ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑ : Α µι συάρτηση f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ [, ] µε f() γι κάθε [, ] τότε: f()d ΘΕΩΡΗΜΑ : Α f, g είι συρτήσεις ορισµέες κι συεχείς στο [, ] κι f() g(), γι κάθε [, ] τότε: f()d g()d ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Α µι συάρτηση f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ [, ] µε m, Μ ελάχιστη κι µέγιστη τιµή στο [, ] τίστοιχ, τότε: m( - ) f()d Μ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ : ( Μέσης Τιµής Ολοκληρωτικού Λογισµού ) Α µι συάρτηση f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ [, ] τότε υάρχει f()d f()( ) [, ] ώστε: Άσκηση : Α µι συάρτηση f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ [, ], τότε: f() d f()d Υόδειη : - f() f() f() - f() d f()d f() d f()d f() d Άσκηση : Α f, g είι συρτήσεις ορισµέες κι συεχείς στο [, ] τότε: ( ) f() g() d f ()d g ()d
Υόδειη : Θεωρούµε τη συάρτηση h() [f() λg()], λ R, [, ] οότε h()d [f () + λ g () λf()g()]d λ g ()d λ f()g()d + f ()d Γι ισχύει η σχέση υτή γι κάθε ργµτική τιµή του λ ( τριώυµο ως ρος λ ) ρέει:... Πόρισµ: Α f, g είι συρτήσεις ορισµέες κι συεχείς στο [, ] τότε: ( ( ) ) f() g() d f ()d g ()d Άσκηση 3: ( Γείκευση Θεωρήµτος Μέσης Τιµής Ολοκληρωτικού Λογισµού ) Α f, g είι συρτήσεις ορισµέες κι συεχείς στο [, ] κι η g διτηρεί στθερό ρόσηµο στο [, ] τότε: f()g()d f() g()d, όου [, ] Υόδειη : Αφού η f είι συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ], θ έχει µι µέγιστη τιµή Μ κι µι ελάχιστη τιµή m κι θ ισχύει: m f() M γι κάθε [,] m g() f() g() M g(), άρ f() g()d m g()d f() g()d M g()d m M g()d f() g()d Άρ υάρχει [, ] µε f() f() g()d f() g()d g()d Άσκηση : Α η συάρτηση f είι γησίως ύουσ, συεχής κι στρέφει τ κοίλ άω στο διάστηµ [, ], τότε: f() + f() ( - )f() < f()d < ( - ) Υόδειη : Ν κάετε γεωµετρική όδειη
Άσκηση 5: Α η συάρτηση f είι γησίως ύουσ, συεχής κι στρέφει τ κοίλ κάτω στο διάστηµ [, ], f() + f() τότε: ( - ) < f()d < ( - )f() Υόδειη : Ν κάετε γεωµετρική όδειη Άσκηση 6: ηµ Ν οδείετε ότι: d < συ κι + + d Υόδειη : Αό τη γείκευση του θεωρήµτος µέσης τιµής έχουµε: ηµ [ ] Υάρχει [,] : d ηµd συ < συ + + + Α θεωρήσουµε f() + κι g() ό τη άσκηση έχουµε: 6 5 ( ) 5 6 + d d (+ )d + 5 5 + d Άσκηση 7: Ν οδείετε ότι: < d < Υόδειη : < < < < < < < d d < d < d < Άσκηση 8: Α η συάρτηση f είι ορισµέη κι συεχής σε έ διάστηµ, οδείετε ότι: - f()d γ - γ f()df γι κάθε,,γ µε < < γ
