Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ
Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s 8. b l o g s p o t. c o m w w w. m a t h s 8. w o r d p r e s s. c o m e m a i l : d r m a t h s 8. g m a i l. c o m
Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. - y Να λυσετε το συστημα + y αλγεβρικα i γραφικα Με αντικατασταση - y + y + y + (- ) + y +y+ y y - y - y - Με αντιθετους συντελεστες (+) - y y - y - y - + y 6 Με συγκριση - y y - y - y - y - y - + y y - - - 6 Με οριζουσες - D - (-) + D 6 - D D - (-) + 6 (,y) (,- ) D y - - D D - - - y i y y αριστανει ευθεια ε y y - + y y + αριστανει ευθεια ε y ε - M Η γραφικη λυση του συστηματος ειναι το σημειο τομης Μ των ευθειων ε, ε ε -
Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα y 7 8 + y i - y - + y 8 7y y 7y 7y 7 8 7 8 8 8 8 7y + y + y 7y + 8y 6 y 6 y y 8 Mια αλλη αντιμετωιση + y () () y + y 7 8 7 + 8 7 y y 8 i - y - (+) ( -) (y - ) - y - 6 - y - 8 6 + y 8 + y 8 + y 8 (-) 6y + y 8 6 8 y 6 y Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα - y + + + 7 + 6 y - 6-8 i - y + - + - y - - y + + + 7 7 - + y + + 8 7 + y + 6 y - 6 + - y + 8 8 - y 8-8
Σ υ σ τ η μ α τ α i 7 D - - 8-9 D - 87 D - 9 D - - 7-87 (,y) (,- ) 8 - D y 6 y - 7 D - 9 D 6 - - 8 6 y 8 - y + - 8-8 - y - 6 8 + y 6 + - y + 9-8 - y + y 9-8 D 6 - D 6 6 D D 9-7 6 (, y) (, ) 9 D y 6 y 8 6 D D 7-6 6 y 9 Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα - y - y - i y + - y + - y y + y + y + Συστημα αδυνατο - y - - y -6 y + - y - 6-6 i y + y + y - - y + - y + y - To συστημα εχει αειρες λυσεις της μορφης : (, y) (y -, y), y Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα με τη μεθοδο των οριζουσων + y 7-8 i - y y + y +
Σ υ σ τ η μ α τ α i D - - - - D - 9 7 D - D - - - 9 - D y - y 7 D - D 8 - - y y - 8 - y 8 + y + + y - - D 9 + D (,y) (, ) 8 - D D - (, y) (, - ) - D y - y - 8 D D - - 8 - y - Α σ κ η σ η. 6 Προσδιοριστε το ληθος των λυσεων των αρακατω συστηματων, χωρις να τα λυσετε. - y 6 + 7y i - y - 6y 8 D - 6 7 +, αρα το συστημα εχει μια μονο λυση i ii + y - 9 - y D - - 6 +, D - 8-6 +, D y 8 6 6 Αρα το συστημα εχει αειρες λυσεις ii D - 9-9 + 9, D -, D y - 9 6 + 99 Αρα το συστημα ειναι αδυνατο.
Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. 7 Να λυσετε τα συστηματα ( - ) + y - + ( + )y - - i ( + ) + y 7 + ( - )y D - + ( -)( + ) - - - D - - - + - ( + ) - (- -) - - + + - - Dy - ( -)( + ) + - ( -) + - + - - To συστημα γινεται ( - ) + y - ( - ) ( + ) + y ( + ) - ( + ) + ( + )y - - + ( + )y - - + y( + ) - ( + ) + ( + )y - ( + ) - ( + )( + y) + ( + )y - - + ( + )y - ( + ) - ( + )( +y) Aρα οι αειρες λυσεις ειναι της μορφης : (, y) (-( + )( + y), y), y i D + - ( -)( + ) - - - D 7 7 ( -) - 7-7 - 7 - - Αρα το συστημα ειναι αδυνατο. Α σ κ η σ η. 8 Να λυσετε τα συστηματα - y - ω - y - ω + y - ω i - y + ω - y + ω - y + ω ii y + - ω + y + ω + y - ω 6
6 Σ υ σ τ η μ α τ α - y - ω (a) (a) - (b) Aν - y - ω (b) αο ροκυτει : (c) - (b) + y - ω (c) + y 9 y 9 - y 9 - y 9 - + 6y + (9 - ) - 7-8 y (α) : - - ω ω - 6 - ω - i - y + ω (d) (d) - (e) Aν - y + ω (e), αο ροκυτει : (e) - (f) - y + ω (f) + 8y - + y - Το συστημα ειναι αδυνατο. - - y + y - ii y + - ω + y - ω 6 (p) - (p) + (q) Aν + y + ω + y + ω (q), αο ροκυτει : (q) - (r) + y - ω 6 + y - ω 6 (r) - + ω - - + ω - ω + ω + Το συστημα εχει αειρες λυσεις. (p) : (ω + ) + y - ω 6 ω + + y - ω 6 y - 6ω + y Η μορφη των αειρων λυσεων ειναι : (, y, ω) (ω +,- 6ω +, ω), ω. Α σ κ η σ η. B Να βρειτε τις εξισωσεις των ευθειων ε και ε του διλανου σχηματος. i Ποιο συστημα οριζουν οι ε και ε και οια ειναι η λυση του συστηματος; ε y ε - Εστω ε : yα + β
Σ υ σ τ η μ α τ α 7 Το σημειο (,) ε α + β Το σημειο (, ) ε α + β Αρα ε : Εστω ε y - + yα + β : Το σημειο (,- ) ε Το σημειο Αρα i ε (, ) ε : y - Το συστημα ειναι: + y - y β y + + y - α + β α + β Η λυση (α το σχημα): (, y) (, ) - α α - β - α - α Α σ κ η σ η. Β Ενα ξενοδοχειο εχει 6 δωματια, αλλα δικλινα και αλλα τρικλινα και συνολικα 68 κρεβατια. Ποσα ειναι τα δικλινα και οσα τα τρικλινα δωματια; Εστω το ληθος των δικλινων και y το ληθος των τρικλινων δωματιων. Τοτε + y 6 6 - y 6 - y 6-6 + y 68 (6 - y) + y 68 - y + y 68 y 6 y 6 Αρα, τα δικλινα δωματια ειναι, ενω τα τρικλινα 6. Α σ κ η σ η. Β Σε εναν αγωνα το αιδικο εισιτηριο κοστιζει, και το εισιτηριο ενος ενηλικα. Τον αγωνα αρακολουθησαν ατομα και εισραχτηκαν. Να βρειτε οσα ηταν τα αιδια και οσοι οι ενηλικες ου αρακολουθησαν τον αγωνα. Εστω το ληθος των αιδιων και y το ληθος των ενηλικων. Τοτε (+) + y - - y - 66 - y - 7, + y + 8y y y 7 y 7 Αρα, τα αιδια ειναι 7, ενω οι ενηλικες.
8 Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. Β Η αντισταση R ενος συρματος ως συναρτηση της θερμοκρασιας Τα μορει να βρεθει με τον τυο RαΤ + β. Αν στους ο C η αντισταση ηταν, Ω και στους 8 ο C ηταν, Ω, να βρειτε τα α, β. Η εξισωση RαΤ +β εαληθευεται για Τ, R, :, α + β () Η εξισωση RαΤ +β εαληθευεται για Τ 8, R, :, α 8 + β () Λυνουμε το συστημα των (), (). (-) α + β, α + β, + β β 6 6 β 6 8α + β, 6α, α α 6 6 α 6 Α σ κ η σ η. Β Ενας χημικος εχει δυο διαλυματα υδροχλωρικου οξεως, το ρωτο εχει εριεκτικοτητα % σε υδροχλωρικο οξυ και το δευτερο εχει εριεκτικοτητα 8% σε υδροχλωρικο οξυ. Ποια οσοτητα αο καθε διαλυμα ρεει να αναμειξει ωστε να αρει ml διαλυμα εριεκτικοτητας 68% σε υδροχλωρικο οξυ ; Εστω, y η οσοτητα του ρωτου και δευτερου διαλυματος, αντιστοιχα. Αο το ρωτο αιρνει α το νεο διαλυμα Ετσι ισχυει : + y 68 8 ml υδροχλωρικο οξυ, α το δευτερο y 68 ml. 8 ml και 68 + 8y 68 + 8y 68 () Η συνολικη οσοτητα του νεου διαλυματος ειναι + y () Λυνουμε το συστημα των (), () : + y - y - y - y + 8y 68 ( - y) + 8y 68 - y + 8y 68 y 8-6 y 6 y 6 Α σ κ η σ η. 6 Β Δινονται οι ευθειες ε : + y και ε : + y α, α. Να βρειτε τους συντελεστες διευθυνσης των ε και ε. i Υαρχουν τιμες της αραμετρου α για τις οοιες οι ευθειες τεμνονται; ii Για οιες τιμες της αραμετρου α οι ευθειες ειναι αραλληλες;
Σ υ σ τ η μ α τ α 9 + y + y α i Εειδη για καθε α y + y + α ειναι y y λ λ + + α, ετσι λ - -, ετσι λ -, οι ευθειες συμιτουν η ειναι αραλληλες. Αρα δεν υαρχουν τιμες της αραμετρου α για τις οοιες οι ευθειες τεμνονται. ii Πρεει α α α Α σ κ η σ η. 7 Β Να βρειτε, για τις διαφορες τιμες του α i ε ε : α + y α : α y α και και α + y α Για το συστημα των ε, ε : +αy ε ε, τα κοινα σημεια των ευθειων : : + αy : + αy α D α - (α + )(α -) α α D α - (α -)(α + α + ) α α α D α - α - α(α -) y Για D δηλαδη (α + )(α - ) η α - και α, το συστημα εχει τη λυση: (,y) D (a -) (a + a + ) - a (a -) a + a + a,, - D (a + ) (a -) (a + ) (a -) a + a + D y, D Ετσι οι ευθειες ε, ε τεμνονται στο σημειο a + a + a, - a + a +. Για D δηλαδη (α + )(α - ) η α - η α ειναι: Για α - το συστημα γινεται: Για α το συστημα γινεται: + y + y, δηλαδη οι ευθειες ε, ε ταυτιζονται. - y - - y, δηλαδη οι ευθειες ε, ε αραλληλες.
