Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ορίσουµε αρχικά την έννοια της ιδιοτιµής (ή χαρακτηριστικής τιµής και του ιδιοδιανύσµατος (ή χαρακτηριστικού διανύσµατος ενός τετραγωνικού πίνακα. Θα εισάγουµε την έννοια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου και ϑα ορίσουµε την έννοια της διαγωνιοποίησης ενός τετραγωνικού πίνακα. Θα δώσουµε ιδιαίτερη έµφαση στην ειδική περίπτωση των συµµετρικών πινάκων και ϑα δείξουµε πώς χρησιµοποιούνται στην κατασκευή των τετραγωνικών µορφών. 6. Ιδιοτιµές-Ιδιοδιανύσµατα Θα ξεκινήσουµε µε τον ορισµό της χαρακτηριστικής τιµής (ιδιοτιµής και του χαρακτηριστικού διανύσµατος (ιδιοδιανύσµατος ενός τετραγωνικού πίνακα A τύπου n n. Ορισµός 6.. Ο αριθµός λ K ονοµάζεται ιδιοτιµή ή χαρακτηριστική τιµή ενός τετραγωνικού πίνακα A gl(n n, K, αν υπάρχει τουλάχιστον ένας πίνακας διάνυσµα X τέτοιος, ώστε AX = λ X (A λi X =. (6. Οι πίνακες διανύσµατα X, που ικανοποιούν τις σχέσεις (6., ονοµά- Ϲονται ιδιοδιανύσµατα ή χαρακτηριστικά διανύσµατα του πίνακα A. Στα επόµενα ϑα δείξουµε ότι οι σχέσεις (6. ανάγονται σε ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα n εξισώσεων µε n αγνώστους.

84 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Ορισµός 6..2 Σε κάθε ιδιοτιµή λ i K, i =, 2,..., n ϐαθµού πολλαπλότητος ρ i, ενός n n πίνακα A, το σύνολο των διανυσµάτων X i, που ικανοποιούν τη σχέση (A λ i I X i =, συνιστούν διανυσµατικό χώρο, ο οποίος λέγεται ιδιοχώρος και συµβολίζεται µε E λi. Είναι δηλαδή E λi = {X i /(A λ i I X i =, για κάθε λ i K, i =, 2,..., n}. (6.2 6.. Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Πίνακα Οι ιδιοτιµές λ i K του πίνακα A προκύπτουν από τη λύση του συστή- µατος (6.. Αν εξαιρέσουµε την τετριµµένη περίπτωση όπου X =, οι ιδιοτιµές λ i προκύπτουν από την εξίσωση A λ I =. (6.3 Από την ανάπτυξη της ορίζουσας A λ I προκύπτει ένα πολυώνυµο n-ϐαθµού ως προς λ, το οποίο το συµβολίζουµε φ(λ. Το πολυώνυµο αυτό ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A και έχει τη γενική µορφή φ(λ = A λ I = ( n λ n + a n λ n + + a λ + a, (6.4 όπου a i R. Θέτοντας λ = στη σχέση (6.4, παίρνουµε φ( = A = a. (6.5 Συνεπώς ο πίνακας του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει σταθερό όρο a είναι αντιστρέψιµος 2, δηλαδή υπάρχει ο πίνακας A. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο φ(λ µπορεί να παραγοντοποιηθεί και να γραφεί στη µορφή φ(λ = A λ I = (λ λ ρ (λ λ ρ2 (λ λ m ρm, (6.6 µε ρ + ρ 2 + + ρ n = n, όπου λ, λ 2,, λ m K είναι οι ϱίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου φ(λ, οι οποίες συνιστούν ιδιοτιµές 2 Υπενθυµίζουµε ότι σε αυτή την περίπτωση ο αντίστροφος του πίνακα A δίνεται από τη σχέση A = adj(a A.

6. Ιδιοτιµές-Ιδιοδιανύσµατα 85 του πίνακα A. Τέλος, ρ, ρ 2,..., ρ m είναι οι αντίστοιχες πολλαπλότητες των ιδιοτιµών. Η µορφή (6.6, όπως ϑα δούµε αµέσως παρακάτω, είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για τον υπολογισµό των ιδιοτιµών λ i K, i =, 2,..., n του n n πίνακα A και για την εύρευση του ελάχιστου πολυωνύµου του, που µε τη σειρά του είναι χρήσιµο, για να διαπιστώσουµε αν ο πίνακας A είναι διαγωνιοποιήσιµος ή όχι. 6..2 Μεθοδολογία υπολογισµού ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων. Για να ϐρούµε τις ιδιοτιµές λ i K ενός τετραγωνικού πίνακα A gl(n n, K και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα X i, όπου i =, 2,..., n, ακολουθούµε τα εξής ϐήµατα :. Επιλύουµε την εξίσωση A λ I = και προσδιορίζουµε τις ιδιοτιµές λ i. Πάντως, είναι προτιµότερο να παραγοντοποιήσουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο φ(λ σύµφωνα µε τη σχέση (6.6 και από εκεί να υπολογίσουµε εύκολα τα λ i. 2. Επιλύουµε το σύστηµα (A λ i I X i = για κάθε ιδιοτιµή λ i και ϐρίσκουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα X i. Πρέπει να τονίσου- µε ότι σε κάθε ιδιοτιµή λ i αντιστοιχεί απειρία ιδιοδιανυσµάτων X i. Αυτό ισχύει, γιατί, αν το X i είναι ιδιοδιάνυσµα του πίνακα A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ i, δηλαδή ισχύει A X i = λ X i, τότε οποιοδήποτε διάνυσµα Y i = a X i µε a K ικανοποεί τη σχέση A Y i = λ i Y i, αφού A Y i = A (ax i = aa X i = aλ i X i = λ i Y i. Άρα σε κάθε περίπτωση υπολογίζουµε τα X i ϑέτοντας µια αυ- ϑαίρετη τιµή στη σταθερά a. Παραδείγµατα 6. Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα ( 2 A =. (6.7 2 Λύση Υπολογίζουµε αρχικά τις ιδιοτιµές λ i από την παρακάτω εξίσωση ( λ 2 A λ I = = 2 λ ( λ 2 2 2 = ( λ(3 λ =. (6.8

86 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Από την εξίσωση (6.8 ϐρίσκουµε ότι οι Ϲητούµενες ιδιοτιµές είναι οι λ = και λ 2 = 3. Για κάθε µια από αυτές ϑα υπολογίσουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα. Για την ιδιοτιµή λ = έχουµε ( ( ( 2 x (A λ I X = = 2 ( { 2x + 2x 2 = 2x + 2 = x =. (6.9 Συνεπώς ο ιδιοχώρος E λ είναι το σύνολο των διανυσµάτων ( x ( ( x2 = =. (6. Θέτοντας =, ϑα έχουµε ένα αντιπροσωπευτικό ιδιοδιάνυσµα του ιδιοχώρου E λ, δηλαδή το ιδιοδιάνυσµα X = (. (6. Εφαρµόζουµε την ίδια µέθοδο και για την ιδιοτιµή λ 2 έχουµε = 3, οπότε ( ( 3 2 x (A λ 2 I X 2 = = 2 3 { 2x + 2x 2 = 2x 2 = x =. (6.2 Συνεπώς ο ιδιοχώρος E λ2 είναι το σύνολο των διανυσµάτων ( x = ( x2 ( =. (6.3 Θέτοντας =, έχουµε ένα αντιπροσωπευτικό ιδιαδιάνυσµα του ι- διοχώρου E λ2, δηλαδή το ιδιοδιάνυσµα X = (. (6.4

6. Ιδιοτιµές-Ιδιοδιανύσµατα 87 6..3 Θεώρηµα Cayley-Hamilton Ενα από τα ϐασικά ϑεωρήµατα της Γραµµικής Άλγεβρας είναι το ϑεώρηµα Cayley-Hamilton, το οποίο διατυπώνεται ως ακολούθως: Θεώρηµα 6.. Εστω ο τετραγωνικός πίνακας A gl(n n, K και το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο φ(λ = ( n λ n + a n λ n + + a λ + a. (6.5 Ο πίνακας A µηδενίζει το παραπάνω χαρακτηριστικό πολυώνυµο φ(a = ( n A n + a n A n + + a A + a I =. (6.6 Παρατηρήσεις (α. Πρέπει να διευκρινιστεί ότι η σχέση (6.6 είναι µια εξίσωση πινάκων, σε αντίθεση µε την έκφραση που δίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυµο, που είναι εξίσωση αριθµών. (ϐ. Το ϑεώρηµα Cayley-Hamilton µας διευκολύνει να υπολογίζου- µε τη µορφή πινάκων που είναι υψωµένοι σε µεγάλες δυνάµεις, και κυρίως να ϐρίσκουµε τον αντίστροφο A ενός πίνακα A. Πράγµατι, έστω ότι ένας πίνακας A έχει αντίστροφο, δηλαδή ισχύει η συνθήκη a = A. Τότε από τη σχέση (6.6 έχουµε I = ( n A n a n A n a A a a a AA = A ( ( n A n a n A n 2 a I a a a ( ( A n = A n + a n A n + + a I. (6.7 a a a Παραδείγµατα 6.2 Με τη ϐοήθεια του ϑεωρήµατος Cayley-Hamilton, να υπολογιστεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 2 (6.8

