ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή τους ή συνδυασμοί αν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής. Τέτοιοι σχηματισμοί αποτελούν ένα από τα βασικότερα αντικείμενα μελέτης της Συνδυαστικής.. Διατάξεις και Μεταθέσεις Έστω X { x x K x} ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x x K x και θετικός ακέραιος μικρότερος ή ίσος του. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός Διάταξη). Διάταξη των στοιχείων ή απλά διάταξη των ανά καλείται κάθε διατεταγμένη - αδα a a K a ) που αποτελείται από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία του X δηλαδή a X a X a K X και a a j για j. Στην περίπτωση αντί του όρου διάταξη των ανά χρησιμοποιούμε τον όρο μετάθεση των στοιχείων. Το πλήθος των διατάξεων των στοιχείων ανά συμβολίζεται με ). Παράδειγμα. α) Οι διατάξεις των 4 γραμμάτων { α β γ δ} ανά είναι οι ακόλουθες: β α). Σε μία οποιαδήποτε διάταξη a a ) των 4 γραμμάτων ανά το πρώτο στοιχείο a μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A { α β γ δ } των A 4 γραμμάτων ενώ το στοιχείο a μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A A { } των A 3 γραμμάτων εξαιρουμένου του στοιχείου που επιλέγεται ως πρώτο στοιχείο. a Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός των διατάξεων των 4 ανά είναι ίσος με 4 3. β) Οι μεταθέσεις των 3 γραμμάτων { α β γ } είναι οι ακόλουθες που σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή είναι πλήθους 3. 7
Παρατήρηση. Αν τα στοιχεία του Ω επιτρέπεται να επαναλαμβάνονται στη διάταξη χρησιμοποιούμε την ονομασία διάταξη των ανά με επανάληψη. Η ειδική περίπτωση διάταξης των ανά με με επανάληψη όπου το στοιχείο ω εμφανίζεται φορές K με K καλείται μετάθεση ειδών στοιχείων. Παράδειγμα. α) Οι διατάξεις των 3γραμμάτων { α β γ } ανά 3 με περιορισμένη επανάληψη και συγκεκριμένα όταν το α μπορεί να εμφανίζεται μέχρι και 3 φορές το β μόνο μέχρι φορά και το γ μέχρι και φορές είναι οι εξής: 3 που είναι 9 το πλήθος. β) Οι μεταθέσεις των 3 ειδών στοιχείων όταν το α εμφανίζεται φορές το β εμφανίζεται φορά και το γ εμφανίζεται φορά είναι οι ακόλουθες: 3 Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. που είναι το πλήθος. Πρόταση.. Ο αριθμός ) ) L ). ) των διατάξεων των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο: Απόδειξη. Σε μία οποιαδήποτε διάταξη a a K a ) των στοιχείων του Ω ω ω K ω } ανά το { πρώτο στοιχείο μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω των A στοιχείων ενώ μετά την επιλογή του πρώτου στοιχείου το δεύτερο στοιχείο a επειδή πρέπει να είναι διαφορετικό από το a ) μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω } των A υπόλοιπων στοιχείων. Τελικά μετά την επιλογή των { a a a K a το τελευταίο στοιχείο a επειδή πρέπει να είναι διαφορετικό από τα προηγούμενα στοιχεία) μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω a a K a } των ) στοιχείων. Επομένως A A A πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός τους είναι { L είναι το σύνολο των διατάξεων των ανά και σύμφωνα με την A A L A A A L A ) L ). A 8
Για την ειδική περίπτωση των μεταθέσεων των στοιχείων προκύπτει το επόμενο πόρισμα. Πόρισμα.. Ο αριθμός των μεταθέσεων στοιχείων δίνεται από τον τύπο: 3L ). Η τελευταία παράταση περιλαμβάνει το γινόμενο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με και διαβάζεται ως «παραγοντικό». Παρατήρηση. Ο αριθμός ) των διατάξεων των στοιχείων ανά μπορεί να γραφεί και με χρήση των παραγοντικών. Πράγματι αν πολλαπλασιάσουμε το ) με ) θα έχουμε: ) ) [ ) L )][ ) ) L ] ) L οπότε ) ) ή ισοδύναμα ). ) Μπορούμε να διατυπώσουμε την επόμενη πρόταση. Πρόταση.. Ο αριθμός των διατάξεων