Σ υ σ τ η μ α τ α i α - y α Για το συστημα των ε, ε : +αy α - D α + για καθε α α - D α + α α α D α - α y Οοτε το συστημα εχει μοναδικη λυση για καθε α την : D D y α + (,y),, (, ) D D α + α + Αρα ε, ε εχουν μοναδικο κοινο σημειο το (, ) για καθε α. Α σ κ η σ η. 8 Β Να λυσετε τα συστηματα : (λ - ) - y - (λ + )y -, λ i (μ - ) + y + (μ + )y, μ λ - - D (λ -)(-λ -) + 8 - λ + 8 - λ + 9 - λ - - D - λ - - - λ - - - λ - λ - D - λ + - - λ - y - Για D δηλαδη (,y) - λ + 9 η λ - και λ, το συστημα εχει τη λυση: D D - λ - - λ - y,, D D - λ + 9 - λ + 9 Για D δηλαδη i Για α - το συστημα γινεται: Για α το συστημα γινεται: - λ + 9 η λ - η λ ειναι: - - y - - y, αδυνατο. + y - - - y - y - y, αδυνατο. - y - - y -
Σ υ σ τ η μ α τ α μ - D (μ - )(μ + ) - μ - - μ - 9 (μ + )(μ - ) μ + D μ + - μ - (μ - ) μ + μ - D μ - - μ - (μ - ) y Για D δηλαδη (μ +)(μ -) η μ - και μ, το συστημα εχει τη λυση: (,y) D D y (μ-) (μ-),,, D D (μ + ) (μ - ) (μ + ) (μ - ) μ + μ + Για D δηλαδη (μ +)(μ -) Για μ - το συστημα γινεται: Για μ το συστημα γινεται: - λ + 9 η μ - η μ ειναι: - + y - y -, αδυνατο. - y - y + y + y, Το συστημα εχει αειρες λυσεις της μορφης: (, y) ( - y, y) με y. Α σ κ η σ η. 9 Β Οι κυκλοι του διλανου σχηματος εφατονται εξωτερικα ανα δυο και ισχυει Ο Ο και Ο ακτινες των τριων κυκλων. Ο Ο 6, Ο 7. Να υολογισετε τις O z z y O y O Εστω, y, z οι ακτινες των κυκλων. Τοτε Ο Ο 6 + y 6 () Ο Ο 7 y + z 7 () Ο Ο z + () Aο () + () + () ροκυτει : + y + z 8 + y + z 9 () Ετσι () () : z () () : () () : y
Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. Β Στο διλανο σχημα εχουμε ενα τριγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραμμενο του κυκλο ου εφατεται των γ Α ω Ε β λευρων στα σημεια Δ, Ε και Ζ. Να υολογισετε τα τμηματα ΑΖ, ΒΔ y και ΓΕ z, συναρτησει Ζ y των λευρων α, β και γ. B Δ Γ α ΒΔ ΒΖ, ΓΔ ΓΕ y, ΑΕ ΑΖ ω. Τοτε + y a () y + ω β () ω + γ () Aο () + () + () ροκυτει : + y + ω α +β + γ + y + ω (α + β + γ) () Ετσι () () : ω (α + β + γ) - α (- α + β + γ) () () : (α + β + γ) -β (α - β + γ) () () : y (α + β + γ) - γ (α + β - γ) Α σ κ η σ η. Β Ενας χημικος εχει τρια διαλυματα αο το ιδιο οξυ. Το ρωτο εριεχει % οξυ, το δευτερο % οξυ και το τριτο % οξυ. Ο χημικος θελει να αρασκευασει lit διαλυμα εριεκτικοτητας % σε οξυ, χρησιμοοιωντας και τα τρια διαλυματα και μαλιστα η οσοτητα του ρωτου διαλυματος να ειναι διλασια αο την οσοτητα του τριτου διαλυματος. Να βρειτε οσα λιτρα αο καθε διαλυμα θα χρησιμοοιησει. Εστω, y, z η οσοτητα του ρωτου, δευτερου και τριτου διαλυματος, αντιστοιχα. Αο το ρωτο αιρνει z ml οξυ, α το δευτερο y ml, α το τριτο ml οξυ και α το νεο διαλυμα ml oξυ. + y + z + 8y + z 66 () Ετσι ισχυει: Η συνολικη οσοτητα του νεου διαλυματος ειναι + y + z ()
Σ υ σ τ η μ α τ α A την υοθεση ειναι z () Λυνουμε το συστημα των (), () και () : + y + z z + y + z z + y + y + z 66 z + y + z 66 z + y 66 z z z y - z y - z y - z z + ( - z) 66 z + - z 66 z z z z y -, y -, y 7,68 z, z, z,,,88,88 Α σ κ η σ η. Β Στα αρακατω σχηματα δινονται οι γραφικες αραστασεις τριων τριωνυμων, δηλαδη συναρτησεων της μορφης y α y yf() + β + γ. Να βρειτε τα τριωνυμα αυτα. y y K(,) yg() yh() K(,) - Eιναι f() α + β + γ γ γ f() - α + β + γ - α + (- α) + - α + (- α) + - β β - α β - α β - α - α γ γ γ α - 8α - - α - α y - + β - α β - α β - Eιναι g(-) α (- ) + β (- ) + γ α - β + γ α + a + γ g() α + β + γ α + β + γ α - a + γ β β - α β - α β - α - α
Σ υ σ τ η μ α τ α α + γ α + + a α - α - - a + γ γ + a γ + a γ β - α β - α β - α β Eιναι y - + + h() α + β + γ γ γ h() α + β + γ α + β + α + β - h() α + β + γ 6α + β + γ α + β - γ γ γ γ α - - α - - α - α α β - - α β - - α β - - β - y - + Α σ κ η σ η. Να λυσετε το συστημα + y + y + y + y + y ( - y) + y + ( - y)y - y + y + y + y - y + y - y - y Δ + 8 9 + y - y - ± y y - - y - - - y - y Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα : y + y 9 i - y - y και να ερμηνευσετε γεωμετρικα τα αοτελεσματα. ii + y y y y y y y - y - 9 - + ( - ) - y y διλη λυση. διλη ριζα
Σ υ σ τ η μ α τ α Γεωμετρικη ερμηνεια: Η αραβολη y και η ευθεια y εφατονται (το συστημα εχει διλη λυση) στο σημειο Α( i, ). 9 9 + y 9 + 9 9 ± ± - y y y y y y (,y) (, ) ± y (,y) (-,- ) Γεωμετρικη ερμηνεια: O κυκλος + y 9 (κεντρου Ο(,) και ακτινας ρ ) και η ευθεια y (δι- χοτομος Ι, ΙΙΙ τεταρτημοριου) τεμνονται στα σημεια Β(, ),Γ( -,- ). ii + - + + y + y y y y - - + ( - ) - ( - ) ( - )( - ) y y y ± ± (, y) (,) η (-,- ) η (, ) η (-,- ) y y Γεωμετρικη ερμηνεια: O κυκλος + y 9 (κεντρου Ο(,) και ακτινας ρ ) και η υερβολη τεμνονται στα σημεια Δ(,), Ε(-,- ), Ζ(, ), Η(-,- ). y Α σ κ η σ η. Αο τους τυους S υ t + α υ + υ t και υ υ + αt, να δειξετε οτι S t Ειναι
6 Σ υ σ τ η μ α τ α υ-υ υ - υ Sυ t + t Sυ t + t Sυ t + a t t υ - υ υ - υ υ υ + at a a υ - υ υ + υ - υ υ + υ S (υ + ) t S t S t υ - υ υ - υ a a υ-υ a t t t t t Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε το συστημα y + + y και να ερμηνευσετε γεωμετρικα τα αοτελεσματα. y + y + y + + y y + + y y + y - y + Δ + 6 6 y y - + 8 6 ± - ± 8 y - y y - - - 8 - (διλη ριζα) (, y) (,) η (-,) η (,- ) Γεωμετρικη ερμηνεια: O κυκλος + y και η αραβολη τεμνονται στα σημεια Α(,) και y - Β(-,), ενω εφατονται στο σημειο Γ(,- ) ου ειναι διλη λυση του συστηματος. Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε το συστημα : y - y - y y - + y y - y - y - + y - + - y - y - + y - + y - y - y y( - y - ) y - +
Σ υ σ τ η μ α τ α 7 y y y - + - - + ( - ) - ( - ) - ( - + ) - - + - - - 6 + 8 y - + y - + y - + y y y ( - )( - ) ( - )( - ) ( - )( - ) - - + 8 ( - ) - ( - ) ( - )( - ) y - + y - + y - + y y y y - - y y - - y - + y - y - + y - + y - + y Α σ κ η σ η. Β Το εμβαδον ενος ορθογωνιου ειναι cm. Αν η μια διασταση του ορθογωνιου αυξηθει κατα cm, ενω η αλλη ελαττωθει κατα cm, τοτε το εμβαδον του δεν μεταβαλλεται. Να βρειτε τις διαστασεις του ορθογωνιου. Αν, y οι διαστασεις, τοτε y και ( + )(y ) Ετσι y y y ( + )(y - ) y - + y - 6 - + y - 6 y y y y - y - 6 - y - 6 y - 6y - y - y - 8 y y Δ + 8 ± 8 ( ± 9) + 9 y y y ± 9-9 - 8 < αορριτεται Εομενως, οι διαστασεις του ορθογωνιου ειναι cm, cm.
