Papldoo ugdyo okykla Fzkos olpas Mechanka Dnaka (II dals) (Paskatų konspektas) 9 kovo 1-18 d Prof Edundas Kuokšts Planas Ketojo kūno asės centras Statka Pagrndnė sukaojo judėjo lygts Judeso keko (pulso) oento tverės dėsns Korolo jėga Ketojo kūno dnaka Sukass ape nejudaą ašį Inercjos oentas Slenkaojo r sukaojo judėjo palygnas Kūnų judėjas nuožulnąja plokštua Groskopas Vlnus 1
Fzkos Olpas Sesja 9 1-16 Ketojo kūno asės centras Statka Pagrndnė sukaojo judėjo lygts Judeso keko (pulso) oento tverės dėsns Korolo jėga Ketojo kūno dnaka Sukass ape nejudaą ašį Inercjos oentas Ketojo kūno asės centras Ik šol nagrnėjoe tap vadnaą ateralojo taško dnaką Materaluss taškas abstrakcja, odels, kurs dažna gana gera atspnd tkrovę Venok realybėje vsuoet susdurae su bagtnų atenų kūnas, kure echankoje apbūdna kap ketej kūna Ta vėlg abstrakcja Mechankoje ketass kūnas ta bagtnų atenų kūnas, kuro atenys dėl sąvekos su ktas kūnas neskeča Tkrovėje vyksta įvaros deforacjos, r atenys nors r nežya, bet kečas Dažna ta neddel pokyča, r ketojo kūno odels gana gera tnka Mechankoje praverča ketojo kūno asės centro sąvoka Masės centras ta taškas, kurs pasrnktos koordnačų ssteos atžvlgu nusakoas bendru atveju toku būdu: n 1 r r, (D-1) 1 ča r r -osos dalelės (ją gala lakyt tašknu kūnu) asė r radusas-vektorus (tos pačos atskatos ssteos atžvlgu), n 1 - vsa ktojo kūno asė Je koordnačų ssteos pradžą pasrnkse asų centre, ta r, r n 1 r (D-) Je kūno asė passkrsčus nenutrūkstaa, ta r 1 d r (D-) ( ) Kartas ketųjų kūnų ssteą patogu sudalnt į kels ketuosus kūnus Nesunku pastebėt, kad (D-1), pvz, sudalnus kūną į dals, kurų veną sudaro k tašknų dalelų, o ktą lkusos ketojo kūno (n-k) dalelės, gala pergrupuot toku būdu: n k n 1 1 r r r + r, (D-4) 1 1 k + 1
arba r +, (D-5) 1r1 r ča ndeksa 1 r reška attnkaus projo r antrojo kūno dydžus Š forulė praverča, skačuojant įvarų frgūrų ar sudėtngos foros kųnų asės centrus, tnkaa parnkus pačus kūnus r koordnačų pradžą 1 pavyzdys ast venalyčo spndulo dsko, turnčo spndulo r (r</) kauryę, kuros centras yra atstuu / nuo dsko centro, asų centrą r / Sprendas Tegul eškoos fgūros asės centras taške Gale įsvazduot, kad užpldoe kauryę k venalyčo dsko, kuro asų centras yra geoetrns skrtulo centras O Jo atžvlgu O r prtakyke forulę r 1r1 + r, x c tarda, kad 1-ass kūnas yra duotoj fgūra / (skrtulys su špjova), o -ass užpldančoj fgūra (r spndulo dskas) Tuoet taško O atžvlgu r Tag, 1 x Vsos fgūros venalytės, jų tanks venodas (ploto veneto asė vsur ta pat), tag gaunae π ( r ) xc πr r Iš ča x c ( r )
pavyzdys ast plonos venalytės velos, sulenktos į spndulo pusapskrtį, asės centrą Sprendas O O ϕ d ϕ d π dϕ l(ϕ) Pagal asų centro apbrėžą (x skačuojaas ašes OO atžvlgu): π / π / x c l( ϕ)d dϕ snϕ π Iš ča x c π Toko tpo uždavnų sprendą palengvna 1-oj Guldeno teorea: sukos kūno pavršus, gautas sukant bet koką plokščą krevę ape ašį, esančą tos krevės plokštuoje, bet jos nekertančą, lygus tos krevės lgu, padaugnta š jos asų centro apbrėžto apskrto lgo Iš tkrųjų, šo uždavno atveju pasrnke ašį OO Tuoet prtakoe 1-ąją Guldeno teoreą: 4π π πx Iš ča x c - gaunae tą pačą vertę π 4
