. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ.. Κατηγοριοποίηση σημάτων Ένα ηλεκτρικό σήμα μπορεί να είναι μια μεταβαλλόμενη τάση υ(t) (σε Volts) ή ένα μεταβαλλόμενο ρεύμα i(t) (σε Amperes) και μπορεί να θεωρηθεί ως το «ηλεκτρικό αντίγραφο» της πρωτογενούς «φυσικής» πληροφορίας (φωνής, εικόνας, αλφαριθμητικών δεδομένων υπολογιστή κλπ.). Για παράδειγμα, το μικρόφωνο του μικροτηλεφώνου μετατρέπει τα ηχητικά κύματα της φωνής σε ένα ηλεκτρικό σήμα (που μεταδίδεται μέσω της τηλεφωνικής γραμμής), ένας εικονολήπτης (amera) μετατρέπει τις φυσικές εικόνες σε ένα σύνθετο ηλεκτρικό σήμα που εμπεριέχει την πληροφορία για τη φωτεινότητα και τη χρωματικότητα των εικόνων αυτών, ενώ ο υπολογιστής μετατρέπει τους πληκτρολογημένους αλφαριθμητικούς χαρακτήρες, σε παλμοσειρές που μεταδίδονται π.χ. μέσω ενός δικτύου υπολογιστών. Μια πρώτη κατηγοριοποίηση των σημάτων είναι σε αιτιοκρατικά (deterministi) και στοχαστικά (random) σήματα. Τα πρώτα περιγράφονται μέσω καθορισμένων χρονικών συναρτήσεων, π.χ. x(t) A x os(πf x t), ενώ τα δεύτερα είναι τυχαία και μπορούν να προσδιοριστούν μόνον έμμεσα (με τη βοήθεια συγκεκριμένων παραμέτρων, όπως η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση). Χαρακτηριστικό παράδειγμα στοχαστικού σήματος είναι ο θόρυβος. Ένας άλλος τρόπος κατηγοριοποίησης των ηλεκτρικών σημάτων αφορά τις τιμές που αυτά λαμβάνουν κατά το χρονικό διάστημα μεταβολής τους. Έτσι, ένα σήμα που λαμβάνει οποιαδήποτε τιμή μέσα στα όρια μεταβολής του (π.χ. οποιαδήποτε τιμή από 5 έως +5 V), χαρακτηρίζεται ως αναλογικό ενώ ένα σήμα που λαμβάνει μόνο συγκεκριμένες τιμές (δύο ή περισσότερες) χαρακτηρίζεται ως ψηφιακό. Τέλος, ένας ακόμη τρόπος κατηγοριοποίησης των σημάτων είναι σε συνεχή (ο χρόνος t είναι συνεχής μεταβλητή) και διακριτά (το σήμα λαμβάνει τιμές σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές t nτ, όπου n,,, 0, +, +, ). Μια πολύ σημαντική κατηγορία σημάτων είναι τα περιοδικά σήματα (σήματα που έχουν μια συγκεκριμένη επαναλαμβανόμενη μορφή). Χαρακτηριστική παράμετρος ενός περιοδικού σήματος είναι η περίοδός του (σε s), δηλαδή το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την ολοκλήρωση ενός πλήρους «κύκλου» του σήματος. Άλλες χαρακτηριστικές παράμετροι είναι η συχνότητα f του σήματος, που εκφράζει τον αριθμό επαναλήψεων του σήματος ανά se και δίνεται από τον τύπο Οι συνήθεις συμβολισμοί για τα σήματα είναι x(t) (γενικός συμβολισμός), m(t) (σήματα βασικής ζώνης, π.χ. σήματα που εμφανίζονται στην έξοδο ενός μικροφώνου, μιας κάμερας, ενός πληκτρολογίου κλπ.) και s(t) (διαμορφωμένα σήματα και, γενικά, σήματα που προέρχονται από αλληλεπίδραση βασικών σημάτων). Για ορισμένα σημαντικά σήματα (χαρακτηρίζονται και ως «στοιχειώδη»), χρησιμοποιούνται ειδικότεροι συμβολισμοί, όπως u(t) για το βηματικό σήμα, p(t) για τον ορθογωνικό παλμό, δ(t) για τον κρουστικό παλμό, (t) για το ημιτονοειδές σήμα, n(t) για το θόρυβο κλπ. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.
