ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 2015 16 Ιουνίου 2015 Διάρκεια εξέτασης: 2,5 ώρες Απαντήστε στα θέματα Θ1 ως Θ4, και σε ένα εκ των Θ5 και Θ6. Θέμα 1. (16 μονάδες) Μία τράπεζα σκέφτεται να επενδύσει ένα ποσό 50 χιλιάδων ευρώ που έχει διαθέσιμο αυτή τη στιγμή. Μία επιλογή αποτελεί η αίτηση ενός πελάτη για τη χορήγηση δανείου από την τράπεζα με αυτό το ποσό, για 1 χρόνο με σταθερό επιτόκιο 25%. Σε περίπτωση μη χορήγησης του δανείου, η τράπεζα έχει αποφασίσει ότι θα τοποθετήσει τα χρήματα αυτά σε Γερμανικά κρατικά ομόλογα για το ίδιο διάστημα με σταθερό επιτόκιο 15% (και κάνουμε την υπόθεση ότι η Γερμανία δεν θα χρεοκοπήσει εντός του επόμενου έτους). Ο Προϊστάμενος Χορηγήσεων Δανείων κάνει πρώτα μια πρόχειρη έρευνα της φερεγγυότητας του πελάτη και εκτιμά ότι η πιθανότητα πλήρους αποπληρωμής του δανείου είναι 0.96. Επιπλέον ο Προϊστάμενος έχει τη δυνατότητα να ζητήσει μια πλήρη έκθεση φερεγγυότητας του πελάτη της οποίας όμως το κόστος είναι 1000 ευρώ, καθώς απαιτεί πρόσβαση σε περισσότερα δεδομένα. Το αποτέλεσμα της έκθεσης είναι είτε θετικό (Θ) ως προς την αποπληρωμή του δανείου είτε αρνητικό (Α), και οι προβλέψεις της έκθεσης επαληθεύονται με πιθανότητα 90%. Αυτό σημαίνει ότι αν ο πελάτης είναι φερέγγυος, τότε η πιθανότητα το αποτέλεσμα της έκθεσης να είναι Θ είναι 0.9, ενώ αντίστοιχα η πιθανότητα το αποτέλεσμα να ειναι Α είναι 0.1 και ομοίως για την περίπτωση που ο πελάτης δεν είναι φερέγγυος. Θεωρούμε ότι μη αποπληρωμή του δανείου σημαίνει ότι η τράπεζα δεν θα εισπράξει τίποτα από τον πελάτη στη διάρκεια του ενός χρόνου. 1. Να κατασκευαστεί το δέντρο απόφασης και να προσδιοριστεί η στρατηγική του Προϊσταμένου αν γνωρίζουμε ότι θα ακολουθήσει το κριτήριο της μεγιστοποίησης του αναμενόμενου χρηματικού ποσού που θα έχει η τράπεζα στο τέλος του χρόνου. Να ενημερωθεί το δέντρο απόφασης κατάλληλα. 2. Ποια είναι η αξία της τέλειας πληροφόρησης? Θέμα 2. (12 μονάδες) (i) (6 μονάδες) Βρείτε τον συντελεστή αποφυγής κινδύνου τ(x) για τις παρακάτω συναρτήσεις. Θεωρήστε ως πεδίο ορισμού το [0, ), δεν μας ενδιαφέρει δηλαδή τι συμβαίνει για αρνητικές τιμές του x. 1. u 1 (x) = ln(2x + 5) 2. u 2 (x) = 8 + 5x 1
3. u 3 (x) = x + 5 4. u 4 (x) = x 3 + 3x Μπορείτε να συγκρίνετε τις 4 αυτές συναρτήσεις και να τις ταξινομήσετε από αυτήν που εκφράζει την πιο ριψοκίνδυνη συμπεριφορά σε αυτή με την πιο συντηρητική; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (ii) (6 μονάδες) Έχετε στην κατοχή σας 100 ευρώ σε μετρητά και ένα λαχνό για μια κλήρωση που πρόκειται να γίνει (δεν ξοδέψατε χρήματα για τον λαχνό, σας προσφέρθηκε δωρεάν). Ο λαχνός κερδίζει 300 ευρώ με πιθανότητα 0.05, ενώ σε διαφορετική περίπτωση δεν κερδίζει τίποτα. Κάποιος σας προσφέρει να αγοράσει το λαχνό σας για 21 ευρώ. Τι θα αποφασίσετε αν η συνάρτηση χρησιμότητάς σας είναι η u(x) = x; Θέμα 3. (17 μονάδες) Στις παρακάτω ερωτήσεις δικαιολογήστε την απάντησή σας. (i) (5 μονάδες) Έστω ένα 2 2 παίγνιο, όπου για τον παίκτη 1, η πρώτη γραμμή κυριαρχεί ασθενώς την