Υόδειη : Θεωρώ τη συάρτηση f ορισµέη κι συεχή στο [, ] οότε ό το θεώρηµ της µέσης f()d τιµής θ υάρχει στο διάστηµ υτό µε f()d f() ( ) f(). Όµοι γι τη f - f()d στο διάστηµ [, γ] θ υάρχει στο διάστηµ υτό µε f(). - Α η f είι ύουσ θ έχουµε: γ f() f() f()d f()d - γ - Ατίστροφ γ f()d f()d f() f() µε - γ - κι άρ η f είι ύουσ στο διάστηµ. Άσκηση 9: Ν οδείετε ότι: < d ln ( + ) < Υόδειη : Θεωρώ τη συάρτηση: f() [, ] ου είι δύο φορές ργωγίσιµη στο διάστηµ ln [, ] µε Έτσι: ln f () ln κι f () ln( ln) ln f () κι f () γι κάθε [, ]. Άρ η f είι γησίως ύουσ κι στρέφει τ κοίλ άω στο διάστηµ [, ], οότε ό τη άσκηση ροκύτει ότι: f() ( ) < d ln f() + f( ) < ( )... ΘΕΩΡΗΜΑ Cauchy : Α οι συρτήσεις f, g είι συεχείς στο κλειστό διάστηµ [, ], ργωγίσιµες στο οικτό g() g() ) διάστηµ (, ) µε κι g() γι κάθε (,, τότε υάρχει (, ) ώστε f() - f() f () g() - g() g ()
Σχόλιο : Το θεώρηµ ισχύει κι ότ οι συρτήσεις f, g είι συεχείς στο [, ] κι ργωγίσιµες στο (, ). Τότε υάρχει (, ) :[f() - f()] g () [g() - g()] f () Υόδειη : Θεωρούµε τη συάρτηση h() f() [g() - g()]- g() [f() - f()] στο διάστηµ [, ] ου είι συεχής στο [, ] ργωγίσιµη στο (, ) κι h() f() [g() g()]- g() [f()- f()] f() g()- f() g() h() f() [g() g()]- g() [f()- f()] f() g( - f() g() Αό το θεώρηµ Roll υάρχει (, ) ώστε : h ()... ΘΕΩΡΗΜΑ : Α οι συρτήσεις f, g είι συεχείς στο κλειστό διάστηµ [, ], µε g() γι κάθε (, ), τότε υάρχει (, ) τέτοιο ώστε : Υόδειη : Θεωρούµε τις συρτήσεις: είι ργωγίσιµες µε f() g()d g() f()d F() f(t)dt F () f() κι G () g() κι G() g(t)dt µε [, ] ου. Έτσι ό το θεώρηµ Cauchy έχουµε Σχόλιο : Α g(). ροκύτει το θεώρηµ της µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού. Άσκηση : Α η συάρτηση f είι ορισµέη κι συεχής κι ύουσ στο διάστηµ [, ] κι F() f(t)d, [, ] µε >, οδείετε ότι: F()d f() Υόδειη : Θεωρούµε τη συάρτηση G() στο διάστηµ [, ]. Προφώς οι F, G είι ργωγίσιµες στο διάστηµ υτό µε G () κι F ()f(). Σύµφω µε το ροηγούµεο θεώρηµ
υάρχει (, ) τέτοιο ώστε : f(t)dt F()d F() G()d G() F()d F() d F()d Η f όµως είι ύουσ στο διάστηµ [, ] κι άρ κι στο [, ] µε >, οότε f(t)dt f()dt f() f(t) f(), t [, ] f(t)dt f()dt f() Άρ F()d f() F()d f() F() F()d d Άσκηση : Α η συάρτηση f είι ργωγίσιµη στο διάστηµ [, ] κι η συάρτηση f είι συεχής στο διάστηµ [, ], οδειχθεί ότι υάρχει Υόδειη : Θεωρούµε τις συρτήσεις είι συεχείς. Άρ θ υάρχει (, ) τέτοιο ώστε : (, ) τέτοιο ώστε : + f () f(t)dt + F() f () f(t)dt + κι G() στο διάστηµ [, ] ου G() F()d F() G()d F()d f () f(t)dt + d f () f(t)dt + d f () f(t)dt + ( ) f() f(t)dt + f() f(t)dt d f () f(t)dt + ( ) f ()d f () f(t)dt + ( ) f () f(t)dt + ( )
Άσκηση : Ν οδειχθεί ότι: < ( ηµ d + ) Υόδειη : Θεωρούµε τις συρτήσεις 6 + f() ηµ κι συ d g() (+ )συ στο διάστηµ (, /). Άρ υάρχει στο διάστηµ υτό τέτοιο ώστε: f() g()d g() f()d ηµ (+ )συ d (+ ) συ ηµ d ηµ d ηµ εφ (+ ) συ + (+ )συ d Όµως φού το είι σηµείο του διστήµτος (, /) θ έχουµε ( ροκύτει ό < + + τη µοοτοί της h() στο διάστηµ [, ] ).. + Άσκηση 3: Α η συάρτηση f είι συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ] µε. >, οδειχθεί ότι : f() 3 3 υάρχει (, ) ώστε : f()d ( ) 3 3 3 Υόδειη : f() 3 3 f()d ( ) f()d f() f()d f() d 3 3 Θεωρούµε τη συάρτηση g() στο διάστηµ [, ]. Έτσι ό ροηγούµεο θεώρηµ έχουµε: f() 3 3 g() f()d f() g()d f()d f() d f()d ( ) 3