pavyzdys ast venalyčo spndulo pusskrtulo asės centrą Sprendas Pasrenkae ntegravo kntaąjį kapą ϕ, kurs knta rbose nuo k π/ (žr brėž) O cosϕdϕ dϕ O ϕ d ϕ x cosϕ snϕ Tuoet x plotu Tag, π π π π / xd Pusskrtuls venalyts, todėl asė proporcnga attnkaos fgūros x cosϕ cosϕdϕ snϕ, π / x cos ϕ snϕdϕ, x, š ča 4 x π Spręsda šį uždavnį, gale pasnaudot -ąja Guldeno teorea: kūno tūrs, gautas sukant bet koką plokščą fgūrą ape ašį, gulnčą tos fgūros plokštuoje, bet jos nekertančą, lygus tos fogūros ploto r jos asės centro apbrėžto apskrto lgo sandauga Šae uždavnyje pasrenkae ašį OO Tuoet prtakę -ąją Guldeno teoreą ture: 4π π 4 πx š ča x π 5
Statka Statka ta echankos dals, nagrnėjant kūnų pusausvyros sąlygas Statkoje analzuojaos jėgos be jėgų oenta kap vektora Statnės pusausvyros atveju tek jėgų, tek jėgos oentų atstojaosos lygos 4 pavyzdys A α Ka lyg horzontal jėga F, vekant į neddelį skrdnį B, je pakabnus asės krovnį sūlas B vertkalus, o AB su horzontu sudaro kapą α? B F g Sprendas Stuacja statnė, ty ture pusausvyrą Tuoet jėgų vektornė sua lyg Tuoet patogu suuot horzontaląsas r vertkaląsas jėgų A α projekcjas taške B Įvedę sūlo tepo jėgą T, ture tašką B vekančas jėgas T 1, T (T T 1 T ), g r F tuoet F T1 cosα T T 1 g T1 snα + T F B T1 T g Išsprendę ssteą, gaunae cosα F g 1+ snα 6
Pagrndnė sukaojo judėjo lygts Panagrnėke dvejų sąvekaujančų dalelų ssteą Tegul prąją dalelę veka šornė jėga F 1 r antra dalelė jėga F 1 Antraja dalele analogškos jėgos F r F 1 Vdnės jėgos F1 F1 Dalelų judėjo lygtys (antrass Nutono dėsns) p + p + 1 F1 F1 F1 F (D-6) r 1 F 1 1 F 1 F 1 Padaugnke šas lygts š karės vektorška attnkaų radusų vektorų pasrnkto taško (centro) atžvgu [ r 1, p 1] [ r1, F1 ] + [ r1, F1 ] [ r, p ] [ r, F ] + [ r, ] 1 F d Bet [ rp] [ rp ] + [ rp ] [ rp ], nes [ rp ] 1 [ pp] dt Be to, pasnaudoję tuo, kad F1 F1 r sudėję (D-7) lygts, gaunae d {[ r 1, p1 ] + [ r, p ]} [( r1 r ), F1 ] + [ r1, F1 ] + [ r, F ] (D-8) dt Ča pastebėse, kad vektora r1 r r F 1 kolnearūs (š tkrųjų antlygagretūs), todėl šų vektorų vektornė sandauga lyg Tuoet d {[ r 1, p1 ] + [ r, p ]} [ r1, F1 ] + [ r, F ] (D-9) dt Je sstea uždara, r, p r, cons (D-1) [ ] [ ] t 1 1 + p Ta šslakants dyds Šs dyds dalele [ rp] r L vadnaas judeso keko (pulso) oentu centro O atžvlgu Ta pseudovektorus Js adtyvus dyds F (D-7) 7
Ča gala įvest r ktą naudngą dydį - jėgos oentą Jėgos oentu centro O atžvlgu vadnaas dyds M [ rf ] Tag, lygtį venos dalelės atžvlgu, panaudoda šuos dydžus, galėtue užrašyt kap d L rm šorn arba dt Ta pagrndnė sukaojo judėjo lygts Judeso keko (pulso) oento tverės dėsns (D-11) Je sstea uždara (neveka joke šorna oenta jėgos gal vekt, bet oenta tur būt lygūs nulu), tuoet M Tada Ta pulso (judeso keko) oento tverės dėsns d dt L const L M (D-1) 5 pavyzdys rko traplną sudaro horzontal lenta su per vdurį įtasytu šarnyru Į veną lentos galą š pakankaa ddelo