ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Çëéáó Óêáñäáíáó - Ìáèçìáôéêïó. Στθερές. π = 03,459 6535 89793 3846 643... e = 0,788 884 59045 3536 087... e π = 3,4069 637 7969 006... π e =,4595 7783 6045 4734 75... e e = 5,546 44 7964 90... = 0,44 3563 73095 0488... 3 = 0,7305 08075 68877 935... 5 = 0,3606 79774 99789 6964... e = 0,6487 707 008 468... π = 0,7745 38609 0556 079 867... log = 00,300 99956 6398 95 37389... log3 = 00,477 547 966 4379 5079... loge = 00,4349 4489 035 8765... logπ = 00,4974 9876 9433 85435 683... ln = 00,6934 7805 59945 3094 73... ln3 = 0,0986 886 6809 6939 545... ln0 = 0,3058 5099 94045 6840 799... lnπ = 0,447 9886... Μθηµτική λογική. p q P q p p q p q p q p q ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ( p q) ( q p)
Σύολ. A B [ x A x B] A B [( x A x B) x B x A] [ A B x B x A] Α=Β [( A B) ( B A) ] A B { x x A x B}. Α Β {x : x Α x Β}. A-B {x A x B}. Α c U-A={x U x B}. A + B (A-B) (B-A). A = κι A =A, A. A A=Α κι A A=A, A. A U=Α κι Α U=U, Α. Α (Β Γ)=(Α Β) Γ κι Α (Β Γ)=(Α Β) Γ Α,Β,Γ Α Β=Β Α κι Α Β=Β Α, Α,Β Α (Β Γ)=(Α Β) (Α Γ), Α,Β,Γ Α (Β Γ)=(Α Β) (Α Γ), Α,Β,Γ Συµολισµοί κι ιδιότητές τους.!= 3... µε N * κι 0!=.! κ =,,κ N. κ!( κ)! + κ + = κ+,,κ N. κ+ x i =x +x +x 3 +...+x. i= λx i =λ x i i= i= (xi+ yi) = x i + y i i= x = x. i= i= i=
Αξιοσηµείωτες τυτότητες. (+) = ++. ( ) = +. (+) 3 = 3 +3 +3 + 3 = 3 + 3 +3(+). ( ) 3 = 3 3 +3 3 = 3 3 3( ). (++γ) = + +γ ++γ+γ. (++γ) 3 = 3 + 3 +γ 3 +3(+)(+γ)(γ+). (+)( )=. (x )(x )=x (+)x+. =( ) ( - + - + -3 +...+ - + - ), N *. + =(+) ( - - + -3... - + - ), N * =κ+ 3 + 3 +γ 3 3γ=(++γ) ( + +γ γ γ). 3 + 3 +γ 3 3γ= (++γ) [( ) +( γ) +(γ ) ]. (+) = κ=0 Χρήσιµες ισότητες. κ -κ x 0, x R. + κι +, R. + κι +, R. + +γ +γ+γ.,,γ R. (+) +, - R. (Bernoulli) Απόλυτη τιµή., 0 =, <0 0 R. = R. R. x = x= ή x=-. x ε -ε x ε. x ή x - ή x. =, R. =, R, R *. ± +,, R. κ 3
