ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z
Αριστερόστροφο Σύστημα
Αναπαράσταση της τρισδιάστατης γεωμετρίας Ρ x β y γ z δ Y Γ(, y γ, ) Α(,, ) (,,z δ ) Β(x β,, ) X z
Γενικός πίνακας μ/σ A D G J B E H K C F I L S 3Χ3: για αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση), αντανάκλαση, στρέβλωση και περιστροφή Χ3: για μετατόπιση.
Αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση) Ένα σημείο Ρ(x, y, z, ) αλλάζει κλίμακα στο Ρ*(x*, y*, z*, ) με τον ακόλουθο μετασχηματισμό: [ x * y* z * ] [ x y z ] * A E I Αν οι παράγοντες κλιμάκωσης Α, Ε, I είναι διαφορετικοί, η εικόνα του αντικειμένου παραμορφώνεται.
x s y s z s Γραφικά Η/Υ Αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση) Αλλαγή μεγέθους, με διατήρηση των αρχικών αναλογιών [ x * y* z* ] [ x y z ] s γενική μορφή αλλαγής κλίμακας [ x y z s] x s y s z s
Παράδειγμα αράδειγμα Κλιμάκωσης Κλιμάκωσης Έστω κύβος με τις συντεταγμένες: Ζητείται η μετατροπή του σε μοναδιαίο P κύβος Γραφικά Η/Υ
Παράδειγμα αράδειγμα Κλιμάκωσης Κλιμάκωσης Ο πίνακας μετασχηματισμού είναι: ή : S Γραφικά Η/Υ S
Παράδειγμα αράδειγμα Κλιμάκωσης Κλιμάκωσης P* μοναδιαίος κύβος Pκύβος * S * Γραφικά Η/Υ
Παράδειγμα αράδειγμα Κλιμάκωσης Κλιμάκωσης ήσεκανονικήμορφή: [P*] μοναδιαίος κύβος Γραφικά Η/Υ
Παράδειγμα Κλιμάκωσης Μετατροπή σε μοναδιαίο κύβο
Μετατόπιση [ x* y* z* ] [x y z ] * J K L Οι τιμές των J, K, L παρουσιάζουν την μετατόπιση ενός σημείου στις x, y, z κατευθύνσεις.
Περιστροφή Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z (δεξιόστροφο σύστημα)
Περιστροφή Περιστροφή ενός σημείου P(x, y, z) κατά γωνία θ ως προς τον άξονα z. P*(x*, y*, z*) P(x, y, z) R z ( θ) cosθ sinθ sinθ cos θ
Περιστροφή ενός σημείου P(x, y, z) κατά γωνία θ και ως προς τον άξονα y Περιστροφή R y ( θ) cosθ sinθ sinθ cosθ
Περιστροφή ενός σημείου P(x, y, z) κατά γωνία θ και ως προς τον άξονα x R x ( θ) cosθ sinθ Περιστροφή sinθ cosθ
Λοξοτομημένος κύβος Περιστρέψτε τον κύβο, ώστε το κάτω επίπεδο, που ορίζεται από τα σημεία Ρ, Ρ5, Ρ και Ρ6, να είναι παράλληλo με το επίπεδο xy.
