ΑΛΛΗΛΟΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΣΥΜΒΟΛΩΝ (INTERSYMBOL INTERFERENCE-ISI) Μέχρι τώρα είχαμε δεχθεί ότι κάθε κυματομορφή επικοινωνίας διέρχεται από το κανάλι χωρίς παραμόρφωση με μοναδική αλλαγή της κυματομορφής την ελάττωση στο μέγεθος και την αλλαγή στη φάση αυτής. Η παραδοχή αυτή στην πράξη δεν ισχύει. Αντίθετα σε κάθε πραγματική εφαρμογή στην έξοδο του ενσύρματου καναλιού η διαβιβαζόμενη κυματομορφή παραμορφώνεται έντονα από το κανάλι με αποτέλεσμα, εκτός των άλλων, η διάρκειά της κυματομορφής εξόδου να γίνεται πολλαπλάσια αυτής της εισόδου. Ηπαραμόρφωση αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι το χρησιμοποιούμενο κανάλι παρουσιάζει πεπερασμένο εύρος-ζώνης και επομένως κρουστική απόκριση, c(t), μεγάλης διάρκειας. Πρέπει να σημειώσετε ότι παρόμοια παραμόρφωση υφίσταται και κυματομορφή που διαβιβάζεται μέσω ασύρματου καναλιού, αλλά εδώ η παραμόρφωση οφείλεται στο φαινόμενο πολυοδεύσεων. sagri@di.uoa.gr 1
Τα ενσύρματα κανάλια που χρησιμοποιούμε για τη διαβίβαση διακριτών δεδομένων έχουν περιορισμένο εύρος ζώνης, Β c. Αν c(t) είναι η κρουστική απόκριση του καναλιού θυμηθείτε ότι η απόκριση συχνότητας C(f) αυτού δίνεται από το μετασχηματισμό Fourier: Το Μέτρο, C(f) και η Γωνία Θ(f) της Απόκρισης Συχνότητας C(f) ενός Ενσύρματου Καναλιού Βασικής Ζώνης. Απόκριση Συχνότητας Ζωνοπερατού Καναλιού Θυμηθείτε ότι όταν η διάρκεια της απόκρισης συχνότητας είναι πεπερασμένη, η διάρκεια της κρουστικής απόκρισης είναι άπειρη. Αν λοιπόν στην είσοδο του καναλιού τεθεί παλμός p(t), ο παλμός h(t) στην έξοδο θα είναι η συνέλιξη του p(t) και της κρουστικής απόκρισης του καναλιού c(t). ( ) = ( )* ( ) h t c t p t Και η διάρκειά του h(t) θα είναι το άθροισμα των διαρκειών του c(t) και του p(t). sagri@di.uoa.gr 2
h C (t) c 0 h C (t) c 0 t t Από τα προαναφερθέντα λοιπόν προκύπτει ότι ο παλμός h(t) στην έξοδο θα έχει διάρκεια θεωρητικά άπειρη, πρακτικά δε αρκετά μεγάλη. g T (t) Παλμός g T (t) στην είσοδο του καναλιού δίνει παλμό h(t) στην έξοδο του καναλιού. c(t) C(f)=F{c(t)} ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ h(t) h(t) Κατά τη δειγματοληψία λοιπόν του m-στού σύμβολου, θα λαμβάνονται δείγματα από προηγούμενους και επόμενους παλμούς μαζί με το δείγμα του m-στού παλμού εξόδου. g T (t) Παλμός g T (t) στην είσοδο του καναλιού δίνει παλμό h(t) στην έξοδο του καναλιού. c(t) C(f)=F{c(t)} ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ h(t) h(t) ΑΡΙΣΤΟΣ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ: Για την αποδιαμόρφωση το φίλτρο λήψης θα προσαρμοστεί στον παλμό εξόδου h(t) δηλαδή θέτουμε g R (t)=h(t-t). g T (t) c(t) C(f) ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ h(t) T + G R (f) h(t)+n(t) r (t)= x s (t)+ν(t) n(t) x o +ν x o =x s (T) sagri@di.uoa.gr 3
