Κεφάλαιο 7 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται βασικά μοντέλα πνευματικών ενεργοποιητών καθώς επίσης και βασικοί αλγόριθμοι ελέγχου τους. Προαπαιτούμενη γνώση Η προαπαιτούμενη γνώση για την κατανόηση και παρακολούθηση του κεφαλαίου είναι οι βασικές γνώσεις των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου [1]- [3], και ή ύλη των Κεφαλαίων 1 και 6. 7. Μοντελοποίηση και Έλεγχος Πνευματικών ενεργοποιητών 7.1. Μη Γραμμικό μοντέλο Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστεί το βασικό μαθηματικό μη γραμμικό μοντέλο ενός πνευματικού ενεργοποιητή [4]-[11]. Στο Σχήμα 7.1 παρουσιάζεται ένας πνευματικός ενεργοποιητής. Οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του πνευματικού ενεργοποιητή είναι: artk () vp apa t A P a() t u() t y () t (7.1) 2( Ay () t V) ( Ay ( t) V) artk () vp apb A P t b () t u( t) y () t 2( Ay () t V) ( Ay( t) V) (7.2) A A 1 1 y() t Pa() t Pb() t FL() t y () t (7.3) M M M M όπου M είναι η μάζα του φορτίου το οποίο είναι συνδεδεμένο το έμβολο του ενεργοποιητή, Pa () t και Pb () t είναι οι πιέσεις στα τμήματα a και b του πνευματικού κυλίνδρου, y ( t ) είναι η θέση της μάζας που είναι πακτωμένη στο έμβολο, ut ( ) είναι το σήμα εισόδου στην ηλεκτροβαλβίδα, FL () t είναι εξωτερικές διαταραχές που ασκούνται στη μάζα, A είναι η επιφάνεια του εμβόλου και V είναι ο όγκος του αέρα μέσα στον κύλινδρο όταν το έμβολο είναι στη μέση της διαδρομής. R είναι η σταθερά του αερίου, a είναι ο συντελεστής θερμοχωρητικότητας, T είναι η θερμοκρασία του αέρα, K v είναι το κέρδος της βαλβίδας και P είναι η παρεχόμενη πίεση. Πνευματικός ενεργοποιητής y Φορτίο Pa () t Pb () t M ut () Σερβοβαλβίδα P Αντλία Σχήμα 7.1. Πνευματικός ενεργοποιητής 145
Το μη γραμμικό σύστημα (7.1)-(7.3) μπορεί να διατυπωθεί στο χώρο κατάστασης ως εξής όπου xt () f xt () g xt () ut () 1FL ( t) M (7.4) x() t () () () () T Pa t Pb t y t y t (7.5) apa() t A y () t ( Ay () t V ) apb() t A y () t f x() t ( Ay () t V ) A A 1 Pa() t Pb() t y () t M M M y () t (7.6) artkvp 2( Ay () t V ) artkvp gx() t 2( Ay () t V ) (7.7) 7.2. Γραμμικοποίηση πνευματικού ενεργοποιητή Το μη γραμμικό σύστημα (7.4) μπορεί να γραμμικοποιηθεί γύρω από τη θέση λειτουργίας P, P, y, y, u ως ακολούθως: a, b,,, x () t Axt () But () D (), t y () t Cxt () (7.8) όπου Pa () t Pb () t x() t, () t FL () t y () t y () t είναι το διάνυσμα κατάστασης του γραμμικού συστήματος και όπου Pa() t Pa() t Pa,, Pb() t Pb() t Pb,, y() t y() t y,, y() t y() t y, και ut () ut () u συμβολίζουν μικρές αποκλίσεις από τη θέση ισορροπίας Pa,, Pa,, y,, y,, u. Οι πίνακες του γραμμικού συστήματος (7.8) είναι 146
