M A T E M A T I CĂ. CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a. MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI PROGRAMĂ ŞCOLARĂ REVIZUITĂ

Programa şcolară a fost aprobată prin Ordinul Ministrului EducaŃiei, Cercetării şi Tineretului cu nr. 4875/22.07.2008 MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI PROGRAMĂ ŞCOLARĂ REVIZUITĂ M A T E M A T I CĂ CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a Bucureşti, 2008

NOTĂ DE PREZENTARE Prezentul document conńine programele şcolare revizuite de MATEMATICĂ pentru clasele a V-a a VIII-a şi se adresează profesorilor care predau această disciplină în gimnaziu. Programa şcolară este parte componentă a curriculumului nańional. Aceasta reprezintă documentul şcolar de tip reglator instrument de lucru al profesorului care stabileşte, pentru fiecare disciplină oferta educańională care urmează să fie realizată în bugetul de timp alocat pentru un parcurs şcolar determinat, în conformitate cu statutul şi locul disciplinei în planul-cadru de învăńământ. Programele şcolare pentru învăńământul gimnazial au următoarele componente: notă de prezentare obiective-cadru obiective de referinńă şi exemple de activităńi de învăńare conńinuturi ale învăńării standarde curriculare de performanńă. Programele şcolare pentru învăńământul gimnazial subliniază importanńa rolului reglator al obiectivelor pe cele două niveluri de generalitate: obiective-cadru şi obiective de referinńă. Celelalte componente au ca principal scop realizarea obiectivelor de către elevi. Nota de prezentare a programei şcolare descrie parcursul disciplinei de studiu, argumentează structura didactică adoptată şi sintetizează o serie de recomandări considerate semnificative din punct de vedere al finalităńilor studierii disciplinei respective. Obiectivele-cadru sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate şi complexitate. Ele se referă la formarea unor capacităńi şi atitudini generate de specificul disciplinei şi urmărite de-a lungul mai multor ani de studiu. Obiectivele-cadru au o structură comună pentru toate disciplinele aparńinând unei arii curriculare şi au rolul de a asigura coerenńa în cadrul acesteia. Obiectivele de referinńă sunt obiective care specifică rezultatele aşteptate ale învăńării la finalul unui an de studiu şi urmăresc progresul în formarea de capacităńi şi achizińia de cunoştinńe ale elevului de la un an de studiu la altul. Exemplele de activităńi de învăńare propun modalităńi de organizare a activităńii în clasă. Pentru realizarea obiectivelor propuse pot fi organizate diferite tipuri de activităńi de învăńare. Programa şcolară oferă cel puńin un exemplu de astfel de activităńi pentru fiecare obiectiv de referinńă în parte. Exemplele de activităńi de învăńare sunt construite astfel încât să pornească de la experienńa concretă a elevului şi să se integreze unor strategii didactice adecvate contextelor variate de învăńare. ConŃinuturile învăńării sunt mijloace prin care se urmăreşte atingerea obiectivelor-cadru şi de referinńă propuse. UnităŃile de conńinut sunt organizate tematic. Standardele curriculare de performanńă sunt criterii de evaluare a calităńii procesului de învăńare şi reprezintă enunńuri sintetice în măsură să indice gradul în care vor fi atinse de către elevi obiectivele disciplinei de studiu, la sfârşitul învăńământul gimnazial; în mod concret, standardele curriculare de performanńă constituie specificări de performanńă vizând cunoştinńele, deprinderile şi comportamentele dobândite de elevi prin studiul disciplinei. Standardele curriculare de performanńă sunt standarde nańionale şi reprezintă, pentru tońi elevii, un sistem de referinńă comun şi echivalent. Revizuirea programelor şcolare pentru învăńământul gimnazial a vizat descongestionarea acestora, luând în considerare dinamica elaborării, aplicării şi revizuirii curriculumului nańional. În acest context, procesul de revizuire realizat în anul 2008 a pornit de la premisa menńinerii în vigoare a planurilor-cadru de învăńământ, aprobate prin Ordinul ministrului educańiei nr. 3638/ 11.04.2001, şi a avut în vedere următoarele aspecte: - dezvoltarea unor strategii didactice pornind de la obiective şi asigurarea continuităńii şi a progresului de la o clasă la alta, urmărind centrarea pe elev, ca subiect al activităńii instructiv-educative; - asigurarea corelańiei între obiectivele de referinńă şi conńinuturile învăńării (stabilirea conńinuturilor învăńării, prin raportare la obiectivele de referinńă, Ńinând seamă de nevoile de învăńare, de nivelul de vârstă al elevului şi de timpul de studiu de care dispune acesta); - asigurarea coerenńei la nivelul disciplinei şi a corelării la nivel de arie curriculară; - eliminarea unor aspecte care plasau demersul didactic la un nivel prea teoretic şi accentuarea caracterului practic-aplicativ al acestuia; - adaptează ansamblul obiectivelor de referinńă şi al exemplelor de activităńi de învăńare la schimbările din structura învăńământului obligatoriu, prin reformulări şi prin adăugarea unor precizări de conńinut care să asigure premisele pentru ameliorarea calităńii actului didactic. Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 2

Studiul matematicii în învăńământul obligatoriu îşi propune să asigure pentru tońi elevii formarea competenńelor de bază în rezolvarea de probleme implicând calculul algebric şi rańionamentul geometric. ÎnvăŃarea matematicii în gimnaziu urmăreşte conştientizarea naturii matematicii ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un corpus de cunoştinńe şi de proceduri, dar şi ca o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanńa sa în cotidian şi prin rolul său în ştiinńele naturii, în ştiinńele economice, în tehnologii şi în ştiinńele sociale. Sensul major al referinńelor actuale în predarea-învăńarea matematicii este mutarea accentului de pe predarea de informańii care, în esenńă, au rămas aceleaşi din vechile programe, pe formarea de capacităńi. Astfel, este util ca în procesul didactic să avem în vedere: - construirea unei varietăńi de contexte problematice, în măsură să genereze deschideri către domenii ale matematicii; - folosirea de strategii diferite în rezolvarea de probleme; - organizarea unor activităńi variate de învăńare pentru elevi, în grup şi individual, în funcńie de nivelul şi de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia; - construirea unor secvenńe de învăńare care să permită activităńi de explorare/investigare la nivelul nońiunilor de bază studiate. Programele şcolare sunt construite astfel încât să nu îngrădească, prin concepńie sau mod de redactare, libertatea profesorului de a alege succesiunea temelor şi metodele pe care le consideră cele mai adecvate. Criteriul de asigurare a calităńii actului de predare-învăńare este reprezentat de realizarea obiectivelor de referinńă, la sfârşitul fiecărui an, precum şi de atingerea standardelor curriculare, la sfârşitul învăńământului gimnazial. Proiectarea activităńii didactice, elaborarea manualelor şcolare alternative este bine să fie precedate de lectura integrală a programei şcolare şi de urmărirea logicii interne a acesteia. În cadrul programei, fiecărui obiectiv-cadru îi sunt asociate obiective de referinńă; atingerea obiectivelor de referinńă se realizează cu ajutorul conńinuturilor. Profesorul poate opta pentru utilizarea activităńilor de învăńare recomandate prin programă sau poate propune alte activităńi adecvate colectivului de elevi şi condińiilor concrete din clasă. Strategiile de lucru propuse trebuie să Ńină seama de experienńa elevilor la această vârstă şi să permită valorizarea pozitivă a acesteia. Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 3