88 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι λ φ(λ = A λ I = λ 2 λ = λ3 + 3 λ 2 + 2. (6.9 Εφόσον είναι φ(λ = = A = 2, υπάρχει ο αντίστροφος του A. Από το ϑεώρηµα Cayley-Hamilton έχουµε φ(a = A 3 + 3 A 2 2 I = A ( 2 A2 + 32 A = I. (6.2 Άρα A = ( 2 A2 + 32 A. Συνεπώς A = 2 = 2 2 2 2 2 + 3 2 2 (6.2 6..4 Χρήσιµα Θεωρήµατα Στην υποενότητα αυτή ϑα διατυπώσουµε και ϑα αποδείξουµε (κατά περίπτωση µερικά ϑεωρήµατα χρήσιµα για την εύρεση ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα. Θεώρηµα 6..2 Εστω τετραγωνικός πίνακας A gl(n n, K µε ιδιοτιµές λ k, k =, 2,..., n, διαφορετικές µεταξύ τους. Τα ιδιοδιανύσµατα X k, k =, 2,..., n, που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ k, είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Απόδειξη Θα αποδείξουµε το ϑεώρηµα µε τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής. Εστω k = 2 και λ k, k =, 2 οι ιδιοτιµές του πίνακα A. Θα δείξουµε ότι τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ k είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. ηλαδή πρέπει και αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει µ X + µ 2 X 2 = µ = µ 2 =. (6.22

6. Ιδιοτιµές-Ιδιοδιανύσµατα 89 Πολλαπλασιάζουµε από αριστερά τα δύο µέλη της σχέσης (6.22 µε τον πίνακα A, οπότε έχουµε µ X + µ 2 X 2 = µ A X + µ 2 A X 2 =. (6.23 Λαµβάνοντας υπόψη ότι για τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A ισχύουν A X = λ X και A X 2 = λ 2 X 2, από την (6.23 έχουµε µ A X + µ 2 A X 2 = µ λ X + µ 2 λ 2 X 2 =. (6.24 Από τις σχέσεις (6.22 και (6.24 προκύπτει λ µ 2 X 2 + µ 2 λ 2 X 2 = µ 2 (λ 2 λ X 2 =. (6.25 Από τη σχέση (6.25 και λαµβάνοντας υπόψη ότι λ λ 2 και X 2, προκύπτει ότι µ 2 = και στη συνέχεια ϐρίσκουµε µ =. Άρα τα ιδιοδιανύσµατα X και X 2 είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Θεώρηµα 6..3 Οι ιδιοτιµές ενός πραγµατικού συµµετρικού πίνακα A gl(n n, K (A T = A είναι πραγµατικοί αριθµοί. Παραδείγµατα 6.3 Να υπολογιστούν οι ιδιοτιµές του παρακάτω πραγµατικού συµµετρικού πίνακα A = ( 2 2. Λύση Οι ιδιοτιµές του πίνακα A υπολογίζονται ως εξής, A λi = λ 2 2 λ = ( λ 2 4 = { λ = 3 λ 2 =. Θεώρηµα 6..4 Τα ιδιοδιανύσµατα ενός πραγµατικού συµµετρικού πίνακα A gl(n n, K (A T = A, που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές, είναι ορθογώνια µεταξύ τους.

9 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Απόδειξη Εστω X, X 2 και λ, λ 2 δύο από τα ιδιοδιανύσµατα και οι αντίστοιχες δύο ιδιοτιµές του συµµετρικού τετραγωνικού πίνακα A. Είναι A X = λ X, A X 2 = λ 2 X 2, λ λ 2. (6.26 Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη από τις σχέσεις (6.26 δεξιά µε τον α- νάστροφο πίνακα 3 X T 2 και εκτελώντας µερικές πράξεις, έχουµε X T 2 A X = X T 2 λ X (X T 2 A X T = (λ X T 2 X T (6.27 X T A X 2 = λ X T X 2 X T (λ 2 X 2 = λ X T X 2 λ X T X 2 = λ 2 X T X 2 (λ λ 2 X T X 2 = X T X 2 =. (6.28 Θεώρηµα 6..5 Οταν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός τετραγωνικού πίνακα A gl(n n, K έχει ϱίζες µε ϐαθµό πολλαπλότητας µεγαλύτερο του, τότε το πλήθος των διανυσµάτων που αντιστοιχούν σε µια πολλαπλή ιδιοτιµή είναι ίσο µε τη µηδενικότητα (nullity. Είναι, δηλαδή, nullity = n rank(a. Θεώρηµα 6..6 Οι χαρακτηριστικές τιµές ενός τετραγωνικού πίνακα A gl(n n, K είναι ίδιες µε τις χαρακτηριστικές τιµές του ανάστροφου του A T. Απόδειξη Αρκεί να δείξουµε ότι οι δύο πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο. Πράγµατι, έχουµε (A λ I T = A T λ I T = A T λ I (A λ I T = A T λ I (A λ I = A T λ I, (6.29 όπου στην τελευταία σχέση χρησιµοποιήσαµε το ϑεώρηµα ότι η ορί- Ϲουσα ενός πίνακα A ταυτίζεται µε αυτήν του ανάστροφου του A T, A = A T. 3 Υπενθυµίζουµε ότι τόσο οι πίνακες στήλη όσο και οι πίνακες γραµµή αποτελούν στοιχεία διανυσµατικού χώρου.

6.2 Μετασχηµατισµοί Οµοιότητας 9 Θεώρηµα 6..7 Αν το λ είναι µια ιδιοτιµή του αντιστρέψιµου πίνακα A GL(n n, K, τότε ο αριθµός A είναι µια ιδιοτιµή του πίνακα λ adj(a. Απόδειξη Γνωρίζουµε ότι A = adj(a. Ακόµη έχουµε A A X = λ X A A X = λ A X X = λ A X A X = λ X adj(a A X = λ X adj(a X = A λ 6.2 Μετασχηµατισµοί Οµοιότητας X. (6.3 Στο Κεφάλαιο 5 (ενότητα 5.6 είδαµε ότι δυο πίνακες A και B λέγονται όµοιοι ή συνδέονται µε έναν µετασχηµατισµό οµοιότητας, όταν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος, ώστε να ικανοποιεί τη σχέση B = P AP ή A = P BP. υο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις µετασχηµατισµού οµοιότητας, µε πολλές εφαρµογές στη Φυσική, είναι ο ορθογώνιος µετασχηµατισµός ο- µοιότητας και ο µοναδιαίος (unitary µετασχηµατισµός οµοιότητας. Ορισµός 6.2. ίνεται ο ορθογώνιος πίνακας P, ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση P T = P. υο πίνακες A και B ϑα λέγονται όµοιοι κάτω από έναν ορθογώνιο µετασχηµατισµό οµοιότητας, αν ισχύει η σχέση P AP = B P T AP = B. (6.3 Ορισµός 6.2.2 ίνεται ο πίνακας U, ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση U = (U T. ύο πίνακες A και B µε µιγαδικά στοιχεία ϑα λέγονται όµοιοι κάτω από έναν µοναδιαίο (unitary µετασχηµατισµό οµοιότητας, αν ισχύει η σχέση (U T AU = U AU = B. (6.32

92 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Σχόλιο Οι όµοιοι πίνακες παρουσιάζουν µεγάλο ενδιαφέρον κυρίως σε ό,τι α- ϕορά τη µελέτη της διαγωνιοποίησής τους. Θα δείξουµε παρακάτω ότι η πιο χαρακτηριστική τους ιδιότητα είναι το γεγονός ότι έχουν τα ί- δια χαρακτηριστικά πολυώνυµα και συνεπώς τις ίδιες χαρακτηριστικές ιδιοτιµές, αλλά όχι αναγκαστικά τα ίδια ιδιοδιανύσµατα. Θεώρηµα 6.2. Εστω οι όµοιοι πίνακες A και B. Οι πίνακες αυτοί έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυµα και συνεπώς τις ίδιες ιδιοτιµές. Απόδειξη Εφόσον οι πίνακες A και B είναι όµοιοι, τότε ϑα υπάρχει πίνακας P τέτοιος, ώστε B = P AP. Στη συνέχεια ϑεωρούµε τον πίνακα B λ I. Αντικαθιστούµε σε αυτόν όπου B = P AP και όπου λ I = P λ IP. Τότε παίρνουµε B λ I = P AP P λ IP = P (A λ IP. (6.33 Λαµβάνουµε την ορίζουσα του αριστερού και δεξιού µέλους της (6.33 και έχουµε B λ I = P (A λ IP = P A λ I P = P P A λ I = A λ I. (6.34 Στην εξίσωση (6.34, η ισότητα B λ I = A λ I δηλώνει ότι οι όµοιοι πίνακες A και B έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο και συνεπώς τις ίδιες χαρακτηριστικές ιδιοτιµές. Αποµένει τώρα να ελέγξουµε τη σχέση που συνδέει τα χαρακτηριστικά διανύσµατα δύο όµοιων πινάκων. Ετσι διατυπώνουµε και αποδεικνύουµε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Πόρισµα 6.2. Ας είναι οι όµοιοι πίνακες A, B και Ψ ένα χαρακτηριστικό διάνυσµα του πίνακα B, που αντιστοιχεί στη χαρακτηριστική του τιµή λ. Τότε το διάνυσµα X = P Ψ είναι χαρακτηριστικό διάνυσµα του A, που αντιστοιχεί στη χαρακτηριστική τιµή λ.