aukščo šoka asės 1 gnastas, o ktae lentos gale esants asės klounas šetaas į vršų Koku atstuu x nuo šarnyro tur takyt šokt gnastas, kad klounas pakltų į ddžausą aukštį, je klounas yra L atstuu nuo šarnyro? Lentos asės nepasyt Ats: Sprendas x L 1 klounas L x 1 gnastas Šarnyro atžvlgu tur būt tenknaas judeso keko oento tverės dėsns, ty 1xv1 Lv Ča v 1 - gnasto grets, kurį js tur preš pat pasekdaas traplną, v - klouno grets, gnastu sustojus Ša oentu gale užrašyt r energjos tverės dėsnį, kurs bendru atveju nusakoas 8
1v1 v + Q Ča Q gala šsskyrus šlua sūgo etu Kad klounas pasektų ddžausą aukštį, š šlua tur būt nal, ty dealu atveju lyg Tuoet š šų dvejų lygčų elnavę santykį v / v, gaunae 1 x L 1 6 pavyzdys Neddels rytulukas pakabntas ant lgo l sūlo Po to rutulukas atlenkaas tap, kad sūlas sudaro kapą α su vertkale, r sutekaas horzontalus grets statena vertkala plokštua, kuroje yra sūlas, krypt Kokį pradnį gretį reka sutekt rutuluku, kad judėdaas js atlenktų sūlą nuo vertkalės ddžausu kapu π /? gl Ats: v cosα Sprendas α v Pradna (atslenkas kapu α) r galutna (atslenkas kapu π / ) oentas prtakoe judeso keko oento ašes atžvlgu r energjos tverės dėsnus: vl snα ul v u + gl cosα Iš lygčų elnavę u, gaunae gl v cosα 9
7 pavyzdys Ant horzontalos lygos plokštuos juda neddels asės kūnas su prrštu sūlu, kuro antras galas pervertas per neddelę plokštuos kauryę Sūlas paažu traukaas į kauryę ast sūlo įtepo jėgą kap kūno atstuo x k kauryės fnkcją, je esant atstuu r kūno grets buvo statenas sūlu r lygus v r v F Sprendas v r Ats: F ( x) x Kūnas kauryės (judėjo centro) atžvlgu tur judeso keko oentą L vr Sukaojo judėjo atžvlgu sstea yra uždara, nes veka jėga, kur nesukura jėgos dl oento, t y M Kadang M dt, ta L const - galoja judeso keko tverės dėsns Tag, je kūnas yra atstuu x nuo kauryės, š judeso keko tverės dėsno gale užrašytį: v ( x) x v r vr Vadnas, ka atstuas k kauryės x, kūnas tur lnjnį gretį v( x), kurs x v ( x) statenas sūlu Bet kūną tae taške tur vekt įcentrnė jėga F įc, o ta r yra x sūlo įtepo jėga Vadnas, v r F ( x) x 1
8 pavyzdys Masės rutulukas, turėdaas gretį v, tapra susdura su venu š rutulukų, sudarančų rtyje buvusį ketą hantelį, kap parodyta pav Hantelo kekveno rutuluko v l / / asė /, o atstuas tarp jų l Nekrepda dėeso į rutulukų atens r tarda, kad hantelus jungants strypels laba lengvas, rast hantelo savąjį judeso keko oentą po sūgo, ty judeso keko oentą atžvlgu judančo pastovu greču hantelo asės centro Koku kapnu greču sukas hantels jo asų centro ayžvlgu? Ats: lv 4 L, ω v l Sprendas Sūgo etu sąvekauja tk asės rutulukas r vršutnyss hantelo rutulukas Užrašoe jes judeso keko r energjos tverės dėsnus: v v + v v v v + 4 Ča v r v - attnkaa asės r hantelo vršutnojo rutuluko greča po sūgo Išsprendę ssteą, gaunae v 4 v r v v Tuo būdu, š karto po sūgo apatno hantelo rutuluko atžvlgu vršutnyss juda greču v, o hantelo asų centras dvgub ažesnu greču, ty v v Tuoet asų centro atžvlgu (perskėlus į greču v judantį hantelo asės centrą) vršutnyss rutulukas juda greču v v v (į dešnę), o apatns greču v v (į karę) Tag, judeso keko oentas atžvlgu judančo pastovu greču hantelo asės centro lygus: l lv L v Kapnį gretį gaunae š lygybės: l 4 ω v, ty ω v l 11