8 Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. Β Δινεται η αραβολη y και η ευθεια y + k, k τιμες του k η ευθεια τεμνει την αραβολη σε δυο σημεια.. Να βρειτε για οιες y + k y + k y + k y - + k - + + k Η ευθεια τεμνει την αραβολη σε δυο σημεια, αν το συστημα εχει δυο λυσεις. Δηλαδη ρεει η εξισωση Ετσι Δ > k > + + k εχει δυο ανισες ριζες. k > k < Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε το συστημα y y + μ και να ερμηνευσετε γεωμετρικα τα αοτελεσματα. y + μ y + μ y + μ y + μ y ( + μ) + μ - - μ (Σ) Για την εξισωση - - μ : Αν Δ > + 8μ > 8μ > - μ > η εξισωση εχει δυο ανισες ριζες, τις - ± + 8μ ± + μ ( ± + μ) ± + μ aρα το (Σ) εχει δυο λυσεις, ου σημαινει οτι η ευθεια y + μ τεμνει την αραβολη y σε δυο σημεια, τα A( + + μ, + + μ + μ), Β( - + μ, - + μ + μ). Αν Δ + 8μ 8μ - μ - β η εξισωση εχει διλη ριζα, την - - - α aρα το (Σ) εχει διλη λυση, ου σημαινει οτι η ευθεια y + μ εφατεται στην α- ραβολη y στο σημειο, Γ(, ). Αν Δ < + 8μ < 8μ < - μ < - η εξισωση ειναι αδυνατη, οοτε και το (Σ) ειναι αδυνατο ου σημαινει οτι η ευθεια y + μ και η αραβολη y δεν εχουν κοινα σημεια.
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 9 Α σ κ η σ η. Να βρειτε τα διαστηματα στα οοια καθεμια αο τις αρακατω συναρτησεις ειναι : α) γνησιως αυξουσα και β) γνησιως φθινουσα y y yg() y yh() yf() - - - - Το εδιο ορισμου και των τριων συναρτησεων ειναι το. Moνοτονια συναρτησης f : Γνησιως φθινουσα στο διαστημα (, ] Γνησιως αυξουσα στο διαστημα Moνοτονια συναρτησης g : [, + ) Γνησιως φθινουσα στο διαστημα [, ] Γνησιως αυξουσα στa διαστηματα (, ] και [, + ) Moνοτονια συναρτησης h : Γνησιως φθινουσα στa διαστηματα (, -] [, ] Γνησιως αυξουσα στa διαστηματα [, ] και [, + ) Α σ κ η σ η. Να ροσδιορισετε τα ολικα ακροτατα των συναρτησεων της ροηγουμενης ασκησης, καθως και τις θεσεις των ακροτατων αυτων. Το εδιο ορισμου και των τριων συναρτησεων ειναι το. Oλικα ακροτατα της συναρτησης f : Παρουσιαζει ελαχιστο στη θεση To ελαχιστο ειναι f() - Oλικα ακροτατα της συναρτησης g : Δεν αρουσιαζει ολικα ακροτατα. Oλικα ακροτατα της συναρτησης h : Παρουσιαζει ελαχιστο στη θεση - και To ελαχιστο ειναι f(- ) f() -
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Α σ κ η σ η. Να δειξετε οτι : Η συναρτηση f() i Η συναρτηση g() 6 + αρουσιαζει ελαχιστο για. + Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το. Αρκει να δειξουμε οτι f() f() για καθε Πραγματι 6 + 6 + ( -) ου αληθευει για καθε. i Το εδιο ορισμου της συναρτησης g ειναι το. Αρκει να δειξουμε οτι g() g() για καθε Πραγματι + + + + αρουσιαζει μεγιστο για. 6 + 9 8 +.. 6 + 9 ου αληθευει για καθε. + - + ( -) Α σ κ η σ η. Να βρειτε οιες αο τις αρακατω συναρτησεις ειναι αρτιες και οιες ειναι εριττες : f () + i f () + ii f () + iv) f () v) f () + v f 6 () + Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) Aρα η i f (- ) + ειναι αρτια. (- ) + Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) - + + Aρα η ii f ειναι αρτια. f () Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) - + ± f () ± + ± δηλαδη f (- ) ± f () f ()
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Aρα η iv) f δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη. Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) (- ) (- ) - + - ( - ) - f () Aρα η f ειναι εριττη. v) Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το - {- ), ου δεν ειναι συμμετρικο ως ρος το (το ανηκει στο εδιο ορισμου, ενω το - δεν ανηκει). Aρα η v f δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη. Το εδιο ορισμου της συναρτησης f 6 (- ) Aρα η (- ) (- ) + - f 6 ειναι εριττη. + - f 6 ειναι το, οοτε για καθε f 6 () και -. Α σ κ η σ η. Να βρειτε οιες αο τις αρακατω συναρτησεις ειναι αρτιες και οιες ειναι εριττες : iv) f f () + () + i f () - ii v) f () v Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το f (- ) - Aρα η f ειναι αρτια. i f () Το εδιο ορισμου της συναρτησης ως ρος το. Aρα η ii f f * f f 6 () - - + (), οοτε για καθε - και - ειναι το A [, + ), ου δεν ειναι συμμετρικο f δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη. Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) - - - - + - ( + ) - - ( ) + - - ( - - + ) - f (). Aρα η f ειναι εριττη..
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν iv) Το εδιο ορισμου της συναρτησης f (- ) Aρα η v) f - + - (- ) + ειναι εριττη. Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το - + + - + + - f () *, οοτε για καθε και - f ειναι το, οοτε για καθε και -.. f (- ) Aρα η v - f ειναι αρτια. f () Το εδιο ορισμου της συναρτησης f 6 ειναι το A [-, ] f 6, ου ειναι συμμετρικο ως ρος το. (aφου ρεει ριζες - - - και ) f 6 (- ) Aρα η - (- ) f 6 ειναι αρτια. - f 6 () Α σ κ η σ η. 6 Να βρειτε οιες αο τις αρακατω γραμμες ειναι γραφικες αραστασεις αρτιας και οιες εριττης συναρτησης. y y y y f() y g() y h() H f ειναι συμμετρικη ως ρος κεντρο Ο, αρα ειναι εριττη. H g ειναι συμμετρικη ως ρος τον αξονα y y, αρα ειναι αρτια H h δεν ειναι συμμετρικη ουτε ως ρος τον αξονα y y ουτε ως ρος κεντρο την αρχη Ο, αρα δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη.
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Α σ κ η σ η. 7 Να βρειτε οιες αο τις αρακατω γραμμες ειναι γραφικες αραστασεις αρτιας και οιες εριττης συναρτησης. y y y y f() y g() y h() H f ειναι συμμετρικη ως ρος τον αξονα y y, αρα ειναι αρτια H g ειναι συμμετρικη ως ρος κεντρο Ο, αρα ειναι εριττη. H h δεν ειναι συμμετρικη ουτε ως ρος τον αξονα y y ουτε ως ρος κεντρο την αρχη Ο, αρα δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη. Α σ κ η σ η. 8 Να συμληρωσετε τις αρακατω γραμμες ωστε να αριστανουν γραφικες αραστασεις α) Αρτιας συναρτησης και β) Περιττης συναρτησης y y y C C C Aρτιας συναρτησης y y y C C C Περιττης συναρτησης
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν y y y C C C Α σ κ η σ η. Στο ιδιο συστημα αξονων να αραστησετε γραφικα τις συναρτησεις : φ(), f() + και g() H C φ αοτελειτε αο τις διχοτομους της ης και y ης γωνιας των αξονων. C f C φ Η της C f ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση C φ ρος τα ανω κατα μοναδες. C g Η της C ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση g C φ ρος τα κατω κατα μοναδες. Α σ κ η σ η. Στο ιδιο συστημα αξονων να αραστησετε γραφικα τις συναρτησεις : φ(), f() + και g() H C αοτελειτε αο τις διχοτομους της ης και φ Y ης γωνιας των αξονων. C h C φ C q Η C ροκυτει αο την οριζοντια μετατοιση h της C ρος τα αριστερα κατα μοναδες. φ Η C ροκυτει αο την οριζοντια μετατοιση q της C ρος τα δεξια κατα μοναδες. φ
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Α σ κ η σ η. Στο ιδιο συστημα αξονων να αραστησετε γραφικα τις συναρτησεις : φ(), F() + + και G() H C φ αοτελειτε αο τις διχοτομους της ης και y Η ης γωνιας των αξονων. της Η C F ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση C ρος τα ανω κατα μοναδa και την οριζοντια φ μετατοιση ρος τα αριστερα κατα μοναδες. της C G ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση C φ ρος τα κατω κατα μοναδa και την οριζον- C F C φ C G τια μετατοιση ρος τα δεξια κατα μοναδες. Α σ κ η σ η. Να γραψετε τη συναρτηση f() + στη μορφη f() α( p και στη συνεχεια να βρειτε με οια οριζοντια και οια κατακορυφη μετατοιση η γραφικη αρασταση της συναρτησης g() αρασταση της f. i Να κανετε το ιδιο και για τη συναρτηση f() g την g(). θα συμεσει με τη γραφικη ) + q + 8 9, θεωρωντας ως Για την f() β - - α + ειναι Δ - 6 - - - α 8 8 β Δ f() α + - ( -) + α α Ετσι Οριζοντια μετατοιση της Κατακορυφη μετατοιση της i Για την f() - + 8-9 ειναι β 8 - α (- ) C : μοναδα δεξια. f C : μοναδες ανω. f f() f() - y C f C g
