302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας κυκλικών οµάδων. Τέλος ϑα µελετήσουµε εν συντοµία τη δοµή του συνόλου των οµοµορφισµών και ισοµορφισµών µεταξύ κυκλικών οµάδων. 14.1. Ταξινόµηση Απειρων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες άπειρης τάξης και ϑα περιγράψουµε την κλάση ισοµορφίας τους. Θεώρηµα 14.1. Κάθε άπειρη κυκλική οµάδα G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα (Z, +) των ακεραίων. Απόδειξη. Εστω G = a = { a n G n Z }, όπου o(a) =. Ορίζουµε απεικόνιση Θα έχουµε : f : Z G, f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) Αν f(n) = f(m), τότε a n = a m και άρα a n m = e. Επειδή o(a) =, ϑα έχουµε αναγκαστικά n m = 0 και άρα n = m. ηλαδή η f είναι 1-1. Αν x G, τότε x = a για κάποιον ακέραιο Z. Τότε f() = a = x, και εποµένως η f είναι επί. Άρα η f είναι ισοµορφισµός και εποµένως η G είναι ισόµορφη µε την (Z, +). Θεώρηµα 14.2. ύο άπειρες κυκλικές οµάδες είναι ισόµορφες. Απόδειξη. Εστω G 1 = a = { a n G 1 n Z } και G 2 = b = { b m G 2 m Z } δύο άπειρες κυκλικές οµάδες. Τότε από το Θεώρηµα 14.1 οι οµάδες G 1 και G 2 είναι και οι δύο ισόµορφες µε την (Z, +) και άρα οι G 1 και G 2 είναι ισόµορφες διότι η σχέση ισοµορφίας είναι σχέση ισοδυναµίας στην συλλογή όλων των οµάδων. Τότε ιαφορετικά: Ορίζουµε απεικόνιση f : G 1 G 2, f(a n ) = b n f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) και άρα η f είναι οµοµορφισµός. Επιπλέον η f είναι ισοµορφισµός, διότι χρησιµοποιώντας την περιγραφή των συνόλων G 1 και G 2 και το γεγονός ότι οι γεννήτορες a, b έχουν άπειρη τάξη, ϑα έχουµε : f(a n ) = f(a m ) = b n = b m = n = m = a n = a m = f : 1-1 b m G 2 : f(a m ) = b m = f : επί Υπενθυµίζουµε ότι η σχέση ισοµορφίας = στο σύνολο Grp όλων των οµάδων είναι µια σχέση ισοδυναµίας και αν G είναι µια οµάδα, τότε [G] = συµβολίζει την κλάση ισοµορφίας της G. Θεώρηµα 14.3. [(Z, +)] = = { G Grp G : άπειρη κυκλική }
303 Απόδειξη. Αν G είναι µια άπειρη κυκλική οµάδα, τότε από το Θεώρηµα 14.1, έπεται ότι G = (Z, +) και άρα G [(Z, +)] =. Αντίστροφα αν G [(Z, +)] =, τότε η G είναι ισόµορφη µε την (Z, +) και τότε η G είναι άπειρη κυκλική οµάδα διότι : έστω f : Z = G ένας ισοµορφισµός µε αντίστροφο ισοµορφισµό f 1. Θέτουµε f(1) = a. Τότε G = a, διότι έστω x G. Τότε f 1 (x) Z και άρα f 1 (x) = n. Θα έχουµε x = f(f 1 (x)) = f(n) = f(n1) = f(1) n = a n a. Εποµένως G = a και η G είναι κυκλική µε γεννήτορα το a η οποία είναι προφανώς άπειρη. Κλείνουµε την παρούσα υπο-ενότητα µε µια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των άπειρων κυκλικών οµάδων. Πρόταση 14.4. Εστω F = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε για κάθε οµάδα G και x G, υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός f : F G έτσι ώστε : f(a) = x. Απόδειξη. Θεωρούµε την απεικόνιση f : F G, f(a n ) = x n Τότε η αεπικόνιση f είναι προφανλώς καλά ορισµένη και είναι οµοµορφισµός, διότι : f(a n a m ) = f(a n+m ) = x n+m = x n x m = f(a n )f(a m ). Ο οµοµορφισµός f είναι µοναδικός, διότι αν g : F G είναι ένας άλλος οµοµορφισµός µε την ιδιότητα g(a) = x, τότε g(a n ) = g(a) n = x n = f(a n ), n Z. Εποµένως f = g. 14.2. Ταξινόµηση Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες πεπερασµένης τάξης και ϑα περιγράψουµε την κλάση ισοµορφίας κάθε κυκλικής οµάδας τάξης n, n 1. Θεώρηµα 14.5. Κάθε πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n 1 είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα (Z n, +) των ακεραίων modulo n. Απόδειξη. Εστω G = a = { e, a, a 2,, a n 1}, όπου o(a) = n. Ορίζουµε απεικόνιση f : Z n G, f([] n ) = a είχνουµε ότι η f είναι καλά ορισµένη. Εστω [] n = [ ] n και εποµένως n. Ετσι = nr, για κάποιο r Z. Τότε : a = a nr = (a n ) r = e r = e = a a = e = a = a = f([] n ) = f([ ] n ) Εποµένως η f είναι καλά ορισµένη και επιπλέον η f είναι οµοµορφισµός, διότι : f([] n + [l] n ) = f([ + l] n ) = a +l = a a l = f([] n )f([l] n ) Αν f([] n ) = f([l] n ), όπου 0, l n 1, τότε a = a l και άρα a l = e. Επειδή o(a) = n, ϑα έχουµε αναγκαστικά n l και άρα [] n = [l] n. ηλαδή η f είναι 1-1. Επειδή η f είναι προφανώς επί, έπεται ότι η f είναι ισοµορφισµός και άρα η G είναι ισόµορφη µε την (Z n, +). Θεώρηµα 14.6. ύο πεπερασµένες κυκλικές οµάδες ίδιας τάξης είναι ισόµορφες. Απόδειξη. Εστω G 1 = a = { e, a, a 2,, a n 1} και G 2 = b = { e, b, b 2,, b n 1} δύο κυκλικές οµάδες τάξης n. Τότε από το Θεώρηµα 14.5 οι οµάδες G 1 και G 2 είναι και οι δύο ισόµορφες µε την (Z n, +) και άρα οι G 1 και G 2 είναι ισόµορφες διότι η σχέση ισοµορφίας είναι σχέση ισοδυναµίας στην συλλογή όλων των οµάδων.