των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο ). ) Το σύμβολο επεκτείνεται και για 0 θέτοντας συμβατικά 0. Επίσης το σύμβολο ) επεκτείνεται για 0 θέτοντας ) 0. Παράδειγμα.3 Έστω ότι κάποιος διαθέτει διαφορετικά κλειδιά από τα οποία ένα ταιριάζει στην εξώπορτα του σπιτιού του που όμως δεν αναγνωρίζει από πριν και δοκιμάζει το ένα μετά το άλλο τα κλειδιά μέχρι να ανοίξει την πόρτα. Ποιος είναι ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να επιτύχει να την ανοίξει α) στην οστή δοκιμή β) μέχρι την οστή δοκιμή γ) στην τελευταία οστή δοκιμή. Λύση. α) Ας αριθμήσουμε τα κλειδιά που είναι από το 0 μέχρι το θέτοντας τον αριθμό 0 στο κλειδί που ταιριάζει στην πόρτα. Σε μία σειρά δοκιμών όπου στην οστή δοκιμή ανοίγει η πόρτα αντιστοιχεί μία διατεταγμένη άδα a a K a a ) με a 0 και { K } j K. Επειδή το 9 a j
τελευταίο στοιχείο για κάθε μία από τις σειρές δοκιμών που μας ενδιαφέρουν είναι a 0 το πλήθος των σειρών των δοκιμών είναι ίσο με τον αριθμό ) των διατάξεων a K a ) των αριθμών κλειδιών) { K } ανά. β) Ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει μέχρι την οστή δοκιμή είναι σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος ίσος με το άθροισμα των αριθμών των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει στην οστή δοκιμή για K. Συνεπώς χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του α) ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με: ) ) K ). γ) Ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει στην τελευταία οστή δοκιμή είναι σύμφωνα με το α) ίσος με τον αριθμό ) των μεταθέσεων των ) αριθμών κλειδιών) { K }. Παράδειγμα.4 Τέσσερα παντρεμένα ζευγάρια έχουν αγοράσει οκτώ εισιτήρια θεάτρου που αντιστοιχούν σε οκτώ συνεχόμενες θέσεις της ίδιας σειράς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν τα οκτώ άτομα στις θέσεις ώστε: α) να μην υπάρχει κανένας περιορισμός για τη θέση που καταλαμβάνει το κάθε άτομο; β) άντρες και γυναίκες να κάθονται εναλλάξ; Λύση. Έστω X A K } το σύνολο των 4 ανδρών και X Γ K } το σύνολο των 4 γυναικών. { A4 Υποθέτουμε ότι τα 4 ζευγάρια είναι A Γ ) K4. { Γ4 α) Κάθε τοποθέτηση των 8 ατόμων στις 8 θέσεις αντιστοιχεί σε μία μετάθεση των 8 στοιχείων του συνόλου X X X. Άρα υπάρχουν 8 διαφορετικοί τρόποι κατάληψης των 8 θέσεων. β) Οι τοποθετήσεις που μας ενδιαφέρουν μπορούν να χωριστούν σε δύο ξένες μεταξύ τους ομάδες: αυτές που έχουν τη μορφή A ΓAΓAΓAΓ και αυτές που έχουν τη μορφή Γ AΓAΓAΓA. Και στις δύο περιπτώσεις υπάρχουν 4 τρόποι τοποθέτησης των ανδρών στις συγκεκριμένες θέσεις μεταθέσεις των 4 στοιχείων του συνόλου X A A A }) 4 τρόποι τοποθέτησης των γυναικών στις συγκεκριμένες θέσεις μεταθέσεις { 3 A4 των 4 στοιχείων του συνόλου X Γ Γ Γ }). { 3 Γ4 Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή κάθε μία από τις δύο ομάδες έχει 4 4 στοιχεία και με βάση την αρχή του αθροίσματος θα υπάρχουν 4 4 ώστε άνδρες και γυναίκες να κάθονται εναλλάξ. 4 4 4) διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησης των 8 ατόμων Παράδειγμα.5 Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία σχηματίζονται με τα ψηφία { 0345}; 0