9 pavyzdys Vertkala įtvrtnto kūgo vdnu pavršuu be trntes slysta neddels kūnas Pradnu oentu kūnas yra aukštyje h, o grečo vektorus nukreptas kūgo pavršaus lestnės krypt r yra horzontalojoje plokštuoje Judėdaas tolau kūnas nusledža k aukščo h /, o po to pradeda klt Apskačuot kūno gretį vršutnae r apatnae trajektorjos taške v h h / O Sprendas Vazdas š vršaus v v O Vršutna r apatna tašku prtakoe judeso keko oento kūgo setrjos ašes atžvlgu r energjos tverės dėsnus: h vvhtgα va tgα vv va + g h Ča kūno asė, v v r v a - kūno greča attnkaa vršutnae r apatnae trajektorjos taške, o α - kūgo vršūnės kapas Išsprendę ssteą,gaunae: gh v v, 6 gh v a v a 1
Korolo jėga Dar venas š nenercnės steos pavyzdžų bessukant sstea Je perskeltue į šą ssteą, ta jos atžvlgu nejudants kūnas nercnės atskatos ssteos atžvlgu judėtų su įcentrnu pagreču Je kūnas bessukančos ssteos atžvlgu nejuda, vadnas tą jėgą toje ssteoje tur kopensuot prešnga įcentrne jėga Š fktyv jėga r vadnaa šcentrne jėga Ta nercnės jėgos atvejs J tur prasę tk bessukančoje ssteoje Je toje ssteoje kūno nevektų joka kta jėga (trntes, vrvės tepo ar kta), ta kūnas judėtų su pagreču nuo centro (š ča r pavadnas šcentrns pagrets arba šcentrnė jėga) Kūnu Q judant bessukančoje nenercnėje ssteoje be nercnės (šcentrnės) jėgos atsranda dar vena papldoa jėga, kur vadnaa Korolo jėga Panagrnėke atskrą atvejį, ka ture bessukančą ape ta tkrą ašį kapnu greču ω ssteą K, o joje judantį tašknį kūną greču v Tegul konkret konfgūracja toka, kap nurodyta brėžnyje ω F Q F šc v F K Mūsų nejudaos (nercnės) atskatos ssteos atžvlgu kūnas juda greču v v + ω (D-1) Tada įcentrnė jėga ūsų nejudaos ssteos atžvlgu lyg F a n v ( v + ω) v + v ω + ω (D-14) Bessukančos (nenercnės) ssteos atžvlgu taškns kūnas juda, turėdaas noralnį v v' pagretį a n, ty lyg toje ssteoje vektų jėga [ča šreškae š (D-14)] v a F v ω ω (D-15) n Matoe, kad bessukančoje ssteoje be šcentrnės jėgos papldoa jėga ( v ω ) Ta Korolo jėga F K F šc ω atsranda 1
Je grets v būtų nukreptas prešnga krypt: ω F FK Q F šc v Šuo atveju nejudaos atskatos ssteos atžvlgu kūnas judėtų greču v v ω (D-16) Tada įcentrnė jėga nejudaos ssteos atžvlgu lyg v ( v ω) v F an v ω + ω (D-17) Bessukančos ssteos atžvlgu taškns kūnas juda, turėdaas noralnį pagretį v a n, ty lyg toje ssteoje vektų jėga v a F + v ω ω (D-18) n Tag, šuo atveju bessukančoje ssteoje be šcentrnės jėgos Fšc ω veka jėga F K, kuros oduls v ω Bendru atveju (esant bet koka grečo v krypča) [ v ω] F k (D-19) Ta Korolo nercjos jėga Jos pasreško pavyzdža: Paplaut Žeės šaurės pusrutulo upų, kuros teka š petų į šaurę, rytna kranta Labau susdėvėję attnka geležnkelo bėga Fuko švytuoklė 14