OBIECTIVE CADRU 1. Cunoaşterea şi înńelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii 2. Dezvoltarea capacităńilor de explorare/investigare şi de rezolvare de probleme 3. Dezvoltarea capacităńii de a comunica, utilizând limbajul matematic 4. Dezvoltarea interesului şi a motivańiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 4

CLASA A V-A OBIECTIVE DE REFERINłĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂłI DE ÎNVĂłARE 1. Cunoaşterea şi înńelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii Obiective de referinńă La sfârşitul clasei a V-a, 1.1 să utilizeze limbajul matematic în scrierea, citirea, compararea şi reprezentarea pe axa numerelor a numerelor naturale, fracńionare şi zecimale 1.2 să efectueze operańii cu numere naturale, cu fracńii ordinare, cu fracńii zecimale, utilizând proprietăńile operańiilor Pe parcursul clasei a V-a, se recomandă următoarele activităńi: - ExerciŃii de scriere şi de citire a numerelor naturale în sistemul de numerańie zecimal - Determinarea unui număr natural pe baza unor condińii impuse cifrelor sale - ExerciŃii de reprezentare a numerelor naturale pe axa numerelor - ExerciŃii de scriere şi de citire a unei fracńii ordinare - ExerciŃii de reprezentare pe axa numerelor a fracńiilor ordinare - ExerciŃii de comparare a fracńiilor ordinare prin aducere la acelaşi numitor sau la acelaşi numărător - ExerciŃii de citire şi de scriere a fracńiilor zecimale finite (cu un număr finit de zecimale nenule) - ExerciŃii de comparare a două fracńii zecimale finite (folosind eventual aproximarea acestora) - ExerciŃii de ordonare a mai multor fracńii zecimale finite - ExerciŃii de reprezentare pe axa numerelor a fracńiilor zecimale finite folosind aproximarea acestora - ExerciŃii de comparare şi de ordonare a fracńiilor zecimale (media aritmetică a două numere este cuprinsă între cele două numere) - ExerciŃii de adunare/scădere a numerelor naturale - ExerciŃii de evidenńiere şi de aplicare a proprietăńilor adunării numerelor naturale - ExerciŃii de înmulńire a numerelor naturale - ExerciŃii de evidenńiere şi de aplicare a proprietăńilor înmulńirii numerelor naturale - ExerciŃii de utilizare a distributivităńii înmulńirii fańă de adunarea/scăderea numerelor naturale - ExerciŃii de respectare a ordinii efectuării operańiilor - ExerciŃii de respectare a ordinii efectuării operańiilor în paranteze rotunde şi/sau pătrate - Utilizarea algoritmului împărńirii, cu restul egal cu zero, în cazul în care deîmpărńitul şi împărńitorul au una sau mai multe cifre - Utilizarea algoritmului împărńirii, cu restul diferit de zero, în cazul în care deîmpărńitul şi împărńitorul au una sau mai multe cifre - ExerciŃii şi probleme de aplicare a împărńirii cu rest - ExerciŃii de calcul a unor expresii numerice care conńin paranteze (rotunde, pătrate şi acolade), cu respectarea ordinii efectuării operańiilor - ExerciŃii de scriere a unui număr natural ca produs de două sau de mai multe numere naturale şi deducerea relańiei de divizibilitate a - ExerciŃii de determinare a fracńiei ( a < b, b 0 ) din numărul b natural n, multiplu al numărului b (utilizând metoda reducerii la unitate sau formula de calcul ( n : b) a ) - ExerciŃii de simplificare a fracńiilor prin determinarea unuia sau a mai multor divizori comuni ai numărătorului şi numitorului (nu se va stabili neapărat cel mai mare divizor comun) - ExerciŃii de amplificare a fracńiilor - ExerciŃii de definire a unui număr rańional ca mulńimea fracńiilor echivalente cu o fracńie dată - ExerciŃii de transformare a unei fracńii zecimale cu un număr finit de zecimale într-o fracńie ordinară Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 5

1.3 să folosească aproximări ale numerelor naturale, fracńionare şi zecimale pentru a estima sau a verifica validitatea unor calcule 1. 4 să utilizeze elemente de logică şi de teoria mulńimilor pentru a justifica etape în rezolvarea unor probleme 1.5 să utilizeze ecuańii de tipul: x ± a = b ; a ± x = b ; x a = b ( a 0, a divizor al lui b); x : a = b ( a 0 ); a : x = b ( x 0, b divizor al lui a) şi inecuańii de tipul: x ± a b (, <, > ); x a b (, <, > ), unde a este - ExerciŃii de adunare şi de scădere a fracńiilor zecimale finite - Utilizarea proprietăńilor adunării în exercińii cu fracńii zecimale finite - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de înmulńire a unei fracńii zecimale finite cu 10, 100, 1000,... - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de înmulńire a unei fracńii zecimale finite cu un număr natural - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de înmulńire a două fracńii zecimale finite - Utilizarea proprietăńilor înmulńirii fracńiilor zecimale finite în calcule aritmetice - ExerciŃii de calcul a puterilor cu exponent natural a unei fracńii zecimale finite - Calculul unor expresii fără paranteze cu fracńii zecimale finite - Calculul unor expresii cu paranteze cu fracńii zecimale finite - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de împărńire a două numere naturale, având ca rezultat o fracńie zecimală finită - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de împărńire a două numere naturale, având ca rezultat o fracńie zecimale periodică - ExerciŃii de transformare a fracńiilor ordinare în fracńii zecimale (finite sau periodice) - ExerciŃii de împărńire a unei fracńii zecimale la 10, 100, 1000,... - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de împărńire a unei fracńii zecimale la un număr natural - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de împărńire a două fracńii zecimale finite - ExerciŃii care să evidenńieze avantajele folosirii proprietăńilor operańiilor cu fracńii zecimale - Scrierea unui procent sub forma unei fracńii ordinare sau a unei fracńii zecimale - ExerciŃii de determinare a mediei aritmetice a două sau a mai multor numere naturale sau fracńii zecimale finite - Identificarea pe baza estimării a rezultatelor unor calcule dintr-o listă de răspunsuri - ExerciŃii de aproximare prin lipsă sau prin adaos a fracńiilor zecimale - Caracterizarea nońiunii de divizor folosind împărńirea cu rest - ExerciŃii de stabilire a apartenenńei unui element la o mulńime; utilizarea simbolului de apartenenńă - ExerciŃii de stabilire a incluziunii şi respectiv a egalităńii între două mulńimi; utilizarea simbolurilor matematice de incluziune şi de egalitate - ExerciŃii de identificare şi reprezentare a submulńimilor unei mulńimi date (evidenńiindu-se, ca submulńimi, mulńimea vidă şi mulńimea însăşi) - ExerciŃii de identificare şi de scriere a unor submulńimi ale unei mulńimi date de numere naturale (exemple: submulńimea multiplilor unui număr natural dat; submulńimea divizorilor unui număr natural dat; submulńimea soluńiilor unor ecuańii sau inecuańii) - Determinarea unui termen al adunării/scăderii dintr-o egalitate sau o inegalitate prin încercări, prin proba operańiei respective sau prin metoda mersului invers - Introducerea nońiunilor de ecuańie şi de inecuańie pornind de la următoarele tipuri de relańii: x ± a = b ; a ± x = b ; x a = b, cu a 0, a divizor al lui b; x : a = b, cu a 0 ; a : x = b, cu x 0, b divizor al lui a; x ± a b (respectiv, <, > ); x a b (respectiv Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 6