Λύση. Το ζητούμενο προκύπτει με την επιλογή 4 από τα 7 ψηφία που πρέπει να είναι τέτοια ώστε το 0 να μην είναι το πρώτο ψηφίο. Έτσι αρκεί από τις διατάξεις των 7 ανά 4 που είναι όλοι οι αριθμοί με 4 ψηφία από τα δοθέντα 7) να αφαιρέσουμε τις διατάξεις των ανά 3 που είναι εκείνοι οι αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 0 και επομένως με 3 ψηφία από τα υπόλοιπα ). Άρα θα είναι: 7 7) 4 ) 7 4) 3) 3 3 70.. Συνδυασμοί Έστω X x K x } ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία και ένας θετικός { ακέραιος μικρότερος ή ίσος του. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός Συνδυασμός). Συνδυασμός των στοιχείων ανά ή απλούστερα συνδυασμός των ανά καλείται κάθε μη-διατεταγμένη συλλογή αποτελούμενη από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία a a του συνόλου X x K x }. { K Παράδειγμα Αν X { a b c d} 4. Τότε οι συνδυασμοί των στοιχείων ανά είναι τα υποσύνολα { a b}{ a c}{ a d}{ b c}{ b d}{ c d}. Σε μία διάταξη μας ενδιαφέρει η ακριβής σειρά με την οποία καταγράφονται τα στοιχεία που περιέχει ενώ σε ένα συνδυασμό η σειρά καταγραφής των στοιχείων δεν παίζει κανένα ρόλο. Η διαδικασία δημιουργίας των διατάξεων των στοιχείων ανά γίνεται σε δύο βήματα. Βήμα. Επιλογή στοιχείων από τα που περιέχει το σύνολο X δημιουργία ενός συνδυασμού των στοιχείων ανά ). Βήμα. Τοποθέτηση των στοιχείων που επιλέχτηκαν στο Βήμα με όλες τις δυνατές διαφορετικές σειρές καταγραφή όλων των δυνατών μεταθέσεων των στοιχείων που διαλέξαμε). Το Βήμα της γενικής διαδικασίας δημιουργίας των διατάξεων των στοιχείων ανά μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους. Για κάθε αποτέλεσμα του Βήματος υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι πραγματοποίησης του Βήματος. Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή η
ολοκλήρωση των δύο βημάτων μπορεί να γίνει με: διαφορετικούς τρόπους. Όμως η ολοκλήρωση των βημάτων και οδηγεί στην καταγραφή όλων των δυνατών διατάξεων των στοιχείων ) ανά. Άρα ). Συνεπώς ). Αποδείξαμε την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.. Ο αριθμός των συνδυασμών των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο: ) ) L ). ) ) θέτουμε συμβατικά: 0. 0 0 Για 0 > 0. Για Για ). ) ) Παράδειγμα. Πόσες διαφορετικές επιτροπές που θα αποτελούνται από γυναίκες και 3 άνδρες μπορούν να δημιουργηθούν από μία ομάδα 5 γυναικών και 7 ανδρών; Τι θα αλλάξει στην περίπτωση που δύο συγκεκριμένοι άνδρες αρνηθούν να συμμετάσχουν στην ίδια επιτροπή; Λύση. Υπάρχουν 5 7 ομάδες γυναικών και ομάδες 3 ανδρών. Άρα από την πολλαπλασιαστική αρχή 3 5 7 υπάρχουν 350 δυνατές επιτροπές που αποτελούνται από γυναίκες και 3 άνδρες. 3 Ας υποθέσουμε ότι άντρες αρνούνται να συμμετάσχουν στην ίδια επιτροπή. Επειδή υπάρχουν συνολικά 5 7 5 από τα 35 σύνολα 3 ανδρών που περιλαμβάνουν και τους δύο συγκεκριμένους άντρες 3 5 προκύπτει ότι 35-530 ομάδες δεν τους περιλαμβάνουν. Εφόσον υπάρχουν 0 τρόποι να επιλεγούν οι γυναίκες έπεται ότι υπάρχουν 30 0 300 δυνατές επιτροπές σε αυτή την περίπτωση.
Παράδειγμα.7 Μία εταιρεία θέλει να προσλάβει 5 νέους υπαλλήλους. Μετά την προκήρυξη των νέων θέσεων υπέβαλαν αίτηση 7 γυναίκες και 8 άνδρες. Να υπολογιστούν οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να γίνει η επιλογή των 5 νέων υπαλλήλων: α) αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός β) αν πρέπει να προσληφθούν ακριβώς γυναίκες γ) αν πρέπει να προσληφθούν τουλάχιστον 3 άνδρες. Λύση. Έστω X Γ K } το σύνολο των 7 γυναικών και X A K } το σύνολο των 8 ανδρών που { Γ7 υπέβαλλαν αίτηση πρόσληψης. { A8 α) Ζητάμε τους συνδυασμούς των 5 στοιχείων του συνόλου X X X ανά 5. Το πλήθος των 5 5) 5 5 4 3 διαφορετικών επιλογών είναι ίσο με: 3003. 5 5 3 4 5 β) Η επιλογή των γυναικών μπορεί να γίνει κατά 7 7) 7 τρόπους όσοι και οι συνδυασμοί των 7 στοιχείων του συνόλου X ανά. Ομοίως η επιλογή των 5-3 ανδρών που απαιτούνται για να 8 8) 3 8 7 συμπληρωθούν οι 5 θέσεις μπορεί να γίνει με 5 τρόπους όσοι και οι συνδυασμοί των 3 3 3 8 στοιχείων του συνόλου X ανά 3. 7 8 Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με 5 7. 3 γ) Υπάρχουν τρεις ξένες μεταξύ τους περιπτώσεις με τις οποίες μπορεί να πραγματοποιηθεί το ζητούμενο: να προσληφθούν 3 άνδρες και γυναίκες να προσληφθούν 4 άνδρες και γυναίκα να προσληφθούν 5 άνδρες και καμία γυναίκα. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση είναι αντίστοιχα: 7 8 7 8) 7 3 4 4 8 4 5 8 7 5 8 7 8) 7 7 490 3 4 5 0 5 8 7 5 4 3 4 5 Σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος το ζητούμενο πλήθος θα είναι: 7 490 5 7. Η επόμενη πρόταση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τις αριθμητικές τιμές των ποσοτήτων για. 5. 3