6 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Δ 8 - (- ) (- 9) 6-7 - 8 - α 8 8 β Δ f() α + - - ( - ) + α α Ετσι Οριζοντια μετατοιση της C f : μοναδες δεξια. Κατακορυφη μετατοιση της C f : μοναδα ανω. Α σ κ η σ η. Στο διλανο σχημα δινεται η γραφικη αρασταση μιας συναρτησης φ ου αοτελειται αο τη διχοτομο της δευτερης γωνιας των αξονων και αο το ημικυκλιο ου ανηκει στο ο τεταρτημοριο και εχει διαμετρο ου οριζουν τα σημεια Ο(, ) και Α(, ). Στο ιδιο συστημα συντεταγμενων να αραστησετε γραφικα τις συναρτησεις : f() φ() + και g() φ() i h() φ( + ) και q() φ( ) ii F() φ( + ) + και G() φ( ) y Cφ Η της Η C ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση f C φ ρος τα ανω κατα μοναδες. C g ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση C f y Cφ της C φ ρος τα κατω κατα μοναδες. C g - i Η Η C ροκυτει αο την oριζοντια h μετατοιση ης κατα μοναδες. C ρος τα αριστερα φ C ροκυτει αο την oριζοντια q μετατοιση της κατα μοναδες. C ρος τα δεξια φ C h Cφ C q y -
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 7 i Η Η C F ροκυτει αο την oριζοντια μετατοιση της C ρος τα αριστερα φ κατα μοναδες και κατακορυφη με- τατοιση ρος τα ανω κατα μο- ναδες. C G ροκυτει αο την oριζοντια μετατοιση της C φ ρος τα δεξια κατα μοναδες και κατακορυφη με- τατοιση ρος τα κατω κατα μοναδες. C F y Cφ - - C G Α σ κ η σ η. 6 Δινεται η συναρτηση φ(). Να βρειτε τον τυο της συναρτησης f της οοιας η γραφικη αρασταση ροκυτει αο δυο διαδοχικες μετατοισεις της γραφικης αραστασης της φ : κατα μοναδες ρος τα δεξια και κατα μοναδα ρος τα ανω. i κατα μοναδες ρος τα δεξια και κατα μοναδες ρος τα κατω. ii κατα μοναδες ρος τα αριστερα και κατα μοναδα ρος τα ανω. iv) κατα μοναδες ρος τα αριστερα και κατα μοναδες ρος τα κατω. μοναδες δεξια τοτε : - ( - ) -, και μοναδα ανω τοτε : ( - ) - ( - ) - + ( - ) Δηλαδη, i f() ( - ) μοναδες δεξια τοτε : - ( - ) -, και μοναδες κατω τοτε : ( - ) - Δηλαδη, ii μοναδες αριστερα τοτε : - ( + ) -, ( - ) - - ( - ) - και μοναδα ανω τοτε : ( + ) - ( + ) - + ( + ) Δηλαδη, iv) f() ( - ) - f() ( + ) μοναδες αριστερα τοτε : - ( + ) -, και μοναδες κατω τοτε : ( + ) - ( + ) - - ( + ) - Δηλαδη, f() ( + ) -
8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Στο διλανο σχημα να υολογισετε τα μηκη, y και τη γωνια α. 6 y a B Δ Γ Α Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΔ : ημ 6 6 6 Το ορθογωνιο τριγωνο ΑΓΔ ειναι ισοσκελες, οοτε Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΓΔ : a. 6 6 ημ y 6 y y y y y Α σ κ η σ η. Να υολογισετε τις λευρες του τριγωνου του διλανου σχηματος. Α 6 Β Γ Ειναι A 8-6 - 9 Ετσι AB ΑΒ ημ ΑΒ BΓ AΓ ΑΓ ημ6 ΑΓ BΓ Α σ κ η σ η. Μια εικεντρη γωνια ω βαινει σε τοξο S 6 cm. Να εκφρασετε τη γωνια αυτη σε ακτινια, αν η ακτινα του κυκλου ειναι ρ cm i ρ cm ii ρ cm Αο τη Γεωμετρια, το μηκος τοξου μ ο δινεται αο: S ρ κυκλου. Ομως, μ 8 ω, οοτε S ρ ω S ρω () μ 8, οου ρ η ακτινα του
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 9 Για S 6 και ρ η () γινεται : 6 ω i Για S 6 και ρ η () γινεται : 6 ω ii Για S 6 και ρ η () γινεται : 6 ω ω 6 rad ω rad ω rad Α σ κ η σ η. Να εκφρασετε σε rad γωνια ο i ο ii 6 ο iv) 8 ο α μ μ α α α rad 8 8 8 6 i α μ μ α α α rad 8 8 8 ii α μ μ 6 α α α 7 rad 8 8 8 iv) α μ μ - 8 - α α α rad 8 8 8 Α σ κ η σ η. Να μετατρεψετε σε μοιρες γωνια : rad i 6 rad ii 9 rad iv) rad α μ 8 8 μ α μ μ 8 8 i α μ 8 8 μ α μ μ 8 6 ii α μ 8 8 9 μ α μ μ 6 8
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α iv) α μ 8 8 μ α μ μ 8 8 Α σ κ η σ η. 6 Να υολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας 8 ο i 9 ο ii 98 ο iv) 6 ο ημ8 ημ(8 + ) ημ( 6 + ) ημ συν8 συν(8 + ) συν( 6 + ) συν εφ8 σφ8 εφ(8 + ) εφ( 6 + ) εφ σφ(8 + ) σφ( 6 + ) σφ i ημ9 συν9 ημ(88 + 6 ) ημ( 8 6 + 6 ) ημ6 συν(88 + 6 ) συν( 8 6 + 6 ) συν6 εφ9 εφ(88 + 6 ) εφ( 8 6 + 6 ) εφ6 σφ9 ii σφ(88 + 6 ) σφ (8 6 + 6 ) σφ6 ημ98 ημ(8 + 8 ) ημ( 6 + 8 ) ημ8 συν98 συν(8 + 8 ) συν( 6 + 8 ) συν8 - εφ98 εφ(8 + 8 ) εφ( 6 + 8 ) εφ8 σφ98 σφ( 8 + 8 ) σφ( 6 + 8 ) σφ8 δεν οριζεται iv) ημ6 ημ( 6 + ) ημ συν6 συν( 6 + ) συν εφ6 εφ( 6 + ) εφ σφ6 σφ( 6 + ) σφ δεν οριζεται
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Β Σε μικρα αεροδρομια υολογιζουν το υψος των νεφων με τη βοηθεια μιας ισχυρης λαμας εντος αραβολικου κατοτρου, η οοια βρισκεται σε α 7 αοσταση οδια ( οδι, m) αο το Π Δ Λ σημειο του αρατηρητη. Η λαμα ειναι τοοθετημενη υο σταθερη γωνια και ο αρατηρητης στρεφει το οργανο αρατηρησης στο σημειο ανακλασης του φωτος αο τα νεφη. Να ροσδιορισετε το υψος h για α ο, ο και 6 ο. i Ποση ειναι η γωνια α, αν h οδια; Ειναι Ν h h εφα ΔΠ (+) ΝΔΠ ΔΠ εφα h h : ΔΠ + ΔΛ + h h εφα εφ7 ΝΔ Λ εφ7 ΔΛ ΔΛ εφ7 εφ7 + εφα εφ7 εφα h () εφ7 + εφα h εφ7 εφα εφ7 εφ7 εφ εφ7 h. εφ7 + εφ εφ7 + εφ7 + εφ7 εφ εφ7 εφ7 h εφ7 + εφ εφ7 + εφ7 + εφ7 εφ6 εφ7 h εφ7 + εφ6 εφ7 + i Για h η () γινεται: εφ7 εφα εφ7 + εφα εφ7 εφα εφ7 εφα εφ7 + εφα εφ7 + εφα εφ7 εφα - εφα εφ7 (εφ7 - ) εφα εφ7 εφα εφ7 εφ7 -
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Β Με τη βοηθεια του διλανου σχηματος: Να δειξετε οτι (ΑΓ) (ΒΓ) ημ ο i Να εξηγησετε γιατι ειναι (ΕΒ). ημ, ο ii Να υολογισετε το μηκος (ΓΕ) iv) Να δειξετε, χρησιμοοιωντας το τριγωνο ΒΕΓ, οτι (ΕΒ) - v) Να υολογισετε το ημ, ο v Ποιων αλλων γωνιων μορειτε να υολογισετε το ημιτονο και ως ρεει να συνε- χιστει η κατασκευη για το σκοο αυτο; Στο ισοσκελες και ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ (ΑΓ ΒΓ και i ημ ημ ΑΓ ΑΓΒ 9 ): ΑΓ ΑΓ ΑΓ ημ ΑΓ ΑΒ Η ΑΔ ειναι διχοτομος (αφου ΒΑΓ ) και υψος (αφου ΑΒΕ, οοτε και διαμεσος. Αρα ΒΕ ΔΒ. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΒ : ii ΑΔΒ 9 ) του τριγωνου ΔΒ ΔΒ ημ, ημ, ΔΒ ημ, ΔΒ ημ, ΑΒ ΕΒ ημ, Το τριγωνο ΑΒΕ ειναι ισοσκελες (ΑΕ ΒΕ), οως και το ΑΒΓ (ΑΓ ΒΓ). ΕΓ ΑΕ - ΑΓ iv) ΕΓ ΑΒ - ΑΓ ΕΓ - Αο Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΕΓ ( ΕΓΒ 9 ): ΕΒ ΕΓ + ΒΓ ΕΒ ΕΓ + ΑΓ ΕΒ ( - ) + ( ) ΕΒ - + + ΕΒ 8 - ΕΒ ( - ) ΕΒ - v) Αο (i και (iv): ΕΒ - ΕΒ ημ, - - ημ,, ημ, - ημ, Γ Ε Δ Α Β
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α v Διχοτομουμε την γωνια ΔΑΒ και στη συνεχεια διχοτομουμε τη γωνια ου ροκυτει και συνεχιζουμε.,, Δηλαδη υολογιζουμε το ημ, ημ,... Α σ κ η σ η. B Να βρειτε την εριμετρο και το εμβαδον του τριγωνου ΑΓΔ του διλανου σχηματος. A 6 B Δ Γ Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ΑΒΓ 9 ): ΑΒ 6 ημ ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ συν ΒΓ 6 ΑΓ 6 Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΔ ( ΑΒΔ 9 και ΒΑΔ ): ΒΔ ΒΔ ΒΔ εφ ΒΔ ΑΒ 6 ΒΔ ημ ΑΔ ΑΔ ΑΔ Ετσι Περιμετρος ΑΒΓ ΑΔ + ΔΓ + ΑΓ Ε ΔΓ ΑΒ 6 ΑΔΓ ΑΔ ΔΓ + + + 8 Α σ κ η σ η. Β Η ιο αργη κινηση ου μορει να εισημανει το ανθρωινο ματι ειναι mm ανα δευτερολετο. Να βρειτε οσο μηκος ρεει να εχει ο λετοδεικτης ενος ρολογιου για να μορουμε να εισημανουμε την κινηση του ακρου του. Εστω ρ το μηκος του λετοδεικτη (ακτινα κυκλου) σε mm. Σε h 6 sec το ακρο του διαγραφει τοξο ρ. ρ Σε δευτερολετο διαγραφει διαστημα S. 6 Για ρ S mm ρ 8 6 8 ρ mm.
