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν : Πραγματοποιειται μονο το ενδεχομενο Α η μονο το ενδεχομενο Β. Α Β Ω Α σ υ μ β ι β α σ τ α Δυο ενδεχομενα Α, Β λεγονται α σ υ μ β ι β α σ τ α η ξ ε ν α μεταξυ τους η αμοιβαιως αποκλειομενα, αν ισχυει : Α Β = Δηλαδη αυτα που δ ε ν μπορουν να πραγματοποιηθουν σ υ γ χ ρ ο ν ω ς. Α Β Ω Το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται ω Α Το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται ω Α ' η ω Α Ενα τουλαχιστον απ τα Α και Β πραγματοποιειται ω Α Β Πραγματοποιειται και το Α και το Β ω Α Β Δεν πραγματοποιειται ουτε το Α ουτε το Β ω (Α Β)' Πραγματοποιειται μονο το Α Αν πραγματοποιειται το Α, τοτε πραγματοποιειται ω Α Β η ω Α Β' Α Β Πραγματοποιειται μονο ενα απ'τα Α και Β ω (Α Β') (Α' Β) Πραγματοποιειται το πολυ ενα απ'τα Α και Β ω (Α Β)' η ω Α' Β'. Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Ε ι σ α γ ω γ η Στην εκτελεση ενος πειραματος τυχης δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα και κατα συνεπεια δεν γνωριζουμε αν θα πραγματοποιηθει καποιο ενδεχομενο Α του δειγματικου χωρου. Σε πολλα ομως πειραματα εχουμε ενα μετρο προσδοκιας για την πραγματοποιηση ενος ενδεχομενου, π.χ. στη ριψη αμεροληπτου ζαριου η προσδοκια μας να ελθει εξαρι ειναι μια στις εξι. Αυτο το μετρο προσδοκιας πραγματοποιησης του ενδεχομενου λεγεται π ι θ α - ν ο τ η τ α τ ο υ Α και συμβολιζεται Ρ(Α). Επομενως σε καθε ενδεχομενο Α μπορουμε να αντιστοιχισουμε την πιθανοτητα του Ρ(Α) να πραγματοποιηθει.

9 Σ χ ε τ ι κ η Σ υ χ ν ο τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Λεγεται το πηλικο κ, οπου ν ειναι ο αριθμος εκτελεσεων του πειραματος και κ ο ν αριθμος που δειχνει ποσες φορες πραγματοποιηθηκε το ενδεχομενο Α. κ Ειναι δηλαδη : f = A ν Ειδικα για τα απλα ενδεχομενα {ω}, {ω},, {ων} του δειγματικου χωρου Ω, που πραγματοποιουνται κ, κ,, κν φορες αντιστοιχως σε ν επαναληψεις του πεικ κ κ λ ραματος, οι σχετικες τους συχνοτητες ειναι : f =, f = ν,, f = ν λ ν Ο ν o μ ο ς τ ω ν μ ε γ α λ ω ν α ρ ι θ μ ω ν Η σχετικη συχνοτητα ενος ενδεχομενου σταθεροποιειται γυρω απο μια συγκεκριμενη αριθμητικη τιμη, καθως ο αριθμος των επαναληψεων του πειραματος αυξανει απεριοριστα. Ι σ ο π ι θ α ν α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Τα απλα ενδεχομενα ω, ω,, ων ενος δειγμ. χωρου Ω = { ω, ω,, ων } λεγονται ι σ ο π ι θ α ν α, οταν εχουν την ιδια συχνοτητα εμφανισης κατα την εκτελε- ση του πειραματος. Δηλαδη η σχετικη συχνοτητα για καθ ενα απο αυτα ειναι ν. Για ενα συνθετο ενδεχομενο Α = { α, α,, ακ } που αποτελειται απο κ ισοπιθανα κ ενδεχομενα η σχετικη συχνοτητα του εiναι : f = f +f +...+f = = A κ ν ν ν ν κφορες Κ λ α σ σ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω τα απλα ισοπιθανα ενδεχομενα ω, ω,, ων ενος δειγματικου χωρου Ω = { ω, ω,, ων }. Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α : ειναι το πηλικο Ρ(Α) = πληθοςευνοικωνπεριπτωσεωντουα πληθος δυνατων περιπτωσεων Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς N(A) = N(Ω) Ρ(ω i) = ν, i =,,, ν Ρ(Ω) = Ρ( ) = 0 0 Ρ(Α) Α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω Ω={ ω,ω,...,ω } ν ενας δειγματικος χωρος με πεπερασμενο πληθος στοιχειων. Σε καθε απλο ενδεχομενο {ω i} αντιστοιχιζουμε εναν πραγματικο αριθμο, που τον συμβολιζουμε με P(ω i), ετσι ωστε να ισχυουν 0 P(ω i) P(ω ) + P(ω ) P(ω ν) =. Τον αριθμο P(ω i), ονομαζουμε π ι θ α ν ο τ η τ α του ενδεχομενου {ω i}. Ως πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α = { α, α,..., α κ } οριζουμε το αθροισμα

10 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Ρ(α ) + Ρ(α ) Ρ(α κ), δηλαδη Ρ(Α) = Ρ(α ) + Ρ(α ) Ρ(α κ) Ως πιθανοτητα του αδυνατου ενδεχομενου οριζουμε τον αριθμο Ρ( ) = 0. Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς : Αν Ρ(ω i) = ν, i =,,, ν, εχουμε τον κλασικο ορισμο της πιθανοτητας. Τοτε : H πιθανοτητα του βεβαιου ενδεχομενου Ω ειναι Ρ(Ω) =. N(A) κ H πιθανοτητα του ενδεχομενου Α = { α, α,, ακ } ειναι P(A) = = N(Ω) ν Οταν εχουμε ενα δειγματικο χωρο Ω = { ω, ω,, ων } και χρησιμοποιουμε τη φραση παιρνουμε τυχαια ενα στοιχειο του Ω, εννοουμε οτι ολα τα δυνατα α- ποτελεσματα ειναι ισοπιθανα με πιθανοτητα Ρ(ω i) = ν, i =,,, ν. 4. Κ α ν ο ν ε ς Λ ο γ ι σ μ ο υ Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα. Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε Ρ(Α Β Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α (ασυμβιβαστα) ισχυει: Ρ(Α ) = - Ρ(Α) Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Π ι θ α ν ο τ η τ α Υ π ο σ υ ν ο λ ο υ Αν Α Β τοτε Ρ(Α) Ρ(Β) Π ι θ α ν ο τ η τ α Δ ι α φ ο ρ α ς Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ μ ε τ ρ ο δ ι α φ ο ρ α ς Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: Ρ(Α - Β) Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β)

11 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 5. Δ ε σ μ ε υ μ ε ν η Π ι θ α ν ο τ η τ α Ο ρ ι σ μ ο ς P(A B) Αν Α και Β ειναι δυο ενδεχομενα ενος πειραματος και Ρ(Β) > 0, τοτε ο λογος P(B) λεγεται δεσμευμενη πιθανοτητα του Α με δεδομενο το Β και συμβολιζεται με Ρ(Α Β). P(A B) Δηλαδη : P(A B) =. P(B) Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς Αν P(Β) = 0, τοτε η P(Α Β) δεν οριζεται. Η P(Α Β) λεγεται επισης και πιθανοτητα υπο συνθηκη του Α δεδομενου του Β. Αν γνωριζουμε οτι το Β εχει πραγματοποιηθει, τοτε αυτο αντικαθιστα το Ω στον υπολογισμο της πιθανοτητας του Α, δηλαδη η δεσμευμενη πιθανοτητα του Α, P(Α Β) ειναι στην ουσια η πιθανοτητα του Α στον δειγματοχωρο Β. Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς Δ ε σ μ ε υ μ ε ν η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Απ'τον ορισμο της δεσμευμενης πιθανοτητας προκυπτει : P(A B) P(A Β) = P(B) P(A B)=P(A) P(Β Α)=P(B) P(A Β) P(A B) P(Β Α)= P(Α) Οι παραπανω ισοτητες εκφραζουν τον π ο λ λ α π λ α σ ι α σ τ ι κ ο τ ο ν ο μ ο τ η ς δ ε σ μ ε υ μ ε ν η ς π ι θ α ν ο τ η τ α ς. Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα. Σ τ ο χ α σ τ ι κ α Α ν ε ξ α ρ τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Δυο ενδεχομενα Α και Β με Ρ(Α) > 0 και Ρ(Β) > 0 λεγονται ανεξαρτητα, αν και μονον αν P(Α Β) = Ρ(Α) και Ρ(Β Α) = Ρ(Β) Δυο ενδεχομενα Α και Β λεγονται ανεξαρτητα, αν και μονον αν Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Β) Γενικα τα Α, Α,..., Α ν με ν ειναι ανεξαρτητα ενδεχομενα αν για οποιαδηποτε κ απο αυτα ισχυει : Ρ(Α Α... Α κ) = Ρ(Α ) Ρ(Α )... Ρ(Α κ), κ ν. Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς Τα ανεξαρτητα ενδεχομενα λεγονται και σ τ α τ ι σ τ ι κ α η σ τ ο χ α σ τ ι κ α ανεξαρτητα ενδεχομενα. Τα ανεξαρτητα ενδεχομενα δεν ειναι αναγκαστικα και ασυμβιβαστα και αντιστροφα. Για τα α σ υ μ β ι β α σ τ α ενδεχομενα Α, Β ισχυει: Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = 0 Για τα α ν ε ξ α ρ τ η τ α ενδεχομενα Α, Β ισχυει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α)