304 ιαφορετικά: Ορίζουµε απεικόνιση f : G 1 G 2, f(a ) = b, 0 n 1 Τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι η f είναι ένας ισοµορφισµός οµάδων. Θα περιγραψουµε τώρα την κλάση ισοµορφίας µιας κυκλικής οµάδας τάξης n. Θεώρηµα 14.7. [(Z n, +)] = = { G Grp G : κυκλική τάξης n } Απόδειξη. Αν G είναι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n, τότε από το Θεώρηµα 14.5, έπεται ότι G = (Z n, +) και άρα G [(Z n, +)] =. Αντίστροφα αν G [(Z n, +)] =, τότε η G είναι ισόµορφη µε = την (Z n, +) και τότε η G είναι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n, διότι : έστω f : Z n G ένας ισοµορφισµός µε αντίστροφο ισοµορφισµό f 1. Θέτουµε f([1] n ) = a. Τότε G = a, διότι έστω x G. Τότε f 1 (x) Z n και άρα f 1 (x) = [] n. Θα έχουµε x = f(f 1 (x)) = f([] n ) = f([1] n ) = f([1] n ) = a a. Εποµένως G = a και η G είναι κυκλική µε γεννήτορα το a η οποία είναι προφανώς πεπερασµένη τάξης n. 14.3. Κριτήριο Ισοµορφίας Κυκλικών Οµάδων. Το ακόλουθο σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας κυκλικών οµάδων είναι άµεση συνέπεια των παραπάνω Θεωρηµάτων. Θεώρηµα 14.8. ύο κυκλικές οµάδες είναι ισόµορφες αν και µόνον αν έχουν την ίδια τάξη : Αν G 1, G 2 είναι κυκλικές οµάδες, τότε : G 1 = G2 o(g 1 ) = o(g 2 ) Απόδειξη. Αν οι οµάδες G 1 και G 2 είναι ισόµορφες, τότε ιδιαίτερα οι G 1 και G 2 έχουν την ίδια τάξη διότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση µεταξύ αυτών. Αντίστροφα έστω o(g 1 ) = o(g 2 ) := n. Αν n =, τότε από το Θεώρηµα 14.2, οι οµάδες G 1 και G 2 είναι ισόµορφες µε την (Z, +). Άρα και µεταξύ τους ισόµορφες. Αν n <, τότε από το Θεώρηµα 14.6, οι οµάδες G 1 και G 2 είναι ισόµορφες µε την (Z n, +), και άρα οι G 1 και G 2 είναι και µεταξύ τους ισόµορφες. Θέτοντας Z 1 = {e} να είναι η τετριµµένη οµάδα η οποία προφανώς είναι κυκλική, τα προηγούµενα αποτελέσµατα δείχνουν ότι οι κυκλικές οµάδες, «µέχρι ισοµορφισµό», είναι οι εξής : Z, και Z 1, Z 2, Z 3,, Z n, 14.4. Οµάδες Οµοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα µελετήσουµε ο- µοµορφισµούς µεταξύ κυκλικών οµάδων. Πρόταση 14.9. Εστω G = a µια κυκλική οµάδα, και έστω f : G G µια απεικόνιση. ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Η f είναι ένας ενδοµορφισµός της G. (2) Υπάρχει ακέραιος Z: g G : f(g) = g Τότε τα Απόδειξη. (2) = (1) είχνουµε ότι η απεικόνιση f(g) = g είναι οµοµορφισµός. Επειδή η G είναι αβελιανή, ϑα έχουµε : f(g 1 g 2 ) = (g 1 g 2 ) = g1g 2 = f(g 1 )f(g 2 ) και άρα η f είναι οµοµορφισµός οµάδων, δηλαδή η f είναι ένας ενδοµορφισµός της G.