f (σε κύκλους/s Hz) (.) καθώς και η γωνιακή (ή κυκλική) συχνότητα ω που δίνεται από τον τύπο ω π.f π (σε rad/s) (.) Για τα περιοδικά σήματα, προφανώς ισχύει ότι x(t) x(t+) (.3) Χαρακτηριστικό παράδειγμα περιοδικού σήματος είναι το ημιτονοειδές σήμα (t) A.os(πf t + φ ) (.4) 3 που εξετάζεται στην ενότητα.4. Το ημιτονοειδές σήμα χαρακτηρίζεται και ως «αρμονικό» σήμα.. Χαρακτηριστικές παράμετροι σήματος... Μέση τιμή μ <x(t)> και τυπική απόκλιση σ σήματος x(t) H μέση τιμή <x(t)> ή μ ενός σήματος ορίζεται ως <x(t)> μ lim [ ] x(t).dt (.5) και εκφράζει το μέσο όρο των τιμών (σε Volts) που λαμβάνει ένα σήμα x(t). Η τυπική απόκλιση σ ορίζεται με βάση την παρακάτω σχέση (.6) και εκφράζει τη μέση διαφοροποίηση ενός σήματος από τη μέση τιμή του 4. Δεδομένου ότι ένας κύκλος αντιστοιχεί σε γωνία π (rad), ο τύπος ω π.f καταδεικνύει το γεγονός ότι κύκλος/se ισοδυναμεί με π rad/se. 3 ο (t) A.os(πf t + φ ) χαρακτηρίζεται με το γενικό όρο «ημιτονοειδές» υπό την έννοια ότι, όταν φ π, προκύπτει το ημιτονικό σήμα (t) A.sin(πf t) ενώ, όταν φ 0, προκύπτει το συνημιτονικό σήμα (t) A.os(πf t). 4 Η σκοπιμότητα χρήσης και η φυσική σημασία της τυπικής απόκλισης «σ» προκύπτει με βάση τους παρακάτω συλλογισμούς: Εκτός από τη μέση τιμή του σήματος (δηλαδή το «μέσο όρο» των τιμών του), πρέπει να είναι γνωστή και η «διακύμανση» του σήματος γύρω από τη μέση τιμή. Είναι προφανές ότι άλλη θα είναι η συμπεριφορά ενός συστήματος όταν ένα σήμα έχει π.χ. μια μέση τιμή μ 0 και μέση διακύμανση της τάξης π.χ. του μv και διαφορετική αν η διακύμανση είναι της τάξης του V (έστω και Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.
σ { x(t) μ} lim [ ] {x(t) - μ}.dt (.6) σ <{x(t) μ} > lim [ ] {x(t) μ}.dt (.6) σ <x (t) + μ.x(t).μ> <x (t)> + <μ>.<μ.x(t)> <x (t)> + μ.μ.μ σ <x (t)> μ <x (t)> <x(t)> (.7) όπου χρησιμοποιήθηκε το γεγονός ότι η μέση τιμή μ είναι σταθερά, άρα <μ > μ.<x(t).μ>.μ<x(t)>.μ.μ μ. και x(t) μ x(t) μ t t Σήμα με μικρή τυπική απόκλιση Σήμα με μεγάλη τυπική απόκλιση Επισημαίνονται τα εξής: Στις σχέσεις (.4) και (.5), η παράμετρος Τ [t, t ] είναι το χρονικό διάστημα παρατήρησης του σήματος x(t). Υπό την έννοια αυτή, τα σχετικά ολοκληρώματα έχουν άκρα τις χρονικές στιγμές t και t (όπου t t Τ). Προκειμένου να είναι αξιόπιστη η παρατήρηση, το χρονικό διάστημα Τ πρέπει να τείνει στο (t και t + ). Στην πράξη, το διάστημα Τ πρέπει να είναι επαρκώς μεγάλο. Ειδικά για τα περιοδικά σήματα, ο χρόνος παρατήρησης Τ μεταπίπτει στην περίοδο του σήματος. Ο λόγος είναι ότι, εξαιτίας της επαναληψιμότητας των περιοδικών σημάτων, τα σήματα αυτά προσδιορίζονται με απόλυτη ακρίβεια εφόσον «παρατηρηθούν» για χρονικό διάστημα ίσο με μία περίοδο Τ. Επισημαίνεται ότι, για περιοδικά σήματα, τα ολοκληρώματα που καλύπτουν μία () ολόκληρη περίοδο Τ (ή πολλαπλάσια της περιόδου) έχουν τιμή ανεξάρτητη από τα άκρα ολοκλήρωσης. (5) Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση είναι παράμετροι που αφορούν τόσο τα αιτιοκρατικά όσο και τα στοχαστικά σήματα. Παρ όλα αυτά είναι περισσότερο χρήσιμες για τα αν, πάλι, μ 0). Η διακύμανση αυτή, ουσιαστικά, εκφράζεται από τη μέση τιμή (μέσο όρο) της διαφοράς x(t) μ. Η διαφορά x(t) μ αρχικά υψώνεται στο τετράγωνο (προκειμένου οι θετικές διαφοροποιήσεις να μην «εξουδετερώνονται» από τις αρνητικές) και, στη συνέχεια, τίθεται σε ρίζα ώστε να διατηρεί την υπόσταση της τάσης (και να μη γίνει [τάση] ). 