divizor al lui b; x : a b (, <, > ), cu a 0, unde a şi b sunt numere naturale sau fracńii zecimale finite, în rezolvarea sau compunerea unor probleme 1.6 să recunoască figuri şi corpuri geometrice; să deseneze figurile şi să construiască din diferite materiale corpuri cunoscute 1.7 să folosească simetria şi translańia pentru a construi modele geometrice 1.8 să efectueze transformări între multiplii şi submultiplii principalelor unităńi din sistemul internańional de măsuri (pentru lungime, arie, volum, masă, timp, unităńi monetare); să estimeze măsuri ale unor obiecte din mediul înconjurător 1.9 să înregistreze, să clasifice şi să prezinte date sub formă de tabele şi diagrame, <, > ), cu a divizor al lui b; x : a b (respectiv, <, > ), cu a 0 - Formularea unor probleme pe baza unor scheme, modele sau reguli şi soluńionarea acestora prin utilizarea unor tehnici variate - Rezolvarea şi verificarea soluńiilor unor ecuańii de tipurile: x ± a = b ; a ± x = b ; x a = b ( a 0 ); x : a = b ( a 0 ) ; a : x = b ( x 0 ), unde a şi b sunt numere naturale sau fracńii zecimale finite - Observarea unor segmente pe modele fizice/desene - ExerciŃii de descriere şi de identificare a unor elemente ale figurilor geometrice: laturi, unghiuri sau diagonale - ExerciŃii de descriere şi de identificare a cubului/ paralelipipedului dreptunghic; recunoaşterea cubului ca un paralelipiped dreptunghic particular - ExerciŃii de evidenńiere a elementelor cubului /paralelipipedului dreptunghic: vârfuri, muchii, feńe; caracterizarea feńelor cubului/paralelipipedului dreptunghic - ExerciŃii de desfăşurare a paralelipipedului dreptunghic şi a cubului ( modele din carton) - Analiza unor exemple de simetrie şi translańie din cotidian - Analiza unor exemple de figuri cu sau fără axă de simetrie; exercińii de desenare a unor figuri pe o reńea de pătrate - ActivităŃi care să pună în evidenńă necesitatea unui etalon comun pentru efectuarea unor măsurători - ExerciŃii de măsurare sau de estimare a lungimilor unor segmente (care să reprezinte laturi ale unor figuri geometrice plane), prin alegerea celei mai potrivite unităńi de măsură pentru un context dat - ExerciŃii de comparare a lungimilor unor segmente - ExerciŃii de transformare a unităńilor standard de măsură pentru lungime - ExerciŃii de calculare a perimetrului unor figuri geometrice - ExerciŃii de transformare a unităńilor standard de măsură pentru arie - ActivităŃi care evidenńiază exprimarea, ca rezultat al unei măsurări, a volumului corpurilor în unităńi standard (metrul cub, cu multipli şi submultipli) sau unităńi nestandard, pornind de la măsura (volumul) cubului de muchie 1 - Determinarea volumului unui cub sau a unui paralelipiped dreptunghic utilizând reńeaua de cuburi de muchie 1 şi deducerea formulei de calcul - ExerciŃii de determinare şi de estimare a capacităńii (unor vase) - ExerciŃii de transformare a unităńilor standard de măsură a volumului/capacităńii - ExerciŃii de măsurare şi de estimare a masei (corpurilor fizice) în unităńi standard - ExerciŃii în care intervin transformări ale unităńilor de măsură pentru masă - ExerciŃii în care intervin transformări ale unităńilor de măsură pentru timp - ExerciŃii în care intervin transformări monetare - Colectarea unor date, reprezentarea acestora în tabele, prelucrarea şi interpretarea lor - ExerciŃii de descriere a mulńimilor (prin enumerarea elementelor sau prin enunńarea proprietăńii comune a elementelor) şi de reprezentare a acestora (prin scrierea simbolică matematică sau prin utilizarea diagramelor Venn-Euler) Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 7