305 (1) = (2) Εστω ότι η f είναι ενδοµορφισµός. Τότε f(a) G = a και άρα υπάρχει Z έτσι ώστε : f(a) = a. Θα δείξουµε ότι f(g) = g, g G. Θα έχουµε g = a r για κάποιο r Z. Χρησιµοποιώντας ότι η f είναι ενδοµορφισµός, ϑα έχουµε : f(g) = f(a r ) = f(a) r = (a ) r ) = a r = (a r ) = g Σηµειώνουµε ότι, η G είναι άπειρη κυκλική, τότε το Z είναι µοναδικό διότι αν f(a) = a l, τότε a = a l και άρα a l = e το οποίο σηµαίνει ότι = l διότι το a έχει άπειρη τάξη. Αν η G είναι πεπερασµένη κυκλική, µε τάξη n, τότε ϑα έχουµε αν f(a) = a l = a, τότε a l = e και άρα o(a) = n l το οποίο σηµαίνει ότι το είναι µοναδικό modulo n. Συµβολισµός 14.10. Αν G και G είναι δύο οµάδες, τότε συµβολίζουµε µε Hom(G, G ) = { f : G G f : οµοµορφισµός } το σύνολο όλων των οµοµορφισµών από την G στην G. Αν G = G, τότε συµβολιζουµε µε : το σύνολο όλων των ενδοµορφισµών της G. End(G) = Hom(G, G) Σκοπός µας είναι να υπολογίσουµε την δοµή του συνόλου Hom(G, H) των οµοµορφισµών µεταξύ κυκλικών οµάδων G και H. Γενικά το σύνολο Hom(G, H) των οµοµορφισµών µεταξύ οµάδων G και H δεν έχει δοµή οµάδας. Η επόµενη Πρόταση δείχνει ότι όταν η οµάδα H είναι αβελιανή, τότε το σύνολο Hom(G, H) µπορεί να εφοδιασθεί µε δοµή οµάδας. Πρόταση 14.11. Αν (G, ) και (G, ) είναι δύο οµάδες, και υποθέτουµε ότι η G είναι αβελιανή. (1) Το σύνολο Hom(G, G ) αποτελεί αβελιανή οµάδα µε πράξη : : Hom(G, G ) Hom(G, G ) Hom(G, G ), (f, g) f g : G G, (f g)(x) = f(x) g(x) (2) Το ουδέτερο στοιχείο της Hom(G, G ) είναι ο οµοµορφισµός ɛ : G G, x ɛ(x) = e G (3) Το αντίστροφο στοιχείο του οµοµορφισµού f Hom(G, G ) είναι ο οµοµορφισµός f : G G, x f(x) = f(x) 1 Απόδειξη. (1) Η πράξη είναι καλά ορισµένη, δηλαδή, f, g Hom(G, G ): f g Hom(G, G ). Πράγµατι, έστω x, y G. Τότε ϑα έχουµε : (f g)(x y) = f(x y) g(x y) = f(x) f(y) g(x) g(y) = f(x) g(x) f(y) g(y) = (f g)(x) (f g)(y) και άρα η απεικόνιση f g ανήκει στο σύνολο Hom(G, G ). (2) Προσεταιριστικότητα: Εστω f, g, h: G G. Τότε x G: (f (g h)](x) = f(x) (g h)(x) = f(x) (g(x) h(x)) = (f(x) g(x)) h(x) = ((f g)(x)) h(x) = [(f g) h](x) Εποµένως f (g h) = (f g) h και η πράξη είναι προσεταιριστική στο σύνολο Hom(G, G ). (3) Υπαρξη Ουδετέρου Στοιχείου: Εστω f : G G. Τότε x G: (f ɛ)(x) = f(x) ɛ(x) = f(x) e G = f(x) = e G f(x) = ɛ(x) f(x) = (ɛ f)(x) και άρα : f ɛ = f = ɛ f. ηλαδή ο τετριµµένος οµοµορφισµός ɛ Hom(G, G ) είναι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη.