Αν διατηρήσουμε μικρή τη χρονική απόσταση Τ των κυματομοφών, ώστε να επιτύχουμε μεγάλους ρυθμούς διαβίβασης συμβόλων R, και λογικές τιμές στην απόδοση του εύρους-ζώνης R/B c, τότε κατά τη δειγματοληψία του m-στού παλμού μαζί με την τιμή του συμβόλου αυτού θα λαμβάνεται ένα άθροισμα από δείγματα από προηγούμενους και επόμενους παλμούς. Για μια σειρά παλμούς στην είσοδο του καναλιού με διάρκεια κάθε παλμού μικρότερη από την απόστασή τους Τ ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ c(t) C(f)=F{c(t)} h(t) + G R (f) h(t)+n(t) y(t) n(t) Το σήμα y(t) στην έξοδο του φίλτρου λήψης αποτελείται από παλμούς κάθε ένας από τους οποίους έχει διάρκεια πολύ μεγαλύτερη από την απόστασή τους Τ sagri@di.uoa.gr 4
To σήμα y(t) στην έξοδο του φίλτρου λήψης Αποτέλεσμα είναι τη στιγμή της δειγματοληψίας του m- στού παλμού t=mt πολλοί από τους γειτονικούς παλμούς έχουν μη μηδενική τιμή, και το δείγμα y(mt): Και συμβολίζοντας με x m-n το x(mt-nt)= x[(m-n)t] προκύπτει: Το άθροισμα n= n m ax n m n Καλείται Αλληλοπαρεμβολή Συμβόλων (Intersymbol Interference-ISI) Ηφώραση λοιπόν του m-στού συμβόλου πρέπει να γίνει με βάση το δείγμα του αποδιαμορφωτή, y m, η οποία τώρα περιλαμβάνει και τον όρο της ISI. y = x a + ISI + v m 0 m m m sagri@di.uoa.gr 5
Αν δεν ληφθούν μέτρα η ISI είναι δυνατόν να λάβει εξαιρετικά μεγάλες τιμές κάνοντας αδύνατη τη σωστή φώραση του συμβόλου. Το πρώτο μέτρο που λαμβάνουμε είναι η μορφοποίηση (shaping) των παλμών λήψης. δ(t) G T (f) C(f) h(t) + G R (f) x rc (t) n(t) x 0 =ε h Στην τεχνική αυτή εκτός από το φίλτρο λήψης χρησιμοποιείται επί πλέον το φίλτρο εκπομπής G T (f) και επιδιώκουμε ο παλμός λήψης, x re (t) να αποκτήσει την ακόλουθη ειδική μορφή. Ειδικά Μορφοποιημένος Παλμός Λήψης x re (t). -T -2T 0 T 2T 3T t x re Παρατηρείστε ότι ισχύει ( nt) 1, για n = 0 = 0, για n =± 1, ± 2,... Οπότε με τον τρόπο αυτό η ISI μηδενίζεται! sagri@di.uoa.gr 6