Ketojo kūno dnaka Ketass kūnas echankoje ta bagtnų atenų kūnas, turnts pastovą forą r paprasta lakoas absoluča nedeforuojau Jo atenys nėra daug ažesn už charakterngus nagrnėjaus lgus ar nuotolus skrtnga nuo ateralojo taško Venose stuacjose tas pats kūnas gal būtlakoas ateralu tašku, ktose ketuoju kūnu Pvz, kūnas pakelaas į ta tkrą aukštį Je kūno atenys daug ažesn už šį aukštį, kūnas gal būt lakoas ateraluoju tašku Je kūno atenys palygna su šuo aukšču kūnas tur būt analzuojaas kap ketass kūnas (būtna atsžvelgt į jo asės centro padėtį, sukąs r kt) Slenkaass judėjas Ik šol dažnausa kalbėjoe ape ateralųjį tašką (arba keletą taškų) Je ture ddesnį asės M kūną, kuro atenų negale atest kap daug ažesnų už charakterngus nagrnėjaus atstuus, kūną gale nts sudalnt į daug ažų tašknų kūnų, kures naudojoe attnkaas ateralojo taško lygts Ča M Pvz, kekvena dalele gale takyt antrąjį Nutono dėsnį a f + F (D-) Ča f - vsų ssteos vdnų jėgų, vekančų -ąją dalelę, atstojaoj, o F - vsų šornų jėgų, vekančų tą dalelę, atstojaoj Sudėję vsas daleles, gautue f + a F (D-1) Vdnų jėgų sua lyg, todėl gaunae F a (D-) Pastebėse, kad įvesda asų (nercjos) centrą, gale lygybę pertvarkyt: Mr r (D-) Ča r - -osos dalelės radusas-vektorus pasrnktos steos atžvlgu, o r - kūno asės (nercjos) centro radusas-vektorus tos pačos steos atžvlgu Bet r a, o r a Tada a Ma, arba M (D-4) a Fšor Š lygts reška, kad ketojo kūno asų centras juda tap, kap judėtų tašknė kūno asės M dalelė, kurą vektų vsų kūną vekančų jėgų atstojaoj 15
Sukass ape nejudaą ašį Inercjos oentas Tegul absoluča ketas kūnas (atstua tarp jo dalelų neknta) sukas ape fksuotą z-ašį Je tue -ąją dalelę: [ r, v ] [ r v ] L, (D-5) Tada odulas (žūr brėž - vazdas plokštuoje) z L ω α α r v L r v rω (D-6) L z L cosα rω ω cosα ( r cosα ) ω (D-7) Susuavę pagal vsas kūno daleles gaunae L L ω ω (D-8) z z Ča įvedaas kūno nercjos oentas konkrečos sukos ašes atžvlgu I (D-9) Tuoet L z Iω arba bendru atveju 16
L Iω (D-) Inercjos oentas adtyvus dyds, ty ssteos suns nercjos oentas lygus atskrų jos dalų nrcjos oentų sua Inercjos oetas prklauso nuo ašes, kuros atžvlgu kūnas sukas r kuros atžvlgu js skačuojaas Tas pats kūnas gal turėt skrtngus nercjos oentus, je ašys skrtngos Judeso keko oento tverės dėsns dažna užrašoas r toku būdu : I ω const (D-1) Prnse, kad šuo atveju šornų jėgos oentų atstojaoj lyg nulu (sstea uždara) Dažna būna, kad vekantys šorna jėgų oneta krypt sutapa su judeso keko oento krypt, ty je keča tk judeso keko oento odulį Tuoet pagrndnę sukaojo judėjo lygtį gala takyt skalarne fora dl d( Iω) M, arba M dt dt, arba (je onst dω I r prsnus, kad β ) dt I β M (D-) Štenero teorea Kūno nercjos oentas I bet kuros ašes atžvlgu lygus nercjos oento I ašes, enančos per kūno asų centrą r lygagrečos praja aša, r kūno asės be atstuo tarp šų ašų l kvadrato sandaugos sua, ty I I + l (D-) 17
Bet kokį kūną gale ntyse sudalnt į plonas plokštuas, statenas nagrnėjaa aša Sudėję jų nercjos oentus gaunae vso kūno nercjos oentą, todėl gale nagrnėt veną plokštą Vs vektora venoje tokoje plokštuoje O O Δ r l r -l O O Pagal nercjos oento apbrėžą bet kuros ašes atžvlgu (pvz, O O ) I Δ ( r l) Δr Δr l + Δ l Masų centro atžvlgu Δr Be to, Δ r l ( Δr ) l l, o I I + l I Δ r Δ l l Δ l Tag, 18