6.3 ιαγωνιοποίηση Πινάκων 93 Απόδειξη Σύµφωνα µε την εκφώνηση, το διάνυσµα Ψ είναι ένα χαρακτηριστικό διάνυσµα του πίνακα B, που αντιστοιχεί στη χαρακτηριστική του τιµή λ, είναι δηλαδή BΨ = λψ. Στη συνέχεια εκτελούµε διαδοχικά τις παρακάτω πράξεις A P Ψ }{{} X BΨ = λ Ψ (P AP Ψ = λ Ψ P (P AP Ψ = P λ Ψ = λ }{{} P Ψ AX = λ X, όπου X = P Ψ. (6.35 X Η τελευταία σχέση της (6.35, AX = λ X, είναι αυτή που αποδεικνύει το Ϲητούµενο. Τέλος, παραθέτουµε τα δύο ακόλουθα ϑεωρήµατα : Θεώρηµα 6.2.2 Κάθε τετραγωνικός πίνακας A είναι όµοιος µε έναν τριγωνικό πίνακα, του οποίου τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου είναι οι χαρακτηριστικές τιµές του πίνακα A. Θεώρηµα 6.2.3 ύο πίνακες που συνδέονται µε έναν µετασχηµατισµό οµοιότητας P AP =, έχουν το ίδιο ίχνος. Απόδειξη Από την εκφώνηση έχουµε P AP =, από όπου παίρνουµε Tr( = Tr(P AP = Tr(APP = Tr(A. (6.36 6.3 ιαγωνιοποίηση Πινάκων Η διαγωνιοποίηση πινάκων έχει πολλές εφαρµογές στην επίλυση προ- ϐληµάτων που εµφανίζονται στα Μαθηµατικά, στη Φυσική, στην Οικονοµία κ.λπ. Για το λόγο αυτό ενδιαφερόµαστε να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός τετραγωνικού πίνακα. Οµως, ε- πειδή συµβαίνει ο πίνακας, π.χ. A, να είναι πολλών διαστάσεων, είναι προτιµότερο να ϐρούµε µε µετασχηµατισµό οµοιότητας έναν όµοιό του διαγώνιο πίνακα. Ο διαγώνιος αυτός πίνακας έχει τις ίδιες ιδιοτιµές µε τον όµοιο του πίνακα A, ενώ από τη µορφή του πίνακα P που πραγµατοποιεί τον µετασχηµατισµό οµοιότητας µπορούµε να ϐρούµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα. Παρακάτω ϑα αναπτύξουµε τη µεθοδολογία διαγωνιοποίησης ενός τετραγωνικού πίνακα A gl(n n, K.

94 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Θεωρούµε τον διαγώνιο πίνακα, a a 22 =...... a nn (6.37 Ορισµός 6.3. Ο τετραγωνικός πίνακας A gl(n n, R λέγεται διαγωνιοποιήσιµος, όταν είναι όµοιος µε έναν διαγώνιο πίνακα, έτσι ώστε να ισχύει P AP = A = P P. (6.38 Το ϑεώρηµα που συνδέει τον πίνακα A µε τον όµοιο διαγώνιό του είναι το ακόλουθο : Θεώρηµα 6.3. Το ίχνος των διαγώνιων στοιχείων του είναι ίσο µε το ίχνος του πίνακα A. Απόδειξη Λαµβάνοντας υπόψη την ιδιότητα των πινάκων Tr(AB = Tr(BA και τον παραπάνω ορισµό, έχουµε Tr( = Tr(P AP = Tr(APP = Tr(A I = Tr(A. (6.39 Παρατηρήσεις Πρέπει να τονίσουµε ότι δεν είναι διαγωνιοποιήσιµοι όλοι οι πίνακες. Για να είναι ένας πίνακας διαγωνιοποιήσιµος, ϑα πρέπει να ικανοποιούνται ορισµένες προϋποθέσεις όσον αφορά τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατά του. Ετσι ένας πίνακας A διαγωνιοποιείται, όταν : Το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο φ(λ = A λ I έχει διαφο- ϱετικές ανά δύο (διακεκριµένες ιδιοτιµές. Τότε ο διαγώνιος πίνακας (που είναι όµοιος µε τον A είναι της µορφής = diag(λ, λ 2,..., λ n και ο πίνακας P, ο οποίος κάνει τη διαγωνιοποίηση = P AP, έχει στήλες τα ιδιοδιανύσµατα X, X 2,..., X n, που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ, λ 2,..., λ n αντίστοιχα. Για κάθε ιδιοτιµή πολλαπλότητας ρ προκύπτουν ακριβώς ρ-γραµ- µικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα, όπου ρ = n rank(a λ I.

6.3 ιαγωνιοποίηση Πινάκων 95 Είναι συµµετρικός. Ενας πίνακας A δεν διαγωνιοποιείται, όταν σε µια ιδιοτιµή του πολλαπλότητας ρ προκύπτουν λιγότερα από ρ-γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα. Θεώρηµα 6.3.2 Εστω A ο αντίστροφος του διαγωνιοποιήσιµου πίνακα A. Τότε ισχύει Απόδειξη A = P P. A = P P A = (P P A = (P (P = P P. (6.4 Θεώρηµα 6.3.3 Εστω ο διαγωνιοποιήσιµος πίνακας A gl(n n, K, όπου A = P P. Για κάθε ϕυσικό αριθµό ν N ισχύει A ν = P ν P. (6.4 Απόδειξη Για την απόδειξη του ϑεωρήµατος, ϑα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της επαγωγής. Ετσι, για ν = η σχέση (6.4 ισχύει, αφού είναι A = P P. Εστω τώρα ότι ισχύει για ν = k, δηλαδή έχουµε A k = P k P. Θα δείξουµε ότι η σχέση (6.4 ισχύει για ν = k +, δηλαδή ότι A k+ = P k+ P. Πράγµατι, έχουµε : A k+ = A k A = ( P k P ( P P = P k I P = P k+ P. (6.42 Το παραπάνω ϑεώρηµα είναι χρήσιµο, όταν ϑέλουµε να υπολογίσουµε την n-στή δύναµη ενός διαγωνιοποιήσιµου πίνακα A. Στην περίπτωση αυτή ακολουθούµε τα παρακάτω ϐήµατα :. ιαγωνιοποιούµε τον πίνακα A, ϐρίσκουµε δηλαδή τον διαγώνιο πίνακα. 2. Από τη σχέση όπου = diag(λ, λ 2,..., λ n και ν ϐρίσκουµε τον πίνακα A ν. A ν = P ν P, (6.43 = diag(λ ν, λ ν 2,..., λ ν n,

96 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Ετσι, από τη σχέση A ν = P ν P διαπιστώνουµε ότι ο διαγώνιος πίνακας του A ν είναι ο ν. Παραδείγµατα 6.4 Να διαγωνιοποιηθεί ο πίνακας ( 2 3 A = 2 (6.44 και να ϐρεθεί η παράσταση f(a = A 6 + 2 A 3. Λύση Αρχικά ϐρίσκουµε τις ιδιοτιµές του πίνακα A, A λ I = 2 λ 3 2 λ λ 2 = { λ =, λ 2 =. = (6.45 Για κάθε ιδιοτιµή ϐρίσκουµε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα : Για λ = έχουµε ( ( 2 ( 3 x (A λ I X = = 2 ( { 3 x + 3 x 2 = x x + = =. (6.46 Ετσι, ϑέτοντας x = =, έχουµε ( x X = = ( x2 = (. (6.47 Για λ 2 = έχουµε ( ( 2 ( 3 x (A λ 2 I X 2 = = 2 ( { x + 3 x 2 = x + 3 = x = 3. (6.48 Ετσι, ϑέτοντας =, έχουµε ( ( x 3 x2 X 2 = = = ( 3. (6.49

6.3 ιαγωνιοποίηση Πινάκων 97 Εύκολα αποδεικνύεται ότι τα διανύσµατα X και X 2 είναι γραµµικώς ανεξάρτητα και συνεπώς ο πίνακας A διαγωνιοποιείται µε όµοιο διαγώνιο πίνακα, ( = diag(, = (6.5 και πίνακα P P = ( 3 Εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι P = ( 3 2 Χρησιµοποιώντας το προηγούµενο ϑεώρηµα έχουµε Επίσης A 6 = P 6 P, 6 = diag( 6, ( 6 = diag(, = I,. (6.5. (6.52 3 = diag( 3, ( 3 = diag(, =. (6.53 A 6 = P 6 P = PIP = PP = I, A 3 = P 3 P = P P = A. (6.54 Με τη χρήση των εξισώσεων (6.53 και (6.54, έχουµε ( f(a = A 6 + 2 A 3 = I + 2 A = + 2 ( 3 6 = 2 5 ( 2 3 2. (6.55 6.5 ίνεται ο πίνακας A = 3 2 4 2 3 (6.56 Να δείξετε ότι ο πίνακας A διαγωνιοποιείται και να ϐρείτε µια διαγωνιοποίησή του.

98 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι 3 λ φ(λ = A λ I = 2 4 λ 2 3 λ = (λ 2 2 (λ 6. (6.57 Συνεπώς οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι λ = 2 (διπλή και λ = 6. Θα ϐρούµε τώρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα. Για λ = 6 έχουµε (A λ I X = 3 2 2 2 3 x x 3 3 x + + x 3 = 2 x 2 + 2 x 3 = x + 3 x 3 = = Άρα X = 2 Για λ 2 = 2 (διπλή έχουµε 4 (A λ 2 I X 2 = { x = x 3 = 2 x 3. 2 2 2 x x 3 = (6.58 x = x 3 x = x 3 = x 3 x 3 + x 3 (6.59 4 Εδώ πρέπει να επισηµάνουµε την εφαρµογή ϑεωρήµατος σύµφωνα µε το οποίο στη διπλή ϱίζα λ = 2 αντιστοιχούν ακριβώς δυο ιδιοδιανύσµατα.