5 Η απαίτηση για Τ (εκτός αν το σήμα είναι περιοδικό οπότε το Τ αντιπροσωπεύει την περίοδο του σήματος) ισχύει για όλες τις σχέσεις στις όποιες εμφανίζεται η παράμετρος Τ. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.3
στοχαστικά σήματα δεδομένου ότι, ελλείψει χρονικής συνάρτησης, είναι οι βασικές παράμετροι με τις οποίες προσδιορίζεται ένα στοχαστικό σήμα.... Ενέργεια E και μέση ισχύς P σήματος x(t) Η στιγμιαία ισχύς ενός σήματος x(t) δίνεται από τον τύπο p(t) x (t) (σε W) (.8) και εκφράζει την ισχύ που αποδίδει το σήμα την εκάστοτε χρονική στιγμή Τ. Η μέση ισχύς ενός σήματος x(t) δίνεται από τον τύπο P <p(t)> <x (t)> lim [ ] p(t).dt lim [ ] E lim[ ] x (t).dt (σε W) (.9) και εκφράζει την ισχύ που αποδίδει, κατά μέσο όρο, το σήμα x(t) Τέλος, η ενέργεια Ε δίνεται από τη σχέση και η μέση ισχύς P ενός σήματος ορίζονται με βάση τις παρακάτω σχέσεις: E x (t).dt (σε J) (.0) Σχόλια Στους τύπους (.8), (.9) και (.0), το σήμα x(t) θεωρείται ότι εφαρμόζεται σε ωμική αντίσταση R Ω. Αν R Ω και το x(t) αντιπροσωπεύει τάση, στους ανωτέρω τύπους θα πρέπει να υπάρχει παρονομαστής ίσος με R ενώ, αν το x(t) αντιπροσωπεύει ρεύμα, θα πρέπει να υπάρχει παράγοντας (πολλαπλασιαστής) R Σύγκριση της (.9) με τη (.7) δείχνει ότι η μέση ισχύς P είναι ταυτόχρονα και η μέση τιμή του τετραγώνου του σήματος. Ισχύει δηλαδή ότι P <x (t)> (.0) Σύγκριση της σχέσης (.9) με τον ορισμό της τυπικής απόκλισης (.6) δείχνει ότι, στην περίπτωση σημάτων με μηδενική μέση τιμή (μ 0), η μέση ισχύς P (άρα και η μέση τετραγωνική τιμή <x (t)> του σήματος x(t)) συμπίπτουν με το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης (σ ). Ισχύει δηλαδή ότι P σ (όταν μ 0) (.) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.4
Σήματα ενέργειας και σήματα ισχύος Ένα σήμα x(t) χαρακτηρίζεται ως σήμα ενέργειας, όταν η ενέργειά του Ε (για χρόνο Τ ) παραμένει πεπερασμένη. Για παράδειγμα, ένας παλμός p(t) (σταθερή τάση πεπερασμένης διάρκειας) είναι σήμα ενέργειας. Ένα σήμα x(t) χαρακτηρίζεται ως σήμα ισχύος, όταν η ενέργειά του Ε (για χρόνο Τ ) απειρίζεται ενώ η μέση ισχύς του P παραμένει πεπερασμένη και μη μηδενική. Χαρακτηριστικό παράδειγμα σημάτων ισχύος είναι τα περιοδικά σήματα. Γενικά, για σήματα ισχύος, ο υπολογισμός της ενέργειας μπορεί να έχει έννοια μόνο για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα..3. Παράμετροι συσχετισμού σημάτων.3.. Συνέλιξη σημάτων Ως συνέλιξη (onvolution) δύο σημάτων ορίζεται το ολοκλήρωμα l(t) x (t) x (t) x (τ).x (t τ).dτ x (t τ).x (τ).dτ (.) ο