Inercjos oentų skačavo pavyzdža 1 Masės r spndulo plonas žedas, ašs ena per asės centrą r yra statena žedo plokštua Sprendas Sudalnus žedą į ažus eleentus Δ, kekveno jų nercjos oenta lygus nes je vs yra venodu atstuu nuo ašes Tada I Δ Δ Masės r spndulo dskas, ašs ena per asės centrą r yra statena dsko plkštua Sprendas O Δ, x dx O I 4 d x πxdx x π 4 Masės M r lgo L strypels, ašs ena per asų centrą r statena strypelu Sprendas O L O x dx I L / M L L / M x ML d x x L 1 19
a Ka lygus šo strypo nercjos oentas ašes, enačos per jo galą r statenos strypu, atžvlgu? 1 Ats: I ML Sprendas Pasnaudojae Štenero teorea: L ML ML 1 I + M + ML I 1 4 4 Apskačuokte plonasenės sferos nercjos oentą setrjos ašes atžvlgu Sferos asė, spndulys Sprendas Ats: I Suskrstoe sferą į plonus asės d žedelus Plono žedo nercjos oentas lygus jo ase, padaugnta š jo spndulo kvadrato d σds ϕ snϕ dϕ d ϕ Žedelo asė d σds π snϕ dϕ snϕdϕ Tada 4π I π / d( snϕ) π / ( 1 cos ϕ)d(cosϕ) π / π / sn ϕdϕ sn ϕdϕ π / cos ϕ π / cos ϕ +
5 Apskačuokte venalyčo rutulo nercjos oentą setrjos ašes atžvlgu utulo asė, spndulys Ats: I 5 Sprendas utulį suskrstoe į laba plonas spndulo x, storo dx r asės d sferas, kurų kekvenos nercjos oentas lygus d I d x d 4πx dx x dx 4 π Tuoet 4 I d I x dx x x dx 5 Bessukančo ketojo kūno knetnė energja Masės taškno kūno (dalelės) knetnė energja v E kn Je dalelė sukas kapnu greču ω ape ašį atstuu r nuo jos, gale r tap užrašyt: ( ωr ) r ω E Iω kn (D-1) Ča I dalelės nercjos oentas ašes atžvlgu Gale tart, kad ketass kūnas susdeda š daugelo tašknų dalelų, todėl bessukančo ape fksuotą ašį ketojo kūno knetnė energja gal būt skačuojaa kap sua tų tašknų dalelų knetnų energjų, ty: E r r ω ω r kkn (D-) Bet r I - ketojo kūno nercjos oentas ašes atžvlgu, tdėl Iω E kkn (D-) 1
Slenkaojo r sukaojo judėjo palygnas Lentelėje patektos ka kuros dažnausa pastakančos praktnės forulės, naudojaos analzuojant slenkaąjį r sukaąjį judėją D-1 lentelė Slenkaass judėjas s - poslnks v lnjns grets a v - lnjns pagrets - asė p v - judėjo keks (pulsas) F jėga p F - pagrndnė slenkaojo judėjo lygts (antrass Nutono dėsns) v E kn - slenkančo kūno knetnė energja d A Fds - jėgos atlktas darbas kelyje d s Sukaass judėjas ϕ - kapas ω - kapns grets β ω - kapns pagrets I - nercjos oentas L Iω - judėjo keko (pulso) oentas M jėgos oentas L M - pagrndnė sukaojo judėjo lygts; ka ašs z fksuota (nejudaa), I β z M z Iω E kn - bessukačo kūno knetnė energja da Md ϕ - jėgos oento atlktas darbas, pasukus kūną kapu dϕ Kūnų judėjas nuožulnąja plokštua 1 Šluožants kūnas Ant įtvrtntos nuožulnosos plokštuos, sudarančos kapą α su horzontu, jos vršuje padedaas neddels asės kūnas Trntes koefcentas tarp kūno r nuožulnos plokštuos μ, o nuožulnosos plokštuos lgs L Kūnas paledžaas judėt be pradno grečo a) Koka trntes koefcentu μ kūnas pradės šluožt? b) Koku pagreču judės kūnas?