2. Dezvoltarea capacităńii de explorare/investigare şi de rezolvare a problemelor Obiective de referinńă La sfârşitul clasei a V-a, elevul va fi capabil: 2.1 să exploreze modalităńi de descompunere a numerelor naturale folosind operańiile studiate şi modalităńi de efectuare a operańiilor cu fracńii ordinare/zecimale 2.2 să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmańii prin construirea unor exemple sau prin aplicarea unor metode de calcul Pe parcursul clasei a V-a, se recomandă următoarele activităńi - ExerciŃii de identificare a numărului de unităńi, zeci, sute, mii etc. ale unui număr natural - ExerciŃii de scriere a numerelor naturale care să evidenńieze cifrele unităńilor, zecilor, miilor... (reprezentări de tipul 762 = 7 100 + 6 10 + 2 ) - ExerciŃii de scriere a unui număr natural în formă convenńională (de tipul ab = 10a +b) - Calculul puterii cu exponent natural a unui număr natural prin înmulńire repetată - ExerciŃii de scriere a unui număr natural folosind puterile lui 10 - ExerciŃii de calcul cu puteri (fără a enunńa regulile de calcul cu puteri) - ExerciŃii de utilizare a factorului comun - ExerciŃii de identificare a divizorului şi a multiplului folosind produsul a două numere naturale; utilizarea notańiei a b - ExerciŃii de reprezentare a unei fracńii (subunitare) ca o sumă de părńi egale ale unităńii, cu evidenńierea semnificańiei numărătorului şi a numitorului - Utilizarea unor reprezentări grafice variate pentru ilustrarea fracńiilor echiunitare, subunitare, supraunitare - ExerciŃii de scriere a fracńiilor echiunitare, subunitare şi supraunitare în forme echivalente - ExerciŃii de scoatere a întregilor dintr-o fracńie supraunitară şi respectiv de introducere a întregilor în fracńie - Verificarea echivalenńei a două fracńii prin diferite reprezentări grafice - ExerciŃii de scriere ca fracńie zecimală a unei fracńii ordinare cu numitorul o putere a lui 10 - ExerciŃii de reprezentare ca fracńie zecimală a unei fracńii ordinare cu numitorul un produs de puteri ale lui 2 şi 5 - ExerciŃii de transformare a fracńiilor periodice în fracńii ordinare - ExerciŃii de scriere a unei fracńii zecimale finite ca: - o sumă dintre un număr natural şi un număr zecimal subunitar - un produs dintre un număr zecimal şi o putere a lui 10 - un cât dintre un număr zecimal şi o putere a lui 10 - Scrierea unei fracńii zecimale subunitare, cu două zecimale nenule, sub formă de procent: p%, unde p este număr natural - Verificarea prin împărńire a divizibilităńii numerelor naturale cu 10, 5 sau 2 - Aplicarea criteriilor de divizibilitate cu 10, 5 şi 2 în exercińii şi probleme - Rezolvarea unor ecuańii şi inecuańii prin încercări sau folosind proprietăńi ale operańiilor cu numere naturale, metoda balanńei (utilizarea intuitivă a proprietăńilor inegalităńii) sau metoda mersului invers - Verificarea corectitudinii rezolvării unei ecuańii prin înlocuirea soluńiei în ecuańie - Deducerea unor consecinńe ce decurg dintr-un set de ipoteze sau dintr-o estimare - ExerciŃii de utilizare a simbolurilor specifice operańiilor de reuniune şi de intersecńie a mulńimilor Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 8

2.3 să descopere, să recunoască, să asocieze şi să completeze succesiuni de numere asociate după reguli date sau identificate prin observare 2.4 să recunoască veridicitatea unor rezultate obńinute prin măsurare sau calcul; să interpreteze date obńinute prin măsurare sau calcul 2.5 să construiască probleme pornind de la un enunń parńial sau de la un model (grafic sau formulă) 2.6 să utilizeze instrumente geometrice (riglă, echer) pentru a desena figuri geometrice 2.7 Să măsoare mărimi utilizând instrumente de măsură adecvate 3. Dezvoltarea capacităńii de a comunica utilizând limbajul matematic Obiective de referinńă La sfârşitul clasei a V-a, elevul va fi capabil: 3.1 să identifice informańiile esenńiale dintr-un enunń - Determinarea unor mulńimi care verifică anumite condińii legate de apartenenńă, incluziune, reuniune sau intersecńie - ExerciŃii de utilizare a termenilor,,şi,,,sau,,,nu în contexte uzuale sau matematice - ExerciŃii de identificare dintr-o listă de fracńii a fracńiilor echivalente cu o fracńie dată şi verificarea echivalenńei - ExerciŃii de ordonare crescătoare sau descrescătoare a unor numere naturale - Rezolvarea unor probleme prin metode aritmetice - Reprezentarea numerelor naturale ca mulńimea N - Reprezentarea numerelor naturale nenule ca mulńimea N* - Reprezentarea numerelor naturale ca şir, cu identificarea regulii sale de formare şi cu evidenńierea caracterului său infinit - ExerciŃii de identificare/recunoaştere a mulńimilor finite, respectiv infinite - Utilizarea, în contexte variate, a unor mulńimi infinite de numere naturale (mulńimea multiplilor unui număr natural - în particular, mulńimea numerelor pare; mulńimea numerelor impare; mulńimea termenilor unui şir care respectă o regulă dată) - Estimarea rezultatului unui calcul prin rotunjirea convenabilă a factorilor sau a termenilor - Caracterizarea împărńirii cu rest prin relańia dintre deîmpărńit, împărńitor, cât şi rest şi prin compararea restului cu împărńitorul; utilizarea acestei caracterizări ca probă a operańiei - ExerciŃii de verificare (folosind diferite reprezentări) a echivalenńei fracńiilor obńinute prin amplificare sau prin simplificare - Compararea lungimilor unor segmente exprimate în unităńi standard de măsură diferite - Compararea ariilor unor suprafeńe exprimate în unităńi de măsură standard diferite - Compararea maselor (unor corpuri fizice) exprimate în unităńi de măsură standard diferite - Compararea volumelor (unor corpuri fizice) exprimate în unităńi de măsură standard diferite - Formularea unei probleme pornind de la o ecuańie dată - Formularea unei probleme pornind de la un enunń parńial, discutând diferite variante de dezvoltare a formulării date - ExerciŃii de descriere şi identificare a unghiurilor, triunghiurilor şi patrulaterelor - ExerciŃii de desenare, cu ajutorul instrumentelor geometrice, a unghiurilor, triunghiurilor şi patrulaterelor - ActivităŃi care evidenńiază exprimarea, ca rezultat al unei măsurări, a lungimii segmentelor în unităńile standard (metrul cu multiplii şi submultiplii lui) sau unităńi nestandard - ActivităŃi care evidenńiază exprimarea, ca rezultat al unei măsurări, a ariei suprafeńelor în unităńile standard (metrul pătrat cu multiplii şi submultiplii lui) sau unităńi nestandard, pornind de la măsura (aria) pătratului de latură 1 - ExerciŃii de măsurare şi de estimare a timpului Pe parcursul clasei av-a, se recomandă următoarele activităńi - ExerciŃii de comparare a două numere naturale folosind simbolurile de egalitate şi de inegalitate: =,,, <, > Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 9