ολοκλήρωμα της συνέλιξης εμφανίζεται πολύ συχνά στη μελέτη της διέλευσης σημάτων μέσα από γραμμικά συστήματα. Παράδειγμα Να υπολογιστεί η συνέλιξη των σημάτων x (t) και x (t). x (t) x (t) t t Λύση Στα δύο σήματα παρουσιάζεται επικάλυψη (μερική ή ολική) μόνον για t : Συνεπώς: Για t < και t > : l(t) 0 Για t : o εμβαδόν της επικάλυψης είναι μηδενικό για t, αυξάνεται για t 0, μεγιστοποιείται για t 0 (τότε ισούται με x ) και μειώνεται για 0 t μέχρι που μηδενίζεται για t. Συνεπώς l(t) +t ( t 0) και l(t) t (0 t ) ή, σε συνεπτυγμένη μορφή, l(t) t ( t ). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.5
.3.. Συσχέτιση σημάτων ισχύος Τα ολοκληρώματα που ακολουθούν εκφράζουν το «βαθμό συσχέτισης» είτε δύο διαφορετικών σημάτων ισχύος x (t) και x (t) είτε ενός σήματος ισχύος x(t) με κάποιο χρονικά μετατοπισμένο αντίγραφό του. Τα ολοκληρώματα συσχέτισης χρησιμοποιούνται, κυρίως, για τη μελέτη στοχαστικών σημάτων. Ετεροσυσχέτιση (ross-orrelation) Ως ετεροσυσχέτιση δύο σημάτων (ισχύος) ορίζεται το ολοκλήρωμα r (τ) lim [ ] x (t).x (t τ).dt lim [ ] x (t τ).x (τ).dt (.3) Αυτοσυσχέτιση Στην ειδική (αλλά πολύ σημαντική) περίπτωση όπου x (t) x (t) x(t), το αντίστοιχο ολοκλήρωμα r(τ) lim [ ] x(t).x(t τ).dt (.4) ονομάζεται αυτοσυσχέτιση (autoorrelation) του σήματος x(t) και εκφράζει το βαθμό συσχέτισης «αντιγράφων» του σήματος που απέχουν μεταξύ τους κατά χρονικό διάστημα τ. Ισχύει ότι r(0) lim [ ] x(t).x(t 0).dt lim [ ] x(t).x(t).dt lim [ ] x (t).dt P δηλαδή η τιμή r(0) ταυτίζεται με τη μέση ισχύ P του σήματος 6. (.5) Ισχύουν, επιπλέον, οι παρακάτω σχέσεις: r( τ) r(τ) (.6) r(τ) r(0) τ (.7) 7 δηλαδή η r(τ) είναι άρτια συνάρτηση του τ και μεγιστοποιείται για τ 0. 6 Οι σχέσεις (.3) και (.5) (χρήση του παράγοντα υποδηλώνουν το γεγονός ότι τα συγκεκριμένα ολοκληρώματα συσχέτισης εφαρμόζονται σε σήματα ισχύος. 7 Η σχέση (.7) δηλώνει το (προφανές) γεγονός ότι η αυτοσυσχέτιση ενός σήματος μεγιστοποιείται όταν τα δύο αντίγραφα του σήματος ταυτίζονται χρονικά (δεν παρουσιάζουν καθυστέρηση το ένα σε σχέση με το άλλο). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.6
Οι σχέσεις (.6) και (.7) μπορούν να εξηγηθούν με βάση τη φυσική σημασία της αυτοσυσχέτισης. Συγκεκριμένα, η (.6) καταδεικνύει το (προφανές) γεγονός ότι ο βαθμός συσχέτισης μεταξύ δύο «αντιγράφων» του ίδιου σήματος δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία αυτά (τα αντίγραφα) λαμβάνονται ενώ η (.7) απλά δηλώνει το (επίσης προφανές) γεγονός ότι η αυτοσυσχέτιση ενός σήματος μεγιστοποιείται όταν τα δύο αντίγραφα του σήματος ταυτίζονται χρονικά (δεν παρουσιάζουν καθυστέρηση το ένα σε σχέση με το άλλο). 