4 Πρόταση.. Για τους αριθμούς των συνδυασμών των στοιχείων ανά ισχύουν οι επόμενες ισότητες: α). β). Απόδειξη. Για το α) έχουμε:. ) )) ) Για το β) έχουμε για < <. ) ) ) ) )] )[ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Η σχέση β) ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο και για διότι σε αυτές τις περιπτώσεις προκύπτει 0 ή ισοδύναμα ) και ή ισοδύναμα 0 αντίστοιχα. Η ταυτότητα β) είναι γνωστή ως τρίγωνο του Pascal και οφείλει την ονομασία της στο γεγονός ότι σε έναν πίνακα τιμών για τους αριθμούς οι ποσότητες εμφανίζονται ως κορυφές ενός τριγώνου που σχηματίζεται από μία οριζόντια μια κατακόρυφη και μια διαγώνια πλευρά βλέπε σελ. 79 βιβλίο Κούτρα)..3 Επαναληπτικές Διατάξεις Έστω } { x x X K ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x x K και ένας θετικός ακέραιος. Δίνουμε την ακόλουθο ορισμό.
Ορισμός Διάταξη με επανάληψη). Διάταξη των στοιχείων ανά ή απλά επαναληπτική διάταξη των ανά καλείται κάθε διατεταγμένη άδα a K a ) η οποία αποτελείται από στοιχεία του X δηλαδή a X K a X. Δηλαδή οι επαναληπτικές διατάξεις των στοιχείων ανά είναι όλα τα στοιχεία του καρτεσιανού γινομένου A L A με A K A X. Με εφαρμογή της πολλαπλασιαστικής αρχής για το καρτεσιανό γινόμενο συνόλων καταλήγουμε στην ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.3. Ο αριθμός των επαναληπτικών διατάξεων των στοιχείων ανά είναι ίσος με. Απόδειξη. Έστω ότι η διαδικασία δημιουργίας της διάταξης a K a ) προκύπτει ως αποτελούμενη από διαφορετικά βήματα. Στο πρώτο βήμα επιλέγεται ένα στοιχείο από το σύνολο X και τοποθετείται στην πρώτη θέση a της διάταξης. Η επιλογή αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους όσα δηλαδή είναι τα στοιχεία του X. Στη συνέχεια επιλέγεται το στοιχείο a που θα τοποθετηθεί στη δεύτερη θέση. Αφού είναι επιτρεπτή η επανεκλογή του ίδιου στοιχείου παραπάνω από μία φορά η επιλογή του a X μπορεί να γίνει και πάλι με τρόπους. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο τη διαδικασία συμπλήρωσης των υπόλοιπων θέσεων μέχρι να φτάσουμε στο οστό βήμα πάλι οι δυνατές επιλογές του a X είναι το πλήθος. Άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να ολοκληρώσουμε όλες τις φάσεις είναι L L. Παράδειγμα.8 α) Τα δυνατά αποτελέσματα μίας σειράς ρίψεων ενός νομίσματος είναι πλήθους όσες δηλαδή είναι οι διατάξεις των συμβόλων Κ Γ) ανά με επανάληψη. Για 3 τα δυνατά αποτελέσματα είναι τα εξής 8: Κ Κ Κ) Κ Κ Γ) Κ Γ Κ) Γ Κ Κ) Κ Γ Γ) Γ Κ Γ) Γ Γ Κ) Γ Γ Γ). β) Σε μία σειρά ρίψεων ενός κύβου τα δυνατά αποτελέσματα είναι πλήθους όσες είναι δηλαδή οι διατάξεις των θετικών ακεραίων { 345 } ανά με επανάληψη. Τα δυνατά αποτελέσματα μίας ρίψης διακεκριμένων κύβων είναι πλήθους επίσης. Έστω X { x x K x} ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά στοιχεία x K x και ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε: το στοιχείο x συνολικά φορές το στοιχείο x συνολικά φορές K το στοιχείο x συνολικά φορές και να δημιουργήσουμε όλες τις δυνατές διατεταγμένες αδες a K a ) με a X a X K a όπου K. Ένας τέτοιος σχηματισμός καλείται μετάθεση των X 5 ειδών στοιχείων τύπου K ) ενώ το συνολικό πλήθος τους θα