matematic prezentat în diferite forme 3.2 să prezinte clar, corect şi concis, oral sau în scris, metodele şi/sau operańiile utilizate în rezolvarea unei probleme - Utilizarea exprimărilor,,cuprinse între,,,cel mult egal,,,cel puńin egal în contexte variate - ExerciŃii de transcriere a unei situańii problemă în limbaj matematic înlocuind numerele necunoscute cu simboluri - Analiza textului unei probleme în vederea identificării operańiilor aritmetice utilizate în rezolvare - ExerciŃii de estimare a rezultatelor unor calcule - Rezolvarea unor probleme de numărare bazate pe scrierea, citirea, compararea şi ordonarea numerelor naturale - Redactarea rezolvării problemelor, cu argumentarea etapelor de rezolvare - Rezolvarea unor probleme cu text cu ajutorul ecuańiilor sau al inecuańiilor - Rezolvarea aritmetică a unor probleme care necesită determinarea unei fracńii (subunitare) dintr-un număr natural, cu rezultat număr natural - Rezolvarea de probleme care implică adunarea şi scăderea fracńiilor zecimale - Rezolvarea de probleme practice utilizând operańia de înmulńire a fracńiilor zecimale finite - Deretminarea unui procent dintr-o fracńie zecimală finită - Rezolvarea unor probleme în care apar procente - ExerciŃii de argumentare a demersului de rezolvare a unei probleme 3.3 să-şi asume diverse roluri de învăńare în cadrul unui grup - Formulare de probleme pentru colegi - Rezolvarea unor probleme propuse de colegi. 4. Dezvoltarea interesului şi a motivańiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate Obiective de referinńă La sfârşitul clasei a V-a, elevul Pe parcursul clasei a V-a, se recomandă următoarele activităńi: va fi capabil: 4.1 să-şi formeze obişnuinńa de a exprima printr-un enunń matematic anumite probleme practice 4.2 să manifeste perseverenńă în rezolvarea şi utilizarea unor metode variate în rezolvarea unei probleme; să participe cu idei noi la găsirea soluńiei - ExerciŃii de recunoaştere a unei reguli de formare a unor succesiuni de numere naturale şi completarea acestora cu termeni potrivińi - Rezolvări de probleme utilizând ecuańii sau inecuańii - Transpunerea informańiilor dintr-o problemă în limbajul matematic al ecuańiilor (obńinute prin înlocuirea cu simboluri a numerelor necunoscute) şi rezolvarea acestora, cu interpretarea rezultatului - Rezolvarea de probleme în care se utilizează media aritmetică - Determinarea ariei unei suprafeńe pătrate sau dreptunghiulare utilizând reńeaua de pătrate de latură 1 şi deducerea formulei de calcul - ExerciŃii de măsurare şi de estimare a ariilor unor suprafeńe plane din mediul înconjurător - Compararea capacitańii (unor vase) exprimate în unităńi de măsură standard diferite - Rezolvarea de probleme care necesită transformări monetare - Rezolvarea unor probleme utilizând operańiile de adunare sau de scădere a numerelor naturale - Utilizarea mai multor metode diferite în rezolvarea unei probleme Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 10

CLASA a V-a ConŃinuturi ale învăńării 1. Numere naturale Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numerańie zecimal; şirul numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale pe axă. Compararea, aproximarea şi ordonarea numerelor naturale; probleme de estimare Adunarea numerelor naturale; proprietăńi. Scăderea numerelor naturale ÎnmulŃirea numerelor naturale; proprietăńi. Factor comun. Ordinea efectuării operańiilor; utilizarea parantezelor: rotunde, pătrate şi acolade Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr natural; compararea puterilor care au aceeaşi bază sau acelaşi exponent ÎmpărŃirea, cu rest zero, a numerelor naturale când împărńitorul are mai mult de o cifră ÎmpărŃirea cu rest a numerelor naturale Ordinea efectuării operańiilor NoŃiunea de divizor; nońiunea de multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5 Media aritmetică a două numere naturale EcuaŃii şi inecuańii în mulńimea numerelor naturale Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuańiilor şi al inecuańiilor şi probleme de organizare a datelor 2. MulŃimi MulŃimi: descriere şi notańii; element, relańia dintre element şi mulńime (relańia de apartenenńă) RelaŃia între două mulńimi (relańia de incluziune); submulńime MulŃimile N şi N * OperaŃii cu mulńimi: intersecńie, reuniune, diferenńă Exemple de mulńimi finite; exemple de mulńimi infinite 3. Numere rańionale mai mari sau egale cu 0, + FracŃii ordinare FracŃii echiunitare, subunitare, supraunitare Aflarea unei fracńii dintr-un număr natural; procent FracŃii echivalente. Amplificarea şi simplificarea fracńiilor Reprezentarea pe axa numerelor a unei fracńii ordinare FracŃii zecimale Scrierea fracńiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de fracńii zecimale. Transformarea unei fracńii zecimale, cu un număr finit de zecimale nenule, într-o fracńie ordinară Aproximări la ordinul zecimilor/sutimilor. Compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axa numerelor a fracńiilor zecimale. Adunarea şi scăderea fracńiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule ÎnmulŃirea fracńiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule Ridicarea la putere cu exponent natural a unei fracńii zecimale care are un număr finit de zecimale nenule Ordinea efectuării operańiilor cu fracńii zecimale finite ÎmpărŃirea a două numere naturale cu rezultat fracńie zecimală. Transformarea unei fracńii ordinare într-o fracńie zecimală. Periodicitate ÎmpărŃirea unei fracńii zecimale finite la un număr natural nenul. ÎmpărŃirea unui număr natural la o fracńie zecimală finită. ÎmpărŃirea a două fracńii zecimale finite Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 11

Transformarea unei fracńii zecimale într-o fracńie ordinară. Ordinea efectuării operańiilor Media aritmetică a două fracńii zecimale finite EcuaŃii şi inecuańii; probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuańiilor 4. Elemente de geometrie şi unităńi de măsură Dreapta, segmentul de dreaptă, măsurarea unui segment de dreaptă Unghiul, triunghiul, patrulaterul, cercul: prezentare prin descriere şi desen; recunoaşterea elementelor lor: laturi, unghiuri, diagonale, centru şi raza cercului Simetria, axa de simetrie şi translańia: prezentare intuitivă, exemplificare în triunghi, cerc, patrulater Cubul, paralelipipedul dreptunghic: prezentare prin desen şi desfăşurare; recunoaşterea elementelor lor: vârfuri, muchii, feńe UnităŃi de măsură pentru lungime; perimetre; transformări UnităŃi de măsură pentru arie; aria pătratului şi a dreptunghiului; transformări UnităŃi de măsură pentru volum; volumul cubului şi al paralelipipedului dreptunghic; transformări UnităŃi de măsură pentru capacitate; transformări UnităŃi de măsură pentru masă; transformări UnităŃi de măsură pentru timp; transformări UnităŃi monetare; transformări Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 12