306 (4) Υπαρξη Αντιστρόφου Στοιχείου: Εστω f : G G. είχνουµε πρώτα ότι η απεικόνιση f : G G, f(x) = f(x) 1, x G, είναι οµοµορφισµός οµάδων. Πραγµατικά, χρησιµοποιώντας ότι η f είναι οµοµορφισµός και ότι η G είναι αβελιανή, ϑα έχουµε : f(x y) = f(x y) 1 = (f(x) f(y)) 1 = f(y) 1 f(x) 1 = f(x) 1 f(y) 1 = f(x) f(y) εποµένως η f είναι οµοµορφισµός οµάδων και άρα f Hom(G, G ). Επιπρόσθετα x G: (f f)(x) = f(x) f(x) = f(x) f(x) 1 = e G = ɛ(x) = e G = f(x) 1 f(x) = f(x) f(x) = ( f f)(x) και εποµένως f f = ɛ = f f. ηλαδή ο οµοµορφισµός f είναι το αντίστροφο στοιχείο του οµοµορφισµού f για την πράξη στο σύνολο Hom(G, G ). (5) Μεταθετικότητα: Εστω f, g Hom(G, G ). Τότε x G: (f g)(x) = f(x) g(x) = g(x) f(x) = (g f)(x) και εποµένως f g = g f, δηλαδή η πράξη στο σύνολο Hom(G, G ) είναι µεταθετική. Παράδειγµα 14.12. Επειδή κάθε κυκλική οµάδα είναι αβελιανή, από την προηγούµενη πρόταση έπετα ότι, αν G, H είναι αβελιανές οµάδες, τότε το σύνολο Hom(G, H) αποτελεί µια αβελιανή οµάδα. Ιδιαίτερα, n, m 1, τα σύνολα : End(Z) = Hom(Z, Z), Hom(Z, Z n ), Hom(Z n, Z), Hom(Z n, Z m ) είναι αβελιανές οµάδες. Ολες οι παραπάνω οµάδες είναι προσθετικές. Ετσι η δοµή αβελιανής οµάδας σε κάθε ένα από τα παραπάνω σύνολα, όπως προκύπτει από την Πρόταση 14.11, ϑα είναι µέσω της ακόλουθης πράξης πρόσθεσης οµοµορφισµών, όπου f, g είναι οµοµορφισµοί σε κάθε ένα από τα παραπάνω τέσσερα σύνολα, και x ανήκει στο πεδίο ορισµού τους : (f + g)(x) = f(x) + g(x) Το κεντρικό αποτέλεσµα της παρούσης υπο-ενότητας είναι το ακόλουθο Θεώρηµα, το οποίο δείχνει ότι οι οµάδες οµοµορφισµών µεταξύ κυκλικών οµάδων είναι κυκλικές και επιπρόσθετα δίνει την ακριβή κλάση ισοµορφίας τους. Θεώρηµα 14.13. (1) (2) (3) (4) Hom(Z, Z) G πεπερασµένη αβελιανή οµάδα, π.χ. G = Z n, = Hom(G, Z) Απόδειξη. (1) Ορίζουµε απεικονίσεις Hom(Z, Z n ) Hom(Z n, Z m ) Z Z n Z (n,m) {e} όπου Φ : Hom(Z, Z) Z, Ψ : Z Hom(Z, Z), f n : Z Z, Φ(f) = f(1) Ψ(n) = f n f n (m) = nm Από την Πρόταση 14.9, έπεται ότι η απεικόνιση f n είναι ενδοµορφισµός της οµάδας (Z, +), n Z. είχνουµε ότι οι απεικονίσεις Φ και Ψ είναι ισοµορφισµοί και Ψ = Φ 1.
307 (α) Θα έχουµε : n Z : ΦΨ(n) = Φ(f n ) = f n (1) = n1 = n = ΦΨ = Id Z f Hom(Z, Z) : ΨΦ(f) = Ψ(f(1)) = f f(1) όµως m Z : f f(1) (m) = f(1)m = f(1m) = f(m) = f f(1) = f = ΨΦ(f) = f Εποµένως : ΨΦ = Id Hom(Z,Z) Άρα οι απεικονίσεις Φ και Ψ είναι 1-1 και επί και Ψ = Φ 1. (ϐ) είχνουµε ότι η Φ είναι οµοµορφισµός οµάδων : Φ(f + g) = (f + g)(1) = f(1) + g(1) = Φ(f) + Φ(g) Άρα η Φ είναι ισοµορφισµός αβελιανών οµάδων µε αντίστροφο τον οµοµορφισµό Ψ. (2) Εστω G µια πεπερασµένη αβελιανή (πολλαπλασιαστική) οµάδα. Τότε κάθε στοιχείο της G ϑα έχει πεπερασµένη τάξη : a G, n 1 : a n = e Αν f Hom(G, Z) είναι ένας οµοµορφισµός, τότε : a G : 0 = f(e) = f(a n ) = nf(a) = n = 0 ή f(a) = 0 = f(a) = 0 Άρα ο µοναδικός οµοµορφισµός f Hom(G, Z) είναι ο τετριµµένος f = ε: G Z, ε(a) = 0, ο οποίος είναι το ταυτοτικό στοιχείο της αβελιανής οµάδας Hom(G, Z). Εποµένως Hom(G, Z) = { ε } = { } e (3) Ορίζουµε απεικονίσεις Φ : Hom(Z, Z n ) Z n, Φ(f) = f(1) Επειδή Φ(f + g) = (f + g)(1) = f(1) + g(1) = Φ(f) + Φ(g), έπεται ότι η Φ είναι οµοµορφισµός οµάδων. Επιπλέον η Φ είναι µονοµορφισµός διότι : Φ(f) = [0] n = f(1) = [0] n και τότε : m Z f(m) = f(m1) = mf(1) = m[0] n = [0m] n = [0] n Εποµένως ο οµοµορφισµός f είναι ο τετριµµένος f = ε: G Z, ε(a) = 0, ο οποίος είναι το ταυτοτικό στοιχείο της αβελιανής οµάδας Hom(Z, Z n ). Αυτό σηµαίνει ότι ο οµοµορφσιµός Φ είναι µονοµορφισµός. Μένει να δείξουµε ότι ο µονοµορφισµός Φ είναι επιµορφισµός. Εστω [] n Z n. Ορίζουµε µια απεικόνιση f []n : Z Z n, Τότε η