συμβολίζεται ως. Συχνά χρησιμοποιούμε την έκφραση «μετάθεση των ειδών στοιχείων εκ των K οποίων τα είναι τύπου τα είναι τύπου K τα είναι τύπου». Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.3. Ο αριθμός των μεταθέσεων των ειδών στοιχείων εκ των οποίων τα είναι τύπου τα είναι τύπου K τα είναι τύπου δίνεται από την έκφραση: K L όπου K. Απόδειξη. Έστω X x x K x } το σύνολο των διαφορετικών στοιχείων που διαθέτουμε και a K a ) { με a X K a X η γενική μορφή μίας μετάθεσης με τις προδιαγραφές που τέθηκαν. Η διαδικασία συμπλήρωσης της διατεταγμένης άδας μπορεί να γίνει σε διαδοχικές φάσεις ως εξής: Στην πρώτη φάση επιλέγουμε από τις διαθέσιμες θέσεις a K a και τοποθετούμε σε αυτές όλα τα στοιχεία τύπου δηλαδή τα όμοια σύμβολα x ). Η επιλογή των θέσεων μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους. Στη δεύτερη φάση επιλέγουμε από τις θέσεις που απέμειναν ελεύθερες και εκεί τοποθετούμε όλα τα διαθέσιμα στοιχεία τύπου δηλαδή τα όμοια σύμβολα x ). Η επιλογή των θέσεων μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους. Με ανάλογη διαδικασία προχωρούμε μέχρι το τελικό βήμα όπου θα πρέπει να διαλέξουμε θέσεις για να τοποθετήσουμε τα διαθέσιμα στοιχεία τύπου δηλαδή τα x ). O αριθμός των ελεύθερων θέσεων που απέμειναν μετά την ολοκλήρωση των προηγούμενων φάσεων είναι ίσος με: ) L και το πλήθος των διαφορετικών επιλογών είναι: L ). Άρα με βάση την πολλαπλασιαστική αρχή ο ζητούμενος αριθμός των μεταθέσεων των ειδών στοιχείων θα είναι ίσος με: L L ) ) L L ) ) L )) ) ) το οποίο με απλοποιήσεις δίνει:. L
Παράδειγμα.9 α) Δέκα παιδιά πρόκειται να χωριστούν στις ομάδες Α και Β με 5 μέλη η καθεμία. Η ομάδα Α θα παίξει σε έναν όμιλο και η ομάδα Β σε κάποιον άλλον. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό; 0 Λύση. α) Υπάρχουν 5 5 5 δυνατοί τρόποι. β) Σε ένα αστυνομικό τμήμα μίας μικρής πόλης υπηρετούν 0 αστυνομικοί. 5 αστυνομικοί περιπολούν στους δρόμους δουλεύουν μέσα στο τμήμα 3 αναπληρώνουν αυτούς που δουλεύουν στο τμήμα. Πόσες είναι οι διαφορετικές διαιρέσεις των 0 αστυνομικών στις 3 ομάδες; 0 Λύση. β) Υπάρχουν 50 δυνατές διαιρέσεις. 5 3 Παράδειγμα.0 Διαθέτουμε 5 αντίτυπα ενός βιβλίου Α 3 αντίτυπα ενός βιβλίου Β και 4 αντίτυπα ενός βιβλίου Γ. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν τα βιβλία αυτά να τοποθετηθούν με τυχαίο τρόπο σε ένα ράφι μίας βιβλιοθήκης; 5 7 8 9 0 Λύση. Υπάρχουν 770 5 3 4 5 3 4 διαφορετικοί τρόποι. Παράδειγμα. α) Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιράσει ένας πατέρας 7 δώρα στα 3 παιδιά του αν το μεγαλύτερο πρέπει να πάρει 3 δώρα και τα άλλα από δύο το καθένα; 7 Λύση. α) Υπάρχουν 0 3 τρόποι. β) Έστω διακεκριμένα σφαιρίδια τα οποία τοποθετούνται μέσα σε διακεκριμένα κελιά απεριόριστης χωρητικότητας. Κατά την τοποθέτηση των σφαιριδίων μέσα στα κελιά το οστό σφαιρίδιο μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα από τα κελιά K. Άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή τα σφαιρίδια μπορούν να τοποθετηθούν στα κελιά κατά τρόπους..4 Επαναληπτικοί Συνδυασμοί Έστω X { x K x } ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x K x και ένας θετικός ακέραιος. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός Επαναληπτικός Συνδυασμός). Επαναληπτικός συνδυασμός των στοιχείων του X ανά ή συνδυασμός των στοιχείων του X ανά ή συνδυασμός των στοιχείων του X ανά με επανάληψη ή 7
