ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια, οι απανηήζειρ πος ακολοςθούν αποηελούν ενδεικηικέρ λύζειρ ηων αζκήζεων ηηρ ηελικήρ εξέηαζηρ Οποιαδήποηε άλλη μαθημαηικά ζωζηή διαδικαζία πος ηςσόν έσεηε ακολοςθήζει για ηην επίλςζή ηοςρ, είναι αποδεκηή Άσκηση η Έρνπκε ηελ ΣΔΕ Η αληίζηνηρε νκνγελήο ΣΔΕ είλαη () () 3() e () () () 3() 0 () Η ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε ηεο () πξνθύπηεη αλαδεηώληαο ιύζεηο απηήο, ηεο κνξθήο () e, νπόηε κε αληηθαηάζηαζε ζηελ () βξίζθνπκε ηειηθά 3 0 Οη ξίδεο ηεο ραξαθηεξηζηηθήο εμίζσζεο είλαη, 3 ζπλεπώο ε γεληθή ιύζε ηεο () ζα έρεη ηελ κνξθή: () c e c e 3 θαη c απζαίξεηεο ζηαζεξέο Γηα ηνλ κε νκνγελή όξν ηεο () έρνπκε: f() e e cos(0) 0sin(0), νπόηε, 0, (), Q 0() 0, s Ο αξηζκόο i είλαη απιή ξίδα ηεο ραξαθηεξηζηηθήο εμίζσζεο ηεο () νπόηε Καηά ζπλέπεηα ε () δέρεηαη ιύζε ηεο κνξθήο: () e (A B)cos(0) ( )sin(0) (A )e όπνπ A, B πξαγκαηηθνί αξηζκνί (όρη όινη κεδέλ) Παξαγσγίδνληαο σο πξνο ηελ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή βξίζθνπκε () A A e, () A 4A B A B e Ειιεληθό Αλνηθηό Παλεπηζηήκην - Πάξνδνο Αξηζηνηέινπο 8, 6335 Πάηξα Τει 60 367300, 60 367400, Fa 60 367350
Αληηθαζηζηώληαο ηηο (), (), () ζηελ (), ιακβάλνπκε ηειηθά, 8Ae (A 4B)e e, απ όπνπ (επεηδή ε αλσηέξσ ζρέζε πξέπεη λα ηζρύεη γηα θάζε ) πξνθύπηεη: Σπλεπώο A 8A 6 A 4B 0 B 6 () (A )e ( )e 6 Επνκέλσο ε γεληθή ιύζε ηεο () είλαη 3 () () () ce ce ( )e, (3) 6 θαη c απζαίξεηεο ζηαζεξέο Οη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη (0) 0, (0) 7 c c 0 c c 0 c 64 Άξα από ηελ (3) βξίζθνπκε, 7 c 3c 7 c 3c 6 6 c 64 7 7 Σπλεπώο ε ιύζε ηνπ ΠΑΤ είλαη, () () () e e ( )e 64 64 6 3 Άσκηση η α) Έρνπκε ηελ ΣΔΕ εο ηάμεο () ( + ) () + ( + )() 0, 0 () πνπ είλαη γξακκηθή, νκνγελήο κε ζπληειεζηέο ζπλαξηήζεηο ηνπ Έρνπκε, () () () 0, θαη ε () δίλεη () ( + ) () +( + ) () 0 ( + ) +( + ) 0 θαη ζπλεπώο ε () απνηειεί ιύζε ηεο () Επίζεο, δίλεη () e () e e ( )e () e e ( )e θαη ε () () ( + ) () +( + ) () ( + )e ( + )( +)e ( + )e = ( + )e ( ) = 0 θαη ζπλεπώο ε () e απνηειεί ιύζε ηεο () Ειιεληθό Αλνηθηό Παλεπηζηήκην - Πάξνδνο Αξηζηνηέινπο 8, 6335 Πάηξα Τει 60 367300, 60 367400, Fa 60 367350