c) Per kek lako js įveks vsą nuožulnosos plokštuos lgį? d) Kokį gretį js įgs plokštuos papėdėje? e) Kek šsskrs šluos judant kūnu nuožulnąja plokštua? α μ? a? μ t? L v? Q? Sprendas μg cosα F g snα h N g cosα α α L α g a) Kad kūnas pradėtų šluožt, būtna,kad aksal trntes jėga nevršytų sunko jėgos dedaosos šlga nuožulnosos plokštuos (ča tarse, kad rtes trnts lyg slydo trnča) Tag F tr < g snα Bet F tr μn μg cos β Tuoet μg cos β < g snα, š kur μ < tgα b) Pagretį surandae š antrojo Nutono dėsno, kurį prtakoe jėgos r judėju šlga nuožulnosos plokštuos:
a g snα μg cosα Iš ča a g(snα μ cosα ) L t a c) Šluožo laką t gale rast š nueto kelo: L g(snα μ cosα) d) Gala spręst dve būdas 1-as būdas at L Tada Pasnaudoke energjos tvere (į kūno atens neatsžvelgae, nes js ažas): v gh + F tr L, kur h Lsnα h nuožulnosos plokštuos aukšts Tada gh Ftr L v gl(snα μ cosα) -as būdas v at Bet šluožo laką t gale rast š nueto kelo: L v a al gl(snα μ cosα) a e) Šlua šsskra dėl trntes jėgų darbo, ty Q F L μglcosα tr at L Tada edants clndras lndras, kuro asė r spndulys, nureda be praslydo nuo įtvrtntos aukščo h nuožulnosos plokštuos, sudarančos kapą α su horzontu, vršaus lndro spndulys žya ažesns už nuožulnosos plokštuos atens a) Koku lnjnu pagreču juda clndro asės centras? b) Koku kapnu pagreču clndro setrjos ašes atžvlgu sukas clndras? c) Koka trntes jėga veka clndrą jo letos su nuožulnąja plokštua taške? d) Kek lako redės clndras k nuožulnosos plokštuos papėdės? e) Kokį lnjnį gretį įgs clndro asės centras nuredėjęs nuo plokštuos? f) Koks tur būt slydo trntes koefcentas, kad clndras nepraslystų? 4
Išnagrnėt trs atvejus, ka clndro nercjos oentas laba ažas (jo asė sukoncentruota tes jo setrjos aš), ka clndras venalyts r ka clndras plonasens venalyts vazds Sprendas F tr h O α L g snα α α N g cosα g Ča tarae, kad redėjo trnts laba aža r jos nepasoe Vekant trntes jėga (ta š esės rtes trnts, nes clndras nepraslysta) suteka clndru kapnį pagretį be prešnas clndro judėju plokštua, bet darbo š jėga neatleka, nes nėra slydo a) 1-as būdas Sudaroe lygčų ssteą, redaes antruoju Nutono dėsnu šlga judėju plokštuos, suršda lnjnį r kapnį pagrečus be užrašyda pagrndnę sukaojo judėjo lygtį clndro setrjos ašes (ena per tašką O) atžvlgu: g snα F a β Ftr I β tr a Elnuojae F tr : I g snα β a a β I a g snα a 5