8 απλώς επαναληπτικός συνδυασμός των ανά καλείται κάθε επιλογή στοιχείων a a K από τα στοιχεία του συνόλου X όπου είναι επιτρεπτό κάποιο ή κάποια στοιχεία του συνόλου X να χρησιμοποιηθούν περισσότερες από μία φορές. Ο αριθμός των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά θα συμβολίζεται με. Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.4. Ο αριθμός των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο:. ) ) ) ) L Απόδειξη. Έστω } { x x X K το σύνολο των διαφορετικών στοιχείων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Ένας τυπικός επαναληπτικός συνδυασμός θα έχει τη μορφή του σχήματος:......... ή ισοδύναμα αν αντικαταστήσουμε τις κάθετες γραμμές με τον αριθμό και τα σύμβολα με τον αριθμό 0 θα έχουμε την ακόλουθη μορφή: 000 000 0 000 0. Έτσι το πρόβλημα μεταφέρεται στον υπολογισμό του πλήθους των μεταθέσεων δύο ειδών στοιχείων και 0) εκ των οποίων τα στοιχεία είναι τύπου και τα είναι τύπου. Τα τύπου είναι οι μονάδες που αντιστοιχούν στα χωρίσματα του σχήματος και τα τύπου είναι τα μηδενικά που αντιστοιχούν στα σύμβολα του σχήματος. Άρα. ) Σύμφωνα με την Πρόταση.3. το ζητούμενο πλήθος είναι ίσο με. ) ) Για 0 0 0 0 0 για. Για. Για. ) ) Για. Παράδειγμα. Πόσα είναι τα διαφορετικά αποτελέσματα που μπορούμε να πάρουμε αν ρίξουμε ένα ζάρι δύο φορές και δε μας ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης των ενδείξεων;
Λύση. Ενδιαφερόμαστε για μη διατεταγμένα ζεύγη αποτελεσμάτων της μορφής a a X {345 } και τα a a μπορούν να είναι και ίσα μεταξύ τους. Ζητούμε τους επαναληπτικούς συνδυασμούς των στοιχείων του συνόλου X ανά. Ο αριθμός των διαφορετικών αποτελεσμάτων θα είναι: 7 7. Ισχύει η πρόταση. Πρόταση.4. Για τον αριθμό των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά όπου είναι ακέραιοι ισχύουν οι επόμενες ισότητες: α) β). Απόδειξη. Για το α) έχουμε: ) ). Για το β) έχουμε: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )[ ) ] ) ) ). ) ) ) ) ) Παράδειγμα.3 Ένα ζάρι ρίπτεται φορές και καταγράφονται τα αποτελέσματα των ρίψεων. α) Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν αν γράψουμε στη σειρά ενδείξεις; β) Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά; γ) Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμε αν η σειρά με την οποία εμφανίζονται οι ενδείξεις δε μας ενδιαφέρει; δ) Σε πόσα από αυτά τα αποτελέσματα δεν υπάρχουν ούτε δύο ίδιες ενδείξεις; Λύση. α) Είναι X {345 }. Οι ρίψεις αντιστοιχούν στην επιλογή αριθμών a K a. Μας X ενδιαφέρει η διάταξη των ενδείξεων ζητάμε το πλήθος των επαναληπτικών διατάξεων των στοιχείων του X ανά. Το πλήθος αυτό είναι. 9
β) Αν στη διατεταγμένη άδα δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου το πλήθος είναι ίσο με το πλήθος των απλών διατάξεων των στοιχείων του συνόλου X ανά δηλαδή ) 5 ). ) L γ) Θέλουμε τους συνδυασμούς των στοιχείων του X ανά. Αφού δεν υπάρχει κανένας περιορισμός για εμφάνιση μίας ένδειξης περισσότερες από μία φορές έχουμε επαναληπτικούς συνδυασμούς των στοιχείων ανά και το συνολικό τους πλήθος είναι όπου 5 5 5) 5) 4) 3) ) ). 5 5 5 δ) Όταν δεν επιτρέπεται η εμφάνιση ίδιων ενδείξεων οι συνδυασμοί είναι μη επαναληπτικοί οπότε το πλήθος τους θα είναι:. ) Σύνοψη Υπάρχουν δύο ανεξάρτητα κριτήρια ταξινόμησης για την επιλογή των σχηματισμών. Κριτήριο : Μας ενδιαφέρει ή όχι η σειρά καταγραφής των στοιχείων του συνόλου X ; Κριτήριο : Επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου περισσότερες από μία φορές ή όχι; Κριτήριο Μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής των στοιχείων του X διατάξεις ή μεταθέσεις). Δεν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής των στοιχείων του X συνδυασμούς. a a K διατεταγμένες άδες). Έχουμε a K a απλή επιλογή στοιχείων). Έχουμε Κριτήριο Δεν επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου του X περισσότερες από μία φορές. Έχουμε απλούς μηεπαναληπτικούς) σχηματισμούς. Επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου του X περισσότερες από μία φορές. Έχουμε επαναληπτικούς σχηματισμούς..5 Πιθανοθεωρητικές Εφαρμογές Εφαρμογή. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού 4 φορές ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε: α) 4 ίδια αποτελέσματα; β) τουλάχιστον δύο διαφορετικά αποτελέσματα; 30