ευτεροάθµιο Τριώυµο. Τριώυµο π(x)=x +x+γ, 0. ικρίουσ = 4 γ. Ρίζες x, = ±. S=x +x = κι P=x x = γ. Αριθµητική Πρόοδος. Ορισµός + = +ω,=,,3,... ω: διφορά. Νιοστός όρος = +(-) ω, N *. Άθροισµ πρώτω όρω Σ = = ω + + ( ) : ριθµητικός µέσος τω,γ =+γ. Γεωµετρική Πρόοδος. Ορισµός + = λ,=,,3,... λ: λόγος. Νιοστός όρος = λ -, N *. Άθροισµ πρώτω όρω λ ( λ ) Σ = = λ λ λ λ= Άθροισµ άπειρω όρω ( λ <) Σ = λ : γεωµετρικός µέσος τω,γ = γ. Αρµοική Πρόοδος. Ορισµός ( + ) - =( ) - +ω. : ρµοικός µέσος τω,γ = γ +γ 4
Τριγωοµετρί. Τριγωοµετρικός κύκλος - Τριγωοµετρικοί ριθµοί γωίς. Γεικά. συω=οπ, ηµω=ορ, εφω= ΑΝ, σφω= ΒΣ. µ Μεττροπή µοάδω = =. 80 π 00 Πρόσηµο τριγωοµετρικώ ριθµώ Τετρτ ηµ συ εφ σφ ηµόριο ο + + + + ο + 3 ο + + 4 ο + Τριγωοµετρικοί ριθµοί σικώ τόξω. x 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π 0 30 45 60 90 80 70 360 Ηµx 0 / / 3 / 0-0 συx 3 / / / 0-0 Εφx 0 33 / 3 0 0 Σφx 3 33 / 0 0 Αγωγή στο πρώτο τετρτηµόριο. x -θ (π/)+θ (π/)-θ π+θ (3π/)+θ π+θ ηµx -ηµθ συθ συθ -ηµθ -συθ ηµθ συx συθ -ηµθ ηµθ -συθ ηµθ συθ εφx -εφθ -σφθ σφθ εφθ -σφθ εφθ σφx -σφθ -εφθ εφθ σφθ -εφθ σφθ 5
Τριγωοµετρί. ηµ x+συ x=. εφx= ηµx συx. σφx= συx ηµx. εφx σφx=. Βσικές τυτότητες. ηµ(+)=ηµ συ+συ ηµ. συ(+)=συ συ ηµ ηµ. εφ(+)= εφ+εφ εφ εφ σφ σφ σφ(+)= σφ+σφ ηµ( )=ηµ συ συ ηµ. συ( )=συ συ+ηµ ηµ. εφ εφ εφ( )= + εφ εφ σφ σφ+ σφ( )= σφ σφ ηµ=ηµ συ συ ηµ συ= συ ηµ εφ= εφ εφ σφ= σφ σφ ηµ= ± συ= ± εφ= ± 6 συ + συ συ +συ = εφ. + εφ = εφ +εφ = εφ εφ =± = ± εφ +εφ + εφ
ηµ3=3ηµ 4ηµ 3 συ3=4συ 3 3συ 3 3εφ εφ εφ3= 3εφ 3 σφ 3σφ σφ3= 3σφ ηµ συ=ηµ(+)+ηµ( ) συ συ=συ(+)+συ( ) ηµ ηµ=συ( ) συ(+) ηµ+ηµ= ηµ + συ ηµ ηµ= ηµ + συ συ+συ= συ + συ συ συ= ηµ + ηµ Τριγωοµετρί. εφα+εφβ+εφγ=εφα εφβ εφγ. ηµα+ηµβ+ηµγ=4συ Α συ Β συ Γ. συα+συβ+συγ=+4 ηµ Α ηµ Β ηµ Γ. Τυτότητες γι στοιχεί τριγώου. ηµα+ηµβ+ηµγ=4 ηµα ηµβ ηµγ συα+συβ+συγ= 4 συα συβ συγ. σφ Α +σφ Β +σφ Γ =σφ Α σφ Β σφ Γ σφα σφβ+σφβ σφγ+σφγ σφα=. εφ Α εφ Β +εφ Β εφ Γ +εφ Γ εφ Α =. γ = = = R. (Νόµος ηµιτόω.) ηµα ηµβ ηµγ = +γ γ συα, =γ + γ συβ, γ = + συγ (Νόµος συηµιτόω.) 7