απεικόνιση f []n είναι οµοµορφισµός, διότι : f []n (m) = [m] n f []n (m 1 + m 2 ) = [(m 1 + m 2 )] n = [m 1 + m 2 ] n = [m 1 ] n + [m 2 ] n = f []n (m 1 ) + f []n (m 2 ) Επιπλέον : Φ(f []n ) = f []n (1) = [1] n = [] n = Φ : επιµορφισµός Άρα η απεικόνιση Φ είναι ισοµορφισµός οµάδων και εποµένως Hom(Z, Z n ) (4) Η απόδειξη χρειάζεται αρκετή προεργασία και ϑα δοθεί µετά την απόδειξη των τεσσάρων παρακάτω προκαταρκτικών αποτελεσµάτων τα οποία είναι ενδιαφέροντα από µόνα τους. Z n Λήµµα 14.14. Εστω n, m 1, και υποθέτουµε ότι : (n, m) = 1. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός : Z nm = Zn Z m
308 Απόδειξη. Από το Θεώρηµα 5.15 προκύπτει ότι επείδδή (n, m) = 1, η οµάδα ευθύ γινόµενο Z n Z m είναι κυκλική. Εποµένως από το Θεώρηµα 14.8 η οµάδα Z n Z m ϑα είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z nm. Λήµµα 14.15. Εστω n = p a 1 1 pa 2 2 pa η ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n σε γινόµενο δυνάµεων διακεκριµµένων πρώτων αριθµών. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός : = Z n Zp a 1 Z a 1 p 2 Z a 2 p Απόδειξη. Επειδή (p a i i, pa j j ) = 1, 1 i j, ο ισχυρισµός έπεται εύκολα από το Λήµµα 14.14 µε επαγωγή. Λήµµα 14.16. Εστω p, q δύο διαφορετικοί πρώτοι αριθµοί. Τότε για κάθε, l 1: Hom(Z p, Z q l) {e} Απόδειξη. Εστω f : Z p Z q l ένας οµοµορφισµός. Αν [x] p Z p, τότε p [x] p = [0] p και τότε f(p [x] p ) = p f([x] p ) = [0] q l. Αυτό σηµαίνει ότι o(f([x] p )) p. Οµως ο αριθµός o(f([x] p )) ϑα διαιρεί την τάξη q l της οµάδας Z q l και άρα ϑα είναι µια δύναµη του q, έστω o(f([x] p )) = q a. Τότε q a p, και επειδή p, q είναι διαφορετικοί πρώτοι αριθµοί, ϑα έχουµε q a = 1 = o(f([x] p )), δηλαδή f([x] p ) = [0] q l. Ετσι ο τυχόν οµοµορφισµός f στέλνει κάθε στοιχείο της οµάδας Z p στο µηδενικό στοιχείο της οµάδας Z q l. Αυτό σηµαίνει ότι ο f είναι ο τετριµµένος οµοµορφισµός και άρα Hom(Z p, Z q l) = {e}. Λήµµα 14.17. Εστω G = a και H = b δύο κυκλικές οµάδες, και υποθέτουµε ότι η G είναι πεπερασµένη. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Υπάρχει οµοµορφισµός f : G H έτσι ώστε f(a) = b. (2) o(b) o(a). Αν o(b) o(a), τότε υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός f : G H έτσι ώστε f(a) = b και τότε : f(a ) = b, Z. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι o(g) = o(a) = n, και άρα G = { e, a, a 2, a n 1}. (1) = (2) Εστω f : G H ένας οµοµορφισµός έτσι ώστε f(a) = b. Τότε a n = e και άρα b n = f(a) n = f(a n ) = f(e) = e. Εποµένως o(b) n = o(a). (2) = (1) Εστω o(b) n = o(a), και n = m, όπου m = o(b). Ορίζουµε απεικόνιση f : a b, f(a ) = b Προφανώς η απεικόνιση f είναι ένας καλά ορισµένος οµοµορφισµός και ισχύει f(a) = b. Αν g : a b, είναι ένας άλλος οµοµορφισµός έτσι ώστε g(a) = b. Τότε : g(a ) = g(a) = b = f(a) = f(a ) και εποµένως f = g. Λήµµα 14.18. Εστω p ένας πρώτος αριθµός. Τότε για κάθε, l 1: Hom(Z p, Z p l) Z p min{,l}
309 Απόδειξη. Εστω a = [1] p και b = [1] p l. Τότε Z p = a και Z p l = b Θα δείξουµε ότι το πλήθος των διακεκριµµένων οµοµορφισµών Z p Z p l είναι p min{,l}. Αν l, τότε p p l και προφανώς o(b) = p l p = o(a). Τότε από το Λήµµα 4.17, έπεται ότι υπάρχει (µοναδικός) οµοµορφισµός f : Z p Z p l έτσι ώστε f(a) = b. Παρατηρούµε ότι επειδή l, ϑα έχουµε min{, l} = l και εποµένως υπάρχουν l το πλήθος οµοµορφισµοί Z p Z p l διότι το πλήθος των διαιρετών του p οι οποίοι είναι µικρότεροι ή ίσοι από το p l και διάφοροι τοι 1 είναι ακριβώς l: p, p 2,, p l. Αν l, τότε min{, l} = και κάθε οµοµορφισµός Z p Z p l έχει προφανώς εικόνα στην (µοναδική) κυκλική υποοµάδα τάξης p της Z p l. Άρα το Ϲητούµενο πλήθος συµπίπτει