Λοξοτομημένος κύβος Τα σημεία Ρ μέχρι P ορίζουν τη γεωμετρία του κύβου και μπορούν να γραφούν με την μορφή πίνακα ως εξής: Ρ 3 4 4 85. 3 4 3 4 3 4 3 4 4 85. 3 4 3 4 3 4
Λύση Λοξοτομημένος κύβος Γιανακάνωτο επίπεδο ΡΡ5ΡΡ6 παράλληλο στο επίπεδο xy, η περιστροφή μπορεί να εκφραστεί στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων γύρω από τον άξονα x κατά 9 μοίρες. Ο κατάλληλος πίνακας δίνεται: R x ( θ) cosθ sinθ sinθ cosθ Για θ9 ο πίνακας γίνεται: ( 9 ) R x
Λοξοτομημένος Λοξοτομημένος κύβος κύβος Ο πίνακας των μετασχηματιζόμενων σημείων είναι: 3 4 3 4 3 4 8.5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 8.5 4 3 4 4 3 4 3 4 3 8.5 4 4 3 4 3 4 3 4 3 8.5 4 4 3 [Ρ*] Γραφικά Η/Υ
Λοξοτομημένος κύβος Ο λοξοτομημένος κύβος μετά από περιστροφή 9 ο ως προς τον άξονα x
Σειρά Μετασχηματισμών Η σειρά με την οποία γίνεται μια ακολουθία μετασχηματισμών περιστροφής επηρεάζει και την τελική θέση ενός αντικειμένου. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα περιστροφής ενός αντικειμένου κατά 9 ο γύρω από τον x άξονα ακολουθούμενη από μια περιστροφή 9 ο γύρω από τον z άξονα είναι διαφορετική από την περιστροφή 9 ο, πρώτα γύρω από τον z άξονα και μετά 9 ο γύρω από τον x άξονα.
Σειρά Μετασχηματισμών Περιστροφή 9 ο γύρω από τον x άξονα ακολουθούμενη από περιστροφή 9 ο γύρω από τον z άξονα Y Y Z X Z
Σειρά Μετασχηματισμών Περιστροφή 9ογύρωαπότονz άξονα ακολουθούμενη από περιστροφή 9ο γύρωαπότον x άξονα Y Y Y X Z X Z X Z
Περιστροφή της λαβής ενός ρομπότ γύρω από τον τυχαίο άξονα ΑΒ αρχή αξόνων λαβή
Περιστροφή γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ B(x, y, z ) l Α(x, y, z ) x z
Βήμα. Περιστροφή γύρω από τυχαίο Μετατοπίζω τον αυθαίρετο άξονα ΑΒ κατά (-x, -y, -z) έτσι ώστε το Α να συμπέσει με την αρχή των αξόνων (,, ). άξονα ΑΒ
Περιστροφή γύρω από τυχαίο Βήμα Εκτελώ τις περιστροφές γύρω από τους άξονες x και y, ώστε να ευθυγραμμιστεί οαυθαίρετος άξονας με τον άξονα z άξονα ΑΒ
Περιστροφή γύρω από τυχαίο Βήμα 3 Περιστρέφω ως προς τον z άξονα με την επιθυμητή γωνία θ. άξονα ΑΒ
Περιστροφή γύρω από τυχαίο Βήμα 4 Εφαρμόζω αντίστροφες περιστροφές γύρω από τους άξονες y και x. Με τον τρόπο αυτό ο αυθαίρετος άξονας επιστρέφει στην αρχική του θέση. άξονα ΑΒ
Περιστροφή γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ Βήμα 5 Εφαρμόζω την αντίστροφη μετατόπιση, για να τοποθετήσω τον αυθαίρετο άξονα στην αρχική θέση στο χώρο. Α(x, y, z ) l B(x, y, z ) x z
Περιστροφή γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ Τελικά προκύπτει ο μετασχηματισμός: Μ Τ ( x, y, z )*R ( α) *R ( ϕ) *R ( θ) *R ( ϕ) *R ( α) *T( x, y, ) x y z y x z Ο κάθε πίνακας μετασχηματισμού σ αυτήν την έκφραση είναι δυνατόν να βρεθεί μέσω γεωμετρικών υπολογισμών.