12 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Θ ε ω ρ η μ α Ο λ ι κ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Υποθετουμε οτι A, A,..., Aν ειναι ν ξενα ανα δυο ενδεχομενα των οποιων η ενωση ισουται με το Ω, ειναι δηλαδη μια δ ι α μ ε ρ ι σ η του Ω. Υποθετουμε επισης οτι ειναι γνωστες οι πιθανοτητες P(B A κ ) και P(A κ ) για κ ν. Τοτε αν Β ειναι ενα ενδεχομενο του Ω : ν P(B)= Σ P(Β Α ) P(Α ). κ= κ κ Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς Η ολικη οιθανοτητα λεγεται και Π ε ρ ι θ ω ρ ι α Π ι θ α ν ο τ η τ α Θ ε ω ρ η μ α Β a y e s Απ'τον ορισμο της δεσμευμενης πιθανοτητας προκυπτει : P(A B) P(A Β) = P(B) P(B) P(A Β) P(A B)=P(A) P(Β Α)=P(B) P(A Β) P(Β Α)= P(A B) P(Β Α) = P(A) P(Α) Γενικα, αν για τα ενδεχομενα Α, Α,..., Α ν, ισχυει : Ρ(Α i) > 0, i =,,..., ν και ενδεχομενο Β με Ρ(Β) > 0 τοτε P(Β Α ) P(Α ) P(Β Α ) P(Α ) κ κ κ κ P(Α B)= =, κ =,,..., ν κ ν P(B) ΣP(B Α ) P(Α ) i= i i

13 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η δ ε ι γ μ α τ ι κ ο υ χ ω ρ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση δειγματικου χωρου. Δ ο σ μ ε ν α : Πειραμα τυχης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Με καταγραφη των στοιχειων. Με δενδροδιαγραμμα. Με πινακα διπλης εισοδου. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εχουμε δυο κουτια α και β. Το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα. Επιλεγουμε ενα κουτι στη τυχη και στη συνεχεια μια μπαλα απ'αυτο. Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος. H κατασταση του πειραματος φαινεται στο δεντροδιαγραμμα: α Κ Α ακ αα Ο δειγματικος χωρος ειναι : Ω = { ακ, αα, αμ, βα, βμ} Αρχη Μ αμ Ω β Α Μ βα βμ Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εχουμε δυο κουτια α και β. Το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια πρασινη (Π) και μια γκρι (Γ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα. Επιλεγουμε μια μπαλα απ'το κουτι α και μια μπαλα απ'το κουτι β. Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος. β α Α Β Κ ΚΑ ΚΒ Π ΠΑ ΠΒ Μ ΜΑ ΜΒ H κατασταση του πειραματος φαινεται στο πινακα διπλης εισοδου: Ο δειγματικος χωρος ειναι : Ω = {ΚΑ, ΚΒ, ΠΑ, ΠΒ, ΜΑ, ΜΒ}

14 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Ριχνουμε το ζαρι μια φορα και παρατηρουμε την ενδειξη του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα: Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση ενδεχομενων. Δ ο σ μ ε ν α : Ιδιοτητες ενδεχομενων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Γραφουμε τον διανυσματικο χωρο του πειραματος. Επιλεγουμε τα στοιχεια του διανυσματικου χωρου που ικανοποιουν τις δοσμενες ιδιοτητες. Χρησιμοποιουμε τη γλωσσα των συμβολων Α:" ενδειξη αρτια " Β: " ενδειξη μεγαλυτερη του " Α Β, Α Β, Α', Α Β' Ο δειγματικος χωρος του πειραματος εινα ι: Ω={,,,4,5,6}. Α={,4,6} Β={4,5,6} Α Β ={4,6} (ενδειξη αρτια και μεγαλυτερη του Α Β={,4,5,6} (ενδειξη αρτια η μεγαλυτερη του ) ) Α'={,,5} (ενδειξη οχι αρτια, δηλαδη περιττη) Α Β'={ } (ενδειξη αρτια και οχι μεγαλυτερη του ) Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας. Δ ο σ μ ε ν α : Διανυσματικος χωρος και ενδεχομενα. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Βρισκουμε το πληθος των δυνατων περιπτωσεων Ν(Ω). Βρισκουμε το πληθος των ευνοικων περιπτωσεων Ν(Α), οπου Α το ενδεχομενο του οποιου τη πιθανοτητα ζητουμε. Ν(Α) Χρησιμοποιουμε τη σχεση : Ρ(Α)=. Ν(Ω)

15 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εχουμε ενα κουτι που περιεχει κοκκινες, 4 μπλε και 5 ασπρες μπαλες. Επιλεγουμε μια μπαλα στη τυχη. Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων: Α: " η μπαλα ειναι κοκκινη " Β:" η μπαλα δεν ειναι ασπρη " Γ:" η μπαλα ειναι μπλε η ασπρη " Ειναι Ν(Ω)= +4+5= Οι κοκκινες μπαλες ειναι, οποτε Ν(Α)=. Οι μπαλες που δεν ειναι ασπρες, ειναι μπλε η κοκκινες, οποτε Ν(Β)= 4+ =6. Οι μπαλες που ειναι ασπρες η μπλε ειναι 9 (5+4), οποτε Ν(Γ)=9. Ετσι Ν(Α) Ν(Β) 6 Ν(Γ) 9 Ρ(Α) = = Ρ(Β) = = Ρ(Γ) = = Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ( α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς ο ρ ι σ μ ο ς ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας. Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν Ω = { ω, ω,, ων } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης. 0 P(ω i) P(ω ) + P(ω ) P(ω ν) = Αν Α = { α, α,..., α κ } τοτε Ρ(Α) = Ρ(α ) + Ρ(α ) Ρ(α κ) Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Ω={ω, ω, ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα ενδεχομενα Α={ω, ω } και Β={ ω, ω }. 4 Αν Ρ(Α)= και Ρ(Β)= να υπολογισετε τις πιθανοτητες: Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ). 5

16 Αφου Ω={ω, ω, ω } τοτε: Ρ(ω )+Ρ(ω )+Ρ(ω )=Ρ(Ω) Ρ(ω )+Ρ(ω )+Ρ(ω )=() Αφου Α={ω, ω } τοτε: Ρ(ω )+Ρ(ω )=Ρ(Α) Ρ(ω )+Ρ(ω )= () Ρ(ω )= Αφου Β={ω, ω } τοτε: Απο ()-() προκυπτει:ρ(ω )=- () 4 4 Ρ(ω )+Ρ(ω )=Ρ(Β) Ρ(ω )+ = Ρ(ω )= Απο τις (),(),(4) προκυπτει: Ρ(ω )+ + = Ρ(ω )= Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Ρ(ω )= 5 () Ρ(ω )= (4) 0 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ( κ α ν ο ν ε ς λ ο γ ι σ μ ο υ ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας. Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με: Ρ(Α Β)=0,9 και Ρ(Α')=0,4 ενω Ρ(Α Β)=0,5. Να βρειτε τις πιθανοτητες: Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α-Β), Ρ(Β-Α), Ρ[(Α-Β) (Β-Α)]. Χρησιμοποιουμε τους τυπους λογισμου πιθανοτητων. Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) (Α, Β ασυμβιβαστα). Ρ(Α ) = - Ρ(Α) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) Ρ(Α - Β) Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α)= -Ρ(Α')=-0,4=0,6 Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+ Ρ(Β)-Ρ(Α Β) 0,9=0,6+ Ρ(Β)-0,5 Ρ(Β)= 0,9-0,6+0,5=0,8 Ρ(Α-Β)= Ρ(Α)-Ρ(Α Β)=0,6-0,5=0, Ρ(Β-Α)= Ρ(Β)-Ρ(Α Β)=0,8-0,5=0, Ρ[(Α-Β) (Β-Α)]= Ρ(Α-Β)+Ρ(Β-Α)=0,+0,=0,4

17 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α)=Ρ(Β)=0,6 και Ρ(Α Β)=0,4. Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Εξεταση αν δυο ενδεχομενα ειναι ασυμβιβαστα. Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων: Γ: " να πραγματοποιηθει το Α η το Β " Δ:" να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β " Προκειμενου να δειξουμε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα Με γνωστες Ρ(Α) και Ρ(Β) δεχομαστε οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα και απ τη σχεση Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) καταληγουμε Ρ(Α Β) > που ειναι ατοπο. Δειχνουμε οτι : Ν(Ω) < Ν(Α) + Ν(Β) η Α Β ( Ν(Α Β) 0, Ρ(Α Β) 0 ) Αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα, τοτε: Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)=0,6+0,6=,>, ατοπο γιατι Ρ(Α Β). Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. " να πραγματοποιηθει το Α η το Β " σημαινει Α Β, οποτε: Ρ(Γ)= Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β=0,6+0,6-0,4=0,8 " να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β " σημαινει (Α Β)', οποτε: Ρ(Δ)= Ρ[(Α Β)']=-Ρ(Α Β)=-0,8=0,