δεύτερη, και για τον παίκτη 2, η πρώτη στήλη κυριαρχεί ασθενώς την δεύτερη. Μπορεί ένα τέτοιο παίγνιο να έχει σημείο ισορροπίας με μεικτές στρατηγικές; Αν όχι, εξηγήστε γιατί, αν ναι, δείξτε ένα παράδειγμα όπου ισχύει αυτό. (ii) (5 μονάδες) Φτιάξτε ένα 3 3 παίγνιο με τις εξής 3 ιδιότητες: α) υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές όπου το κοινωνικό όφελος είναι 0, β) το βέλτιστο κοινωνικό όφελος είναι 25 αλλά δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές όπου να επιτυγχάνεται τέτοιο όφελος, και γ) υπάρχει και ένα δεύτερο σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές, με κοινωνικό όφελος 21. Το παίγνιο μπορεί να έχει κι άλλα σημεία ισορροπίας, δεν υπάρχει περιορισμός σε αυτό αρκεί να τηρούνται οι 3 παραπάνω ιδιότητες. (iii) (7 μονάδες) Έστω ότι ένας δημοπράτης τρέχει τον μηχανισμό VCG, με 5 διαθέσιμα αγαθά και 3 παίκτες. Υποθέτουμε ότι οι παίκτες διαθέτουν προσθετικές συναρτήσεις ωφέλειας και ότι η ωφέλεια των παικτών για κάθε αγαθό δίνεται από τον παρακάτω πίνακα V (όπου v ij είναι η ωφέλεια του παίκτη i για το αγαθό j): V = 30 41 11 30 18 35 10 10 25 15 20 20 50 5 20 Οι κανόνες της δημοπρασίας είναι ότι κάθε προσφορά για κάθε αγαθό πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός και ότι σε περίπτωση ισοβαθμίας κερδίζει ο παίκτης με τον χαμηλότερο δείκτη. Δείξτε ποια θα είναι η ανάθεση των αγαθών και οι πληρωμές των παικτών αν όλοι οι παίκτες δηλώσουν τις πραγματικές τους ωφέλειες σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα. Ποια τα έσοδα του δημοπράτη; Έστω τώρα ότι οι παίκτες 1 και 2, κάνουν μια συμμαχία, με σκοπό να μειώσουν τις πληρωμές τους για τα αγαθά που κερδίζουν, χωρίς όμως να αλλάξει η τωρινή ανάθεση των αγαθών. Αν υποθέσουμε ότι ο παίκτης 3 συνεχίζει να δηλώνει τις πραγματικές του ωφέλειες, ποια είναι η μέγιστη μείωση στα έσοδα του δημοπράτη που μπορούν να πετύχουν οι παίκτες 1 και 2 για τα αγαθά που παίρνουν, και τι προσφορές πρέπει να δηλώσουν για να το πετύχουν αυτό; (Υπάρχουν αρκετοί διαφορετικοί τρόποι για την επίτευξη του στόχου τους.) 2
Θέμα 4. (22 μονάδες) (i) (14 μονάδες) Βρείτε όλα τα σημεία ισορροπίας με αμιγείς και με μεικτές στρατηγικές στο παρακάτω παίγνιο. Ποιο είναι το κοινωνικό όφελος σε κάθε σημείο ισορροπίας (σε περίπτωση μεικτών στρατηγικών μας ενδιαφέρει το μέσο κοινωνικό όφελος που παράγεται); Υπάρχει κάποιο από τα σημεία ισορροπίας που θα θεωρούσατε προτιμότερο από τα υπόλοιπα; [ 0, 0 6, 1 4, 2 1, 4 3, 3 2, 1 (ii) (8 μονάδες) Μετά από σκληρές διαπραγματεύσεις, η συμφωνία με τους δανειστές μας είναι πλέον πολύ κοντά. Απομένει μια τελευταία συνάντηση μεταξύ του κ. Βαρουφάκη και της κας Λαγκάρντ, καθώς υπάρχει ένα ακόμα αγκάθι στις διαπραγματεύσεις, και αφορά τις οφειλές μας προς το ΔΝΤ. Έστω ότι οι οφειλές μας μες στους επόμενους μήνες προς το ΔΝΤ είναι W (σε δις ευρώ). Η ελληνική πλευρά έχει θέσει το ζήτημα της ολικής διαγραφής των οφειλών, προκαλώντας αντιδράσεις από το ΔΝΤ. Στη συνάντηση πρέπει απαραίτητα να παρθεί μια απόφαση