µε το πλήθος των οµοµορφισµών Z p Z p. Από την πρώτη περίπτωση τότε ϑα έχουµε ότι το πλήθος αυτών των οµοµορφισµών είναι ακριβώς p = p min{,l}. Άρα ϑα έχουµε : o(hom(z p, Z p l)) = p min{,l}. Τέλος από το Λήµµα 4.17, έπεται άµεσα ότι η απεικόνιση ψ : Z p Z p l, ψ([r] p ) = p l min{,l} [r] p l είναι οµοµορφισµός οµάδων και µάλιστα επειδή η τάξη της οµάδας Hom(Z p, Z p l) είναι p min,l, ισχύει : p min{,l} ψ = ε όπου ε([x] p ) = [0] p l δηλαδή ο οµοµορφισµός ε είναι το ταυτοτικό στοιχείο της οµάδας Hom(Z p, Z p l). Αν nψ = ε, τότε ϑα έχουµε : nψ = ε = nψ([1] p ) = ε([1] p ) = np l min{,l} [1] p l = [0] p l = [np l min{,l} ] p l = [0] p l = = p l np l min{,l} = np l min{,l} = p l m = np l = p l p min{,l} m = n = p min{,l} m = Εποµένως p min{,l} n o(ψ) = p min{,l} = o(hom(z p, Z p l)) και άρα η οµάδα Hom(Z p, Z p l) τάξης p min{,l} έχει ένα στοιχείο τάξης p min{,l}. Εποµένως η οµάδα Hom(Z p, Z p l) είναι κυκλική τάξης p min{,l}. Τότε από το Θεώρηµα 14.8, η οµάδα Hom(Z p, Z p l) είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z p min{,l}. Λήµµα 14.19. (1) Εστω G 1, G 2 και H αβελιανές οµάδες. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων Hom(G 1 G 2, H) Hom(G 1, H) Hom(G 2, H) (2) Εστω G και H 1, H 2 αβελιανές οµάδες. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων Hom(G, H 1 H 2 ) Hom(G, H 1 ) Hom(G, H 2 ) (3) Γενικότερα έστω {G i } n i=1 και {H j} m j=1 αβελιανές οµάδες, και έστω G = G 1 G 2 G n και H = H 1 H 2 H m οι αντίστοιχες οµάδες ευθύ γινόµενο. Τότε : δηλαδή : Hom(G, H) Hom(G, H) n i=1 m j=1 Hom(G i, H j ) Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ) Hom(G n, H 1 ) Hom(G n, H m )
310 Απόδειξη. (1) Ορίζουµε απεικόνιση Φ : Hom(G 1 G 2, H) Hom(G 1, H) Hom(G 2, H), Φ(f) = (f 1, f 2 ) όπου f 1 : G 1 H, f 1 (x 1 ) = f(x 1, e G2 ) και f 2 : G 2 H, f 2 (x 2 ) = f(e G1, x 2 ) Επίσης ορίζουµε απεικόνιση Ψ : Hom(G 1, H) Hom(G 2, H) Hom(G 1 G 2, H), Ψ(g 1, g 2 ) = g όπου g : G 1 G 2 H, g(x 1, x 2 ) = g 1 (x 1 ) + g 2 (x 2 ) Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι απεικονίσεις Ψ και Φ είναι οµοµορφισµοί οµάδων και ισχύει Ψ = Φ 1. (2) Ορίζουµε απεικόνιση Φ : Hom(G, H 1 H 2 ) Hom(G, H 1 ) Hom(G, H 2 ), Φ(f) = (f 1, f 2 ) όπου όπου f i : G H i, f i = π i f π 1 : H 1 H 2 H 1, π(h 1, h 2 ) = h 1 και π 2 : H 1 H 2 H 2, π(h 1, h 2 ) = h 2 είναι οι οµοµορφισµοί προβολές από την οµάδα ευθύ γινόµενο στις οµάδες παράγοντες. Επίσης ορίζουµε απεικόνιση Ψ : Hom(G, H 1 ) Hom(G, H 2 ) Hom(G, H 1 H 2 ), Ψ(g 1, g 2 ) = g όπου g : G H 1 H 2, g(x) = (g 1 (x), g 2 (x)) Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι απεικονίσεις Ψ και Φ είναι οµοµορφισµοί οµάδων και ισχύει Ψ = Φ 1. (3) Υποθέτουµε πρώτα ότι n = 1. Θα κατασκευάσουµε έναν ισοµορφισµό Φ : Hom(G 1, H 1 H m ) Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ) ως εξής : Φ(f) = (f 1,, f m ) όπου f i = π i f και όπου π i : H 1 H m H i, π i (h 1,, h m ) = h i είναι οι οµοµορφισµοί προβολές από την οµάδα ευθύ γινόµενο στις οµάδες παράγοντες. Αν (f 1,, f m ) Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ), τότε ορίζουµε µια απεικόνιση f : G 1 H 1 H m, f(x) = (f 1 (x),, f m (x)) η οποία µε τη σειρά της ορίζει µια απεικόνιση Ψ : Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ) Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ), Ψ(f 1,, f m ) = f Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι απεικονίσεις Ψ και Φ είναι οµοµορφισµοί οµάδων και ισχύειο Ψ = Φ 1. Άρα ο ισχυρισµός αληθεύει για n = 1. Η γενική περίπτωση αποδεικνύεται εύκολα µε επαγωγή στο n, χρησιµοποιώντας το (1), και αφήνεται ως Άσκηση.