Τριγωοµετρί. ηµx=ηµ x=κπ+ ή x=(κ+)π, κ Z. συx=συ x=κπ±, κ Z. εφx=εφ x=κπ+, κ Z. σφx=σφ x=κπ+, κ Z. Λογάριθµοι. log a (x y)= log a x+log a y, x>0, y>0. log a (x:y)= log a x log a y, x>0, y>0. log a (x )= log a x, x>0 κι N. logx=log 0 x. lnx=log e x log a x= log b x log a Συδυστική. b Τριγωοµετρικές εξισώσεις. Μετθέσεις τω στοιχείω : Μ =!. ιτάξεις τω µ στοιχείω σε θέσεις : µ = µ! (µ-)! ιτάξεις µε επάληψη τω µ στοιχείω σε θέσεις : Ε µ =µ.! Συδυσµοί τω στοιχείω ά κ : κ = κ!( κ)! Πιθότητες. P(A)= Ν(Α) Ν(Ω). 0 P(A). P(Ω)=. P( )=0. Α Β Ρ(Α) Ρ(Β) Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Ρ(Α Β). Ρ(Α )= Ρ(Α). Ρ(Α Β) Ρ(Β Α)=. Ρ(Α) 8
Γεωµετρί Θεωρήµτ διχοτόµω. Β = Γ ΕΒ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ γ Β = + γ Γ= + γ γ ΒΕ= γ ΕΓ= γ Τ Ε κι λέγοτι ρµοικά συζυγή τω Β κι Γ. Τ Α,Β,Γ, κι λέγοτι ρµοική τετράδ. Γεωµετρί Μετρικές σχέσεις σε ορθογώι τρίγω. Τ τρίγω ΑΒΓ, ΒΑ κι ΑΓ είι όµοι. γ = Β κι = Γ. = +γ. (Πυθγόρειο Θεώρηµ.) υ =Β Γ. γ= υ. + = γ υ 9
Γεωµετρί. Μετρικές σχέσεις σε τυχίο τρίγωο. ΑΓ =ΑΒ +ΒΓ ΒΓ Β, η γωί B είι οξεί.. ΑΓ =ΑΒ +ΒΓ + ΒΓ Β, η γωί B είι µλεί.. γ + Β = τ ( τ ) ( τ ) ( τ γ) υ =. +γ = µ +. ( ο Θεώρηµ διµέσω.) +γ = Μ. µ + γ = 4 + + =. υ υ υ ρ γ. Γεωµετρί 360 ω = φ =80 ο ω λ = R R 4R λ + = R Κοικά πολύγω. Ε = λ R λ λ 3 =R 3 3 = R λ 4 = R 4 = R 3 λ 6 =R 6 = 0
Γεωµετρί. Εµδά - Όγκοι. Ορθογώιο. Ε= Πρλληλόγρµµο. Ε= υ Τρίγωο. Τρπέζιο. Ε= υ τ Ε= ( τ ) ( τ ) ( τ γ) Ε=τ ρ γ Ε= 4R Ε= + υ Κύκλος. Ε=πR Γ=πR
Κυκλικός τοµές - τόξο. Έλλειψη. S=θ R, θ κτίι. S= θ πr, θ µοίρες. 360 Ε= θr, θ κτίι. Ε= θ 360 πr, θ µοίρες. Ε=π. + Γ ( ) Πρίσµ. V=Ε υ. Πυρµίδ V= 3 E υ. Κύλιδρος. Ε π =πr υ. Ε ολ =πr(r+υ). V=πR υ.