8,9.4. Στοιχειώδη τηλεπικοινωνιακά σήματα 0 Πρόκειται για σήματα τα οποία εμφανίζονται συχνά κατά τη μελέτη τηλεπικοινωνιακών εφαρμογών και, μεταξύ άλλων, χρησιμοποιούνται για την εξέταση άλλων συνθετότερων σημάτων. Μερικά από τα σήματα αυτά είναι: o βηματικό σήμα (step signal) u(t) u(t) 0 (t < 0) u(t) (t 0) (.8) u(t) (t > 0) u(t) 0 t O ορθογωνικός παλμός (pulse signal) p(t) ύψους Α p(t) Α ( τ/ t τ/) και p(t) 0 (αλλού) (.9) p(t) τ/ τ/ t Η ορθογωνική παλμοσειρά p (t) (ύψους A, διάρκειας παλμών τ, και περιόδου Τ) 8 Αξίζει να σημειωθεί ότι ανάλογη εξίσωση δεν ισχύει για την ετεροσυσχέτιση, διότι εκεί τα λαμβανόμενα «αντίγραφα» ανήκουν σε διαφορετικά σήματα, οπότε δεν μπορεί να εξασφαλιστεί ότι ο βαθμός συσχέτισής τους μεγιστοποιείται για τ0. 9 Αν και τα ολοκληρώματα της συσχέτισης, ισχύουν τόσο για αιτιοκρατικά, όσο και για στοχαστικά σήματα, περισσότερο χρήσιμα είναι για τα τελευταία (βλέπε και ενότητα 6.4, όπου υπολογίζεται η αυτοσυσχέτιση του λευκού θορύβου). 0 Τα σήματα αυτά εξετάζονται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο 4. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.7
p (t) Σ [n,+ ] p(t n) (.0.α) ή p Τ (t) A (n τ t n+ τ ) p (t) 0 (αλλού) (.0.β) A p (t) τ t O κρουστικός παλμός (impulse signal) δ(t) 0 δ(t) 0 (t 0) και δ(t).dt δ(t)dt (.) 0 Οι παραπάνω σχέσεις δηλώνουν ότι ο κρουστικός παλμός έχει μηδενική τιμή, εκτός από τη χρονική στιγμή t 0 όπου λαμβάνει μια άπειρα μεγάλη τιμή, κατά τέτοιο, όμως, τρόπο, ώστε η επιφάνεια που περικλείει (όπως εκφράζεται από το ολοκλήρωμα δ(t).dt δ(t)dt ) να είναι 0 ίση με. 0 Με βάση τη σχέση (.), μπορεί να θεωρηθεί ότι ο κρουστικός παλμός προκύπτει από έναν τετραγωνικό παλμό p(t) (ύψους Α και διάρκειας τ) του οποίου το ύψος Α αυξάνεται και η διάρκεια τ μειώνεται, κατά τρόπο ώστε να ισχύει ότι [-τ/, τ/] p(t).dt Α.τ. p(t) Α/τ δ(t) τ/ τ/ t 0 t Βασική ιδιότητα: x(t).δ(t τ).dt x(τ) (.) Η σχέση (.) καταδεικνύει το γεγονός ότι ο κρουστικός παλμός δ(t) (εφαρμοζόμενος σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές τ) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την «απομόνωση» δειγμάτων ενός σήματος x(t). Άμεση συνέπεια της (.) είναι η σχέση Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.8
x(t).δ(t).dt x(0) (.3) H κρουστική παλμοσειρά δ Τ (t) περίοδου Τ δ Τ (t)... δ(t+) + δ(t+) + δ(t) + δ(t ) + δ(t ) +... Σ (-, ) δ(t n) (.4) δ Τ (t) δ(t+τ) δ(t) δ(t Τ) δ(t Τ)...... -Τ 0 Τ Τ t Βασική ιδιότητα: x(t).δ (t).dt x(t).σδ(t n).dt.. x(t).δ(t+n).dt +... x(t).δ(t+).dt + x(t).δ(t+).dt + + x(t).δ(t).dt + x(t).δ(t ).dt + x(t).δ(t ).dt + x(t).δ(t n).dt +.. x( n) +... x( ) + x( ) + x(0) + x() + x() +... x(n) +... x(t).δ (t).dt Σ (, ) x(n) (.5) Η σχέση (.5) καταδεικνύει το γεγονός ότι η κρουστική παλμοσειρά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την «απομόνωση» δειγμάτων ενός σήματος x(t) σε διαδοχικές χρονικές στιγμές n,...,,, 0, +, +, +n. Το σήμα μοναδιαίας κλίσης (ramp signal) r(t) r(t) r(t) 0 (t < 0) και r(t) t (t 0) (.6) t Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.9