311 Μπορούµε τώρα να ολοκληρώσουµε την απόδειξη του τελευταίου µέρους (4) του Θεωρήµατος 14.13: Απόδειξη του Θεωρήµατος 14.13(4): Εστω n = p a 1 1 pa 2 2 pa και m = p b 1 1 p b 2 2 p b οι αναλύσεις των ϕυσικών αριθµών n και m σε γινόµενο δυνάµεων διακεκριµµένων πρώτων αριθµών. Γνωρίζουµε ότι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των m και n είναι : Από το Λήµµα 14.15 υπάρχουν ισοµορφισµοί : = Z n Zp a 1 Z a 1 p 2 Z a 2 p (m, n) = p min{a 1,b 1 } 1 p min{a,b } Αοπό το Λήµµα 14.18, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό = και Z m Zq b 1 Z n p 2 Z b 1 2 p Hom(Z n, Z m ) Από το Λήµµα 14.16 ϑα έχουµε ότι i=1 l j=1 Hom(Z p a i i, Z b q j ) j Hom(Z p a i i Εποµένως επειδή από το Λήµµα 14.17 έχουµε, Z b p j ) = {e}, i j j ϑα έχουµε τελικά : Hom(Z p a i i, Z b p j ) j Z p min{a i,b j } Hom(Z n, Z m ) Hom(Z p a 1 1, Z p b 1 ) Hom(Z a 1 p και άρα µια τελευταία εφαρµογή του Λήµµατος 14.15 δίνει :, Z p b ) Z min{a p 1,b 1 } Z min{a 1 p,b } Hom(Z n, Z m ) Z min{a p 1,b 1 } Z min{a 1 p,b } Z p min{a 1,b 1 } 1 p min{a,b } Z (m,n) Υπενθυµίζουµε ότι µια οµάδα G καλείται ελεύθερης στρέψης αν το µόνο στοιχείο πεπερασµένης τάξης της G είναι το ταυτοτικό. Ασκηση 293. Εστω G µια προσθετική αβελιανή οµάδα, και n 1. (1) Το σύνολο G n = { x G nx = 0 } είναι µια υποοµάδα της G. (2) Υπάρχει ένας ισοµορφισµός αβελιανών οµάδων : Hom(Z n, G) G n (3) Η οµάδα G είναι ελεύθερης στρέψης αν και µόνον αν, n 1: Hom(Z n, G) = {e}.
312 14.5. Οµάδες Αυτοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα προσδιορίσουµε την οµάδα αυτοµορφισµών µιας κυκλικής οµάδας. Υπενθυµίζουµε ότι Aut(G) = { f : G G f : ισοµορφισµός } και το σύνολο Aut(G) αποτελεί οµάδα µε πράξη τη σύνθεση αυτοµορφισµών. Θα χρειασθούµε το ακόλουθο απλό Λήµµα 14.20. Εστω G µια οµάδα και a G. Εστω f : G G ένας αυτοµορφισµός της G. (1) a είναι γεννήτορας της G αν και µόνον αν f(a) είναι γεννήτορας της G: G = a G = f(a) (2) o(a) = o(f(a)). Απόδειξη. Άσκηση. Το ακόλουθο ϑεώρηµα δείχνει ότι η οµάδα αυτοµορφισµών µιας άπειρης κυκλικής οµάδας είναι κυκλική και πολύ µικρή. Θεώρηµα 14.21. Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός φ : Aut(G) Z 2 Απόδειξη. Εστω G = a ένας γεννήτορας της G. Τότε για κάθε αυτοµορφισµό f : G G της G, το στοιχείο f(a) είναι επίσης γεννήτορας της G. Επειδή η G είναι άπειρη κυκλική, γνωρίζουµε ότι η G έχει ακριβώς δύο γεννήτορες : το στοιχείο a και το στοιχείο a 1. Ετσι f(a) = a ή f(a) = a 1. Επειδή G = a, αν f(a) = a, έπεται ότι f = Id G, και αν f(a) = a 1, τότε f(x) = x 1, x G. Αντίστροφα οι απεικονίσεις Id G και ϕ: G G, ϕ(x) = x 1 είναι αυτοµορφισµοί της G. Άρα Aut(G) = {Id G, ϕ}, όπου προφανώς ϕ 2 = Id G. Εποµένως η Aut(G) είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z 2, µέσω του ισοµορφισµού Id G [0] 2 και ϕ [1] 2. Πόρισµα 14.22. Υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων φ : Aut(Z) Z 2 Το ακόλουθο ϑεώρηµα δείχνει ότι το πλήθος των αυτοµορφισµών µιας πεπερασµένης κυκλικής οµάδας τάξης n δίνεται από την τιµή της συνάρτησης ϕ(n) του Euler. Θεώρηµα 14.23. Εστω G = a µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n. Τότε υπάρχει ένας ισοµορ- ϕισµός φ : Aut(G) U(Z n ) Ιδιαίτερα : o ( Aut(G) ) = ϕ(n). Απόδειξη. Θα έχουµε G = a = { e, a, a 2,, a n 1} Αν n = 1, τότε G = {e} και Z 1 = [0] 1 και τότε προφανώς Aut(G) = {Id G } = {Id Z1 } = U(Z 1 ). Υποθέτουµε ότι n > 1. Εστω f : G G ένας αυτοµορφισµός της G. Τότε το στοιχείο f(a) G είναι γεννήτορας της G και άρα f(a) = a, για ένα µοναδικό στοιχείο, όπου 1 n 1 και (, n) = 1