Tada a g snα I + Je I (clndro asė sukoncentruota tes jo aš), gaunae a g sn α Ta slystant be trntes dalelė Je clndras venalyts, jo nercjos oentas g snα a I Tada Je clndras plonasens vazds, jo nercjos oentas g snα a I Tada -as būdas Pakanka nagrnėt dv lygts, kurų vena šreška tą patį ryšį tarp kapno r lnjno pagrečo, o kta pagrndnė judėjo lygts sukaaja judesu atžvlgu nejudaos oentnės ašes, lygagrečos clndro setrjos aša, bet esančos bendruose clndro r nuožulnosos plokštuos taškuose (brėžnyje š ašs statena brėžno plokštua r ena per tašką ): a β g snα ( I + ) β Antroje lygtyje yra prtakyta Štenero teorea Išsprendę šą dvejų lygčų ssteą, gautue dentškus atsakyus, gautus pruoju būdu a g snα b) β I + Je nercjos oentas laba ažas, vardklyje gale atest narį su I Tada g snα β g snα Je clndras venalyts, β g snα Je clndras plonasens vazds, β c) Trntes jėgą gale apskačuot, pvz, š trečosos trjų lygčų ssteos lygtes [a) dals]: 6
F I β I g snα I g snα tr I I + + I g snα Je I laba ažas, F t r 1 Je clndras venalyts, F tr g snα 1 Je clndras plonasens vazds, F tr g snα at d) Pasnaudojae sąryšu L Ča nuožulnosos plokštuos lgs Tada I I h + h + h t 1 asnα g sn α snα g h L snα Je I, 1 h t snα g Je clndras venalyts, Je clndras plonasens vazds, 1 h t snα g h t snα g e) 1-as būdas ghsnα gh v al I I + snα + Je I, v gh 4 Je clndras venalyts, v gh Je clndras plonasens vazds, v gh -as būdas Pasnaudojae energjos tverės dėsnu Pradnae vršutnae taške clndras tur potencnės energjos E p gh Apačoje š potencnė energja (vsa, nes kap nėta, 7
trnts darbo neatleka) vrsta knetne clndro energja Ją gale tap pat dvejopa skačuot Gale tart, kad š knetnė energja susdeda š clndro asės centro judėjo knetnės energjos r clndro sukos ape savo setrjos ašį energjos, ty v I ω E kn + Pasnaudoję tuo, kad v ω, r tuo, kad E p Ekn, gaunae tą patį gh v atsakyą, ty v I + Tap pat gale anyt, kad clndras redėdaas jau horzontaląja plokštua (be praslydo) sukas ape oentnę ašį, esančą clndro r plokštuos letos lnjoje Tuoet knetnė clndro energja lyg I ω ( I + ) v Ekn Tolau sulygnę šą energją su potencne energja, gautue tą patį v atsakyą f) lndru redant, vekant trntes jėga netur vršyt ddžausos galos slydo trntes jėgos, kur nusakoa kap F μg cosα Tuo būdu, Ftr F sl ax, arba I g snα μg I + I snα μ cosα( I + ) cosα Iš ča I Je I laba ažas, μ tgα tgα Je clndras venalyts, μ tgα Je clndras plonasens vazds, μ sl ax 8
Groskopas Groskopas (vlkels) ta asyvus setrškas kūnas, kurs ddelu greču sukas ape savo setrjos ašį Ω M M α L snα r [ r, g] g L ω π π O d ϕ L snα l snα L M dl O α l g 9
Pagrndnė sukaojo judėjo lygts dl dt M Vadnas, dl yra lygagretus M Iš brėžno atyt, kad M L, vadnas r d L L Ta r verča groskopą sukts ape ašį OO ta tkru precesjos dažnu (cklnu) Ω aske šį dažnį (precesjos kapnį gretį) Perrašoe pagrndnę sukaojo judėjo lygtį odulas: dl gl snα dt Iš brėžno dϕ Ω dt dl Bet dϕ Tada Lsnα 1 dl gl snα gl Ω Lsnα dt Lsnα L Tag groskopo precesjos kapns grets lygus Ω gl Iω Pažyėtna, kad precesjos kapns grets neprklauso nuo palnko kapo, o jo vertė ddėja, ka ažėja pates groskopo kapns grets ω