18 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Ε ν ω σ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ανισοτικη σχεση. Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Για την Ρ(Α Β) κ. Λυνουμε το συστημα: Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)... Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) Για την Ρ(Α Β) λ. Λυνουμε την ανισωση: Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) [Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 0] Για την κ Ρ(Α Β) λ. Λυνουμε το συστημα: Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)... Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με: Ρ(Α)= και 4 Ρ(Β)= 8 Να αποδειχτει οτι: Ρ(Α Β). 4 Ειναι Α Α Β Β Α Β τοτε Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 4 Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 8 Ρ(Α Β) 4

19 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με: Ρ(Β)= και Ρ(Α Β)= 4 5 Να αποδειχτει οτι: Ρ(Α). Ειναι Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ανισοτικη σχεση. Δ ο σ μ ε ν α : Ρ(Α) η Ρ(Β) και Ρ(Α Β) η Ρ(Α Β). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Για την κ Ρ(Α) λ (γνωστα Ρ(Β) και Ρ(Α Β)). Λυνουμε το συστημα: Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)... Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) Για την κ Ρ(Β) λ (γνωστα Ρ(Α) και Ρ(Α Β)). Λυνουμε το συστημα: Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)... Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) Για την κ Ρ(Α) λ (γνωστα Ρ(Β) και Ρ(Α Β)). Λυνουμε το συστημα: Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α)... Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Για την κ Ρ(Β) λ (γνωστα Ρ(Α) και Ρ(Α Β)). Λυνουμε το συστημα: Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β)... Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β) Ρ(Α) + - Ρ(Α) 4 4 Ρ(Α) 5 Ρ(Α) 5 Ρ(Α)

20 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Τ ο μ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ανισοτικη σχεση. Δ ο σ μ ε ν α : Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Για την κ Ρ(Α Β) λ. Λυνουμε το συστημα: Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β)... 0 Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με: Ρ(Α)= και Ρ(Β)= 4 8 α) Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. β) Να αποδειχτει οτι: Ρ(Α Β). 8 8 α) Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Τοτε: 9 Ρ(Α Β) =Ρ(Α)+Ρ(Β)= + = >, που ειναι ατοπο Αρα τα ενδεχομενα Α κα ι Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. β) Α Β Α Α Β Β 0 Ρ(Α Β) τοτε Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) 4 4 Ρ(Α Β) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) 0 + -Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 8 8

21 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με:0<ρ(α)<. Να αποδειχτει οτι: + 4. Ρ(Α) Ρ(Α') Αφου 0<Ρ(Α)< τοτε 0<- Ρ(Α')< - <- Ρ(Α')<0 Ρ(Α')>0. Ειναι Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη ανισοτικης σχεσης. Δ ο σ μ ε ν α : Η ανισοτικη σχεση. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Με πραξεις στην προς αποδειξη ανισοτητα καταληγουμε σε ανισοτητα που αληθευει παντα. Ρ(Α)+Ρ(Α') Ρ(Α)+Ρ(Α') 4Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α') = - Ρ(Α) Ρ(Α)+-Ρ(Α) 4Ρ(Α) [-Ρ(Α)] 4Ρ(Α)-4[Ρ(Α)] +4[Ρ(Α)] -4Ρ(Α) 0 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς [-Ρ(Α)] 0, που αληθευει. Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π α ρ α μ ε τ ρ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση παραμετρου Δ ο σ μ ε ν α : Αριθμοι με παραμετρο που αντιστοιχουν σε πιθανοτητες ενδεχομενων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Απαιτουμε για τα ενδεχομενα Α και Β Ρ(Α) (0, ], Ρ(Β) (0, ], Ρ(Α Β) (0, ], Ρ(Α Β) (0, ]. Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) η Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) αναλογα αν ειναι δοσμενη η Ρ(Α Β) η Ρ(Α Β) αντιστοιχα. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Α,Β και α αριθμος θετικος. Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι:,, α α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστοιχα.

22 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Θα εξετασουμε αν υπαρχει α>0 ωστε: Ρ(Α)=, Ρ(Β)=, Ρ(Α Β)=. α α Οι αριθμοι,, πρεπει να ανηκουν στο διαστημα (0,] (πιθανοτητες ενδεχομενων). α α Οποτε 0< α 0< α 0< 0< α 0< α 0< α Πρεπει: Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) α α α α α Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) α α Πρεπει: Ρ(Α Β) (0,] 0 < Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) α >0 0 < + - 0<9+α- α 6 α α α α Αρα, για α οι αριθμοι,, ειναι οι πιθανοτητες των Α, Β, Α Β. α α Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας ενδεχομενου η ανισοτικη σχεση ενδεχομενων. Δ ο σ μ ε ν α : Η εξισωση. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Βρισκουμε τις πιθανοτητες που συνδεονται με την εξισωση: Λυνοντας την εξισωση ου βαθμου, αν ειναι ριζες της. Χρησιμοποιωντας τυπους Vieta, αν το αθροισμα και γινομενο συνδεονται με β γ την εξισωση ( ρ +ρ =- και ρ ρ = α α ). Χρησιμοποιωντας τη διακρινουσα: Δ > 0 : δυο ριζες ανισες Δ = 0 : μια διπλη ριζα Δ < 0 : καμμια πραγματικη ριζα Συνεχιζουμε οπως στις προηγουμενες περιπτωσεις.

23 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Aν Ρ(Α), Ρ(Β) ειναι ειναι η μικροτερη και η μεγαλυτερη ριζα της εξισωσης 6x -7x+=0 αντιστοιχα, τοτε: Να βρειτε τις Ρ(Α), Ρ(Β). Να δειξετε οτι: Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 6 Ειναι Δ=(- 7) -4 6 =49-48=>0 7+ 6x -7x+=0: x = = -(- 7)± 7± x = =, 6 7- x = = A B A P(A B) P(A) P(A B) P(A B) A B B P(A B) P(B) P(A B) Eιναι P(B)= P(A)= P(A B)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-P(A B) P(A B)= + -P(A B) 0 P(AUB) 7 7 P(A B)= -P(A B) 0 -P(A B) Ρ(Α Β) Αρα Ρ(Α Β) 6 A A B P(A) P(A B) P(A B) B A B P(B) P(A B) P(A B) Π α ρ α δ ε ι γ μ α x - P(A) x+p(a B)=0. P(A B) Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της εξισωσης: 5 Aν P(Α Β)=, να βρεθουν οι πιθανοτητες:ρ(α), P(A B), P(A' B), P(Α' Β') 9 Απ'το αθροισμα και γινομενο ριζων τριωνυμου ειναι: Ρ(Α)+Ρ(Β)=Ρ(Α) Ρ(Α)=Ρ(Β) Ρ(Α) Ρ(Β)=P(A B) [Ρ(Α)] =P(A B)

24 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς P(Α Β)= Ρ(Α)+Ρ(Β)- P(A B)= Ρ(Α)-[P(A)] = 9[P(A)] -8Ρ(Α)+5=0 Ρ(Α)= 5 και Ρ(Α) = (απορριπτεται αφου Ρ(Α) < ) P(A B)= [P(A)] = = 9 P(A' B)= Ρ(Β)- P(A B)= - = P(Α' Β')= Ρ[(A B)]'=- P(A B)=- = 9 9 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Δινεται ο κ Z με -4 κ και η εξισωση:(ε ):κx +(κ-)x+κ=0. κ Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ): Α:εχει δυο πραγματικες και ισες ριζες Β:εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες Γ: δεν εχει πραγματικες ριζες. Αφου κ [- 4,] και οριζει τις εξισωσεις (Ε ), (Ε ),..., (Ε ) τοτε Ω={(Ε ), (Ε ),..., (Ε )} κα ι Ν(Ω)=8. Ειναι, κ Δ= (κ-) -4 κ κ =κ - 4κ+4-4κ =- κ - 4κ+4 Για να εχει η εξισωση δυο πραγματικες και ισες ριζες, πρεπει: κ=- Δ=0 - κ -4κ+4=0 κ = (απορριπτεται, κ ακεραιος) Ν(Α) Αρα Ν(Α)= και Ρ(Α)= Ν(Ω) = 8 Για να εχει η εξισωση δυο πραγματικες και ανισες ριζες, πρεπει: Δ>0-0 Ν(Β) Αρα Ν(Β)= και Ρ(Β)= = Ν(Ω) 8 = 4 - κ -4κ+4>0 - <κ< τοτε κ εχει τιμες και. Για να μην εχει η εξισωση πραγματικες ριζες, πρεπει: Δ<0 κ=- 4,-,,, Ν(Γ) Αρα Ν(Γ)=5 και 5 Ν(Ω) - κ -4κ+4<0 (κ <- η κ > ) τοτε.