CLASA A VI-A OBIECTIVE DE REFERINłĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂłI DE ÎNVĂłARE 1. Cunoaşterea şi înńelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii Obiective de referinńă La sfârşitul clasei a VI-a Pe parcursul clasei a VI-a se recomandă următoarele activităńi: 1.1 să scrie, să citească, să - ExerciŃii de scriere şi de citire a unui număr rańional pozitiv compare şi să reprezinte pe (reprezentat printr-o fracńie ordinară sau printr-o fracńie zecimală) axa numerelor, numere - ExerciŃii de scriere a fracńiilor ordinare supraunitare prin scoaterea naturale, întregi şi rańionale întregilor din fracńie, evidenńiind partea întreagă şi partea fracńionară pozitive - ExerciŃii de introducere a întregilor în fracńie - ExerciŃii de comparare a unor numere rańionale pozitive reprezentate prin fracńii ordinare sau prin fracńii zecimale - ExerciŃii de scriere a inversului unui număr rańional pozitiv reprezentat printr-o fracńie ordinară sau printr-o fracńie zecimală - ExerciŃii de reprezentare a numerelor întregi pe axa numerelor - ExerciŃii de pozińionare pe axa numerelor a opusului unui număr întreg - ExerciŃii de utilizare a terminologiei adecvate pentru numere întregi (semn, opus, modul/valoare absolută) - Compararea numerelor întregi reprezentate pe axa numerelor - ExerciŃii de ordonare a numerelor întregi - ExerciŃii de comparare şi de ordonare a unor numere întregi deduse din situańii cotidiene - Utilizarea regulii de comparare a valorii absolute a numerelor întregi în efectuarea calculelor - ExerciŃii de comparare a puterilor numerelor întregi (cu exponent 1.2 să efectueze calcule cu numere naturale, întregi şi rańionale pozitive utilizând reguli de calcul şi proprietăńi ale operańiilor în contexte variate natural) - Efectuarea de înmulńiri şi de împărńiri cu numere naturale utilizând reguli de calcul cu puteri - ExerciŃii de utilizare a descompunerii numerelor naturale, scrise ca produse de puteri de numere prime, în efectuarea unor înmulńiri şi/sau împărńiri - ExerciŃii de scriere a mulńimii divizorilor unui număr natural cu ajutorul descompunerii în produse de puteri de numere prime - ExerciŃii de observare a proprietăńii c.m.m.d.c. (orice divizor comun este divizor al c.m.m.d.c.) - ExerciŃii de observare a proprietăńii c.m.m.m.c. (orice multiplu comun este multiplu al c.m.m.m.c.) - ExerciŃii de determinare a c.m.m.m.c. utilizând descompunerea numerelor naturale în produse de puteri de numere prime - ExerciŃii de adunare a numerelor rańionale pozitive reprezentate prin fracńii ordinare sau prinfracńii zecimale - ExerciŃii de utilizare în calcule a proprietăńilor adunării numerelor rańionale pozitive - ExerciŃii de scădere a numerelor rańionale pozitive reprezentate prin fracńii ordinare sau prin fracńii zecimale - Determinarea unui termen necunoscut dintr-o adunare sau scădere de numere rańionale pozitive utilizând proba operańiei - ExerciŃii de înmulńire a numerelor rańionale pozitive reprezentate prin fracńii ordinare şi/sau prin fracńii zecimale - Utilizarea în calcule a proprietăńilor înmulńirii numerelor rańionale pozitive - Determinarea unei fracńii dintr-un număr rańional pozitiv - ExerciŃii care evidenńiază convenńia de notare cu exponent pentru simplificarea scrierii unei înmulńiri de numere rańionale pozitive cu factori egali Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 13

1.3 să aproximeze numere rańionale pozitive, pentru a verifica validitatea unor calcule - ExerciŃii de ridicare a unui număr rańional pozitiv la o putere cu exponent natural (pentru numere reprezentate prin fracńii ordinare sau prin fracńii zecimale) - ExerciŃii de efectuare a împărńirii unui număr rańional pozitiv la un număr rańional pozitiv scrise sub formă de fracńii ordinare sau zecimale - ExerciŃii de recunoaştere şi de aplicare a proprietăńii de distributivitate a înmulńirii fańă de adunarea şi de scăderea numerelor rańionale pozitive; exersarea scoaterii factorului comun - ExerciŃii în care intervin operańii cu numere rańionale pozitive scrise sub diverse forme (fracńii ordinare, fracńii zecimale finite sau fracńii zecimale periodice), urmărind respectarea ordinii efectuării operańiilor şi utilizarea corectă a tuturor tipurilor de paranteze - ExerciŃii de calcul a mediei aritmetice ponderate - ExerciŃii de calcul a valorii raportului dintre două mărimi de acelaşi fel, măsurate cu aceeaşi unitate de măsură - ExerciŃii de determinare a p% dintr-un număr rańional mai mare sau egal cu 0; estimarea unor rezultate - Aplicarea proprietăńii fundamentale a proporńiei - ExerciŃii de determinare a unui termen necunoscut dintr-o proporńie dată - Utilizarea proprietăńii fundamentale a proporńiilor şi a comutativităńii înmulńirii pentru obńinerea unor proporńii derivate cu aceeaşi termeni - Verificarea proprietăńii fundamentale a proporńiilor în cazul proporńiilor derivate cu alńi termeni - ExerciŃii de determinare a valorii absolute a unui număr întreg - ExerciŃii de adunare a numerelor întregi (inclusiv eliminarea parantezelor) - ExerciŃii de evidenńiere a proprietăńilor adunării numerelor întregi în diferite contexte - ExerciŃii de scădere a numerelor întregi; exercińii de scriere a opusului unei sume de numere întregi - Determinarea unui termen necunoscut dintr-o adunare sau scădere utilizând proba operańiei - ExerciŃii de înmulńire a numerelor întregi utilizând regula semnelor - ExerciŃii de evidenńiere a avantajelor utilizării proprietăńilor înmulńirii numerelor întregi în calcule - Determinarea unor factori sau termeni necunoscuńi utilizând proba împărńirii - ExerciŃii de împărńire a numerelor întregi cu deîmpărńitul multiplu al împărńitorului utilizând regula semnelor - ExerciŃii de ridicare a unui număr întreg la o putere cu exponent număr natural; evidenńierea rolului parităńii exponentului în stabilirea semnului puterii unui număr întreg - ExerciŃii de aplicare a regulilor de calcul cu puteri ale unui număr întreg cu exponent număr natural - ExerciŃii de calcul cu numere întregi, urmărind respectarea ordinii efectuării operańiilor şi utilizarea tuturor tipurilor de paranteze - ExerciŃii de estimare a rezultatului, înainte de efectuarea calculelor, a unor operańii cu numere rańionale pozitive Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 14