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Αν ημ γωνιας rad. και < <, να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους της Ειναι ημ + συν + συν + συν συν - 9 9 6 6 συν συν ± ημ εφ - συν - < < συν < συν - σφ - εφ - Α σ κ η σ η. Αν συν - και < <, να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας rad. Ειναι ημ + συν ημ + ημ + ημ - - 9 9 9 9 ημ ημ ± < < ημ < ημ - - ημ εφ συν - σφ εφ
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Αν εφ και < < αριθμους της γωνιας rad. -, να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους Ειναι. σφ - - εφ - +εφ + + + - 9 συν συν ± συν ± < < συν > συν ημ εφ ημ εφ συν ημ - ημ - συν 6 ημ - Α σ κ η σ η. Αν σφ και της γωνιας rad. < <, να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους Ειναι εφ σφ +εφ 9 9 + < < συν συν ± συν > ημ εφ ημ εφ συν συν εφ ημ συν Α σ κ η σ η. Αν σφ - και < <, να υολογισετε τη τιμη της αραστασης Π ημ συν +συν. Ειναι εφ σφ - εφ -
6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Ειναι +εφ + - + συν συν ± συν ± < < συν ± συν συν > ημ εφ ημ εφ συν ημ - συν Ετσι ημ - - - - ( - ) - + 8 - + 8 Π + ( + ) ( - ) - + Α σ κ η σ η. 6 Να εξετασετε, αν υαρχουν τιμες του για τις οοιες : Να ισχυει συγχρονως ημ και συν i Να ισχυει συγχρονως ημ και συν ii Να ισχυει συγχρονως ημ και συν Εειδη i Εειδη ii Εειδη ημ + συν, ειναι ημ + συν, ειναι ημ + συν, ειναι + δηλαδη, ου ειναι ατοο. + δηλαδη, ου ειναι ατοο. +, δηλαδη 9, ου ειναι ατοο. Α σ κ η σ η. 7 Να αοδειξετε οτι, τα σημεια Μ(,y) του ειεδου με συνθ και y ημθ, ειναι σημεια κυκλου κεντρου Ο(,) και ακτινας ρ. (ΟΜ) + y (συνθ) + (ημθ) 9συν θ + 9ημ θ 9(ημ θ + συν θ) ημ θ + συν θ 9 Το Μ, λοιον, αεχει αο το Ο αοσταση, αρα ανηκει στον κυκλο (Ο,).
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 7 Α σ κ η σ η. 8 Αν ισχυει συνθ και y ημθ, να δειξετε οτι 9 + y 6. Ειναι 9 + y 9(συνθ) + (ημθ) 9(συν θ) + (9ημ θ) 6συν θ + 6ημ θ ημ θ + συν θ 6(συν θ + ημ θ) 6 6 Α σ κ η σ η. 9 Αν ειναι r ημθσυνφ, y r ημθημφ και z r συνθ, να δειξετε οτι + y + z r + y + z (r ημθ συνφ) + (r ημθ ημφ) + (r συνθ) r ημ θ συν φ + r ημ θ ημ φ + r συν θ r ημ θ (συν φ + ημ φ) + r συν θ r ημ θ + r συν θ r (ημ θ + συν θ) r r Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι ημα - συνα +συνα ημα i συν α - ημ α συν α - ημα +συνα - συνα ημα ημα ημα ( + συνα)( - συνα) ημ α - συν α ημ α + συν α ου αληθευει. i συν α - ημ α (συν α) - (ημ α) (συν α + ημ α)(συν α - ημ α) (συν α - ημ α) συν α - ( - συν α) συν α + συν α - συν α - Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι ημθ + συνθ + +συνθ ημθ ημθ i συν συν + -ημ + ημ συν ημθ +συνθ + συνθ + ημθ ημ θ + ( + συνθ) ημ θ + +συνθ + συν θ + + συνθ ημθ ( + συνθ) ημθ ( + συνθ) ημθ ( + συνθ)
8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α ( + συνθ) ημθ ( + συνθ) ημθ i συν -ημ συν + + ημ συν( + ημ) + συν( - ημ) συν + ημ συν + συν - ημ συν ( - ημ) ( + ημ) -ημ συν συν συν Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι εφα + σφβ εφα εφβ + σφα εφβ i εφ α - ημ α εφ α ημ α εφα εφβ + εφα + εφα + σφβ εφβ εφβ εφα (εφα εφβ + ) εφα εφβ + σφα εφα εφβ + εφβ + εφβ (εφα εφβ + ) εφβ εφα εφα i εφ α - ημ ημ α ημ α - ημ α συν α ημ α ( - συν α) ημ α ημ α α -ημ α συν α συν α συν α συν α ημ α ημ α συν α εφ α ημ α Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι συν ημ + ημ + συν -εφ - σφ ii ημ συν εφ + σφ i iv) ( - συν) + ημ εφ συν - ημ - συν ημ συν ημ συν συν -εφ ημ + - σφ συν ημ συν ημ + + ημ συν συν - ημ ημ - συν - - συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ + - συν - ημ ημ - συν συν - ημ συν - ημ συν - ημ συν - ημ (συν + ημ) (συν - ημ) συν - ημ ημ + συν
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 9 i +συν - συν ημ ημ ( - συν) + ( - συν) ημ ημ εφ συν συν συν συν συν ii εφ + σφ iv) ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ + συν ημ + συν + συν ημ ημ συν -ημ - συν συν ημ (συν ημ) - ημ - συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν Α σ κ η σ η. B Αν ημ + συν α, να υολογισετε, ως συναρτηση του α, την αρασταση ημ συν i + ημ συν ii εφ + σφ iv) ημ + συν ημ + συν α (ημ + συν) α + ημ συν + α i ημ συν +ημ συν α ημ συν α - συν + ημ α α α + + με α ± ημ συν α - ημ συν ημ συν α - α - ii ημ συν ημ εφ + σφ συν + εφ + σφ α - συν ημ + συν ημ ημ συν α - α - με α ± α - iv) ημ + συν (ημ + συν)( ημ - ημ συν + συν ) a ( - ημ συν) ημ + α - - α + a - α a - a a - α συν
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. B Να αοδειξετε οτι 6 6 ημ + συν - ημ συν i ημ + συν - ημ συν 6 6 ii η αρασταση Π ( ημ + συν ) ( ημ + συν ) εχει τιμη ανεξαρτητη του, δηλαδη ειναι σταθερη. ημ + συν (ημ ) + (συν ) (ημ + συν ) - ημ συν - ημ συν i 6 6 ημ + συν (ημ ) + (συν ) (ημ + συν )( ημ - ημ συν + συν ) ( - ημ συν - ημ συν ) - ημ συν ii Π 6 6 (ημ + συν ) (ημ + συν ) ( - ημ συν ) ( - ημ συν ) -6 ημ συν +6 ημ συν - - Α σ κ η σ η. B Αν - < <, να δειξετε οτι +ημ - ημ - -ημ + ημ εφ Eιναι ημ - ημ + ημ + ημ + ημ - ημ - ημ - ημ - < < τοτε συν > και συν συν Ετσι +ημ - -ημ - ημ + ημ +ημ - ημ ( + ημ) - ( - ημ) - -ημ + ημ - ημ + ημ + ημ - - ημ + ημ - ( - ημ) -ημ συν +ημ- + ημ ημ εφ συν συν Α σ κ η σ η. B Αν <, να δειξετε οτι +συν + +συν - - συν - συν +ημ συν συν -ημ
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α +συν + +συν - - συν - συν ( + συν + - συν) ( + συν - - συν)( + συν + - συν) ( + συν) + + συν - συν + ( - συν) ( + συν) - ( - συν) +συν + ( + συν)( - συν) + -συν +συν- ( - συν) + - συν +συν - + συν) + ημ συν + ημ συν ( + ημ) συν +ημ συν ( + ημ) ( - ημ) συν( - ημ) -ημ συν( - ημ) συν συν ( - ημ) συν -ημ Α σ κ η σ η. Να βρειτε τους τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας ο, i 8 ο ημ ημ( 6 + ) ημ( ) ημ(8-6 ) ημ6 συν συν( 6 + ) συν( ) συν(8-6 ) συν6 - εφ εφ( 6 + ) εφ( ) εφ(8-6 ) εφ6 - σφ σφ( 6 + ) σφ( ) σφ(8-6 ) σφ6 -