Λύση. Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από όλες τις διατεταγμένες τετράδες a a a ) με 3 a4 a X {345} όπου το a 3 4 συμβολίζει την οστή ένδειξη του ζαριού. Αφού το Ω περιέχει όλες τις επαναληπτικές διατάξεις στοιχείων του συνόλου X ανά 4 θα έχουμε: Ω 4 9. α) Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο A : εμφανίζονται τέσσερα ίδια αποτελέσματα είναι A { a a a a) : a X} {) K )} οπότε P A) A Ω 4 3 0.4%. ' 5 β) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι ίση με: P A ) P A) 99.54%. Εφαρμογή Πρόβλημα του Chevale de Mee). Ποιο από τα επόμενα ενδεχόμενα έχει μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης; α) Ότι θα φέρουμε ένα τουλάχιστον ρίχνοντας ένα ζάρι 4 φορές; β) Ότι θα φέρουμε μία τουλάχιστον φορά «εξάρες» ρίχνοντας δύο ζάρια 4 φορές; Λύση. α) Αν θέσουμε X {345 } ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος τύχης που εκτελούμε ρίψη 4 ζαριού 4 φορές) είναι ο Ω { a a a a ) : a X 34} X X X X όπου το στοιχείο a 3 4 X 4 4 4 συμβολίζει την ένδειξη της οστής ρίψης. Άρα Ω X X 9. Ορίζουμε το ενδεχόμενο A : καμία από τις 4 ενδείξεις δεν είναι και είναι φανερό ότι η πιθανότητα που μας ενδιαφέρει είναι η ' P A ) P A ). Όμως για το ενδεχόμενο A έχουμε A { a a a3 a4) a {345 }} δηλαδή το A αποτελείται από όλες τις επαναληπτικές διατάξεις 5 στοιχείων του συνόλου { 345} X {} ανά 4. Επομένως A και για τη ζητούμενη πιθανότητα έχουμε: 4 5 ' A 5 P A ) P A ) Ω 4 4 5%. β) Στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος Ω θα περιέχει 4-άδες τα αποτελέσματα των 4 ρίψεων) που το κάθε στοιχείο τους θα είναι ένα ζεύγος j) με j {345 } το αποτέλεσμα της ρίψης δύο ζαριών). 4 Μπορούμε να γράψουμε: Ω { a K a ) a X K4} X L X 4 X 4 4 4 όπου X {)) 5))} οπότε Ω X X 3. K 3
Για το ενδεχόμενο A : σε καμιά από τις 4 ρίψεις των δύο ζαριών δεν εμφανίστηκε το αποτέλεσμα ) 4 έχουμε: A { a K a4 ) a X {)} K4} οπότε A 35 και η ζητούμενη πιθανότητα είναι: ' A P A ) P A ) Ω 35 3 4 4 49%. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα των α) και β) μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης έχει το ενδεχόμενο A. Εφαρμογή 3 Το πρόβλημα των γενεθλίων). Ποια είναι η πιθανότητα σε μία τάξη φοιτητών δύο τουλάχιστον να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; Θεωρήστε ότι το έτος έχει 35 ημέρες. Λύση. Έστω X { K35} το σύνολο όλων των ημερών του έτους όταν αυτές αντιστοιχηθούν σε διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς έτσι ο αριθμός 5 αναπαριστά την 5/ ο αριθμός 35 την 4/ κτλ.). Το σύνολο Ω των δυνατών αποτελεσμάτων είναι: Ω { a K a ) : a X K } X X L X X. Το αποτέλεσμα a K a ) αντιστοιχεί στην περίπτωση που ο πρώτος από τους φοιτητές έχει γενέθλια την a ημέρα του χρόνου ο δεύτερος από τους φοιτητές έχει γενέθλια την a ημέρα του χρόνου κ.ο.κ. Προφανώς η διάταξη των a K a ) που μας ενδιαφέρει ενώ τα στοιχεία a δεν είναι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους δηλαδή το Ω αποτελείται από όλες τις διατάξεις των 35 στοιχείων του X ανά με επανάληψη. Άρα Ω 35. Εναλλακτικά μπορούμε να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα και ως εξής. Η επιλογή της ημέρας γενεθλίων του πρώτου φοιτητή μπορεί να γίνει κατά 35 τρόπους και για κάθε τέτοια επιλογή η ημέρα γενεθλίων του δεύτερου φοιτητή μπορεί να επιλεγεί κατά 35 τρόπους κ.ο.