Το σήμα δειγματοληψίας (sampling signal) Sa(qt) Sa(qt) sin(qt) qt (.7) Sa max (qt) Sa(0) (.8.α) Sa(nπ) 0 (n,,...) (.8.β) Sa(qt) 0 π π qt ο ημιτονοειδές σήμα (t) Α.os(πf t + φ ) (.9) Το ημιτονικό και το συνημιτονικό σήμα προκύπτουν από την έκφραση (.9) για φ π/ και φ 0, αντίστοιχα. Για τη μαθηματική έκφραση του ημιτονοειδούς σήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η (μιγαδική) εκθετική συνάρτηση e j(πf t + φ ) υπό την έννοια ότι (t) Re{e j(πf t + φ ) } (.30) Τόσο το ημιτονοειδές σήμα (.9) όσο και η (μιγαδική) συνάρτηση e j(πf t+φ ) χαρακτηρίζονται ως αρμονικά σήματα. o σήμα Gauss γ(t) Το σήμα αυτό δίνεται από τον τύπο π.t γ(t) e τ τ (.3) Επειδή ισχύει ότι γ(t).dt (ιδιότητα παρόμοια με τη. για τον κρουστικό παλμό δ(t)) μπορεί να θεωρηθεί ότι ο κρουστικός παλμός δ(t) προκύπτει από ένα σήμα Gauss γ(t) το οποίο, ταυτόχρονα, «στενεύει» και «ψηλώνει» (κάτι που επιτυγχάνεται όταν η παράμετρος τ μειώνεται διαρκώς έτσι ώστε τ 0). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.0
Σχέσεις μεταξύ των σημάτων u(t), p(t) και δ(t) Μεταξύ των παραπάνω στοιχειωδών σημάτων, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: (.8) p(t) A.[u(t τ/) u(t+τ/)] (.3) u(t) δ(t).dt du(t) δ(t) dt r(t) u(t).dt t.u(t) dr(t) u(t) dt (.33) (.34).5. Ορθογώνια σήματα Αν {b n (t)} αντιπροσωπεύει ένα σύνολο σημάτων, τότε τα μέλη (σήματα b n (t)) του συνόλου αυτού χαρακτηρίζονται μεταξύ τους ορθογώνια (για το χρονικό διάστημα Τ) όταν ισχύει ότι b μ (t).b ν (t).dt Κ.δ μν μ,ν (.35) ενώ το σύνολο {b n (t)} χαρακτηρίζεται ορθοκανονικό. Στην ειδική περίπτωση όπου Κ, το σύνολο χαρακτηρίζεται ορθομοναδιαίο. Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν τα σήματα {b n (t)} συνιστούν ορθοκανονικό σύνολο, τα σήματα {ξ n (t)} { bn (t)} συνιστούν ορθομοναδιαίο σύνολο αφού ξ μ (t).ξ ν (t).dt Κδμν δ μν K K K Ένα ορθοκανονικό σύνολο σημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση για την ανάλυση σημάτων x(t) υπό την εξής έννοια: όπου x(t) Σ (, ) a n.b n (t) (.36) a n K x(t).b n (t).dt (.37) Απόδειξη: x(t).b ρ (t) b ρ (t).x(t) b ρ (t).σ [0, ) a n.b n (t) x(t).b ρ (t).dt b ρ (t).x(t).dt b ρ (t).σ (-, )a n.b n (t) Σ [0, ) [ b μ (t).a n.b n (t).dt] Το δ νμ είναι το «σύμβολο Kroneker» (δ νμ αν νμ και δ νμ 0 αν ν μ). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.
Σ [0, ) a n. b μ (t).b n (t).dt a n.k a n K x(t).b n (t).dt Μπορεί να αποδειχθεί ότι η ενέργεια Ε ενός σήματος x(t) (που αναλύεται σύμφωνα με την.36) δίνεται από τη σχέση Ε x (t).dt ΚΣa n (.38) Τα ορθογώνια σήματα b n (t) που εμφανίζονται στην παραπάνω ανάλυση χαρακτηρίζονται ως σήματα βάσης. Μεταξύ του συνόλου των σημάτων και του συνόλου των διανυσμάτων του 3-διάστατου χώρου μπορεί να γίνει η αντιστοίχιση που ακολουθεί: Σύνολο σημάτων Σήμα x(t) Ορθομοναδιαία σήματα {ξ n (t)} όπου ξ μ (t).ξ ν (t).dt δ μν (εξίσ..6 με K) Συντελεστές {a n } όπου x(t) Σ (-, ) a n.ξ n (t) Ενέργεια σήματος Ε όπου E x (t).dt Σa n (εξίσ..9 με K) Σύνολο διανυσμάτων Διάνυσμα V Μοναδιαία διανύσματα βάσης x, y, z Συνιστώσες διανύσματος (V x, V y, V z ) V xv x + yv y + zv z Τετράγωνο μέτρου διανύσματος V V x + V y + V z Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.