6.3 ιαγωνιοποίηση Πινάκων 99 Άρα X 2 = και X3 = Οπως εύκολα µπορεί να δειχθεί, τα ιδιοδιανύσµατα X, X 2, X 3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα και συνεπώς ο πίνακας A είναι διαγωνιοποιήσι- µος. Ενας όµοιος διαγώνιος πίνακας του A είναι ο = 6 2 2, (6.6 όπου = P AP και ο πίνακας P έχει τη µορφή : P = 2 (6.6 6.6 ίνεται ο πίνακας A = Να εξεταστεί αν ο πίνακας A διαγωνιοποιείται. (6.62 Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι : λ φ(λ = A λ I = λ λ = (λ 2 (λ +. (6.63 Συνεπώς οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι λ = (διπλή και λ =. Θα ϐρούµε τώρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα. Για λ = (διπλή ϑα έχουµε (A λ I X = { x = = x 3 x = x 3 x 3 x 3 x x 3 = = x 3 (6.64

2 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Άρα X 2 = Σύµφωνα µε τη ϑεωρία, από τη στιγµή που για τη διπλή ιδιοτιµή λ = προέκυψε µόνο ένα ιδιοδιάνυσµα, ο πίνακας δεν διαγωνιοποιείται. 6.3. ιαγωνιοποίηση Συµµετρικών Πινάκων Οι συµµετρικοί πίνακες χρησιµοποιούνται στη µελέτη των τετραγωνικών µορφών. Ενα ϐασικό χαρακτηριστικό τους είναι ότι διαγωνιοποιούνται πάντα. Θεώρηµα 6.3.4 Αν A είναι ένας n n συµµετρικός πίνακας, A T = A, τότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας P, P T = P, που τον διαγωνιοποιεί. ηλαδή P AP = P T AP =. (6.65 Για να διαγωνιοποιήσουµε έναν συµµετρικό πίνακα A µε τη ϐοήθεια ενός ορθογώνιου πίνακα P, εφαρµόζουµε την ακόλουθη µεθοδολογία :. Βρίσκουµε τις ιδιοτιµές λ, λ 2,..., λ n και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα X, X 2,..., X n του πίνακα A. 2. Οι ιδιοτιµές λ, λ 2,..., λ n αποτελούν τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα. 3. Αν οι ιδιοτιµές λ, λ 2,..., λ n είναι ϐαθµού πολλαπλότητας µεγαλύτερου της µονάδος, τότε από το σύνολο των ορθογώνιων ι- διοδιανυσµάτων X, X 2,..., X n ϐρίσκουµε µε τη µέθοδο Gram- Schmidt τα αντίστοιχα ορθοκανονικά διανύσµατα Y, Y 2,..., Y n. Τα ορθοκανονικά διανύσµατα αποτελούν τις στήλες του πίνακα P. Ο πίνακας P υπολογίζεται, εφαρµόζοντας µια από τις γνωστές µεθόδους εύρεσης του αντίστροφου πίνακα. 4. Αν οι ιδιοτιµές λ, λ 2,..., λ n είναι διαφορετικές µεταξύ τους, τότε το σύνολο των ιδιοδιανυσµάτων X, X 2,..., X n, που αντιστοιχούν σε αυτές, είναι ορθογώνια διανύσµατα (Θεώρηµα 6..4. Τα διανύσµατα αυτά κανονικοποιηµένα αποτελούν τις στήλες του πίνακα P. Ο πίνακας P υπολογίζεται, εφαρµόζοντας µια από τις γνωστές µεθόδους εύρεσης του αντίστροφου πίνακα. 5. Για επαλήθευση ϑα πρέπει να δείξουµε ότι P AP =.

6.3 ιαγωνιοποίηση Πινάκων 2 Παρατηρήσεις Η ανωτέρω µεθοδολογία µπορεί να εφαρµοστεί και στους µη συµµετρικούς, πραγµατικούς, τετραγωνικούς πίνακες. Παραδείγµατα 6.7 ίνεται ο συµµετρικός πίνακας 6 2 A = 25 (6.66 2 9 Να ϐρεθεί ο όµοιος διαγώνιος πίνακας και ο ορθογώνιος πίνακας P που πραγµατοποιεί τη διαγωνιοποίηση. Λύση Βρίσκουµε αρχικά τις ιδιοτιµές του πίνακα A, δηλαδή 6 λ 2 A λi = 25 λ 2 9 λ = λ(λ 25 2 = { λ =, λ 2 = 25, (διπλή. (6.67 Συνεπώς ο διαγώνιος πίνακας έχει τη µορφή : = 25 (6.68 25 Για λ = έχουµε Άρα X = (A λ I X = 3 4 { 6 2 25 2 9 x = 3 4 x 3 =. x x 3 = (6.69

22 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Για λ 2 = 25 (διπλή έχουµε (A λ 2 I X 2 = 9 2 2 6 x x 3 = Άρα X 2 = 4 3 x = 4 3 x 3 x = = x 3 4 x 3 και X3 = 4 3 4 3 x 3 x 3 + (6.7 Τα διανύσµατα X, X 2 και X 3 είναι ορθογώνια µεταξύ τους από τη στιγµή που µπορούµε να δείξουµε πολύ εύκολα ότι X T X 2 = X T X 3 = X T 2 X 3 =. (6.7 Επιπλέον, αν κανονικοποιήσουµε τα διανύσµατα, έχουµε V = X X = 5 V 3 = X 3 X 3 = 3 4, V2 = X 2 X 2 = 5 4 3, (6.72 Ετσι ο ορθογώνιος πίνακας P που διαγωνιοποιεί τον A είναι P = 5 3 4 5 4 3 και P = P T = 5 3 4 4 3 5 Τέλος, είναι εύκολο να δειχθεί ότι = P AP, ή A = P P. (6.73

6.3 ιαγωνιοποίηση Πινάκων 23 6.3.2 Ελάχιστο Πολυώνυµο Πίνακα Ορισµός 6.3.2 Εστω A ένας πίνακας n n. Το ελάχιστου ϐαθµού πολυώνυµο ρ(λ το οποίο µηδενίζει ο πίνακας A λέγεται ελάχιστο πολυώνυµο του A. Αποδεικνύονται τα ακόλουθα :. Το ελάχιστο πολυώνυµο είναι µοναδικά ορισµένο. 2. Το ελάχιστο πολυώνυµο διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυµο. 3. Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι της µορφής φ(x = (x λ k (x λ 2 k2 (x λ n kn, (6.74 µε k + k 2 +... + k n = n, τότε το ελάχιστο πολυώνυµο ϑα είναι της µορφής ρ(x = (x λ µ (x λ 2 µ2 (x µ n µn, (6.75 µε < µ + µ 2 + + µ n k + k 2 + + k n = n, όπου < µ k, < µ k,..., < µ n k n. 4. Ο πίνακας A διαγωνιοποιείται, αν και µόνο αν το ελάχιστο πολυώνυµό του είναι γινόµενο πρωτοβάθµιων παραγόντων. Παρατηρήσεις Γίνεται ϕανερό από τα παραπάνω ότι, αν γνωρίζουµε το ελάχιστο πολυώνυµο ενός πίνακα, µπορούµε να εκτιµήσουµε αν ο πίνακας αυτός διαγωνιοποιείται. Συνεπώς αυτό που πρέπει να κάνουµε είναι αρχικά να ϐρίσκουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο φ(λ, να αναζητούµε τα πιθανά ελάχιστα πολυώνυµα και τέλος να διαλέγουµε το ελάχιστου ϐαθµού πολυώνυµο. Στη συνέχεια δίνουµε δύο σχετικά παράδειγµατα. Παραδείγµατα 6.8 Να ϐρείτε το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα A = 2 2 2 (6.76

24 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι φ(λ = A λ I = 2 λ 2 λ 2 λ Οι πιθανοί υποψήφιοι για το ελάχιστο πολυώνυµο είναι = (λ 23. (6.77 ρ (λ = (λ 2, ρ 2 (λ = (λ 2 2 και ρ 3 (λ = (λ 2 3. (6.78 Είναι ρ (A = A 2 I = = 2 2 2 2 (6.79 Συνεπώς το ρ (λ = (λ 2 είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα A. 6.9 Να εξεταστεί, µε τη ϐοήθεια του ελάχιστου πολυωνύµου, αν διαγωνιοποιείται ο πίνακας A = 3 2 Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι φ(λ = A λ I = λ 3 λ 2 λ (6.8 = (λ 2 (λ 2. (6.8 Οι πιθανοί υποψήφιοι για το ελάχιστο πολυώνυµο είναι ρ (λ = (λ (λ 2 και ρ 2 (λ = (λ 2 (λ 2. (6.82

6.4 Εφαρµογές στη Φυσική 25 Στη συνέχεια έχουµε ρ (A = (A I(A 2 I = = 2 2 2 2 (6.83 Συνεπώς το ρ (λ = (λ (λ 2 είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα A και, επειδή είναι γινόµενο πρωτοβάθµιων παραγόντων, ο πίνακας A είναι διαγωνιοποιήσιµος. 6.4 Εφαρµογές στη Φυσική Παραδείγµατα 6. Να υπολογιστεί η χαρακτηριστική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα του διπλού αρµονικού ταλαντωτή του σχήµατος (Σχ. 6.. Σχήµα 6. Λύση Θεωρούµε ότι τα δύο ελατήρια υπακούουν στο νόµο του Hooke. Τότε οι εξισώσεις του Newton για τις δύο µάζες γράφονται αντίστοιχα m d 2 x dt 2 = m ẍ = k (x, m 2 d 2 dt 2 = m 2 ẍ 2 = k (x k 2.