25 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω και Ρ(Α)+ - Ρ(Α)- =8κ, κ R. Να δειχτει οτι: κ. 8 Ρ(Α) - Ρ(Α)+ 0 Ρ(Α)+ =Ρ(Α)+ Ειναι, 0 Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α)- 0 Ρ(Α)- =-Ρ(Α) Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται: 8κ+ Ρ(Α)+-(-Ρ(Α))=8κ Ρ(Α)+-+Ρ(Α)=8κ Ρ(Α)=8κ+ Ρ(Α) = () Ομως, 0 Ρ(Α) Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( α π ο λ υ τ η τ ι μ η ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη σχεσης. Δ ο σ μ ε ν α : Σχεση μεταξυ απολυτων τιμων πιθανοτητων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Απ τους τυπους λογισμου πιθανοτητων βρισκουμε τις τιμες των απολυτων στη δοσμενη σχεση. Βρισκουμε τις πιθανοτητες. Απ τους τυπους λογισμου πιθανοτητων, καταληγουμε στη ζητουμενη σχεση. () 8κ κ+ - 8κ - κ κ Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( π α ρ α γ ω γ ο ς σ υ ν α ρ τ η σ η ς ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Παραμετρος, μονοτονια, ακροτατα κλπ. Δ ο σ μ ε ν α : Συναρτηση, σχεση η ιδιοτητα πιθανοτητων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Απ τους τυπους λογισμου πιθανοτητων βρισκουμε τις τιμες των απολυτων στη δοσμενη σχεση. Βρισκουμε τις πιθανοτητες. Απ τους τυπους λογισμου πιθανοτητων, καταληγουμε στη ζητουμενη σχεση. Η πρωτη παραγωγος συναρτησης f εξασφαλιζει οτι : η f ειναι γν.αυξουσα, αν f > 0 η η f ειναι γν.φθινουσα, αν f < 0 εχουμε τοπικο ακροτατο στο σημειο x0 (αλλαγη μονοτονιας) το f(x0). Ευρεση μεγιστου - ελαχιστου. αν στο σημειο x0 ειναι f (x0) = 0, τοτε η γραφικη παρασταση της f εχει στο

26 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω με: Ρ(Α), Ρ[(Α Β)'] και Ρ(Β) να ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου. Αν Ρ(Α Β) ειναι το τοπικο ελαχιστο της συναρτησης f(x)=x -x+ και Ρ(Α) η θεση του τοπικου ελαχιστου, να βρεθουν:ρ(α), Ρ(Β), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β). σημειο της (x0,f(x0)) εφαπτομενη παραλληλη στον αξονα x x. αν στο σημειο x0 ειναι f (x0) =, τοτε η γραφικη παρασταση της f εχει στο σημειο της (x0,f(x0)) εφαπτομενη παραλληλη στην ευθεια y = x (διχοτομο ης ης γωνιας καρτεσιανου επιπεδου). Η δευτερη παραγωγος συναρτησης f εξασφαλιζει οτι : αν στο σημειο x0 ειναι f (x0) = 0 και f (x0) < 0, τοτε η f παρουσιαζει τοπικο μεγιστο για x = x0 f (x0) > 0, τοτε η f παρουσιαζει τοπικο ελαχιστο για x = x0 Αφου Ρ(Α), Ρ[(Α Β)'], Ρ(Β) ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου, τοτε Ρ[(Α Β)']=Ρ(Α)+Ρ(Β) [-Ρ(Α Β)]=Ρ(Α)+Ρ(Β) -Ρ(Α Β)=P(A B)+P(A B) -P(A B) P(A B)= Ειναι () f'(x)=x- και f'(x)= 0 x-=0 x= Για x< τοτε f'(x)<0 και η f γν.φθινουσα, ενω για x> τοτε f'(x)>0 και η f γν.αυξουσα Δηλαδη, για x= η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο, το f( )= - += 4 4 Αρα x - ½ + f (x) - + f(x) τ.ε. Ρ( Α)= (απο υποθεση) Ρ(Α Β)= (απο υποθεση) 4 () - -P(A B) = 4 5 P(A B) = = 5 8 P(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-P(A B) Ρ(Β)= - + = 4 =

27 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Για το ενδεχομενο Α ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:ρ(α)=κ -4κ+5 Να βρειτε την τιμη του κ. Να δειξετε οτι Α=Ω. Εστω η συναρτηση f(κ)=κ -4κ+5 Ειναι: f'(κ)=κ-4 f'(κ)=0 κ-4=0 κ = f''(κ)= > 0 Οποτε, εχουμε ελαχιστο για κ=, το f()=. Δηλαδη, f(κ) τοτε και Ρ(Α) () Ομως 0 Ρ(Α) () Απο (), () προκυπτει: Ετσι Ρ(Α)= κ - + f (κ) 0 f (κ) + + τ.ε. Ρ(Α)= κ -4κ+5= κ -4κ+4=0 (κ-) =0 κ-=0 κ=. Ρ(Α)= Ρ(Α)=Ρ(Ω) Α=Ω. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Ω={0,,,,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα ενδεχομενα. Επιλεγουμε ενα ενδεχομενο λ Ω. Αν f(x)=x -λx +λ x++λ, να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α: " η γραφικη παρασταση της f εχει στο σημειο της Α(,f()) εφαπτομενη παραλληλη στον αξονα x'x ". H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο R με: Για να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x η εφαπτομενη της C στο σημειο με τετμημενη, πρεπει: f '()=0 Ομως -4 λ +λ =0 Ω και Ω, οποτε Ν(Α)= και αφου Ν(Ω)=6, Ν(Α) Ετσι, Ρ(Α)= = = Ν(Ω) 6 λ -4λ+=0 f '(x)=x -4λx+λ λ= λ= f

28 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( σ υ ν ε χ ε ι α σ υ ν α ρ τ η σ η ς ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη συνεχειας, ευρεση παραμετρου για συνεχεια η υπαρξη οριου. Δ ο σ μ ε ν α : Συναρτηση (συνηθως πολλαπλου τυπου), σχεση η ιδιοτητα πιθανοτητων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου να δειξουμε οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στη θεση x0, δειχνουμε οτι ισχυει : υπαρχει το οριο lim f(x), δειχνουμε οτι ισχυει : lim f(x) = lim f(x) - + x x 0 x x x x 0 0 lim f(x) = f(x ) x x 0 0 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Α, Β ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω με: 9 Ρ(Α)=, Ρ(Α Β)= και Ρ(Α Β)= Ρ(Α Β)x -Ρ(Α)x, αν x 0 P(A) και η συναρτηση: f(x)= x - P(B)+ x 4Ρ(Α-Β), αν x=0 Να εξετασετε αν η f ειναι συνεχης στο x =0. Ειναι 9 4 P(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-P(A B) = +Ρ(Β)- Ρ(Β)= Ρ(Α-Β)= Ρ(Α)-P(A B)= - = Οποτε η συναρτηση γινεται: 0,9x -0,4x, αν x 0 f(x)= x -x 0,4, αν x=0 Ετσι f(0)=0,4 0,9x -0,4x x(0,9x -0,4) 0,9x -0,4 limf(x)=lim =lim =lim =0,4 x 0 x 0 x -x x 0 x(x-) x 0 x- Δηλαδη limf(x)= f(0)=0,4 που σημαινει οτι η f ειναι συνεχης στο x =0. x 0 0 0

29 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Εστω Ω={ω,ω,ω } ο δειγματικος χωρος πειραματος τυχης με: Α={ω,ω } και Ρ(Α)=. x +x-4ρ(ω ), x Δινεται η συναρτηση f(x) = x-ρ(ω ) αx +Ρ(ω )x, x> Να βρεθει η Ρ(ω ). Να βρεθει ο πραγματικος α, ωστε να υπαρχει το limf(x). Ρ(Ω)= Ρ(ω )+ Ρ(ω )+Ρ(ω ) = Ρ(ω )+ Ρ(Α) = Ρ(ω )+ = Ρ(ω )= x +x-, x O τυπος της συναρτησης f γινεται:f(x)= x-, οποτε αx + x, x> x +x- x +x- ( x-) (x+) limf(x)= lim =lim =lim = x x x- x x- x x- limf(x)= lim αx + x + + x =α+ x 5 Για να υπαρχει το limf(x) πρεπει: limf(x)=limf(x) α+ = α= x + x x Π α ρ α δ ε ι γ μ α Μια μεταβλητη παιρνει τις τιμες,,,, 4, 6, x. 66 του ενδεχομενου Α: " Η τυπικη αποκλιση ειναι μεγαλυτερη απο ". 7 x Να δειξετε οτι η διακυμανση των παρατηρησεων ειναι: s = Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( Σ τ α τ ι σ τ ι κ η ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Πληθος, πιθανοτητα κλπ. Δ ο σ μ ε ν α : Τιμες μεταβλητης, πιθανοτητες κλπ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις με τη βοηθεια των δοσμενων σχεσεων και των τυπων της Στατιστικης. Ισχυει : P(xi) = fi, οπου xi η τιμη της μεταβλητης x και fi η αντιστοιχη σχετικη συχνοτητα. Αν Ω = { x, x, x,..., xv } τοτε ισχυει: Ρ(x) + Ρ(x) + Ρ(x) Ρ(xv) = 6x -6x Αν το x παιρνει τιμες απο το συνολο: Ω={- 9,- 8,...,8,9,0} να βρειτε την πιθανοτητα