καθώς δεν υπάρχουν άλλα χρονικά περιθώρια. Ας υποθέσουμε ότι καθένας από τους 2 παίκτες έχει τις εξής 2 επιλογές: είτε να είναι συμβιβαστικός (Σ) και πρόθυμος για μια σημαντική υποχώρηση, είτε να κρατήσει σχετικά αδιάλλακτη στάση (Α) και να δεχτεί μόνο κάποια πιο μικρή υποχώρηση. Για να ορίσουμε το παίγνιο, έστω ότι η κα Λαγκάρντ είναι ο παίκτης 1, και ο κ. Βαρουφάκης ο παίκτης 2. Παρακάτω παραθέτουμε τα πιθανά σενάρια. Αν με τις επιλογές των 2 παικτών, το προφίλ στρατηγικών που καταλήγουμε είναι το 1. (Σ, Σ): Τότε οι 2 πλευρές συμβιβάζονται, το ΔΝΤ δέχεται να πληρώσουμε μονο W /2 και να διαγραφεί η υπόλοιπη οφειλή. 2. (Σ, A): Η ελληνική πλευρά καταφέρνει να διαγραφεί το 75% της οφειλής και πληρώνει μόνο W /4 στο ΔΝΤ. 3. (A, Σ): Το ΔΝΤ δεν υποχωρεί πολύ, η Ελλάδα εμφανίζεται πιο πρόθυμη να κάνει πίσω, και τελικά πρέπει να πληρώσουμε 3W /4. Διαγράφεται η υπόλοιπη οφειλή. 4. (A, A): Η παιγνιο-θεωρητική ανάλυση του κ. Βαρουφάκη δεν πείθει την κα Λαγκάρντ. Η συζήτηση καταλήγει σε αδιέξοδο, και η Ελλάδα έρχεται σε ρήξη με τους δανειστές. Διαγράφουμε το χρέος και δεν πληρώνουμε τίποτα προς το ΔΝΤ. Όμως επειδή χρειαζόμαστε άμεσα οικονομική βοήθεια, αναγκαζόμαστε να δανειστούμε από την Κίνα, ένα ποσό 0.9W, το οποίο θα πρέπει να αποπληρώσουμε στο εγγύς μέλλον. Χρησιμότητες: Θεωρήστε ως χρησιμότητα για την κα Λαγκάρντ το ποσό που δεχόμαστε να πληρώσουμε στο ΔΝΤ. Ως χρησιμότητα για τον κ. Βαρουφάκη, θεωρήστε το ποσό που τελικά αποφεύγουμε να πληρώσουμε ως κράτος, από την αρχική οφειλή W που έχουμε. Π.χ. στο προφίλ (Σ, Σ) η χρησιμότητα και των 2 παικτών είναι W /2. Μοντελοποιήστε το παραπάνω σενάριο ως ένα 2 2 παίγνιο. Βρείτε τα σημεία ισορροπίας με αμιγείς και με μεικτές στρατηγικές. Βρείτε επίσης το κοινωνικό όφελος σε κάθε σημείο, όπως και στο ερώτημα (i). 3 ]
Θέμα 5. (13 μονάδες) Θεωρήστε το εξής παίγνιο που αναφέρεται συνήθως ως δημοπρασία all-pay : Υπάρχουν 2 παίκτες, και μία ποσότητα ενός αγαθού προς πώληση που και για τους 2 έχει την ίδια αξία, ας πούμε K > 0. Οι 2 παίκτες υποβάλλουν ενσφράγιστες προσφορές για τη συνολική ποσότητα, οι οποίες μπορεί να είναι πραγματικοί αριθμοί στο διάστημα [0, K]. Νικητής στη δημοπρασία είναι ο παίκτης που δηλώνει τη μεγαλύτερη προσφορά. Οι διαφορές με τις δημοπρασίες που είδαμε στο μάθημα είναι ότι α) σε περίπτωση ίσων προσφορών, οι 2 παίκτες παίρνουν τη μισή ποσότητα του αγαθού ο καθένας, η οποία έχει αξία K/2, β) ανεξάρτητα με το ποιος κερδίζει, και οι 2 παίκτες πληρώνουν αυτό που δήλωσαν. Τέτοια παίγνια μοντελοποιούν ορισμένες καταστάσεις ανταγωνισμού ή διαγωνισμού για την ανάπτυξη ενός νέου προϊόντος. Περιπτώσεις π.