26 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Οι παραπάνω σχέσεις γράφονται ως γινόµενο πινάκων, ( ( ( ẍ k /m = k /m x ẍ 2 k /m 2 (k + k 2 /m 2, όπου ẍ i = d2 x i, i =, 2. dt2 Απαιτούµε οι λύσεις να είναι της µορφής Εχουµε x = c e iωt και = c 2 e iωt, όπου c, c 2 σταθερές. ( ẍ ẍ 2 = ω 2 ( x Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις, καταλήγουµε στην παρακάτω ε- ξίσωση εύρεσης ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων, ( k /m k /m k /m 2 (k + k 2 /m 2 ( x. = ω 2 ( x Η εύρεση των ιδιοτιµών (δηλαδή της χαρακτηριστικής συχνότητας προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης k /m ( ω 2 k /m k /m 2 (k + k 2 /m 2 ( ω 2 =. Αν για λόγους ευκολίας ϑεωρήσουµε ότι m = m 2 =, καταλήγουµε στην εξίσωση ω 4 (2 k + k 2 ω 2 + k k 2 =, µε προφανείς λύσεις. ω 2 = 2 k + k 2 ± (2 k + k 2 2 4 k k 2. 2 Σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση, ϑα έχουµε συνολικά τέσσερις λύσεις για την τιµή των ιδιοσυχνοτήτων. Κρατώντας µόνο τις ϑετικές λύσεις (για προφανείς λόγους, έχουµε ω = 2 k + k 2 4 k 2 + k 2 2 2

6.4 Εφαρµογές στη Φυσική 27 και ω 2 = 2 k + k 2 + 4 k 2 + k 2 2 2. Από τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι έχουµε δύο χαρακτηριστικές συχνότητες δόνησης για το διπλό ελατήριο. 6. Εστω L z ο πίνακας που αντιστοιχεί στην προβολή της στροφορµής στον άξονα των z και δίνεται από τον τύπο L z = Επίσης, έστω και ο πίνακας M 3 = i i Βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα M 3. Στη συνέχεια ϐρείτε τον πίνακα P ο οποίος διαγωνιοποιεί τον πίνακα M 3. Ποια η σχέση του πίνακα P µε τον πίνακα L z ; Λύση Οι ιδιοτιµές του πίνακα M 3 υπολογίζονται ως εξής λ i M 3 λ I = i λ λ = λ( λ 2 = λ = λ 2 = λ 3 =. Για λ = έχουµε (M 3 λ I X = i i x x 3 = { x2 = i x x 3 =.

28 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Άρα X = i Το αντίστοιχο κανονικοποιηµένο διάνυσµα είναι V = X X = 2 Με παρόµοιο τρόπο ϐρίσκουµε ότι για λ 2 = το αντίστοιχο κανονικοποιηµένο διάνυσµα είναι V 2 = X 2 X 2 = και για λ 3 = το αντίστοιχο κανονικοποιηµένο διάνυσµα είναι V 3 = X 3 X 3 = i 2 Ετσι ο πίνακας P που διαγωνιοποιεί τον πίνακα M 3 είναι ο πίνακας P = i i 2 2 Εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι P M 3 P = i 2 2 i = = L z. i i i 2 i i 2 Επίσης, µπορούµε εύκολα να δείξουµε ότι ισχύει (P T = P, συνεπώς η παραπάνω περίπτωση είναι ένας µοναδιαίος µετασχηµατισµός οµοιότητας. 6.2 Χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα του προηγούµενου παραδείγµατος, υπολογίστε την τιµή του παρακάτω εκθετικού e iam 3 (ia k = (M 3 k. k! k=

6.4 Εφαρµογές στη Φυσική 29 Λύση Εχουµε αρχικά ότι e i am 3 = (i a k (M 3 k. k! k= Επίσης, από τη σχέση P M 3 P = L z εύκολα ϐρίσκουµε ότι ( k Lz = (P M 3 P k = P M 3 P P M 3 P P M 3 P = P (M 3 k P. Ισοδύναµα έχουµε (M 3 k = P ( k Lz P. Εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι για άρτιο k ισχύει ( k Lz =, ενώ για περιττό k ( k Lz = = L z. Με τη ϐοήθεια των παραπάνω σχέσεων έχουµε ( (ia k (M 3 k (ial z / k = P P, k! k! k= k=

2 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ όπου (ial z / k k= k! = + i = + 4! = a 2 2! a 2 a 4 a 4 a a + 5! a 5 a 5 cos a cos a e ia e ia 3! + + i a 3 a 3 sin a sin a Τελικά έχουµε ( (ia k (M 3 k (ial z / k = P k! k! k= k= = 2 = 2 i i 2 P i 2 i cos a sin a sin a cos a e ia e ia Σχόλιο Σε πολλούς κλάδους της Φυσικής και ιδιαίτερα στην Κβαντοµηχανική

6.4 Εφαρµογές στη Φυσική 2 η ϕυσική κατάσταση ενός συστήµατος αναπαρίσταται µε ένα διάνυσµα του χώρου Hilbert. Οι διαστάσεις του χώρου Hilbert είναι πεπερασµένες ή άπειρες, ανάλογα µε τη ϕύση του συστήµατος. Στην περίπτωση πεπερασµένων διαστάσεων ο χώρος είναι Ευκλείδειος µε εσωτερικό γινόµενο που είναι ένας µιγαδικός αριθµός. Επίσης πολύ συχνά χρησιµοποιείται και ο συµβολισµός του Dirac. Στο συµβολισµό αυτόν τα διανύσµατα του χώρου Hilbert λέγονται ket και συµβολίζονται µε Ψ. Σε αντιστοιχία ορίζουµε τα διανύσµατα bra µε συµβολισµό Ψ. Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων στην περίπτωση αυτή συµβολί- Ϲεται ως εξής Ψ Ψ. a a 2 Για παράδειγµα, αν το ket αντιστοιχεί σε πίνακα στήλη Ψ =., το αντίστοιχο bra είναι ο πίνακας γραµµή Ψ = (a, a 2,..., a n. Το εσωτερικό τους γινόµενο είναι Ψ Ψ = (a, a 2,..., a n a a 2. a n a n = a 2 + a 2 2 + + a n 2. Επιπλέον και σε συνέχεια του παραπάνω παραδείγµατος, αν ϑεωρήσουµε τον n n πίνακα A, όπου a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A =......, a n a n2 a nn τότε µπορούµε να ορίσουµε την ποσότητα Ψ A Ψ ως εξής, a a 2 a n Ψ A Ψ = (a, a 2,..., a a 2 a 22 a 2n n...... a n a n2 a nn Στο επόµενο παράδειγµα δίνεται µια εφαρµογή των ανωτέρω. a a 2. a n

22 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Παραδείγµατα 6.3 Η χαµιλτονιανή ενός τρισδιάστατου ϕυσικού συστήµατος αναπα- ϱιστάνεται από τον συµµετρικό πίνακα H = 2 2 3 (α. Να υπολογιστούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της παραπάνω χαµιλτονιανής. (ϐ. Αν η κατάσταση του συστήµατος περιγράφεται από το διάνυσµα Ψ = Ψ = 3 i i i υπολογίστε τις ποσότητες H, H 2 και H. Λύση (α. Οι ιδιοτιµές της χαµιλτονιανής H αντιστοιχούν στις πιθανές τιµές της ενέργειας του συστήµατος και υπολογίζονται ως εξής H λ I =, 2 λ 2 λ 3 λ (3 λ 2 ( λ = { λ = 3 (διπλή λ 2 =. Για λ = 3 (διπλή ϑα έχουµε (H λ I Φ = Άρα Φ a = x = x x = x x 3 x 3 και Φb = x x 3 = = x = + x 3

6.4 Εφαρµογές στη Φυσική 23 Για λ 2 = έχουµε Άρα Φ 2 = (H λ 2 I Φ 2 = 2 { x = x 3 =. x x 3 = Τα διανύσµατα Φ a, Φ b και Φ 2 είναι ορθογώνια µεταξύ τους, καθώς ισχύει Φ a T Φ b = Φ a T Φ 2 = Φ b T Φ 2 =. Τα αντίστοιχα κανονικοποιηµένα διανύσµατα είναι Ψ a = Φ a Φ a =, Ψb = Φ b 2 Ψ 2 = Φ 2 Φ 2 = 2 (ϐ. Πρώτος τρόπος Είναι Επίσης Ψ H Ψ = Ψ T HΨ = ( i, i, i 3 Ψ H 2 Ψ = Ψ T H 2 Ψ = ( i, i, i 3 2 2 3 2 2 3 Φ b = 3 2 3 i i i i i i, = 5 3. = 3.