30 x 8+x Ειναι x= =, οποτε x 8+x 8+x 8+x 8+x 8+x (- ) +(- ) +(- ) +(4- ) +(6- ) +(x- ) s = = 7 (+x) +(4+x) +(-x) +(0-x) +(4-x) +6(x-) 4x -5x+6 = = = x -6x+66 = x - 6x s> s > >0 6x -6x>0 x -6x>0 x<0 η x> Δηλαδη (x:- 9,- 8,- 7,- 6,- 5,- 4,-,-,-,7,8,9,0) και Ν(Α) =. Αρα, (αφου Ν(Α) = και Ν(Ω) = Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 0) : Ρ(Α)=. 0 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Σ'ενα κυκλικο διαγραμμα παρουσιαζονται οι τιμες x,x,x,x μιας μεταβλητης Χ. 4 Η γωνια του τοξου της τιμης x ειναι 54 και η συχνοτητα της x ειναι ν =4. 0 Επιλεγουμε στη τυχη μια παρατηρηση και εστω Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x ) η πιθανοτητα να 4 επιλεγει η παρατηρηση με τιμη x,x,x,x αντιστοιχα. Να βρειτε τη πιθανοτητα Ρ(x ). 4 Αν Ρ(x )=0,5 και ν =6, να βρειτε το πληθος των παρατηρησεων, τις πιθανοτητες Ρ(x ), Ρ(x ) και να κατασκευασετε το κυκλικο διαγραμμα Ειναι Ρ(x )=f = =0, ν ν 4 f =Ρ(x )=0,5 =0,5 ν= ν= ν= 40 ν 0,5 0,5 ν 6 Ρ(x )=f = = =0,40 ν 40 Ρ(x )=-(Ρ(x )+Ρ(x )+Ρ(x ))=-(0,5+0,5+0,40)=0,0 4 Eπισης κυκλικο διαγραμμα P(x) P(x) P(x) P(x4) 0 0 ω =0,5 60 =6, 0 0 ω =0,40 60 =44, 0 0 ω 4 =0, 60 =6

31 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Πληθος, πιθανοτητα κλπ. Δ ο σ μ ε ν α : Στοιχεια προβληματος. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θετουμε x εκεινο το ζητουμενο, που συνδεεται με δοσμενα του προβληματος. Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις. Απο γνωστη πιθανοτητα προσδιοριζουμε τον x. Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα. Στη περιπτωση δυο αγνωστων x,y, συμφωνα με τα προηγουμενα, καταληγουμε σε συστημα ως προς x, y. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Η Γ' ταξη ενος Λυκειου εχει 5 μαθητες-μαθητριες. Τα των μαθητων και το των μαθητρι- 5 5 ων επελεξαν τη θετικη κατευθυνση και οι υπολοιποι την θεωρητικη η τεχνολογικη κατευθυνση. Επιλεγουμε τυχαια εναν υποψηφιο. Αν η πιθανοτητα να ειναι μαθητης που δεν επελεξε τη θε- 9 τικη κατευθυνση ειναι Ρ(Μ)=, να βρειτε: 5 Ποσοι ειναι οι μαθητες και ποσες οι μαθητριες. Ποια η πιθανοτητα Ρ(Κ) ο υποψηφιος ειναι μαθητρια που δεν επελεξε τη θετικη κατευθυνση ; Εστω x o αριθμος των μαθητων. x Οι μαθητες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος, ενω αυτοι που 5 x δεν επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος. 5 Οποτε η πιθανοτητα Ρ(Μ), "ο μαθητης να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι: x 9 Ν(Μ) x Ρ(Μ)= = = =9 x=45 x=5 5 Ν(Ω) Αρα οι μαθητες ειναι 5 και οι μαθητριες 0. Οι μαθητριες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι:0 =, ενω αυτες που δεν 5 την επελεξαν ειναι: 0-=8. Οποτε η πιθανοτητα του ενδεχομενου, Ν(Κ) "η μαθητρια να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι: Ρ(Κ) =. Ν(Ω) 8 Ρ(Κ)= 5

32 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Σ'ενα διαγωνισμο ομορφιας 4 υποψηφιες εχουν καστανα μαλλια, ενω οι υπολοιπες εχουν μαυρα η ξανθα. Η πιθανοτητα να κερδισει το διαγωνισμο ξανθια ειναι, ενω να κερδισει υποψηφια με μαυρα μαλλια ειναι. 6 Να βρειτε ποσες ειναι οι υποψηφιες. Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια. Τοτε, Ν(Ω)=4+x+y. Θεωρουμε τα ενδεχομενα: Α: "υποψηφια με καστανα μαλλια". Β: "υποψηφια με ξανθα μαλλια". Γ: "υποψηφια με μαυρα μαλλια". Ειναι, Ρ(Β)=, Ρ(Γ)=, Ν(Β)=x, N(Γ)= y. 6 Οποτε Ν(Β) x Ρ(Β)= = = Ν(Ω) 4+x+y x=4+x+y x=4+y x=4+y Ν(Γ) y 6 y=4+x+y x-5y=- 4 Ρ(Γ) = = = 4+y-5y=- 4 6 Ν(Ω) 6 4+x+y 6 x=4+y x=6 4y=48 y= Aρα οι υποψηφιες ειναι: 4+6+ =7. Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η μ ο ν ο Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν ) Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Πληθος, πιθανοτητα κλπ. Δ ο σ μ ε ν α : Στοιχεια προβληματος. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις. Μετατρεπουμε τα δοσμενα του προβληματος σε συμβολισμους πιθανοτητων. Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα.

33 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Στο CD που εχετε αυτη τη στιγμη μπροστα σας, υπαρχουν ν αλυτες ασκησεις, αριθμημενες απο το ως το ν, που επιμεληθηκαν δυο μαθηματικοι, ο Α και ο Β. Καποιες απ'αυτες επιμεληθηκε ο μαθηματικος Α, καποιες ο Β και καποιες επιμεληθηκαν μαζι ο Α και ο Β. Ο μαθηματικος Α εχει επιμεληθει συνολικα τις πρωτες 50 ασκησεις, απ'τις οποιες μονο τις πρωτες 0 επιμεληθηκε μονος του. Η πιθανοτητα να εχουν επιμεληθει μαζι οι δυο μαθηματικοι μια ασκηση ειναι. 5 Να βρειτε ποσες ειναι οι αλυτες ασκησεις. Αν η πιθανοτητα να εχει επιμεληθει μια ασκηση ο μαθηματικος Β μονος του ειναι, ο ισχυρισμος του οτι ασχοληθηκε με 70 απ'τις ασκησεις ειναι σωστος; Ειναι Ν(Α)=50, Ν(Ω)= ν και Ν(Α Β)=50-0=0. Ν(Α Β) 0 Ρ(Α Β) = = = ν=00 5 Ν(Ω) 5 ν 5 7 Ρ(Β-Α)= Ρ(Β)-Ρ(Α Β)= Ρ(Β)- = Ρ(Β)= 5 0 Ν(Β) 7 Ν(Β) Ομως, Ρ(Β) = = Ν(Β)=70 Ν(Ω) 0 00 Δηλαδη ο ισχυρισμος του ειναι σωστος. Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ η κ α ι Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας Δ ο σ μ ε ν α : Συνηθως πειραματα τυχης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις, με τη βοηθεια των τυπων της συνδυαστικης. Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα. Αν δεν μπορουμε να βρουμε απ'ευθειας τη ζητουμενη πιθανοτητα Ρ(Α), βρισκουμε τη πιθανοτητα Ρ(Α') και χρησιμοποιουμε τον τυπο Ρ(Α) = Ρ(Α'). Π α ρ α δ ε ι γ μ α Ενα κουτι περιεχει 0 λαμπες, απ'τις οποιες οι 5 ειναι καμμενες και οι υπολοιπες καλες. Επιλεγουμε στη τυχη λαμπες (χωρις επανατοποθετηση). Ποια ειναι η πιθανοτητα στην επιλογη μας να υπαρχει τουλαχιστον μια καμμενη λαμπα ;