Εμεηάδνπκε ηελ γξακκηθή αλεμαξηεζία ησλ δύν ιύζεσλ ππνινγίδνληαο ηελ νξίδνπζα ηνπ Wronski Έρνπκε, e W, e 0, γηα 0 ( +)e Σπλεπώο νη () θαη () e είλαη γξακκηθώο αλεμάξηεηεο ιύζεηο ηεο () θαη απνηεινύλ ζεκειηώδεο ζύλνιν ιύζεσλ ηεο, νπόηε ε γεληθή ηεο ιύζε είλαη, c απζαίξεηεο ζηαζεξέο β) Έρνπκε ηελ ΣΔΕ εο ηάμεο () c c e + + () () + (), 0 () Η () είλαη γξακκηθή, κε νκνγελήο, κε ζπληειεζηέο ζπλαξηήζεηο ηνπ Παξαηεξνύκε όηη αλ δηαηξέζνπκε θαη ηα δύν κέιε ηεο () κε ( 0) έρνπκε ηελ αληίζηνηρε νκνγελή ηεο ΔΕ () ηεο νπνίαο έρνπκε βξεη ηελ γεληθή ιύζε, () c ce, ζην α) εξώηεκα Αλαδεηνύκε κηα εηδηθή ιύζε ηεο (), (), ηεο κνξθήο () c () c ()e () θαη c () ζπλαξηήζεηο πνπ πξνζδηνξίδνληαη από ην ηε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο, c () c ()e 0 e c () e c () c () c ()( )e c () c () όπνπ, ρσξίο βιάβε ηεο γεληθόηεηαο ζεσξήζακε ηηο ζηαζεξέο νινθιήξσζεο ίζεο κε κεδέλ, δηόηη ςάρλνπκε λα βξνύκε κηα από όιεο ηηο ιύζεηο ηεο () Επνκέλσο, κηα εηδηθή ιύζε ηεο () είλαη, e () Σπλεπώο ε γεληθή ιύζε ηεο () δίλεηαη από ηελ ζρέζε: () () () c ce c3 ce, 3 c θαη c απζαίξεηεο ζηαζεξέο e e Άσκηση 3 η α) Η πξώηε εμίζσζε δίλεηαη ζηε δηαθνξηθή κνξθή Ειιεληθό Αλνηθηό Παλεπηζηήκην - Πάξνδνο Αξηζηνηέινπο 8, 6335 Πάηξα Τει 60 367300, 60 367400, Fa 60 367350 3
d d 0 κε (, ), Q(, ) Είλαη ζπλεπώο ε δηαθνξηθή εμίζσζε είλαη αθξηβήο Γξάθνπκε ηε δεύηεξε εμίζσζε ζηε δηαθνξηθή κνξθή Q θαη Q Άξα Q d d 0 Θέηνπκε (, ), Q(, ) Έρνπκε θαη Q Q Άξα Q ζπλεπώο ε δηαθνξηθή εμίζσζε δελ είλαη αθξηβήο β) Έρνπκε ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε: πνπ είλαη κηα δηαθνξηθή εμίζσζε Bernoulli Δηαηξνύκε θαη ηα δύν κέιε ηεο () κε ηνλ κε γξακκηθό όξν Εηζάγνληαο ηώξα ηε λέα κεηαβιεηή:, 0 () ιακβάλνληαο: () u u (3) ε () αλάγεηαη ζηελ θάησζη γξακκηθή δηαθνξηθή εμίζσζε σο πξνο u(): u u (4) Πξνθεηκέλνπ λα επηιύζνπκε ηελ (4), ππνινγίδνπκε πξώηα ηνλ νινθιεξσηηθό παξάγνληα, d () e e θαη ζηε ζπλέρεηα πνιιαπιαζηάδνπκε θαη ηα δύν κέιε ηεο (4) κε ηνλ () Έηζη έρνπκε: d e u u e e u e e u e d d e u e d e e d ε ζηαζεξά ηεο νινθιήξσζεο e u e e c u ce ce (3) Ειιεληθό Αλνηθηό Παλεπηζηήκην - Πάξνδνο Αξηζηνηέινπο 8, 6335 Πάηξα Τει 60 367300, 60 367400, Fa 60 367350 4
Άσκηση 4 η Έζησ (t) 0 ε πνζόηεηα ηνπ πιηθνύ ηε ρξνληθή ζηηγκή t Τόηε, d(t) dt d(t) (t) t c (t) dt ln (t) t c (t) ce, c e ( 0) Όκσο (0) B νπόηε c B άξα Επίζεο, t (t) Be 03 () 08B Be 08B e 08 ln(08) 05 Σπλεπώο (t) Be 05t Θέινπκε ηώξα λα βξνύκε ηνλ ρξόλν Τ έηζη ώζηε, Άξα, (T) B Άξα, 05T B 05T Be e 05T ln ln ln 0693 T 6 ρξόληα 05 05 Η (t) 0 πνπ έρεη εμαηξεζεί, ηθαλνπνηεί ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε (t) (t) όρη όκσο ηελ αξρηθή ζπλζήθε, νπόηε δελ απνηειεί ιύζε ηνπ Πξνβιήκαηνο Αξρηθώλ Τηκώλ Ειιεληθό Αλνηθηό Παλεπηζηήκην - Πάξνδνο Αξηζηνηέινπο 8, 6335 Πάηξα Τει 60 367300, 60 367400, Fa 60 367350 5