Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω η κυκλική συχνότητα με την οποία μεταβάλλεται η χρονική τιμή της τάσης ( ω = π f ) ϕ η αρχική φάση (που αντιστοιχεί στη χρονική τιμή της τάσης τη στιγμή που αρχίζουμε να μελετάμε το κύκλωμα) ημιουργείται το πρόβλημα του ποιο ακριβώς μέγεθος πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να χαρακτηρίσουμε την τάση. Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Μια προφανής απάντηση είναι το πλάτος. Το πλάτος όμως είναι απλά η μέγιστη τιμή της κυματομορφής της τάσης, οπότε υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες μπορεί να μας οδηγήσει σε εσφαλμένα συμπεράσματα. Το πρόβλημα αυτό το αντιμετωπίζουμε γενικά στα περιοδικά μεγέθη. Στην περίπτωση ενός τέτοιου μεγέθους ορίζουμε λοιπόν: Μέση τιμή 1 vt () = vt () dt Τ Τ Η μέση τιμή εκφράζει τη συνεχή χρονικά αμετάβλητη συνιστώσα. Στην περίπτωση όμως της ημιτονοειδούς τάσης, η τιμή της είναι μηδέν, οπότε δε μας βοηθάει 1

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Ενεργή τιμή: Τ 1 vrms = v () t dt Τ Η ενεργή τιμή εκφράζει την ισχύ που μπορεί να μεταφερθεί με μια συγκεκριμένη κυματομορφή τάσης. Για μια τάση της μορφής που εμφανίζεται στην πρώτη διαφάνεια, η ενεργή τιμή θα είναι: v V =,77 V rms Τα όργανα μέτρησης που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε τάσεις, ρεύματα κλπ. είναι φτιαγμένα κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να μετρούν ενεργές (rms) τιμές. Απόκριση κυκλώματος Σε ένα οποιοδήποτε κύκλωμα μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά του σε μια δεδομένη διέγερση: απόκριση κυκλώματος Στην πράξη, απόκριση ενός συγκεκριμένου κυκλώματος ονομάζουμε το ρεύμα του όταν του επιβληθεί μία δεδομένη τάση. Έστω π.χ. το παρακάτω -L κύκλωμα: v ( t) i( t) v ( t) vl t L όπου: = ( ω ) v t V cos t

Απόκριση κυκλώματος Εφαρμόζοντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στο κύκλωμα θα έχουμε: di t v () t = v() t vl() t V cos( ω t) = i() t L dt Η παραπάνω εξίσωση είναι μία γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Η λύση της θα έχει τη μορφή: όπου: t L () = cos( ϕ ) cos( ω ϕ) i t I e I t m m I m = V Lω 1, 1 Lω ϕ =tan Απόκριση κυκλώματος Όπως φαίνεται στην προηγούμενη διαφάνεια, η λύση που προκύπτει είναι το άθροισμα δύο όρων, όπου: Ο πρώτος όρος εκφράζει τη μεταβατική κατάσταση, και μετά από χρόνο 4-5 τ (τ = L/) γίνεται αμελητέος στην πράξη Ο δεύτερος όρος εκφράζει τη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας του κυκλώματος. Σε πιο πολύπλοκα και μεγάλα κυκλώματα προκύπτουν σύνθετες ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις, η επίλυση των οποίων είναι δύσκολη. Χρειαζόμαστε λοιπόν ένα εργαλείο που να μας βοηθάει να υπολογίζουμε την απόκριση ενός κυκλώματος με πιο εύκολο τρόπο: 3

Για να επιλύσουμε ένα οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα, πρέπει πρώτα να το περιγράψουμε σωστά με βάση κάποιους κανόνες. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις (όπως είναι αυτή που εξετάζουμε), στις οποίες οδηγούμαστε σε πολύπλοκες και δύσκολες στην επίλυσή τους μαθηματικές σχέσεις. Ο μετασχηματισμός είναι μια διαδικασία, με την οποία μπορούμε να περιγράψουμε το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας ένα διαφορετικό σύστημα κανόνων, έτσι ώστε να μας προκύψουν πιο εύκολες μαθηματικές σχέσεις. Ο μετασχηματισμός στο πεδίο της συχνότητας βασίζεται στην παρατήρηση ενός ημιτονοειδούς σήματος, όπως είναι π.χ. η τάση: = ( ω ϕ ) vt V cos t Η τάση λοιπόν μπορεί να χαρακτηριστεί πλήρως χρησιμοποιώντας τις εξής παραμέτρους: Την ενεργή τιμή V rms Τη συχνότητα f Την αρχική φάση ϕ Ο χρόνος (που αποτελεί και το μεγαλύτερο πρόβλημα στις δύσκολες μαθηματικές σχέσεις που προκύπτουν) δε μας ενδιαφέρει στην κατάσταση ισορροπίας ενός κυκλώματος. Γνωρίζουμε ήδη ότι οι τάσεις και τα ρεύματα ενός κυκλώματος είναι ημιτονοειδή, ενώ δε μας ενδιαφέρει στην πράξη το ακριβές σημείο στην καμπύλη του ημιτόνου στο οποίο βρισκόμαστε. Αγνοώντας λοιπόν το χρόνο, σκοπός μας είναι να δημιουργήσουμε ένα σύστημα το οποίο να μας προσφέρει τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε για τα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν (την ενεργή τιμή, τη συχνότητα, και την αρχική φάση) 4