34 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Οριζουμε τα ενδεχομενα : Α : " και οι λαμπες που επιλεξαμε ειναι καλες " Β : " τουλαχιστον μια απ'τις λαμπες που επιλεξαμε ειναι καμμενη " Εστω Ω ο δειγματικος χωρος των αδων των λαμπων. Οποτε οι δυνατες τριαδες που μπορουμε να παρουμε ειναι : 0 0! 0! 7! N(Ω) = = = =! (0-)!! 7! 7! οι ευνοικες τριαδες για το ενδεχομενο Α ειναι : 5 5! 5!! N(Α) = = = =! (5-)!!!! Ν(Α) 00 5 Ρ(Α) = = = Ν(Ω) Ετσι, Αρα, 5 88 Ρ(Β)=Ρ(Α')=-Ρ(Α)=- = 0 0 Π α ρ α δ ε ι γ μ α = =00 Μια ταξη αποτελειται απο 5 αγορια και 0 κοριτσια. Επιλεγουμε τυχαια μαθητες. Να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " επιλεγουμε κοριτσια και αγορι ". Εστω Ω ο δειγματικος χωρος των αδων των μαθητων. οι δυνατες τριαδες που μπορουμε να παρουμε ειναι : 5 5! 5!! 4 5 N(Ω) = = = = =00! (5-)!!!! οι ευνοικες τριαδες για το ενδεχομενο Α ειναι : 0 5 0! 5! 0! 5! 0 N(Α) = = = =! (0-)!! (5-)!! 8! 4! Ετσι Ν(Α) Ρ(Α) = = = Ν(Ω) ! 8! 5 4! 4! =675 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Ριχνουμε ενα ζαρι φορες. Ποια ειναι η πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α : " Και οι τρεις ενδειξεις ειναι ισες " Β : " Δεν ειναι και οι τρεις ενδειξεις ισες " Γ : " Ειναι και οι τρεις ενδειξεις διαφορετικες ανα δυο "

35 Εστω Ω ο δειγματικος χωρος των αδων των ενδειξεων. οι δυνατες τριαδες που μπορουμε να παρουμε ειναι οι διαταξεις με επαναληψη των 6 ανα : Ν(Ω) = 6 = 6 Οποτε οι ευνοικες τριαδες για το ενδεχομενο Α ειναι :,,, 444, 555, 666, δηλαδη Ν(Α) = 6 Ετσι Ν(Α) 6 Ρ(Α) = = = Ν(Ω) Ρ(Β)=Ρ(Α')=-Ρ(Α)=- = 6 6 οι ευνοικες τριαδες για το ενδεχομενο Γ ειναι ειναι οι διαταξεις χωρις επαναληψη των 6 ανα 6!! : N(Γ) = = =0!! Ετσι Ν(Γ) 0 5 Ρ(Γ) = = = Ν(Ω) 6 9 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Δ ε σ μ ε υ μ ε ν η Π ι θ α ν ο τ η τ α Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας που εξαρταται απο αλλη πιθανοτητα. Δ ο σ μ ε ν α : Συνηθως πειραματα τυχης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Π α ρ α δ ε ι γ μ α Ενα κουτι περιεχει 0 λαμπες, απ'τις οποιες οι 5 ειναι καμμενες και οι υπολοιπες καλες. Επιλεγουμε στη τυχη λαμπες (χωρις επανατοποθετηση). Ποια ειναι η πιθανοτητα στην επιλογη μας να υπαρχει τουλαχι-στον μια καμμενη λαμπα ; Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις, με τη βοηθεια των τυπων της δεσμευμενης πιθανοτητας. Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα. Αν δεν μπορουμε να βρουμε απ'ευθειας τη ζητουμενη πιθανοτητα Ρ(Α), βρισκουμε τη πιθανοτητα Ρ(Α') και χρησιμοποιουμε τον τυπο Ρ(Α) = Ρ(Α'). Οριζουμε τα ενδεχομενα : Α : " η η λαμπα που επιλεξαμε ειναι καλη " Β : " η η λαμπα που επιλεξαμε ειναι καλη " Γ : " η η λαμπα που επιλεξαμε ειναι καλη " Δ : " και οι λαμπες που επιλεξαμε ειναι καλες " Ε : " τουλαχιστον μια απ'τις λαμπες που επιλεξαμε ειναι καμμενη " Εστω Ω ο δειγματικος χωρος των αδων των λαμπων.

36 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Ν(Α) 5 4 Ρ(Α)= =, Ρ(Β Α)= και Ρ(Β Α Β)= με Ν(Ω) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Β Α) = = Ρ(Α Β Γ) Ρ(Α Β Γ) Ρ(Γ Α Β) = = Ρ(Α Β Γ) = Ρ(Α Γ) Ομως = 9 0 Ρ(Ε) = Ρ(Δ') Δ=Α Β Γ Ρ(Δ)=Ρ(Α Β Γ) -Ρ(Δ')= 0 -Ρ(Ε)= Ρ(Ε)= Ρ(Ε)= 0 Π α ρ α δ ε ι γ μ α 8 Αν Α και Β ειναι ενδεχομενα ενος πειραματος τυχης και Ρ(Α)=, Ρ(Β)=, Ρ(Α Β)= 5 0 να υπολογισετε τις πιθανοτητες : Ρ(Α Β) Ρ(Β Α) Ρ(Β Α') Ρ(Α Β') Ειναι 8 Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)= Ρ(Α Β) = + - Ρ(Α Β) = Ετσι Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) = = Ρ(Β) 6 0 = = 6 Ρ(Α Β) 0 0 Ρ(Β Α) = = = Ρ(Α) 5 0 = Ρ(Β Α') Ρ(Β'-Α) Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Ρ(Β Α') = = = = = = Ρ(Α') Ρ(Α') - Ρ(Α) Ρ(Β Α') Ρ(Α'-Β) Ρ(Α)-Ρ(Α Β) Ρ(Α Β') = = = = = = Ρ(Β') Ρ(Β') -Ρ(Β) = 5 = = 4

37 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Ενα κουτι περιεχει σφαιρες κοκκινες και 7 σφαιρες πρασινες. Επιλεγουμε διαδοχικα, στη τυχη σφαιρες (χωρις επανατοποθετηση). Ποια ειναι η πιθανοτητα στην επιλογη μας η πρωτη σφαιρα να ειναι κοκκινη και η δευτερη να ειναι πρασινη ; Οριζουμε τα ενδεχομενα : Α :" η η σφαιρα που επιλεξαμε ειναι κοκκινη " Β :" η η σφαιρα που επιλεξαμε ειναι πρασινη " Γ :" η η σφαιρα που επιλεξαμε ειναι κοκκινη και η η ειναι πρασινη " Ετσι P(A) = (το κουτι περιεχει 0 σφαιρες, απ'τις οποιες οι ειναι κοκκινες). 0 7 P(Β Α) = (το κουτι περιεχει 9 σφαιρες (λειπει κοκκινη), απ'τις οποιες οι 7 πρασινες) Οποτε, P(Γ)=Ρ(Α Β)=Ρ(Α) Ρ(Β Α)= = Το παρακατω διαγραμμα δειχνει τη διαδικασια, Aρχη Α Β Α Β Α Β = = = = Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ε ξ α ρ τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Αποδειξη οτι δυο ενδεχομενα ειναι ανεξαρτητα. Δ ο σ μ ε ν α : Συνηθως πειραματα τυχης η πιθανοτητες ενδεχομενων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Δυο ενδεχομενα Α και Β με Ρ(Α) > 0 και Ρ(Β) > 0 λεγονται ανεξαρτητα, αν και μονον αν Ρ(Α Β) = Ρ(Α) και Ρ(Β Α) = Ρ(Β) Δυο ενδεχομενα Α και Β λεγονται ανεξαρτητα, αν και μονον αν Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Β)

38 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Π α ρ α δ ε ι γ μ α Θεωρουμε δοχειο που περιεχει 4 ιδιες σφαιρες αριθμημενες απ'το ως το 4. Αν Ω={,,, 4} και η πιθανοτητα καθε στοιχειου του ειναι ιση με να εκτιμησετε αν τα 4 Α και Β ειναι ενδεχομενα ανεξαρτητα στις περιπτωσεις: Α={, } και Β={,} Α={,, } και Β={,, 4} Ειναι Ν(Ω)=4, Ν(Α)=, Ν(Β)=, Ν(Α Β)= και Ρ(Α)=, Ρ(Β)= και Ρ(Α Β)= 4 Ρ(Α Β) 4 Ετσι, Ρ(Α Β) = = = =Ρ(Α) Ρ(Β) Οποτε τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ανεξαρτητα. Α λ λ ι ω ς Ρ(Α) Ρ(Β) = = = Ρ(Α Β) 4 Οποτε τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ανεξαρτητα. Ειναι Ν(Ω)=4, Ν(Α)=, Ν(Β)=, Ετσι Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = = Ρ(Β) 4 Ν(Α Β)= και Ρ(Α)=, Ρ(Β)= και Ρ(Α Β)= 4 4 = =Ρ(Α) 4 Οποτε τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ανεξαρτητα Π α ρ α δ ε ι γ μ α Απο τραπουλα (5 φυλλων) τραβαμε ενα φυλλο και στη συνεχεια ενα δευτερο. Ποια ειναι η πιθανοτητα να τραβηξουμε ρηγαδες αν το τραβηγμα του δευτερου φυλλου γινεται χωρις επανατοποθετηση του πρωτου φυλλου, με επανατοποθετηση του πρωτου φυλλου. Θεωρουμε τα ενδεχομενα

