ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1
ΔΕΚΑΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα f και f() d για να συμβολίσουμε όλα μαζί τα αόριστα ολοκληρώματα της f σε ένα διάστημα I. Δηλαδή, γράφουμε f = f + c ή f() d = f + c για I και διαβάζουμε: το f ή f() d είναι κάθε συνάρτηση f + c, όπου c είναι αυθαίρετη σταθερή συνάρτηση. Πάντοτε γράφουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή : είτε στο σύμβολο f είτε στο σύμβολο f() d. Παράδειγμα. Γράφουμε d = t dt + c = + c = + ( c ) = + c, όπου αντικαθιστούμε την αυθαίρετη σταθερή συνάρτηση c με την αυθαίρετη σταθερή συνάρτηση c. Αυτή η αντικατάσταση δικαιολογείται ως εξής: όταν η σταθερά c διατρέχει όλους τους αριθμούς, τότε και η σταθερά c διατρέχει όλους τους αριθμούς. Το Θεμελιώδες Θεώρημα είναι το σημαντικότερο αποτέλεσμα του απειροστικού λογισμού. Παρέχει την καθόλου προφανή σύνδεση ανάμεσα σε δυο φαινομενικά ασύνδετες έννοιες: την παράγωγο και το ολοκλήρωμα. Οι συνέπειες για τον χειρισμό αλλά και τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων είναι σημαντικές. Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού. Έστω f ορισμένη στο διάστημα I και ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό και φραγμένο υποδιάστημα του I. Αν F είναι οποιοδήποτε αόριστο ολοκλήρωμα της f στο I, τότε ισχύει F () = f() για κάθε I στο οποίο η f είναι συνεχής. Ειδικώτερα, αν η f είναι συνεχής στο I, τότε ισχύει F () = f() για κάθε I. Απόδειξη. Έστω I και σταθερή συνάρτηση c στο I και το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα με τύπο F () = f + c για κάθε I. Έστω ότι η f είναι συνεχής στο I. Θα αποδείξουμε ότι F ( ) = f( ) ή, ισοδύναμα, F () F ( ) lim = f( ).
Τώρα, για I, έχουμε F () F ( ) f( ) = ( f + c) ( f + c) f f( )( ) = = f( ) = = (f f( )). Έστω ɛ >. Επειδή η f είναι συνεχής στο, υπάρχει δ > ώστε f f( ) f f( ) (1) I, < δ f() f( ) < ɛ. () Έστω, λοιπόν, οποιοδήποτε I με < < δ. Τότε για κάθε t [, ] ή t [, ] ισχύει t < δ, οπότε από την () συνεπάγεται f(t) f( ) < ɛ. Άρα (f f( )) = Τότε, από την (1) συνεπάγεται (f(t) f( )) dt ɛ < ɛ. F () F ( ) f( ) = (f f( )) Αποδείξαμε ότι για κάθε ɛ > υπάρχει δ > ώστε για κάθε I με < < δ να ισχύει F () F ( ) f( ) < ɛ. Άρα lim F () F ( ) = f( ), οπότε F ( ) = f( ). Έχουμε, λοιπόν, τον βασικό τύπο d d ( < ɛ. ) f + c = f() αν f συνεχής στο. Οι επόμενες τρεις προτάσεις είναι απλά πορίσματα του Θεμελιώδους Θεωρήματος. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα I, τότε κάθε αόριστο ολοκλήρωμα της f στο I είναι και αντιπαράγωγός της στο I και αντιστρόφως. Με άλλα λόγια, το σύνολο των αόριστων ολοκληρωμάτων της f στο I είναι ίδιο με το σύνολο των αντιπαραγώγων της f στο I. Απόδειξη. Έστω F οποιοδήποτε αόριστο ολοκλήρωμα της f στο I. Τότε η F είναι και αντιπαράγωγος της f στο I. Τώρα, αφ ενός τα αόριστα ολοκληρώματα της f στο I είναι οι συναρτήσεις F + c, όπου c είναι αυθαίρετη σταθερή συνάρτηση στο I, αφ ετέρου οι αντιπαράγωγοι της f στο I είναι (πάλι) οι συναρτήσεις F + c, όπου c είναι αυθαίρετη σταθερή συνάρτηση στο I. Παράδειγμα. Στο προηγούμενο μάθημα λύσαμε την άσκηση 7.1.3 και είδαμε ότι η συνάρτηση {, αν f() = 1, αν > 3