1.4 să utilizeze elemente de logică, de teoria mulńimilor şi de divizibilitate, pentru a determina numere sau pentru a justifica valoarea de adevăr a unor enunńuri 1.5 să utilizeze ecuańii de tipul: x ± a = b ; x a = b ; x : a = b ( a 0) ; ax ± b = c, unde a,b şi c sunt numere rańionale mai mari sau egale cu 0 sau numere întregi care permit efectuarea operańiilor şi inecuańii de tipul: x + a b, x a b, x : a b, unde a şi b sunt numere rańionale pozitive sau întregi, care permit efectuarea calculelor, pentru a rezolva probleme 1.6 să recunoască, să descrie şi să numească figuri geometrice plane în configurańii geometrice simple - Utilizarea împărńirii ca modalitate de verificare a relańiei de divizibilitate pe perechi de numere naturale - Identificarea mulńimii divizorilor şi a mulńimii multiplilor unui număr natural prin utilizarea împărńirii exacte şi a înmulńirii - Identificarea numerelor naturale care se divid cu 2, 5, 10, 3 sau 9 utilizând criteriile de divizibilitate - ExerciŃii de aplicare a criteriilor de divizibilitate pentru determinarea cifrelor necunoscute ale unui număr natural divizibil cu 2, 5, 10, 3 sau 9 - ExerciŃii de determinare a c.m.m.d.c. a două sau mai multe numere naturale prin efectuarea intersecńiei între mulńimile divizorilor lor - ExerciŃii de determinare a c.m.m.d.c. utilizând descompunerea numerelor naturale în produse de puteri de numere prime - ExerciŃii de determinare a c.m.m.m.c. a două sau mai multe numere naturale prin efectuarea intersecńiei între mulńimile multiplilor lor - ExerciŃii de recunoaştere a celui mai mare sau a celui mai mic număr întreg dintr-o mulńime de numere întregi date - Utilizarea legăturii între împărńirea numerelor întregi când deîmpărńitul este multiplu al împărńitorului şi divizibilitatea numerelor întregi - Utilizarea relańiei dintre mulńimea divizorilor naturali şi mulńimea divizorilor întregi ai unui număr întreg - Utilizarea relańiei între înmulńire şi ridicare la putere - ExerciŃii de rezolvare a unor ecuańii de tipul: x ± a = b ; x a = b ; x : a = b ( a 0) ax ± b = c, unde a, b, c sunt numere rańionale pozitive care permit efectuarea operańiilor - ExerciŃii de rezolvare a unor ecuańii de tipul: x ± a = b ; x a = b (unde b este un multiplu al lui a); x : a = b ; ax ± b = c, unde a,b,c sunt numere întregi care permit efectuarea operańiilor - ExerciŃii de rezolvare a unor ecuańii de tipul x = a, unde a este număr întreg - ExerciŃii de rezolvare a unor inecuańii de tipul x + a b, x a b, x : a b, unde a şi b sunt numere rańionale pozitive sau întregi, care permit efectuarea calculelor, - Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuańiilor sau inecuańiilor; interpretarea rezultatelor obńinute în contextul problemei date - ExerciŃi de recunoaştere în desen a unghiului nul şi a unghiului alungit - Exemplificarea unghiurilor drepte pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora - ExerciŃii de identificare, de numire şi de desenare a unor unghiuri prezentate prin descriere, prin notańii sau prin imagine - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice (riglă şi compas) pentru construirea mediatoarei unui segment - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice (riglă şi echer) pentru construirea prin translańie a dreptelor paralele - ExerciŃii de transformare a gradelor sexagesimale în minute şi de transformare a minutelor în grade sexagesimale - DiferenŃa măsurilor a două unghiuri ale căror măsuri sunt exprimate în grade sexagesimale şi minute; exercińii de calcul a complementului şi a suplementului unui unghi - ExerciŃii de reprezentare prin desen a unor unghiuri adiacente; exemple şi contraexemple - ExerciŃii de identificare a unghiurilor adiacente dintr-o configurańie geometrică - ExerciŃii în care se aplică congruenńa unghiurilor opuse la vârf Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 15

1.7 să utilizeze proprietăńi simple ale figurilor geometrice în contexte uzuale sau matematice - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a triunghiurilor; utilizarea terminologiei: laturi, unghiuri, vârf opus unei laturi, latură opusă unui vârf - ExerciŃii de clasificare a triunghiurilor după anumite criterii date sau alese - ExerciŃii de desenare a înălńimilor unui triunghi (pentru fiecare tip de triunghi) şi constatarea concurenńei lor - ExerciŃii de stabilire a coliniarităńii unor puncte şi a concurenńei unor drepte - Utilizarea terminologiei specifice pentru triunghiul dreptunghic: catetă, ipotenuză - Demonstrarea proprietăńii punctelor de pe mediatoarea unui segment (sunt egal depărtate de capetele segmentului) - ExerciŃii de stabilire a coliniarităńii unor puncte şi a concurenńei unor drepte - Demonstrarea proprietăńii punctelor de pe bisectoarea unui unghi (sunt egal depărtate de laturile unghiului) - ExerciŃii de identificare a unghiurilor formate de două drepte cu o secantă - ExerciŃii de măsurare şi comparare a unghiurilor formate de două drepte paralele tăiate de o secantă - ExerciŃii de determinare a măsurilor unghiurilor formate de două drepte paralele tăiate de o secantă - Rezolvarea de probleme folosind criteriile de paralelism - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a unghiului exterior unui triunghi - ExerciŃii de reprezentare prin desen a mijlocului unui segment şi a medianelor într-un triunghi folosind instrumente geometrice - ExerciŃii de reprezentare prin desen a unor elemente ale unui triunghi isoscel/echilateral referitoare la unghiuri, la liniile importante şi la simetrii - ExerciŃii de reprezentare prin desen a unor elemente ale unui triunghi dreptunghic referitoare la unghiuri şi la linii importante - ExerciŃii de construcńie a unghiurilor congruente cu ajutorul raportorului - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a unghiurilor drepte, ascuńite sau obtuze în configurańii geometrice date - Suma măsurilor a două sau a mai multor unghiuri ale căror măsuri sunt exprimate în grade şi minute sexagesimale - ExerciŃii de desenare a unghiurilor opuse la vârf şi a unghiurilor formate în jurul unui punct prezentate prin descriere, prin notańii sau prin imagine - ExerciŃii de reprezentare prin desen a mijlocului unui segment, a mediatoarei unui segment şi a mediatoarelor laturilor unui triunghi - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a dreptelor paralele pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a punctelor, dreptelor, planelor, semiplanelor, semidreptelor, segmentelor - ExerciŃii de identificare a figurilor plane pe corpuri geometrice (vârfuri, muchii, feńe etc.) sau pe desfăşurări ale acestora - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a dreptelor concurente sau paralele - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru trasarea a două drepte paralele (riglă, echer) - ExerciŃii de identificare a dreptelor concurente sau paralele pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora - ExerciŃii de stabilire a coliniarităńii unor puncte pe baza lungimilor segmentelor determinate de acestea Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 16