κ. Το συμπέρασμα έπεται άμεσα από την πολλαπλασιαστική αρχή. Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο: A : κανένας φοιτητής δεν έχει γενέθλια την ίδια ημέρα με άλλο φοιτητή τότε το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων μπορεί να περιγραφεί ως εξής: A { a K a ) : a X K a a j}. Δηλαδή πρόκειται για μη επαναληπτικές διατάξεις των στοιχείων του Ω ανά 35. Άρα A 35) και η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου Α θα είναι ίση με: 35) 35 34L35 ) P A) 35. 35 35 35L35 Η ζητούμενη πιθανότητα δίνεται από τον τύπο: 35) P A' ) P A) 35. 35 j 3
Εφαρμογή 4. Σε ένα ράφι βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά βιβλία Μαθηματικών 4 βιβλία Φυσικής 3 βιβλία Ιστορίας 7 βιβλία ξένων γλωσσών και 0 λεξικά. Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα βιβλία του ίδιου είδους να τοποθετηθούν μαζί; Λύση. Έστω M µ K µ } Φ { φ K φ } I { ι ι ι } Ξ { ξ K ξ } Λ { λ K } τα σύνολα των { 4 3 7 λ0 βιβλίων κάθε είδους. Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αποτελείται από όλες τις μεταθέσεις του συνόλου M Φ I Ξ Λ οπότε Ω 30. Τα ευνοϊκά αποτελέσματα του ενδεχομένου A { όλα τα βιβλία του ίδιου είδους τοποθετούνται μαζί} μπορούν να απαριθμηθούν αν όλη η διαδικασία εκτελείται με τα εξής βήματα: - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα βιβλία Μαθηματικών - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 4 βιβλία της Φυσικής - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 3 βιβλία της Ιστορίας - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 7 βιβλία ξένων γλωσσών - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 0 λεξικά και - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τις ομάδες όμοιων βιβλίων που προέκυψαν στα προηγούμενα βήματα. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να ολοκληρωθούν τα παρακάτω βήματα είναι: 4 3 3 4 7 5 0 και 5 αντίστοιχα οπότε A 4 3 7 0 5 και η ζητούμενη 4 3 7 0 5 πιθανότητα είναι ίση με P A) A. Ω 30 Εφαρμογή 5. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 9 σφαιρίδια αριθμημένα από το έως το 9. Εξάγουμε χωρίς επανάθεση σφαιρίδια το ένα μετά το άλλο και καταγράφουμε των εξαψήφιο αριθμό που προκύπτει. Να υπολογιστεί η πιθανότητα: α) να προκύψει αριθμός ο οποίος δεν περιέχει καθόλου το ψηφίο β) να προκύψει αριθμός ο οποίος περιέχει μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο ή μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο 5. Ποια θα είναι η πιθανότητα για τα ερωτήματα αυτά αν μετά από κάθε εξαγωγή γίνεται καταγραφή του αριθμού που φέρει το σφαιρίδιο και επιστρέφεται στην κάλπη πριν προχωρήσουμε στην επόμενη εξαγωγή; 33
Λύση. Ο αριθμός που θα προκύψει μπορεί να παρασταθεί ως a aa3a4a5a όπου a { K9} και a a j. Άρα ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι: j Ω { a K a) a X { K9} K a a j j} δηλαδή περιέχει όλες τις μη επαναληπτικές διατάξεις των 9 στοιχείων ανά. στοιχείων του Ω είναι ίσο με Ω 9) 9 8 7 5 4. α) Μας ενδιαφέρει το ενδεχόμενο: A { a K a) a X { K9} K a a j j a {}} και αφού A 8) θα έχουμε: 8 7 5 4 3 P A) 33.3%. 9 8 7 5 4 3 β) Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο: B : ο αριθμός που προκύπτει δεν περιέχει ούτε το ψηφίο ούτε το ψηφίο 5 Το πλήθος των θα έχουμε B { a K a) a X { K9} K a a j a j {5}} οπότε B 7) και η ζητούμενη πιθανότητα είναι: B 7 5 4 3 P B' ) P B) 9.7%. Ω 9 8 7 5 4 Στην περίπτωση που κάθε σφαιρίδιο το οποίο εξάγεται επιστρέφεται στην κάλπη πριν προχωρήσουμε στην επόμενη εξαγωγή τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω και των ενδεχομένων A B αντιστοιχούν σε 8 7 επαναληπτικές διατάξεις οπότε βρίσκουμε: P A) 49% P B' ) 77.9% αντίστοιχα. 9 9 34