.6. Aσκήσεις Στις ασκήσεις που ακολουθούν, θα χρησιμοποιηθούν, επανειλημμένα, οι παρακάτω σχέσεις: Τ os(πft)dt Τ sin(πft)dt 0 (.39) Τ os(πft) sin(πft)dt Τ os(πft) os(πft)dt 0 (.40) Τ os (πft)dt Τ sin (πft)dt (.4) Τ os 4 (πft)dt Τ sin 4 (πft)dt 3 8 (.4) Άσκηση Για τις παρακάτω κυματομορφές να υπολογιστούν: (α) Η μέση τιμή μ. (β) Η μέση ισχύς P. +V/ x (t) 0 t V/ +V/ x (t) 0 Τ/ Τ t V/ +V x 3 (t) 0 t Λύση (α) Χρησιμοποιείται η (.4) με Τ την περίοδο του σήματος και διάρκεια παλμών τ. Προκύπτουν μ 0, μ 0, μ 3 V. μ x (t).dt V V [ [ //4,Τ/4] dt + [/4,3Τ/4] ( )dt] 0 Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.3
μ x (t).dt [ [0,Τ/] V dt + [/,Τ] ( V ).dt] 0 μ 3 x 3 (t).dt [ [ //4,Τ/4] V.dt + [/4,3Τ/4] 0.dt] V. (β) Χρησιμοποιείται η (.8) με Τ την περίοδο του σήματος και διάρκεια παλμών τ. Προκύπτουν P V, P 4 V, P 3 4 V P x (t).dt [ [ //4,Τ/4] ( V ).dt + [/4,3Τ/4] ( V ).dt] V 4 P x (t).dt [ [0,Τ/] ( V ).dt + [/,Τ] ( V ).dt] V 4 P 3 x 3 (t).dt [ [ //4,Τ/4] V.dt + [/4,3Τ/4] 0.dt] V Άσκηση Δίνεται ημιτονικό σήμα (t) A os(πf.t) (α) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μ του (t). (β) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς Ρ του (t). (γ) Να υπολογιστεί η ενέργεια Ε Τ του (t) που καταλώνεται κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. Λύση (α) (.4) μ (t).dt A os(πf.t).dt A os(πf.t).dt 0 (βάσει και της.36) (β) (.8) P (t).dt A os Τ A (πf.t).dt A (γ) Ε Τ P.Τ A Τ (βάσει και της.38) Άσκηση 3 Δίνεται το σήμα x(t) A x os (πf o.t) (α) Να υπολογιστεί η συχνότητα f x και η περίοδος Τ x του σήματος x(t). (β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μ x του x(t). (γ) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς P x του x(t). (δ) Να υπολογιστεί η ενέργεια Ε Τ του x(t) που καταλώνεται κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.4
Λύση (α) x(t) A x os (πf o.t) A x [os(.πfo t) ] f x f ο οπότε Τ x f o f x (β) (.4) μ x A x os (πf o.t).dt οπότε, με βάση και τη (.38) μ x (γ) (.8) P x x (t).dt A x os 4 (πf o.t).dt οπότε, με βάση τη (.39) P x (δ) Ε Τ P x.τ x 3A x 8 Τ x A x 3A x 8 Άσκηση 4 Δίνεται το σήμα x(t) A os(πf.t) + A os(πf.t) (α) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μ του x(t). (β) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς P του x(t). Λύση (α) (.4) μ [A os(πf.t) + A os(πf.t)].dt A os(πf.t).dt + A os(πf.t).dt Α os(πf.t).dt + Α 0 + Α os(πf.t).dt Α 0 0 (με βάση και τη.36) (β) (.8) P [A os(πf.t) + A os(πf.t)].dt A os (πf.t).dt + A os (πf.t).dt + A A os(πf.t)os(πf.t).dt Α os (πf.t).dt + Τ Α + Α A + A + 0 Α Τ + A A.0 os (πf.t).dt + A A os(πf.t)os(πf.t).dt P + P (με βάση και τις.37,.38) Σχόλιο: Το διάστημα ολοκλήρωσης Τ πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να περιέχει ακέραιο αριθμό περιόδων, τόσο του όρου A os(πf.t) όσο και του όρου A os(πf.t). Αυτό διασφαλίζεται αν Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.5