24 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Άρα H = H 2 H 2 = 3 25 9 = 2 2 3. εύτερος τρόπος Το διάνυσµα Ψ µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των ιδιοδιανυσµάτων Ψ b και Ψ 2 ως εξής: Ψ = i [ Ψ b + ] 2 Ψ 2. 3 Είναι Ψ H Ψ = Ψ T HΨ = i [ (Ψ b T + ] 2 (Ψ 2 T H i [ Ψ b + ] 2 Ψ 2 3 3 = [(Ψ b T + ] 2 (Ψ 2 [HΨ T b + ] 2 HΨ 2 3 = [(Ψ b T + ] 2 (Ψ 2 [3Ψ T b + ] 2 Ψ 2 3 = [ (Ψ b T 3 Ψ b + (Ψ b T 2 Ψ 2 3 + 2 (Ψ 2 T 3 Ψ b + 2 (Ψ 2 ] T 2 Ψ 2 = 3 [3 + + + 2] = 5 3. Στους παραπάνω υπολογισµούς χρησιµοποιήσαµε την ορθογωνιότητα των ιδιοδιανυσµάτων. Με παρόµοιο τρόπο ϐρίσκουµε Ψ H 2 Ψ = Ψ T H 2 Ψ (6.84 = i [ (Ψ b T + ] 2 (Ψ 2 T H 2 i [ Ψ b + ] 2 Ψ 2 3 3 = [(Ψ b T + ] 2 (Ψ 2 [H T 2 Ψ b + ] 2 H 2 Ψ 2 3 = [(Ψ b T + ] 2 (Ψ 2 [9 T Ψ b + ] 2 Ψ 2 3 = [ (Ψ b T 9 Ψ b + (Ψ b T 2 Ψ 2 (6.85 3 + 2 (Ψ 2 T 9 Ψ b + 2 (Ψ 2 ] T 2 Ψ 2 = 3 [9 + + + 2] = 3.

6.5 Τετραγωνικές Μορφές 25 6.5 Τετραγωνικές Μορφές Ορισµός 6.5. Ονοµάζουµε τετραγωνική µορφή µια συνάρτηση F α- πό τον διανυσµατικό χώρο R n στο χώρο R µε τύπο F : R n R. Πιο αναλυτικά η τετραγωνική µορφή µπορεί να γραφεί ως εξής: F (X = F (x,,..., x n = n a ii i + 2 i<j i= a ij x i x j, (6.86 όπου a ij σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί και X = (x,,..., x n R. Σε κάθε τετραγωνική µορφή, που δίνεται από την εξίσωση (6.86, µπορούµε να αντιστοιχίσουµε έναν συµµετρικό πίνακα A, αποτελού- µενο από τους συντελεστές a ij, ο οποίος ϑα ονοµάζεται πίνακας της συµµετρικής µορφής F και είναι a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A =...... (6.87 a n a 2n a nn Την τετραγωνική µορφή (6.86 µπορούµε να τη γράψουµε και F (X = XAX T = (x,,..., x n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n...... a n a 2n a nn x. x n (6.88 Για παράδειγµα, ϑεωρούµε την τετραγωνική µορφή F : R 3 R, η οποία είναι της µορφής F (x,, x 3 = a + a 22 2 + a 33 3 + 2 a 2 x + 2 a 3 x x 3 + 2 a 23 x 3. (6.89 Ο συµµετρικός πίνακας που αντιστοιχεί στην τετραγωνική µορφή (6.89 είναι a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 (6.9 a 3 a 23 a 33

26 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ και έτσι µπορούµε να γράψουµε F (X = F (x x 3 = XAX T = (x,, x 3 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 23 a 33 x x 3 (6.9 Οταν δίνεται µία τετραγωνική µορφή και ϑέλουµε να σχηµατίσουµε τον συµµετρικό πίνακα A, ακολουθούµε την εξής διαδικασία :. Θέτουµε στην κύρια διαγώνιο τους συντελεστές των τετραγώνων (a, a 22,..., a nn. 2. Στις ϑέσεις (i, j και (j, i (µε i j του πίνακα A ϑέτουµε το µισό του συντελεστή του γινοµένου x i x j. Παραδείγµατα 6.4 Να ϐρεθεί ο συµµετρικός πίνακας των παρακάτω τετραγωνικών µορφών (α. F (x, = 3 + 7 2 + 2 x (ϐ. F (x,, x 3 = + 4 2 + 3 3 + 4 x + 2 x x 3 + x 3 (γ. F (x,, x 3 = 2 4 3 + 6 x 8 x x 3 Λύση Για τις δοθείσες τετραγωνικές µορφές έχουµε τους ακόλουθους συµ- µετρικούς πίνακες (α. A = (ϐ. A = ( 3 6 6 7 (γ. A =. 2 2 4 /2 /2 3 6 4 6 4 4

6.5 Τετραγωνικές Μορφές 27 6.5. Κανονική Μορφή Τετραγωνικής Μορφής Οπως έχουµε δείξει, ένας συµµετρικός πίνακας A διαγωνιοποιείται από έναν ορθογώνιο πίνακα P (P = P T και ισχύει η σχέση A = P P = P P T, όπου = diag(λ, λ 2,..., λ n. Σύµφωνα µε τα παραπάνω η τετραγωνική µορφή F (X γράφεται F (X = F (x,,..., x n = (x,,..., x n A (x,,..., x n T = Q(P P T Q T = XP (XP T. (6.92 Θα επιδιώξουµε να γράψουµε την τετραγωνική µορφή (6.92 σε ένα καινούργιο σύστηµα µεταβλητών (y, y 2,..., y n, όπου όµως τώρα ϑα είναι F (X = F (Y = c y 2 + c 22 y 2 2 + + c nn y 2 n. (6.93 ηλαδή ψάχνουµε για έναν µετασχηµατισµό (x,,..., x n (y, y 2,..., y n, έτσι ώστε η τετραγωνική µορφή να γράφεται ως άθροισµα µόνο διαγώνιων όρων της µορφής y 2 i. Ετσι επιλέγουµε οι νέες µεταβλητές (y, y 2,..., y n να προκύπτουν από τη σχέση (x,,..., x n P = (y, y 2,..., y n. (6.94 Τότε έχουµε ((x,,..., x n P T = (y, y 2,..., y n T (x,,..., x n T Το δεξιό µέλος της σχέσης (6.92 γράφεται = P (y, y 2,..., y n T. (6.95 F (x,,..., x n = (y, y 2,..., y n P T P (y, y 2,..., y n T = (y, y 2,..., y n (y, y 2,..., y n T = λ y 2 + λ 2 y 2 2 + + λ n y 2 n = G(Y. (6.96 Η µορφή G(Y ονοµάζεται κανονική ή διαγώνια µορφή της τετραγωνικής µορφής F (X.

28 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Σύµφωνα µε τα παραπάνω, όταν ϑέλουµε να ανάγουµε µια τετραγωνική µορφή F (X σε κανονική µορφή, ακολουθούµε τα ακόλουθα ϐήµατα :. Κατασκευάζουµε τον αντίστοιχο συµµετρικό πίνακα A της τετραγωνικής µορφής F (X. 2. ιαγωνιοποιούµε τον πίνακα A, ϐρίσκοντας τον διαγώνιο πίνακα και τον αντίστοιχο ορθογώνιο πίνακα P. 3. Η τετραγωνική µορφή F (X ανάγεται πλέον στην κανονική µορ- ϕή G(Y, όπου G(Y = λ y 2 + λ 2 y 2 2 + + λ n y 2 n, ενώ ο αντίστοιχος µετασχηµατισµός των µεταβλητών είναι ή ισοδύναµα (x,,..., x n T = P (y, y 2,..., y n T, (y, y 2,..., y n T = P T (x,,..., x n T. Παραδείγµατα 6.5 Να αναχθεί στην κανονική µορφή η τετραγωνική µορφή F (x, = 5 6 x + 5 2. (6.97 Λύση Ο συµµετρικός πίνακας A της τετραγωνικής µορφής (6.97 είναι A = ( 5 3 3 5. (6.98 Είναι A λ I = 5 λ 3 3 5 λ = (λ 2(λ 8 = { λ = 2 λ = 8. (6.99

6.5 Τετραγωνικές Μορφές 29 Για λ = 2 έχουµε (A λ I X = ( 3 3 3 3 ( x = ( x =. (6. ( Άρα X =. Για λ = 8 έχουµε ( ( ( 3 3 x (A λ 2 I X 2 = = 3 3 x =. (6. ( Άρα X 2 =. Τα διανύσµατα X και X 2 είναι ορθογώνια, X T X 2 = ( + =. (6.2 Τα αντίστοιχα κανονικοποιηµένα διανύσµατα είναι V = X X = ( και V 2 2 = X 2 X 2 = ( 2. (6.3 Ο ορθογώνιος πίνακας P που διαγωνιοποιεί τον πίνακα A είναι P = ( και P = P T = (. (6.4 2 2 Ο όµοιος διαγώνιος πίνακας του A είναι ο ( 2 =. (6.5 8 Η αντίστοιχη τετραγωνική µορφή είναι F (x, = G(y, y 2 = 2 y 2 + 8 y 2 2. (6.6 Τέλος, ο µετασχηµατισµός µεταξύ των συντεταγµένων είναι ( ( x = (y y 2 x y 2 = P y 2 = (y + y 2. 2 (6.7

22 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ 6.6 Να αναχθεί στην κανονική µορφή η τετραγωνική µορφή F (x,, x 3 = + 5 2 + 3 3 8 x x 3 + 8 x 3. (6.8 Λύση Ο συµµετρικός πίνακας A της παραπάνω τετραγωνικής µορφής είναι 4 A = 5 4 (6.9 4 4 3 Αρχικά ϐρίσκουµε τις ιδιοτιµές του πίνακα A, οπότε έχουµε : λ 4 A λ I = 5 λ 4 4 4 3 λ = ( λ 5 λ 4 4 3 λ 4 4 5 λ 4 = (λ 3(λ + 3(λ 9 = λ = 3 λ 2 = 3 λ 3 = 9. (6. Στη συνέχεια ϑα υπολογίσουµε τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ, λ 2 και λ 3. Πράγµατι, για λ = 3 έχουµε 2 4 x (A λ I X = 2 4 = 4 4 x 3 { x = 2 x 3 (6. = 2 x 3. Άρα X = 2 2 Για λ 2 = 3 έχουµε (A λ 2 I X 2 = 4 4 8 4 4 4 6 x = x 3 x x 3 = = x 3 2. (6.2