313 (αν = 0, τότε f(a) = e και άρα a = e διότι η f αυτοµορφισµός, δηλαδή G = {e} το οποίο είναι άτοπο). Ετσι ϑα έχουµε [] n U(Z n ), και εποµένως µπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση Φ : Aut(G) U(Z n ), Φ(f) = [] n, όπου f(a) = a Εστω f, g Aut(G) και έστω ότι Φ(f) = Φ(g), δηλαδή : [] n = [l] n, όπου f(a) = a και g(a) = a l. Τότε n l και επειδή 1, l n και (, n) = 1 = (l, n), έπεται ότι = l. Εποµένως f(a) = g(a) και τότε προφανώς f = g, διότι επειδή οι f, g είναι οµοµορφισµοί και x G, x = a m, ϑα έχουµε : f(x) = f(a m ) = f(a) m = g(a) m = g(a m ) = g(x). Εποµένως η απεικόνιση Φ είναι 1-1. Εστω [] n U(Z n ), δηλαδή 1 n 1 και (, n) = 1. Ορίζουµε µια απεικόνιση f : G G, f(a m ) = a m Η απεικόνιση f είναι οµοµορφισµός, διότι : f (a m 1 a m 2 ) = f (a m 1+m 2 ) = a (m 1+m 2 ) = a m 1+m 2 = a m 1 a m 2 = f (a m 1 )f(a m 2 ) Αν f (a m ) = e, τότε a m = e, και άρα n m. Επειδή (, n) = 1, έπεται ότι n m. Τότε όµως αναγκαστικά m = 0, διότι 0 m n 1. Άρα a m = a 0 = e και ο οµοµορφισµός f είναι µονοµορφισµός. Τότε όµως ο οµοµορφισµός f είναι αυτοµορφισµός διότι o(g) = n <. Τότε εξ ορισµού ϑα έχουµε Φ(f ) = [] n, διότι f (a) = a. Άρα η απεικόνιση Φ είναι επί. Μένει να δείξουµε ότι η Φ είναι οµοµορφισµός οµάδων. Εστω f, g Aut(G). Τότε ϑα έχουµε Φ(f) = a, g(a) = a l, όπου f(a) = a, g(a) = a l, και 1, l n 1 και (, n) = 1 = (l, n). Υποθέτουµε ότι Φ(f g) = a m, όπου 1 m n 1, (n, m) = 1, και (f g)(a) = a m. Οµως (f g)(a) = f(g(a)) = f(a l ) = f(a) l = (a ) l = a l. Τότε : a l = a m και εποµένως a l m = e. Επειδή o(a) = n, ϑα έχουµε n l m και εποµένως [l] n = [m] n, δηλαδή : [] [l] n = [m] n. Τότε : Φ(f g) = [m] n = [l] n = [] n [l] n = Φ(f)Φ(g) και άρα η απεικόνιση Φ είναι οµοµορφισµός. Εποµένως η Φ είναι ισοµορφισµός. Πόρισµα 14.24. Για κάθε n 1, υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων φ : Aut(Z n ) U(Z n ) Σε αντίθεση µε την οµάδα αυτοµορφισµών µιας άπειρης κυκλικής οµάδας, η οποία είναι κυκλική, η οµάδα αυτοµορφισµών µιας πεπερασµένης κυκλικής οµάδας δεν είναι πάντα κυκλική. Παράδειγµα 14.25. Θεωρούµε την κυκλική οµάδα Z 12 τάξης 12. Από το παράδειγµα 13.10, έχουµε έναν ισοµορφισµό U(Z 12 ) Z 2 Z 2 Εποµένως µε ϐάση το Θεώρηµα 14.24 ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό Aut(Z 12 ) Z 2 Z 2 και άρα η οµάδα αυτοµορφισµών Aut(Z 12 ) δεν είναι κυκλική. Υπάρχει το ακόλουθο ϐασικό αποτέλεσµα το οποίο περιγράφει την οµάδα αυτοµορφισµών µιας πεπε- ϱασµένης κυκλικής οµάδας ως ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων :
314 Θεώρηµα 14.26. Εστω G µια κυκλική οµάδα τάξης n = 2 i p j 1 1 p j 2 2 p jr r όπου p 1, p 2,, p r είναι διακεκριµµένοι περιττοί πρώτοι αριθµοί, και i, j 1, j 2,, j r 0. Τότε : Aut(G) Z 1, i = 0 Z 2 i 1, i = 1 ή 2 Z 2 Z 2 i 2, i 3 Z p j 1 1 1 (p 1 1) Z p j 2 1 2 (p 2 1) Z p jr 1 r (p r 1) Ιδιαίτερα η τάξη της οµάδας αυτοµορφισµών µιας πεπερασµένης κυκλικής οµάδας είναι άρτιος αριθµός.