1.8 să înregistreze, să prelucreze şi să prezinte date sub formă de tabele şi diagrame statistice; să calculeze probabilitatea unor evenimente aleatoare egal probabile 1.9 să înregistreze, să prelucreze şi să prezinte date sub formă de tabele şi diagrame statistice; să calculeze probabilitatea unor evenimente aleatoare egal probabile - ExerciŃii de verificare că două unghiuri sunt suplementare; exercińii de verificare că două unghiuri sunt complementare - ExerciŃii de stabilire a coliniarităńii unor puncte pe baza proprietăńii unghiurilor opuse la vârf - Probleme în care se foloseşte suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct - Verificarea intuitivă a congruenńei unor triunghiuri prin suprapuneri sau folosind translańii, rotańii şi simetrii (fără a se defini translańia, rotańia sau simetria) - Verificarea intuitivă a congruenńei triunghiurilor dreptunghice prin suprapuneri sau folosind translańii, rotańii sau simetrii (fără a se defini translańia, rotańia sau simetria) - Rezolvarea de probleme folosind metoda triunghiurilor dreptunghice congruente şi redactarea rezolvării problemei date - ExerciŃii de stabilire a elementelor respectiv congruente în cazul a două triunghi congruente (se va menńiona corespondenńa dintre cazurile de construcńie a triunghiurilor şi cazurile de congruenńă a acestora) - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a dreptelor perpendiculare, a oblicelor în configurańii geometrice - Demonstrarea proprietăńii punctelor egal depărtate de capetele unui segment (se află pe mediatoarea segmentului) şi justificarea concurenńei mediatoarelor laturilor unui triunghi - Demonstrarea proprietăńii punctelor egal depărtate de laturile unui unghi (se află pe bisectoarea unghiului) şi justificarea concurenńei bisectoarelor unghiurilor unui triunghi - ExerciŃii de determinare a măsurilor unghiurilor unui triunghi în condińii date - ExerciŃii de verificare prin desen a concurenńei medianelor într-un triunghi - Folosirea proprietăńilor de simetrie ale unui triunghi echilateral în rezolvarea de probleme - ExerciŃii de localizare a centrului unui triunghi echilateral utilizând liniile importante din triunghi - ExerciŃii de colectare a unor date şi înregistrarea lor - ExerciŃii de reprezentare a datelor în grafice prin tabele sau diagrame statistice simple - Exemple de interpretare a unor grafice date prin tabele sau diagrame statistice simple reprezentând situańii practice - Clasificarea unor obiecte după anumite criterii, date sau alese - Reprezentarea datelor prin grafice cu bare şi grafice circulare - Studiul unor evenimente aleatoare (într-un câmp finit de evenimente elementare egal probabile): realizarea unui experiment, înregistrarea şi interpretarea datelor, calculul frecvenńei, calculul probabilităńii de realizare utilizând raportul: nr.cazuri favorabile/nr. cazuri posibile. 2. Dezvoltarea capacităńii de explorare/investigare şi de rezolvare de probleme Obiective de referinńă La sfârşitul clasei a VI-a Pe parcursul clasei a VI-a se recomandă următoarele activităńi: 2.1 să exploreze modalităńi de compunere, de descompunere sau de scriere a numerelor naturale, întregi şi rańionale, folosind metode variate de lucru - ExerciŃii de scriere a mulńimii divizorilor şi mulńimii multiplilor unui număr natural - Identificarea numerelor prime prin scrierea mulńimii divizorilor - ExerciŃii de sortare a numerelor naturale în numere prime şi numere compuse utilizând diferite metode; cazul special al numerelor 0 şi 1 - ExerciŃii care să evidenńieze faptul că 2 este unicul număr prim par Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 17

2.2 să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmańii utilizând metode diferite, inclusiv prin construirea unor exemple sau contraexemple - ExerciŃii de utilizare a nońiunii de paritate în exercińii cu numere prime - ExerciŃii de scriere a unui număr natural ca produs de puteri de numere prime utilizând criteriile de divizibilitate şi împărńirea - ExerciŃii de aplicare a proprietăńilor operańiilor cu puteri (înmulńirea, împărńirea şi ridicarea la putere a numerelor naturale scrise ca puteri de numere prime) - ExerciŃii de recunoaştere a numerelor prime între ele prin diferite procedee, în contexte variate - ExerciŃii de verificare (folosind diferite reprezentări) a echivalenńei fracńiilor obńinute prin amplificare sau simplificare - ExerciŃii de determinare a fracńiei ireductibile echivalente cu o fracńie ordinară dată utilizând c.m.m.d.c. al numărătorului şi al numitorului - ExerciŃii de transformare a fracńiilor zecimale finite în fracńii ordinare - ExerciŃii de transformare a fracńiilor zecimale periodice în fracńii ordinare - ExerciŃii de identificare a fracńiilor echivalente cu o fracńie dată - ExerciŃii de aducere a fracńiilor la acelaşi numitor (determinarea numitorului comun prin observare sau prin determinarea c.m.m.m.c.) - ExerciŃii de transformare a unui raport oarecare într-un raport procentual prin diferite procedee - Exemple de rapoarte egale şi alcătuirea de proporńii utilizând amplificarea sau simplificarea fracńiilor - ExerciŃii de scriere a unui număr întreg ca sumă de două sau mai multe numere întregi - ExerciŃii de scriere a unui număr întreg ca produs de două sau mai multe numere întregi; evidenńierea faptului că un număr întreg se scrie ca produs de două numere întregi într-un număr finit de moduri - ExerciŃii de scriere a multiplilor unui număr întreg - ExerciŃii de scriere a mulńimii divizorilor întregi ai unui număr întreg - ExerciŃii de scriere a puterilor numerelor naturale în forme echivalente (aceeaşi bază şi exponenńi diferińi sau acelaşi exponent şi baze diferite) - Justificare a divizibilităńii unui număr natural cu 2, 5, 10, 3 sau 9 pe baza criteriilor de divizibilitate - Clasificarea numerelor naturale în numere pare şi numere impare folosind criteriul de divizibilitate cu 2 - Determinarea unor numere naturale care verifică anumite condińii prin aplicarea criteriilor de divizibilitate - Utilizarea unor exemple semnificative pentru deducerea unor proprietăńii ale relańiei de divizibilitate - ExerciŃii de verificare a corectitudinii unor calcule folosind: ultima cifră, criterii de divizibilitate etc. - Identificarea unor numere naturale care verifică condińii date (ultima cifră, criterii de divizibilitate etc.) ( a, b) a, b = a b, unde a, b - Verificarea prin exemple a proprietăńii [ ] sunt numere naturale şi observarea modalităńii de calcul a c.m.m.m.c. pentru numere prime între ele şi utilizarea acesteia pentru determinarea unor numere în condińii date - ExerciŃii de recunoaştere a semnificańiei unor ponderi diferite în calculul mediei ponderate - Utilizarea proprietăńii fundamentale a unei proporńii pentru a construi rapoarte egale - Exersarea regulilor de generare a unor proporńii derivate cu alńi termeni - Identificarea rezultatului plauzibil dintr-o listă de răspunsuri posibile - ExerciŃii de pozińionare a unor paranteze sau a unor operańii pentru Matematica Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 18