6.5 Τετραγωνικές Μορφές 22 Άρα X 2 = 2. Επίσης, για λ 3 = 9 έχουµε (A λ 3 I X 3 = Άρα X 3 = /2 8 4 4 4 4 4 6 x = x 3 2 = x 3. x x 3 = (6.3 Τα διανύσµατα X, X 2 και X 3 είναι ορθογώνια µεταξύ τους, καθώς ισχύει X T X 2 = X T X 2 = X T 2 X 3 =. (6.4 Τα κανονικοποιηµένα διανύσµατα X, X 2, X 3 είναι V = X X = 2 2, V2 = X 2 3 X 2 = 2 3 V 3 = X 3 X 3 = 2 3 2 2, (6.5 Τα διανύσµατα V, V 2 και V 3 αποτελούν µια ορθοκανονική ϐάση και ο ορθογώνιος πίνακας P που διαγωνιοποιεί τον πίνακα A είναι P = 2, 3 P = P T = 2 3 /2 /2 /2 /2 /2 /2 (6.6 Ο όµοιος διαγώνιος πίνακας του A είναι 3 = 3 (6.7 9

222 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Συνεπώς η τετραγωνική µορφή γράφεται F (x,, x 3 = G(y, y 2, y 3 = 3 y 2 3 y 2 2 + 9 y 2 3, (6.8 ενώ ο µετασχηµατισµός µεταξύ των συντεταγµένων είναι x = 3 ( 2 y + 2 y 2 y 3 x y = P y 2 = x 3 y 3 ( 2 y y 2 + 2 y 3 3 x 3 = 3 (y + 2 y 2 + 2 y 3. (6.9 6.7 Να αναχθεί στην κανονική µορφή η τετραγωνική µορφή F (x,, x 3 = 5 + 5 2 + 2 3 + 8 x + 4 x x 3 + 4 x 3. (6.2 Λύση Ο συµµετρικός πίνακας A της µορφής (6.2 είναι : 5 4 2 A = 4 5 2 (6.2 2 2 2 Οι ιδιοτιµές του πίνακα A υπολογίζονται ως εξής 5 λ 4 2 A λ I = 4 5 λ 2 2 2 2 λ = γ γ γ 2 λ λ 4 5 λ 2 2 2 2 λ = (λ 4 5 λ 2 2 2 2 λ = s 2 s 2 +s (λ 4 9 λ 2 2 4 2 λ = (λ 2 (λ = { λ = (διπλή λ 2 =. (6.22

6.5 Τετραγωνικές Μορφές 223 Για λ = έχουµε Άρα οπότε X a = (A λ I X = X = 2 Για λ 2 = έχουµε 4 4 2 4 4 2 2 2 x x 3 = x 3 = 2 x 2. (6.23 x x 3 = και X b = (A λ I X 2 = x 2 x 2 2 5 4 2 4 5 2 2 2 8 x x 3, = { x = 2 x 3 = 2 x 3. (6.24 Τα διανύσµατα X a, Xb και X 2 δεν είναι ορθοκανονικά. Θα ϐρούµε µια ορθοκανονική ϐάση τους, εφαρµόζοντας τη µέθοδο των Gram- Schmidt. V = Xa X a = 5 W 2 = X b 2 ( X b T X a X a = 2 5 V 2 = W 4 2 5 W 2 = 5 3 4 5 2 5, W 3 = X 2 ( X T 2 X a X a ( X T 2 X b X b = X 2, V 3 = X 2 X 2 = 2 2 (6.25 3

224 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ Ο ορθογώνιος πίνακας P που διαγωνιοποιεί τον πίνακα A είναι / 5 4/3 5 2/3 P = 5/3 2/3 2/ 5 2/3 (6.26 5 /3 Ο όµοιος διαγώνιος πίνακας του πίνακα A είναι = (6.27 Η τετραγωνική µορφή γράφεται F (x,, x 3 = G(y, y 2, y 3 = y 2 + y 2 2 + y 2 3, (6.28 ενώ ο µετασχηµατισµός µεταξύ των συντεταγµένων είναι x = y 4 5 3 5 y 2 + 2 3 y 3 x y = P y 2 5 = x 3 y 3 3 y 2 + 2 3 y 3 x 3 = 2 5 y 2 3 5 y 2 + 3 y 3. (6.29 6.5.2 Εφαρµογές στη Γεωµετρία του Επιπέδου Ας ϑεωρήσουµε ένα ορθογώνιο σύστηµα αναφοράς OXY στο επίπεδο και ένα σηµείο A µε συντεταγµένες A(x, y. Κατασκευάζουµε ένα καινούργιο ορθογώνιο σύστηµα OX Y που προκύπτει, αν στρέψουµε το αρχικό µε στροφή κατά γωνία θ. Στο καινούργιο σύστηµα οι συντεταγ- µένες του σηµείου A ϑα είναι A(x, y. Τότε οι συντεταγµένες (x, y και (x, y του σηµείου A συνδέονται µε το µετασχηµατισµό ( x y ( cos θ sin θ = sin θ cos θ ( x y. (6.3 Ο πίνακας ( cos θ sin θ S = sin θ cos θ (6.3

6.5 Τετραγωνικές Μορφές 225 ο οποίος εκτελεί τον µετασχηµατισµό των συντεταγµένων είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Σε αναλογία µε τα όσα έχουµε πει για τις τετραγωνικές µορφές, µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η µετατροπή σε κανονική µορφή ισοδυναµεί µε το σχεδιασµό της σε ένα νέο σύστηµα συντεταγµένων που προκύπτει από τον προηγούµενο µε µια στροφή κατά γωνία θ, η οποία και υπολογίζεται κάθε ϕορά από τα δεδοµένα του προβλήµατος. Παραδείγµατα 6.8 Να ϐρεθεί η κανονική µορφή της τετραγωνικής µορφής + y 2 + xy =. (6.32 Λύση Ο συµµετρικός πίνακας A της παραπάνω τετραγωνικής µορφής είναι ( /2 A =. (6.33 /2 Είναι A λ I = λ /2 /2 λ = (λ 3/2(λ /2 = λ = 3 2 λ 2 = (6.34 2. Για λ = 3 2 έχουµε Άρα X = (A λ I X = ( Για λ 2 = 2 έχουµε. (A λ I X 2 = ( /2 /2 /2 /2 ( x = ( x =. (6.35 ( /2 /2 /2 /2 ( x = ( x =. (6.36

226 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ( Άρα X 2 =. Τα διανύσµατα X και X 2 είναι ορθογώνια, καθώς ισχύει X T X 2 = ( + =. (6.37 Τα αντίστοιχα κανονικοποιηµένα διανύσµατα είναι V = X X = (, V 2 2 = X 2 X 2 = ( 2. (6.38 Συνεπώς ο ορθογώνιος πίνακας P που διαγωνιοποιεί τον πίνακα A είναι P = (, P = P T = (. (6.39 2 2 Ο όµοιος διαγώνιος πίνακας του πίνακα A είναι ( 3/2 =, (6.4 /2 ενώ ο µετασχηµατισµός µεταξύ των συντεταγµένων είναι x = (x + y 2 ( x y = 2 ( ( x y y = 2 ( x + y. (6.4 Συγκρίνοντας τον πίνακα ( cos θ sin θ, (6.42 sin θ cos θ µε τον πίνακα P T = 2 ( συµπεραίνουµε ότι η γωνία θ = π 4. Η τετραγωνική µορφή γράφεται, (6.43 F (x, y = G(x, y = 3 2 x 2 + 2 y 2 = x 2 + y 2 3 = 2 3. (6.44 Συνεπώς στο καινούργιο σύστηµα OX Y, που προκύπτει από το OXY µε στροφή γωνίας θ = π, η τετραγωνική µορφή (6.44 είναι µία 4 2 έλλειψη µε άξονες τους a = 3 και b = 2.

6.6 Αλυτες Ασκήσεις 227 6.6 Αλυτες Ασκήσεις. Να εξεταστεί αν ο παρακάτω πίνακας είναι διαγωνιοποίησιµος A = 2. Να εξεταστεί µε τη ϐοήθεια του ελάχιστου πολυωνύµου αν ο πα- ϱακάτω πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιµος 3 2 4 A = 2 2 4 2 3 3. Να εξεταστεί µε τη ϐοήθεια του ελάχιστου πολυωνύµου αν ο πα- ϱακάτω πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιµος 2 2 A = 3 2 2 4. Να εξεταστεί αν οι παρακάτω πίνακες είναι διαγωνιοποιήσιµοι µε τη µέθοδο του ελάχιστου πολυωνύµου A = 2 2 2 και B = 3 2 5. (α. Να ϐρεθούν οι χαρακτηριστικές τιµές και τα χαρακτηριστικά διανύσµατα του πίνακα 2 2 A = 3 2 2 και να δικαιολογηθεί αν ο πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιµος ή όχι. (ϐ. Να ϐρεθεί αν ο πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιµος µε το ελάχιστο πολυώνυµο.