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α i ημ(- 8 ) ημ( - 8 6 + ) ημ συν(- 8 ) συν( - 8 6 + ) συν εφ(- 8 ) εφ( - 8 6 + ) εφ σφ(- 8 ) σφ( - 8 6 + ) σφ Α σ κ η σ η. Να βρειτε τους τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας 87 6 rad, i rad 87 87 7 7 ημ ημ ημ ( + ) ημ + ημ + 6 6 6 Ομοια - ημ - 6 87 συν... συν + - συν - 6 6 6 87 εφ... εφ + εφ 6 6 6 87 σφ... σφ + σφ 6 6 6 i ημ ημ ημ ( + ) ημ + ημ + - ημ - 8 8 συν... συν + - συν - εφ... εφ + εφ σφ... σφ + σφ
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Σε καθε τριγωνο ΑΒΓ να αοδειξετε οτι ημα ημ(β + Γ) i συνα + συν (Β + Γ) ii ημ Α συν Β + Γ iv) συν Α ημ Β + Γ A + B + Γ A - (B + Γ) ημa ημ[ - (B + Γ)] ημa ημ(b + Γ) i A + B + Γ A - (B + Γ) συνa συν[ - (B + Γ)] συνa - συν(b + Γ) συνa + συν(b + Γ) ii A B Γ A B + Γ A B + Γ A + B + Γ + + - ( ) ημ ημ[ - ( )] A B + Γ ημ συν iν) A B Γ A B + Γ A B + Γ A + B + Γ + + - ( ) συν συν[ - ( )] A B + Γ συν ημ Α σ κ η σ η. Να αλοοιησετε την αρασταση συν(- α) συν(8 + α) ημ(- α) ημ(9 + α) Eιναι συν(- α) συνα ημ(- α) - ημα συν(8 + α) - συνα ημ(9 + α) συνα Ετσι συν(- α) συν(8 + α) ημ(- α) ημ(9 + α) συνα (- συνα) - ημα συνα συνα ημα σφα
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι Ειναι εφ( - ) - εφ 9 εφ( - ) συν( + ) συν + ημ( + ) συν(- ) σφ - συν( + ) συν 9 9 συν + συν + συν + + - ημ ημ( + ) ημ( 6 + + ) - ημ συν(- ) συν σφ - σφ - σφ + - εφ Ετσι 9 εφ( - ) συν( + ) συν + - εφ συν (- ημ) - - ημ συν εφ ημ( + ) συν(- ) σφ - Α σ κ η σ η. 6 Να δειξετε οτι εχει σταθερη τιμη η αρασταση Σ ημ ( - ) + συν( - )συν( - ) + ημ + ημ( - ) ημ συν( - ) - συν συν( - ) συν ημ( + ) συν Ετσι Σ ημ ( - ) + συν( - ) συν( - ) + ημ + ημ - συν συν + συν ημ - συν + συν ημ + συν
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. B Να υολογισετε την τιμη της αραστασης Π Ειναι ημ9 συν + συν9 συν(- ) εφ(- ) + εφ9 ημ9 ημ( 6 + ) ημ(9 + ) συν συν συν(9 + ) - ημ - συν9 συν( 6 + ) συν(9 + ) - ημ - συν(- ) συν(- 8 + 6 ) - συν6 - εφ(- ) εφ(- 8 + 6 ) εφ6 εφ9 εφ( 6 + ) εφ(9 + ) - σφ - Ετσι - + - - - + Π - - Α σ κ η σ η. B Να αοδειξετε οτι 7 ημ( + ω) συν(7 - ω) ημ - ω συν + ω 7 σφ( + ω) ημ(7 - ω) συν - ω σφ + ω ημ ω ημ( + ω) ημ( + + ω) ημ( + ω) - ημω σφ( + ω) σφ( + + ω) σφ( + ω) σφω συν(7 - ω) συν( + - ω) συν( - ω) - συνω ημ(7 - ω) ημ( + - ω) ημ( - ω) ημω ημ - ω ημ - ω ημ + - ω ημ - ω συνω
6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α συν - ω συν - ω συν + - ω συν - ω ημω 7 7 συν + ω συν - ω συν + - ω συν - ω - ημω 7 7 σφ + ω σφ - ω σφ + - ω σφ - ω εφω Ετσι 7 ημ( + ω) συν(7 - ω) ημ - ω συν + ω - ημω (- συνω) συνω (- ημω) 7 σφω ημω ημω εφω σφ( + ω) ημ(7 - ω) συν - ω σφ + ω - συν ω σφω εφω - ( - ημ ω) ημ ω - Α σ κ η σ η. B Αν εφ - + εφ +, να υολογισετε την τιμη της αραστασης 6 Π εφ - + εφ + 6 Π 6 6 6 6 6 6 - εφ - ( + ) εφ + - σφ + εφ + 6 6 6 6 - - εφ - + εφ + εφ - + εφ + - εφ - εφ + - εφ - εφ + - εφ - - εφ + Σημειωση Ισχυει : α + β (α + β) - αβ (η η ταυτοτητα (α + β) α + αβ + β ) εφω Ισχυει : εφω σφω εφω εφω εφω
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 7 Α σ κ η σ η. B Να αοδειξετε οτι < Ειναι εφ( + ) εφ + σφ( + ) < σφ( + ) εφ( + ) εφ Για να οριζεται η σφ( + ) ρεει εφ. εφ( + ) εφ εφ εφ εφ εφ + σφ( + ) εφ + σφ εφ + εφ + εφ + εφ + > εφ + εφ εφ εφ > εφ Ετσι, < < < εφ < εφ + ου αληθευει Α σ κ η σ η. Να σχεδιασετε τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων, στο ιδιο συστημα αξονων: ( f() ημ, g(),.ημ, h() - ημ, (i f() συν, g(),.συν, h() - συν, ( / / ημ -,ημ, -, ημ - -ημ - (i, -, -,ημ ημ -ημ ημ / / συν -,συν, -, συν -, -συν - - -, / /,συν -, - -συν - συν συν
8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Σε ενα συστημα αξονων να σχεδιασετε τη γραφικη αρασταση της συναρτησης f() ημ και στη συνεχεια τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων: g() + ημ και h() - + ημ Η γραφικη αρασταση της g() + ημ ροκυτει αο κατακορυφη μεταφορα της γραφικης αραστασης της f() ημ ρος τα ανω κατα μοναδα. Η γραφικη αρασταση της h() - + ημ ροκυτει αο κατακορυφη μεταφορα της γραφικης αραστασης της f() ημ ρος τα κατω κατα μοναδα. g() + ημ f() ημ - -/ - -/ / / h() - + ημ Α σ κ η σ η. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα αξονων τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων f() ημ και g() ημ, f() ημ g() ημ Η συναρτηση ειναι της μορφης ημω, ου εχει εριοδο T ω - /6 / / / ημ - Αλλιως g( + ) ημ( + ) ημ( + ) ημ g(). Αρα η συναρτηση g() ημ ειναι εριοδικη με εριοδο.
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 9 Α σ κ η σ η. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα αξονων τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων f() ημ και g() συν,. f() συν g() συν - 6 /6 / / / συν - Αλλιως Eιναι g( + ) συν( + Η συναρτηση ειναι της συν g(). Αρα η συναρτηση g() συν ειναι εριοδικη με εριοδο μορφης συνω, ου εχει εριοδο T ω ) συν( + ). Α σ κ η σ η. Εστω η συναρτηση f() ημ. Ποια ειναι η μεγιστη και οια η ελαχιστη τιμη της συναρτησης αυτης; Ποια ειναι η εριοδος της εν λογω συναρτησης; Να σχεδιασετε τη γραφικη αρασταση της f σε διαστημα λατους μιας εριοδου. - ημ - ημ - f() αρα η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι και η ελαχιστη -. ημ - f( + ) ημ + ημ( + ) ημ f() Αρα η συναρτηση f ειναι εριοδικη με εριοδο. f() ημ -
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. 6 Εστω η συναρτηση f() συν. Ποια ειναι η μεγιστη και οια η ελαχιστη τιμη της συναρτησης αυτης; Ποια ειναι η εριοδος της εν λογω συναρτησης; Να σχεδιασετε τη γραφικη αρασταση της f σε διαστημα λατους μιας εριοδου. - συν - συν - f() αρα η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι και η ελαχιστη -. συν - f( + ) συν + συν( + ) συν Αρα η συναρτηση f ειναι εριοδικη με εριοδο. f() f() συν - Α σ κ η σ η. 7 Να σχεδιασετε τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων f() εφ i g() + εφ ii h() - + εφ στο ιδιο συστημα αξονων. f() εφ g() + εφ - - h() - + εφ Η γραφικη αρασταση της g() + εφ ροκυτει αο κατακορυφη μεταφορα της γραφικης αραστασης της f() εφ ρος τα ανω κατα μοναδα. Η γραφικη αρασταση της h() - + εφ ροκυτει αο κατακορυφη μεταφορα της γραφικης αραστασης της f() εφ ρος τα κατω κατα μοναδα.