Να επαναλάβουμε ότι για δεδομένη απόκριση συχνότητας C(f) του καναλιού, τα φίλτρα λήψης G R (f) και εκπομπής G T (f) επιλέγονται ώστε να υπάρχει στην έξοδο ο ειδικά μορφοποιημένος παλμός που μηδενίζει την ISI συγχρόνως το G R (f) να είναι προσαρμοσμένο στον παλμό εξόδου του καναλιού, h(t),, ώστε να λαμβάνει τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή το πηλίκο x 0 /σ 2 v Να μεταφέρουμε από τη βιβλιογραφία ότι ο ειδικά μορφοποιημένος παλμός δεν μπορεί να επιτευχθεί παρά μόνο αν ισχύει: 1/(2T)< )<B c R<2 <2B c Δηλαδή αν για κανάλι βασικής ζώνης επιχειρήσουμε μεγαλύτερο ρυθμό διαβίβασης από 2Β2 c η ISI δεν είναι δυνατόν να εξαλειφθεί! Οικογένεια Παλμών Λήψης Ειδικής Μορφής Χρονική μορφή και εξίσωση παλμού με φάσμα ανυψωμένου συνημίτονου Φασματική μορφή και εξίσωση παλμού με φάσμα ανυψωμένου συνημιτόνου sagri@di.uoa.gr 7
ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ΛΗΨΗΣ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΑ ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΠΑΛΜΟ ΛΗΨΗΣ (Δεχόμαστε C(f)=Π( Π(f/2W) Για να λυθεί το πρόβλημα χρησιμοποιούμε εκτός από το φίλτρο λήψης, G R (f), ένα φίλτρο εκπομπής στην είσοδο του καναλιού, G T (f), κατάλληλα επιλεγμένο.. δ(t) G T (f) c(t) C(f)=F {c(t)} h(t) + G R (f) h(t)+n(t) x rc (t-t 0 ) x rc (t-t 0 )=g R (t)*c(t)*g T (t)*δ(t) Χ rc (f)exp(-j2πft 0 ) = G R (f)c(f)g T (f) f <=B c (1) Συνθήκη Βέλτιστου Φίλτρου! G R (f)=c R H * (f)exp(-j2πft) (2) H(f)=G T (f)c(f) (3) n(t) x 0 =ε h Χ rc (f) = G R (f) G T (f), f <=W (1) G R (f) = c R H(f) (2) H(f) = G T (f) (3) Μια λύση είναι: G ( f ) c X ( f ) T = T rc G ( f ) c X ( f ) R = R rc όπου c R,c T σταθερές. Η c T καθορίζει την ισχύ εκπομπής ενώ η c R επιλέγεται αυθαίρετα. sagri@di.uoa.gr 8
ΜΙΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ PAM Σε ένα Σύστημα Μ-PAM οι παλμοί που φθάνουν στο δέκτη έχουν Μ διαφορετικά πλάτη: ( ) a = 2m 1 M m= 1,2,..., M m α m A, m=1,2,,m Πλάτη Τετραδικού PAM s 1 s 2 s 3 s 4-3A -A 0 A 3A Στο Φίλτρο λήψης Αν δεχθούμε ότι έχει επιλεγεί c R =1 h(t)+n(t) W W 2 W ( ) ( ) G f df = X f df = 1 R T W G R (f) x 0 +v rc x 0 =Ε g, σ v2 =E g N 0 /2 x 2 0 2 σ ν = ε 2 g N 0 sagri@di.uoa.gr 9
Σε ένα Σύστημα Μ-PAM ισχύει: ( ) am = 2m 1 M m= 1,2,..., M 2 x 2ε 0 g vm : Gaussian = 2 σ ν N0 Πλάτη Τετραδικού PAM s 1 s 2 s 3 s 4-3A -A 0 A 3A Η Πιθανότητα Σφάλματος P M υπολογίζεται ως: sagri@di.uoa.gr 10