Για σταθερή συχνότητα μπορούμε να απεικονίσουμε την τάση του παραδείγματός μας σε ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων: V rms ϕ Η παράσταση αυτή μπορεί να καλύψει μία συχνότητα κάθε φορά. Για αυτή τη συχνότητα όμως μπορούμε να αναπαραστήσουμε όσα διαφορετικά μεγέθη θέλουμε. Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε το μετασχηματισμό: cos( ω ϕ ) vt = V t V = Vrms ϕ rms Αυτός είναι ένας αμφίδρομος μετασχηματισμός, δηλαδή ξεκινώντας από οποιαδήποτε από τις δύο εκφράσεις, μπορούμε να πάρουμε τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε για να δημιουργήσουμε την άλλη. 5

Μετασχηματισμός κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας Νόμοι Kirchhoff: Ισχύουν και στο πεδίο της συχνότητας, αρκεί η συχνότητα f να είναι η ίδια για όλα τα εμπλεκόμενα μεγέθη. Μετασχηματισμός ηλεκτρικών στοιχείων: Ωμική αντίσταση: Αυτεπαγωγή: Χωρητικότητα: π L Lω = jlω C 1 π 1 = Cω j Cω v Μετασχηματισμός κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας Παράδειγμα ανάλυσης -L κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: ( t) i( t) v () t vl t () L V I V V L jωl = cos( ω ) V ( t) Vrms v t V t rms = 6

Μετασχηματισμός κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας Από το νόμο των τάσεων του Kirchhoff θα έχουμε: όπου ( ω ) V = V VL Vrms = I jωl I = j L I = Z I Z Z = Z ϕ η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος Το ρεύμα του κυκλώματος θα είναι ίσο με το λόγο τάσης προς συνολική σύνθετη αντίσταση, οπότε θα είναι: I V V V L ω Z ϕ Z rms rms rms 1 = = ϕ I = tan ( Lω ) Γενικές Μέθοδοι Ανάλυσης Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Η μέθοδος των απλών βρόχων Η μέθοδος αυτή ισχύει σε κυκλώματα που έχουν ΜΟΝΟ πηγές τάσης Έστω το κύκλωμα: i 1 i v i 3 4 v1 v 3 v 5 3 i 4 v 4 i 5 Το ζητούμενο είναι οι τάσεις και τα ρεύματα σε όλους τους κλάδους του κυκλώματος. 7

Μέθοδος των απλών βρόχων 1) Θεωρούμε ένα ρεύμα j i για κάθε βρόχο I i 1 4 i i 4 v i 3 v1 v 3 v 5 3 j 1 j v 4 i 5 ) Εφαρμόζουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff : v v v = j j j = v 1 3 1 1 3 1 v v v = j j j =v 3 4 5 1 3 4 5 Μέθοδος των απλών βρόχων Με αναγωγή όμοιων όρων θα έχουμε: j j = v 3 1 3 1 j j =v 3 1 3 4 5 j v = 3 3 1 1 3 3 4 j v A i X = B Έχουμε λοιπόν ένα σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους. Λύνοντας το σύστημα αυτό θα έχουμε το ζητούμενο, δηλαδή όλα τα ρεύματα (και κατ επέκταση όλες τις τάσεις) των κλάδων του κυκλώματος. 8

Μέθοδος των απλών βρόχων Παρατηρήσεις: 1. Ο πίνακας Α των αντιστάσεων είναι ένας συμμετρικός πίνακας.. Κάθε σειρά/στήλη στήλη του Α αντιστοιχεί σε έναν από τους απλούς βρόχους του κυκλώματος (το ίδιο και κάθε γραμμή των Χ, Β). 3. Κάθε διαγώνιο στοιχείο του Α είναι ίσο με το άθροισμα των αντιστάσεων του αντίστοιχου απλού βρόχου 4. Κάθε μη διαγώνιο στοιχείο του Α είναι ίσο με το αρνητικό άθροισμα των αντιστάσεων που είναι κοινές στους απλούς βρόχους που αντιστοιχούν στους δείκτες του στοιχείου. 5. Ο πίνακας Χ αντιστοιχεί στους αγνώστους μας. 6. Κάθε στοιχείο του πίνακα Β είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των πηγών του αντίστοιχου απλού βρόχου, ενώ το πρόσημο κάθε πηγής εισάγεται ανάλογα με την πολικότητά της σε σχέση με την αυθαίρετη φορά ρεύματος που επιλέξαμε για το βρόχο. 9