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. 8 Να μελετησετε και να αραστησετε γραφικα τη συναρτηση f() εφ. Ειναι f( + εφ f() ) εφ( + ) εφ( + ) Αρα η συναρτηση f ειναι εριοδικη με εριοδο Γραφουμε ινακα τιμων σε διαστημα λατους εστω στο (-, ). - - 8 8 εφ - - -, f() εφ. - - 8 8 - Α σ κ η σ η. 9 Να μελετησετε και να αραστησετε γραφικα τη συναρτηση f() σφ. f() σφ Ειναι f( + ) σφ( + ) σφ f() Αρα η συναρτηση f ειναι εριοδικη με εριοδο. Γραφουμε ινακα τιμων σε διαστημα λατους, εστω στο (, ). - σφ - - - Α σ κ η σ η. Β Να βρειτε τις εξισωσεις των ημιτονοειδων καμυλων ( β γ - - - α
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α (i, β δ, - - -, - a γ -, - Αφου ειναι ημιτονοειδεις, θα εχουν εξισωση της μορφης f() ρημω, με ρ,ω >. Θα εχουν μεγιστο ρ, ελαχιστο -ρ και εριοδο α) ρ και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση : f() ημ ημ f() ημ β) ρ και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση :f() ημ ω. ημ γ) ρ και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους f() ημ, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση : f() ημ ημ f() ημ i α) Ειναι ιδια με την iα) δηλαδη f() ημ β) ρ και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση : f() ημ ημ f() ημ γ) ρ. και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση : f(),ημ,ημ f(),ημ δ) Εστω g με f() - g(). Τοτε η g συμμετρικη της f και g() ρημω. Ειναι ρ,, εριοδο ω ω. Αρα g(), ημ,ημ. Τελικα f() - g() -,ημ f() -,ημ
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Β Η αλιρροια σε μια θαλασσια εριοχη εριγραφεται κατα ροσεγγιση με τη συναρτηση y ημ( t 6 ), οου y το υψος της σταθμης των υδατων σε μετρα και t ο χρονος σε ωρες. Να βρειτε την υψομετρικη διαφορα αναμεσα στην ψηλοτερη λημμυριδα και τη χαμηλοτερη αμωτη. i Να κανετε τη γραφικη αρασταση της συναρτησης για t. i t 6 9 f(t) - Η συναρτηση y f(t). ημ( t ) ειναι ημιτονοειδης με μεγιστο και ελαχιστο -. Αρα η υψομετρικη διαφορα λημμυριδα α- μωτη ειναι 6m 6 6 y 6 9 t - Α σ κ η σ η. B Ενα αιχνιδι κρεμεται με ενα ελατηριο αο το ταβανι και αεχει αο το ατωμα m. Οταν το αιχνιδι ανεβοκατεβαινει, το υψος του αο το ατωμα σε μετρα ειναι h + συνt, οου t ο χρονος σε δευτερολετα. Να υολογισετε τη διαφορα αναμεσα στο μεγιστο και o o στο ελαχιστο υψος. i Να βρειτε την εριοδο της ταλαντωσης. ii Να κανετε τη γραφικη αρασταση της συναρτησης για ατωμα t. m ι) - συνt - Το μεγιστo υψος ειναι συνt - + και το ελαχιστο. Αρα η διαφορα τους ειναι - συνt + h(t) i Η εριοδος της ταλαντωσης ειναι T ω
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α ii t /6 / h(t) / / / / y t Α σ κ η σ η. B Η αοσταση του ιστονιου σε μετρα αο το ενα ακρο του κυλινδρου εριγραφεται με τη συναρτηση (t), +, ημt, οου t ο χρονος σε δευτερολετα. Να υολογισετε το λατος της κινησης του ιστονιου. i Να κανετε τη γραφικη αρασταση της συναρτησης για t. Ποιες στιγμες του χρονικου αυτου διαστηματος η αοσταση ειναι, m; ι) - συνt -,, συνt,, -,, +, συνt, +, (t), Η μεγιστη αοσταση ειναι, και η ελαχιστη. Αρα η διαφορα τους ειναι, i Στο διαστημα [,] λυνουμε την εξισωση (t),. Eτσι, +, ημt,, ( + ημt), + ημt, ημt, t κ + t κ + 6 6,κ ακεραιος t κ + - t κ + 6 6 Ομως t t 6 κ + 6 κ + 6 - κ - κ 6 κ + 6 - κ κ + 6 - κ 6 (κ,, ) η (κ,, )
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Οι στιγμες: κ : t κ : t y 8 8 κ : t κ : t 8 7 8 κ : t κ : t 8 9 8,, t Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: ημ i ημ ii συν iv) συν κ + κ ημ ημ ημ, κ η κ, κ κ + - κ + i ημ ii ημ ημ συν συν συν κ + κ +, κ κ + - κ + κ +, κ η κ +, κ κ - iv) συν συν συν κ +, κ κ -
6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: ημ - ii συν - i ημ - iv) συν - ημ 6 ημ ημ 6 ημ ημ( κ - κ - ) 6 6, κ 7 κ + + κ + 6 6 i κ - κ - ημ ημ ημ ), κ κ + + κ + ii συν κ ± συν συν, κ ημ ημ( συν συν ( iv) συν συν συν κ ±, κ ) συν συν Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: εφ i εφ ii σφ iv) σφ Περιορισμος: Για να οριζεται η εφ, ρεει κ +, κ Για να οριζεται η σφ, ρεει κ, κ εφ εφ εφ κ + κ, κ
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 7 i εφ ii εφ εφ σφ σφ σφ iv) σφ σφ σφ 6 κ + κ + 6 κ + 6, κ 6, κ, κ Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: εφ - i σφ - Περιορισμος: Για να οριζεται η εφ, ρεει κ + εφ εφ εφ 6 εφ εφ( i Περιορισμος: Για να οριζεται η σφ, ρεει σφ σφ σφ σφ σφ( 6 ) ) κ, κ, κ κ κ 6, κ, κ Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: ( ημ) (ημ - ) i (ημ + )(-συν) ( ημ) (ημ - ) κ + κ + ημ -ημ ημ ημ κ + - κ + ημ - ημ ημ ημ λ + λ + λ + - λ +
8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α κ + λ +, κ,λ λ + i (ημ + )( συν) ημ + ημ - ημ - ημ ημ ημ- -συν συν συν συν συν συν κ - κ -, κ,λ κ + + κ + λ ± λ Α σ κ η σ η. 6 Να λυσετε τις εξισωσεις: ( + εφ) ( - εφ) i (συν +) ( εφ ) σφ Περιορισμος: Για να οριζεται η εφ, ρεει ( + εφ) ( εφ) κ +, κ εφ - εφ εφ εφ - κ - +εφ εφ -, κ -εφ εφ εφ εφ εφ εφ κ + i Περιορισμος: Για να οριζoνται εφ, σφ, ρεει (συν +) ( εφ ) σφ κ +, κ, κ. συν - συν συν συν συν - συν - συν + εφ εφ εφ εφ εφ εφ - εφ εφ - σφ σφ εφ - εφ εφ εφ- σφ σφ σφ σφσφ
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 9 κ ± κ ± κ + κ + κ- κ- κ + αορριτεται, κ Α σ κ η σ η. 7 Χρησιμοοιωντας τριγωνομετρικους ινακες η ειστημονικο κομιουτερακι να λυσετε τις εξισωσεις ημ,9 i συν,89 ii εφ 8,66 ημ,9 i συν,89 κ ±, κ ii ημ ημ συν συν κ + κ +, κ κ + - κ + συν συν( Περιορισμος: Για να οριζεται η εφ, ρεει εφ 8,66 εφ εφ κ +, κ κ + ) συν συν, κ Α σ κ η σ η. 8 Να λυσετε τις εξισωσεις ημ i συν + ii εφ 7 ημ ημ ημ ημ κ κ + κ + +, κ, κ 9, κ κ κ + - κ + + 9
6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α i συν ii εφ 7 + συν εφ 7 - συν εφ κ + 7, κ Τα τοξα κ + και κ ειναι ιδια συν κ +, κ 7 εφ κ + 7 6, κ 7 κ + 6 κ +, κ, κ Α σ κ η σ η. 9 Να λυσετε τις εξισωσεις ημ ( + ) i συν( ) ii εφ( ) ημ + ημ + ημ - Προκειται για ιδια λυση (τα τοξα ιδια) + κ - κ - - κ -, κ, κ 6, κ 7 + κ + + κ + - κ + 6 i συν( ) συν( ) συν( ) συν 7 - κ + κ + + κ +, κ, κ, κ - κ - κ + - κ - κ 7 + 6, κ κ - 6 ii εφ( ) εφ( ) εφ κ +, κ κ +, κ κ +, κ κ - - 6, κ
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 6 Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: i ii ημ ω + ημω - συν + συν - εφ t + εφ t Δ - (-) + 8 9, κ + 6 - + ημω ημ κ + - - ± 9 - ± ημω 6 6 - - - ημω ημ κ + κ + - κ + 6 Προκειται για ιδια λυση (τα τοξα ιδια) κ + 6, κ κ + κ - - συν i Δ - (-) 9 + 6, - ± συν - ± ii συν συν - αορρριτεται κ ±, κ Περιορισμος: Για να οριζεται η εφt, ρεει t κ +, κ εφ t + εφ t εφ t - εφt Δ εφt (- ) - (-) 8 ( ), + εφ ± ( ± ) ± 6 6 - - εφ - 6 t κ + η t κ 6, κ
6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις ημ + συν i εφ σφ ημ + συν -συν + συν συν συν συν συν συν συν συν συν συν 6 6 6 συν - συν - συν συν συν - συν συν 6 6 6 κ ± 6, κ Αν κ + τοτε συν, κ ± Αν κ τοτε ημ, 6 δεν οριζεται η εφ δεν οριζεται η σφ i Περιορισμος: Για να οριζονται η εφ και η σφ, ρεει εφ. σφ σφ εφ αορριτονται, αο τον εριορισμο. σφ σφ κ + και κ + κ, κ κ, κ. Α σ κ η σ η. Να βρειτε για οιες τιμες του, η εομενη συναρτηση εχει τη μεγιστη και για οιες την ελαχιστη τιμη της. f() ημ( ), < i g() 7συν( ), < Η f εχει μεγιστη τιμη αν κ κ ημ - ημ - ημ - κ + κ + < < < < κ κ κ + κ + κ + κ + κ + < - κ < - κ< κ Η f εχει μεγιστη τιμη αν κ κ ημ - - ημ - ημ- - κ - κ < < < <
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 6 κ κ κ κ κ < κ < κ i Η g εχει μεγιστη τιμη αν κ κ συν - συν - συν - κ κ + < < < < κ + κ κ + κ κ + κ + κ + < - κ < - κ< κ Η f εχει μεγιστη τιμη αν κ κ συν - - συν - συν - κ + κ + < < < < κ + κ κ + κ κ + κ κ + κ + < - κ < - κ< κ Α σ κ η σ η. Οι μηνιαιες ωλησεις ενος εοχιακου ροϊοντος (σε χιλιαδες κομματια) δινονται κατα ροσεγγιση αο τον τυο S 7 + ημ να αντιστοιχει στον Ιανουαριο. t 6, οου t ο χρονος σε μηνες και με t Να βρειτε οιους μηνες οι ωλησεις φτανουν τις κομματια. i Να βρειτε οιο μηνα εχουμε το μεγαλυτερο αριθμο ωλησεων και οσες ειναι αυτες. S 7 + ημ t 6 ημ t 6 ημ t 6 ημ t 6 ημ 6 t t κ + κ + t κ + 6 6 t κ + κ 6 6 κ κ κ + t t t κ + κ + - κ + t κ + 6 6 6 6 t t t κ + κ
6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α t κ + t κ + t κ + - κ κ - κ κ κ t t κ + t κ + t κ + t - κ 7 7 κ - κ Oι ωλησεις φτανουν τις κομματια τον Ιανουαριο και τον Μαιο. i Οι ωλησεις γινονται μεγιστες αν t t κ t κ κ ημ ημ ημ κ + t κ + 6 6 6 t < t < t < t < κ κ t κ + κ t κ + t κ + t κ + t κ + < - κ < 9 - κ< κ Δηλαδη το μηνα Μαρτιο. Α σ κ η σ η. B Να λυσετε τις εξισωσεις ημ + συν ( ) i εφ σφ ( + ) ημ + συν ( συν ( κ ) συν ( 8 i Περιορισμος: ) συν ( ) ημ συν ( ) ημ ( ) - κ + + - κ + + ) - κ - - κ - αδυνατη Οι εφ και η σφ ( + ), αν κ + Ετσι Αν κ + τοτε συν, δεν οριζεται η εφ. Αν κ - 9 τοτε ημ( +), δεν οριζεται η σφ κ και - 9, κ. εφ σφ ( + ) εφ σφ ( + ) σφ ( ) σφ ( + ) κ + +, κ κ + κ 6 κ +
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 6 Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε τις εξισωσεις εφ ημ + ημ + εφ i συν - εφ Περιορισμος: Η εφ οριζεται και συν, αν κ +, κ εφημ + ημ + εφ εφημ εφ + ημ εφ(ημ ) (ημ ) (ημ ) ( εφ ) ημ - ημ ημ ημ κ + εφ - εφ εφ εφ κ + i 7 - εφ + συν Δ (- ) - (- ) + 6 εφ ± ± εφ εφ εφ εφ. εφ - εφ -εφ εφ εφ - κ -, κ εφ εφ εφ εφ εφ κ + Α σ κ η σ η. Β Να βρειτε τις λυσεις της εξισωσης εφ στο διαστημα (, ). Περιορισμος: Η εφ οριζεται, αν κ +, κ. εφ εφ εφ κ + κ + κ + < < < κ + < < κ < κ κ κ κ + κ κ + < κ< κ
66 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε την εξισωση + συν ημ στο διαστημα [, ]. Ειναι +συν ημ + συν ημ + συν ημ ημ + συν ( +συν) + συν + συν + συν + συν +συν ημ +συν ημ +συν ημ + συν ημ συν συν + συν συν(συν + ) συν ημ η ημ +συν ημ ημ συν συν η η η +συν ημ συν - ημ ημ Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε την εξισωση εφ σφ ( + ) στο διαστημα [, ). Περιορισμος: Η εφ, σφ οριζονται, αν κ + και κ -, κ εφ σφ ( + ) σφ( - ) σφ ( + ) κ + +, κ κ + κ 6κ - - 6κ + () 6 6 [, ) < - 6κ + < - 6κ + < - 6κ + < 6κ < κ > - κ η - η - η 6 6-6(- ) + (): 9 η - 6(- ) + η - 6(- ) + 7 η.