Πλάγιος κύλιδρος V=πR υ. Κώος. V= 3 πr υ. Σφίρ. Ε=4 πr. V= 4 3 πr3. Κυκλικό τµήµ. Ε=πRυ. V= 3 πυ (3R-υ). 3
Αάλυση Ότ υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω f κι g τότε ισχύου lim f ( x) = lim (f(x)+g(x))= lim f(x)+ lim g(x) x σ x σ x σ x σ o lim[ f ( x) ] = 0 x σ lim (f(x) g(x))= lim f(x) lim g(x) x σ x σ x σ o lim( f ( x) ) = x σ lim (f(x) g(x))= lim f(x) lim g(x) x σ x σ x σ lim f ( x) = x σ f ( x) lim f ( x) x σ 3 lim = x σ < f ( x) < g( x) lim g( x) x σ lim[ λ f ( x) ] = λ lim f ( x) lim f ( x) = lim f ( x) x σ x σ x σ x σ Όρι. Εφόσο ορίζοτι κλώς τ κλάσµτ.. Εφόσο ορίζοτι κλώς οι ρίζες. Αάλυση [ c ] = 0 [ x ] = [ x ] = x ρ ρ [ x ] = ρx x x [ e ] = e ln = [ x] [ x ] [ ηµ x] = συx [ συx] = ηµ x x εφ = συ x σφ = ηµ x [ x] Πράγωγοι. f f g = f f g = f g + f f f g f g = g g λ f = λ [ + g] = f + g [ ] g [ ] g [ ] f [ f ] f f = [ f ( g( x) )] = f ( g( x) ) g ( x) ή df ( g( x) ) df ( g( x) ) = dx dg( x) dg( x) dx 4
Αάλυση Ολοκληρώµτ. f ( x) dx : = lim f + κ f ( x) κ= dx = 0 [ f ( x) + g( x) ] dx = f ( x) dx + g( x) dx ( ) ( ) f x dx = f x dx λ f ( x) dx = λ f ( x) dx f ( x) dx f ( ) f ( ) = γ x f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx γ [ f () t dt] = f ( x) g( x ) min f () t dt f ( ) f ( x) dx max f ( ) f ( x) g( x) dx = [ f ( x) g( x) ] f ( x) g ( x) [ ] = f g( x) g( ) f ( g( x) ) g ( x) dx = f ( y) dy f = f ( x) ( x) dx = f ( x) g ( ) dx x x f + c συ xdx = ηµx + c e dx = e + c dx = x + c ηµ xdx = συx c + dx = ln x + c x + x x dx = + c + ( ) g ( x) dx x x dx = εφx + c συ x dx = + c ln dx = σφx + c ηµ x 5
ΠΙΝΑΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ω ηµω συω εφω σφω ω ηµω συω εφω σφω 0 o 0,0000000,0000000 0,0000000 45 o 0,707068 0,707068,0000000,0000000 o 0,07454 0,9998477 0,07455 57,89966 46 o 0,793398 0,6946584,0355303 0,9656888 o 0,0348995 0,9993908 0,034908 8,636533 47 o 0,733537 0,689984,073687 0,9355 3 o 0,053360 0,998695 0,054078 9,08367 48 o 0,743448 0,669306,065 0,9004040 4 o 0,0697565 0,997564 0,069968 4,3006663 49 o 0,7547096 0,6560590,503684 0,869867 5 o 0,087557 0,996947 0,0874887,430053 50 o 0,7660444 0,647876,97536 0,8390996 6 o 0,04585 0,99459 0,0504 9,543645 5 o 0,777460 0,69304,34897 0,8097840 7 o 0,8693 0,99546 0,7846 8,443464 5 o 0,788008 0,65665,79946 0,78856 8 o 0,3973 0,99068 0,405408 7,53697 53 o 0,7986355 0,60850,370448 0,753554 9 o 0,564345 0,9876883 0,583844 6,33755 54 o 0,809070 0,5877853,376389 0,76545 0 o 0,73648 0,9848078 0,76370 5,6788 55 o 0,8950 0,5735764,48480 0,700075 o 0,908090 0,9867 0,943803 5,445540 56 o 0,890376 0,55999,48560 0,6745085 o 0,0797 0,978476 0,5566 4,704630 