39 Α : " επιλεγουμε ρηγα στο πρωτο τραβηγμα " Β : " επιλεγουμε ρηγα στο δευτερο τραβηγμα " Ετσι Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 4 Ν(Ω)=5, Ν(Α)=4, Ν(Β Α)= και Ρ(Α)=, Ρ(Β Α)= 5 5 Οποτε, 4 Ρ(Α Β)=Ρ(Α) Ρ(Β Α)= = Ν(Ω)=5, Ν(Α)=4, Ν(Β)=4 και Ρ(Α)=, Ρ(Β)= 5 5 Οποτε, αφου τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ανεξαρτητα Ρ(Α Β)=Ρ(Α) Ρ(Β)= 4 4 = Μ ε θ ο δ ο ς : Θ ε ω ρ η μ α (τ υ π ο ς ) τ ο υ B a y e s Ζ η τ ο υ μ ε ν α : Ευρεση πιθανοτητας υπο συνθηκη. Δ ο σ μ ε ν α : Συνηθως πειραματα τυχης η πιθανοτητες ενδεχομενων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Γενικα, αν για τα ενδεχομενα Α, Α,..., Α ν, ισχυει : Ρ(A i) > 0, i =,,..., ν και ενδεχομενο Β με Ρ(Β) > 0 τοτε P(Β Α ) P(Α ) P(Β Α ) P(Α ) κ κ κ κ P(Α B)= =, κ=,,..., ν κ ν P(B) ΣP(B Α ) P(Α ) i= i i Το θεωρημα του Bayes μας δινει την πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α κ υπο συνθηκη του ενδεχομενου Β, ως πηλικο της πιθανοτητας ενος υποσυνολου του Β προς την πιθανοτητα του συνολου Β. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Ενα οικονομικο μαθημα διδασκεται απο κοινου σε φοιτητες του Οικονομικου, της Νομικης και της Γεωπονικης. Το 65% των φοιτητων που εχουν γραφει στο μαθημα αυτο προερχεται απο το Οικονομικο, το 0% απο τη Νομικη και το 5% απο τη Γεωπονικη. Απο τους εγγεγραμμενους φοιτητες του Οικονομικου δινουν εξετασεις στην περιοδο του Ιουνιου το 5% ενω οι αναλογιες για τους φοιτητες της Νομικης και της Γεωπονικης ειναι αντιστοιχα, 6% και %. Ζητειται να υπολογιστουν: α) Η πιθανοτητα Ρ(Α), ενας φοιτητης που εχει επιλεγει στην τυχη να δωσει το μαθημα αυτο τον Ιουνιο, β) Δεδομενου οτι ενας φοιτητης ερχεται να δωσει το μαθημα τον Ιουνιο να υπολογιστει η πιθανοτητα αυτος να προερχεται απο το Οικονομικο.

40 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Θεωρουμε τα ενδεχομενα Ο: " Ενας φοιτητης προερχεται απ'το Οικονομικο" Ν: " Ενας φοιτητης προερχεται απ'τη Νομικη" Γ: " Ενας φοιτητης προερχεται απ'τη Γεωπονικη" α) Ειναι Ρ(Α Ο)=, Ρ(Ο)=, Ρ(Α Ν) =, Ρ(Ν)=, Ρ(Α Γ)= και Ρ(Γ)= Ετσι Ρ(Α)=Ρ(Α Ο)+Ρ(Α Ν)+Ρ(Α Γ)= =Ρ(Α Ο) Ρ(Ο)+Ρ(Α Ν) Ρ(Ν)+Ρ(Α Γ) Ρ(Γ)= β) = + + = Απ'το τυπο του Βayes ειναι Ρ(Ο) Ρ(Α Ο) Ρ(Ο Α) = = Ρ(Α) Ρ(Ο) Ρ(Α Ο) = = Ρ(Α Ο) Ρ(Ο)+Ρ(Α Ν) Ρ(Ν)+Ρ(Α Γ) Ρ(Γ) = = 646

41 Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η η Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι: Ω={ Α,Β,Γ,Δ } Ρ(Δ)= Ρ(Γ) Ρ(Α) η θεση του ελαχιστου της συναρτησης f(x)=x -x+5 Ρ(B) η τετμημενη του σημειου που η εφαπτομενη της συναρτησης g(x)=x -x+ ειναι παραλληλη στον αξονα x'x. Nα βρεθουν οι πιθανοτητες: Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Δ). Ειναι f'(x)=x- και f'(x)=0 x-=0 x= x< f'(x)<0 f γν.φθινουσα για x = η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο. x> f'(x)>0 f γν.αυξουσα g'(x)=4x- Για να ειναι η ε φαπτομενη της C στο x παραλληλη στον αξονα x'x, πρεπει: g'(x )=0 4x -=0 x = Αρα, g 0 Ρ(Α)= Ρ(Β)= 4 Επισης Ρ(Δ)=Ρ(Γ) Ρ(Δ)=Ρ(Γ) Ρ(Δ)=Ρ(Γ) Ρ(Α)+Ρ(Β)+Ρ(Γ)+Ρ(Δ)= + +Ρ(Γ)+Ρ(Γ)= Ρ(Γ)= 4 4 Ρ(Δ)= Ρ(Γ)= Ρ(Δ)= 6 Ρ(Γ)=

42 Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η η Εστω Ω ο δειγματικος χωρος του πειραματος της ριψης ενος ζαριου. Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου: Α = { x Ω : το δειγμα x, 5 x, 7 x, -, -7x να εχει x=-} Ειναι Ω={,,,4,5,6}, και x=- x +5-x +7-x --7x =- x -4x -7x=-0 5 x= Ω x=5 Ω x=-, απορριπτεται αφου - Ω Ν(Α) = = Ν(Ω) 6 x -4x -7x+0=0 (x-)(x-5)(x+)=0 Οποτε, Ν(Α)=, Ν(Ω)=6 και Ρ(Α)= Α σ κ η σ η η Μια καλπη περιεχει x +7x+ ασπρες, x κοκκινες και x +x+4 πρασινες μπαλες. Εστω το ενδεχομενο Α:" η μπαλα ειναι κοκκινη ". Επιλεγουμε τυχαια μια μπαλα. Να βρεθει η τιμη του x για την οποια η Ρ(Α) γινεται μεγιστη. Να βρεθει η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α). Ειναι Ν(Ω)=x +7x++x+x +x+4=5x +0x+5 και Ν(Α)=x, οποτε Ν(Α) Ρ(Α) = = x Ν(Ω) 5x +0x+5 x 5x +0x+5-x(0x+0) - 5x +5-5(x-)(x+) Ρ'(Α)= '= = = 5x +0x+5 (5x +0x+5) (5x +0x+5) (5x +0x+5) - 5(x-)(x+) x= Ρ'(Α)=0 =0-5(x-)(x+)=0 (5x +0x+5) x=- απορρ. (x N) Για 0<x< P'(A)>0 η f γν.αυξουσα Για x= η f παρουσιαζει τοπικο μεγιστο. Για x> P'(A)<0 η f γν.φθινουσα Ετσι Η τιμη για την οποια η Ρ(Α) γινεται μεγιστη ειναι: Η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α) ειναι: Ρ(Α) max = = x=

43 Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 η Εστω Α και Β- Α συμπληρωματικα ενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι Ρ(Α Β)= Αν Ρ(Α Β)=[Ρ(Β)], να βρειτε: τη συναρτηση f(x), που εκφραζει τη μεταβολη της Ρ(Α), οταν μεταβαλλεται η Ρ(Β). την Ρ(B), για την οποια η Ρ(Α) γινεται ελαχιστη, καθως και την ελαχιστη αυτη πιθανοτητα. Αφου Α και Β-Α ειναι συμληρωματικα ενδεχομενα, τοτε: Β-Α=Α' Ρ(Β-Α)=Ρ(Α') Ρ(Β)-Ρ(Α Β)=-Ρ(Α) Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β)= Ρ(Α Β)= Ειναι Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β)=[Ρ(Β)] Ρ(Α Β)=[Ρ(Β)] Ρ(Α)+Ρ(Β)-=[Ρ(Β)] Ρ(Α)=[Ρ(Β)] -Ρ(Β)+ Αρα f(x)=x -x+ f'(x)=x- και f'(x)=0 x-=0 x= x< f'(x)<0 f γν.φθινουσα x> f'(x)>0 f γν.αυξουσα για x= η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο. f = - += ειναι το τ.ελαχιστο. 4 4 Η Ρ(Α) γινεται ελαχιστη οταν Ρ(Β)= και η ελαχιστη τιμη της ειναι Ρ(Α) =. min 4 Α σ κ η σ η 5 η Εστω Ω ο δειγματικος χωρος με Ν(Ω) = 00 με ισοπιθανα απλα ενδεχομενα. Αν Α και Α αντιθετα ενδεχομενα του Ω με 0 < Ρ(Α) <, να δειχτει οτι : P(A) + P(A') P(A) Αν P(A) + = να βρεθει το Ν(Α). P(A') P(A) Αν καποιο ενδεχομενο Β του δειγματικου χωρου Ω εχει 5 στοιχεια, να δειξετε οτι : Α Β. Ειναι