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8.10 ΛΥΣΗ 1. W=1200 Hz άρα R MAX =2W=2400 bits/sec 2. P 2 =10-7 E b /N 0 =(1/2)[Quinv(10-7 )] 2 =13.5 3. P T =LRE b =LR(E b /N 0 )N 0 = 10 5 X 2400 X 13.5 X 4.1X10-21 =13.3X10-11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ L=30 db ΛΥΣΗ Ητιμή του Μ που αναζητούμε πρέπει να είναι ακέραια δύναμη του 2 Μ=2 k R b /R=k & R<2B C k ο μικρότερος ακέραιος που εξασφαλίζει ότι R b /k<2b C k ο μικρότερος ακέραιος που εξασφαλίζει ότι k>r b /2B C k=4 M=16 R=R b /4=2000 s/sec Από (8.3.22) B C =(1+a)R/2 a=2b C /R-1=2400/2000-1 a=0.2 sagri@di.uoa.gr 11
2. ΛΥΣΗ συνέχεια Στην περίπτωσή μας ισχύει: P M =k x P 2 =4 x 10-5 T=T 16 =1/R 16 =k/r 2 =4/R 2 Άρα P r =P av =[Quinv(M x k x P 2 /(2 x (M-1)))] 2 (M 2-1)(N 0 /2)( R 2 /4)/3 =[Quinv(16 x 4 x 10-5 /(2 x 15))] 2x 255 x 10-8x (8000/4)/3= (Quinv(16*4*10^-5/(2*15)))^2*255*10^-8 *(8000/4)/3=0.0285 Άρα P T =LP av =28,50 Watt P T = 28,50Watt. ΜΕ ΑΠΛΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (ASK) υ(t) = n= αn n= g T ( t nt) δ(t) G T (f) x cos(2πf C t) 1 2 3 4 c(t) C(f) + x G R (f) σ ν2 =Ν 0 ε/8 cos(2πf C t) n(t) 1. g T (t)cos(2πf C t) 2. h(t)cos(2πf C t)+n(t) x 0 =ε/2 ε: Ενέργεια παλμού h T (t) sagri@di.uoa.gr 12
δ(t) G T (f) x cos(2πf C t) 1 2 3 4 c(t) C(f) + x G R (f) σ ν2 =Ν 0 ε/8 cos(2πf C t) n(t) 1. g T (t)cos(2πf C t) 2. h (t)cos(2πf C t)+n(t) x 0 =ε/2 ε: Ενέργεια παλμού h T (t) 2. Ισχύει n(t)=n c (t)cos(2πf c t) - n s (t)sin(2πf c t) όπου n s (t) και n c (t) συνιστώσες βασικής ζώνης ασυσχέτιστες μεταξύ τους και με φασματική πυκνότητα N 0. 3. Yψηλή Συχνότητα +1/2[h T (t)+n c (t)]. 4. x 0 =ε/2 v 0 Gaussian με σ ν2 =Ν 0 ε/8 ή x 02 /σ ν2 =2ε/Ν 0 ΜΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ, PSK - όπου α nc =Αcos(2πm/M), α ns =Αsin(2πm/M), m=0,1,,m-1 sagri@di.uoa.gr 13
ΜΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ, QAM - όπου α nc =m c A, α ns =m s A, m c, m s =-(M-1),,-1,1,,(M-1) Θέτοντας: sagri@di.uoa.gr 14
Επομένως τα σήματα ASK, PSK και QAM γράφονται με τη γενική μορφή: υ(t) = n= αn n= g T ( t nt) Το υ(t) καλείται ισοδύναμο χαμηλοπερατό σήμα εκπομ- πής. Το υ(t) είναι ένα σήμα βασικής ζώνης. Για το ASK το υ(t) έχει πραγματική τιμή. Αντίθετα για τα QAM και PSK το υ(t) έχει μιγαδική τιμή. ΣΤΗΝ ΕΞΟΔΟ ΤΟΥ ΚΑΝΑΛΙΟΥ ΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ με όπου Το r(t) καλείται ισοδύναμο χαμηλοπερατό σήμα λήψης. Το r(t) είναι ένα σήμα βασικής ζώνης. Για το ASK το r(t) έχει πραγματική τιμή. Αντίθετα για τα QAM και PSK το r(t) έχει μιγαδική τιμή. sagri@di.uoa.gr 15
ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΛΗΨΗΣ ΣΕ ΣΗΜΑ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ Για ASK α n πραγματική ακολουθία. cos2πf c t w(t) x LPF G R (f) n= n= ( t nt) ν(t) αn x + ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΛΗΨΗΣ ΣΕ ΣΗΜΑ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ Για PSK και QAM α n μιγαδική ακολουθία. Re ancx( t nt) + vc ( t) n= w(t) Re ansx( t nt) + vs ( t) n= sagri@di.uoa.gr 16
Και στις δύο περιπτώσεις. Όπου α n και ν(t) είναι πραγματικά για ASK και μιγαδικά για PSK και QAM Απαίτηση σε Εύρος-Ζώνης των Τηλεπ. Συστημάτων Μέγιστη Tιμή του R/B C 1. Βασική Ζώνη: R/B C =2 2. Ζωνοπερατά Δυδιάστατα R/B C =1 Μέγιστη Tιμή του R b /B C 1. Βασική Ζώνη: R b /B C =2log 2 M 2. Ζωνοπερατά Δυδιάστατα R b /B C =log 2 M sagri@di.uoa.gr 17
Το εύρος ζώνης περιορίζεται αν δεν απαιτήσουμε την πλήρη εξουδετέρωση του ISI R=2W y = a x + v m n m n m n= y = a + a + v m m m 1 m sagri@di.uoa.gr 18
Προκωδικοποίηση στον πομπό d m p m =[d m -p m-1 ] modm p m Ισχύει ότι d m = [p m +p m-1 ] modm p m = 0 1 M-1 α m = -(M-1) -(M-3) M-1 p m-1 delay Δηλαδή α m =2p m -M+1 Στο Δέκτη το λαμβανόμενο δείγμα y m =b m +n m και d m = [p m +p m-1 ] modm Άρα τελικά d m = [b m /2+(M-1)] modm Προκωδικοποίηση στον πομπό Ισχύει ότι d m = [p m +p m-1 ] modm Άρα τελικά d m = [b m /2+(M-1)] modm sagri@di.uoa.gr 19
Παρατίθεται για σύγκριση ο μαθ. τύπος της P M του Μ-αδικού PAM P M 2( M 1) 6 = Q M 2 ( M 1) ε N av 0 Για να πετύχουμε στα δύο συστήματα την ίδια πιθανότητα σφάλματος, πρέπει η ε av του συστήματος μερικής απόκρισης να αυξηθεί περίπου κατά 2.1 db από αυτήν του Μ-PAM Μ-ΑΔΙΚΟ ΚΑΝΑΛΙ {b n } ΚΩΔΙΚ/ΤΗΣ {s m } {s m } ΑΠ/ΤΗΣ {b n } k bits σε 1 Μ-αδικό σύμβολο M-ΑΔΙΚΟ P e R Τ 1 Μ-αδικό σύμβολο σε k bits ΔΥΑΔΙΚΟ P b R b Τ b Σχεση Μεταξύ παραμέτρων (k=log 2 M) R b =kr για όλα τα συστήματα για MPAM, MPSK, MQAM, P b =P e /k για MFSK P b =P e /2 sagri@di.uoa.gr 20
Στα MPSK, MPAM, MQAM, όταν συμβεί σφάλμα το εσφαλμένο σύμβολο που λαμβάνεται στην έξοδο του φωρατή συνήθως απέχει ελάχιστη απόσταση από αυτό που έχει αποσταλεί από τον πομπό. Χρησιμοποιώντας κώδικα Gray εξασφαλίζεται ότι όταν συμβεί λάθος από τα k bits του κώδικα θα είναι λανθασμένο μόνο το 1. Έτσι στα συστήματα αυτά ισχύει P b =P M /k. Στα ΜFSK η τεχνική αυτή δεν μπορεί να εφαρμοστεί αφού όλα τα σύμβολα απέχουν μεταξύ τους την ίδια σταθερή απόσταση D=E s. Για το λόγο αυτό στα ΜFSK se κάθε λανθασμένο σύμβολο, κατά μέσο όρο τα μισά από τα kbits είναι λανθασμένα. Κώδικας Gray για 8-αδικό σύστημα 8PSK και ο αντίστοιχος κώδικας Gray 8PΑΜ και ο αντίστοιχος κώδικας Gray sagri@di.uoa.gr 21