Τ ΕΚΠ(Τ, Τ ) ΕΚΠ(, ), δηλαδή αν το διάστημα Τ είναι το ελάχιστο κοινό f f πολλαπλάσιο των επιμέρους περιόδων Τ και Τ. Άσκηση 5 Ημιτονοειδές σήμα (t) A os(πf t) υφίσταται ημιανόρθωση οπότε προκύπτει το σήμα s(t). (α) Να γραφεί ο μαθηματικός τύπος του s(t) και να σχεδιαστεί πρόχειρα το σήμα. (β) Να υπολογιστεί η περίοδος Τ s και η συχνότητα f s του σήματος s(t). (γ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μ s του s(t). (δ) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς Ρ s του s(t). Λύση (α) s(t) A os(πf t) (για 0 t ) και s(t) 0 (για t ) όπου Τ η περίοδος του (αρχικού) ημιτονοειδού σήματος (t). f (β) f s f Τ s f s f (η ημιανόρθωση δεν μεταβάλλει την περίοδο και τη συχνότητα του αρχικού σήματος). (γ) Χρησιμοποιείται η (.4) με περίοδο σήματος s Τ και με το σήμα s(t) να παρουσιάζει ημιτονοειδή μεταβολή s(t) A os(πf t) μόνο για το διάστημα [0, ]. (.4) μ s s(t).dt [ [0,Τ/] A os(πf.t).dt + [Τ/,Τ] 0.dt] Α [ sin(πf.t)] [0,Τ/] + 0 πf [ πf Α sin(πf. /) 0] [0,Τ/] Α π (όπου χρησιμοποιήθηκε και η σχέση f ) (δ) Χρησιμοποιείται η (.8) με περίοδο σήματος s Τ και με το σήμα να παρουσιάζει ημιτονοειδή μεταβολή μόνο για το διάστημα [0, Τ /]. Προκύπτει ότι P s (.8) P s s (t).dt Α 4 P. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.6
[ [0,Τ/] A os (πf.t).dt + [Τ/,Τ] 0.dt] [ [0,Τ/] A [ [0,Τ/] Α Α [ ( 0) + Α + os(.πf t)..dt + [Τ/,Τ] 0.dt] Α dt + [0,Τ/] os(.πf.t).dt] Α P 4 (όπου χρησιμοποιήθηκε και η σχέση f ) [os(.πf ) os(.πf.0)]] Άσκηση 6 Ημιτονοειδές σήμα (t) A os(πf t) ανορθώνεται πλήρως, οπότε προκύπτει το σήμα s(t). (α) Να γραφεί ο μαθηματικός τύπος του s(t) και να σχεδιαστεί πρόχειρα το σήμα. (β) Να υπολογιστεί η περίοδος Τ s και η συχνότητα f s του σήματος s(t). (γ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή μ s του s(t). (δ) Να υπολογιστεί η μέση ισχύς Ρ s του s(t). Λύση (α) s(t) A os(πf t) (t) (β) H έκφραση με απόλυτη τιμή σημαίνει ότι το σήμα παραμένει πάντα θετικό (ή μηδέν) άρα η περίοδος επανάληψής του (Τ s ) περιορίζεται σε μία ημιπερίοδο του αρχικού σήματος. Τ s f s f s (γ) Χρησιμοποιείται η (.4) με περίοδο σήματος ίση με Τ s και με το σήμα s(t) να παρουσιάζει θετική ημιτονοειδή μεταβολή για όλο το διάστημα Τ s. Προκύπτει ότι μ s Α (διπλάσια από τη μέση τιμή του ημιανορθωμένου σήματος). π (.4) μ s s(t).dt [0,Τ/] A os(πf.t).dt / Α [ sin(πf.t)] [0,Τ/] + 0 πf Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.7
Α [ sin(πf. /) 0] [0,Τ/] πf Α π (όπου χρησιμοποιήθηκε και η σχέση f ) (δ) Αφού s(t) A os(πf t) (t) s (t) (t), αλλά με περίοδο Τ s. Προκύπτει ότι A P s P (διπλάσια από τη μέση ισχύ του ημιανορθωμένου σήματος). (.8) P s s (t).dt [0,Τ/] A os (πf.t).dt / [0,Τ/] A [ [0,Τ/] Α Α [ ( 0 ) + Α + os(.πf t)..dt Α dt + [0,Τ/] os(.πf.t).dt] Α P (όπου χρησιμοποιήθηκε και η σχέση f ) [os(.πf ) os(.πf.0)]].7. Παραπομπές Νασιόπουλος Α., Τηλεπικοινωνίες, Εκδ. Αράκυνθος 007: Ενότητα.4. Κωνσταντίνου Φ., Καψάλης Χ., Κωττής Π., Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες, Εκδ. Παπασωτηρίου 995: Κεφάλαιο. aub H., Shilling D. L., Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα, Εκδ. Τζιόλα 997: Κεφάλαιο. Haykin S., Συστήματα Επικοινωνίας, Εκδ. Παπασωτηρίου 995: Κεφάλαιο. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα.8