ay, A aapa, aa(2 y, APa, RuKvPT b) 2 V Ay, V Ay, 2( V Ay,) ay, A aapb, aa(2 y, APb, RKvuPT b) A 2 V Ay, V Ay, 2( V Ay, ) A A f M M 1 (7.9) arkvpt b 2V 2Ay, arkvpt b B, D 1 2Ay, 2V M (7.1) C 1 (7.11) Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται οι τιμές και η επεξήγηση των παραμέτρων του ενεργοποιητή Πίνακας 7. 1. Τιμές παραμέτρων του ενεργοποιητή Symbol Definition Nominal Value A Εμβαδό του εμβόλου 2,5m R Σταθερά αερίου J 287 KgK P Πίεση παροχής 5 4 1 Pa T b Θερμοκρασία αέρα 293.5K a συντελεστής θερμοχωρητικότητας 1.4 V Αρχικός όγκος αέρα στο έμβολο 4 2.51 3 ( m ) f Συντελεστής απόσβεσης N ec 6 m M Μάζα 1( Kg ) K Κέρδος βαλβίδας v 3 3.41 Kg ec* V 147
7.3. Σχεδίαση ελεγκτή τριών όρων P P Στο γραμμικό σύστημα (7.8) για Pa,, Pa,, y,, y,, u 2 2 εφαρμόζεται ελεγκτής τριών όρων της μορφής : d ut () K r () Kd Ki dt ref y t dt (7.12) όπου r ref η εξωτερική εντολή σημάτων αναφοράς. Εφαρμόζοντας τον ελεγκτή (7.12) στο σύστημα ανοικτού βρόχου προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου ως ακολούθως 3 2 2 4 f arakkpt i v b arakkpt v b ( aap arakkpt d v b) cl () (7.13) MV MV M V Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (7.13) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως εξής: 1 f 2 1 aap arakvpt b K 4 3 2 D c l 1 MV MV (7.14) KP arakvpt b KI MV arakvpt b MV Ο πίνακας Routh του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (7.13) είναι ο ακόλουθος 4 3 2 1 1 aa P ( A RK K T ) ara K K PT MV MV f arak KvPT b M MV aap( fa R( fkd MK ) KvTb) arakikvpt b fmv MV 2 f K aa i K P RKvTb( ) fa R( fkd MK ) KvTb V M arakikvpt b MV d v b i v b Για να είναι το σύστημα κλειστού βρόχου ευσταθές θα πρέπει να ισχύει f M (7.15) aap( fa R( fkd MK ) KvTb) (7.16) fmv 148
RK T aa K P 2 f Ki v b fa R( fkd MK ) KvTb V (7.17) M arakikvpt b MV (7.18) Λαμβάνοντας υπόψη τον Πίνακα 7.1 και επιλύοντας τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει A Kd (7.19) RKvTb 3 2 2 2 2 2 aap 2aRAKdKvPT b ar AKdKvPT b Ki (7.2) 4MRK T V K K fa frk K T af A P 2af RA K K PT af R A K K PT 4f MRK K T V 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 d v b 1 d v b d v b i v b 2 2 2 2 2MRKvTb 2 am R AKvPT b fa frk K T af A P 2af RA K K PT af R A K K PT 4f MRK K T V 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 d v b 1 d v b d v b i v b 2 2 2 2 2MRKvTb 2 am R AKvPT b v b (7.21) Αντικαθιστώντας τις τιμές του πνευματικού ενεργοποιητή στις ανισότητες (7.19) - (7.21) προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές του PID ελεγκτή που τις ικανοποιούν K.1, K 1, K 5 (7.22) d i Στο γραμμικό σύστημα (7.8) εφαρμόζεται ο ελεγκτής τριών όρων όπου οι τιμές των παραμέτρων του δίνονται από τη σχέση (7.22). Ως σήμα αναφοράς θεωρείται βηματικό σήμα πλάτους.5 και ως σήμα διαταραχών θεωρείται βηματικό σήμα πλάτους 1 N. Η απόκριση της μεταβλητών κατάστασης του συστήματος παρουσιάζονται στα Σχήμα 7.2-7.5. y - m.1.8.6.4.2.5 1. 1.5 2. t-ec Σχήμα 7.2. Απόκριση μεταβλητής εξόδου 149
P a - Pa 1.5 μ 1 8 1. μ 1 8 5. μ 1 7-5. μ 1 7.5 1. 1.5 2. t-ec -1. μ 1 8-1.5 μ 1 8 Σχήμα 7.3. Απόκριση μεταβλητής P a P b - Pa 1.5 μ 1 8 1. μ 1 8 5. μ 1 7-5. μ 1 7.5 1. 1.5 2. t-ec -1. μ 1 8-1.5 μ 1 8 Σχήμα 7.4. Απόκριση μεταβλητής P b y - mec 5.5 1. 1.5 2. t-ec -5 Σχήμα 7.5. Απόκριση μεταβλητής y 15