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 67 Α σ κ η σ η. 6 Να υολογισετε, χωρις τη χρηση υολογιστων τσεης, την τιμη των αραστασεων συν συν - ημ ημ i συν 7 ο συν ο + ημ 7 ο ημ ο ii ημ ο ημ 7 ο συν ο συν 7 ο iv) συν 7 συν + ημ 7 ημ συν συν - ημ ημ συν ( + ) συν συν i συν 7 ο συν ο + ημ 7 ο ημ ο συν ( 7 ο ο ) συν ο συν( 8 ο 6 ο ) - συν 6 ο - ii ημ ο ημ 7 ο συν ο συν 7 ο - (συν ο συν 7 ο - ημ ο ημ 7 ο ) - συν ( ο + 7 ο ) - συν 8 ο - (- ) iv) συν 7 συν + ημ 7 ημ συν ( 7 - ) συν 6 συν Α σ κ η σ η. 6 Να γραψετε σε αλουστερη μορφη τις αραστασεις συν συν (- ) - ημ ημ (- ) i συν ( + ) συν + ημ ( + ) ημ συν συν(-) - ημ ημ(-) συν ( + (-)) συν i συν ( + ) συν + ημ ( + ) ημ συν ( + - ) συν Α σ κ η σ η. 6 Να αοδειξετε οτι συν ( + ) + συν ( - ) συν i συν ( - ) - συν ( + ) ημ συν
68 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α συν( + i συν ( - ) + συν( - ) - ) συνσυν συν συν συν ( + συν - ημημ ) [συν( - συν + συνσυν ) συν( + )][συν( - + ημ ημ ) + συν( + )] () συν( - ) συν( + ) συνσυν + ημημ - συνσυν + ημημ ημημ συν( - ) + συν( + ) συνσυν + ημημ + συνσυν - ημημ συνσυν Ετσι η () : συν ( - ) - συν ( + ) ημ ημ ημ ημ συν συν συν συν Α σ κ η σ η. 6 Να υολογισετε, χωρις τη χρηση υολογιστων τσεης, την τιμη των αραστασεων ημ 7 8 συν ii 9 7 εφ - εφ 7 +εφ εφ - συν 7 8 ημ 9 i ημ 7 ο συν ο + συν 7 ο ημ ο iv) εφ6 -εφ6 + εφ εφ ημ 7 7 7 συν - συν ημ ημ( 8 9 8 9 8-7 ) ημ ( 9 8-8 9 ) ημ 8 8 ημ i ημ 7 ο συν ο + συν 7 ο ημ ο ημ ( 7 ο + ο ) ημ 9 ο ii 7 εφ - εφ 7 +εφ εφ iv) εφ6 + εφ -εφ6 εφ εφ ( 7-7 ) εφ ( - ) εφ εφ εφ (6 ο + ο ) εφ 8 ο
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 69 Α σ κ η σ η. 6 Να γραψετε σε αλουστερη μορφη τις αραστασεις ημ συν + συν ημ i ημ( + ii εφ - εφ +εφ εφ iv) 6 ) συν - συν( + εφ( + ) + εφ( - ) 6 -εφ( + ) εφ( - ) 6 6 ) ημ ημ συν + συν ημ ημ( + ) ημ i ημ( + ) συν - συν( + ) ημ ημ( + - ) ημ ii εφ - εφ +εφ εφ εφ( ) εφ( ) - εφ iv) εφ + + εφ - 6 -εφ + εφ - 6 εφ( εφ[ ( + + - ) εφ( - )] - εφ( + ) εφ( - - ) - σφ + ) Α σ κ η σ η. 6 6 Να αοδειξετε οτι ημ( + ) + ημ( - ) ημ i (ημα + συνα) (ημβ + συνβ) ημ(α + β) + συν(α β) ημ( + ) + ημ( - ) ημ συν ημ συν + συν ημ + ημ συν ημ ημ - συν ημ i (ημα + συνα)(ημβ + συνβ) ημαημβ + ημασυνβ + συναημβ + συνασυνβ () ημ(α + β) + συν(α β) ημασυνβ + συναημβ + συνασυνβ + ημαημβ () Αο τις (), () ροκυτει το ζητουμενο.
7 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. 6 7 Να υολογισετε, χωρις τη χρηση υολογιστων τσεης, τους τριγωνομετρικους αριθμους των ο και 9 ο. ημ ο ημ(6 ο + ο ) ημ 6 ο συν ο + συν 6 ο ημ ο + 6 + συν ο συν(6 ο + ο ) συν 6 ο συν ο ημ 6 ο ημ ο εφ ο σφ ο ημ - συν - - 6 + + 6 - εφ - 6 + 6 - - - 6-8 + + - 6 + 6 - - ( 6 + ) - ( 6 - )( 6 + ) ( + ) - ( + )( - ) - - ( + ) - - - + ημ9 ο ημ(9 ο + ο ) ημ 9 ο συν ο + συν 9 ο ημ ο συν ο + ημ ο συν ο - 6 συν9 ο συν(9 ο + ο ) συν 9 ο συν ο ημ 9 ο ημ ο εφ9 ο συν ο ημ ο - ημ ο - ημ9 συν9 6 - + 6 - - - 6-6 + 8-6 - 6 + - σφ9 ο εφ9 - + ( - )( + ) 6 + ( 6 - ) ( 6 + )( 6 - ) + - + Α σ κ η σ η. 6 8 Να αοδειξετε οτι ημ(α + β) εφα + εφβ συνα συνβ i σφα + σφβ ημ(α + β) ημα ημβ εφα + εφβ ημα συνα + ημβ συνβ ημα συνβ + συνα ημβ συνα συνβ ημ(α + β) συνα συνβ
Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 7 i σφα + σφβ συνα ημα + συνβ ημβ ημβ συνα + ημα συνβ ημα ημβ ημ(α +β) ημα ημβ Α σ κ η σ η. 6 9 Να αοδειξετε οτι για τις γωνιες α, β των αρακατω σχηματων ισχυει: ημ( α + β) 6 6 i συν( α + β) 6 6 α β Ειναι ημα και συνβ συν α + ημ α συν α - ημ α - συν β + ημ β ημ β - συν β - ημ(α + β) ημα συνβ + συνα ημβ i συν( α + β) συνα συνβ ημα ημβ + - - - 69 9 6 + 6 6 69 συνα 6 ημβ 8 6-6 6 6 6 6 Α σ κ η σ η. 6 Να υολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας α + β, αν i ) ημα, συνβ -, < α < κα < β < i συνα -, ημβ -, < α < και < β < συν α + ημ α συν α - ημ α - συν β + ημ β ημ β - συν β - - - 9 6 συνα 69 ημβ 69
7 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α ημ( α + β) ημασυνβ + συνα ημβ συν(α + β) συνασυνβ ημα ημβ εφ(α + β) σφ(α + β) i ημ(α + β) συν(α + β) - 6 εφ(α + β) - 6 - - συν α + ημ α ημ α - συν α - συν β + ημ β συν β - ημ β - ημ( α + β) ημασυνβ + συναημβ - συν(α + β) συνασυνβ ημαημβ - εφ( α + β) ημ(α +β) συν(α +β) σφ(α + β) δεν οριζεται. - + - - + - - - - - - 9 - - - 6 6 6 - - - + 8 6 6 6-6 6 6 6 ημα - 9 συνβ 9 + - 6 - - Α σ κ η σ η. 6 Να λυσετε τις εξισωσεις i ) ημ συν( + i εφ + εφ( 6 ) + ) - ii εφ( α) -, αν εφα - ημ συν( + 6 ) ημ συν συν 6 - ημ ημ ημ συν - ημ ημ συν () Αν συν τοτε και ημ, οοτε Eτσι, συν και η () γινεται : ημ συν εφ εφ 6 κ + 6, κ i Περιορισμος : 6 ημ συν - ημ συν + ημ + ατοο.