Μετατόπιση Η μετατόπιση Τ(-x, -y, -z) δίνεται από:
Υπολογισμός της γωνίας περιστροφής α. (Προβολή του τυχαίου άξονα l στο επίπεδο yz) προβολή σημείου (a, b, c) περιστροφή σημείου (a, b, c)
d b c b b + d c c b c + cos α sin α ( ) α α α α α d c d b d b d c cos sin sin cos R x Γραφικά Η/Υ
Πίνακας περιστροφής γύρω από τον άξονα y Υπολογισμός γωνίας φ y l (a, b, c) προβολή σημείου (a,, d) d φ l x περιστροφή σημείου (,, l) (α,, d) z
Πίνακας περιστροφής γύρω από τον άξονα y α sin φ l cos φ l d l α + b +c R y ( ϕ) cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ d l α l α l d l θετική ή αρνητική;
Πίνακας περιστροφής γύρω από τον άξονα z R z ( θ) cosθ sin θ sin θ cosθ
Παράδειγμα Βρείτε τις καινούριες συντεταγμένες του μοναδιαίου κύβου που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, που ορίζεται από τα σημεία τέλους Α(,, ) και Β(3, 3, ). Η γωνία περιστροφής πρέπει να είναι 9 μοίρες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
Παράδειγμα II Λύση Μετατοπίζω το σημείο Α στην αρχή A (,, ): y B (,, ) T ( ) z A (,, ) x
Παράδειγμα III Περιστρέφω τον άξονα Α Β γύρω από τον άξονα x κατά γωνία α μέχρι να πέσει στο επίπεδο xz. προβολή του Β (,, ) α d l B (,, ) x Α z Β (,, )
Πίνακας περιστροφής γύρω από άξονα χ l + + 6 R x ( α) 5 5 5 5 5 5 5 5
Πίνακας περιστροφής γύρω από Περιστρέφω τον άξονα Α Β γύρω από τον άξονα y με γωνία φ μέχρι να συμπέσει με τον άξονα z. άξονα y R y ( ϕ) sin φ cos φ 6 5 6 6 6 3 6 3 6 6 6 6 6 3 6
Πίνακας περιστροφής γύρω από άξονα z Περιστρέφω τον κύβο κατά 9 μοίρες γύρω από τον άξονα z. R z ( 9)
M AB * 5 5 5 5 5 5 5 5 * 3 6 6 6 6 6 3 6 ( ),, T ( ) α x R ( ) ϕ y R 6 3 6 6 6 6 6 3 * * 5 5 5 5 5 5 5 5 * ( ) 9 R z ( ) ϕ y R ( ) α x R ( ),, T Γραφικά Η/Υ
Ο πολλαπλασιασμός του ΜΑΒ με τον πίνακα σημείων του αρχικού κύβου μας δίνει τις μετασχηματισμένες συντεταγμένες που είναι: Ρ* P *ΜΑΒ P *.66.75 *.983.74.74.667.75.5.65.74.67.56
Ανάκλαση Ανάκλαση R xy f R xz f R yz f Γραφικά Η/Υ ως ως προς προς επίπεδα επίπεδα
Ανάκλαση R f (,, ) ως προς την αρχή των αξόνων
Στρέβλωση Oι τρισδιάστατοι μετασχηματισμοί στρέβλωσης προκαλούν παραμορφώσεις στα αντικείμενα μεταβάλλοντας τις τιμές μιας ή δύο συντεταγμένων κατά ποσοστό ανάλογο προς την τρίτη. Η στρέβλωση στο επίπεδο yz δίδεται από τον πίνακα S h x S xy S xz
Στρέβλωση Η στρέβλωση στο επίπεδο xz δίδεται από τον πίνακα: Η στρέβλωση στο επίπεδο xy δίδεται από τον πίνακα: S h y S yx S yz S h z S zx S zy
ΜΕΤΑΦΟΡΑ TRANSLATION T ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ROTATION R ΚΛΙΜΑΚΩΣΗ SCALING S ΑΝΤΑΝΑΚΛΑΣΗ REFLECTION Rfx, Rfy ΣΤΡΕΒΛΩΣΗ SHEARING Shx, Shy z y x T T T T ( ) cos sin sin cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ R x ------------------------- ( ) cos sin sin cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ R y ------------------------ ( ) cos sin sin cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ R z z y x S S S S R fxy ------------------- R fxz ------------------- R fyz ------------------- ( ),, R f xz xy h S S S x ----------------- yz yx h S S S y ----------------- zy zx h S S S z