228 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ 6. Να εξεταστεί αν οι παρακάτω πίνακες είναι διαγωνιοποιήσιµοι µε τη µέθοδο του ελάχιστου πολυωνύµου A = 2 2 2 7. Να εξεταστεί αν ο πίνακας A = και B = 2 2 2 2 2 3 2 είναι διαγωνιοποιήσιµος, (α υπολογίζοντας τα χαρακτηριστικά διανύσµατα και (ϐ υπολογίζοντας το ελάχιστο πολυώνυµο. 8. Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο και να διαπιστωθεί αν είναι διαγωνιοποιήσιµοι οι παρακάτω πίνακες A = 2 2 2 και B = 3 2 9. (α. Να ϐρεθούν οι χαρακτηριστικές τιµές και τα χαρακτηριστικά διανύσµατα του πίνακα A = 2 2 3 2 2 (ϐ. Να ελεγχθεί αν ο πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιµος χρησι- µοποιώντας (i το πλήθος των διανυσµάτων και (ii το ελάχιστο πολυώνυµο.. Να διαγωνιοποιηθεί ο πίνακας A = 2 8 2 2 8 5

6.6 Αλυτες Ασκήσεις 229. ίνεται ο συµµετρικός πίνακας A = 4 4 7 4 4 9 Να ϐρεθεί ο πίνακας P ο οποίος τον διαγωνιοποιεί και να ελεγχθεί αν τον διαγωνιοποιεί. 2. (α. Να αναχθεί στους κύριους άξονες η τετραγωνική µορφή 3 + 5 2 + 3 3 2 x + 2 x x 3 2 x 3 = 9. (ϐ. Γράψετε το µετασχηµατισµό που κάνει την αναγωγή. 3. Να ϐρεθεί ο ορθογώνιος µετασχηµατισµός που ανάγει την τετραγωνική µορφή F (x,, x 3 = 5 + 5 2 + 2 3 + 8 x + 4 x x 3 + 4 x 3 σε κανονική µορφή και να γραφεί στην κανονική της µορφή. 4. Να αναχθεί στην κανονική µορφή η τετραγωνική µορφή F (x, = 2 8 x + 2 2 = και να ϐρεθεί ο ορθογώνιος µετασχηµατισµός που την ανάγει. 5. ίνεται η τετραγωνική µορφή F (x, = 5 2 + 8 x. Να αναχθεί στην κανονική µορφή και να ϐρεθεί ο ορθογώνιος µετασχηµατισµός που την ανάγει. 6. ίνεται η τετραγωνική µορφή F (x, = 5 6 x + 5 2. Να αναχθεί στην κανονική µορφή και να ϐρεθεί ο ορθογώνιος µετασχηµατισµός που την ανάγει.

23 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ 7. ίνεται η τετραγωνική µορφή F (x,, x 3 = + 5 2 + 3 3 8 x x 3 + 8 x 3. Να αναχθεί στην κανονική µορφή και να ϐρεθεί ο ορθογώνιος µετασχηµατισµός που την ανάγει. 8. Να µετατραπεί η τετραγωνική µορφή F (x,, x 3 = 2 + 2 4 x 4 x 3 σε κανονική και να προσδιοριστούν οι σχέσεις µεταξύ παλιών και νέων συντεταγµένων. 9. Να αναχθούν στην κανονική µορφή οι παρακάτω τετραγωνικές µορφές και να ϐρεθεί, σε κάθε περίπτωση, ο ορθογώνιος µετασχηµατισµός που τις ανάγει. (α. + y 2 + xy (ϐ. + y 2 xy (γ. 3 + 3 y 2 + 5 z 2 2 xy (δ. 2 xy + 2 xz + 2 yz (ε. 5 + y 2 2 z 2 + 2 xz + 2 yz (στ. + 5 z 2 + 4 xy + 6 xz + 8 xw + 4 yz + 8 yw + 6 zw 4 6 2. ίνεται ο πίνακας A = 3 5 3 6 5 (α. Να δειχθεί ότι ο πίνακας A διαγωνιοποιείται. (ϐ. Να ϐρεθεί ο πίνακας P για τον οποίο ο πίνακας P AP είναι διαγώνιος. (γ. Να υπολογισθεί ο πίνακας A n, n N {, }. 2. Εστω A = ( 4 2 3 ένας 2 2 πίνακας. (α. Να ϐρεθούν όλες οι ιδιοτιµές του A και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα.

6.6 Αλυτες Ασκήσεις 23 (ϐ. Να ϐρεθεί ένας αντιστρέψιµος πίνακας B, έτσι ώστε ο πίνακας B AB να είναι διαγώνιος. 22. ίνεται ο πίνακας A = 3 2 (α. Να δειχθεί µε τη ϐοήθεια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο A. (ϐ. Να δειχθεί ότι ο πίνακας A δεν διαγωνιοποιείται. 23. Να εξεταστεί αν ο πίνακας A = του R n n διαγωνιοποιείται....... 24. Να δειχθεί ότι ο πίνακας A = α β 2 του R4 4 διαγωνιοποιείται, αν και µόνο αν α = και ρ = γ µ ρ 2. 25. ίνεται ο πίνακας A = 2 2 2 2 2 2 8 Να δειχθεί ότι διαγωνιοποιείται, να ϐρεθεί ο όµοιός του και να γίνει επαλήθευση. 26. Να δειχθεί ότι : (α. Ολες οι ιδιοτιµές ενός ερµιτιανού πίνακα είναι πραγµατικές. (ϐ. Ολες οι ιδιοτιµές ενός πραγµατικού συµµετρικού πίνακα είναι πραγµατικές. 27. (α. Να δειχθεί ότι, αν λ είναι µια µη µηδενική ιδιοτιµή ενός αντιστρέψιµου πίνακα A, τότε A είναι µια ιδιοτιµή του λ πίνακα adja.

232 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ (ϐ. Αν ο τετραγωνικός πίνακας A έχει ιδιοτιµή λ, τότε και ο πίνακας A 2 έχει ιδιοτιµή λ 2. 2 28. ίνεται ο πίνακας A = 3 3 Να εξεταστεί αν διαγωνιοποιείται 3 3 και, αν ναι, να διαγωνιοποιηθεί. 4 6 29. ίνεται ο πίνακας A = 3 5 3 6 5 (α. Να διαγωνιοποιηθεί. (ϐ. Να υπολογιστεί ο πίνακας µετάβασης P και να γίνει η σχετική επαλήθευση. 3. Οι τρισδιάστατες στροφές ορίζονται ως γραµµικοί µετασχηµατισµοί διανύσµατος ως εξής x i = j R ij x j, (i =, 2, 3, (6.45 όπου x i (i =, 2, 3 είναι οι καρτεσιανές συνιστώσες του διανύσµατος x. Ο συγκεκριµένος µετασχηµατισµός αφήνει το τετράγωνο του x αµετάβλητο, =. (6.46 είξτε ότι ο πίνακας R = (R ij 3 3 ικανοποιεί τη σχέση R T R = I. (6.47 Στην περίπτωση που είναι det(r =, ο πίνακας R περιγράφει περιστροφή στο χώρο. Οι καρτεσιανές συνιστώσες του διανύσµατος x µπορούν να α- ποτελέσουν στοιχεία ενός πίνακα 2 2, τον οποίο ονοµάζουµε h, h = σ x, (6.48 όπου σ, σ 2 και σ 3, οι πίνακες του Pauli. ( ( ( i σ =, σ 2 =, σ i 3 =. (6.49

6.6 Αλυτες Ασκήσεις 233 είξτε ότι οι γραµµικοί µετασχηµατισµοί (6.45, µε τον περιο- ϱισµό (6.47, γράφονται και ως h = uhu, (6.5 όπου u είναι ένας µιγαδικός πίνακας τύπου 2 2 µε την ιδιότητα uu = u u = και det(u = (u είναι ο ερµιτιανός συζυγής του u. Επίσης, να δείξετε ότι R ij = 2 Tr(σ iuσ j u. (6.5 3. Ποιες είναι οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα των πινάκων του Pauli; Να ϐρεθεί η γενική µορφή ενός unitary πίνακα 2 2. (Ο unitary πίνακας έχει την ιδιότητα u u = uu =. 32. Η γέφυρα Wheatstone περιγράφεται στο παρακάτω σχήµα. Οι Σχήµα 6.2 Η γέφυρα Wheatstone εντάσεις ϱεύµατος ικανοποιούν τις εξισώσεις i R 6 + (i i 2 R 3 + (i i 3 R 4 = e, (i i 3 R 4 i 3 R (i 3 i 2 R 5 =, (i i 2 R 3 + (i 3 i 2 R 5 i 2 R 2 =. (6.52 Να εκφράσετε τα i και i 2 ως λόγους οριζουσών χρησιµοποιώντας τον κανόνα του Cramer. Να δείξετε ότι, αν δεν περνά ϱεύµα από το γαλβανόµετρο (δηλαδή, i 2 = i 3, τότε ϑα ισχύει R R 3 = R 2 R 4.

234 ΚΕΦ. 6: Ι ΙΟΤΙΜΕΣ-Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ- ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ 33. Στο παρακάτω κύκλωµα η σχέση ανάµεσα στα ϱεύµατα εισόδου i και i 2 και στις διαφορές δυναµικού u και u 2 είναι ( ( ( u + iωcr R (2 + iωcr u2 =. (6.53 iωc + iωcr i Υπολογίστε τα v και i ως συνάρτηση των v 3 και i 3, στα παρακάτω κυκλώµατα. i 2 Σχήµα 6.3 Κυκλώµατα εισόδου-εξόδου.