7.4. Υπολογισμός και υλοποίηση του ελεγκτή με το λογισμικό MATHEMATICA Κώδικας Ορισμός μη γραμμικού μοντέλου και γραμμικοποίηση Ορισμός αρχικών τιμών γραμμικοποίησης 151
Υπολογισμός συστήματος κλειστού βρόχου Ισοδύναμη περιγραφή χαρακτηριστικού πολυωνύμου συστήματος κλειστού βρόχου βάση της σχέσης (5.82) 152
Υπολογισμός στοιχείων πίνακα Routh Επίλυση ανισοτήτων 153
Υπολογισμός ελεγκτή % Προσομοίωση συστήματος κλειστού βρόχου 154
7.5. Ασκήσεις 1. Για τον πνευματικό ενεργοποιητή του Σχήματος 7.1 με τα δεδομένα του Πίνακα 7.1, α) να υπολογιστούν οι τιμές του PID ελεγκτή με την προσεγγιστική μέθοδο Ziegler Nichol, β) να γίνει η προσομοίωση της απόκρισης του συστήματοις κλειστού βρόχου για το μη γραμμικό μοντέλο 2. Να μοντελοποιηθεί ο πνευματικός ενεργοποιητής του Σχήματος 7.6. y B m Pa () t Pb () t M k ut () P Σχήμα 7.6. Πνευματικός ενεργοποιητής 3. Για τον ενεργοποιητή του Σχήματος 7.6. να υπολογιστεί ελεγκτής τριών όρων που θα επιτυγχάνει ακολούθηση εντολής στη θέση της μάζας. 155
Βιβλιογραφία/Αναφορές [1] Φ.Ν. Κουμπουλής, Βιομηχανικός έλεγχος, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα, 1999. [2] Dorf-Biho, Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, 9η Έκδοση, Εκδ. ΤΖΙΟΛΑ [3] Π.Ν. Παρασκευόπουλος, Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, θεωρία & Εφαρμογές, Τόμος Α ΣΑΕ Συνεχούς Χρόνου, 27 [4] R. L. Wood and Kent L. Lawrence, Modeling and Simulation of Dynamical Sytem, Prentice Hall Inc., 1997 [5] Formula Book for Hydraulic and Pneumatic, Fluid and Mechanical Engineering Sytem, Deartment of Management and Engineering, Link oing Univerity, 28 [6] A. A. Parr, Hydraulic and Pneumatic, Elevier Science & Technology Book, 1999 [7] M. G. Skareti, F. N. Koumbouli, and A. S. Ntelli, Robut Control of Pneumatic Clutch Actuator uing Simulated Annealing Technique, 21th Mediterranean Conference on Control and Automation MED 213 [8] F.N. Koumbouli, M.G. Skareti and M. P. Tzamtzi, Robut PI Controller for Command Following with Alication to an Electroneumatic Actuator, Proceeding of the 14th Mediterranean Conference on Control Automation, Ancona, Italy (26). [9] F.N. Koumbouli, M.G. Skareti and B.G. Mertzio, Robut Regional Stabilization of an Electroneumatic Actuator, IEE Proceeding, Part D, Control Theory and Alication, vol. 145,. 226-23 (1998). [1] A Heuritic Control Algorithm for Robut Internal Model Control with Arbitrary Reference Model, M. G. Skareti, F. N. Koumbouli and A.S. Ntelli, J.-L. Ferrier et al. (ed.), Informatic in Control, Automation and Robotic, Lecture Note in Electrical Engineering 283, 213 [11] F. N. Koumbouli and M. G. Skareti, Robut Control of Pneumatic Clutch Actuator uing Simulated Annealing Technique, MED 213, Chania, Greece 156