44 Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς P(A) 0 P(A) + (P(A)) + P( A') P(A) P(A') P(A') P(A) P(A') 0 P(A') = - P(A) (P(A)) + -P(A) P(A) ( -P(A) ) (P(A)) +-P(A) P(A)- (P(A)) 4(P(A)) +-4 P(A) 0 ( P(A)) -4 P(A)+ 0 ( P(A)-) 0 που αληθευει P(A) Ν(A) Ν(A) + = (P(A)-) =0 P(A)-=0 P(A) = = = P(A') P(A) Ν( Ω) 00 Ν(A)=50 Ν(Β) 5 Ειναι Ρ(Β) = = Ν(Ω) 00 Εστω Α Β=. Τοτε Ρ(Α Β)=0 και Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)= + = + = >, ατοπο Αρα Α Β Α σ κ η σ η 6 η Δινεται η συναρτηση f(x) = x+συνx και Α, Β δυο ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω. Να εξετασετε την f ως προς τη μονοτονια. π Αν Ρ(Β)=, να δειξετε οτι:f(ρ(α Β)) π+. 4 Να δειξετε οτι: f(ρ(α Β)). Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο Rμε : ημx f'(x)= -ημx f'(x) -=>0 που σημαινει οτι η f ειναι γν. αυξουσα στο R. Ειναι f π Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) f(ρ(α Β)) f(ρ(β)) f(ρ(α Β)) f( ) 4 π π π f(ρ(α Β)) +συν f(ρ(α Β)) + f(ρ(α Β)) π+ 4 4 Ειναι Α Β Ρ(Α Β) Ρ( ) Ρ(Α Β) 0 f(ρ(α Β)) f(0) f(ρ(α Β)) 0+συν0 f(ρ(α Β)) f

45 Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 7 η 7 Εστω η συναρτηση f(x)=4x - x +xlnk+0 με x R, k>0. Αν ο ρυθμος μεταβολης της f για x=, ειναι ισος με 6, να δειξετε οτι k=e. Eστω Ω ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης. Αν Α, Β ειναιενδεχομενα του Ω με Α Β και οι πιθανοτητες Ρ(Α), Ρ(Β) ειναι οι θεσεις των τοπικων ακροτατων της f, να υ- πολογισετε τις πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β), Ρ(Β Α'). Ειναι 7 f'(x)= 4x - x +xlnk+0 '=x -7x+lnk f'()=6-7 +lnk=6 lnk= k = e Για k = e (lnk=) : f'(x)=x -7x+ Δ=49-48= 7+ 8 x= = 4 = = f'(x)=0 x -7x+=0 7± 4 f''(x)=4x-7 f''( )=4-7=>0. Aρα για x= η f εχει τοπικο ελαχιστο. f''( )=4-7 =- < Aρα για x= η f εχει τοπικο μεγιστο. 4 Αφου Α Β, τοτε: Ρ(Α) Ρ(Β), Α Β=Α και Α Β=Β Ετσι Ρ(Α) = = Ρ(Α Β) Ρ(Β) = = Ρ(Α Β 4 4 Ρ(Β Α')=Ρ(Β)-Ρ(Α Β)= - Ρ(Β Α')= 4

46 Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 8 η Εστω Ω = {,, 4, κ, λ} ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης με κ = x +x -4x-4 x x -4 lim και λ η μεγιστη τιμη που παιρνει η μεση τιμη των αριθμων - x + x, - 9x + 4, 8x για καθε x R. Na βρεθουν οι αριθμοι κ και λ. P() P(κ) P(λ) Αν P()= =P(4)= = να βρεθουν οι πιθανοτητες : 5 Ρ(), Ρ(), Ρ(), Ρ(κ) και Ρ(λ). Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α = { μ Ω x + μx + 0, x R}. (x -4) x +x -4x-4 x(x -4) +(x -4) κ =lim =lim = lim x -4 x -4 x x x Η μεση τιμη των αριθμων: -x +x, -9x+4, 8x- ειναι - x +x-9x+4+8x- - x +x+ x= = =- x +4x+ (x+) lim(x+) κ= x x -4 H συναρτηση f(x)=- x +4x+ ειναι παραγωγισιμη στο με: R f'(x)=- x+4 f'(x)=0 - x+4=0 x= f'(x)<0 - x+4<0 x> f'(x)>0 - x+4>0 x< x - + f (x) f(x) ο.μ. Ετσι, η συναρτηση f ειναι γν. αυξουσα στο (-, ] και γν. φθινουσα στο [, + ). Αρα στη θεση x= η f παρουσιαζει μεγιστο το f() =- +4 +=5. Oποτε, λ=5. Ειναι P() + Ρ() + Ρ( 4)+ Ρ(κ) + Ρ(λ) = P()+ Ρ() +Ρ(4)+ 5Ρ() + Ρ() = P() + Ρ() + Ρ(4) + Ρ( κ) + Ρ(λ) = P() + Ρ() + Ρ() + 5Ρ() + Ρ() = 5 P()= P()= =P(4) και P()=, P(κ)=, P(λ)= 6 4 x +μx+ 0 σημαινει οτι το τριωνυμο δεν εχει πραγματικες ριζες, οποτε: μ Ω μ -6<0-4<μ<4 μ= η μ= η μ Δ<0 Αρα Α={,, } οποτε (αφου κ =): 5 8 Ρ(Α)=Ρ()+Ρ()+Ρ(κ)= + + = = 6 =.

47 Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 9 η Δινεται η συναρτηση f(x) = x-lnx, x>0 και Α, Β δυο απλα ισοπιθανα ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω. Να εξετασετε την f ως προς τη μονοτονια. Ρ(Α) Αν Α και Α Β, να δειξετε οτι:ln Ρ(Α)-P(Β). Ρ(B) Aν η εφαπτομενη της C στη θεση x = P(A) ειναι παραλληλη στη διχοτομο της γωνιας των αρνητικων ημιαξονων, τοτε: βρειτε τη πιθανοτητα Ρ(Α) f ln4e δειξτε οτι: f(p(a B)), aν A B. x- Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ) με f'(x)=- =. x x x > 0 x- f'(x)=0 =0 x-=0 x= x x 0 + x > 0 x- f'(x)<0 <0 x-<0 x< f (x) x f(x) ο.ε. x > 0 x- f'(x)>0 >0 x->0 x> x Ετσι, η συναρτηση f ειναι γν. φθινουσα στο (0, ] και γν.αυξουσα στο [, + ). Αρα στη θεση x= η f παρουσιαζει ελαχιστο το f() =-ln=-0=. f στο (0,] Α Β Ρ(Α) Ρ(Β) f(ρ(α)) f(ρ(β)) P(A) -ln(p(a)) P(B)-ln(P(B)) ln(p(a))-ln(p(b)) P(A)-P(B) ln P(A) P(A)-P(B) P(B) Eιναι Στη θεση x=p(a) η εφαπτομενη της C ειναι παραλληλη στη διχοτομο της γωνιας των αρνητικων ημιαξονων (η ευθεια y=- x), οποτε P(A)- f'(p(a))=- =- P(A)-=- P(A) P(A)= P(A) f P(A)= f στο (0,] A B A P(A B) P(A) f( P(A B)) f(p(a)) f( P(A B)) f( ) ln = 0 f( P(A B)) -ln( ) f( P(A B)) -(ln-ln) f( P(A B)) +ln lne = +ln lne+ln lne+ln4 f( P(A B)) f( P(A B)) f( P(A B)) ln4e f(p(a B))

48 Κ α π ο ι ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 0 η Δινεται η συναρτηση f(x) = lnx-x+λ -4λ+, x>0 και λ R. Να εξετασετε την f ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα. Αν οι τιμες f(), f(), f(4), f(6), f(8) ειναι παρατηρησεις μιας μεταβλητης X: να δειξετε οτι το ευρος (R) και η διαμεσος (δ) των παρατηρησεων ειναι: R=6-4ln και δ=4ln+λ -4λ-. να υπολογισετε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α={λ Ω R+δ<0} οπου Ω={,,,..., 0} και αποτελειται απο απλα ισοπιθανα ενδεχομενα. H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ) με: f'(x)= - x f'(x)=0 -=0 x= x f'(x)<0 -<0 x> x f'(x)>0 ->0 x< x Ετσι, x 0 + f (x) f(x) ο.μ. η συναρτηση f ειναι γν. αυξουσα στο (0, ] και γν. φθινουσα στο [, + ). Αρα στη θεση x= η f παρουσιαζει μεγιστο το : f() =ln- +λ -4λ+=ln +λ -4λ-=ln4+λ -4λ-. Αφου η συναρτηση f ειναι γν. φθινουσα σειρα ειναι: f(8), f(6), f(4), f(), f() και στο [, + ) οι δοσμενες τιμες σε αυξουσα R =f()-f(8)=ln4+λ -4λ--(ln8-8+λ -4λ+)= =ln + λ - 4λ --ln +8- λ + 4λ -= ln-6ln+6= 6-4ln δ =f(4)=ln4-4+λ -4λ+= ln +λ -4λ-= 4ln+λ -4λ- R+δ<0 6-4ln+4ln Ετσι, λ = +λ -4λ-<0 λ -4λ+<0 < λ < λ = Ν(Α) Α={} και Ν(Α)= οποτε, Ρ(Α) = =. Ν(Ω) 0