57 o 0,8386706 0,5446390,5398650 0,6494076 3 o 0,495 0,974370 0,30868 4,334759 58 o 0,848048 0,59993,6003345 0,648694 4 o 0,499 0,970957 0,49380 4,007809 59 o 0,857673 0,55038,664795 0,6008606 5 o 0,58890 0,965958 0,67949 3,730508 60 o 0,866054 0,5000000,730508 0,5773503 6 o 0,756374 0,9667 0,867454 3,487444 6 o 0,874697 0,4848096,8040478 0,554309 7 o 0,9377 0,9563048 0,3057307 3,70856 6 o 0,889476 0,469476,880765 0,537094 8 o 0,309070 0,950565 0,34997 3,0776835 63 o 0,890065 0,4539905,96605 0,509554 9 o 0,35568 0,945586 0,344376,90409 64 o 0,8987940 0,43837,0503038 0,487736 0 o 0,3400 0,939696 0,363970,7474774 65 o 0,9063078 0,4683,445069 0,4663077 o 0,3583679 0,9335804 0,3838640,605089 66 o 0,935455 0,4067366,460368 0,44587 o 0,3746066 0,97839 0,40406,4750869 67 o 0,905049 0,39073,355854 0,444748 3 o 0,39073 0,905049 0,444748,355854 68 o 0,97839 0,3746066,4750869 0,40406 4 o 0,4067366 0,935455 0,44587,460368 69 o 0,9335804 0,3583679,605089 0,3838640 5 o 0,4683 0,9063078 0,4663077,445069 70 o 0,939696 0,3400,7474774 0,363970 6 o 0,43837 0,8987940 0,487736,0503038 7 o 0,945586 0,35568,90409 0,344376 7 o 0,4539905 0,890065 0,509554,96605 7 o 0,950565 0,309070 3,0776835 0,34997 8 o 0,469476 0,889476 0,537094,880765 73 o 0,9563048 0,9377 3,70856 0,3057307 9 o 0,4848096 0,874697 0,554309,8040478 74 o 0,9667 0,756374 3,487444 0,867454 30 o 0,5000000 0,866054 0,5773503,730508 75 o 0,965958 0,58890 3,730508 0,67949 3 o 0,55038 0,857673 0,6008606,664795 76 o 0,970957 0,499 4,007809 0,49380 3 o 0,59993 0,848048 0,648694,6003345 77 o 0,974370 0,495 4,334759 0,30868 33 o 0,5446390 0,8386706 0,6494076,5398650 78 o 0,978476 0,0797 4,704630 0,5566 34 o 0,55999 0,890376 0,6745085,48560 79 o 0,9867 0,908090 5,445540 0,943803 35 o 0,5735764 0,8950 0,700075,48480 80 o 0,9848078 0,73648 5,6788 0,76370 36 o 0,5877853 0,809070 0,76545,376389 8 o 0,9876883 0,564345 6,33755 0,583844 37 o 0,60850 0,7986355 0,753554,370448 8 o 0,99068 0,3973 7,53697 0,405408 38 o 0,65665 0,788008 0,78856,79946 83 o 0,99546 0,8693 8,443464 0,7846 39 o 0,69304 0,777460 0,8097840,34897 84 o 0,99459 0,04585 9,543645 0,0504 40 o 0,647876 0,7660444 0,8390996,97536 85 o 0,996947 0,087557,430053 0,0874887 4 o 0,6560590 0,7547096 0,869867,503684 86 o 0,997564 0,0697565 4,3006663 0,069968 4 o 0,669306 0,743448 0,9004040,065 87 o 0,998695 0,053360 9,08367 0,054078 43 o 0,689984 0,733537 0,9355,073687 88 o 0,9993908 0,0348995 8,636533 0,034908 44 o 0,6946584 0,793398 0,9656888,0355303 89 o 0,9998477 0,07454 57,89966 0,07455 45 o 0,70706860,707068,0000000,0000000 90 o,0000000 0,0000000 ########### 0,0000000