δεν έχει αντιπαράγωγο στο R. Όμως, η f έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο R. Πράγματι, αν <, έχουμε και, αν >, έχουμε f = f = f = 1 dt =. dt = Και, επειδή για = έχουμε f =, ένα αόριστο ολοκλήρωμα της f στο R είναι η συνάρτηση {, αν f =, αν Η επόμενη πρόταση έχει σπουδαία πρακτική αξία. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω f συνεχής στο διάστημα I και F οποιαδήποτε αντιπαράγωγος της f στο I. Τότε f() d = F () + c για κάθε στο I, f = F (b) F () για κάθε, b στο I. Απόδειξη. Το f()d, δηλαδή το σύνολο των αόριστων ολοκληρωμάτων της f στο I, ταυτίζεται με το σύνολο των αντιπαραγώγων της στο I, δηλαδή με το σύνολο των συναρτήσεων F () + c, όπου c είναι αυθαίρετη σταθερή συνάρτηση στο I. Αυτό αποδεικνύει την πρώτη ταυτότητα. Συμπεραίνουμε ότι υπάρχει κάποια σταθερά c ώστε το αόριστο ολοκλήρωμα f να ισούται με την F + c στο I. Δηλαδή, ισχύει f = F () + c για κάθε I. Με = βρίσκουμε οπότε c = F (). Τέλος, με = b έχουμε = F () + c, f = F (b) + c = F (b) F (). Παράδειγμα. Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος d έχουμε δύο τρόπους. με τη μέθοδο των αθροισμάτων Riemnn. Από Έχουμε ήδη βρει ότι d = b την άλλη μεριά, η συνάρτηση είναι αντιπαράγωγος της στο R, οπότε d = b. 4
ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω F παραγωγίσιμη στο διάστημα I ώστε η F να είναι συνεχής στο I. Τότε, F () d = F (b) F () για κάθε, b στο I. Απόδειξη. Εφαρμόζουμε την προηγούμενη Πρόταση στην f = F, παρατηρώντας ότι η F είναι, προφανώς, αντιπαράγωγος της f στο I. Άσκηση 7..1. Έστω f συνεχής στο [, + ) και έστω ότι ισχύει f() για κάθε > και f() = (i) Αποδείξτε ότι ισχύει f() > για κάθε >. (ii) Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ). (iii) Αποδείξτε ότι ισχύει f() = για κάθε. Λύση: (i) Κατ αρχάς, από την (3) συνεπάγεται f για κάθε. (3) f() =. Επειδή η f είναι συνεχής στο (, + ) και ισχύει f() για κάθε >, συνεπάγεται ότι είτε ισχύει f() > για κάθε > είτε ισχύει f() < για κάθε >. Αν ισχύει f() < για κάθε >, τότε ισχύει f για κάθε >, οπότε βάσει της (3) έχουμε f() για κάθε > και, επομένως, f() = για κάθε >. Αυτό είναι άτοπο, οπότε ισχύει f() > για κάθε >. (ii) Επειδή ισχύει f() για κάθε, από την (3) συνεπάγεται ότι ισχύει f() = f για κάθε. (4) Τώρα, έστω >. Η f είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει f(t) για κάθε t [, ]. Άρα είναι f και μάλιστα, επειδή η f δεν είναι σταθερή στο [, ], ισχύει f >. Το ίδιο αποδεικνύεται πιο απλά ως εξής. Αν >, τότε f() >, οπότε από την (3) συνεπάγεται f >. Έχουμε, λοιπόν, ότι ισχύει f > για κάθε >. Τώρα, η f είναι συνεχής στο (, + ), οπότε ισχύει ( f) = f() για κάθε >. Επίσης, η συνάρτηση y είναι παραγωγίσιμη για y >. Άρα από τον Κανόνα Αλυσίδας και από την (4) συνεπάγεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη για > και ότι f () = f() = f f() f = 1 για κάθε >, 5
όπου στην τελευταία ισότητα εφαρμόζουμε πάλι την (4). (iii) Από την τελευταία σχέση και από το ότι η f είναι συνεχής στο [, + ) συνεπάγεται ότι υπάρχει σταθερά c ώστε να ισχύει f() = + c για κάθε. Για = παίρνουμε = + c, οπότε c = και άρα ισχύει f() = για κάθε. 6