χ. όπου και οι 2 εταιρείες πληρώνουν κάποιο κόστος για την επένδυση και την ανάπτυξη ενός προϊόντος αλλά όπου μόνο η μία από αυτές υπερισχύει στην αγορά μπορούν να μοντελοποιηθούν ως ένα τέτοιο παίγνιο. (i) (6 μονάδες) Να εκφράσετε μαθηματικά τις συναρτήσεις χρησιμότητας των 2 παικτών, u 1 (b 1, b 2 ), και u 2 (b 1, b 2 ), αντίστοιχα, όπου u 1 (b 1, b 2 ) είναι η χρησιμότητα του παίκτη 1, όταν ο ίδιος δηλώνει b 1 και ο παίκτης 2 δηλώνει b 2 (και ομοίως ορίζεται και το u 2 (b 1, b 2 )). (ii) (7 μονάδες) Δείξτε ότι το παίγνιο αυτό δεν μπορεί να έχει σημεία ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές. Θέμα 6. (13 μονάδες) Δύο αδέλφια κληρονομούν τρία διαμερίσματα. Η διαθήκη γράφει μόνο ότι ο μεγάλος αδελφός θα πρέπει να πάρει τα δύο από τα τρία διαμερίσματα, χωρίς να προσδιορίζει ποια, και ότι θα πρέπει να συμφωνήσουν τα δυο αδέλφια μεταξύ τους για το πώς θα τα μοιραστούν. Προκειμένου να αποφευχθούν δικαστικές διαμάχες, τα δύο αδέλφια αποφασίζουν τελικά να χρησιμοποιήσουν το εξής πρωτόκολλο για να αποφασίσουν: Στον πρώτο γύρο, θα διαλέξει ένα από τα τρία διαμερίσματα ο μεγάλος αδελφός (παίκτης 1). Το διαμέρισμα αυτό πάει στην κατοχή του. Στον δεύτερο γύρο, ο μικρός αδελφός (παίκτης 2) θα διαλέξει ένα από τα υπόλοιπα δύο, το οποίο και θα έρθει στην κατοχή του. Και τέλος το διαμέρισμα που θα έχει απομείνει, θα το αποκτήσει ο μεγάλος αδελφός. Παρατήρηση: Μια γενίκευση αυτού του round-robin αλγορίθμου με πολλά αδέλφια και διαμερίσματα χρησιμοποιείται για την επιλογή νέων παικτών στο NBA draft, καθώς και σε άλλες αθλητικές ομοσπονδίες (όπου τα διαμερίσματα αντιστοιχούν σε νέους παίκτες που έρχονται στο ΝΒΑ, και τα αδέλφια σε ομάδες του NBA). (i) (3 μονάδες) Σχεδιάστε το δέντρο που απεικονίζει το παίγνιο. Για τις χρησιμότητες των 2 παικτών, ας ονομάσουμε τα διαμερίσματα ως Α, Β, Γ. Οι προτιμήσεις του μεγάλου αδελφού είναι ότι πρωτίστως θα ήθελε το Α, ως δεύτερη προτίμηση έχει το Β, και μετά το Γ. Η αξία που έχει για αυτόν το κάθε διαμέρισμα είναι η διπλάσια από την αξία για το προηγούμενο στη σειρά προτίμησης. Έτσι, η ωφέλειά του (π.χ. σε εκατοντάδες χιλ. ευρώ) είναι: v 1 (A) = 4, v 1 (B) = 2, και v 1 (Γ) = 1. Θεωρούμε επίσης ότι η αξία του παίκτη 1 αν αποκτήσει 2 διαμερίσματα είναι το άθροισμα των 2 αξιών (έχει προσθετική συνάρτηση ωφέλειας). Για τον παίκτη 2 τώρα, οι προτιμήσεις είναι διαφορετικές: θα ήθελε πρωτίστως το Β, μετά το Γ, και τελευταίο το Α. Η συνάρτηση ωφέλειας του ικανοποιεί: v 2 (B) = 4, v 2 (Γ) = 2, και v 2 (A) = 1. 4
(ii) (5 μονάδες) Βρείτε το ή τα υποπαιγνιακά τέλεια σημεία ισορροπίας. Υπάρχει υποπαιγνιακά τέλειο σημείο ισορροπίας, στο οποίο ο παίκτης 1 στον πρώτο γύρο δεν διαλέγει το διαμέρισμα που θέλει περισσότερο (το Α); Βελτιστοποιείται το κοινωνικό όφελος στα σημεία ισορροπίας που βρήκατε; (iii) (2 μονάδες) Αν έπρεπε να αναπαραστήσετε το παίγνιο σε κανονική μορφή, με μορφή πινάκων, τι διαστάσεις θα είχε ο πίνακας; Δεν χρειάζεται να γράψετε την αναπαράσταση αυτή. (iv) (3 μονάδες) Υπάρχει σημείο ισορροπίας κατά Nash, στο οποίο η ιστορία που πραγματοποιείται διαφέρει από τα υποπαιγνιακά τέλεια σημεία ισορροπίας; Και πάλι, δεν απαιτείται απαραίτητα η αναπαράσταση με πίνακα για να απαντήσετε σε αυτό το ερώτημα, μπορείτε να επιχειρηματολογήσετε με βάση το δέντρο. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΚΑΙ ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ! 5